Intorno al teorema di densità di Lebesgue (e su alcuni insiemi di misura nulla forse non del tutto trascurabili).

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1 Intorno al teorema di densità di Lebesgue (e su alcuni insiemi di misura nulla forse non del tutto trascurabili). A. Andretta 1 C. Costantini 1 R. Camerlo 2 1 Dipartimento di Matematica Università di Torino 2 Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino Torino 10 marzo 2014 Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35 Il teorema di densità di Lebesgue Il teorema fondamentale del calcolo integrale Se f : [0; 1] R è continua, allora Il teorema di densità di Lebesgue 1 x+ε f(x) = lim f(t) dt. ε 0 2ε x ε Se f : [0; 1] R è Lebesgue integrabile, allora 1 x+ε f(x) = lim f(t) dt ε 0 2ε x ε quasi ovunque. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35

2 Il teorema di densità di Lebesgue Se A R è Lebesgue misurabile e λ è la misura di Lebesgue su R D A (x) = lim ε 0 λ(a (x ε; x + ε)) 2ε Φ(A) = {x R D A (x) = 1}. Se nel Teorema di Lebesgue f = χ A è la funzione caratteristica di un insieme Lebesgue misurabile A χ A (x) = D A (x) quasi ovunque e Φ(A) è Lebesgue misurabile e λ(φ(a) A) = 0. Queste definizioni valgono in contesto più generale... Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35 Scopo del seminario di oggi... Provare a rispondere a qualche domanda tipo: In quali spazi e per quali misure vale il Teorema di densità di Lebesgue? (R n, 2 N,... ) Qual è la complessità topologica di Φ(A)? (aperto, chiuso, Borel,... ) Qual è il range di D A? ({0, 1}, [0; 1],... ) Quanto dipende dalla metrica il computo di D A e Φ(A)? Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35

3 Un po di notazione in teoria della misura µ: S [0; ] una misura su X, dove S una σ-algebra su X. Meas µ la σ-algebra dei µ-misurabili, Null µ = {A X A Meas µ µ(a) = 0}, µ è completa se A Null B A [B Null], µ è non singolare se µ({x}) = 0 per ogni x X, A µ B se e solo se A \ B Null, A = µ B se e solo se A µ B e B µ A, Malg = Meas/Null = Meas/= µ. Malg è un algebra di Boole: [A] [B] = [A B], [A] [B] = [A B], [A] = [X \ A]. Infatti è un algebra di Boole completa, cioè sup X e inf X esistono per tutti gli X Malg. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35 Misure Boreliane Se X è uno spazio topologico, Bor(X) la σ-algebra dei Boreliani di X. Una misura Boreliana è una misura µ definita su Bor(X); il suo supporto è supt(µ) = X \ {U U aperto e µ(u) = 0}. Se (X, d) è metrico, una misura di Radon è una misura Boreliana tale che µ(b(x; ε)) < per ogni x X e ogni ε sufficientemente piccolo. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35

4 Spazi Polacchi Definizione X spazio topologico è Polacco se è separabile e completamente metrizzabile, cioè c è una metrica completa che induce la topologia di X. Esempi Z, R n, (0; 1), (0; 1], spazi di Banach separabili,... Se X è Polacco, Malg(X) è uno spazio Polacco. Se X, Y sono Polacchi e privi di punti isolati, allora Malg(X) = Malg(Y ). Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35 Prodotto di spazi Polacchi Se X n è Polacco (n N), allora n X n è Polacco. Dimostrazione. Fisso d n 1 metrica completa su X n e pongo d( x, y) = n d n(x n, y n ) 2 n 1. Se D n = {d n,i i N} è denso in X n, allora { x i N n N [x n = d n,i ]} è denso in n X n. In particolare se diamo a 2 = {0, 1} la topologia discreta, lo spazio di Cantor 2 N di tutte le x: N 2 è Polacco. Un aperto di base è della forma def N s = {x 2 N s x}. dove s 2 <N è una sequenza finita. La distanza è d(x, y) = 2 n, se n è minimo tale che x(n) y(n). È un ultrametrica, cioè d(x, z) max(d(x, y), d(y, z)) e gli N s sono chiusi-aperti, quindi 2 N è totalmente sconnesso. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35

