Un Introduzione alla Teoria della Misura

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1 Un Introduzione alla Teoria della Misura Premessa v Ho scritto queste note durante la preparazione delle lezioni aggiuntive di Teoria della Misura per gli studenti della Laurea Magistrale alla SISSA di Trieste, perché mi sono accorto che a furia di raccogliere risultati da fonti diverse finivo spesso per non dimostrare qualche risultato intermedio necessario nel seguito. Alla fine, naturalmente, non c è stato tempo per affrontare tutti gli argomenti a lezione (pur rinunciando in partenza a ridimostrare in classe tutte le proprietà di misure esterne e funzioni integrali che ripetono passo passo gli argomenti usati usualmente in Analisi 2 per la misura di Lebesgue), però ho trovato utile avere tutti i risultati che richiamavo raccolti in un unico testo. quindi ecco le note a disposizione per chiunque sia interessato. Purtroppo alcuni argomenti importanti non compaiono, nonostante la loro importanza, perché non c è stato proprio tempo di affrontarli nel mio breve corso (ad esempio le misure prodotto ed il teorema di Fubini, o la teoria delle funzioni assolutamente continue). Spero di avere occasione di aggiungere almeno questi argomenti in futuro, in modo da coprire gli aspetti basilari della teoria. In ogni caso, anche con qualche aggiunta, queste note possono al massimo ambire a mostrare la sommità di quell iceberg che è la teoria della misura: non viene sviluppata la teoria degli spazi L p (perché trattati in un altro corso); non vengono esposte le proprietà aggiuntive delle misure di probabilità (soprattutto se definite su spazi polacchi); non vi trovano spazio né le misure di Hausdorff né la teoria geometrica della misura; c è solo un vago accenno alle misure a valori vettoriali (limitato al caso di misure a valori in R d e quindi senza definire l integrale di Bochner); non vengono approfonditi gli altri tipi di integrazione che si possono introdurre su R (come ad esempio l integrale di Lebesgue Stieltjes); non trovano spazio i teoremi di disintegrazione delle misure su classi di equivalenza; non viene neppure menzionata la teoria del trasporto ottimo (che pure si formula essenzialmente in termini di misure); ecc. Lo spazio per ulteriori approfondimenti da parte degli studenti interessati è dunque ampio, ma spero che qualcuno possa trovare in queste note un punto di partenza per future esplorazioni. Concludo questa breve introduzione ringraziando le innumerevoli fonti da cui ho tratto argomenti ed idee per queste note: innanzi tutto gli incredibilmente 1

2 completi libri di Fremlin [5, 6], da cui ho copiato la struttura delle Sezioni e buona parte dei risultati (anche se non sempre le dimostrazioni, visto che spesso il corso non necessitava la completa generalità con cui gli argomenti sono ivi trattati); poi gli ormai classici libri di Cohn [2], Rudin [8] e Folland [4] da ciascuno dei quali ho tratto specifiche parti e risultati; e infine i libri di Ambrosio, Fusco e Pallara [1], vans e Gariepy [3] e Stroock [10] da cui ho tratto alcune idee e tecniche che mi hanno permesso di semplificare specifiche dimostrazioni. Inoltre, in tutte le Sezioni aleggiano le dimostrazioni che ho imparato durante i corsi tenuti all Università Cattolica di Brescia dal prof. Marco Degiovanni (alle cui dispense mi sono rifatto per alcuni argomenti qui presentati, come ad esempio la dimostrazione del Teorema di Lusin nel caso reale) e la Sezione sui Teoremi di Rappresentazione di Riesz sarebbe stata decisamente meno completa senza alcuni brillanti suggerimenti del prof. Gianni Dal Maso (tra cui, ad esempio, l argomento usato nella dimostrazione del Teorema 13.20). Probabilmente ho anche aggiunto alcuni errori rispetto al materiale originale (spero pochi). In questo caso naturalmente la colpa è tutta mia, quindi vi prego di segnalarmi qualunque omissione od errore possiate trovare. Infine, vi prego di notare che questo materiale è coperto da licenza copyleft. Quindi potete usarne delle parti, se volete, ma dovete menzionarne l origine e seguire le altre (poche) condizioni dettate dalla licenza (maggiori dettagli qui sotto). F. S. P. 05/12/2010 c 2010 Fabio Simone Priuli Distribuzione Creative Commons Tu sei libero di riprodurre, stampare, inoltrare via mail, fotocopiare, distribuire questa opera alle seguenti condizioni: Attribuzione: devi attribuire la paternità dell opera nei modi indicati dall autore o da chi ti ha dato l opera in licenza, Non commerciale: non puoi usare quest opera per fini commerciali, Condividi allo stesso modo: Se alteri o trasformi quest opera, o se la usi per crearne un altra, puoi distribuire l opera risultante solo con una licenza identica o equivalente a questa. (Licenza Creative Commons - Attribution Non-Commercial Share Alike 3.0 Testo completo: 2

3 Indice Notazioni e preliminari Algebre di insiemi Misure e spazi di misura Misure esterne Misura di Lebesgue Insieme di Vitali Insieme di Cantor e funzione di Cantor Vitali Funzioni misurabili Integrazione Spazi L p Funzionali additivi Teorema di Radon Nikodym Misure di Radon Teoremi di rappresentazione di Riesz Bibliografia Soluzioni agli esercizi

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5 Notazioni e preliminari Per cominciare, in questa sezione raccogliamo alcune nozioni di base e notazioni che verranno usate continuamente nel seguito. Dato un insieme X, denotiamo con P(X) l insieme costituito dai sottoinsiemi di X, i.e. P(X) = 2 X = {Y ; Y X}. Dati A, B P(X), definiamo unione, intersezione, differenza and differenza simmetrica di A e B come segue A B = {x X ; x A o x B}, A B = {x X ; x A e x B}, A \ B = {x X ; x A e x / B}, A B = (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B). Data un famiglia di insiemi in P(X) {Y α ; α A}, per un qualche insieme di indici A, diremo che la famiglia è disgiunta se per ogni coppia di indici α, β in A si ha α β = Y α Y β =. Nel caso particolare di A = N, parleremo di successione disgiunta. Data una successione di insiemi (Y n ) in P(X), diremo che la successione è crescente se per ogni n N si ha Y n Y n+1, e che è decrescente se Y n+1 Y n. Dati uno spazio vettoriale X su F (F = R o F = C) e un insieme A X, definiamo per ogni x X A + x. = {a + x ; a A} X ; per ogni B X A + B =. {a + b ; a A, b B} = A + b X ; b B per ogni λ F λa. = {λa ; a A} X ; per ogni funzione lineare R: X X RA. = {Ra ; a A} X. Quando parleremo di uno spazio topologico X intenderemo sempre un insieme X su cui è assegnata una topologia τ che rende (X, τ) 5

6 Hausdorff (ossia per ogni x y esistono U intorno di x e V intorno di y tali che U V = ; second countable (ossia τ ha una base numerabile); localmente compatto (ossia ogni x X ha un intorno compatto). Ad esempio si può pensare ad uno spazio metrico separabile e localmente compatto. Data una successione (x n ) in uno spazio metrico o topologico X, useremo spesso la notazione lim n x n, per indicare lim x n. n Si noti che non c è davvero pericolo di confusione in questo caso, visto che + è l unico punto di accumulazione di N e quindi il limite per n è l unico limite interessante per una successione. Dato uno spazio topologico X, indichiamo con: (i) Supp(f) il supporto di una funzione f : X R d, ossia la chiusura in X dell insieme {x X ; f(x) 0} ; (ii) C o (X; R d ) lo spazio di Banach delle funzioni continue che si annullano a infinito, ossia tali che per ogni ε > 0 l insieme è compatto. {x X ; f(x) > ε}, (iii) C c (X; R d ) lo spazio normato delle funzioni continue a supporto compatto in X; (iv) C c (X; R d ) lo spazio normato delle funzioni di classe C compatto in X, nel caso in cui X sia uno spazio di Banach 1. a supporto La norma considerata sugli spazi appena introdotti è naturalmente la norma f. = sup f(x). x X Ricordiamo anche che C o (X; R d ) è la chiusura di C c (X; R d ) rispetto alla norma : infatti presa f C o (X; R d ) e posto K n = {x X ; f(x) > n 1 }, esiste g n C c (X; R) tale che 0 g n 1 e g n 1 su K n, 2 e quindi f n = g n f è una successione in C c (X; R d ) che converge uniformemente a f. Infine, indicheremo con R l insieme R {+, } e ogni volta che dovremo considerare operazioni su R, utilizzeremo le seguenti proprietà: 1 L ipotesi aggiuntiva su X serve naturalmente per definire il differenziale di f. 2 La funzione g n richiesta esiste per il Lemma di Urysohn (cfr. [2, 4, 8], ad esempio). 6

