OROLOGIO A PENDOLO. La storia dell orologio meccanico di precisione comincia dalle oscillazioni di un lampadario del Duomo di Pisa.

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1 OROLOGIO A PENDOLO La storia dell orologio meccanico di precisione comincia dalle oscillazioni di un lampadario del Duomo di Pisa. Circa 430 anni fa viveva nella città di Pisa un giovane di grande ingegno, Galileo Galilei ( ), colui che doveva diventare uno dei più grandi scienziati dell umanità. Si racconta che un giorno del 1583, Galileo, mentre stava ascoltando la Messa nel Duomo della sua città, fosse distratto da una grossa lampada, la quale era appesa poco lontano da lui ad una lunga catena fissata alla volta. Qualcuno l aveva urtata e perciò essa oscillava lentamente avanti e indietro. Galileo, da acuto osservatore, si accorse che le oscillazioni, dapprima ampie poi via via più brevi, duravano sempre lo stesso tempo,ovvero si accorse che il periodo di oscillazione di un pendolo è indipendente dalla sua ampiezza. Galileo nel Duomo di Pisa che osserva la lampada In seguito Galileo completò le sue osservazioni con varie esperienze cercando di trovare le relazioni tra la lunghezza e il peso del pendolo e il suo periodo. In realtà, notò che tutti i pendoli della stessa lunghezza hanno oscillazioni della medesima durata; scoperse cioè che sono isòcrone (dal greco isos, uguale e chronos,tempo), ma un pendolo è strettamente isocrono soltanto se le sue oscillazioni sono di piccola ampiezza, come fu scoperto da Huygens pochi decenni più tardi. Nel corso dei secoli, l uomo, per misurare il tempo, aveva escogitato numerosi e vari sistemi: orologi solari, ad acqua, a sabbia, tutti ingegnosi ma poco pratici e poco precisi. Nei secoli XIV e XV apparvero i primi orologi meccanici da torre e poi anche portatili; erano però poco precisi e dovevano essere regolati continuamente. Galileo Galilei La scoperta delle leggi del pendolo permise invece di rendere sempre più precisi gli orologi. Molti anni più tardi, nel 1641, Galileo propose l'utilizzo del pendolo come meccanismo regolatore degli orologi, e ne abbozzò un progetto. Tuttavia, ormai vecchio e cieco, non riuscì a realizzarlo, e l'orologio a pendolo venne costruito solo nel 1656, dallo scienziato olandese Christian Huygens. Christian Huygens Già dall'anno successivo le botteghe orologiaie di tutta l'olanda esponevano in vetrina piccole meraviglie ispirate al meccanismo ideato dallo studioso. Questo primo modello però non soddisfaceva tutte le esigenze, a causa di un difetto fondamentale: non poteva essere usato in movimento, per esempio in mare. Huygens ci mise dieci anni a risolvere questo problema. Non perché la soluzione non fosse alla sua portata, quanto perché appena completato il suo orologio, si era immediatamente immerso in altri studi.

2 Isosincronismo del pendolo Galileo Galilei fu il primo ad accorgersi che la durata di ogni oscillazione di un pendolo semplice (cioè una massa attaccata tramite un filo ad un supporto fisso) è indipendente dall ampiezza dell oscillazione, purchè l ampiezza angolare sia piccola, ossia in pratica finchè l angolo massimo che il filo forma con la verticale non supera qualche grado, cioè sia <10. Quando il pendolo viene allontanato dalla posizione verticale e poi lasciato andare inizia ad oscillare perché la forza di gravità, agendo sulla massa appesa al filo, la richiama verso la posizione verticale del filo. Il moto di un pendolo semplice, nell'ipotesi di piccole oscillazioni, è armonico con periodo indipendente dalla massa oscillante e dall'ampiezza delle oscillazioni. Quindi tutte le oscillazioni di un pendolo semplice hanno la stesa durata. Osservando la formula del periodo del pendolo si ricava che: è indipendente dall'angolo ß Se facciamo oscillare un pendolo e misuriamo i tempi necessari per compiere un certo numero di oscillazioni complete, per esempio le prime 10, e poi il tempo per le successive 10, nonostante l'ampiezza diminuisca progressivamente, si trova che i due tempi sono uguali. ß è indipendente dalla massa Se sospendiamo palline di materiale diverso, per esempio una di ferro, una di legno, un'altra ancora di materiale diverso, a parità di lunghezza, si osserva che il periodo è sempre lo stesso.