5 Lo spazio di Cantor Per esempio se s = 010, allora N s = {x 2 N s x} è Il diametro di N s è 2 lh s. { x 2 N x è definitivamente costante } è denso e numerabile. 2 N è, a meno di omeomorfismo, l unico spazio compatto, metrico, privo di punti isolati, totalmente sconnesso. Se invece dell albero binario completo avessimo preso un albero ternario, o un albero finite branching avremmo ottenuto lo stesso spazio. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35 Insiemi di Cantor in R K R intervallo chiuso, I intervallo aperto totalmente contenuto in K. K \ I si spezza in due sottointervalli chiusi K 0 < K 1. Ripetendo questa operazione si ottengono intervalli chiusi K s contenenti intervalli aperti I s per s 2 <N. Quindi s < lex t K s < K t e K = K \ = n s 2 <N I s lh(s)=n K s. è compatto e non vuoto. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35

6 Insiemi di Cantor in R Se allora K ha interno vuoto e H K : 2 N K ( ) x 2 N lim K x n = 0, n H K (x) = l unico elemento di n K x n è un omeomorfismo. La costruzione di Cantor K s s 2 <N è centrata se gli I s sono centrati in K s ; uniforme se I s = I t per lh s = lh t; ha ragione r se I s = r K s per ogni s. Se la costruzione è centrata, K = 2 N. E 1/3 è l insieme di Cantor centrato di ragione 1/3. Se la costruzione è centrata e di ragione fissata r, allora λ(k) = 0. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35 Insiemi di Cantor in R È possibile costruire insiemi di Cantor in R (eventualmente centrati e/o uniformi) di misura positiva. Un K R compatto, più che numerabile, privo di interno e privo di punti isolati è omeomorfo a 2 N. Dimostrazione. Siano a = min K, b = max K. Allora [a; b] \ K è unione di intervalli aperti disgiunti, e sia I la famiglia di questi intervalli: (I, <) è un ordine lineare numerabile denso senza primo o ultimo elemento, e per un teorema di Cantor è isomorfo a (2 <N, ), dove per ogni s s 0 s s 1. A partire da questo isomorfismo si definisce la costruzione di Cantor per K. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35

7 Insiemi di Cantor in spazi Polacchi Teorema (Cantor, Bendixson, Alexandroff) Se X è Polacco e più che numerabile e B X è Borel, allora B contiene un sottoinsieme chiuso omeomorfo a 2 N, oppure B è numerabile. Se µ è una misura di Radon su uno spazio Polacco X, allora µ(b) = sup {µ(k) K compatto B} Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35 Misure su 2 N La misura µ C su 2 N è definita da µ C (N s ) = 2 lh s 1 1/2 1/4 1/8 Più in generale, una misura su 2 N è data da una mappa w : 2 <N [0; M] tale che w(s) = µ(n s ). Le proprietà cruciali sono w( ) = M w(s 0) + w(s 1) = w(s). Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35

8 Generalizziamo la definizioni precedenti... Consideriamo (X, d, µ) con (X, d) spazio metrico, µ una misura di Radon a supporto pieno (cioè Boreliana e tale che 0 < µ(b(x; ε)) < per ogni x X e ogni ε sufficientemente piccolo). Per x X e A misurabile definiamo D + A D A (x) = lim sup ε 0 (x) = lim inf ε 0 µ (A B(x; ε)) µ (B(x; ε)) µ (A B(x; ε)) µ (B(x; ε)) D A (x) = lim ε 0 µ (A B(x; ε)) µ (B(x; ε)) Φ(A) = {x X D A (x) = 1}. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35 Spazi DPP Definizione (X, d, µ) soddisfa la Density Point Property (DPP) se per ogni A µ-misurabile. Problema Quali (X, d, µ) sono DPP, cioè soddisfano l analogo del teorema di densità di Lebesgue? R n e µ di Radon a supporto pieno, lo spazio di Cantor 2 N con la misura µ C, Più in generale ogni spazio Polacco ultrametrico con misura di Radon [Mil08]. La metrica gioca un ruolo cruciale nello studio della densità! Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35

9 Proprietà di Φ Se A, B, A i sono misurabili: 1 Φ(A) è Borel 2 A µ B Φ(A) Φ(B) 3 Φ(A B) = Φ(A) Φ(B) 4 se N Null allora Φ(N) = e Φ(X \ N) = X 5 Φ( A) Φ(A) 6 Φ(A B) Φ(A) Φ(B) e Φ( i I A i) i I Φ(A i), se i I A i Meas 7 Φ(U) U, per U aperto e Φ(C) C, per C chiuso 8 Φ(C 1 C 2 ) = Φ(C 1 ) Φ(C 2 ), se C 1, C 2 sono chiusi disgiunti. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35 Gerarchia Boreliana Un sottoinsieme B di uno spazio Polacco è F σ o Σ 0 2 se B = n C n, con C n chiuso, G δ o Π 0 2 se è il complemento di un F σ, cioè B = n U n, con U n aperto, G δσ o Σ 0 3 se B = n G n, con G n Π 0 2, F σδ o Π 0 3 se è il complemento di un G δσ, cioè B = n F n, con F n F σ, Σ 0 α = unioni numerabili di insiemi che sono Π 0 β Π 0 α = intersezioni numerabili di insiemi che sono Σ 0 β con β < α; con β < α. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35