7 per ogni a R per ogni a ]0, + ] a + = + + a = +, a = + a =. a (+ ) = (+ ) a = +, a ( ) = ( ) a =. per ogni a [, 0[ a (+ ) = (+ ) a =, a ( ) = ( ) a = +. Assumiamo anche che 0 (± ) = (± ) 0 = 0. (1) Si noti che l unica novità rispetto alle usuali operazioni in R è data da (1). Restano non definite le operazioni (+ ) + ( ), ( ) + (+ ). 7

8 1 Algebre di insiemi Definizione 1.1. Siano X insieme e F P(X). Diciamo che F è un algebra in P(X) (o un algebra di sottoinsiemi di X) se valgono i seguenti fatti: (a) F; (b) A F implica X \ A F; (c) A, B F implica A B F. Se dal contesto è chiaro a quale insieme X ci si riferisce, diremo semplicemente che F è un algebra. Definizione 1.2. Siano X insieme e F P(X). Diciamo che F è una σ algebra in P(X) (o una σ algebra di sottoinsiemi di X) se valgono i seguenti fatti: (a) F; (b) A F implica X \ A F; (c) se (A i ) i N è una successione in F, allora si ha A i F. i N Se dal contesto è chiaro a quale insieme X ci si riferisce, diremo semplicemente che F è una σ algebra. Proposizione 1.3. Siano X insieme e F P(X). (i) se F è un algebra, allora per ogni, F F si ha F F, \ F F, e per ogni N N e 1,..., N F si ha 1... N F, 1... N F. (ii) se F è una σ algebra, allora per ogni, F F si ha F F. In particolare, F è un algebra e valgono le proprietà del punto (i). Inoltre, se (A i ) i N è una successione in F allora A i F. i N 8

9 Dimostrazione. (i) Le prime proprietà seguono immediatamente dalla definizione di algebra e da F = X \ ( (X \ ) (X \ F ) ), \ F = (X \ F ). Per induzione, poi, si provano anche le proprietà su unioni ed intersezioni finite. (ii) La prima proprietà segue dalla definizione, scegliendo la successione G o = e G i = F per i 1. Infine, da ( ) A i = X \ (X \ A i ). i N si conclude che F è chiusa anche per intersezioni numerabili. sempio 1.4. Sia X un insieme. i N {, X} è sempre una σ algebra di sottoinsiemi di X; dato A X, {, A, X \ A, X} è una σ algebra di sottoinsiemi di X; P(X) è una σ algebra di sottoinsiemi di X. Proposizione 1.5. Siano X un insieme e {F α ; α A} una famiglia non vuota di σ algebre in P(X). Allora anche F α = {Y P(X) ; Y F α α A}, α A è una σ algebra in P(X). Dimostrazione. Se prendiamo un insieme o una successione ( h ) in F α, allora ed ( h ) appartengono ad F α per ogni indice α A. Poiché ciascun F α è una σ algebra, ne segue che anche X \ e h N h appartengono ad F α per ogni indice α A, e questo permette di concludere. La Proposizione appena dimostrata ci offre uno strumento per ottenere una σ algebra a partire da una famiglia qualsiasi di sottoinsiemi. Definizione 1.6. Siano X un insieme e G P(X) una famiglia di sottoinsiemi di X. Detto S = {F P(X) ; G F, F è una σ algebra}, chiamiamo σ algebra generata da G la σ algebra. = Σ Σ G Σ S Osservazione 1.7. La σ algebra Σ G è ben definita perché P(X) S e, quindi, S. 9

10 sempio 1.8. Siano X un insieme e A X. Allora: la σ algebra generata da {X} e quella generata da { } coincidono e sono {, X}; la σ algebra generata da {A} è {, A, X \ A, X}; se G è una σ algebra, allora Σ G = G. Definizione 1.9. Sia X uno spazio topologico. Chiamiamo σ algebra di Borel la σ algebra generata dagli aperti di X e la indichiamo con B(X). sercizio 1. Ricordando che l intervallo ]a, b[ è aperto in R per ogni a, b R, mostrare che ogni intervallo di R (limitato o illimitato, aperto o chiuso o aperto solo da un lato) è un insieme boreliano di R, i.e. appartiene a B(R). sercizio 2. Siano X, Y insiemi e f : X Y una funzione. Provare che se F P(X) è una σ algebra in P(X), allora { F Y ; f 1 (F ) F }, è una σ algebra in P(Y ); se G P(Y ) è una σ algebra in P(Y ), allora { f 1 () ; G }, è una σ algebra in P(X). sercizio 3. Siano X insieme, F P(X) una σ algebra di sottoinsiemi di X e A X. Mostrare che F A. = { A ; F }, è una σ algebra in P(A), detta traccia di F su A. sercizio 4. Siano X insieme, F P(X) una σ algebra di sottoinsiemi di X e A X. Mostrare che { ( A) (F \ A) ;, F F }, è una σ algebra in P(X) e che coincide con la σ algebra generata da F {A}. 10

11 2 Misure e spazi di misura Definizione 2.1. Siano X un insieme e Σ P(X) una σ algebra di sottoinsiemi di X. Chiamiamo misura (positiva) su X ogni funzione µ: Σ [0, + ] tale che (a) µ( ) = 0, (b) se (A i ) i N è una successione disgiunta in Σ, allora ( ) µ A i = µ(a i ). (2) i N i=0 Osservazione 2.2. Nel seguito ci riferiremo alla proprietà 2.1(b) come alla σ additività di µ. Definizione 2.3. Chiamiamo spazio di misura ogni terna (X, Σ, µ) in cui X è un insieme, Σ è una σ algebra in P(X) e µ è una misura su X. Gli elementi della σ algebra Σ sono detti insiemi µ misurabili. sempio 2.4. Sia X un insieme. Consideriamo µ: {, X} [0, + ] definita da µ( ) = 0 e µ(x) = +. Allora (X, {, X}, µ) è uno spazio di misura. sempio 2.5. Siano X un insieme e sia h: X [0, + ] una qualunque funzione. Per ogni insieme P(X), definiamo 0 se = µ h () =. h(x) x { } sup h(x) ; I è finito, I x I Allora (X, P(X), µ h ) è uno spazio di misura. se è finito altrimenti sempio 2.6. Prendendo X insieme qualunque e h(x) 1 nell sempio 2.5, otteniamo come µ h la counting measure su X, ossia la misura che conta i punti dei sottoinsiemi di X. sempio 2.7. Prendendo X insieme qualunque, fissando x o X e considerando h(x) =. { 1 se x = xo 0 altrimenti nell sempio 2.5, otteniamo la delta di Dirac centrata in x o, ossia una misura su X che indichiamo con δ xo e che soddisfa { 1 se xo δ xo () = 0 altrimenti 11

