Progetto di filtri Filtri di Butterworth Filtri di Chebishev. Filtri passivi 1

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1 Progetto di iltri Filtri di Butterworth Filtri di Chebishev Filtri passivi 1

2 ? A s V 21 V ( s) E ( s) s S s A s s V ( s) guadagno di tensione matrice di scattering Filtri passivi 2

3 Le H possibili sono ininite, ma esistono un certo n. di caratteristiche standard Filtri passivi 3

4 Procedura di progetto e sintesi di una rete 1. Approssimazione Generare una unzione di traserimento che soddisi certe speciiche (ampiezza o ase etc.,). Metodi in orma chiusa: il problema è risolto attraverso un certo numero di passi utilizzando ormule e trasormazioni in orma chiusa (Butterworth, Chebyschev, etc) per la risposta in ampiezza. Soluzioni molto precise Pochi calcoli Adatti per caratteristiche con distorsione in ampiezza costante a tratti, all interno di certe tolleranze. Metodi iterativi: a partire da una soluzione iniziale attraverso un metodo di ottimizzazione si ottengono una serie di soluzioni migliori inché un certo criterio non è soddisatto. Molti calcoli Adatti per caratteristiche arbitrarie

5 2. Realizzazione Conversione delle caratteristiche del iltro nella corrispondente rete elettrica (ne esiste generalmente più di una). 3. Studio delle imperezioni Al passo 1. i coeicienti della unzione di traserimento sono determinati con elevata precisione; la realizzazione al punto 2. è ottenuta assumendo gli elementi ideali (C senza perdite, L senza C parassite, ampliicatori con larghezza di banda ininita, etc.) Occorre studiare l eetto delle imperezioni (tolleranze, non linearità, etc.) mediante analisi di tolleranza, analisi di sensibilità, analisi del rumore, etc.. 4. Implementazione

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7 La requenza a -3 db è indipendente dall ordine del iltro. L attenuazione uori banda è pari a N*20db/decade. Soddisano bene i requisiti in banda passante, meno bene in banda oscura o proibita (i iltri di Chebyschev distribuiscono l accuratezza in modo uniorme su banda passante e proibita). La risposta in ase in banda passante è abbastanza lineare. Filtri passivi 7

8 Pulsazione normalizzata w n =w/w t n n Pulsazione di taglio w nt =1 (w=w t ) per qualunque n 1 1/2 N crescente, > selettività 1 w n Questa caratteristica e l'ideale nelle applicazioni audio ad alta edeltà in cui è assolutamente necessario che il iltro ampliichi della stessa quantità tutti i segnali con requenza compresa nella banda passante. Filtri passivi 8

9 n n n n n n n n n n 1 2 x 1 x ( 1) 1x 2!... Filtri passivi 9

10 n n n Filtri passivi 10

11 Progetto di un iltro di Butterworth In ase di progetto vengono ornite come speciiche L ATTENUAZIONE I LIMITI ESTREMI della banda passante e di quella oscura. A partire dalle speciiche occorre determinare il grado del iltro N (il numero dei componenti) la requenza di taglio t presenti nelle ormule di trasormazione. Filtri passivi 11

12 w t w s -w p 0 Filtri passivi 12

13 Filtri passivi 13 piccola attenuazione grande attenuazione massimo rispetto al 3 db α t 2N N t t t n w w w N t log

14 Speciiche Il progettista deve ottenere un iltro che rispetti le speciiche Filtri passivi 14

15 I valori riportati in ordinate si ricavano dall espressione di s 21 p ( jw) 20log s 2 10 p 21 /10 ( jw) p s 21 s ( jw) 20log s /10 s ( jw) s Si deinisce inoltre la selettività del iltro k p s 1 Filtri passivi 15

16 Filtri passivi s p P x x x x x x x x P P x x O x dx d x ) ( ln(10) essendo /10, Posto /

17 t Filtri passivi 17

18 Filtri passivi 18 Progetto il iltro che rispetti le speciiche. N t p log N t s log N t p 2 N t s 2

19 10 10 p 10 s In cui e tutto noto tranne N Filtri passivi 19

20 Caratteristica più ripida t Filtri passivi 20

21 p t 2N t t ' t t ' Filtri passivi 21

22 Il iltro passabasso prototipo n n Noto w t e N, conosco la risposta in ampiezza. Devo risalire alla unzione di traserimento corrispondente s 21 (s). La procedura è detta Sintesi di Darlington. La unzione di traserimento che si ottiene è a soli poli del tipo, per il iltro normalizzato, w nt =1 Filtri passivi 22