10 Complessità di Φ(A) In R n con la misura di Lebesgue e la distanza solita, oppure 2 N con µ C e distanza solita, Φ(A) Π 0 3. Teorema ([AC13]) Se K 2 N è un compatto di misura positiva e privo di interno, allora Φ(K) Π 0 3 \ Σ 0 3. Corollario ([AC13]) { [A] Malg Φ(A) Π 0 3 \ Σ 0 } 3 è comagro in Malg. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35 Qualche estensione Una misura di Bernoulli di tipo p è una misura su 2 N definita da una w : 2 <N [0; 1] tale che w( ) = 1 e per ogni s w(s 0) = w(s) p oppure w(s 1) = w(s) p Teorema (G. Carotenuto) Se K 2 N è un compatto di misura positiva e privo di interno, e se utilizziamo una misura di Bernoulli di tipo p, allora Φ(K) Π 0 3 \ Σ 0 3. Teorema (G. Carotenuto) Se K R è un insieme di Cantor simmetrico, uniforme e di misura positiva, allora Φ(K) Π 0 3 \ Σ 0 3. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35

11 Proprietà di Φ per spazi DPP 1 T = {A X A Φ(A)} è una topologia, la topologia della densità su X, 2 ˆΦ: Malg Meas è un selettore, cioè ˆΦ([A]) = Φ(A) [A], T è più fine della topologia indotta da d, A = Φ(A) se e solo se A un aperto regolare di T, cioè A = Int T Cl T A, Φ: Meas Meas non è un omomorfismo! Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35 Spazi non DPP Teorema (Käenmäki-Rajala-Suomala [KRS]) C è una metrica completa d su 2 N compatibile con la topologia standard, una misura µ di Radon pienamente supportata ed un compatto K di misura positiva tali che Φ(K) =. Quindi il teorema di densità di Lebesgue non vale nello spazio (2 N, d, µ). La metrica d non può essere un ultrametrica. Teorema Per ogni spazio Polacco (X, d) più che numerabile e per ogni misura di Radon a supporto pieno µ, c è una metrica compatibile d e un compatto K di misura positiva tali che Φ(K) =. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35

12 Oscillazione Sia (X, d, µ) DPP. L oscillazione di x in A è O A (x) = D + A (x) D A (x). Quindi D A (x) esiste se e solo se O A (x) = 0. Definizione A è solido se O A (x) = 0 per tutti gli x X. A è quasi-dualistico se O A (x) = 0 D A (x) {0, 1} per tutti gli x X. A è dualistico se è solido e quasi-dualistico. Esempi Un intervallo è solido: i punti interni hanno densità 1, quelli esterni 0, gli estremi 1/2. Ogni chiuso-aperto è dualistico. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35 Proprietà elementari (R, T) non è metrizzabile o separabile. A X è dualistico e non banale se e solo se A è chiuso-aperto in (X, T). (R, T) è connesso. (R 2, T) non è connesso. Se A è chiuso-aperto allora A è dualistico. Gli insiemi solidi (o i dualistici) formano un algebra di Boole. Proposizione Se X R è dualistico, allora X Null oppure R \ X Null. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35

13 Punti eccezionali in R Definizione x R è δ-eccezionale per A con 0 δ 1/2 se e solo se δ D A (x) D + A (x) 1 δ. Quindi x è δ-eccezionale per A se D A (x) esiste e appartiene a [δ; 1 δ], oppure se D A (x) non esiste e tuttavia O A (x) 1 2δ. Gli estremi di un intervallo sono 1/2-eccezionali, gli altri punti sono 0-eccezionali. (Un A è non banale se 0 < µ(a) <.) Abbreviamo con H(δ) l affermazione: A non banale x (x è δ-eccezionale per A). Se δ 1 > δ 2 allora H(δ 1 ) H(δ 2 ), quindi definiamo δ H = sup {δ H(δ) vale}. Quindi, se c è giustizia al mondo, δ H = 1/2... Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35 Non c è giustizia al mondo! V. Kolyada [Kol83] dimostrò che 1/4 δ H ( 17 3)/4. Questi estimi sono stati migliorati in [Sze11, CGO12], e in [Kur12] il valore esatto di δ H è stato stabilito: δ H = l unica radice reale di 8x 3 + 8x 2 + x 1 0, Quindi ci sono insiemi A R tali che ran(d A ) (δ H ; 1 δ H ) = ; in altre parole, per ogni x R O A (x) > 1 2δ H oppure D A (x) [0; δ H ] [1 δ H ; 1]. In particolare, c è un A che non ha punti di densità 1/2. Problema È possibile avere un A R solido tale che D A (x) [0; δ H ] [1 δ H ; 1]? Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35