12 sempio 2.8. Prendendo X = N e h(n) = 2 n 1 nell sempio 2.5 si ottiene una misura µ h su N tale che µ h (N) = 1. sercizio 5. Mostrare che le funzioni introdotte negli sempi 2.4, 2.5, 2.6, 2.7 e 2.8 sono misure. Proposizione 2.9. Sia (X, Σ, µ) uno spazio di misura. Allora valgono le seguenti proprietà: (i) se, F Σ e F =, allora µ( F ) = µ() + µ(f ); (ii) se, F Σ e F, allora µ() µ(f ); (iii) se, F Σ, allora µ( F ) µ() + µ(f ); (iv) se ( i ) i N è una successione in Σ, allora ( ) µ i µ( i ) ; (v) se ( i ) i N è una successione crescente in Σ, allora ( ) µ i = lim µ( i ) = sup µ( i ) ; i i N i N i N (vi) se ( i ) i N è una successione decrescente in Σ ed esiste k N tale che µ( k ) < +, allora ( ) µ i = lim µ( i ) = inf µ( i i) i N i N Dimostrazione. (i) Basta prendere la successione G o =, G 1 = F e G i = per i 2 e applicare la σ additività. (ii) Segue da µ(f ) = µ() + µ(f \ ) µ(), per la positività di µ. (iii) Segue applicando (ii) in i=0 µ( F ) = µ() + µ(f \ ) µ() + µ(f ). (iv) Otteniamo da ( i ) un altra successione (F i ) ponendo F o = o, F i = i \ j<i j i 1. Questa successione (F i ) è disgiunta e tale che i F i = i i e i F i per ogni i N. Applicando la σ additività e (ii) ne segue ( ) ( ) µ i = µ F i = µ(f i ) µ( i ). i i i=0 i=0 12

13 (v) Otteniamo da ( i ) un altra successione (F i ) ponendo F o = o, F i = i \ j 1 i 1. Questa successione (F i ) è disgiunta e tale che i F i = i i e µ( i ) = i µ(f j) per ogni i N. Applicando la σ additività ne segue ( ) ( ) µ i = µ F i = µ(f i ) = lim i i i i=0 i µ(f j ) = lim µ( i ). i (vi) Osserviamo innanzi tutto che, essendo ( i ) decrescente, per (ii), si ha µ( k+i ) < per ogni i N. Ora, otteniamo da ( i ) un altra successione (F i ) ponendo F i = k \ k+i i N. Questa successione (F i ) è crescente e tale che, per ogni i N, si abbia F i k e µ(f i ) + µ( k+i ) = µ( k ). Inoltre k \ i N F i = i N i. Quindi, applicando (v), si ha ( ) µ F i = lim µ(f i ) = µ( k ) lim µ( k+i ) = µ( k ) lim µ( i ), i i i i e da questa segue ( ) ( µ( k ) = µ F i + µ k \ ) F i i i ( ) ( ) ( ) = µ F i + µ i = µ( k ) lim µ( i ) + µ i. i i i Cancellando infine la quantità finita µ( k ), si ottiene l uguaglianza richiesta. Osservazione Nella proprietà (vi) della Proposizione 2.9, l ipotesi µ( k ) < + per qualche k N non può essere rimossa. Infatti, si considerino X = N, Σ = P(N) e µ la counting measure su N. Allora la successione di insiemi i = {n N ; n i}, è una successione crescente in Σ tale che ( ) µ i = µ( ) = 0 + = lim µ( i ), i i N e questo perché µ( i ) = + per ogni i N. i 13

14 Definizione Sia X un insieme e Σ, Σ due σ algebre in P(X) tali che Σ Σ. (a) Sia µ: Σ [0, + ] una misura su X e sia µ = µ Σ la restrizione di µ a Σ. Allora µ è una misura su X che verrà chiamata restrizione di µ alla sottoalgebra Σ e (X, Σ, µ ) è uno spazio di misura. (b) Siano µ: Σ [0, + ] e ν : Σ [0, + ] due misure su X. Diremo che µ è un estensione di ν a Σ se µ() = ν() per ogni Σ. Definizione Sia (X, Σ, µ) uno spazio di misura. Diremo che (a) µ è una misura di probabilità, se µ(x) = 1; (b) µ è una misura totalmente finita, se µ(x) < + ; (c) µ è una misura σ finita, se esiste una successione ( i ) in Σ tale che µ( i ) < + per ogni i N e tale che X i N i. Osservazione Naturalmente, le nozioni introdotte nella Definizione 2.12 sono legate come segue: (a) = (b) = (c) Osservazione Si noti che la successione nella definizione di misura σ finita, può essere assunta anche crescente o disgiunta, visto che si può sempre rimpiazzare la successione data con i = j, i = i \ j. j i j<i sempio La misura banale introdotta nell sempio 2.4 non è σ finita. La counting measure introdotta nell sempio 2.6 è totalmente finita se X ha cardinalità finita, è σ finita se X è numerabile, non è σ finita se X è più che numerabile. Infine, la delta di Dirac introdotta nell sempio 2.7 e la misura introdotta nell sempio 2.8 sono misure di probabilità. Definizione Sia (X, Σ, µ) uno spazio di misura con X spazio topologico. Diremo che µ è una misura boreliana se B(X) Σ, ossia se ogni insieme boreliano di X è µ misurabile. Definizione Siano (X, Σ, µ) uno spazio di misura e A Σ. Definiamo una nuova misura su X ponendo per ogni Σ, (µ A)() =. µ( A). Si noti che il dominio di µ A è lo stesso di µ. 14

15 sercizio 6. Siano (X, Σ, µ) uno spazio di misura, Y un insieme ed f : X Y una funzione. Mostrare che, indicando F = { F Y ; f 1 (F ) Σ }, e con ν : F [0, + ] la funzione definita da ν(f ) = µ ( f 1 (F ) ), (Y, F, ν) è uno spazio di misura. In tal caso, ν è detta misura immagine e talvolta indicata con µf 1. sercizio 7. Siano (Y, Σ, ν) uno spazio di misura, X un insieme ed f : X Y una funzione suriettiva. Mostrare che, indicando F = { f 1 () ; Σ }, e con µ: F [0, + ] la funzione definita da µ(f ) = ν (f(f )), (X, F, µ) è uno spazio di misura. sercizio 8. Siano (X, Σ, µ) uno spazio di misura ed, F Σ. Mostrare che µ( F ) + µ( F ) = µ() + µ(f ), µ( F ) + µ() = µ(f ) + 2µ( \ F ). Dedurne che, se µ() < +, allora si ha anche µ( F ) = µ() + µ(f ) µ( F ), µ( F ) = µ(f ) + 2µ( \ F ) µ(). sercizio 9. Siano (X, Σ, µ) uno spazio di misura ed ( h ) successione in Σ. Mostrare che µ h lim inf µ( h ). h k N h k Teorema Siano X un insieme, Σ una σ algebra in P(X) e µ, ν due misure su X definite su Σ. Consideriamo una famiglia G Σ che sia chiusa per intersezioni finite e supponiamo che: (a) µ(g) = ν(g) per ogni G G; (b) esiste una successione (G i ) in G tale che X = i N G i e µ(g i ) = ν(g i ) < + per ogni i N. Allora µ = ν su tutta la σ algebra generata da G. Osservazione La conclusione del Teorema 2.18 è falsa se non si richiede l ipotesi (b). Si considerino, infatti, X = N, Σ = P(N), µ la counting measure introdotta nell sempio 2.6 e ν : Σ [0, + ] definita da ν( ) = 0 e ν() = per ogni P(N) \ { }. La famiglia G = {Y N ; N \ Y è finito}, è chiusa per intersezioni finite e per ogni G G si ha µ(g) = ν(g) = +, ma µ non coincide con ν sulla σ algebra Σ G generata da G perché dato G G anche N \ G appartiene a Σ G ma ν(n \ G) = + > (N \ G) = µ(n \ G). 15

