MUSICA AUREA E FISICA TEORICA

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1 MUSICA AUREA E FISICA TEORICA (Da Pitagora al bosone di Higgs) Gruppo B. Riemann * Nardelli Michele, Francesco Di Noto *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa Abstract In this paper we show some connections between music, theoretical physics and golden ratio Riassunto In questa lavoro mostreremo le numerose relazioni tra la sezione aurea e la musica, Introduzione La sezione aurea, com è noto, è presente in parecchi fenomeni naturali: da quelli studiati dalla fisica quantistica e dalla chimica ( stringhe, stabilità nucleare), a quelli studiati dalla botanica (fillotassi), ma anche dall astronomia (orbite di pianeti, galassie spirali e buchi neri), ecc. ecc. Ma è anche presente nella musica, come vedremo in questo lavoro ad essa dedicato in tal senso Documentazione La documentazione è molto vasta, qui riporteremo la più diffusa e importante, seguita da nostre osservazioni e commenti. Cominceremo dalla voce di Wikipedia Successione di Fibonacci, con il paragrafo. Nella musica, evidenziando in grassetto i brani che interessano maggiormente 1

2 Nella musica [modifica] La musica ha numerosi legami con la matematica, e molti ritengono che importante in essa sia il ruolo della sezione aurea e dei numeri di Fibonacci. A sostegno di tale tesi vengono spesso richiamate alcune particolarità strutturali di determinati strumenti come il violino e il piano e le applicazioni della sezione aurea e della successione di Fibonacci nei rapporti fra le durate (in misure) delle varie parti dei brani musicali e nella retorica musicale. Nel caso dei violini alcuni ritengono che la piacevolezza del suono derivi dalla sapienti capacità dei liutai di costruire la sua cassa armonica secondo particolari geometrie; per esempio l'arco che ne costituisce la base avrebbe, in molti casi, il suo centro di curvatura proprio in posizione aurea rispetto la lunghezza complessiva dello strumento, [3] inoltre anche lo stesso Stradivari si sa per certo che cercasse di posizionare gli occhielli del violino sempre in tale posizione, tuttavia non vi sono conferme sul fatto che tali accorgimenti conferiscano effettivamente un suono migliore allo strumento, che non possano essere invece attribuiti alla lavorazione dei materiali o alla scelta degli stessi. Invece, si può confermare come errato il luogo comune fra gli appassionati de numeri di Fibonacci di sostenere l'esistenza di parallelismi fra la struttura della tastiera del pianoforte e questa successione: i tredici tasti delle ottave, distinti in otto bianchi e cinque neri, a loro volta divisi in gruppi da due e tre tasti ciascuno; 2, 3, 5, 8, 13 appartengono infatti tutti alla successione di Fibonacci, ma anche in questo caso, ancor più che nel precedente, si tratta di una mera coincidenza che non può neppure essere attribuita a una specifica volontà del costruttore, poiché: si tratta di una soluzione motivata unicamente dall'evoluzione strutturale dello strumento le note musicali sono 12 e nell'ottava una è ripetuta la disposizione delle note musicali sulla tastiera, sebbene facesse uso del tasto spezzato, era comunque affermata prima dell'opera di Luca Pacioli e dunque prima di ogni completa comprensione della successione di Fibonacci [4]. Già Pitagora aveva osservato che gli accordi musicali ottenuti da corde le cui lunghezze siano in rapporto come numeri interi piccoli risultino particolarmente gradite all'orecchio. [5] Tuttavia, i motivi per cui tali rapporti sono particolarmente consonanti, che sono spiegati (almeno in parte) dall'acustica, non hanno praticamente alcuna connessione con la serie di Fibonacci. 2

