Economia delle decisioni

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1 Economia delle decisioni Esempi introduttivi Massimizzazione dell utilità attesa Evidenza sperimentale Cumulative Esempi riconsiderati Argomentidella lezione 1

2 Esempi introduttivi L effetto di fine giornata nelle scommesse sui cavalli Gli scommettitori hanno la tendenza a scommettere su cavalli con minore probabilità di vincita (i cosiddetti longshots ) verso la fine della giornata La teoria dell utilità attesa non riesce a spiegare questo comportamento perchè l ultima corsa della giornata non è molto diversa quelle che la precedono Ci si può attendere una minore avversione al rischio se la ricchezza aumenta, ma la maggior parte degli scommettitori è in perdita alla fine della giornata (quindi ha una ricchezza inferiorea quella del mattino) Esempi introduttivi Chi si assicura e poi scommette Molti individui acquistano polizze assicurative contro ogni genere di rischi rivelandosi avversi al rischio Allo stesso tempo, gli stessi individui, scommettono o acquistano biglietti per lotterie con un valore atteso inferiore al prezzo pagato rivelandosi amanti del rischio La teoria dell utilità attesa fatica a spiegare questi comportamenti, anche con funzioni di utilità dalla forma complicata 2

3 Esempi introduttivi L Equity premium puzzle Il rendimento dei titoli azionari sul mercato statunitense è stato storicamente molto più alto di quello dei titoli a rendimento assicurato una differenza media del 6% Spiegare un differenziale di rendimento così elevato richiederebe livelli assurdi di avversione per il rischio Esempio Negli USA, chi avesse investito $1.000 in azioni nel 1925 avrebbe avuto circa $ nel 1995 (rendimento medio 10.1%) Investendo su titoli a rendimento assicurato avrebbe avuto solo $12.720! (rendimento medio 3.7%) (Fonte: Siegel e Thaler, 1997) La massimizzazione dell utilità attesa Secondo la teoria dell utilità attesa, l agente sceglie la lotteria (anche nota prospect ) con la più alta utilità attesa Per lotterie della forma: L = (x, p; y, 1 p) Si massimizza: EU(L) = p u(x) + (1 p) u(y) dove u(w) è la funzione di utilità della moneta (o della ricchezza) che riflette la propensione al rischio dell agente Vedremo una serie di circostanze in cui gli agenti economici violano sistematicamente questo principio Ci soffermeremo sull evidenza che: Le probabilità non sono trattate in modo lineare Guadagni e perdite sono trattati in modo asymmetrico Gli agenti non riducono le lotterie composte (e non integrano le conseguenze delle loro scelte con la loro situazione corrente) Vedremo come può spiegare questa evidenza 3

4 Evidenza sperimentale: Non-linearità delle probabilità Chi sceglie B nel Problema 1 rivela u(2400) >.33 u(2500) +.66 u(2400), ovvero:.34 u(2400) >.33 u(2500) Chi sceglie C nel Problema 2 rivela:.33 u(2500) >.34 u(2400) Il common consequence effect (CCE) o effetto della conseguenza comune Evidenza sperimentale: Non-linearità delle probabilità Chi sceglie B nel Problema 3 rivela: u(3000) >.8 u(4000) Chi sceglie C nel Problema 4 rivela.2 u(4000) >.25 u(3000), ovvero:.8 u(4000) > u(3000) Il common ratio effect (CRE) o effetto del rapporto comune 4