16 Dimostrazione. (a) Consideriamo dapprima il caso µ, ν misure totalmente finite. Definiamo F = { Σ ; µ() = ν()}, e M la più piccola famiglia in P(X) tale che 1. G M; 2. se ( h ) è una successione crescente in M, allora h N h M; 3. se, F, F M, allora F M; 4. se M, allora X \ M. La strategia di dimostrazione procede ora in tre passi: prima mostriamo che M F, poi che M è una σ algebra, ed infine che da questo segue la tesi. Step 1. Mostriamo che M F, ossia che F soddisfa le quattro proprietà elencate sopra. Sappiamo per ipotesi che G F. Inoltre, se ( h ) è una successione crescente in F, si ha che ( ) ( ) µ h = lim µ( h ) = lim ν( h ) = ν h, h h h N h N e quindi h N h F. Assumendo ora, F, F F si ha µ( F ) + µ( F ) = µ() + µ(f ) = ν() + ν(f ) = ν( F ) + ν( F ), e, cancellando µ( F ) = ν( F ) <, si ha µ( F ) = ν( F ), ossia F F. Infine, osserviamo che X = i N G i F, per le proprietà 1. e 2., e quindi µ(x) = ν(x). Dunque µ(x \ ) + µ() = µ(x) = ν(x) = ν(x \ ) + ν(), da cui, cancellando µ() = ν() <, segue X \ F. Step 2. Mostriamo che M è una σ algebra. Per mostrare questo, ci basta mostrare che M è chiuso rispetto alle unioni finite, in modo da poter trasformare una successione qualunque in una successione crescente e poi applicare la proprietà 2. Tuttavia, poiché per ogni, F ( ) F = X \ (X \ ) (X \ F ), è anche sufficiente mostrare la chiusura di M rispetto all intersezione per poi concludere. Poniamo quindi, per ogni M Ξ = {H M ; H M}, e mostriamo che vale M = Ξ per ogni M. Innanzi tutto, mostriamo che Ξ soddisfa le proprietà 2, 3 e 4. Data una successione crescente (H i ) in Ξ, si ha H i M e H i M, da cui segue ( ) H i M, H i = i N(H i ) M. i N i N 16

17 Siano ora H, H Ξ (ossia H, H M) e H H Ξ (ossia (H H ) = (H ) (H ) M). Ma allora, poichè M soddisfa 3, si ha (H ) (H ) = (H H ) M, ossia anche Ξ soddisfa 3. Infine, dato H Ξ, si ha che H M e pure il suo complementare vi appartiene. Allora, X \ (H ) e la loro unione che è tutto X appartengono a M. Ne segue, per 3, che anche l intersezione appartiene a M, ossia ( ) X \ (H ) = (X \ H) M ossia X \ H Ξ. Resta da vedere che G Ξ per ogni M. Mostriamolo dapprima per G: fissato G, dato che G è chiuso per intersezioni finite, G G per ogni G G, ossia G Ξ per G. A questo punto, fissato G, Ξ M soddisfa tutte e quattro le proprietà di M e dunque, per minimalità, Ξ = M. Potendo riscrivere questa uguaglianza come G G H M G H M, ne segue che preso G G, G Ξ H per ogni H M. Ossia G Ξ H per H M e dunque Ξ H M soddisfa tutte e quattro le proprietà di M. Per minimalità segue che Ξ H = M per ogni H M, ossia che M è chiuso rispetto all intersezione e quindi una σ algebra. Step 3. A questo punto la conclusione è immediata visto che, indicando con Σ G la σ algebra generata da G, la minimalità di Σ G implica che G Σ G M F. (b) Consideriamo ora il caso generale in cui µ, ν possono essere infinite. Indicando con (G i ) la successione in G che rende le misure σ finite (per l ipotesi (b)), ricordiamo che possiamo scegliere (G i ) come successione crescente. Allora, le misure µ i = µ G i e ν i = ν G i sono totalmente finite e coincidono sull insieme G i = {H G i ; H G} che è chiuso rispetto alle intersezioni finite. Osservando che, per ogni F nella σ algebra generata da G, F G i appartiene alla σ algebra generata da G i, si ha ( ) µ(f ) = µ F G i = lim µ(f G i ) i ossia la tesi. i N ( ) = lim ν(f G i ) = ν F G i = ν(f ), i Definizione Siano (X, Σ, µ) uno spazio di misura e A X. (a) A si dice µ negligible se esiste Σ tale che A e µ() = 0. (b) A si dice µ conegligible se X \ A è µ negligible, ossia se esiste Σ tale che A e µ(x \ ) = 0. i N 17

18 Proposizione Sia (X, Σ, µ) uno spazio di misura. seguenti proprietà: Allora valgono le (i) è µ negligible; (ii) se A è µ negligible e B A, allora B è µ negligible; (iii) se (A i ) i N è una successione in P(X) di insiemi µ negligible allora i N A i è µ negligible. Dimostrazione. (i) e (ii) sono ovvie. Per provare (iii), osserviamo che per ogni i N esiste i tale che A i i e µ( i ) = 0. Allora ( ) i, µ i µ( i ) = 0, i N A i i N e dunque anche i N A i è µ negligible. Definizione Siano (X, Σ, µ) uno spazio di misura e P (x) una proprietà applicabile agli elementi x X. Diremo che P (x) è vera per µ q.o. x X ( vera per µ quasi ogni x X ) o P (x) è vera µ q.o. ( vera µ quasi ovunque ) se l insieme {x X ; P (x)}, i N è µ conegligible o, equivalentemente, se l insieme è µ negligible. {x X ; P (x) è falsa}, i=0 sempio Siano (X, Σ, µ) uno spazio di misura e f : X R una funzione. Dire che f 0 µ q.o. significa che l insieme è µ negligible {x X ; f(x) < 0}, Osservazione Nella Definizione 2.20, non si richiede che un insieme µ negligible o µ conegligible sia µ misurabile (ossia che appartenga a Σ). Questo può talvolta aiutare a verificare che una proprietà è µ q.o. vera, visto che non serve controllare se è misurabile l insieme in cui è falsa. Tuttavia in altre situazioni è uno svantaggio, per cui è interessante sapere per quali misure gli insiemi negligible sono misurabili. Definizione Uno spazio di misura (X, Σ, µ) si dice completo se ogni insieme µ negligible appartiene a Σ, i.e. se A, Σ, µ() = 0 = A Σ. 18

19 sempio Le misure definite su tutto P(X) sono complete. In particolare, sono complete la counting measure (introdotta nell sempio 2.6), la delta di Dirac (introdotta nell sempio 2.7) e la misura introdotta nell sempio 2.8. Anche la misura introdotta nell sempio 2.4 è completa, visto che il solo insieme negligible è l insieme vuoto. Per un esempio di misura non completa, si pensi ad X = {1, 2, 3}, Σ = {, {1}, {2, 3}, X} e come misura µ la restrizione a Σ della delta di Dirac centrata in 1, ossia { 1 se = {1}, X µ() = 0 se =, {2, 3} Allora gli insiemi {2} e {3} sono µ negligible ma non µ misurabili. Vedremo in seguito qualche esempio più interessante. Teorema Sia (X, Σ, µ) uno spazio di misura. Indicando Σ. = { X ; 1, 2 Σ tali che 1 2 e µ( 2 \ 1 ) = 0}, e con µ: Σ [0, + ] la funzione definita da µ() = inf {µ(g) ; G, G Σ}, si ha che (X, Σ, µ) è uno spazio di misura completo e che µ estende µ a Σ. Inoltre: (i) (X, Σ, µ) = (X, Σ, µ) se e solo se (X, Σ, µ) è completo; (ii) µ è l unica misura definita su Σ che coincide con µ su Σ; (iii) A X appartiene a Σ se e solo se A = N con Σ e N µ negligible. Per una dimostrazione del Teorema 2.27, si veda l sercizio 10. Definizione Sia (X, Σ, µ) uno spazio di misura. Lo spazio di misura (X, Σ, µ) costruito nel Teorema 2.27 viene chiamato completamento dello spazio originale. sercizio 10. Sia (X, Σ, µ) uno spazio di misura. 1. Mostrare che Σ. = { X ; 1, 2 Σ tali che 1 2 e µ( 2 \ 1 ) = 0}, è una σ algebra in P(X) e che Σ Σ. 2. Definita la funzione µ: Σ [0, + ] come µ() = inf {µ(g) ; G, G Σ}, mostrare che µ() = µ() se Σ e che Σ se 1, 2 sono come nella definizione di Σ allora µ( 1 ) = µ() = µ( 2 ). 19

