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1 L Unità didattica in breve Trasmissione del moto mediante ruote dentate Si definisce ingranaggio l accoppiamento di due ruote dentate ingrananti fra loro, montate su assi la cui posizione relativa resta fissa una di esse impone il moto alle altre mediante denti che vengono a contatto in successione. Gli ingranaggi sono cilindrici, conici e a vite. La ruota con il numero di ruote maggiore è detta corona, quella con il numero di denti minore è detta rocchetto o pignone. Il rapporto di ingranaggio, indicato con la lettera u, è il rapporto fra il numero di denti della corona e il numero di denti del pignone il rapporto di trasmissione è definito come rapporto fra la velocità angolare della ruota motrice e la velocità angolare della ruota condotta. Le ruote dentate possono essere immaginate come evoluzione delle ruote di frizione cui sono state applicate, come elementi aggiuntivi, le corone dentate. Le circonferenze primitive rappresentano le circonferenze esterne di contatto possedute da due ipotetiche ruote di frizione, funzionanti a pari rapporto di trasmissione. L intersezione delle superfici primitive con un piano perpendicolare all asse identifica due circonferenze tangenti, dette circonferenze primitive. Dividendo la circonferenza primitiva per il numero di denti z si ottiene la distanza fra due denti in forma di arco di primitiva tale distanza è detta passo primitivo. Dividendo il passo p per la costante π si ottiene il modulo m, espresso in millimetri e unificato secondo la norma UNI Due ruote dentate devono avere il medesimo modulo per potere ingranare fra loro in modo corretto. Proporzionamento delle ruote dentate a denti diritti Il proporzionamento è detto modulare in quanto ogni quota è derivata dal modulo. Si definiscono le grandezze che caratterizzano la geometria del dente e della ruota, fissandone le dimensioni in funzione del modulo. Esse sono: il rapporto di trasmissione i il rapporto d ingranaggio u il diametro di testa d a il diametro di piede o di fondo d f il diametro di base d b il diametro di troncatura esterna d e il diametro di troncatura interna d i la costa o faccia del dente il fianco del dente la superficie del dente l altezza del dente h l addendum h a il dedendum h f 1

2 la linea dei contatti o retta d azione la lunghezza d azione il polo di rotolamento o punto primitivo l angolo di pressione α la lunghezza della dentatura b lo spessore circolare s p lo spessore di base s b la radice. Cinematica dell ingranamento Il primo punto in cui avviene il contatto fra i profili dei denti è indicato con T 1, l ultimo punto è indicato con T 2. La fase di ingranamento è detta fase di accesso, la fase di distacco è detta fase di recesso. Durante il moto di ingranamento il punto di contatto T fra i due profili si muove lungo una linea immaginaria, detta linea dei contatti. L arco di primitiva percorso dal profilo, nel passare dal punto A di inizio accesso al punto A' di fine recesso, è detto arco d azione, suddiviso a sua volta in arco di accesso e arco di recesso. Affinché l ingranamento avvenga in modo regolare, occorre che le proiezioni delle due velocità v T1 e v T2 sulla normale comune n-n passante per il punto di contatto risultino uguali. Entrambe corrispondono alla velocità v T con cui il punto di contatto T trasla lungo la retta dei contatti nel corso dell ingranamento. La curva adottata per i fianchi dei denti è l evolvente di cerchio, una curva piana individuata da un punto P fisso su una retta r, vincolata a compiere un rotolamento puro su una circonferenza di riferimento, detta circonferenza di base, il cui raggio è indicato come r b. I profili a evolvente assolvono la funzione di profili coniugati in quanto, per tutti i punti in cui avviene il contatto, la normale comune ai due profili passa costantemente per il punto primitivo C di tangenza dei cerchi primitivi il segmento intercettato dagli estremi di contatto T 1 e T 2 sulla retta d azione è detto segmento dei contatti. Il profilo a evolvente garantisce sia l invariabilità del rapporto di trasmissione sia il moto uniforme del punto di contatto T lungo la tangente comune, nonché la costanza dell angolo di pressione. Ingranamento corretto Il punto di contatto non può sconfinare all interno del cerchio base, inoltre, il segmento dei contatti non può estendersi al di là del tratto delimitato fra i punti di tangenza N 1 e N 2 fra la retta dei contatti e i cerchi base. È tuttavia possibile avere il cerchio base esterno al cerchio di piede. Si definisce interferenza la condizione di contatto fra i profili in un punto esterno al segmento N 1 N 2 della linea d azione, con uno dei due denti che, durante l ingranamento, tende a penetrare all interno del profilo dell altro scavandolo in parte. I punti N 1 e N 2 sono anche detti limiti d interferenza. Il numero minimo di denti ammissibile per ottenere un ingranamento privo di interferenza all atto dell accoppiamento con una cremagliera vale z min = 17. 2