14 Solidità in R n Teorema Se A R n è solido, allora D A (x) = 1/2 per qualche x R n. Quindi il teorema di Kolyada Kurka riguarda gli insiemi non solidi. Proposizione Se A R n è solido, allora Φ(A) è Π 0 2, cioè G δ. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35 La funzione D Fissato (X, d, µ) e A X, D A : X [0; 1] è una funzione parziale Boreliana. ran(d A ) in generale non è Boreliano, è un insieme analitico, cioè è l immagine di un Boreliano mediante una funzione Boreliana. In uno spazio Polacco Y... Σ 1 1 è la notazione usata dai logici per indicare gli insiemi analitici, il complemento di un insieme analitico si dice coanalitico, ovvero Π 1 1, un insieme che sia analitico e coanalitico è lo si indica con 1 1, e per un teorema di Lusin 1 1 =Borel, gli insiemi Σ 1 1 (e quindi i Π 1 1) sono µ-misurabili per ogni misura Boreliana su Y. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35

15 Il valore della funzione D in R Teorema C è un compatto K non banale e solido di R n tale che ran(d K ) = [0; 1]. Il valore 1/2 è ottenuto infinite volte. Il compatto K può essere sostituito da un aperto U. Teorema Per ogni S (0; 1) come sotto, c è un compatto K R non banale e solido tale che ran(d K ) = S {0, 1/2, 1}: S = Q [0; 1], S un insieme numerabile, S un chiuso, S un aperto. Problema Caratterizzare i possibili valori di ran(d A ). Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35 Alcuni teoremi Proposizione C è un sottoinsieme di R quasi-dualistico ma non solido. Teorema C è un compatto K non banale (ma non solido) di R tale r [0; 1]!x R (D K (x) = r). A un certo punto eravamo convinti di aver dimostrato quanto sopra, ma non avendo scritto la dimostrazione, non possiamo mettere la mano sul fuoco. Questo è il motivo per la presenza di Bart Simpson. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35

16 Complessità di D in 2 N e qualche congettura in R Teorema Se S (0; 1) è Σ 1 1 allora c è un compatto (solido) K 2 N tale che ran(d K ) = S {0, 1}. Congetture Se S (0; 1) è analitico, allora c è un compatto K R n tale che ran(d K ) = S {0, 1}. Se S (0; 1) è analitico, allora c è un compatto solido K R n tale che ran(d K ) = S {0, 1}. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35 Spingendoci più in alto... L iperspazio K(2 N ) dei compatti (=chiusi) di 2 N con la metrica di Hausdorff è uno spazio Polacco. (Gli spazi K(2 N ) \ { } e 2 N sono omeomorfi.) Definizione A X Polacco è Σ 1 2 se è immagine di un Π 1 1 (=coanalitico) mediante una funzione Boreliana. Il complementare di un Σ 1 2 si dice Π 1 2. La terminologia moderna (logica) è molto meglio di quella classica: Σ 1 2 = PCA Π 1 2 = CPCA Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35

17 Complessità di D in 2 N Teorema { K K(2 N ) K è (quasi-)dualistico } è Π 1 1 \ Σ 1 1. In altre parole: è coanalitico ma non Borel. Teorema { K K(2 N ) ran D K = [0; 1] } è Σ 1 2 \ Π 1 2. In altre parole: è Σ 1 2, ma non più semplice. Congettura Risultati analoghi dovrebbero valere in R n. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35 Alessandro Andretta, and Riccardo Camerlo The descriptive set theory of the Lebesgue density theorem. Adv. Math., , Marianna Csörnyei, Jack Grahl, and Toby C O neil. Points of middle density in the real line. Real Anal. Exchange, 37(2): , Antti Käenmäki, Tapio Rajala, and Ville Suomala. Local homogeneity and dimensions of measures in doubling metric spaces. V. I. Kolyada. On the metric Darboux property. Anal. Math., 9(4): , Ondřej Kurka. Optimal quality of exceptional points for the lebesgue density theorem. Acta Math. Hungar., 134 (3) (2012), , Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35

18 Benjamin Miller. The existence of measures of a given cocycle. I. Atomless, ergodic σ-finite measures. Ergodic Theory Dynam. Systems, 28(5): , András Szenes. Exceptional points for Lebesgue s density theorem on the real line. Adv. Math., 226(1): , Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità / 35