20 3. Mostare che (X, Σ, µ) è uno spazio di misura, che è completo e che µ estende µ a Σ. 4. Mostrare che (X, Σ, µ) = (X, Σ, µ) se e solo se (X, Σ, µ) è completo. 5. Mostrare che se ν è un altra misura definita su Σ che coincide con µ su Σ, allora ν = µ, ossia µ è l unica estensione di µ a Σ. 6. Mostrare che A X appartiene a Σ se e solo se A = N con Σ e N µ negligible. sercizio 11. Siano (X, Σ, µ) uno spazio di misura e f, g : X R due funzioni. Mostrare che le relazioni f g µ q.o., f g µ q.o., sono relazioni riflessive e transitive, che la relazione f = g µ q.o., è una relazione di equivalenza e che f = g µ q.o. se e solo se f g µ q.o. e f g µ q.o.,. sercizio 12. Siano X un insieme, Σ 1, Σ 2 σ algebre in P(X), µ 1 : Σ 1 [0, + ], µ 2 : Σ 2 [0, + ] misure su X e c 0. Mostrare che (i) µ 1 + µ 2 : Σ 1 Σ 2 [0, + ] definita da (µ 1 + µ 2 )() = µ 1 () + µ 2 () è una misura su X; (ii) cµ 1 : Σ 1 [0, + ] definita da (cµ 1 )() = cµ 1 () è una misura su X. sercizio 13. Sia X un insieme. Mostrare che (i) la famiglia di insiemi Σ. = { X ; è numerabile o X \ è numerabile}, è una σ algebra in P(X) (detta σ algebra countable cocountable); (ii) la funzione µ: Σ {0, 1} definita da { 0 se è numerabile µ() = 1 se X \ è numerabile è una misura su X che rende completo lo spazio (X, Σ, µ). sercizio 14. Sia (X, Σ, µ) uno spazio di misura. Per ogni Σ poniamo ˆµ() = sup {µ(f ) ; F, F Σ, µ(f ) < + }. (i) Mostrare che ˆµ è una misura su X e che µ ˆµ. (ii) Mostrare che se µ è σ finita, allora µ = ˆµ. 20

21 (iii) Trovare un esempio di misura µ non σ finita, tale che µ ˆµ. sercizio 15. Siano X un insieme, Σ una σ algebra in P(X) e (µ n ) una successione di misure su X definite su Σ. Definiamo per ogni Σ Mostrare che µ è una misura su X. µ() = sup µ n (). n N sercizio 16. Siano X un insieme, Σ una σ algebra in P(X) e (µ n ) una successione di misure su X definite su Σ tale che per ogni n N si abbia µ n µ n+1. Definiamo per ogni Σ Mostrare che µ è una misura su X. µ() = lim n µ n (). 21

22 3 Misure esterne Definizione 3.1. Sia X un insieme. funzione ϕ: P(X) [0, + ] tale che: (a) ϕ( ) = 0; Chiamiamo misura esterna su X ogni (b) se A B X, allora ϕ(a) ϕ(b); (c) se (A i ) successione in P(X), allora ( ) ϕ A i ϕ(a i ). (3) i N i=0 Osservazione 3.2. Nel seguito ci riferiremo alla proprietà 3.1(b) come alla monotonia di µ e alla proprietà 3.1(c) come alla σ subadditività di µ. Osservazione 3.3. Combinando 3.1(a) e 3.1(c), si ha che per ogni famiglia finita {A i X ; 0 i k}, k N, si ha ( k ) k ϕ A i ϕ(a i ), i=0 i=0 ossia µ è anche finitamente subadditiva. Definizione 3.4. Sia X un insieme e ϕ: P(X) [0, + ] una misura esterna su X. Un insieme X si dice ϕ misurabile se A X ϕ(a) = ϕ(a ) + ϕ(a \ ). (4) Osservazione 3.5. In realtà, per provare che un insieme X è ϕ misurabile basta verificare che A X ϕ(a) ϕ(a ) + ϕ(a \ ), (5) visto che l altra disuguaglianza segue da 3.1(c) e quindi è sempre verificata. Inoltre è sufficiente verificare (5) solo per gli insiemi A per i quali ϕ(a) < +, visto che la disuguaglianza è subito verificata per gli altri insiemi. Osservazione 3.6. Dalla Definizione 3.4 segue subito che ogni insieme X tale che ϕ() = 0 è ϕ misurabile. Infatti, per monotonia, per ogni A X si ha 0 ϕ(a ) ϕ() = 0, e quindi ϕ(a) ϕ(a \ ) = ϕ(a ) + ϕ(a \ ). Passiamo ad investigare il rapporto tra misure e misure esterne, mostrando due Teoremi che mostrano come si possa ottenere una misura su X partendo da una misura esterna (Teorema 3.7) e come si possa ottenere una misura esterna su X partendo da una misura (Teorema 3.9). 22

23 Teorema 3.7 (Metodo di Carathéodory). Siano X un insieme e ϕ una misura esterna su X. Allora. Σ ϕ = { X ; è ϕ misurabile}, ) è una σ algebra in P(X) e (X, Σ ϕ, ϕ Σϕ è uno spazio di misura completo. In particolare, ϕ Σϕ è una misura su X. Dimostrazione. (a) è ϕ-negligible e quindi ϕ misurabile. Per ogni ϕ misurabile e per ogni A X si ha ϕ(a ) + ϕ(a \ ) = ϕ(a \ (X \ )) + ϕ(a (X \ )), quindi anche X \ è ϕ misurabile. Sia ora (A h ) una successione di insiemi ϕ misurabili. (b) Per concludere che Σ ϕ è una σ algebra, resta da mostrare che è chiusa rispetto ad unioni numerabili. Cominciamo dalla chiusura rispetto ad unioni finite. Se, F sono ϕ misurabili e A X, si ha Siccome e si ha ϕ(a) = ϕ(a ) + ϕ(a \ ) = ϕ(a ) + ϕ((a \ ) F ) + ϕ((a \ ) \ F ). (A ) ((A \ ) F ) = A ( F ), ((A \ ) \ F ) = A \ ( F ), ϕ(a) = ϕ(a ( F )) + ϕ(a \ ( F )), ossia F è ϕ misurabile e Σ ϕ è chiuso rispetto all unione. Per induzione, segue che Σ ϕ è anche chiuso rispetto alle unioni finite. (c) Sia ora ( i ) una successione disgiunta di insiemi ϕ misurabili e poniamo Ẽ i = i j. Allora, per ogni A X, si ha ϕ(a Ẽi) = ϕ((a Ẽi) i ) + ϕ((a Ẽi) \ i ) = ϕ(a i ) + ϕ(a Ẽi 1) Questo, ragionando per induzione su i 1, ci permette di provare che per ogni i 1 i ϕ(a Ẽi) = ϕ(a j ). ssendo ciascun Ẽi ϕ misurabile, per ogni i 1 ed ogni A X si ha i ϕ(a) = ϕ(a Ẽi) + ϕ(a \ Ẽi) ϕ(a j ) + ϕ A \ j j N 23