5 Evidenza sperimentale: Non-linearità delle probabilità Chi sceglie B nel Problema 7 (in cui vincere è probabile) rivela.9 u(3000) >.45 u(6000), ovvero: u(3000) >.5 u(6000) Chi sceglie C nel Problema 4 (in cui vincere è solo possibile) rivela.001 u(6000) >.002 u(3000), ovvero:.5 u(6000) > u(3000) Evidenza sperimentale: Non-linearità delle probabilità Riepilogando: Problemi 1 & 2:.34 u(2400) >.33 u(2500).33 u(2500) >.34 u(2400) Problemi 3 & 4: u(3000) >.8 u(4000).8 u(4000) > u(3000) Problemi 7 & 8: u(3000) >.5 u(6000).5 u(6000) > u(3000) In tutti e tre i casi, le stesse utilità appaiono nei due lati di ambo le disuguaglianze Ciò implica che per spiegare queste tendenze sistematiche con una sola funzione di utilità occorre assumere che le probabilità siano trasformate in modo non-lineare 5

6 Evidenza sperimentale: Non-linearità delle probabilità Possiamo vedere perchè con l aiuto del triangolo di Marschak- Machina 1 Pr(L) A Per il common ratio effect (Problemi 3 e 4) S = 0, M = 3000, L = 4000 A = (L, 0.8; S, 0.2) B* = (M, 1) C* = (L, 0.2; S, 0.8) D = (M, 0.25; S, 0.75) Scelte possibili: AC o BD (in figura) C 0 B D Pr(S) Evidenza sperimentale: Non-linearità delle probabilità Possiamo vedere perchè con l aiuto del triangolo di Marschak- Machina 1 Pr(L) Per il common consequence effect (Problemi 1 e 2) S = 0, M = 2400, L = 2500 A = (L, 0.33; M, 0.66; S, 0.01) B* = (M, 1) C* = (L, 0.33; S, 0.67) D = (M, 0.34; S, 0.66) Scelte possibili: AC (in figura) o BD 0.4 A C B D Pr(S) 6

7 Evidenza sperimentale: Non-linearità delle probabilità Possiamo vedere perchè con l aiuto del triangolo di Marschak- Machina 1 Pr(L) Per l effetto probabilità/possinilità (Problemi 5 e 6) S = 0, M = 3000, L = 6000 A = (L, 0.45; M, 0; S, 0.55) B* = (M, 0.9; S, 0.1) C* = (L, 0.01; S, 0.99) D = (M, 0.02; S, 0.98) Scelte possibili: AC o BD (in figura) A B C D Pr(S) Evidenza sperimentale: Non-linearità delle probabilità 1 Pr(L) Questa evidenza è compatibile con una mappa di curve di indifferenza che si aprono a ventaglio (il cosiddetto fanning out ) Si noti che: anche se le curve di indifferenza sono lineari, questo non significa che l utilità attesa sia lineare in Pr(S) e Pr(L) curve di indifferenza di questo tipo rispettano la proprietà di betweenness Pr(S) 7

8 Evidenza sperimentale: guadagni e perdite vs vs vs vs Riconsideriamo i problemi visti finora con perdite anzichè guadagni Le scelte tipiche sono invertite rispetto a quelle per i guadagni Questo è l effetto riflesso L effetto suggerisce che guadagni e perdite sono trattati in maniera asimmetrica Evidenza sperimentale: lotterie composte (0.8) = (0.2) = Se entrambi i nodi vengono presi in considerazione, le conseguenze finali sono come nel Problema 4: (4000,.2) e (3000,.25) Nel Problema 10, la maggioranza sceglie l opzione sicura, nel problema 4 quella rischiosa. Questo è chiamato effetto isolamento ( isolation effect ) 8

9 Evidenza sperimentale: lotterie composte Le conseguenze finali sono le stesse nei due casi: (2000,.5; 1000, 0.5) e (1500, 1) Tuttavia, la maggior parte delle persone tendono a ignorare il primo stadio e scelgono diversamente nel secondo Poichè uno ha guadagni e l altro perdite, c è un effetto riflesso Per spiegare queste violazioni sistematiche della teoria dell utilità attesa, Kahneman and Tversky (1979) hanno ideato una teoria alternativa, chiamata (PT) Nella sua versione originale, la teoria prevedeva due fasi: semplificazione ( editing ) e valutazione ( valuation ) Per prima cosa, l agente semplifica le lotterie tra cui deve scegliere Le lotterie semplificate vengono poi valutate assegnando a ciascuna un valore soggettivo analogo all utilità attesa 9

