Esercizi di Algebra II

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1 Esercizi di Algebra II 12 Dicembre 2016 # 10 Esercizio 1. Determinare il polinomio minimo su Q dei seguenti numeri 1) 2 3; 2) 2; 3) 3; 4) 2; 5) 1 + 3; 6) i + 1; 7) 22 ; Soluzione. Determinare il polinomio minimo su a C significa trovare il polinomio monico di grado minimo fra quelli che si annullano in a. L idea è (quasi) sempre la stessa: per trovare il polinomio minimo di un numero a C si pone x = a e, tramite opportune operazioni (elevamento a potenza, somme...) sull equazione si trova un polinomio f Q[x] irriducibile in Q e che si annulla in a. 1) x = 2 3 x 2 = ( 2 3) 2 x 2 6 = 0. x 2 6 è monico, si annulla in 2 ed è irriducibile per il criterio di Eisenstein applicato con p = 2 (o p = 3). I numeri 2),3) e 4) si risolvono allo stesso modo. 1

2 7) x = 2 2 x 3 = ( 2 2 ) 3 x 3 4 = 0. x 3 4 è monico, si annulla in 2 2 ed è irriducibile perché è un polinomio di terzo grado che non ha radici in Q (attenzione: in questo caso non si può usare il criterio di Eisenstein perchè 2 2 4). 5) x = x 2 = ( 1 + 3) 2 x 2 = x 2 1 = 3 (x 2 1) 2 = ( 3) 2 x 4 2x = 3 x 4 2x 2 2 = 0 x 4 2x 2 2 è monico, si annulla in ed è irriducibile per il criterio di Eisenstein applicato con p = 2. 6) x = i + 1 x 1 = i (x 1) 2 = i 2 x 2 2x + 1 = 1 x 2 2x + 2 = 0 x 2 2x + 2 è un polinomio monico, si annulla in i + 1 ed è irriducibile perché è un polinomio di secondo grado che non ha radici in Q (o per il criterio di Eisenstein applicato con p = 2). (1) Esercizio 2. Provare che 1) Q( 2) = Q( 2 2 ); 2) Q( p + q) = Q( q, q) con p, q P, p q; 2

3 3) Q( 2, i) = Q(i + 2); Soluzione. Idea di risoluzione In generale, per provare che due estensioni Q(M) e Q(N) sono uguali, è sufficiente far vedere che N Q(M) (a quel punto sarà chiaro che Q(N) Q(M))) e che M Q(N) (a quel punto, analogamente a prima, si avrà che Q(M) Q(N))). Così, avendo provato la doppia inclusione, seguirà che le due estensioni saranno uguali. 1) e d altra parte 22 Q( 2 2 ) (Q( 2 2 )\{0}, ) gruppo ( 2 2 ) ( 2 2 ) Q( 2 2 ) 2 2 Q( 2 2 ) Q( 2 2 ) 3 2 Q( 2 2 ) 2 Q( 3 2) (Q( 2)\{0}, ) gruppo ( 2) ( 2) Q( 2) 22 Q( 2) Così, per quanto detto all inizio, le due estensioni sono uguali. 2) ( p + q) Q( p + q) (Q( p+ q)\{0}, ) gruppo Da cui segue ( p + q) 1 Q( p + q) p q Q( p + q) p q p q (p q) Q( p + q) p q ( p q) Q( p + q) ( p+ q) 1 p q = p q ( p q), ( p + q) Q( p + q) (Q( p+ q),+) gruppo 3 ( p q) + ( p + q) Q( p + 2 p Q( p + q) p = p Q( p + q)

4 e p, ( p + q) Q( p + q) (Q( p+ q),+) gruppo ( p + q) p Q( p + q) q Q( p + q) per quanto detto all inizio, resta così provato che Q( p, q) Q( p + q). Per l inclusione inversa invece p, q Q( p, q) (Q( p, q),+) gruppo ( p + q) Q( p, q) e pertanto le due estensioni sono uguali. Esercizio 3. Determinare i gradi su Q delle seguenti estensioni: 1) Q( 6 5); 2) Q( 7 5); 3) Q( 6); 4) Q(i, 4 5); Soluzione. Le estensioni dei punti 1),2) e 3) sono della forma Q(a), con a C. Per una proposizione del corso di Algebra II è noto che [Q(a) : Q] (cioè il grado di Q(a) su Q) è uguale al grado del polinomio minimo di a su Q. Quindi, per 1),2) e 3) è sufficiente trovare i polinomi minimo di a su Q. 1) Il polinomio minimo di 6 5 su Q è x 6 5, che è irriducibile per il criterio di Eisenstein applicato con p = 5. Pertanto [Q( 6 5) : Q] = 5. 2) e 3) si risolvono in modo analogo. Per il punto 4), osserviamo che, da un risultato noto dal corso di Algebra II, si ha [Q(i, 4 5) : Q] = [(Q( 4 5))(i) : Q( 4 5)] [Q( 4 5) : Q] In modo analogo a quanto visto in precedenza si prova che [Q( 4 5) : Q] = 4. Per risolvere il problema è sufficiente quindi calcolare [(Q( 4 5))(i) : Q( 4 5)] che, per un risultato noto dal corso di Algebra II, significa trovare il polinomio minimo di i su Q( 4 5) (che, in generale, potrebbe essere diverso dal polinomio minimo di i su Q). 4

5 E noto che x Q( 4 5)[x] si annulla in i. Pertanto il polinomio minimo f di i su Q ha grado minore o uguale a 2. Se f avesse grado 1, dovendosi annullare in i, ciò significherebbe che f(x) = x i Q( 4 5)[x], che banalmente implicherebbe i Q( 4 5), ma questo è assurdo perché Q( 4 5) R mentre i / R. Pertanto il polinomio minimo di i su Q( 4 5) ha grado 2. Così [(Q( 4 5))(i) : Q( 4 5)] = 2 e quindi [Q(i, 4 5) : Q] = 8 (si noti come, per risolvere questi esercizi, può essere utile guardare le inclusioni di alcuni campi in campi già noti come Q o R). Esercizio 4. Sia f Q[x] il polinomio definito ponendo f(x) := x 3 +x+1 e a una radice reale di f. 1) Calcolare [Q(a) : Q]; 2) Esprimere a 4 +3a 3 come combinazione lineare degli elementi di una base di Q(a) come spazio vettoriale su Q. Soluzione. 1) Poiché f è un polinomio di terzo grado che non ha radici in Q, esso è irriducibile; inoltre è monico e si annulla in a. Da ciò segue che f è il polinomio minimo di a e quindi che [Q(a) : Q] = 3. 2) Da una proposizione del corso di Algebra II sappiamo che {1, a, a 2 } è una base di Q(a) come spazio vettoriale su Q. Per risolvere l esercizio è sufficiente quindi esprimere a 4 + 2a 3 come combinazione lineare di elementi della base {1, a, a 2 }. L idea è quella di abbassare i gradi dei monomi del numero a 4 + 2a 3 fino a trovarci solamente monomi di grado strettamente minore di 3 (in modo da avere solo elementi della base). Tutto ciò, sapendo che a è una radice di x 3 +x+1, cioè che a 3 +a+1 = 0 e quindi che a 3 = a 1. Pertanto a 4 + 3a 3 = a 3 a + 3a 3 = a 3 = a 1 ( a 1) a + 3( a 1) = a 2 a 3a 3 = a 2 4a 3. 5