Capitolo 7. Il corpo rigido. 7.1 Il corpo rigido

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1 Capitolo 7 Il corpo rigido 7.1 Il corpo rigido Uncorpo rigido discreto, denotato con C, è unsistema di N punti materiali P 1,...,P N che mantengono invariate le loro distanze mutue durante il moto. Fissato un riferimento Σ = Oê 1 ê 2 ê 3, i punti P j sono individuati dai vettori P j O, con coordinate x j nella base {ê 1,ê 2,ê 3 }. Le distanze mutue ρ ij (x i,x j ) = x j x i = c ij, i,j = 1,...,N. tra i punti di C sono costanti. Esempio: due punti materiali vincolati rigidamente che si muovono in R 3. L insieme delle configurazioni ammissibili formano una sottovarietà C R 6 di dimensione 5. Infatti, se x 1 = (x 1,y 1,z 1 ),x 2 = (x 2,y 2,z 2 ) le configurazioni possibili sono definite da Ψ(x 1,x 2 ) := x 2 x 1 2 l 2, con l > 0. Si ha dunque ρ 2 12 (x 1,x 2 ) = 2((x 1 x 2 ),(y 1 y 2 ),(z 1 z 2 ),(x 2 x 1 ),(y 2 y 1 ),(z 2 z 1 )) e almeno una delle componenti è non nulla se Ψ(x 1,x 2 ) = 0. Quindi il vincolo di rigidità, almeno in questo semplice caso, è olonomo. Definizione 22. Diciamo che un sistema di riferimento Σ = O ê 1ê 2ê 3 è solidale al corpo rigido C se i punti P j del corpo hanno tutti velocità nulla rispetto a Σ 1. Costruiamo esplicitamente dei sistemi di riferimento solidali. Se tutti i punti di C sono allineati ne prendiamo due, P 1 e P 2 e poniamo O = P 1, ê 1 = 1 oppure, equivalentemente, se le coordinate di tutti i punti P j sono costanti in Σ. 141

2 142 CAPITOLO 7. IL CORPO RIGIDO (P 2 P 1 )/ρ 12, ê 2 ê 1, ê 3 = ê 1 ê 2. Le coordinate di ogni altro punto P j di C sono determinate univocamente dalle costanti c 1j,c 2j. Se esistono tre punti, P 1,P 2,P 3 C non allineati poniamo O = P 1, ê 1 = (P 2 P 1 )/ρ 12, ê 2 π(p 1,P 2,P 3 ) (il piano generato dai tre punti) con ê 2 ê 1 e (P 3 P 1 ) ê 2 > 0. Infine ê 3 = ê 1 ê 2. In questo caso le coordinate di ogni altro punto P j di C non sono univocamente determinate dalle costanti c 1j,c 2j,c 3j in quanto l intersezione non vuota delle 3 sfere di centro P i e raggio c ij, i = 1,2,3 dà luogo genericamente a due punti. Comunque la continuità del moto di P j implica che le coordinate di P j in Σ sono costanti. Proposizione 37. Se C ha almeno 3 punti non allineati, le configurazioni possibili formano una sottovarietà C di R 3N diffeomorfa a R 3 SO(3). Dimostrazione. Sia Σ = O ê 1ê 2ê 3 un riferimento solidale a C. Definiamo una mappa φ : R 3 SO(3) R 3N tramite φ(x O,R) = (x O +Rx 1,...,x O +Rx N), dove Se x O descrive le coordinate di O O nella base B = {ê 1,ê 2,ê 3 }, x h,h = 1...N sono le coordinate (costanti) dei vettori P j O nella base B = {ê 1,ê 2,ê 3 } ed R è l inversa della matrice del cambiamento di base da B a B (cioè ha componenti R ji = ê i ê j). L immagine della mappa φ descrive tutte le possibili coordinate dei vettori P h O nella base B in quanto x O R 3 ed R SO(3) descrivono tutte le possibili scelte di un sistema di riferimento Σ solidale a C. Osserviamo che φ è iniettiva, infatti se allora x (1) O +R 1 x h = x (2) O +R 2 x h, h R 1 (x i x j ) = R 2(x i x j ), R 1(x i x k ) = R 2(x i x k ) con x i,x j,x k vettori linearmente indipendenti. Ne segue che R 1(R 2 ) 1, che è un elemento di SO(3), ha due autovettori indipendenti relativi all autovalore 1, dunque R 1 = R 2 e, di conseguenza, x (1) O = x (2) O. La mappa φ e la sua inversa, definita sull immagine φ(r 3 SO(3)), sono differenziabili perché lineari. Quindi φ è un diffeomorfismo sulla sua immagine. La varietà delle configurazioni di un corpo rigido con almeno tre punti non allineati ha dimensione 6, infatti SO(3) è una sottovarietà differenziabile di R 9 di dimensione 3 (vedi Appendice, Proposizione 50).