24 Passando al limite per i + e sfruttando la σ subadditività, si ottiene ϕ(a) ϕ(a j ) + ϕ A \ j j N ϕ j N(A j ) + ϕ A \ j j N = ϕ A j + ϕ A \ j j N j N ossia j N j è ϕ misurabile, per successioni disgiunte. (d) Infine, sia ( i ) una successione qualunque di insiemi ϕ misurabili. Allora la successione (F i ) ottenuta ponendo F o = o, F i = i \ j<i j i 1. è disgiunta e tale che i F i = i i. Allora i i Σ ϕ, e Σ ϕ è una σ algebra. (e) Per mostrare che ϕ Σϕ è una misura, bisogna mostrare la σ additività. Sia dunque ( i ) una successione disgiunta di insiemi ϕ misurabili. Ragionando come in (c), per ogni A X si ha ϕ(a) ϕ(a j ) + ϕ A \ j j N In particolare, scegliendo A = j N j, si ottiene ϕ j ϕ j j j N j N = ϕ( j ) ϕ j, j N dove abbiamo usato la σ subadditività per la disuguaglianza finale. (f) Rimane da dimostrare che ϕ Σϕ rende lo spazio completo. Sia A con Σ ϕ e ϕ() = 0, allora per monotonia 0 ϕ(a) ϕ() = 0. Ma abbiamo già visto che ϕ(a) = 0 implica A Σ ϕ, e dunque lo spazio di misura è completo. Osserviamo anche che A è ϕ Σϕ negligible se e solo se ϕ(a) = 0. Dal Teorema 3.7 possiamo subito ottenere le seguenti proprietà degli insiemi ϕ misurabili. Corollario 3.8. Siano X un insieme e ϕ una misura esterna su X. Allora 24

25 (i), X sono ϕ misurabili; (ii) se A X è ϕ misurabile, allora X \ A è ϕ misurabile; (iii) se A 1, A 2 sono ϕ misurabili, allora A 2 \ A 1 è ϕ misurabile; (iv) data una successione (A i ) di insiemi ϕ misurabili, sia i N A i che i N A i sono ϕ misurabili; (v) data una successione disgiunta (A i ) di insiemi ϕ misurabili, si ha ( ) ϕ A i = ϕ(a i ) ; i N (vi) data una successione crescente (A i ) di insiemi ϕ misurabili, si ha ( ) ϕ A i = lim ϕ(a i ) = sup ϕ(a i ) ; i i N i N (vii) data una successione decrescente (A i ) di insiemi ϕ misurabili tale che esiste k N con ϕ(a k ) < +, si ha ( ) ϕ A i = lim ϕ(a i ) = inf ϕ(a i i). i N i N Dimostrazione. (i), (ii) e la parte di (iv) relativa all unione sono esattamente la dimostrazione che gli insiemi ϕ misurabili formano una σ algebra. (iii) e la restante parte di (iv), seguono dalle proprietà di σ algebra (cfr. Proposizione 1.3). (v) è esattamente la σ additività di ϕ come misura definita sulla σ algebra degli insiemi ϕ misurabili. Infine, (vi) e (vii) seguono dalle proprietà di misura (cfr. Proposizione 2.9). i=0 Teorema 3.9. Sia (X, Σ, µ) uno spazio di misura. µ : P(X) [0, + ] ponendo per ogni A X Definiamo una funzione µ (A). = inf {µ() ; A, Σ}. Allora µ è una misura esterna su X e inoltre valgono le seguenti proprietà: (i) per ogni A X esiste Σ tale che A e µ (A) = µ(), ossia l inf nella definizione di µ è un minimo; (ii) se Σ, allora µ () = µ() ossia µ Σ = µ; (iii) per ogni A X e Σ si ha µ (A) = µ (A ) + µ (A \ ) ossia gli elementi di Σ sono tutti µ misurabili; (iv) A X è µ negligible se e solo se µ (A) = 0. 25

26 Dimostrazione. (a) Mostriamo che µ è una misura esterna. Ovviamente µ ( ) = µ( ) = 0. Se A B X, allora { Σ ; B } { Σ ; A } e quindi µ (A) µ (B). Resta da mostrare la σ subadditività. Sia (A h ) una successione in P(X). La disuguaglianza cercata è ovviamente vera se µ (A h ) = +. Supponiamo quindi µ (A h ) < + e, per ogni ε > 0 e h N, sia h Σ tale che A h h e µ( h ) < µ (A h ) + ε 2 h+1. Allora, h N A h h N h Σ e dunque ( ) ( ) µ A h µ h µ( h ) h N h N ( < µ (A h ) + ε ) 2 h+1 = µ (A h ) + ε. Per l arbitrarietà di ε > 0 ne segue µ ( h N e dunque µ è una misura esterna. A h ) µ (A h ), (b) Sia A X. Per ogni N N e h N sia N Σ, tale che A N e Ponendo = N N N Σ, si ha che Quindi µ( N ) < µ (A) + 2 N. A, µ() µ( N ), N N. µ (A) µ() inf µ( ( N) < inf µ (A) + 2 N ) = µ (A), N N N N e questo prova (i). (c) Fissato G Σ, per la subadditività di µ, per ogni A X si ha µ (A) µ (A G) + µ (A \ G). Altrimenti sia Σ tale che A e µ() = µ (A) (tale insieme esiste per (i)). Si ha A G G e A \ G \ G, e quindi µ (A G) + µ (A \ G) µ( G) + µ( \ G) = µ() = µ (A), ossia G è µ misurabile e (iii) è provata. (d) La proprietà (ii) segue immediatamente dalla definizione di µ. Resta da mostrare la proprietà (iv). Sia dunque A un insieme µ negligible e sia Σ tale che A e µ() = 0. Allora, si ha 0 µ (A) µ() = 0, 26

27 ossia µ (A) = 0. Viceversa, se µ (A) = 0 basta applicare (i) per ottenere un insieme Σ tale che A e µ() = µ (A) = 0, e dunque A è µ negligible. Alla luce dei Teoremi 3.7 e 3.9, viene naturale chiedersi cosa succede se si applicano a turno le due costruzioni partendo da una misura o da una misura esterna: si ottengono sempre nuove misure o dopo un po si ritrovano le misure di partenza? Osservazione Siano µ una misura su X, µ la misura esterna ottenuta da µ con il Teorema 3.9 e ν la misura ottenuta da µ con il metodo di Carathéodory. Qual è il legame tra µ e ν? Sappiamo che ν è una misura completa, quindi in generale non coinciderà con µ se questa non è completa. Inoltre si può provare che, detta µ la misura completamento di µ, ν è un estensione di µ (ossia le due coincidono sul dominio di µ, cfr. [6] 213Xa). In generale, però, serve qualche ipotesi in più sulla misura di partenza per assicurare che µ = ν: ad esempio se la misura µ è σ finita, allora ν è esattamente il completamento di µ. 3 Osservazione Siano ϕ una misura esterna su X, µ la misura ottenuta da ϕ con il metodo di Carathéodory e µ la misura esterna ottenuta da µ con il Teorema 3.9. Qual è il legame tra ϕ e µ? L sempio 3.12 mostra che in generale le due misure esterne saranno diverse, anche se in alcuni casi significativi esse coincidono (cfr. Proposizione 4.8). È tuttavia sempre possibile dire che gli insiemi ϕ misurabili e quelli µ misurabili sono gli stessi: infatti applicando il metodo di Carathéodory a µ si ottiene una misura µ che coincide con µ (cfr. [6] 213Xa) e che, quindi, ha in particolare lo stesso dominio di µ. sempio Siano X un insieme con almeno tre elementi e ϕ: P(X) [0, 1] una misura esterna su X definita da 0 se A = ϕ(a) = 1 se A = X 1/2 altrimenti Allora X è ϕ misurabile se e solo se {, X}. 4 Applicando il metodo di Carathéodory a ϕ si ottiene la misura µ: {, X} [0, 1] definita da { 0 se = µ() = 1 se = X e questa si estende con il Teorema 3.9 alla misura esterna { µ 0 se = () = 1 altrimenti Introduciamo ora alcune ulteriori definizioni che ci torneranno utili nel seguito. 3 In realtà basta qualcosa di meno, ossia che µ sia strettamente localizzabile (cfr. [6] 211 e 213Xa). 4 Se X avesse solo due elementi, che chiamiamo x 1, x 2, si avrebbero anche {x 1 }, {x 2 } ϕ misurabili. 27