23 Esistono diverse realizzazioni possibili per la unzione di traserimento di Butterworth A V =V 2 /V 1 Rete a scala LC R 01 =R 02 =R 0 =1W Realizzazione tipica: rete a scala LC + E 1 V 1 V 2 - Filtri passivi 23

24 w tn =1rad/s R 0 =1W L 4 C 4 C 5 L 5 L k ( ) k pari C k ( ) k dispari Filtri passivi 24 Posso ottenere i coeicienti anche con Matlab ( butter )

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26 Passa-basso prototipo valori degli elementi g n+1 è R del carico, se g n è una capacità G del carico, se g n è una induttanza Filtri passivi 26

27 Filtri passivi 27

28 w t Per esempio, per R 0 =1 kw, per mantenere inalterata la risposta in requenza devo moltiplicare tutte le impedenze per per w t =10 krad/s cambio la scala delle w di un attore Filtri passivi 28

29 Scaling dei moduli: modiicare le impedenze di una rete di un dato attore (R 0 ) mantenendo invariata la risposta in requenza. Questa Filtri passivi 29 operazione produce nuove impedenze con nuovi valori dei componenti

30 w t Imponendo che l impedenza non muti w t w t L w t w t w t w t w t Scaling in requenza: operare una traslazione della risposta in requenza verso l alto/basso lungo l asse delle requenze, lasciando inalterata l impedenza. Questa operazione produce nuove impedenze con nuovi valori dei componenti, per i componenti dinamici. Filtri passivi 30

31 t w t Filtri passivi 31

32 C L n n C L Cn w t t Ln w Cn 2 Ln 2 t t 216F 108H Filtri passivi 32

33 Speciiche k s p p 10 s Filtri passivi 33

34 w t w t w t w n w w t w t Filtri passivi 34

35 w t L induttanza diventa una capacità w t La capacità diventa una induttanza Filtri passivi 35

36 w t w t w t 2 w t N w t N.B. I iltri passa-basso avevano zeri di trasmissione all ininito. Ora gli zeri sono nell origine. Filtri passivi 36

37 Filtri passivi 37 Si trasormano le speciiche dal passa-alto al passa-basso, ponendo w w 1 ' e 1 ' Le speciiche del passa-basso sono ' s s ' p p 1 ' ' 1 per 1 ' ' 1 per s s p p Si calcolano N e w t per il passa-basso imponendo ' s ' p per ' per ' s p Si realizza la rete e si eettuano le trasormazioni per tornare al passa-alto n t n t n n t n t n t t t n C C L C L L C L s s s s w w w ' Omettiamo il segno vista la simmetria.

38 Esempio Progettare un iltro passa-alto che soddisi le seguenti speciiche 1dB 50dB per per 10kHz 1kHz Sovraspeciicare in banda passante Le speciiche del passa-basso corrispondente 1dB 50dB k ' p ' s per ' 10 per s p Hz Hz 0.1 k /10 p /10 s / N log K log k 1 log( ) 2.82 N 3 Filtri passivi 38

39 Sovraspeciicando in banda passante, si impone da cui t s ' t per ' ' s ' s 50 10log 1 t Hz; ' t t 4 w Hz / / /8.56 Passa-basso normalizzato Passa-alto Filtri passivi 39

40 Speciiche k s p p 10 s Filtri passivi 40

41 ( t /) 2N t ( t /) 2N ] α α α α p s per per p s Filtri passivi 41 t

42 ( t / p ) 2N ] ( t / s ) 2N ] t t Filtri passivi 42

43 t t t t t Filtri passivi 43

44 Filtri passivi 44

45 Filtri passivi 45

46 Filtri passivi 46

47 T N (x) cos[narccos(x)] Filtri passivi 47

48 T 0 (x) Filtri passivi 48

49 T 1 T 2 T N Filtri passivi 49

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51 Filtri passivi 51

52 Chebyshev rispetto a Butterworth rilassa la richiesta di in banda passante per aumentare la pendenza nella banda di transizione: a parità di ordine del iltro e di parametri di tolleranza, si ottengono transizioni più ripide rispetto a Butterworth. E caratterizzato da una risposta in ampiezza con oscillazioni di ampiezza costante in banda passante (ripple) e la riposta viene anche chiamata equi ripple. Questa caratteristica a si che il iltro presenti in prossimità della requenza di taglio una pendenza molto elevata. E utilizzato soprattutto nelle telecomunicazioni quando è necessaria un'elevata pendenza di taglio e si e disposti a sacriicare sia la massima piattezza che la presenza di un ritardo temporale variabile con la requenza. Filtri passivi 52

