Sommario. Facoltà di Economia. Interpretazione della Probabilità. Le Definizioni di Probabilità. Probabilità ed Elementi di Calcolo delle Probabilità

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1 orso di tatistica Facoltà di Economia a.a francesco mola Lezione n 11 ommario Probabilità ed Elementi di alcolo delle Probabilità Le Diverse scuole L algebra degli eventi Diagrammi di Venn Postulati e Teoremi fondamentali Probabilità ondizionata ed Indipendenza tocastica Lez11_a.a statistica-francesco mola 2 Interpretazione della Probabilità La Probabilità è un concetto che viene usato in molte discipline e che è ormai entrato a far parte del linguaggio corrente in quanto usualmente si devono prendere decisioni che, anche dopo aver esaminato le informazioni disponibili, vengono maturate in condizioni di incertezza. Nonostante ciò è difficile dare un'interpretazione, e quindi una definizione, di probabilità che sia completamente soddisfacente ed esente da critiche Le Definizioni di Probabilità cuola lassica: la probabilità è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi di un risultato e il numero totale dei possibili risultati, ammesso che questi siano egualmente possibili. cuola Frequentista: la probabilità è il limite della frequenza relativa di un evento ripetibile quando cresce, oltre ogni limite, il numero delle prove. Lez11_a.a statistica-francesco mola 3 Lez11_a.a statistica-francesco mola 4

2 L'Impostazione ssiomatica cuola oggettivista: la probabilità rappresenta il grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce al presentarsi di un evento, ovvero, per quantificare, come la somma p che è disposto a scommettere quando, verificandosi l'evento, vince i introducono i oncetti Primitivi e la loro reciproca relazione: "la Prova genera l'evento con una certa Probabilità Prova: è un esperimento soggetto a incertezza e può suddividersi in sottoprove. Evento: è uno dei possibili risultati della prova e costituisce un insieme di descrizioni circa i possibili risultati dell'esperimento. L'insieme di tutti i risultati possibili prende il nome di pazio ampionario. Lez11_a.a statistica-francesco mola 5 Lez11_a.a statistica-francesco mola 6 Impostazione ssiomatica Probabilità: è un numero reale compreso tra 0 e 1 associato al presentarsi di un evento e gode di proprietà intuitive formalizzate nei postulati 1. i stabiliscono delle affermazioni, detti Postulati o ssiomi, che non si dimostrano. 2. Dai postulati si deducono tutte le possibili conseguenze, sia logiche sia matematiche, pervenendo alla dimostrazione dei Teoremi del calcolo delle probabilità. Lez11_a.a statistica-francesco mola 7 Lez11_a.a statistica-francesco mola 8

3 L'lgebra degli Eventi a) Unione o omma Logica fra due eventi e è quell'evento che si verifica quando si verifica oppure oppure e contemporaneamente: ( o ) b) Intersezione o Prodotto Logico fra due eventi e è quell'evento D che si verifica quando si verifica sia sia contemporaneamente: D ( e ) c) Negazione di un evento è quell'evento E che si verifica allorquando non si verifica: E ( non ) i può anche indicare con Lez11_a.a statistica-francesco mola 9 Lez11_a.a statistica-francesco mola 10 Eventi particolari Evento erto I: è l'evento che si verifica sempre; Evento Impossibile mai verificarsi; Evento Incompatibile: O/ : è l'evento che non può O/ Eventi particolari (cont.) Evento Necessario: Evento Elementare: I per ogni si ha E E oppure E O/ pazio ampionario : è l'insieme di tutti i risultati possibili dell'esperimento. Lez11_a.a statistica-francesco mola 11 Lez11_a.a statistica-francesco mola 12

4 lcune definizioni.. pazio degli Eventi: una classe di eventi ai quali si vuole assegnare una probabilità e che questa classe sia un'algebra, ovvero che contenga e O/ come elementi e sia chiusa rispetto alla complementazione e all'unione. Quando è costituito da un numero finito k di elementi, lo spazio degli eventi può essere rappresentato dall'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di ed ha cardinalità 2 k. Esempi lancio di una moneta pazio ampionario : sottoiniem i possibili di : O, / numero totale di eventi { T, } { T},{ }, 4 Lez11_a.a statistica-francesco mola 13 Lez11_a.a statistica-francesco mola 14 lancio di un dado Esempi pazio ampionario : { 1,2,3,4,5,6} sottoiniem i possibili di : n eventi 0/ 1 { 1},{ 2},{ 3}, 6 { 1,2},{ 1,3},{ 1,4}, 15 Lez11_a.a statistica-francesco mola 15 Esempi lancio di un dado (cont.) sottoiniem i possibili di : n eventi { 1,2,3},{ 1,2,4},{ 1,2,5}, 20 { 1,2,3,4},{ 1,2,3,5}, 15 { 1,2,3,4,5},{ 1,2,3,4,6}, 6 { 1,2,3,4,5,6} 1 numero totale di eventi 64 Lez11_a.a statistica-francesco mola 16

5 Diagrammi di Venn Le relazioni dell'algebra degli eventi vengono illustrate su un piano mediante grafici caratteristici detti Diagrammi di Venn nei quali lo spazio campionario viene disegnato come un rettangolo all'interno del quale vengono posti insiemi chiusi che rappresentano gli eventi. Non interessa l'esatto contorno, quanto piuttosto le mutue relazioni fra di essi e con lo spazio campionario. Diagrammi di venn pazio ampionario Lez11_a.a statistica-francesco mola 17 Lez11_a.a statistica-francesco mola 18 D Diagrammi di venn D D O / I postulati del alcolo delle Probabilità I. Positività: La Probabilità di un evento è un numero unico maggiore di 0: P() 0. II.ertezza: La Probabilità dell evento certo e quindi dello pazio ampionario è sempre 1: P(I)P()1. III. Unione: e e sono eventi incompatibili, allora la probabilità della loro unione è la somma delle singole probabilità di e : O/ P( ) P() + P() Lez11_a.a statistica-francesco mola 19 Lez11_a.a statistica-francesco mola 20

6 Modello Probabilistico onsiste nell'insieme ipotizzato dei risultati possibili di una prova e nella descrizione delle probabilità assegnate a tali risultati. pazio ampionario : E' l'insieme di tutti i risultati possibili dell'esperimento. Lez11_a.a statistica-francesco mola 21. D E P(evento) U no spazio cam pionario al quale viene associata una funzione di probabilità P(.) è chiam ato spazio probabilistico. Quando l assegnazione delle probabilità ad eventi soddisfa i tre postulati, la funzione P(evento) viene definita funzione di probabilità. Lez11_a.a statistica-francesco mola lcuni Teoremi Fondamentali P( O) / 0 P( ) 1- P() P( ) Teorema delle Probabilità Totali P() + P() - P( ) Lez11_a.a statistica-francesco mola 23 I Teoremi Fondamentali (cont.) Generalizzazione al caso di 3 eventi P( ) P() + P() + P() - P( ) - P( ) P( ) + P( ) Lez11_a.a statistica-francesco mola 24

7 Probabilità ondizionata La probabilità dell'evento, dato che si è verificato l'evento, è il rapporto fra la probabilità del contemporaneo verificarsi di e e la probabilità di, se questa è diversa da zero: P() 0 P( ) P( ) P() Teorema delle Probabilità omposte Indipendenza tocastica Due Eventi e sono tocasticamente Indipendenti se: P( ) P() oppure P( ) P() P() P( ) P( ) P() P() P( ) Lez11_a.a statistica-francesco mola 25 Lez11_a.a statistica-francesco mola 26