3 Proporzionamento delle ruote dentate cilindriche a denti elicoidali Negli ingranaggi cilindrici elicoidali i denti non sono paralleli all asse della ruota, ma si presentano inclinati di un angolo costante. I fianchi assumono l andamento a elica cilindrica. L ingranamento non avviene più in contemporanea su tutta la lunghezza del dente, bensì su una porzione che trasla lungo la superficie del dente da un estremità all altra. Nelle ruote elicoidali l arco di azione è pari alla somma dell arco di ri coprimento con l arco di primitiva, compreso fra il profilo del dente nelle due configurazioni estreme di inizio accesso e fine recesso. Si ottiene un maggior numero di coppie di denti in presa contemporanea, rispetto alle ruote a denti diritti. Ne derivano diversi vantaggi, quali la migliore distribuzione delle forze fra i denti, la maggiore coppia motrice trasmissibile a parità d ingombri, la progressività dell ingranamento e l elevata si lenziosità. L inclinazione della tangente all elica primitiva rispetto all asse ruota è detta angolo dell elica β. I valori usuali dell angolo dell elica β variano fra 15 e 30 per dentature di larghezza piccola, fra 5 e 15 per dentature larghe. Le grandezze fondamentali sono: il passo assiale p a il passo trasversale o circonferenziale p t il passo normale p n il modulo trasversale o circonferenziale m t il modulo normale m n il numero di denti ideale z id l angolo di pressione trasversale α t l angolo di pressione normale α n. Potenze e forze scambiate fra i denti in presa Una quota della potenza trasmessa attraverso i denti viene dispersa a causa degli attriti fra i profili coniugati. La differenza fra le velocità dei due denti nel loro punto di contatto è causa di un moto relativo di strisciamento, da cui deriva la presenza di forze di attrito, agenti lungo la tangente comune ai profili. L esigua entità delle perdite fa sì che il rendimento risulti complessivamente buono, dell ordine del 98 99%. Nelle ruote cilindriche a denti diritti la forza F è scomposta in due componenti, una radiale F e una tangenziale F. La forza F, moltiplicata per il raggio primitivo della ruota, costituisce il momento torcente r t t che viene trasmesso dall albero su cui la ruota è calettata. Nelle ruote cilindriche a denti elicoidali occorre dapprima eseguire la sezione N-N perpendicolare al dente e poi ribaltarla verso l alto: in tal modo si scompone la forza risultante F in due componenti, una F radiale e l altra F b r contenuta in un piano tangente ai cilindri primitivi. A sua volta la forza F è scomposta in una componente assiale F b a e in una tangenziale F t. La forza assiale si scarica lungo l albero su cui la ruota è calettata la componente F t è direttamente deducibile dal mo mento motore, in base alla consueta relazione: momento motore = forza tangenziale raggio primitivo 3

4 Calcolo strutturale della dentatura La metodologia di dimensionamento a fatica considera il dente come una mensola incastrata, quindi sottoposto a flessione dalla forza scambiata con il dente compagno per la durata del contatto. Risolvendo secondo la teoria della trave semplicemente incastrata a un estremo e caricata con la forza F sull estremo libero, si ottiene un equazione di equilibrio t alla flessione nell incastro, da cui si ricava il valore del modulo. Per il calcolo a fatica occorre definire il materiale, i valori del fattore di servizio, del coefficiente di forma y (noto come fattore di Lewis), ricavato in funzione dell angolo di pressione e del numero di denti,e infine del coefficiente di maggiorazione dinamica del carico X v, che tiene conto dell effetto della velocità periferica. Il metodo a fatica si presta sia per progetto sia per verifica. La metodologia di dimensionamento a usura si basa sulla teoria delle pressioni di contatto il contattofra le superfici dei denti non è puntiforme, bensì assume la forma di impronta. Lo scopo del metodo è di determinare a calcolo i carichi limite di contatto, per prevenire l usura. La verifica a usura consiste nella valutazione della pressione massima p amm ammissibile, il cui valore è proporzionale alla durezza superficiale e tiene conto sia del numero di giri della ruota sia del numero di ore di funzionamento previste. In base ai dati noti della ruota più sollecitata si ottiene la pressione p max. La verifica fornisce esito positivo se p max risulta inferiore a p amm. La progettazione a usura prevede una formula nella quale il modulo da calcolare è espresso in funzione del momento torcente corretto, applicato sulla ruota più piccola da progettare, della pressione ammissibile, del fattore di velocità f v, del coefficiente C, basato sul numero di denti e sul rapporto di ingranaggio, e sul coefficiente λ, relativo alla lunghezza del dente in funzione del modulo. I due metodi sono concettualmente validi anche per le ruote cilindriche a denti elicoidali e per le ruote coniche. Ruote dentate coniche Per lo studio dell ingranamento fra due ruote dentate coniche ci si riferisce a una coppia di ruote coniche di frizione: i coni primitivi delle ruote dentate corrispondono alle superfici coniche di contatto possedute da due ipotetiche ruote di frizione, aventi pari rapporto di trasmissione, che rotolano l una sull altra senza strisciare. I coni primitivi sono circoscrivibili da una sfera detta sfera fondamentale, di raggio R, il cui centro coincide con il vertice V dei coni. Le circonferenze primitive sono individuate come intersezione fra i coni primitivi e la sfera fondamentale: i loro diametri sono i diametri primitivi. Tracciando le tangenti alla sfera fondamentale, passanti per i punti delle due circonferenze primitive, si ottengono altri due coni, detti coni complementari. Sviluppando in piano la superficie laterale del cono complementare, si ottiene un settore circolare di raggio pari alla lunghezza della 4