3 è direttamente proporzionale alla radice quadrata della lunghezza Se facciamo oscillare alcuni pendoli di lunghezze diverse: ad esempio L 1 = 10 cm, L 2 = 40 cm, L 3 = 90 cm, cioè le lunghezze stanno tra loro come 1:4:9, si trova che il periodo del secondo pendolo è il doppio di quello del primo, mentre quello del terzo è il triplo. Quindi se si fanno oscillare simultaneamente i tre pendoli, si osserva che mentre il primo compie due oscillazioni complete, il secondo ne compie una e che, mentre il primo compie tre oscillazioni complete il terzo ne compie una. è inversamente proporzionale alla radice quadrata dell'accelerazione di gravità Ad esempio, a parità di lunghezza, un pendolo sulla Luna, dove l'accelerazione di gravità è circa 1/6 di quella sulla Terra, ha un periodo che è circa 2,5 volte quello di un pendolo di uguale lunghezza sulla Terra; sulla Luna cioè le oscillazioni sono più lente. Quindi se sulla Terra un pendolo ha un periodo di 1 s, sulla Luna un pendolo della stessa lunghezza ha un periodo di circa 2,5 secondi. Parti essenziali di un pendolo e suo funzionamento Il cuore dell'orologio è il pendolo, costituito da una barra di metallo o legno incernierata su un fulcro e con una massa collocata all'estremità libera. Poiché il periodo di oscillazione dipende dalla distanza tra il fulcro ed il baricentro del pendolo, la massa è in genere scorrevole lungo la barra, allo scopo di potere tarare lo strumento. La figura ci mostra le parti essenziali del pendolo applicato all orologio. a b c d e f g h asta del pendolo massa perno regolatore della massa lungo l asta fulcro asta della forchetta forchetta ruota di scappamento ancora Per convertire il moto alternato del pendolo in una rotazione regolare di ingranaggi, necessaria per ruotare le lancette, e contemporaneamente fornire al pendolo energia cinetica per compensare le perdite per attrito, sono stati inventati diversi meccanismi, chiamati scappamenti. Esistono vari tipi di scappamenti, ma in generale sono costituiti da una ruota dotata di speciali denti su cui si inserisce un meccanismo solidale all'asse del pendolo. La ruota è sottoposta ad

4 una coppia di forze trasmessa da una molla oppure da un rullo con una corda avvolta cui sia attaccato un peso. Il peso fa girare la ruota dentata (ruota di scappamento); sopra di essa oscilla una piastrina curva, detta àncora, munita di un uncino a ciascuna estremità. L àncora trattiene a piccoli intervalli la ruota di scappamento impedendo che questa, trascinata dal peso, giri troppo in fretta. La figura mostra l istante in cui l uncino di destra dell ancora è incastrato fra a i denti della ruota di scappamento. Questa per un istante si ferma, ma il peso continua a fare il suo lavoro costringendo così la ruota a respingere l uncino che l aveva bloccata. L uncino si solleva e l àncora oscilla trascinando nel suo movimento l asta del pendolo, alla quale è collegata per mezzo di una forchetta. Per un breve periodo di tempo la ruota di scappamento, libera, gira, ma fa solo in tempo aa far avanzare un dente, perché l uncino di sinistra, abbassandosi, la blocca di nuovo. La sequenza si ripete indefinitamente fino a quando è fornita energia dalla molla o dalla caduta del peso. Intanto, il pendolo trascinato dall àncora, continua a oscillare, ma ogni oscillazione del pendolo ha la stessa durata, così che la ruota dentata si muove a scatti regolari, sempre uguali. Il ruotismo dell orologio a pendolo Un misuratore meccanico del tempo è generalmente costituito da un treno di ingranaggi mossi da una forza trascinante ( peso, molla ecc. ), da un sistema di scappamento completo dell elemento di regolazione e da un congegno indicatore. Il treno di ingranaggi serve a trasmettere allo scappamento la forza necessaria a mantenere il regolatore in oscillazione, il congegno indicatore è un meccanismo tramite il quale si può leggere l ora. Cenno sulle ruote dentate Le ruote dentate sono organi meccanici molto diffusi e utilizzati per trasmettere il moto rotatorio tra alberi in modo da garantire la costanza del rapporto di trasmissione. La trasmissione del moto avviene tramite l ingranamento di denti a profilo coniugato attraverso cui viene trasmessa la coppia nominale da un albero all altro. La ruota dentata che imprime il moto, trascinando dietro di sé l altra, è detta motrice, o pignone, la ruota che viene trascinata, subendo l azione dell altra, è detta condotta. Le due principali categorie di ruote dentate sono le ruote dentate cilindriche a denti diritti e cilindriche a denti elicoidali (Figura 1). Nel primo caso i denti sono Fig. 1 - Ruote dentate cilindriche a denti diritti e a denti elicoidali paralleli all asse di rotazione, e la trattazione teorica risulta abbastanza semplice, nel secondo caso i denti risultano inclinati