3 Sul piano compositivo la sezione aurea attraverso la serie di Fibonacci può, ovviamente, essere rapportata a qualsiasi unità di misura concernente la musica, cioè durata temporale di un brano, numero di note o di battute, etc non sono comunque rari anche in questo caso facili entusiasmi dovuti a fraintendimenti numerici. Per esempio Paul Larson nel 1978 riscontrò nei Kyrie contenuti nel Liber Usualis il rapporto aureo a livello delle proporzioni melodiche, ma in mancanza di una documentazione che ne attesta la volontà di inserimento, la non casualità della cosa rimane tutta a livello puramente congetturale; medesime illazioni sono sempre state fatte che per le opere di Mozart, anche se recentemente John Putz, matematico all'alma College, subitamente convinto anche lui tale teoria specialmente per quanto riguarda le sue sonate per pianoforte, dovette ricredersi riscontrando un risultato decente soltanto per la Sonata n. 1 in Do maggiore. I musicologi hanno trovato altre applicazioni nei rapporti fra le durate (in misure) delle varie parti dei brani musicali, in particolare si trovano tali rapporti nelle opere di Claude Debussy [6][7] e di Béla Bartók [8][9]. Tra i compositori del XX secolo ricordiamo Stravinsky, Xenakis, Stockhausen (vedi il brano Klavierstück IX, dove si hanno frequenti rimandi alle successioni fibonacciane nelle segnature di tempo), Nono, Ligeti, Manzoni e Gubajdulina che disse a proposito di Bartok: «[...] L'aspetto ritmico della musica di Bartók mi interessa moltissimo, al punto che vorrei studiare a fondo la sua applicazione della Sezione Aurea.» Tuttavia è molto difficile stabilire se l'artista ha voluto consciamente strutturare l'opera con la sezione aurea o se piuttosto essa sia frutto della sua sensibilità artistica [10], dato che la sezione aurea si riscontra spesso in natura [11], come ad esempio nelle stelle marine, in ammoniti, conchiglie, ananas, pigne e nella forma di un uovo [12]. Infatti mentre alcuni ritengono che i sopra citati Debussy e Bartok impieghino deliberatamente la sezione aurea, per altri questo è meno scontato. D'altronde Debussy scrive al suo editore Durand (agosto 1903) esplicitamente: (FR) «Vous verrez, à la page 8 de "Jardins sous la Pluie", qu'il manque une mesure; c'est d'ailleurs un oubli de ma part, car elle n'est pas dans le manuscrit. Pourtant, elle est nécessaire, quant au nombre; le divine nombre [...].» (IT) «Lei vedrà, alla pagina 8 di "Jardins sous la Pluie" che manca una misura; è inoltre una mancanza della mia parte, perché non è nel manoscritto. Ancora, è necessaria, per il numero; il numero divino [...].» Nel Novecento le avanguardie della musica colta e molti tra gli eredi del serialismo, come i già citati Karlheinz Stockhausen, György Ligeti e Iannis Xenakis, invece applicarono sistematicamente e intenzionalmente - differentemente dalla maggioranza dei loro predecessori - i numeri di Fibonacci alla musica, approfondendone lo studio e la conoscenza e facendo evolvere i precedenti utilizzi della matematica in musica, hanno introdotto un utilizzo più strutturato della matematica (soprattutto il calcolo delle probabilità e del computer per la composizione musicale). Xenakis in particolare ha fondato a tale fine, a Parigi nel 1972, un gruppo di ricerca universitario chiamato CEMAMU, che ha appunto come obiettivo l applicazione delle conoscenze scientifiche moderne e del computer alla composizione musicale e alla creazione di nuovi suoni tramite sintetizzatori. Anche la musica Rock, specialmente nel cosiddetto rock progressivo, si è confrontata con gli aspetti mistico-esoterici della sezione aurea, e più precisamente dalla serie di Fibonacci. L esempio più 3