10 Semplificazione Le lotterie vengono trasformate con una serie di operazioni: Codifica le conseguenze vengono descritte come guadagni e perdite Combinazione le conseguenze identiche vengono raccolte insieme (100, 0.3; 100, 0.3) diventa (100, 0.6) Segregazione la parte non rischiosa della lotteria viene separata (100, 0.7; 150, 0.3) diventa (100, 1) + (50, 0.3) Cancellazione gli elementi in comune vengono ignorati (come le somme di 1000 e 2000 nei Problemi 11 e 12) Arrotondamento Le conseguenze e le probabilità vengono arrotondate (99, 0.51) può diventare (100, 0.5) Dominanza le opzioni dominate vengono eliminate (100, 0.51) domina (100, 0.5), quindi (100, 0.5) non viene considerata Valutazione Ricordiamo il principio dell utilità attesa applicato a L = (x, p; y, 1 p) EU(L) = p u(x) + (1 p) u(y) In PT, le lotterie sono valutate in modo simile: SV(L) = π(p) v(x) + π(1 p) v(y) Questo implica che: Le probabilità sono trasformate tramite una funzione di peso della probabilità ( probability-weighting function ) π(.) che può essere non-lineare Le conseguenze sono trasformate tramite una funzione del valore ( value function ) che incorpora un asimmetria tra guadagni e perdite e un adattamento alla posizione corrente Le proprietà delle funzioni v(.) e π(.) sono scelte in modo da essere psicologicamente plausibili e poter spiegare l evidenza anomala 10

11 Alcuni dettagli La versione originale di PT si applica a lotterie con al massimo 2 conseguenze non nulle (x, p; y, q) Si distinguono tre tipi di lotterie: Strettamente positive: x > y > 0 e p + q = 1 Esempio: (400, 0.25; 100, 0.75) Strettamente negative: x < y < 0 and p + q = 1 Esempio: (-400, 0.25; -100, 0.75) Regolari: né strettamente positive né strettamente negative Esempi: (3,000, 1) o (4,000, 0.8) (-3,000, 1) o (-4,000, 0.8) (100, 0.6; -100, 0.4) una lotteria mista Considereremo solo le lotterie regolari (che figurano in tutti gli esempi considerati sinora) Probability-weighting function (PT) Caratteristiche salienti Sovrastima ( overweighting ) delle probabilità basse Sottostima ( underweighting ) delle probabilità alte Discontinuità agli estremi 11

12 Original Proprietà specifiche della probability weighting function Problemi 1 e 2: Sottocertezza ( subcertainty ) (2400, 1)! (2500, 0.33; 2400, 0.66) e (2500, 0.33)!(2400, 0.34) v(2400) > π(.33)v(2500) + π(.66)v(2400) e π(.33)v(2500) > π(.34)v(2400) combinando le due espressioni: [1 π(.66)]v(2400) > π(.34)v(2400) quindi: 1 π(.66) > π(.34) ovvero: π(.66) + π(.34) < 1 In generale: π(p) + π(1 p) < 1 A parole: la somma dei pesi di probabilità esaustive è minore di 1 (la certezza sembra incerta) Original Problemi 3 e 4: Sottoproporzionalità ( subproportionality ) (3000, 1)! (4000, 0.8) e (4000, 0.2)! (3000, 0.25) v(3000) > π(.8)v(4000) e π(.2)v(4000) > π(.25)v(3000) π(.8)/π(1) < v(3000)/v(4000) e v(3000)/v(4000) < π(.2)/π(.25) combinando le due espressioni: π(.8)/π(1) < π(.2)/π(.25) (< 1) In generale:!(#$)!(#$')!(#)!(#') A parole: quando le probabilità sono scalate di un fattore comune, i pesi diventano progressivamente più simili (i pesi non si riducono in modo proporzionale) 12

