CAPITOLO 4 IDRAULICA DEI TERRENI

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1 CAPITOLO 4 Nell affrontare la maggior parte dei problemi di Ingegneria Geotecnica non si può prescindere dalla presena dell acqua nel terreno. L acqua ce viene direttamente a contatto con la superficie del terreno, o raccolta da fiumi e lagi, tende ad infiltrarsi nel sottosuolo per effetto della gravità e, se si eccettua una percentuale trascurabile ce si accumula all interno di cavità sotterranee, la maggior parte di essa va a riempire, parialmente o completamente, i vuoti presenti nel terreno e le fessure degli ammassi rocciosi. In particolare, nel caso di depositi di terreno, si possono distinguere, al variare della profondità, one a differente grado di saturaione e in cui l acqua presente nei vuoti si trova in condiioni diverse. Partendo dalla superficie del piano campagna e procedendo verso il basso, si possono generalmente individuare (Figura 4.1). un primo strato superficiale di suolo vegetale, detto di evapotraspiraione, dove l acqua di infiltraione viene parialmente ritenuta, ma in prevalena assorbita dalle radici della vegetaione; un secondo strato, detto di ritenione, in cui l acqua presente è costituita principalmente da una parte significativa dell acqua di infiltraione ce rimane aderente ai grani ed è praticamente immobile ed è detta acqua di ritenione, ce comprende l acqua adsorbita e l acqua pellicolare (Figura 1.7). un tero strato, denominato strato della frangia capillare, caratteriato prevalentemente dalla presena di acqua capillare, quella ce, per effetto delle tensioni superficiali, rimane sospesa all interno dei vuoti, vincendo la fora di gravità. Al di sotto di queste tre one, ce insieme costituiscono la cosiddetta ona vadosa, si trova la ona di falda (o acquifero). Il grado di saturaione delle diverse one dipende principalmente dalle caratteristice granulometrice e fisice del deposito, da fattori climatici e ambientali. Fatta ecceione per alcune categorie molto particolari di materiali, i vuoti presenti nel terreno sono comunicanti tra loro e costituiscono un reticolo continuo, cosiccé, generalmente, la ona di falda è completamente satura; la ona vadosa è satura in prossimità della falda per spessori variabili da poci centimetri per le giaie a decine di metri per le argille e generalmente a un grado di saturaione decrescente salendo verso il piano campagna. La pressione dell acqua nella ona vadosa è inferiore a quella atmosferica (per cui la pressione interstiiale risulta negativa avendo assunto convenionalmente, come ricordato nel capitolo 3, la pressione atmosferica uguale a ero). Inoltre, in relaione alla loro permeabilità i diversi tipi di terreno possono consentire più o meno agevolmente il flusso dell acqua, perciò la presena di strati a differente permeabilità può determinare nel sottosuolo la presena di diversi tipi di falda. In particolare, si possono individuare (Figura 4.) le tre condiioni di: falda freatica 4-1

2 falda sospesa falda artesiana Zona vadosa Zona di evapotraspiraione Zona di ritenione Frangia capillare Acqua sospesa Zona di falda Falda Acqua di falda Figura 4.1 Zone a differente grado di saturaione in un deposito di terreno Infiltraione Livello pieometrico Falda sospesa Falda freatica Terreno con permeabilità molto bassa Acquifero confinato (falda artesiana) Roccia Figura 4. Differenti tipi di falda in un deposito di terreno 4 -

3 La falda freatica è delimitata inferiormente da uno strato ce non permette il flusso dell acqua (o comunque in quantità e velocità trascurabili) ed è delimitata superiormente da una superficie, detta superficie freatica, in corrispondena della quale l acqua si trova a pressione atmosferica, come si trovasse in un serbatoio aperto. Immaginando di inserire un tubo verticale aperto alle estremità (pieometro) all interno di una falda freatica, ovvero di perforare un poo, si osserva ce il livello statico raggiunto dall acqua nel tubo (detto livello pieometrico) è uguale a quello della superficie freatica. Analoge consideraioni possono essere fatte riguardo alla falda sospesa, ce rispetto alla precedente, risulta delimitata inferiormente da uno strato di estensione molto più limitata. Si a una falda artesiana quando l acqua di una falda freatica viene incanalata tra due strati impermeabili. In questo caso l acqua racciusa nello strato permeabile (ce ne permette agevolmente il flusso) si comporta come se si trovasse entro una tubaione in pressione, ossia a una pressione maggiore di quella atmosferica. Immaginando di inserire un pieometro fino a raggiungere la falda artesiana, si osserva un livello pieometrico maggiore di quello della superficie ce delimita superiormente la falda. In generale, l acqua presente nel terreno può trovarsi in condiioni di quiete o di moto, sia allo stato naturale sia in seguito a perturbaioni del suo stato di equilibrio. Nel caso in cui si trovi in condiioni di moto, il flusso può essere staionario (o permanente) oppure non staionario (o vario), a seconda ce i parametri del moto risultino costanti o variabili nel tempo. Nel moto staionario la quantità di acqua ce entra in un elemento di terreno è pari alla quantità di acqua ce esce dallo stesso elemento (filtraione in regime permanente). Nel moto vario la quantità di acqua entrante in un elemento di terreno è diversa da quella u- scente (filtraione in regime vario). Se il terreno è saturo, la differena tra le due quantità può produrre il fenomeno della consolidaione. Il vettore ce caratteria il moto dell acqua può essere scomposto in una o più direioni nello spaio, definendo condiioni di flusso mono-, bi-, o tri-dimensionali. Generalmente, nella maggior parte dei casi pratici, si fa riferimento ai primi due tipi. 4.1 Carico totale e pieometrico: il gradiente idraulico I moti di filtraione di un fluido avvengono tra due punti a diversa energia (da quello a energia maggiore a quello a energia minore). In ciascun punto, l energia è data dalla somma dell energia cinetica (legata alla velocità del fluido) e dell energia poteniale (legata alla posiione del punto nel campo gravitaionale e alla pressione del fluido). Nello studio dei moti di filtraione è conveniente esprimere l energia, poteniale e cinetica, in termini di carico, o altea, ce corrisponde all energia per unità di peso del liquido. In particolare, si definiscono: altea geometrica,, la distana verticale del punto considerato da un piano oriontale di riferimento arbitrario ( = 0), altea di pressione, u/γ, l altea di risalita dell acqua rispetto al punto considerato, per effetto della sua pressione, u 4-3