4 emblematico è la musica dei Genesis, che hanno usato assiduamente la serie fibonacciana nella costruzione armonico-temporale dei loro brani: Firth of Fifth è tutto basato su numeri aurei: ad esempio ci sono assoli di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note, etc. Oltre ai Genesis, altre rock band hanno usato, seppure più sporadicamente, i numeri aurei nelle loro composizioni. Fra questi i Deep Purple nel brano Child in Time e i Dream Theater nell'album Octavarium, interamente concepito secondo il rapporto tra i numeri 8 e 5 e termini consecutivi della sequenza di Fibonacci. Risale invece al 2001 Lateralus album della band americana Tool che contiene il singolo omonimo "Lateralus" costruito fedelmente sulla serie di Fibonacci: i Tool fanno un sapiente uso dei primi elementi della successione di Fibonacci: contando infatti le sillabe della prima strofa si ottiene 1,1,2,3,5,8,5,3,2,1,1,2,3,5,8,13,8,5,3. Da notare che la canzone fa un continuo riferimento alla figura della spirale ([...] To swing on the spiral [...] Spiral out. Keep going [...]). Un altra documentazione simile è tratta dal sito lnx.altreviste.com/.../57-musica- sezione-aurea-e-numeri-di-fibonacci dal titolo Musica, sezione Aurea E numeri di Fibonacci Musica, sezione Aurea e numeri di Fibonacci Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Nell'ambito dell'arte e della matematica si indica con sezione aurea il rapporto fra due grandezze disuguali, di cui la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la loro somma, mentre lo stesso rapporto esiste anche tra la grandezza minore e la loro differenza. In formule, indicando con a e b le due lunghezze, vale la relazione: (a+b) : a = a : b = b : (a-b) [1] Tale rapporto vale approssimativamente 1,618. Il numero ricavato che esprime la sezione aurea è un numero irrazionale, cioè rappresentabile con infinite cifre decimali (non tutte uguali a 0 o 9); esso può essere approssimato, con crescente precisione, dai rapporti fra due termini successivi della successione di Fibonacci, a cui è strettamente collegato. Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente slegati tra loro, hanno impressionato nei secoli la mente dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo 4

5 nell'ambiente antropico quale "canone di bellezza"; testimonianza ne è forse la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di "aureo" o "divino", proprio a dimostrazione del fascino esercitato. La musica ha numerosi legami con la matematica, e molti ritengono che centrale in essa sia il ruolo della sezione aurea. A sostegno di tale tesi vengono spesso richiamate alcune particolarità strutturali di determinati strumenti come il violino e il piano. Nel caso dei violini alcuni ritengono che la piacevolezza del suono derivi dalla sapienti capacità dei liutai di costruire la sua cassa armonica secondo particolari geometrie; per esempio l'arco che ne costituisce la base avrebbe, in molti casi, il suo centro di curvatura proprio in posizione aurea rispetto la lunghezza complessiva dello strumento,[48] inoltre anche lo stesso Stradivari si sa per certo che cercasse di posizionare gli occhielli del violino sempre in tale posizione; non vi sono però conferme sul fatto che tali accorgimenti conferiscano effettivamente un suono "migliore" allo strumento, che non possano essere invece attribuiti alla lavorazione dei materiali o alla scelta degli stessi. Nel pianoforte, invece, particolare rilievo viene dato alla struttura della tastiera, in special modo con parallelismi fra i numeri di questa e quelli di Fibonacci. I tredici tasti delle ottave, distinti in otto bianchi e cinque neri, a loro volta divisi in gruppi da due e tre tasti ciascuno; 2, 3, 5, 8, 13 appartengono infatti tutti alla successione di Fibonacci, ma anche in questo caso, ancor più che nel precedente, si tratta di una mera coincidenza che non può neppure essere attribuita a una specifica volontà del costruttore, trattandosi di una soluzione motivata unicamente dall'evoluzione strutturale dello strumento. In passato si è fatto notare, che molti degli intervalli musicali naturali sarebbero riducibili a frazioni in termini di numeri di Fibonacci (una sesta maggiore di La e Do 5/3, una sesta minore di Do e Mi 8/5). Già Pitagora aveva osservato che gli accordi musicali ottenuti da corde le cui lunghezze siano in rapporto come numeri interi piccoli risultino particolarmente gradite all'orecchio.[49] Tuttavia, i motivi per cui tali rapporti sono particolarmente consonanti, che sono spiegati (almeno in parte) dall'acustica, non hanno praticamente alcuna connessione con la serie di Fibonacci. Sul piano compositivo la sezione aurea attraverso la serie di Fibonacci può, ovviamente, essere rapportata a qualsiasi unità di misura concernente la musica, cioè durata temporale di un brano, numero di note o di battute, etc non sono comunque rari anche in questo caso facili entusiasmi dovuti a fraintendimenti numerici. Per esempio Paul Larson nel 1978 sostenne di aver riscontrato nelle Kyrie contenute nel Liber Usualis, il rapporto aureo a livello delle battute, 5