5 rispetto all asse e, rispetto alle prime, garantiscono una minore rumorosità, a causa dell ingranamento più graduale, e una minore usura da contatto dei denti per la maggiore superficie di contatto offerta a parità di coppia scambiata. Per proporzionare una ruota dentata si fa riferimento ad una grandezza, detta modulo (m), attraverso la quale è possibile esprimere tutte le altre dimensioni caratteristiche della ruota mediante. Per quanto detto è evidente che la dimensione del modulo è una lunghezza, generalmente espressa in millimetri. La normativa nazionale UNI 6773 fa proprio riferimento al proporzionamento modulare per descrivere la costruzione geometrica di una ruota dentata. Il modulo è definito dal rapporto tra il diametro primitivo (d p ) e il numero di denti (z) della ruota: [mm] E necessario, ai fini del corretto ingranamento tra due ruote dentate, che esse abbiano lo stesso modulo. Solo in tale situazione è possibile ottenere denti ingrananti di dimensioni geometriche perfettamente coniugate. Questo rapporto ci fornisce anche indicazioni sulla robustezza del dente, infatti più è grande m, per uno stesso numero di denti, più è grande il diametro della ruota. Ai fini pratici per costruire una ruota dentata con Z compreso fra 10 e 100 e quindi per calcolarne il diametro, si usa questa formula: Diametro( in mm ) = m(z+1) Per pignoni di 6 denti, l esperienza consiglia di sostituire il fattore (Z+1) con (Z+2); per pignoni di 8 denti con (Z+1,5). Nella costruzione di ruote dentate in legno è opportuno usare valori di m compresi tra 1,25 e 2 e uno spessore variabile da 5 a 10 mm, a seconda della qualità dell essenza impiegata. Il rapporto di trasmissione può pertanto essere espresso come il rapporto il rapporto fra la velocità angolare della ruota condotta e quella della ruota motrice: dove:

6 i termini con pedice 1 si riferiscono alla ruota conduttrice i termini con pedice 2 alla ruota condotta z numero di denti presenti sulla ruota d p diametro primitivo della ruota v = ωr p ω = v/r p ω velocità angolare della ruota ω = 2πn/60 Ruote dentate accoppiate Accoppiando ovvero ingranando la ruota R 1 con la ruota R 2 di uguale modulo, come indicato nell esempio della fig. 1 e trasmettendo il moto di rotazione dalla R 1 (ruota motrice) verso la R 2 (ruota condotta), la ruota R 2 si muoverà in senso contrario a quello della R 1 ed il suo asse A 2 farà un numero di giri pari al rapporto fra il numero dei denti della ruota R 1 e il numero dei denti della ruota R 2, ovvero: Numero di giri asse A 2 = Z R1 :Z R2 Se ad esempio Z R1 = 15 e Z R2 = 30 Numero di giri asse A 2 sarà 1/2 del numero di giri di A 1 Perciò se la ruota R 1 fa un giro, la ruota R 2 fa mezzo giro. Il discorso può essere fatto al contrario muovendo la ruota R 2 : se la ruota R 2 ( asse A 2 ) fa un giro, la ruota R 1 ( asse A 1 ) farà 2 giri. Ruote di quadratura e il treno del tempo Fatte le dovute considerazioni dei paragrafi precedenti, per calcolare il treno di ruote necessario ad azionare lo scappamento di un orologio, occorre porre una condizione ovvia quanto indispensabile per procedere nel ragionamento: l asse della lancetta indicatrice delle ore farà un giro completo in 12 ore, mentre l asse della lancetta dei minuti farà lo stesso itinerario in un ora. Questa condizione viene abitualmente definita Quadratura.