3 7.1. IL CORPO RIGIDO 143 Esercizio 3. Dimostrare che se un corpo rigido è formato da punti allineati, l insieme delle configurazioni possibili è diffeomorfo a R 3 S Proprietà cinematiche di un corpo rigido Velocità angolare di un corpo rigido Definizione 23. Definiamo la velocità angolare ω di un corpo rigido come quella di minima norma tra le velocità angolari di tutti i sistemi di riferimento solidali rispetto ad un riferimento dato Σ. Si presentano due casi: Proposizione 38. i) Se C ha almeno 3 punti non allineati allora la sua velocità angolare è quella di un qualunque riferimento solidale a C. ii) Se invece tutti i punti di C sono allineati allora la sua velocità angolare è data dalla differenza tra quella di un qualunque riferimento solidale a C e la sua componente in direzione dell allineamento dei punti. Dimostrazione. i)consideriamo dueriferimenti solidali Σ,Σ. Denotiamocon ω, ω levelocitàangolaridiσ rispettoaσediσ rispettoaσ rispettivamente. Dunque la velocità angolare di Σ rispetto a Σ è data da ω+ ω. Se P 1,P 2,P 3 sono punti del corpo non allineati, dalla (1.10) applicata a P 2 P 1 e a P 3 P 1 si ha ω (P 2 P 1 ) = ω (P 3 P 1 ) = 0, per cui ω = 0, quindi le velocità angolari di Σ e Σ rispetto a Σ sono le stesse. ii) Considero ancora due riferimenti solidali Σ,Σ e denoto con ω, ω le loro velocità angolari rispetto a Σ. Questa volta però Σ è scelto in modo tale che ω abbia componente nulla lungo la direzione di allineamento dei punti del corpo e quindi corrisponda alla velocità angolare del corpo rigido. Si considerino due punti P 1,P 2 del corpo. Dalla (1.10) abbiamo ω (P 2 P 1 ) = 0, quindi le velocità angolari di Σ e Σ differiscono solo per una componente lungo la direzione di allineamento. Formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi Fissiamo un sistema di riferimento Σ = Oê 1 ê 2 ê 3. Proposizione 39. Siano x h, x k V 3 le posizioni di due punti P h,p k di un corpo rigido C o ad esso solidali 2 e siano v h, v k le loro rispettive velocità relative a Σ. Se C è in moto con velocità angolare ω vale la formula v k = v h + ω (P k P h ). (7.1) 2 Affermare che un punto è solidale a C ci dà un informazione sulla sua velocità

4 144 CAPITOLO 7. IL CORPO RIGIDO Dimostrazione. v k v h = d dt (P k P h ) = ω (P k P h ). Σ Le posizioni e le velocità (x 1...x N,v 1...v N ) di un corpo rigido C sono determinate ad ogni istante t dalla posizione e velocità di un punto O solidale al corpo al tempo t, da una matrice R(t) SO(3) e dalla velocità angolare ω(t) di C : x h = x O +Rx h, v h = v O +ω (x h x O ). Asse istantaneo di rotazione Definizione 24. Se ω(t) 0 è la velocità angolare di un corpo rigido all istante t, si chiama asse istantaneo di rotazione una retta r(t) fatta di punti solidali al corpo che hanno tutti velocità parallela ad ω(t) oppure nulla. Dimostriamo che, sotto opportune ipotesi, esiste un unico asse istantaneo di rotazione: Proposizione 40. Se ω = ω(t) 0 allora all istante t esiste un punto P 0 = P 0 (t) tale che tutti i punti solidali al corpo rigido che si trovano a quell istante sulla retta passante per P 0 e parallela ad ω(t) hanno tutti velocità parallela ad ω oppure nulla. Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che dati due punti P 1, P 2 solidali al corpo, che all istante t si trovano su una retta parallela ad ω(t), si ha v P2 = v P1 + ω (P 2 P 1 ) = v P1. Quindi, se dimostriamo che all istante t esiste P 0 solidale al corpo con v P0 parallelo ad ω allora tutti i punti solidali al corpo che si trovano a quell istante sulla retta passante per P 0 e parallela ad ω hanno la stessa velocità, parallela ad ω. Sia O solidale al corpo e sia π un piano ortogonale ad ω e passante per O : determiniamo un punto P 0 π solidale al corpo e tale che v P0 ω. Moltiplichiamo vettorialmente per ω la relazione fondamentale per P 0 ed O : v P0 ω = v O ω +( ω (P 0 O )) ω = v O ω + ω 2 (P 0 O ) poiché (P 0 O ) ω = 0. Imponendo che la velocità di P 0 sia parallela ad ω otteniamo P 0 O = 1 ω 2 v O ω. Dalla dimostrazione costruttiva della sua esistenza segue anche l unicità dell asse istantaneo di rotazione.