28 Proposizione Siano (X, Σ, µ) uno spazio di misura e Y X. Indichiamo con µ la misura esterna che si ottiene applicando a µ il Teorema 3.9, con Σ Y = { Y ; Σ} la traccia di Σ su Y (che risulta essere una σ algebra in P(Y ), cfr. sercizio 3) e µ Y = µ ΣY. Allora (Y, Σ Y, µ Y ) è uno spazio di misura e µ Y è detta subspace measure su Y. Dimostrazione. Sapendo già che Σ Y è una σ algebra, dobbiamo solo mostrare che µ Y è una misura. ssendo µ Y ( ) = µ ( ) = 0, basta mostrare la σ additività. Sia dunque ( i Y ) una successione disgiunta in Σ Y, con ( i ) successione (non necessariamente disgiunta) in Σ. Se fosse Y µ misurabile, la tesi sarebbe immediata, perchè ( i Y ) sarebbe una successione disgiunta di insiemi µ misurabili e potremmo applicare il Corollario 3.8(v) per concludere. Il caso generale non è altrettanto semplice e richiede di ripetere parte della dimostrazione del Teorema 3.7. Osserviamo innanzi tutto che per ogni A Y e per ogni F Σ si ha µ (A) = µ (A Y ) = µ ((A Y ) F ) + µ ((A Y ) \ F ) = µ (A (F Y )) + µ (A \ (F Y )). (6) Notate che questa uguaglianza non ci dice nulla sulla reale µ misurabilità degli insiemi F Y, visto che vale solo per A Y. Tuttavia, posto per ogni k N k k H k = ( j Y ) = Y Y, applicando (6) con F = k, si deduce che per ogni A Y µ (A H k ) = µ ((A H k ) ( k Y )) + µ ((A H k ) \ ( k Y )) j = µ (A ( k Y )) + µ (A H k 1 ). Questo, 5 ragionando per induzione su k 1, ci permette di provare che per ogni k 1 k µ (A H k ) = µ (A ( j Y )). ssendo k j Σ, possiamo applicare (6) usando F = k j per trovare µ (A) = µ (A H k ) + µ (A \ H k ) k µ (A ( j Y )) + µ A \ j N( j Y ), 5 Si noti che nell ultimo passaggio è stato essenziale che la successione fosse disgiunta! 28

29 per A Y e quindi, passando al limite per k, µ (A) µ (A ( j Y )) + µ A \ j N( j Y ). Scegliendo ora A = j N ( j Y ) e sfruttando la σ subadditività, si ottiene µ j N( j Y ) = µ j N( j Y ) ( h Y ) µ ( h Y ) µ j N( j Y ), e quindi la σ additività richiesta. Osservazione Facciamo un po d ordine tra i tipi di restrizioni che abbiamo introdotto in queste prime sezioni. Dato (X, Σ, µ) spazio di misura, abbiamo introdotto: la restrizione di µ ad una sottoalgebra Σ di Σ (Definizione 2.11), che indichiamo con µ Σ ; la restrizione di µ ad un insieme Σ (Definizione 2.17), che indichiamo con µ ; la subspace measure indotta da µ su un sottoinsieme Y X (Proposizione 3.13), che indichiamo con µ Y. Tuttavia ciascuna di queste misure è ben diversa dalle altre, come si può facilmente notare guardando il loro dominio. La misura µ è definita sull intera σ algebra di partenza Σ; la restrizione alla sottoalgebra µ Σ è definita su una σ algebra più piccola che però è ancora una σ algebra in P(X); infine µ Y è definita su Σ Y che è una σ algebra in P(Y ). Anche nel caso in cui Y Σ, la subspace measure rimane qualcosa di diverso dalla restrizione ad una sottoalgebra: infatti in questo caso Σ Y Σ, ma non si tratta di una sottoalgebra visto che ad es. X / Σ Y. Definizione Siano (X, Σ, µ) uno spazio di misura e A X. Diciamo che A è µ thick (o che µ è concentrata su A) se per ogni Σ tale che X \ A si ha µ() = 0 o, equivalentemente, se per ogni Σ si ha µ() = µ ( A), dove µ è la misura esterna che si ottiene applicando a µ il Teorema 3.9. Osservazione Nella Definizione 3.15 non si richiede che A sia un insieme misurabile (ossia che A Σ). sercizio 17. Mostrare che le due definizioni date di insieme µ thick sono davvero equivalenti. 29

30 sercizio 18. Mostrare se µ è una misura totalmente finita, allora A è µ thick se e solo se µ (A) = µ(x). Concludiamo la Sezione con un criterio per capire se i boreliani in uno spazio metrico siano misurabili. Teorema Siano (X, d) uno spazio metrico e ϕp(x) [0, + ] una misura esterna su X. Assumiamo che per ogni, F X tali che inf{d(x, y) ; x, y F } > 0, si abbia ϕ( F ) = ϕ() + ϕ(f ). Allora ogni insieme di B(X) è ϕ misurabile e, quindi, la misura µ ottenuta da ϕ applicando il metodo di Carathéodory è una misura boreliana. sercizio 19. Siano X un insieme, ϕ, ψ misure esterne su X e c 0. Mostrare che (i) ϕ + ψ : P(X) [0, + ] definita da (ϕ + ψ)() = ϕ() + ψ() è una misura esterna su X; (ii) cϕ: P(X) [0, + ] definita da (cϕ)() = cϕ() è una misura esterna su X. sercizio 20. Siano X un insieme e (ϕ n ) una successione di misure esterne su X. Definiamo per ogni A P(X) ϕ(a) = sup ϕ n (A). n N Mostrare che ϕ è una misura esterna su X. sercizio 21. Siano X un insieme e (ϕ n ) una successione di misure esterne su X tale che per ogni n N si abbia ϕ n ϕ n+1. Definiamo per ogni A P(X) ϕ(a) = lim n ϕ n (A). Mostrare che ϕ è una misura esterna su X. sercizio 22. Siano X un insieme, ϕ una misura esterna su X e Y X. Mostrare che (i) ϕ Y = ϕ P(Y ) è una misura esterna su Y ; (ii) se è ϕ misurabile, allora Y è ϕ Y misurabile. sercizio 23. Siano X un insieme, ϕ una misura esterna su X, Y un insieme ed f : X Y una funzione. Mostrare che la funzione ψ : P(Y ) [0, + ] definita da ψ(a) = ϕ ( f 1 (A) ) è una misura esterna su Y. 30

31 sercizio 24. Siano Y un insieme, ϕ una misura esterna su Y, X un insieme ed f : X Y una funzione. Mostrare che la funzione ψ : P(X) [0, + ] definita da ψ(a) = ϕ (f(a)) è una misura esterna su X. sercizio 25. Siano X un insieme e ϕ una misura esterna su X. Supponiamo che X sia ϕ misurabile (il che equivale ad assumere che sia µ misurabile, se µ è la misura su X ottenuta da ϕ con il metodo di Carathéodory). Mostrare che per ogni A X (anche non ϕ misurabile!) si ha ϕ( A) + ϕ( A) = ϕ(a) + ϕ(). sercizio 26. Siano a, b R con a b. Mostrare che ϕ = max{δ a, δ b } è una misura esterna e che {a}, {b} non sono ϕ misurabili. 31