4 altea di velocità, v /g, l energia dovuta alla velocità, v, delle particelle del fluido (essendo g l acceleraione di gravità). La somma dei tre termini: u H = + γ v + g è denominata carico effettivo (o totale) o altea totale, mentre il binomio: u = + γ è detto carico pieometrico. (Eq. 4.1) (Eq. 4.) In virtù del teorema di Bernoulli, si a ce per un fluido perfetto, incomprimibile, in moto permanente, soggetto solo all aione di gravità, il carico totale è costante lungo una data traiettoria. Se, con riferimento allo scema di Figura 4.3 viene inserito un campione di terreno, dotato di sufficiente u1 γ 1 1 L Pieometri A piano di riferimento Figura 4.3 Perdita di carico in condiioni di flusso monodimensionale in un campione di terreno carico totale per fluido ideale permeabilità, al-l interno del tubo di flusso nella ona controllata dai due pieometri, si osserva ce in essi l acqua risale a quote diverse; ciò significa ce tra i due punti di osservaione si è avuta una perdita di carico nel termine = + u/γ. Potendo ritenere trascurabili le perdite di carico dovute al flusso dell acqua in assena di terreno e osservando ce per il principio di conservaione della massa la velocità media nelle varie seioni della condotta deve essere costante, la differena di altea d acqua nei due pieometri,, è perciò una misura della perdita di energia totale dovuta al flusso dell acqua nel terreno, ossia dell energia spesa dall acqua per vincere la resistena al moto opposta dal terreno compreso tra i due punti considerati. Inoltre, poicé nei terreni la velocità di flusso, e quindi l altea di velocità, è generalmente trascurabile, il carico pieometrico può essere ritenuto rappresentativo dell energia totale nel punto considerato. Con riferimento ai simboli di Figura 4.3, si definisce gradiente idraulico il rapporto: i = L ce rappresenta la perdita di carico per unità di lungea del percorso. u γ (Eq. 4.3) 4-4

5 4. Legge di Darcy Poicé il moto di filtraione fra due generici punti è governato solo dalla differena di carico, può essere utile identificare un legame tra le caratteristice del moto (in particolare la velocità), le proprietà del terreno e la perdita di carico. Darcy, studiando il flusso monodimensionale dell acqua attraverso strati oriontali di sabbia (in condiioni di moto laminare), osservò ce la portata per unità di superficie è direttamente proporionale alla perdita di carico e inversamente proporionale alla lungea del percorso considerato. In sostana, con riferimento alla Figura 4.3, tra la portata per unità di superficie, Q/A, ce può essere definita velocità apparente (nominale) di filtraione, v, la perdita di carico,, e la lungea L, vale la relaione: Q A = v = = i (Eq. 4.4) L nota come Legge di Darcy, nella quale è detto coefficiente di permeabilità. In termini vettoriali, in condiioni di flusso bi-, e tri-dimensionali: r r r v = = div = carico idraulico (Eq. 4.5) Considerando ce la permeabilità è in generale una caratteristica anisotropa per i terreni naturali, la (4.5) diventa: v v v x y = = = x y = x = y = x y i i i x y (Eq. 4.6) Nelle relaioni precedenti, v è una velocità apparente, percé la velocità reale, v r, dell acqua nei pori è maggiore, in quanto, come evidenia la Figura 4.4a, l area della seione attraversata effettivamente dall acqua (area dei vuoti, A v ) è minore dell area della seione A. Quindi se Q è la portata misurata, essa può essere espressa come v A v Q = v A = v r A v da cui, osservando ce = = n, segue: v A v = nv r. r (Eq. 4.7) È opportuno inoltre osservare ce ance il percorso di filtraione finora considerato, pari alla lungea L del campione (Figura 4.3), è in realtà apparente, essendo quello reale sicuramente maggiore, come mostrato in Figura 4.4b. 4-5

6 a) b) Porione di tubo di flusso idealiato Figura 4.4 Velocità (a) e percorso di filtraione (b) reali ed apparenti 4.3 Coefficiente di permeabilità Il coefficiente di permeabilità a le dimensioni di una velocità. Esso è legato alla resistena viscosa e friionale alla filtraione di un fluido in un meo poroso e dipende dalle proprietà del fluido (densità e viscosità) e dalle caratteristice del meo poroso (permeabilità intrinseca). Limitandoci a considerare come fluido intestiiale l acqua, e poicé la densità e la viscosità di un fluido sono legate principalmente alla temperatura, ce nel terreno, salvo gli strati più superficiali o alcune situaioni particolari, varia abbastana poco, si assume il coefficiente di permeabilità dipendente solo dalle caratteristice del terreno. Il campo di variaione del coefficiente di permeabilità dei terreni è enormemente grande, come mostra la Tabella 4.1. Per i terreni a grana grossa, le cui particelle sono approssimativamente di forma subsferica, il coefficiente di permeabilità è influenato prevalentemente dalla granulometria e dall indice dei vuoti, ce determinano la dimensione dei canali di flusso (diminuisce all aumentare del contenuto di fine e al diminuire dell indice dei vuoti). Per i terreni a grana fine sono invece fondamentali la composiione mineralogica e la struttura, percé questi parametri determinano il tipo di interaione elettrocimica ce si stabilisce tra particelle di terreno e molecole d acqua (ad esempio la permeabilità della caolinite è circa 100 volte maggiore di quella della montmorillonite). 4-6

7 Ance il grado di saturaione influena sensibilmente la permeabilità; in particolare, sebbene non si possa stabilire una relaione univoca tra le due grandee, si può osservare ce la permeabilità cresce al crescere del grado di saturaione (Figura 4.5). Tabella 4.1. Valori tipici del coefficiente di permeabilità dei terreni TIPO DI TERRENO (m/s) Giaia pulita Sabbia pulita, sabbia e giaia Sabbia molto fine Limo e sabbia argillosa Limo Argilla omogenea sotto falda < 10-9 Argilla sovraconsolidata fessurata Roccia non fessurata Coefficiente di permeabilità [mm/s] Grado di saturaione [%] Figura 4.5 Variaione del coefficiente di permeabilità col grado di saturaione per una sabbia H 1, H,..... H n gli spessori corrispondenti A grande scala la permeabilità di un deposito dipende ance dalle caratteristice macrostrutturali del terreno (discontinuità, fessuraioni), come evideniato in Tabella 4.1 dal confronto tra i valori tipici di di argille omogenee intatte e argille fessurate Permeabilità di depositi stratificati Consideriamo un deposito di terreno costituito da n strati oriontali saturi (Figura 4.6) e indiciamo con: 1,, n i coefficienti di permeabilità in direione oriontale dei vari strati v1, v, vn i coefficienti di permeabilità in direione verticale dei vari strati H = ΣH i H lo spessore totale del deposito il coefficiente di permeabilità medio in direione oriontale 4-7