6 ma in mancanza di una documentazione che ne attesta la volontà di inserimento rimane tutto a livello puramente congetturale; medesime illazioni sono sempre state fatte che per le opere di Mozart, anche se recentemente John Putz, matematico all'alma College, subitamente convinto anche lui tale teoria specialmente per quanto riguarda le sue sonate per pianoforte, dovette ricredersi riscontrando un risultato decente soltanto per la Sonata n. 1 in Do maggiore. Questo è quello che hanno fatto, per esempio, Béla Bartók ( ) in alcune delle sue maggiori composizioni (come la Musica per Archi, Percussioni e Celesta) e Claude Debussy ( ), il quale era particolarmente attratto dalla sezione aurea, citata da lui come le divine nombre nella raccolta Estampes (1903) e usata, tra gli altri, nella composizione dei brani La Mer (1905) e Cathédrale Engloutie. Quest ultimo, in particolare, è un preludio per pianoforte di 89 battute, di cui le prime 68 hanno un tempo doppio delle restanti 21: in altre parole, alla battuta 68 il brano rallenta il tempo a metà. L'effetto prodotto all'ascolto, quindi, riduce le battute di questa prima sezione a 34, e il brano ha una lunghezza percepita da chi lo ascolta di 55 battute, vale a dire la sezione aurea di 89. Questo è uno dei tanti esempi che si possono citare per descrivere l applicazione del concetto di sezione aurea all'interno delle composizioni musicali di Debussy. Il pianista Roy Howat ha analizzato altri brani di Debussy come Reflets dans l'eau, L'isle joyeuse (oltre al già citato La mer) riscontrando in ognuno varie applicazioni delle tecniche succitate. Bartòk e Debussy sono solo due tra i compositori che hanno usato in musica il concetto di sezione aurea, ma se ne potrebbero menzionare molti altri, tutti operanti tra la fine del XIX secolo e il XX secolo. In epoche più recenti, musicisti quali Stockhausen, Pierre Barbaud, Iannis Xenakis, facendo evolvere i precedenti utilizzi della matematica in musica, hanno introdotto un utilizzo più strutturato della matematica (soprattutto il calcolo delle probabilità e del computer per la composizione musicale). Xenakis in particolare ha fondato a tale fine, a Parigi nel 1972, un gruppo di ricerca universitario chiamato CEMAMU, che ha appunto come obiettivo l applicazione delle conoscenze scientifiche moderne e del computer alla composizione musicale e alla creazione di nuovi suoni tramite sintetizzatori. Sofija Gubajdulina ha utilizzato frequentemente la serie di Fibonacci nelle sue opere - ad esempio nella Sinfonia "Stimmen... Verstummen...", in Perception, nel pezzo per percussioni All'inizio era il ritmo, nel coro Omaggio a Marina Cvetaeva, nel trio Quasi hoquetus, nella sonata Et exspecto e altre. Va sottolineato che la compositrice ha fatto ricorso alla serie di Fibonacci quale regola per organizzare il ritmo, generale o particolare, delle sue opere: "La Sezione Aurea è stata impiegata [...] in due sensi: nella struttura intervallare e in quella ritmica. Delle due a me interessa particolarmente la seconda. Se si interpreta la struttura intervallare con le cifre occorre prendere il semitono come unità di misura. [...] Certamente i numeri 3-5-8, e quindi anche gli intervalli che essi rappresentano, sono disposti in una sequenza che è quella della serie di Fibonacci. Ma su questo tipo di applicazione io ho alcuni dubbi, perché gli intervalli in questione sono considerati all'interno del sistema temperato, [...] un sistema artificiale. La serie di Fibonacci si applica invece al sistema del mondo, in una 6

7 parola a quella natura che viene violata dall'artificio del sistema temperato. L'uso della serie di Fibonacci nel sistema ritmico mi sembra invece giusto e naturale perché il ritmo è legato alla naturalità del nostro respiro."[50] Anche la musica Rock, specialmente nel cosiddetto rock progressivo, si è confrontata con gli aspetti mistico-esoterici della sezione aurea, e più precisamente dalla serie di Fibonacci. L esempio più emblematico è la musica dei Genesis, che hanno usato assiduamente la serie fibonacciana nella costruzione armonico-temporale dei loro brani: Firth of Fifth è tutto basato su numeri aurei: ad esempio ci sono assoli di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note, etc. Oltre ai Genesis, altre rock band hanno usato, seppure più sporadicamente, i numeri aurei nelle loro composizioni. Fra questi i Deep Purple nel brano Child in Time e i Dream Theater nell'album Octavarium, interamente concepito secondo il rapporto tra i numeri 8 e 5 e termini consecutivi della sequenza di Fibonacci. Risale invece al 2001 Lateralus album della band americana Tool che contiene il singolo omonimo "Lateralus" costruito fedelmente sulla serie di Fibonacci. note: 1 ^ Si legge: "a più b" sta ad "a" come "a" sta a "b" e come "b" sta ad "a" meno "b" 48 ^ Livio, op. cit., p ^ Ciononostante, il sistema di note più usato al giorno d'oggi, basato sul temperamento equabile, prevede che i rapporti tra due semitoni successivi della scala cromatica sia pari alla quantità 12 2, un numero irrazionale, il che fa sì che gli unici rapporti interi fra le note corrispondano agli intervalli di ottava (il cui rapporto è pari a due). 50 ^ Fonte: "Un'autobiografia dell'autore raccontata da Enzo Restagno", contenuto in AA.VV. "Gudajdulina", ed. EDT Altra nota dal libro di Marcus Du sautoy L equazione da un milione di dollari (Rizzoli) pag. 63: 7