13 Original Problema 8: Sottoadditività ( subadditivity ) (6000, 0.001)! (3000, 0.002) π(0.001) v(6000) > π(0.002) v(3000) la concavità di v(.) implica che 2v(3000) > v(6000) sostituendo nell espressione precedente la disuguaglianza regge π(0.001) 2v(3000) > π(0.002) v(3000) v(x) 2 π(0.001) > π(0.002) 2v(3000) ovvero π(0.5 x 0.002) > 0.5 π(0.002) Più in generale: π(rp) > r π(p) v(6000) v(3000) A parole: il peso di una frazione di probabilià è maggiore della stessa frazione del peso 3000 x 6000 La funzione del valore Caratteristiche salienti: Reference-dependence (dipendenza dal punto di riferimento) Avversione alla Perdita ( Loss aversion ) Sensibilità decrescente ( Diminishing sensitivity ) 13

14 Reference-dependence (dipendenza dal punto di riferimento) Le conseguenze sono valutate come guadagni e perdite rispetto a un punto di riferimento Giustificazione psicologica (K&T 1979; p. 277): This assumption is compatible with basic principles of perception and judgment. Our perceptual apparatus is attuned to the evaluation of changes or differences rather than to the evaluation of absolute magnitudes. When we respond to attributes such as brightness, loudness, or temperature, the past and present context of experience defines an adaptation level, or reference point, and stimuli are perceived in relation to this reference point. Questa assunzione è compatibile con principi base della percezione e del giudizio. Il nostro apparato percettivo è adatto alla valutazione di cambiamenti o differenze piuttosto che alla valutazione di quantità assolute. Quando rispondiamo a grandezze come la luminosità, sonorità, temperatura, il contesto passato e presente della nostra esperienza definiscono un livello di adattamento, o punto di riferimento, in relazione al quale gli stimoli vengono percepiti Loss aversion (avversione alla perdita) Le perdite hanno un impatto psicologico maggiore dei guadagni della stessa dimensione Giustificazione psicologica (K&T 1979; p. 279): A salient characteristic of attitudes to changes in welfare is that losses loom larger than gains. The aggravation that one experiences in losing a sum of money appears to be greater than the pleasure associated with gaining the same amount. Una caratteristica saliente della risposta ai cambiamenti di benessere è che le perdite hanno un effetto maggiore dei guadagni. Il disappunto che si prova nel perdere una somma di denaro appare più grande del piacere associato al guadagnare lo stesso ammontare 14

15 Diminishing sensitivity (sensibilità decrescente) L impatto aggiuntivo di un ulteriore unità persa o guadagnata è decrescente Giustificazione psicologica (K&T 1979; p. 278): Many sensory and perceptual dimensions share the property that the psychological response is a concave function of the magnitude of physical change. For example, it is easier to discriminate between a change of 3 o and a change of 6 o in room temperature, than it is to discriminate between a change of 13 o and 16 o Molte dimensioni sensoriali e percettive hanno la proprietà che la risposta psicologica è una funzione concava di quanto è grande il cambiamento fisico. Per esempio, è più facile discriminare tra un cambiamento della temperatura ambiente di 3 o e uno di 6 o, piuttosto che discriminare tra un cambiamento di 13 o e uno di 16 o La dipendenza dal punto di riferimento ( reference dependence ) fornisce una spiegazione immediata dell effetto isolamento Ci si concentra sulle lotterie, ignorando il primo stadio (Problema 10) o il denaro ricevuto in precedenza (Problemi 11 e 12) L avversione alla perdita spiega l effetto riflesso La funzione del valore è concava (indicando avversione al rischio) per i guadagni e convessa per le perdite (indicandopropensione al rischio) 15