8 V il coefficiente di permeabilità medio in direione verticale a) q H H 1, H 1 q 1, H q n, H n v1, H 1 v, H q q n Nel caso in cui il deposito sia interessato da un moto di filtraione oriontale (Figura 4.6a), cioè parallelo all andamento degli strati (filtraione in parallelo), si a ce il gradiente idraulico, i, è lo stesso per tutti gli strati. Se si assume valida la legge di Darcy (4.4), la velocità di filtraione per ogni strato, v i, è proporionale al rispettivo coefficiente di permeabilità, ossia: v 1 = 1 i, v = i, v n = n i b) v, H n q mentre la portata di filtraione per ogni strato è pari al prodotto della velocità di filtraione per il corrispondente spessore: q 1 = v 1 H 1, q = v H, Figura 4.6: Filtraione parallela (a) e perpendicolare (b) ai piani di stratificaione q n = v n H n La portata di filtraione totale, Q, data dalla somma delle portate dei singoli strati, è data ance dal prodotto della velocità media, v, per lo spessore totale del deposito: Q = Σq i = v H (Eq. 4.8) dove, in accordo con la legge di Darcy, la velocità media di filtraione, v, è il prodotto del coefficiente di permeabilità medio, H, per il gradiente idraulico, i, ovvero v = H i. Sostituendo questa espressione nell equaione (4.8) ed esplicitando i vari termini si ottiene infine l espressione del coefficiente di permeabilità medio in direione oriontale: H v q i v i H i i H i = = = = (Eq. 4.9) i H i H i H Se il moto di filtraione avviene in direione verticale (Figura 4.6b), ovvero ortogonale all andamento degli strati si parla di filtraione in serie. In questo caso, per il principio di conservaione della massa, se il fluido è incompressibile, la portata ce attraversa ciascuno strato è la stessa, quindi, essendo uguale ance l area attraversata, è la stessa la velocità di filtraione, v = v1 i 1 = v i =..... = vn i n In accordo con la legge di Darcy (4.4), la velocità di filtraione v può essere espressa come il prodotto del coefficiente di perme- 4-8

9 abilità medio in direione verticale, V, per il gradiente idraulico medio, i m, dato dalla perdita di carico totale () diviso il percorso di filtraione (H): v = V i m = V ( / H) (Eq. 4.10) Ma la perdita di carico totale,, è la somma delle perdite di carico in ciascuno strato (pari al prodotto del gradiente idraulico per il relativo spessore) ovvero, esplicitando il gradiente idraulico di ciascuno strato: v H i = i = H i ii = H i = v (Eq. 4.11) v i vi Sostituendo questa espressione nell equaione (4.10) si ottiene infine l espressione del coefficiente di permeabilità medio in direione verticale: V = H H i vi (Eq. 4.1) In presena di terreni stratificati, il valore medio del coefficiente di permeabilità è fortemente condiionato dalla direione del moto di filtraione. Per filtraione verticale (o più esattamente ortogonale alla giacitura degli strati) il valore medio è molto prossimo al valore minore, ovvero al coefficiente di permeabilità degli strati a grana fine, mentre per filtraione oriontale (o più esattamente parallela alla giacitura degli strati) il valore medio è molto prossimo al valore maggiore, ovvero al coefficiente di permeabilità degli strati a grana grossa. 4.4 Equaione generale del flusso in un meo poroso y dy dx d Figura 4.7: Flusso attraverso un elemento di terreno x Si consideri un elemento infinitesimo di terreno di dimensioni dx dy d (Figura 4.7), attraversato da un flusso d acqua. Assumiamo per ipotesi ce il fluido ed i grani di terreno siano incomprimibili, e ce pertanto i rispettivi pesi specifici siano costanti nel tempo (γ =cost, γ s =cost). Indicando con v x la componente nella direione dell asse x del vettore v r, velocità apparente di filtraione, la portata in peso d acqua entrante nell elemento in direione x, q ex, e quella uscente, q ux, nella stessa direione saranno rispettivamente: q q ex ux = γ = γ v x v dy d x v x + dx dy d x Analoge espressioni valgono per le direioni y e. (Eq. 4.13) 4-9

10 Indicando con P il peso dell acqua contenuta nell elemento di terreno, per la condiione di continuità la differena tra la portata in peso d acqua entrante e quella uscente dall elemento di terreno sarà pari alla variaione del peso di acqua nell unità di tempo. In formula: ( ) ( ) t P q q q q q q u uy ux e ey ex = (Eq. 4.14) E combinando le l Eq e 4.14: t P d dy dx v y v x v y x = + + γ (Eq. 4.15) Introducendo la legge di Darcy (Eq. 4.6) nell Eq si ottiene: t P d dy dx y y y x x x y y x x = γ (Eq. 4.16) Se la permeabilità è costante lungo ciascuna delle tre direioni, ovvero se è: 0 y x y x = = = (Eq. 4.17) l Eq si semplifica nel modo seguente: t P d dy dx y x y x = + + γ (Eq. 4.18) Per definiione di: contenuto in acqua, = P /P s, indice dei vuoti, e = V v /V s, e grado di saturaione, S r = V /V v, si può scrivere: r s r v s S e V S V V P P γ = γ = γ = = (Eq. 4.19) La derivata dell Eq rispetto al tempo è 1 : + = γ t e S t S e V t P r r s (Eq. 4.0) 1 V s e γ sono indipendenti dal tempo. 4-10