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9 Vediamo ora una connessione con le teorie di stringa, connettendo la serie di Fibonacci delle vibrazioni musicali con le vibrazioni delle stringhe, legate ai numeri primi naturali (di forma 6f+1 con f = numeri di Fibonacci anziché n = numeri naturali come per i numeri primi normali) quindi alla serie di Fibonacci. Dal Rif. 4 (Sulle possibili relazioni matematiche tra Funzione zeta di Riemann, Numeri Primi, Serie di Fibonacci, Partizioni e Teoria di Stringa), pag.5, 6 e 7:. 2. Possibili relazioni matematiche tra teoria di stringa e serie di Fibonacci. Nardelli ha provato a paragonare le frequenze emesse da una stringa alle frequenze emesse dalle note musicali. Ad ogni nota è cioè assegnata una ben determinata frequenza. Ogni frequenza è, a sua volta, associata a dei ben determinati numeri primi. Le frequenze che vanno dal Do naturale al Si naturale sono: 262Hz, 294Hz, 330Hz, 349Hz, 392Hz, 440Hz e 494Hz. Scomponendo in fattori, i numeri primi che costituiscono tali frequenze sono: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 131 e 349. Come è logico, anche questi numeri possono corrispondere a delle determinate frequenze. Adesso, proviamo a dividere tutte le frequenze che vanno dal Do naturale al Si naturale, precisamente 262, 277, 294, 311, 330, 349, 370, 392, 415, 440, 466 e 494, quindi anche i semitoni, per 2, per 4 e per 8,ottenendo così tutte le frequenze corrispondenti alla tastiera di un pianoforte. Scomponendo in fattori, la serie dei 9

10 numeri primi che formano tutte le frequenze così ricavate è: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 31, 37, 47, 59, 83, 131, 139 e 233. Di tali numeri il 2 si ripete trenta volte, il 3 undici volte, il 5 nove volte, il 7 dodici volte, l 11 otto volte, il 13 otto volte, il 31 tre volte ed il 37 tre volte. Mettendo in grafico la serie dei numeri ed il numero di volte che esso si ripete, otteniamo una curva che mostra la casualità insita nelle forme frattali. D altronde anche il fisico A. Palumbo ha notato che la gradita ripetitività dei temi di un brano musicale, riproposta in tonalità diverse, risiede nel rispetto dei principi della geometria frattale. Quindi, le stringhe la cui vibrazione è dell ordine di Hz, quindi di energia pari a 10 12, ev, possono essere correlate all andamento che rispecchia la casualità dei numeri primi, quindi ad un andamento frattale. L esempio stringhe - note può essere benissimo esteso alle altre frequenze e quindi anche a quelle stringhe di energia pari a quella corrispondente ad un bosone o ad un fermione. Calcolando i rapporti tra le successive frequenze di vibrazione delle stringhe, si nota facilmente che esse coincidono quasi perfettamente con le radici 2n esime del numero 1, , cioè la nota sezione aurea della serie di Fibonacci. Infatti, calcolando tali radici, otteniamo i seguenti valori, che per semplicità indicheremo con le lettere a, b, c: 1, =1, = a, 1, =1, = b, 1, =1, = c. 10