5 7.1. IL CORPO RIGIDO 145 moto elicoidale Proposizione 41. Le velocità dei punti solidali al corpo rigido hanno una simmetria cilindrica rispetto all asse istantaneo di rotazione. Dimostrazione. Assumiamo che ω(t) 0. Considero un operatore lineare R di rotazione attorno all asse istantaneo di rotazione r(t) e, dato un punto P 1 r(t)definisco P 0 = r(t) Π P1 conπ P1 ilpianopassanteperp 1 eortogonale a r(t). Sia P 2 = P 1 +R(P 1 P 0 ). Per la (7.1) si ha v P1 = v P0 + ω (P 1 P 0 ), v P2 = v P0 + ω (P 2 P 0 ). Siccome v P0 e ω sono paralleli all asse, R v P1 = v P0 + ω R(P 1 P 0 ) = v P2. Inoltre dalla (7.1) applicata ai punti P 1,P 0 segue che v P1 (P 1 P 0 ) = 0 cioè, in coordinate cilindriche con asse r(t), la componente radiale della velocità dei punti solidali al corpo rigido è nulla. A questo proposito si parla di moto elicoidale. Tipi particolari di Moto Rigido Un moto rigido si dice piano se la velocità angolare ω ha direzione costante e tutti i punti solidali al corpo hanno velocità ortogonale a tale direzione, cioè v P ω = 0. Posso dunque fissare un piano di riferimento Π ortogonale ad ω in cui studiare il moto. Definisco il centro istantaneo di rotazione come il punto C 0 = r(t) Π. Proposizione 42. (Teorema di Chasles) In un moto rigido piano il centro istantaneo di rotazione si trova sulla retta normale alla velocità di ciascuno dei punti solidali al corpo distinti da esso. Dimostrazione. Sia C 0 il centro istantaneo di rotazione. Osservo che v C0 = 0, quindi v P = ω (P C 0 ) = (C 0 P) v P.

6 146 CAPITOLO 7. IL CORPO RIGIDO Operatore di inerzia Per studiare il moto di un corpo rigido C è utile introdurre l operatore di inerzia I Q : V 3 V 3 rispetto al polo Q E 3, definito da I Q u = m h (P h Q) [ u (P h Q)], u V 3. Proposizione 43. Per ogni scelta del polo Q l operatore I Q : V 3 V 3 è simmetrico e, se il corpo C ha almenotre punti non allineati, èdefinito positivo. Dimostrazione. Dalle proprietà del prodotto misto e dalla simmetria del prodotto scalare abbiamo la simmetria dell operatore I Q, infatti u I Q v = m h [ u (P h Q)] [ v (P h Q)] Similmente si ha u I Q u = m h u (P h Q) 2 e, se ci sono tre punti non allineati, almeno un addendo della sommatoria è > 0. Se tutti i punti del corpo sono allineati ed ê corrisponde alla direzione della retta di allineamento, allora ê I Q ê = 0 se e solo se Q sta su tale retta. Scomposizione dell operatore di inerzia Si verifica facilmente che I Q u = I B u+m(b Q) [ u (B Q)], u V 3. (7.2) Dati un punto Q E 3 ed una direzione ˆξ V 3, ˆξ = 1, definiamo momento di inerzia relativo all asse Qˆξ la quantità I Qˆξ = ˆξ I Qˆξ. Osservo che se Q è un punto dell asse Qˆξ si ha I Q ˆξ = m h ξ (P h Q ) 2 = m h ξ [(P h Q)+(Q Q )] 2 = I Qˆξ. Abbiamo il seguente