11 poicé il volume totale dell elemento di terreno è V = dx dy d, per definiione di indice dei vuoti, e = (V-V s )/V s, e quindi V s = V/(1+e) = dx dy d /(1+e), si può ance scrivere: P t γ S = e (1 + e) t r + S r e dx dy d t (Eq. 4.1) Sostituendo l Eq. 4.1 nell Eq. 4.18, si ottiene l equaione generale di flusso: 1 Sr e x + + = e + S y r (Eq. 4.) x y 1+ e t t la quale si semplifica nei vari problemi di flusso secondo il seguente scema: Filtraione permanente e = costante S r = costante Consolidaione o rigonfiamento e = variabile S r = costante=1 Drenaggio o imbibiione e = costante S r = variabile Deformabilità per non saturaione e = variabile S r = variabile Ulteriori semplificaioni si anno nel caso di isotropia completa ( x = y = = ), e nel caso di flusso mono-direionale o bi-direionale Filtraione permanente in un meo omogeneo, isotropo e incompressibile Nel caso di filtraione permanente (e = cost, S r = cost.) in un meo omogeneo, idraulicamente isotropo ( x = y = = ) e incompressibile (γ =cost, γ s =cost), l equaione generale del flusso si semplifica nell equaione di Laplace: + + = 0 x y (Eq. 4.3) Nel caso bidimensionale di moto piano l'equaione di Laplace diviene: + = 0 x (Eq. 4.4) La soluione analitica dell equaione di Laplace è sempre molto difficile. Attualmente si ricorre a soluioni numerice con i metodi delle differene finite o degli elementi finiti, o alle più tradiionali e storice soluioni grafice. In passato si ricorreva spesso a modelli idraulici e a modelli elettrici basati sull analogia fra le leggi dell idraulica dei terreni e le leggi dell elettrotecnica. 4-11

12 Infatti, l equaione di Laplace bidimensionale può essere rappresentata graficamente da due complessi di curve (le linee di flusso e le linee equipoteniali) ce si tagliano ad angolo retto (rete di filtraione): Le linee di flusso sono i percorsi dei filetti liquidi nella seione trasversale. Esistono infinite linee di flusso ma per disegnare la rete di filtraione se ne sceglie un numero limitato. Lo spaio tra due linee di flusso successive viene ciamato canale di flusso. In ogni canale di flusso scorre una portata costante d acqua q. Le linee equipoteniali sono le linee di eguale energia poteniale, ovvero di eguale carico idraulico. Ance di linee equipoteniali ne esistono infinite, ma per disegnare la rete di filtraione se ne sceglie un numero limitato. Quando l acqua filtra attraverso i pori del terreno dissipa energia per attrito, e la distana fra due linee equipoteniali successive indica in quanto spaio si è dissipata una quantità costante del carico idraulico. Le particelle d'acqua scorrono lungo le linee di flusso in direione sempre perpendicolare alle linee equipoteniali. Pertanto le linee di flusso e le linee equipoteniali si intersecano ad angolo retto. Lo spaio (l area) delimitata da due linee di flusso successive e da due linee equipoteniali successive è detta campo. Il campo è la maglia della rete di filtraione (Figura 4.8). È conveniente costruire la rete di filtraione (ovvero scegliere quali linee di flusso e quali linee equipoteniali rappresentare) in modo tale ce: Campo i canali di flusso abbiano eguale portata q, q - b Linee di flusso a Linee equipoteniali Canale di flusso Figura 4.8. Definiione della rete di filtraione la perdita di carico fra due linee equipoteniali successive sia costante, i campi siano approssimativamente quadrati, ovvero ce abbiano eguali dimensioni medie (graficamente significa ce è possibile disegnare un cercio interno al campo tangente a tutti e quattro i lati curvilinei). Noto il carico idraulico totale dissipato,, e scelto il numero N dei dislivelli di carico i- draulico tra due linee equipoteniali successive =, dalla condiione ce i campi N siano approssimativamente quadrati, a b, essendo a la distana media fra le linee di flusso e b la distana media fra le linee equipoteniali del campo, si ottiene il numero N 1 di canali di flusso. Il gradiente idraulico in un campo è: i = (Eq. 4.5) b 4-1

13 la velocità di filtraione è: v = i = = (Eq. 4.6) b N b la portata di filtraione, per ogni canale di flusso, è: a q = v a = (Eq. 4.7) N b N e la portata totale è: N = N1 q = (Eq. 4.8) N Q 1 Le condiioni al contorno, ce permettono di tracciare alcune linee equipoteniali e di flusso, sono date da: le superfici impermeabili sono linee di flusso (ad esempio la superficie di uno strato di argilla, o la superficie verticale di un diaframma impermeabile, etc..), le superfici a contatto con l acqua libera sono linee equipoteniali, poicé in tutti i loro punti vale la relaione: = + u/γ = cost Esempio di rete idrodinamica (caso di moto di filtraione confinato) A titolo di esempio si consideri il problema rappresentato in Figura 4.9a, dove un diaframma è stato infisso, per una lungea L = 6.0 m, in uno strato di terreno, di spessore H = 8.6 m e coefficiente di permeabilità = m/s, delimitato inferiormente da uno strato di terreno impermeabile. L altea di falda, rispetto al piano di campagna, è, a monte del diaframma, H 1, di 4.5 m, mentre a valle, H, è stata ridotta, mediante pompaggio, a 0.5 m. Il primo passo per la costruione della rete idrodinamica consiste nel definire le condiioni al contorno: le superfici AB e CD ce delimitano il piano di campagna, sono, in quanto a contatto con l acqua libera, equipoteniali; le superfici BE e CE ce rappresentano rispettivamente il lato a monte ed il lato a valle del diaframma e la superficie FG, ce delimita lo strato di terreno impermeabile, sono linee di flusso, in quanto impermeabili. Poicé le condiioni al contorno della regione interessata dal flusso sono note a priori, si parla di moto confinato. In genere si assume come quota di riferimento per il calcolo del carico pieometrico il livello di falda a valle, da cui risulta ce il carico pieometrico è 1 = 0 in corrispondena della superficie equipoteniale CD (la quota geometrica è -0.5 m e l altea di pressione è 4-13

14 0.5 m), ed è = 4 m per la superficie AB (la quota geometrica è -0.5 m e l altea di pressione è 4.5 m). Le linee di flusso saranno tutte comprese tra la superficie FG e la superficie BEC e possono essere tracciate seguendo la procedura suggerita da Casagrande, ce consiste nei seguenti passi: 1) si traccia una prima linea di flusso di tentativo (HJ) da un punto della superficie equipoteniale a monte AB, vicino al diaframma, ad un punto della superficie equipoteniale a valle CD (Figura 4.9b); tale linea dovrà essere perpendicolare ad entrambe le superfici equipoteniali e passare attorno al punto E; ) si disegnano le linee equipoteniali di tentativo tra le linee di flusso BEC e HJ, in moda da formare dei campi approssimativamente quadrati (Figura 4.8); qualora non si riesca ad ottenere un numero intero di quadrangoli tra BH e CJ la linea di flusso HJ può essere leggermente spostata; 3) viene traccia la seconda linea di flusso di tentativo KL a partire da un punto della superficie equipoteniale AB più lontano dal diaframma rispetto al punto H, e prolungate le linee e- quipoteniali precedentemente disegnate, sempre in modo da individuare dei quadrangoli curvilinei; 4) si ripete la procedura A F F K H B E (a) E C (b) J Diaframma H = 4.5 m H = 0.5 m 1 A B C D = 4.0 m 1= 0. 0 m L = 6.0 m H = 8.6 m Tubo pieometrico H = 4.5 m u p γ 0 P 10 p = 3.3 m a (c) 5 L H = 0.5 m W 4 3 G n = 0 d m 1 Piano di riferimento D G Piano di riferimento Figura 4.9 Costruione di una rete idrodinamica: a) seione; b) tentativo di prova; c) rete finale 4-14