7 Tornando su quanto detto sulle ruote dentate accoppiate, cerchiamo di verificare se la condizione di quadratura viene soddisfatta dalle ruote della fig.2. L asse motore A 1 ruotando in senso antiorario, trascina la ruota R 1 di 15 denti e la ruota R 1/2 di 4 denti. Per un giro completo dell asse A 1, anche la ruota R 1 e R 1/2 faranno un identico movimento; ma R 1 ingrana con R 2, pertanto R 2 (ruota trascinata) farà un numero di giri pari al rapporto tra il numero dei denti della ruota R 1 e quello della R 2 (15 : 30) = 0,5 ; ovvero mezzo giro in senso orario. Poiché sull asse A 2 è calettata la lancetta dei minuti, affinché la stessa faccia un giro completo ( 60 minuti ), l asse motore A 1 dovrà farne due. Vediamo ora cosa succede alla ruota R 3 sull asse A 3 portante la lancetta delle ore. R 3 di 96 denti è trascinata da R 1/2 di 4 denti, per cui applicando quanto già detto si ottiene: (4 : 96) = 0, = 1/24 il che equivale a dire che la ruota R 3 si sposta di 1/24 di giro in senso orario per un giro completo di R 1/2. Dato che il quadrante delle ore è diviso in 12 parti e quindi ad ogni ora corrisponde 1/12 dello stesso e poiché 1/12 è uguale a 2/24. L asse motore A 1 nel fare 2 giri ogni ora, soddisfa la condizione di quadratura, infatti fa compiere un giro completo alla lancetta dei minuti mentre a quella delle ore 1/12 di giro. Per far compiere nel modo più preciso possibile due giri ogni ora all asse A 1 bisogna dimensionare il treno del tempo e lo scappamento. Certamente la quadratura si può ottenere con rapporti di ruote diversi, ma la scelta fatta soddisfa non solo condizioni puramente meccaniche; ma anche estetiche e dimensionali. Non per nulla, per queste ruote, è stato scelto un modulo di 1,25. Per dare forma al treno del tempo, ovvero all insieme delle ruote necessario a fornire energia allo scappamento, partiamo dall asse motore A 1 che come già detto nel nostro caso dovrà fare 2 giri

8 ogni ora. Applichiamo quindi su di esso la forza necessaria a farlo ruotare in senso antiorario. Questa forza viene fornita al sistema mediante una corda che la trasmette per attrito al tamburo T solidale con l asse A 1 e la ruota R 1/3. La corda è tenuta in tensione dal peso motore P e dal contropeso P 1, come indicato nella fig.3. Concentriamo la nostra attenzione su R 1/3 di 90 denti ed il pignone R 4 di 6 denti, entrambi di modulo 1,5. Ogni 2 giri di R 1/3 la R 4 ne compirà 30 ; di conseguenza la ruota di scappamento Rs farà 30 giri ogni ora. A questo punto, aggiungiamo una semplice considerazione : se in un ora ci sono 60 minuti la ruota di scappamento Rs dovrà fare una rotazione completa ogni 2 minuti. Il compito di regolare esattamente questo tempo di rotazione della Rs verrà affidato ad altri organi oltre alla Rs stessa, dei quali parleremo diffusamente in seguito. Sarà invece opportuno disquisire sul tempo di carica o di funzionamento e sugli elementi da cui è condizionato. Considerando che l orologio deve avere almeno 24 ore di autonomia di carica e poiché la corda a cui è appesa la massa trascinante P (peso motore) muove per attrito il tamburo T agendo sulla sua superficie esterna, la formula che esprime il tempo di funzionamento t f sarà la seguente: dove L è l altezza dell asse del tamburo T dal piano di calpestio a cui è stato tolto l ingombro del peso motore P, D T è il diametro del tamburo T, n hr è il numero di ore di funzionamento per ogni rotazione completa di T e/o di R 1/3.

