Sorgenti Analogiche - Soluzioni

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1 Sorgenti Analogiche - Soluzioni Soluzione: l oggetto dell analisi ha semplicemente il seguente schema a blocchi: Ampliicatore: Funzione di traserimento o dinamica + K* saturazione Disegnamo quindi la sua modellazione lineare a tratti che ne sintetizza il comportamento: linearità - + K saturazione -K*

2 Punto a) Se applichiamo un segnale sinusoidale di ampiezza siamo al limite, senza distorsione, della dinamica dell ampliicatore in esame: cioè segnali di ampiezza < saranno riprodotti edelmente secondo la legge di ampliicazione lineare citata y ( t) K * x( t) mentre negli altri casi avremo un taglio al valore massimo K *. Inoltre una sinusoide ha un ben determinato comportamento periodico nel tempo (di periodo ): siamo in presenza perciò di un segnale esattamente descritto la cui legge vale: s ( t) * sen( ω t + ϕ) dove ω π π / è la pulsazione angolare [rad/s] e ϕ [rad] è lo sasamento iniziale del segnale che possiamo issare arbitrariamente a non essendo in relazione ad altri segnali. L energia del segnale (W) è ininita se consideriamo il supporto illimitato (, ) ma la potenza media (P) è inita inatti: l energia del segnale rispetto al suo periodo). W P m Pm t s( t) dt (cioè calcoliamo Nota: gli estremi di integrazione devono comprire un periodo perciò indierentemente possono essere scelti come sopra oppure (-/, +/), etc Dunque nel nostro caso: P P sen ( ωt dt dove abbiamo sostituito al m ) modulo della nostra unzione semplicemente la unzione stessa perché è un segnale reale. Si tratta a questo punto di sviluppare i calcoli: P sen ( ωt) dt Dalla ormula di bisezione: cos ( α ) sen ( α ) cos(α ) e dalla relazione ondamentale: cos ( α) + sen ( α) dove ovviamente per noi α ωt ci ricaviamo un espressione più conveniente per sen ( ωt) *( cos(ωt) ) che impieghiamo per risolvere l integrale: eseguendo poi anche il cambio di variabili: P [ cos(ω t)] dt ωt z ωdt dz dt dz dt dz e dove gli estremi di integrazione saranno (, 4 π ) e separando i due membri avremo: P { dt π cos( z) dz} {[] [ ( )] } 4 sen z { }

3 Punto b) Siamo ora in presenza di un segnale modellato da una variabile aleatoria avente densità di probabilità (ddp) di Laplace: x e tipico della voce dove la presenza di x ci a capire che è bilatera (pari e di valore massimo in x avendo media nulla µ ) e la cui rappresentazione per (e con assi non in scala ra loro) è riprodotta qui di ianco. Nel nostro caso il segnale a assumere alla variabile casuale associata valori tra e + Perciò la probabilità richiesta sarà: p [ > ]. Cioè: dx + dx. + d essendo simmetrica: dx +. Passiamo a risolvere l integrale che, nel caso della ddp di Laplace, conduce a una soluzione in orma chiusa: + e x dx cerchiamo di arrivare ad una orma che ponga in evidenza il cui quadrato è la potenza media del segnale applicato.

4 Ponendo t dx dt dx dt con i nuovi estremi di integrazione: (, ) t t t e dt e dt [ e ] e + e e Quindi:. e ln( ) ln(.) ln(.) Pl e ln(. ) ln (.) P l Inine: *. 886 P ln (.) ln 4 (.) (cioè < /5) Punto c) Siamo ora in presenza di un segnale modellato da una variabile aleatoria avente densità di probabilità (ddp) di Gauss: ( xµ ) e π tipico dei suoni non vocali Come al punto b dovremo valutare le aree comprese tra (, ) e tra ( +, ) con il problema che la ddp gaussiana non è integrabile in orma chiusa e dovremo perciò ricorrere a delle tavole come quella presenta in allegato e alla quale aremo rierimento. siccome la tavola tabula la curva normalizzata standard di media nulla e deviazione unitaria [ N(,) ] che riporta i valori di una variabile aleatoria z dovremo eettuare la trasormazione: x µ z che per noi si traduce: z assumendo la media µ

5 Anche la gaussiana è bilatera e simmetrica per cui: p [ > ]. si traduce: p[ > ].5 e p [ < ]. 5 Visto che la tavola a rierimento alle aree a partire da in poi e che con la nostra trasormazione cercheremo la condizione: p[ Z > ].5 Questa è la rappresentazione della campana gaussiana normalizzata: µ e con gli assi non in scala tra loro. Queste sono le due aree la cui somma vale. e perciò ognuna è.5 con i valori della variabile aleatoria reali tra e +

6 Questa è la campana normalizzata N(,) tabulata nella tavola: sapendo che l area sottesa alla curva sul supporto illimitato è uguale a, a partire da avremo un valore pari a.5 (,) e che si può subito veriicare essendo il primo valore dlla tavola stessa. Nel nostro caso poi l area che ci interessa (.5) è quella complementare a quella evidenziata che sarà perciò pari a che andremo inalmente a ricercare Per un valore.9956 ci ritroveremo z pari a.5 (valore di riga) più.8 (valore di colonna) per un totale di z.58 Inine dalla relazione della trasormazione di prima essendo: avremo: Pg Z P g /, 35 Perciò: (< /3) P Risultato (P gauss > P laplace) conortato da atto che le componenti in requenza del segnale applausi a parità di sono di più rispetto a quelle della voce umana che ha, come sappiamo, una banda più limitata con taglio caratteristico a 34 Hz.