15 descritta al punto 3) fino a raggiungere la linea di flusso di confine FG; 5) al primo tentativo generalmente l ultima linea di flusso tracciata interseca la superficie impermeabile FG e per eliminare tale incoerena si itera la procedura descritta ai punti precedenti fino a ce l ultima linea di flusso tracciata ricada sopra la superficie FG (riducendo la dimensione dei quadrangoli), come mostrato in Figura 4.9c. Le aree comprese tra l ultima linea di flusso tracciata e la superficie impermeabile FG non sono quadrate (canale di flusso non completo) ma il rapporto tra la lungea e la largea deve essere all incirca lo stesso per tutte le aree. Per tracciare correttamente una rete idrodinamica con questa procedura è opportuno utiliare un numero limitato di linee di flusso (generalmente 4 o 5 canali di flusso). Nell esempio riportato il numero di canali di flusso ce è stato ottenuto è N 1 = 4.3 e il numero di campi delimitati dalle linee equipoteniali, N, è 1, con un rapporto N 1 /N = 0.36 e una perdita di carico tra due linee equipoteniali successive pari a: = ( 1 )/N = 0.33 m. Numerate le linee equipoteniali da valle verso monte con l indice n d (ce varia tra 0 e 1), il carico pieometrico corrispondente a ciascuna linee è pari a n d. La portata di filtraione per ogni canale di flusso è (Eq. 4.7): q = = (m 3 /s)/m e la portata di filtraione per unità di lungea del diaframma è pari a (Eq. 4.8): q = N 1 q = (m 3 /s)/m. Con riferimento ad un generico punto P (Figura 4.9c), appartenente alla superficie equipoteniale indicata con n d = 10 e ad una distana a dal livello di falda a valle del diaframma, il corrispondente valore del carico pieometrico è p = n d = = 3.3 m = p + u p /γ = -a + u p /γ da cui si ricava il valore della pressione interstiiale: Il gradiente idraulico nel campo è dato da (Eq.4.5): u p = γ ( p (-a)) = γ ( p +a) i = / b = 0.33/ b dove b è la distana media tra due linee equipoteniali. Ovviamente tale valore, e con esso la velocità di filtraione, varia tra un massimo corrispondente al campo di dimensione minima ed un minimo corrispondente al campo di dimensione massima Filtraione al confine tra terreni a differente permeabilità Quando il flusso d acqua attraversa la superficie di separaione tra terreni a differente permeabilità, come avviene ad esempio nelle dige in terra onate, le linee di flusso deflettono, la largea dei tubi di flusso e la distana fra le linee equipoteniali variano, e i campi, iniialmente quadrati, divengono rettangolari. Infatti la portata di ogni tubo di flusso, q = i a = a, deve restare costante. Se passando da un terreno ad un b a altro il coefficiente di permeabilità diminuisce, il rapporto deve aumentare, ovvero b 4-15

16 deve crescere la largea del canale di flusso e diminuire la distana fra due linee equipoteniali, e viceversa. La legge con cui si modificano le dimensioni dei campi è indicata In Figura a a b 1 b 1 < 1 α c d β > 1 α c a/ b = 1 c/ d = tanα/tanβ = / 1 β d Figura 4.10: Filtraione tra terreni a differente permeabilità Moto non confinato Se tutte le condiioni al contorno in cui avviene il moto di filtraione non sono note a priori, si parla di moto di filtraione non confinato. In tal caso il problema è molto più complesso in quanto è necessario procedere contemporaneamente alla determinaione delle condiioni al contorno mancanti e alla risoluione dell equaione di Laplace. Situaioni di questo tipo si verificano ad esempio nello studio dei moti di filtraione all interno di argini fluviali o dei corpi di dige in terra; in questi casi la superficie ce delimita superiormente l acqua in moto di filtraione è a pressione atmosferica (coincide con la superficie freatica), la sua localiaione non è nota e può essere determinata con costruioni grafice Terreni anisotropi Quanto detto finora si riferisce a terreni con eguale coefficiente di permeabilità in tutte le direioni (isotropi dal punto di vista della permeabilità). Spesso i terreni naturali ed ance i terreni messi in opera con costipamento sono anisotropi, ovvero anno coefficiente di permeabilità diverso in direione oriontale e in direione verticale. Per utiliare le regole di costruione grafica del reticolo idrodinamico sopra esposte occorre disegnare la seione della struttura interessata dal moto di filtraione in una scala oriontale alterata, v moltiplicando le distane oriontali per la quantità:. Poicé in genere è > v tale trasformaione produce una riduione delle dimensioni oriontali. Ad esempio, per 4-16

17 =9 v, tutte le dimensioni oriontali devono essere divise per 3. Una volta disegnata la rete idrodinamica, per calcolare la distribuione delle pressioni interstiiali occorre riportare il disegno in scala naturale, ottenendo dei campi non più quadrati. 4.5 Determinaione della permeabilità mediante correlaioni Per i terreni a grana grossa vengono talvolta impiegate relaioni empirice ce legano ad alcuni parametri relativamente semplici da determinare. Esistono ad esempio grafici ce legano il coefficiente di permeabilità al D 50, alla densità relativa, D r, e al coefficiente di uniformità, U, (Figura 4.11) oppure formule, valide per sabbie sciolte, uniformi (U 5), ce forniscono in funione di qualce diametro significativo presente nella distribuione granulometrica. Tra queste, una delle più usate è la formula di Haen 3 : = C (D 10 ) (Eq. 4.9) dove C è una costante compresa tra 100 e 150 se è espresso in cm/s e D 10 in cm. Figura 4.11 Correlaione tra il coefficiente di permeabilità,, la densità relativa, D r e il coefficiente di uniformità, U (Prug, 1959) 3 Si può giustificare l equaione (4.9) osservando ce la permeabilità di un terreno è influenata maggiormente dalla fraione fine, ce tende a riempire i vuoti, e quindi dal D