5 generatrice del cono si chiude il settore circolare così da ottenere un cerchio intero, detto cerchio ideale, avente il numero di denti ideale z id. Così facendo, si è trasformata la ruota conica in una ruota cilindrica ideale, quindi tutte le considerazioni per le ruote cilindriche, comprese le procedure di calcolo del modulo a fatica e usura, risultano valide anche per la ruota conica. Ingranaggio a vite L ingranaggio a vite trasmette il moto fra assi sghembi ortogonali. La vite senza fine è l organo motore, la ruota elicoidale è l organo condotto. Il sistema è impiegato per ottenere elevati rapporti di trasmissione, anche dell ordine di La vite può essere a uno, due o tre principi. Il rapporto di trasmissione è pari al rapporto fra il numero dei denti della ruota e il numero dei principi della vite. Importante caratteristica è l irreversibilità del moto: il sistema non ammette il moto retrogrado, cioè, la ruota elicoidale non può fungere da organo motore. Sia nelle ruote dentate coniche sia nel sistema vite senza fine e ruota elicoidale, la risultante scambiata fra le superfici a contatto è scomponibile nelle componenti tangenziale, radiale e assiale. 5

6 PROBLEMI DI RIEPILOGO 1. Una ruota cilindrica a denti diritti ha 41 denti con modulo m = 2 mm. Calcolare l addendum h a, il dedendum h f, l altezza del dente h, il diametro primitivo d, il diametro di testa d a e il diametro di piede d f. 2. Ipotizzare una coppia di numeri di denti, per realizzare un ingranaggio moltiplicatore da n 1 = 1000 giri/min a n 2 = 3750 giri/ min. 3. Ipotizzare una coppia di numeri di denti, per realizzare un ingranaggio con rapporto di trasmissione i = 1, Una ruota dentata cilindrica a denti diritti, che ingrana con una cremagliera, ha 28 denti e un angolo di pressione α = 14 30'. Verificare che il numero di denti della ruota non sia inferiore al numero di denti minimo. 5. Calcolare il numero minimo di denti per una coppia di ruote cilindriche a denti diritti, aventi rapporto di ingranaggio u = 2, Una ruota condotta, a denti elicoidali, ha i seguenti dati: z = 68 m n = 2,5 mm α n = 20 β = 27,5. Calcolare il modulo trasversale, l angolo di pressione trasversale, il diametro primitivo, i diametri di testa e di piede, il diametro di base, l addendum e il dedendum. 7. Calcolare il rapporto di condotta e il rendimento per un ingranaggio formato da due ruote cilindriche a denti diritti, aventi 37 e 28 denti, con angolo di pressione di 20 e coefficiente di attrito f = 0, Calcolare le forze scambiate fra due ruote cilindriche a denti elicoidali, aventi i seguenti dati: z 1 = 62 m n = 3 mm α n = 20 β = 15 i = 0,8 momento motore M 1 = 500 Nm. 9. Progettare una coppia di ruote cilindriche a denti diritti con un rapporto di trasmissione i = 3,5, per una gru. La ruota 1 ha n 1 = 480 giri/min e trasmette la potenza P = 7,5 kw. Il servizio è intermittente, a pieno carico continuativo e con sovraccarichi del 100% prolungati e frequenti. 10. Dimensionare una coppia di ruote cilindriche a denti elicoidali, che trasmette il moto con un rapporto di trasmissione τ = 4. L angolo dell elica vale β = 23,56. Il momento motore su pignone vale M 1 = 255 Nm, con una frequenza di rotazione n 1 = 740 giri/min. Si prescrive l adozione di un acciaio da cementazione. 6

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