7 7.1. IL CORPO RIGIDO 147 Proposizione 44. (Huygens-Steiner) Il momento di inerzia I Bˆξ rispetto all asse Bˆξ ha la seguente proprietà: I Bˆξ = min Q E 3I Qˆξ. Dimostrazione. Dalla (7.2) segue che I Qˆξ = I Bˆξ +m ξ (B Q) 2. Matrice di inerzia Fissata una base, {ê 1,ê 2,ê 3 } l operatore di inerzia I Q si scrive tramite la seguente matrice I 1,1 I 1,2 I 1,3 I Q = I 2,1 I 2,2 I 2,3, I i,j = e i I Q e j. I 3,1 I 3,2 I 3,3 Più precisamente si ha I 1,1 = m h (yh 2 +zh); 2 I 2,2 = I 1,2 = m h x h y h ; m h (x 2 h +zh); 2 I 3,3 = I 1,3 = m h x h z h ; con P h Q = x h ê 1 +y h ê 2 +z h ê 3, h = 1...N. Simmetrie e momenti principali di Inerzia m h (x 2 h +yh); 2 I 2,3 = m h y h z h ; La matrice di inerzia è simmetrica, dunque è diagonalizzabile in una base ortonormale {ê 1,ê 2,ê 3}. Gli autovalori dell operatore di inerzia I 1,I 2,I 3 si chiamano momenti principali di inerzia, una base {ê 1,ê 2,ê 3 } in cui I Q si scrive in forma diagonale e le direzioni degli ê j si dicono rispettivamente base e direzioni principali di inerzia. Dimostriamo alcune proprietà dei momenti e degli assi principali di inerzia: Proposizione 45. (i) Se esiste un piano π Q passante per Q di simmetria per riflessione (cioè, detta R π la riflessione rispetto a π Q, per ogni punto P di massa m del corpo R π P corrisponde ad un altro punto del corpo con la stessa massa) allora la direzione ortogonale a π è principale. (ii) Se esiste un asse r di simmetria per rotazione di ordine k N, k > 1 (cioè, detta R k la rotazione di 2π/k attorno ad r, per ogni punto P di massa m del corpo esiste k tale che i vettori R h k (P Q), per h = 0...k 1, corrispondono ad altri punti del corpo con la stessa massa) allora la direzione di r è principale. Sia adesso {ê 1,ê 2,ê 3 } una base principale per I Q.

8 148 CAPITOLO 7. IL CORPO RIGIDO (iii) I momenti principali di inerzia soddisfano I 1 I 2 +I 3 e si ha I 1 = I 2 +I 3 solo quando il corpo rigido è piano, e sta nel piano Qê 2ê 3. (iv) Sia v un autovettore della matrice di inerzia I Q. 1. Se v = v i ê i + v jê j, i,j {1,2,3}, i j e v iv j 0, allora tutti i vettori del piano generato da ê i,ê j definiscono direzioni principali di inerzia. 2. Se v = 3 j=1 v jê j, v j 0 j, allora I Q è un multiplo dell identità (quindi tutte le direzioni sono principali). Dimostrazione. (i) Considero un riferimento Qê 1ê 2ê 3 con asse ê 3 ortogonale a π q ed osservo che I 3,1 = I 3,2 = 0. (ii) Considero un riferimento Qê 1ê 2ê 3 con asse ê 3 parallelo ad r ed osservo che I 3,1 = I 3,2 = 0 poichè per ogni punto P esiste k N, k > 1 tale che k 1 R h k (P Q) ê j = 0, j = 1,2 h=0 e la componente lungo ê 3 è costante. Infatti, se z = e 2πi/k si ha k 1 h=0 zh = z k 1 = 0. (iii) Segue direttamente dalle formule per I z 1 j,j,j = 1,2,3. (iv) Dalle relazioni I Q ê j = I jê j, v = 3 j=1 v jê j si ha 3 v j I j ê j = I Q v = λ v = j=1 3 v j λê j, j=1 per cui λ = I j se v j 0. Da qui segue la tesi. Esercizio 4. Consideriamo un corpo rigido costituito da N punti di uguale massa m, posti ai vertici dei poliedri platonici (N = 12,24,60). Per l operatore di inerzia I B rispetto al baricentro B, ogni direzione è principale. Dimostrazione. I gruppi di simmetria dei poliedri platonici sono sottogruppi finiti di SO(3) e sono isomorfi ad A 4 (per il tetraedro), S 4 (per il cubo e l ottaedro), A 5 (per il dodecaedro e l icosaedro). In particolare in ogni caso ci sono almeno 4 assi di simmetria per rotazione di un angolo fissato che sono distinti: questi corrispondono ad autospazi dell operatore di inerzia. Problema 1. Se {ê 1,ê 2,ê 3 } è una base principale per I Q, lo è anche per I P con P Q?