11 Le successive radici non hanno rilevanza, bastano infatti le prime tre sopra calcolate, e qualche media aritmetica tra due di esse, molto vicina al valore di qualche rapporto tra una frequenza ed una delle precedenti indicate dal Nardelli. Le dodici frequenze indicate, precedentemente, sono: 262, 277, 294, 311, 330, 349, 370, 392, 415, 440, 466, 494. I rapporti effettivi tra una di loro ed una delle precedenti è molto vicina ad uno dei numeri a, b e c come 2n -esime radici del numero 1,618033, o alla media aritmetica tra a e b. Infatti: (a + b)/ 2 =1, Avremo, quindi: 277/262 = 1,05725 = circa c ; 294/277 = 1,06137 = circa c ; 294/262 = 1,12213 = circa b ; 311/262 = 1,18702 = circa media tra a e b ; 311/277 = 1,12274 = circa b ; 311/294 = 1,05782 = circa c ; 330/262 = 1,25954 = circa a ; 330/277 = 1,19133 = circa media tra a e b ; 330/294 = 1,12244 = circa b ; 330/311 = 1,06109 = circa c ; 349/262 = 1,33206 = circa a ; 349/277 = 1,25992 = circa a ; 349/294 = 1,18707 = circa media tra a e b ; 349/311 = 1,12218 = circa b ; 349/330 = 1,05757 = circa c ; e così via, fino all ultimo numero 494, che ha rapporti simili con tutti i numeri precedenti a partire da 392: 494/392 = 1,26020 = circa a ; 494/415 = 1,19036 = circa media tra a e b ; 494/440 = 1,12272 = circa b ; 494/466 = 1,06008 = circa c. 7 Per i rapporti tra 494 ed i primi numeri della serie delle frequenze, il valore ottenuto è maggiore del numero 1, Per esempio: 494/262 = 1, Ma se prendiamo il numero aureo 1, e lo moltiplichiamo per b, avremo:1, , = 1,824879, vicino al rapporto reale 1,885496, ancor 11

12 meglio se approssimato alla seconda cifra decimale: 1,82 1,88. La stessa cosa succede con i numeri di Fibonacci. Il rapporto tra un numero di Fibonacci e la semidifferenza, per es. il rapporto tra 89 e 72 (semidifferenza tra 89 e 55, in quanto: = 34; 34 / 2 = 17 e = 72) è di 1,2361, cioè circa il numero a = 1,272019, proprio come con i semitoni. Questo potrebbe essere importante per ulteriori ricerche sull argomento delle relazioni tra teoria di stringa e serie di Fibonacci, e anche tra teoria di stringa, numeri primi naturali e semitoni. Dalla serie delle frequenze, compresi i semitoni, il Nardelli ricava la serie di numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 31, 37, 47, 59, 83, 131, 139 e 233 che sembrano essere associati a vibrazioni di stringhe. Anche quelli che vengono chiamati numeri primi naturali, perché spuntano fuori anche in altri fenomeni naturali, come la stabilità nucleare, sono legati alla serie di Fibonacci, in modo diverso dai rapporti tra le frequenze oggetto di questo capitolo, ma comunque strettamente legati ai numeri di Fibonacci, confermando i nostri sospetti e calcoli sul possibile legame tra vibrazioni delle stringhe, numeri primi (e quindi funzione zeta di Riemann) e serie di Fibonacci (e quindi anche frattali e caos quantistico). Stabilito con i suddetti esempi che il rapporto tra una frequenza qualsiasi e una delle frequenze inferiori è vicinissimo ad una radice 2n -esima (con n = 1, 2 e 4 e radici 2-esime ( 2 ), 4-esime ( 4 ) e 8-esime ( 8 ) ) del numero 1,618033, quindi alla sezione aurea, (che potrebbe essere definita anche come una nuova costante di stringa ) occorre vedere il significato fisico della relazione matematica così venuta fuori tra 2n, le radici 2n esime della suddetta sezione aurea, i numeri primi e i 12