18 La misura sperimentale della permeabilità di un terreno può essere invece effettuata sia in laboratorio ce in sito; tuttavia, essendo la permeabilità un parametro fortemente influenato ance dai caratteri macrostrutturali, per i terreni naturali le misure in sito risultano generalmente più significative e quindi preferibili, a meno ce non si riesca a riprodurre fedelmente in laboratorio le condiioni esistenti in sito, mentre per i terreni utiliati come materiale da costruione sono significative ance le prove di laboratorio. Inoltre, ogni metodo di misura a un campo di applicaione ottimale all interno di un certo range di variaione della permeabilità; di conseguena il metodo di misura più opportuno deve essere scelto in relaione al tipo di terreno, come è evideniato nella Tabella Determinaione della permeabilità in laboratorio Per la misura del coefficiente di permeabilità in laboratorio vengono generalmente usati tre metodi: a) il permeametro a carico costante, per > 10-5 m/s b) il permeametro a carico variabile, per 10-8 < < 10-5 m/s c) i risultati della prova edometrica (ce verrà descritta dettagliatamente nel Capitolo 7), per < 10-8 m/s Permeametro a carico costante La prova con permeametro a carico costante è eseguita generalmente su campioni di terreno a grana grossa (giaie e sabbie pulite), compattati a diversi valori di densità relativa, in modo da ottenere una relaione tra la permeabilità e l indice dei vuoti del terreno esaminato. La permeabilità in sito viene poi stimata a partire dal valore dell indice dei vuoti ritenuto più rappresentativo del terreno naturale. Lo scema del permeametro a carico costante è quello indicato in Figura 4.1. Per l esecuione della prova viene immessa acqua nel recipiente ce contiene il terreno, mantenendo costante (realiando degli sfioratori) la differena di carico,, esistente tra le e- stremità del campione, ossia il livello dell acqua nei due recipienti. La quantità di acqua raccolta in un certo intervallo di tempo, t, è pari a C = Q t, essendo Q la portata immessa. Poicé il moto è staionario, con velocità pari a v, risulta C = v A t. Supponendo inoltre valida la legge di Darcy (4.4) e ce la perdita di carico si realii interamente all interno del campione di terreno, si a: C = i A t = A t (Eq. 4.30) L dove A è l area della seione trasversale del campione. Dall equaione (4.30) si ricava il valore di: C L = A t 4-18 (Eq. 4.31)

19 Tabella 4. Condiioni di drenaggio, tipi di terreno e metodi per la determinaione della permeabilità (m/s) GRADO DI PERMEABILITÀ alto medio basso DRENAGGIO buono povero TIPO DI TERRENO MISURA DIRETTA DI K STIMA INDIRETTA DI K giaia pulita sabbia pulita e miscele di sabbia e giaia pulita Prova in foro di sondaggio (misura locale; delicata esecuione) Prova di pompaggio (delicata esecuione; significativa) Permeametro a carico costante (facile esecuione) Determinaione dalla curva granulometrica Facile esecuione significativa (solo per sabbie e giaie pulite) sabbia fine, limi organici e inorganici, miscele di sabbia, limo e argilla, depositi di argilla stratificati terreni impermeabili modificati dagli effetti della vegetaione e del tempo molto basso Permeametro a carico variabile delicata esecuione: non significativa impermeabile praticamente impermeabile terreni impermeabili argille omogenee sotto la ona alterata dagli agenti atmosferici delicata esecuione: molto poco significativa Pieometro Pressiometro Pieocono (misura locale; delicata esecuione) Determinaione dai risultati della prova edometrica 4-19

20 L A Generalmente si effettuano più determinaioni considerando differene di carico e intervalli di tempo t differenti per poi adottare un valore medio Permeametro a carico variabile Figura 4.1 Permeametro a carico costante C Se la permeabilità del terreno è presumibilmente inferiore a 10-5 m/s, la portata e quindi la quantità di acqua raccolta (almeno in tempi ragionevolmente brevi) è piccola ed è difficile misurarla accuratamente con una prova a carico costante. Si eseguono in questo caso prove con permeametro a carico variabile, in cui la quantità di acqua ce fluisce attraverso il campione è determinata attraverso la misura della riduione dell altea di carico,, in un tubo di piccolo diametro collegato al recipiente ce contiene il campione (Figura 4.13). Trascurando la compressibilità dell acqua, si suppone ce, per il principio di conservaione della massa, la quantità di acqua ce scorre nel tubicino sia pari a quella ce attraversa il campione. Se il livello dell acqua si abbassa di una quantità d nel tempo dt, la quantità di acqua ce scorre nel tubicino nel tempo dt è pari a -ad (il segno meno percé il livello dell acqua diminuisce), uguale a quella ce attraversa il campione v Adt. Supponendo valida la legge di Darcy (4.4) e ce la perdita di carico si realii interamente all interno del campione di terreno, si a: L A 0 1 a iadt = -a d ovvero A dt = a d. L Separando le variabili e integrando si ottiene: a o 1 1 A d = L t1 to dt Figura 4.13 Permeametro a carico variabile 4-0 o A a ln = ( t1 t L da cui: 1 o )

21 a L a L = ln =.3 log (Eq. 4.3) A o o 1 o 1 1 o 10 ( t t ) A ( t t ) 1 Per quanto riguarda la determinaione di a partire dai risultati della prova edometrica si rimanda al Capitolo 7, in cui viene descritta la prova e definito il coefficiente di permeabilità in funione di uno dei parametri ce si determinano mediante tale prova. 4.7 Determinaione della permeabilità in sito Per la misura del coefficiente di permeabilità in sito si può ricorrere a tre tipi di prove: a) prove in poetto superficiale b) prove in foro di sondaggio c) prove di emungimento Prove in poetto superficiale Si tratta di prove speditive, di facile esecuione, ce, per contro, anno un campo di utilio limitato, in quanto forniscono misure del coefficiente di permeabilità limitate agli strati più superficiali e si eseguono in genere su terreni ce costituiscono opere di terra durante la loro costruione, aventi permeabilità maggiori di 10-6 m/s, e posti sopra falda. Il poetto è uno scavo di forma circolare o quadrata. La dimensione della seione in pianta è legata al diametro massimo presente nella granulometria; in particolare il diametro, d, (o il lato, b) del poetto deve risultare maggiore di volte il diametro massimo presente nella granulometria. La distana del fondo del poetto dalla falda, H, deve essere pari ad almeno 7 volte l altea media ( m o ) dell acqua nel poetto durante la prova, ce a sua volta deve risultare maggiore di d/4, per poetto circolare (o b/4, per poetto a base quadrata). Lo scema della prova è rappresentato in Figura Esistono due tipi di prova: - a carico costante - a carico variabile Nel primo caso viene immessa nel poetto una portata d acqua costante q, tale ce a regime il livello d acqua sia costante; nel secondo caso, dopo avere riempito il poetto, viene registrato l abbassamento del livello dell acqua nel tempo. In relaione alla forma del poetto e al tipo di prova, vengono impiegate formule semiempirice, valide nell ipotesi di terreno omogeneo e isotropo, con > 10-6 m/s. 4-1