16 Cumulative La versione originale di ha importanti limitazioni: Si può applicare solo a lotterie con al massimo due conseguenze non nulle I pesi associati a stati del mondo esaustivi e mutualmente esclusivi non sommano a 1 Se le operazioni di semplificazione sono applicate in ordine diverso, possono portare a lotterie semplificate diverse, e quindi decisioni differenti Per superare tali limitazionie, Tversky and Kahneman (1992) hanno proposto una nuova versione della teoria chiamata cumulative prospect theory (CPT) o versione cumulativa per via del modo in cui si calcolano i pesi decisionali Questa teoria è attualmente la più commune alternativa alla teoria dell utilità attesa Le differenze principali tra le due versioni sono: - L assenza della fase di semplificazione in CPT - Il calcolo dei pesi decisionali tramite una trasformazione cumulativa della funzione peso delle probabilità Cumulative Generalizzazione delle lotterie Sia f una lotteria che offer n 0 guadagni e m 0 perdite (con almeno m o n > 0): f = (g n, p n ; ; g 1, p 1 ; l 1, q 1,, l m, q m ) f = (f + ; f ) dove: f + = (g n, p n ; ; g 1, p 1 ) f - = (l 1, q 1,, l m, q m ) " # p " + " & q ( = 1 Nella lotteria f le conseguenze sono ordinate in modo che: I guadagni sono numerati da 1 a n in valore assoluto crescente Le perdite sono numerate da 1 a m in valore assoluto crescente Losses l m l 2 l 1 0 g 1 g 2 g 3 g n Gains 16

17 Cumulative Valutazione delle lotterie Il valore soggettivo della lotteria f è dato da: V(f) = V(f + ) + V(f ) dove V(f + ) e V(f ) indicano rispettivamente il valore della parte positiva (guadagni) e negativa (perdite) di f. Ovvero: V f # = ' & π # & v x & V f + = -, π +, v(x, ) π & # e π & + sono i pesi decisionali, ottenuti trasformando le probabilità cumulative usando una funzione di peso della probabilità ( probability-weighting function ), che può essere diversa per i guadagni (W + ) e le perdite (W ) Cumulative Probability-weighting function (CPT) (Fonte: T&K 1992) Caratteristiche salienti: Non ci sono discontinuità (Potenzialmente) diversa per guadagni (W + ) e perdite (W - ) W " = W, = $ % [$ % ' ()$ % ] (/% -. [-. ' ()-. ] (/. Tipiche assunzioni: Sovrastima ( overweighting ) delle probabilità basse Sottostima ( underweighting ) delle probabilità alte 34 17

18 Cumulative La trasformazione cumulativa implica i pesi decisionali: Max guadagno: π " = W % (p " ) 2 o max guad.: π ")* = W % (p " + p ")* ) W % (p " ) 3 o max guad.: π ")- = W % (p " + p ")* + p ")- ) W % (p " + p ")* )... Max perdita: π. = W ) (q. ) 2 a max perdita: π.)* = W ) (q. + q.)* ) W ) (q. ) 3 a max perdita: π.)- = W ) (q. + q.)* + q.)- ) W ) (q. + q.)* )... Per ogni conseguenza, il peso decisionale è dato dalla differenza tra: - Il peso della probabilità totale di eventi almeno buoni (x guadagni) o cattivi (x perdite) quanto il guadagno/perdita in consideriazione - Il peso della probabilità totale di eventi strettamente migliori (x guadagni) o peggiori (x perdite) del guadagno/perdita in consideriazione Un illustrazione con 4 guadagni: Si consideri una lotteria L = (g 4, p 4 ; g 3, p 3 ; g 2, p 2 ; g 1, p 1 ) dove g 4 > g 3 > g 2 > g 1 0 e p 4 + p 3 + p 2 + p 1 = 1 Per esempio: L = (40,.2; 30,.3; 20,.15; 0,.35) Occorrono 4 pesi decisionali: Cumulative Max guadagno: π " = W % (p " ) 2 o max guad.: π ) = W % (p " + p ) ) W % (p " ) 3 o max guad.: π, = W % (p " + p ) + p, ) W % (p " + p ) ) 4 o max guad.: π - = W % (p " + p ) + p, + p - ) W % (p " + p ) + p, ) Sostituendo i valori di p i : Max guadagno : π 4 = W + (.2) 2 o max guad.: π 3 = W + (.2 +.3) W + (.2) 3 o max guad.: π 2 = W + ( ) W + (.2 +.3) 4 o max guad.: π 1 = W + ( ) W + ( ) 18