13 numeri di Fibonacci, che ricompaiono poi anche nei numeri primi naturali, i quali coincidono con molti dei numeri primi ricavati dal Nardelli. (Notiamo che i numeri di n, cioè 1, 2 e 4 moltiplicati fra loro forniscono 8 ed anche i numeri relativi alle radici 2-esime, 4-esime e 8-esime, quindi 2, 4 e 8 moltiplicati fra loro forniscono 64 = 8 2. Il numero 8 è un numero di Fibonacci, ed è connesso ai modi corrispondenti alle vibrazioni fisiche delle superstringhe attraverso la seguente equazione modulare di Ramanujan: 8 = 1 3 cosπtxw' 2 πx w' e dx 0 4 antilog coshπx 2 πt w' 4 ( ) e φw' itw' log t w' 2. ) In questo possibile significato fisico, potrebbe benissimo essere coinvolta la funzione zeta di Riemann, con la nota somiglianza tra gli intervalli tra gli zeri di questa funzione (basati sui numeri primi matematici, di forma P = 6n ± 1 tranne il 2 ed il 3) ed i livelli energetici degli atomi, come conseguenza delle vibrazioni delle stringhe connesse ai numeri primi ottenuti dal Nardelli, (che sono stati identificati con i numeri primi naturali presenti anche in altri fenomeni naturali) collegabili alla funzione zeta di Riemann e ad alcune soluzioni di equazioni di teoria di stringa come è stato evidenziato nei lavori New mathematical connections concerning string theory I e II e in Teoremi sulle coppie di Goldbach e le coppie di numeri primi gemelli: connessioni tra funzione zeta di Riemann, Numeri Primi e Teoria di Stringa. 13

14 Concludendo, oltre che ai problemi additivi di tipo Goldbach invocati dal Nardelli, le stringhe e le loro vibrazioni sembrano essere collegate anche alla serie di Fibonacci, tramite il numero aureo, oltre che ai numeri primi naturali collegati anch essi ai numeri di Fibonacci. I nostri sospetti sulla relazione fisicomatematica tra stringhe, numeri primi e numeri di Fibonacci si dimostrano quindi fondatissimi Per il resto si rimanda al Rif 4) Con questa citazione concludiamo questo lavoro sulla Musica Aurea Conclusioni Concludiamo brevemente sottolineando come la sezione aurea spunta dappertutto in natura in base anche alle sue simmetrie geometriche di fondo (Rif.5), e anche nella straordinaria arte che è la musica, e da questa si collega direttamente ad un altro fenomeno vibratorio questa volta del tutto naturale, costituito dalle stringhe, argomento molto importante della fisica moderna (vedi anche Rif. 6) Riferimenti 1) voce di Wikipedia Successione di Fibonacc, sito it.wikipedia.org/wiki/successione_di_fibonacci - 2) Sezione Aurea e Musica sul 14

15 sito : 3)) Musica, sezione Aurea e numeri di Fibonacci, sito l nx.altreviste.com/.../57-musica-sezione-aurea-e-numeri-di-fibonacci 4) Sulle possibili relazioni matematiche tra Funzione zeta di Riemann, Numeri Primi, Serie di Fibonacci, Partizioni e Teoria di Stringa. Dedicato alla memoria del genio matematico S. Ramanujan ( ) Michele Nardelli, Francesco Di Noto e Annarita Tulumello 5) L EQUAZIONE PREFERITA DELLA NATURA: n^2 + n + 1 (con n primo)(alla base de numeri e dei gruppi di Lie, dei numeri di Fibonacci, delle partizioni di numeri, delle simmetrie e delle teorie di stringa) Francesco Di Noto, MicheleNardelli sul nostro sito 6) Sistema Musicale Aureo Phi(n/7) e connessioni matematiche tra numeri primi e Paesaggio della Teoria delle Stringhe Christian Lange1, Michele Narrdelli2,3 e Giuseppe Bini4,5 sul sito: eprints.bice.rm.cnr.it/628/ - 15k 7) DAI NUMERI PRIMI AL BOSONE DI HIGGS TRAMITE LE SIMMETRIE (numeri primi-numeri di Lie-gruppi eccezionali di Lie-simmetrieteorie di stringa-e8xe8-bosone di Higgs) Gruppo B. RIEMANN * Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. 15

16 Nota 1(sulla musica del Bosone di Higgs) Cliccando sul seguente link e seguendo la pagina web, è possibile ascoltare la musica (sia solo al piano, sia con più strumenti e le consiglio quest'ultima) che hanno ricavato dai "dati" inerenti il Bosone di Higgs. Nel grafico qui di seguito i "dati" da cui è stata ricavata la musica. (fonte ve.gif?subformat=icon-640) 16

17 (fonte: 20Library/Higgs_Boson_ATLAS_Preliminary_data.pdf) 17