22 > d/4 m d > diametro massimo dei granuli H > 7 m Figura 4.14 Scema della prova in poetto superficiale In particolare, nel caso di poetto circolare valgono le seguenti relaioni: q = d d 3 m t 1 per prova a carico costante (Eq. 4.33) π 1 = per prova a carico variabile (Eq. 4.34) t 1 1 m mentre nel caso di poetto a base quadrata: q 1 = per prova a carico costante b m b (Eq. 4.35) m 1+ 1 = b per prova a carico variabile (Eq. 4.36) t t 1 m b Nelle Equaioni da (4.33) a (4.36), 1 e sono le altee dell acqua nel poetto rispettivamente agli istanti t 1 e t, e m = ( 1 + )/ è l altea media Prove in foro di sondaggio Le prove in foro di sondaggio possono essere eseguite a varie profondità durante la perforaione, oppure a fine foro, sul tratto terminale e forniscono generalmente un valore puntuale della permeabilità, limitatamente alla verticale esplorata e alle profondità considerate. Le pareti del foro devono essere rivestite con una tubaione fino alla profondità a cui si vuole effettuare la misura di permeabilità (Figura 4.15a). Nei terreni ce tendono a franare o a rifluire il tratto di prova viene riempito di materiale filtrante e isolato mediante un tampone impermeabile (Figura 4.15b). Il filtro deve avere una granulometria opportuna, in modo da non influenare il flusso all interno del materiale di cui si vuole determinare la permeabilità. 4 -

23 a) b) Tubaione interna Rivestimento esterno Q Q 1 1 Tubo di rivestimento Tampone impermeabile L L Filtro D Figura 4.15 Scema della prova di immissione in foro di sondaggio, a carico variabile o costante, sena filtro (a) e con filtro (b) D In particolare, deve risultare: F 60 /F 10 (materiale uniforme) e 4D 15 F 15 4D 85 dove F x sono i diametri del filtro e D x quelli del terreno indagato. Le prove in foro di sondaggio si suddividono in: prove a carico costante prove a carico variabile di immissione (sopra o sotto falda) di emungimento (solo sotto falda) di risalita (solo sotto falda) di abbassamento (sopra o sotto falda) 4-3

24 Prove a carico costante Nelle prove a carico costante viene misurata, a regime, la portata, emunta o immessa, Q, necessaria a mantenere costante il livello dell acqua nel foro. Il coefficiente di permeabilità viene ricavato mediante la seguente relaione: Q = [m/s] (Eq. 4.37) F dove Q [m 3 /s] è la portata, [m] il livello dell acqua nel foro (rispetto alla base del foro se la prova è eseguita sopra falda, oppure rispetto al livello di falda se la prova è eseguita sotto falda) ed F [m] un fattore di forma, dipendente dalla forma e dalla geometria della seione filtrante ed è riportato in Tabella 4.3 in relaione alle geometrie rappresentate in Figura Tabella 4.3 Espressioni del coefficiente di forma F per differenti geometrie della seione filtrante (per lo scema geometrico vedi Figura 4.16) Geometria della seione Coefficiente di forma F 1. Filtro sferico in terreno uniforme π D. Filtro emisferico al tetto di uno strato confinato π D 3. Fondo filtrante piano al tetto di uno strato confinato 4. Fondo filtrante piano in terreno uniforme.75d 5. Tubo parialmente riempito al tetto di uno strato confinato 6. Tubo parialmente riempito in terreno uniforme D D π π L D.75D L D ' v ' v 7. Filtro cilindrico al tetto di uno strato confinato 8. Filtro cilindrico in terreno uniforme 9. Filtro cilindrico attraversante uno strato confinato 3π L 3L 3L ln D D L ln 1.5 D 3π L + L D π L r0 ln r 4-4

25 r0 1 3 D D D D/ D D D L v L v D D D L L L Figura 4.16 Geometrie del fattore di forma per il calcolo del fattore di forma F Prove a carico variabile Le prove di risalita a carico variabile vengono effettuate prelevando acqua dal foro in modo da abbassarne il livello di una quantità nota e misurando la velocità di risalita; nelle prove di abbassamento viene immessa acqua nel foro in modo da alarne il livello di una 4-5

26 quantità nota e viene misurata la velocità di abbassamento. Il coefficiente di permeabilità viene ricavato mediante la seguente relaione: ln = 1 [m/s] F A ( t t1 ) (Eq. 4.38) dove A [m ] è l area di base del foro, 1 e sono le altee agli istanti t 1 e t rispetto al livello della falda o a fondo foro (se si tratta di prove di abbassamento condotte sopra il livello di falda), F [m] è il fattore di forma precedentemente definito (Tabella 4.3). Una stima più attendibile del valore del coefficiente di permeabilità può essere eseguita determinando la media geometrica dei valori ricavati con prove di risalita ( r ) e di abbassamento ( a ), ovvero = r. Infatti, durante le prove di abbassamento, la fraione a più fine del materiale tende ad essere spinta verso il fondo del foro e la spinta idrodinamica tende a comprimere il terreno, facendone diminuire la permeabilità; al contrario, durante le prove di risalita, la fraione più fine del materiale tende ad essere asportata dall acqua e la spinta idrodinamica tende a decomprimere il terreno, facendone aumentare la permeabilità. Se la permeabilità oriontale del terreno è diversa da quella verticale (a causa dell orientamento dei grani nella fase di deposiione il coefficiente di permeabilità oriontale, H, risulta generalmente maggiore, ance di un ordine di grandea, del coefficiente di permeabilità verticale, V ), il coefficiente ottenuto da prove in foro di sondaggio tende a rappresentare il coefficiente di permeabilità verticale, V, tanto più è ridotta la lungea del tratto filtrante L (Figura ) rispetto al diametro del foro, D, fino alla situaione limite di seione piana, L=0 (Figura ). Mentre per valori di L/D sufficientemente grandi (L/D 1.) si assume ce il coefficiente di permeabilità misurato sia quello oriontale, H. Per situaioni intermedie (0 L/D 1.) si assume ce venga misurato un coefficiente di permeabilità medio =. medio H V Prove di pompaggio Le prove di pompaggio vengono eseguite in terreni con permeabilità medio-alta, al di sotto del livello di falda. Consistono nell abbassare il livello della falda all interno di un poo, opportunamente realiato, e nel rilevare in corrispondena di un certo numero di verticali, strumentate con pieometri, l abbassamento una volta raggiunto un regime di flusso staionario (Figura 4.17). Nella fase di emungimento la velocità di abbassamento del livello diminuisce all aumentare del volume di terreno interessato dal flusso, fino ad un valore prossimo alla stabiliaione (regime pseudo-staionario) se la falda non è alimentata e si stabilia se la falda è alimentata. Il raggio di influena è tanto maggiore quanto maggiore è la permeabilità. Per una corretta interpretaione della prova è necessario conoscere con buona approssimaione la stratigrafia, l estensione dell acquifero e le condiioni iniiali della falda, ce quindi vanno preventivamente ricavati mediante apposite indagini in sito. 4-6