53 [ Per N pari, s 21 (0)=1/(1+ 2 ) ] Filtri passivi 53

54 Filtri passivi 54

55 w n w/w 0; n w 0 pulsazione pulsazione caratteristica/ caratteristica di transizione, puls. estrema della banda passante. Non è la pulsazione di taglio a 3db. n n n n n Filtri passivi 55

56 Speciiche ww p ww s w p w s w (ovvero da p come vedremo). Filtri passivi 56

57 Passa-basso normalizzato Si nota che in tutta la banda 2 2 s21 ( w) s21(1) Filtri passivi 57 passante

58 . Dim. ( w p 10 p np 1) 10 log(1 T N (1)) 10 log(1 ) 2 Filtri passivi 58

59 Filtri passivi

60 Filtri passivi 60

61 p Filtri passivi 61

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63 H 1.68 F 1.68 F Filtri passivi 63

64 N T N N-1 N 2N-2 2N 0 6( N 1) 20N*log(/ 0 ) Chebyshev unziona quindi meglio di Butterworth, nel senso che le stesse prestazioni sono ottenute con meno componenti (N minore). Ad esempio, per avere una piattezza nella banda passante di 0.1 db e un attenuazione di 20 db per =1.25 0, è suiciente un iltro di Chebyshev di ordine 8, contro un iltro di Butterworth di ordine 19. Filtri passivi 64

65 Filtri passivi 65

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67 Filtri passivi 67

68 Speciiche w w p w w s w s w p w Filtri passivi 68

69 p per il passa-basso era k= p / s Filtri passivi 69

70 p p sono apici, non esponenti Filtri passivi 70

71 Filtri passivi 71

72 Filtri di Chebyscev inversi N Filtri passivi 72

73 Filtri ellittici (di Cauer) Utilizzano un Chebyshev ed un Chebyshev inverso. Permettono di ottenere la massima ripidità nella transizione tra le 2 bande, col n. minore di componenti. Ciò si ottiene ammettendo ripple sia in banda passante che in stopband. N=5 R N è la unzione razionale ellittica di ordine N, troppo complessa per essere studiata in maniera qualitativa; La complessità dell espressione di R N rende diicile are considerazioni intuitive sull andamento dei iltri ellittici. Non esiste una procedura semplice per il progetto dei iltri ellittici. La soluzione migliore è l uso di programmi appositi. s w 2 R N w Filtri passivi 73

74 Il iltro di Bessel Il iltro di Bessel è caratterizzato da una risposta in ase la più lineare possibile in banda passante ovvero un ritardo di gruppo massimamente piatto in banda passante. Questa caratteristica a si che il iltro introduca un ritardo temporale uguale per tutti i segnali con requenza compresa nella banda passante. E idoneo per ritardare segnali. Il iltro di Bessel è utilizzato soprattutto nelle telecomunicazioni quando sono presenti molti iltri in cascata ed il ritardo temporale introdotto è notevole. La pendenza nella banda di transizione è bassa in conronto agli altri iltri. Filtri passivi 74

75 Bontà nell approssimarne il guadagno: dimensione della banda di transizione, attenuazione, oscillazioni I iltri di Butterworth costituiscono una amiglia di iltri che soddisa bene i requisiti sul guadagno in banda passante e meno bene in banda di transizione. Filtro Accuratezza guadagno Linearità ase Butterworth media media Chebyschev buona cattiva Ellittico ottima pessima Bessel cattiva buona 75

76 Un iltro di Butterworth dell 8 ordine prodotto dalla Dallas Maxim ha un costo di circa Mentre un iltro del quarto ordine prodotto dalla Texas Instruments ha un costo (il valore è ornito in dollari) di circa 1. KSPECIFICATIONS: Active Filters Filtri realizzati come switched-capacitor in grado di cambiare il proprio valore di capacità interne. Filtri passivi 76

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