32 4 Misura di Lebesgue Definizione 4.1. Chiamiamo multi intervallo (half-open) ogni insieme di R d della forma { d } [a, b[ =. [a i, b i [ ; a = (a 1,..., a d ) R d, b = (b 1,..., b d ) R d, Poniamo anche i=1 J d. = { R d ; è un multi intervallo }, e definiamo il d volume di un multi intervallo [a, b[ come la mappa l d : J d [0, + ] definita da { d l d ([a, b[) = i=1 (b i a i ) se b i a i i 0 altrimenti Teorema 4.2. Sia θ d : P(R d ) [0, + ] la mappa definita da θ d (A) =. inf l d (I j ) ; (I j ) successione in J d, A j N I j. Allora θ d è una misura esterna su R d e per ogni I J d si ha θ d (I) = l d (I). Per una dimostrazione di questo Teorema si veda ad esempio [5] (115D). Definizione 4.3. La misura esterna θ d nel Teorema 4.2 è detta misura esterna di Lebesgue. Indicheremo con M d la σ algebra degli insiemi θ d misurabili e con L d la misura definita su M d che si ottiene applicando a θ d il metodo di Carathéodory. La misura L d è detta misura di Lebesgue. Infine, chiameremo insiemi Lebesgue misurabili (o misurabili secondo Lebesgue) gli elementi di M d (ossia gli insiemi L d misurabili o, equivalentemente, θ d misurabili). Proposizione 4.4. Valgono i seguenti fatti: per ogni i d e ξ R il semispazio { y R d ; y i < ξ } è L d misurabile; ogni multi intervallo I J d è L d misurabile; ogni aperto di R d è L d misurabile; ogni boreliano di R d è L d misurabile, e quindi L d è una misura boreliana. Per una dimostrazione di questa Proposizione si veda ad esempio [5] (115F, 115G). 32

33 sercizio 27. Mostrare che per ogni a, b R d si ha L d ([a, b[) = L d ([a, b]) = L d (]a, b]) = L d (]a, b[) = l d ([a, b[). In particolare, per ogni x R d si ha L d ({x}) = 0 e quindi L d (Y ) = 0 per ogni insieme numerabile Y R d. sercizio 28. Mostrare che, per ogni A, R d e per ogni x R d e λ R\{0}, [A ( + x)] x = (A x), [A \ ( + x)] x = (A x) \, ( ) ( ) 1 1 [A (λ)] = λ λ A 1 1, [A \ (λ)] = λ λ A \. Proposizione 4.5. Siano A R d, un insieme L d misurabile. Allora: (i) θ d (A + x) = θ d (A) per ogni x R d e θ d (λa) = λ d θ d (A) per ogni λ R \ {0}; (ii) +x è L d misurabile per ogni x R d e λ è L d misurabile per λ R\{0} e si ha L d ( + x) = L d (), L d (λ) = λ d L d (). In particolare, θ d e L d sono invarianti per traslazioni. Dimostrazione. (i) Osserviamo che, dato un multi intervallo [a, b[ e x R d, si ha [a, b[+x = [a + x, b + x[, l d ([a + x, b + x[) = l d ([a, b[). Inoltre, presa una successione di multi intervalli (I j ), si ha A j N I j A + x j N(I j + x). Quindi, per calcolare θ d (A + x) si prende l inf sulle stesse somme che sono usate per calcolare θ d (A) e viceversa, da cui si conclude che θ d (A + x) = θ d (A). In modo simile, dato un multi intervallo [a, b[ e λ R \ {0}, λ[a, b[= [λa, λb[, l d (λ[a, b[) = λ d l d ([a, b[). Inoltre, presa una successione di multi intervalli (I j ), si ha A j N I j λa j N(λI j ). Quindi, per calcolare θ d (λa) si prende l inf sulle stesse somme che sono usate per calcolare θ d (A) e viceversa, da cui si conclude che θ d (λa) = λ d θ d (A). 33

34 (ii) Sia ora un insieme L d misurabile, x R d, λ R \ {0}. qualunque A R d e sfruttando l sercizio 28 e (i) si ha Preso un θ d (A ( + x)) + θ d (A \ ( + x)) = θ d (((A x) ) + x) + θ d (((A x) \ ) + x) = θ d ((A x) ) + θ d ((A x) \ ) = θ d (A x) = θ d (A), che assicura la L d misurabilità di + x. Quindi L d ( + x) = θ d ( + x) = θ d () = L d (). In modo simile, preso un qualunque A R d si ha (( ) )) ( (( ) )) 1 1 θ d (A λ) + θ d (A \ λ) = θ d (λ λ A + θ d λ λ A \ (( ) ) (( ) ) 1 1λ = λ d θ d λ A + λ d θ d A \ = λ d θ d ( 1 λ A ) = λ d λ d θ d(a) = θ d (A), che assicura la L d misurabilità di λ. Quindi L d (λ) = θ d (λ) = λ d θ d () = λ d L d (). Proposizione 4.6. Valgono i seguenti fatti: (i) per ogni A R d si ha θ d (A) = inf { L d (G) ; A G, G aperto } = min { L d (H) ; A H, H boreliano } ; (ii) per ogni R d che sia L d misurabile si ha L d () = sup { L d (K) ; K, K chiuso e limitato } ; (iii) per ogni R d che sia L d misurabile esistono H 1, H 2 insiemi boreliani tali che H 1 H 2 e L d (H 2 \ H 1 ) = L d (H 2 \ ) = L d ( \ H 1 ) = 0. Per una dimostrazione di questa Proposizione si veda ad esempio [5] (134F). Osservazione 4.7. Si noti che dalla proprietà (iii) della Proposizione 4.6, segue che il completamento B(R d ) della σ algebra dei boreliani (nel senso del Teorema 2.27) coincide con la σ algebra M d dei Lebesgue misurabili. Infatti, da (iii) segue che M d B(R d ). Inoltre, preso un qualunque insieme Ξ in B(R d ) e detti H 1, H 2 gli insiemi in B(R d ) tali che H 1 Ξ H 2 e L d (H 2 \ H 1 ) = 0, si ha Ξ = H 1 (Ξ \ H 1 ). A questo punto H 1 M d e, per la completezza di (R d, M d, L d ), da Ξ \ H 1 H 2 \ H 1 segue Ξ \ H 1 M d. Dunque Ξ M d e abbiamo concluso. 34

35 Proposizione 4.8. Siano L d e θ d rispettivamente la misura di Lebesgue e la misura esterna di Lebesgue su R d. Indichiamo con L la misura esterna che si ottiene applicando il Teorema 3.9 a L d. Allora L = θ d. Dimostrazione. Sia A R d e sia un insieme L d misurabile tale che A. Allora, per monotonia di θ d si ha θ d (A) θ d () = L d (), e, passando all inf sugli insiemi L d misurabili che contengono A, si conclude θ d (A) L (A). Per mostrare la disuguaglianza opposta, fissiamo ε > 0 e prendiamo una successione di multi intervalli (I j ) in J d tale che A j N I j e l d (I j ) < θ d (A) + ε. ssendo ciascun multi intervallo L d misurabile, si ha l d (I j ) = L d (I j ) e dunque L (A) L d I j L d (I j ) = l d (I j ) < θ d (A) + ε. j N Per arbitrarietà di ε si conclude che L (A) θ d (A), da cui l uguaglianza. sercizio 29. Siano A [ 1, 1] insieme L 1 misurabile e f A : [ 1, 1] [0, 2] la funzione definita da f A (x) = L 1 (A [ 1, x]). Mostrare che f A è Lipschitziana, crescente e che, se esiste ε > 0 tale che ( ε, ε) A, allora f è derivabile in 0 con f A (0) = 1. sercizio 30. Mostrare che se µ è una qualunque misura boreliana su R d tale che (a) µ([0, 1[) > 0; (b) µ è invariante per traslazioni; allora µ(b) = cl d (B) per ogni B B(R d ), con c = µ([0, 1[). Inoltre se µ è completa, allora µ = cl d su tutto M d. sercizio 31. Sia R SO(d), ossia sia R Mat d d (R) una matrice tale che R 1 = R T. Per ogni R d L d misurabile, sfruttando l sercizio precedente e assumendo che R sia L d misurabile, mostrare che si ha L d (R) = L d (). In particolare, L d è invariante per rotazioni. 35