27 Il poo principale, ce viene utiliato per l emungimento, a un diametro D compreso generalmente tra i 00 e i 400 mm; intorno ad esso, nella ona di depressione della falda (a causa dell andamento caratteristico della superficie pieometrica si parla ance di cono di depressione ) vengono disposti una serie di pieometri il cui numero dipende dalla eterogeneità del terreno. a) b) Q Poo Pieometri di controllo s 1 s Livello pieometrico iniiale r 1 1 r b Acquifero confinato Linee di flusso Pompa sommersa Superfici equipoteniali c) Q Poo Pieometri di controllo s 1 s Livello pieometrico iniiale r 1 r Acquifero non confinato 1 Linee di flusso Pompa sommersa Superfici equipoteniali Figura 4.17 Disposiione in pianta del poo e dei pieometri (a) e scema della prova di pompaggio in acquifero confinato (b) e non confinato (c) 4-7

28 Per la realiaione del poo viene disposto all interno del foro un tubo finestrato, con area delle aperture maggiore del 10% dell area laterale. Nel tratto di terreno da investigare, l intercapedine tra tubo e terreno è riempita con un filtro di giaietto e sabbia con una opportuna granulometria; nel tratto sovrastante, per evitare l infiltraione di acque esterne, l intercapedine è riempita con materiale impermeabiliante (generalmente argilla o bentonite). Il tipo di pieometri viene scelto in relaione al tipo di terreno; devono essere in numero non inferiore a tre, disposti secondo allineamenti passanti per il poo (almeno due allineamenti di cui uno parallelo alla direione di moto della falda) come mostrato in Figura 4.17a. La distana tra i pieometri aumenta con legge esponeniale: il primo di ogni allineamento viene posto a qualce metro dal poo, l ultimo al limite della ona di influena (50 00 m a seconda della permeabilità del deposito). Come già detto, la prova viene eseguita prelevando acqua dal poo mediante un sistema di pompaggio e misurando il livello pieometrico nel poo e nei pieometri fino a ce non si raggiunge una stabiliaione. Le letture vengono eseguite a intervalli di tempo via via crescenti ( min. nelle prime due ore, 5 min. nelle 4 ore successive, min. per il resto della prova, ce dura mediamente 4 36 ore e ance di più per terreni a bassa permeabilità). Le prove di emungimento vengono interpretate tenendo presente ce: - nel caso di acquifero confinato (falda artesiana) le linee di flusso sono oriontali e le superfici equipoteniali sono cilindri concentrici rispetto al poo (Figura 4.17b); - nel caso di acquifero non confinato (falda freatica) le linee di flusso (e le superfici e- quipoteniali) sono curve. In questo caso deve essere posta particolare attenione alla profondità di installaione dei pieometri, poicé l altea di risalita dell acqua (o comunque la pressione misurata) corrisponde alla pressione interstiiale della superficie equipoteniale passante per il punto di misura. (Figura 4.17c). Soluioni semplificate forniscono l espressione del coefficiente di permeabilità rispettivamente per il caso di acquifero confinato (Figura 4.17b) e non confinato (Figura 4.17c): r ln( ) Q r1 = π b ( ) r ln( ) Q r1 = π ( ) 1 1 (Eq. 4.39) (Eq. 4.40) Il valore della permeabilità ricavato con questo tipo di prova è un valore medio relativo al volume di terreno interessato dal cono di depressione. 4-8

29 4.8 Pressioni di filtraione e gradiente idraulico critico Allo scopo di osservare come si modifica il regime delle pressioni (totali, efficaci e interstiiali) in un punto del terreno, passando da una condiione in cui il fluido presente nel terreno è in quiete (regime idrostatico), ad una in cui avviene un moto di filtraione (supponiamo in regime staionario), consideriamo uno scema costituito da due recipienti comunicanti, di cui uno contenente solo acqua (serbatoio) e l altro contenente un campione di sabbia saturo completamente immerso, di altea, con livello dell acqua sovrastante la superficie superiore del campione di una lungea 1 (Figura 4.18). a) b) c) 1 1 A O P A O P A O P 1 γ 1 1 γ ( + ) 1 γ γ 1 γ i γ 1 γ ( + - ) 1 1 γ 1 γ u u u γ i 1 1 γ γ γ ( + + ) 1 Figura 4.18 Esempio di assena di filtraione (a), filtraione discendente (b) e ascendente (c) in un campione di sabbia saturo B B B 4-9 In relaione alla posiione relativa del livello dell acqua nei due recipienti si possono distinguere tre casi: a) assena di filtraione. Se l acqua si trova allo stesso livello nei due recipienti (Figura 4.18a) non c è differena di carico (ossia di energia) tra due punti, A e B, appartenenti alla due superfici libere, per cui l acqua è in quiete. La pressione verticale totale nel generico punto P, a profondità dall estremità superiore del campione, O, sarà data da: σ = γ sat + γ 1 (Eq. 4.41) b) e la pressione dell acqua (pressione interstiiale): u = γ ( 1 +) (Eq. 4.4) c) per cui la pressione verticale efficace vale: σ = σ u = γ sat + γ 1 - γ ( 1 +) = γ essendo γ = γ sat -γ (Eq. 4.43) d) filtraione discendente. Se il livello dell acqua nel serbatoio è mantenuto più basso di quello nel recipiente ce contiene il campione, di una altea, si a una differena di carico costante ce provoca un moto di filtraione dal recipiente ce