9 Scegliendo per D T il valore di 2 cm, n hr è noto, ovvero 0,5 ore per giro, l altezza a cui in genere si appende un orologio è di circa 210 cm per cui il centro del tamburo T viene a trovarsi 30 cm più in basso. L quindi, sarà di 180 cm. Sostituendo i valori sopraindicati nella formula precedente, t f risulterà di circa 14 ore. Con l aiuto di due carrucole si raddoppia la lunghezza della corda, portando di conseguenza il tempo di funzionamento a 24 ore, come ci si era prefissi. Nella fig.4, compaiono altri due componenti: il tamburo T 1 e il cricco di arresto K. Il tamburo T 1 ha una funzione importantissima perché permette di caricare l orologio senza influenzare il treno del tempo, quindi senza turbare attraverso lo scappamento il moto del pendolo, garantendo la massima precisione.

10 Infatti, poiché peso e contropeso sono applicati per mezzo delle carrucole Cp e Cp 1, tirando verso il basso la corda come indicato nella fig.4, il tamburo T 1 ruota facendo salire il peso trascinante P, lasciando inalterata la forza applicata sul tamburo T del treno del tempo. Il cricco di arresto K funziona per gravità, sollevandosi quando si fa girare il tamburo T 1 mediante trazione della corda. Quando la trazione per la carica cessa, il cricco ricade in posizione e blocca T 1. Lo scappamento Il sistema di scappamento scelto è del tipo con ruota a caviglie o pioli e ancora a rinculo; il regolatore è un pendolo sospeso. Il tutto è di semplice costruzione, di notevole precisione e affidabilità. L elemento base nella costruzione del sistema scappamento è il regolatore del tempo, ovvero quel componente che per le sue caratteristiche fisiche compie un moto periodico chiamato, nel caso del pendolo, oscillazione. Questa oscillazione, se di piccola ampiezza, risulta costante; ma nel

11 tempo tende ad esaurirsi per gli attriti che il sistema pendolo (braccio, massa, punto di sospensione) incontra durante il suo funzionamento. Quindi una volta fornito l impulso, per mantenere il pendolo in oscillazione, basterà fornire costantemente quel tanto di energia che il sistema perde per attrito. Il compito di fornire questa energia è affidato alla ruota di scappamento Rs che mossa dalla R 1/3 a cui è applicato il peso motore, imprime alle palette dell ancora A un impulso trasmesso al pendolo mediante la leva L, come rappresentato dalla fig. 5. Il pendolo è un regolatore eccellente perché il suo periodo è indipendente dalla massa M, dipende esclusivamente dalla lunghezza del braccio l e dalla forza di gravità. Infatti, il tempo espresso in secondi, che impiega il pendolo per compiere una oscillazione è dato dalla seguente formula: dove l è la lunghezza del braccio espressa in metri e g è l accelerazione di gravità espressa in m/s². A Roma, ma in genere in Italia g vale 9,804 m/s². Tornando a quanto detto nel paragrafo le ruote di quadratura e il treno del tempo se la ruota di scappamento Rs dovrà fare una rotazione completa ogni due minuti, possiamo stabilire il numero di pioli o caviglie necessari a dare altrettanti impulsi al pendolo per mantenerlo in oscillazione. Di conseguenza, conoscere il periodo t e calcolare la lunghezza del braccio l. Se poniamo il numero di caviglie della ruota di scappamento nc Rs = 60 (in modo di avere un organo di dimensioni contenute) e chiamiamo t Rs il tempo impiegato da quest ultima per compiere una rotazione completa, il periodo di oscillazione del pendolo del Simplex Regulator sarà: dove t Rs = 120 s e nc Rs = 60; per cui t = 2 s. t = t Rs /nc Rs Risolvendo rispetto ad l la formula sopra esposta che definisce il periodo t, si ha: dove t = 2 s e g = 9,804 m/s² e π = 3,14. Pertanto la lunghezza del nostro pendolo sarà di 0,994 m. Questo è il calcolo, in pratica la regolazione fine del periodo di oscillazione si ottiene operando piccoli spostamenti della massa M verso l alto se l orologio ritarda, verso il basso se anticipa.