19 Cumulative Sommando: L = (40,.2; 30,.3; 20,.15; 0,.35) Max guadagno: π 4 = W + (.2) 2 o max guad.: π 3 = W + (.5) W + (.2) 3 o max guad.: π 2 = W + (.65) W + (.5) 4 o max guad.: π 1 = W + (1) W + (.65) Supponiamo: W " = i x i p i (Σp j ) j i (Σp j ) j>i $ %.'( [$ %.'( * +,$ %.'( ] +/%.'( W + (Σp j ) j i W + (Σp j ) j>i π i w(p) E infine, V(L) =.42 v(0) +.11 v(20) +.22 v(30) +.25 v(40) p Cumulative La quadruplice attitudine al rischio ALTA PROBABILITA Effetto certezza BASSA PROBABILITA Effetto possibilità GUADAGNI 95% prob. di vincere Timore del disappunto AVVERSO AL RISCHIO 5% prob. di vincere Speranza di gran guadagno AMANTE DEL RISCHIO PERDITA 95% prob. di perdere Speranza di evitare la perdita AMANTE DEL RISCHIO 5% prob. di perdere Paura di una grande perdita AVVERSO AL RISCHIO Si immagini di scegliere tra ognuna di queste quattro lotterie e una lotteria che offre il corrispondente valore atteso per certo (ovvero, +/ sicuri o +/- 500 sicuri) (Fonte: Kahneman 2011) 19

20 Esempi riconsiderati Chi si assicura e poi scommette Molti individui acquistano polizze assicurative contro ogni genere di rischi rivelando avversione al rischio Allo stesso tempo, gli stessi individui, scommettono o acquistano biglietti per lotterie con un valore atteso inferiore al Prezzo pagato rivelandosi amanti del rischio In è una conseguenza della quadruplice attitudine al rischio (effetto possibilità) La sovrastima delle probabilità basse inverte le tenenze di fondo prodotte dalla funzione del valore Esempi riconsiderati L effetto di fine giornata nelle scommesse sui cavalli Gli scommettitori hanno la tendenza a scommettere su cavalli con minore probabilità di vincita (i cosiddetti longshots ) verso la fine della giornata La teoria dell utilità attesa non riesce a spiegare questo comportamento perchè l ultima corsa della giornata non è molto diversa dalle precedenti In l effetto è dovuto all avversione alla perdita Se gli scommettitori non vogliono chiudere la giornata in perdita (una forma di contabilità mentale ), le perdite accumulate li faranno propendere per il rischio (solo una grossa vincita può coprire le perdite accumulate) 20

21 Esempi riconsiderati L Equity premium puzzle Il rendimento dei titoli azionari sul mercato statunitense è stato storicamente molto più alto di quello dei titoli a rendimento assicurato una differenza media del 6% Spiegare un differenziale di rendimento così elevato richiederebe livelli assurdi di avversione per il rischio La spiegazione classica è un misto di avversione alla perdita e narrow bracketing : Se gli investitori valutano il loro portafoglio di frequente ( narrow bracketing ), vedranno spesso le azioni perdere valore Poichè sono avversi alla perdita, eviteranno le azioni Una frequenza di valutazione dei portafogli di 1 volta all anno produce un premio paragonabile a quello osservato Caso 6.1, pp di Wilkinson e Klaes Letture Wilkinson e Klaes (2015), Capitolo 5 Kahneman, D. e Tversky, A. (1979). Prospect theory: An analysis of decision under risk, Econometrica 47(2):