Metodi Matematici per l Ingegneria (Prof. Ugo Gianazza) Esercizi in preparazione alla I prova in itinere

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1 Metodi Matematici per l Ingegneria Prof. Ugo Gianazza Esercizi in preparazione alla I prova in itinere Dott. Antonio Marigonda Pavia, 9 Novembre 7 Integrali di funzioni trigonometriche Esercizio.. Calcolare il seguente integrale al variare di n N {}: γ e int 5 + cos t dt. Soluzione.. Poniamo z = e it. Grazie alle formule di Eulero, si ha che cos t = z + z, pertanto l integrale richiesto vale z n dz 5 + z + /z iz = z n i z + 5z + dz, dove γ è la circonferenza centrata nell origine di raggio percorsa in verso antiorario. La funzione integranda fz = z n /z +5z + è singolare per z +5z + = ovvero nei punti z = 5+ / e z = 5 /, si tratta di poli semplici. Stabiliamo quali singolarità sono contenute all interno di γ. Si ha z = 5+ / > 5/ >, quindi z non è interno a γ. D altra parte, si ha z = 5 /. Si ha 5 <, ovvero z <, perché > 9, quindi z è interno a γ. E possibile pertanto applicare la formula dei residui: Il calcolo del residuo è immediato: L integrale richiesto vale quindi: i γ fz dz = esf; z. esf; z = lim z z fz = zn z z Esercizio.. Calcolare il seguente integrale: e int 5 + cos t γ 5 + n dt = n. e 5it sin6t dt. Soluzione.. Grazie alle formule di Eulero, si ha che e 5it = cos5t + i sin5t, pertanto l integrale richiesto vale e 5it sin6t dt = sinmx sinnx dx = cos5t sin6t dt + i sin5t sin6t dt. icordando a questo punto che per m, n N si ha: cosmx cosnx dx = { se m = n cosm nx + cosm + nx dx = se m n, { se m = n cosm nx cosm + nx dx = se m n, sinmx cosnx dx = sinm + nx sinm nx dx =, Antonio Marigonda, Dipartimento di Matematica F. Casorati, Università di Pavia, Ufficio E, antonio.marigonda@unipv.it

2 si conclude che l integrale richiesto è nullo. Esercizio.. Calcolare il seguente integrale: e cos x+i sin x cosx dt. Soluzione.. Posto z = e ix = cos x + i sin x, grazie alle formule di Eulero, si ha che cos x = z + z, pertanto l integrale richiesto vale γ e z z + dz z iz = e z + /z dz = e z dz + e z i γ i γ i γ z dz, dove γ è la circonferenza centrata nell origine di raggio percorsa in verso antiorario. Poiché e z è olomorfa su tutto C, si ha che il suo integrale calcolato lungo γ è nullo. La funzione e z /z presenta in z un polo doppio. Si ha pertanto e l integrale richiesto vale ese z /z ; =! lim z d dz z ez =, e z i γ z dz = i iesez /z ; =. Esercizio.4. Calcolare il seguente integrale: sin t + sin t dt. Soluzione.4. Si ha: sin t + sin t dt = sin t + dt dt = + sin t + sin t. Posto z = e it, grazie alle formule di Eulero si ha sin t = i z /z, pertanto dt + sin t = γ + z /z i dz iz = γ z i dz 4i + z /z iz = 4 γ 4iz + z dz = 4 γ z + 4iz dz, dove γ è la circonferenza centrata nell origine di raggio percorsa in verso antiorario. La funzione fz = /z + 4iz è singolare nei punti z = i + e z = i, che sono poli semplici. Si ha z > >, quindi z non è contenuto all interno di γ. Invece z = < perché >, quindi z è all interno della regione di piano complesso delimitata da γ. Il residuo di f in z è quindi: Si ha allora: esf; z = lim z z fz = = z z z z i. 4 γ pertanto l integrale richiesto vale /. z + 4iz dz = 4 iesf; z = 4, Integrali di funzioni razionali fratte Esercizio.. Calcolare il seguente integrale: x 6x + x 4 + dx.

3 Soluzione.. Consideriamo la funzione: fz = z 6z + z 4, z C. + Essa presenta singolarità nei punti corrispondenti a z 4 =, ovvero nei punti z k = e i/4+k/ per k =,,,. Si tratta di poli semplici, essendo le quattro radici di z 4 + =. Si ha che: z = + i, z = + i, z = i, i. Consideriamo il circuito γ nel piano complesso costituito dalla semicirconferenza centrata nell origine e giacente nel semipiano Imz, di raggio > /, percorsa in senso antiorario a partire dal punto v = fino al punto w = e dal segmento congiungente w a w. Si osservi che su tale circuito non cadono singolarità di fz e inoltre solo z e z cadono all interno di esso. Inoltre, si ha che fz = O z perché il grado del denominatore è di due unità superiore a quello del numeratore, pertanto al tendere di + si ha che l integrale sul pezzo curvo di γ tende a e l altro tende all integrale richiesto. Pertanto è possibile calcolare l integrale tramite la formula dei residui: fx dx = iesf; z + esf; z. Trattandosi di poli semplici, il calcolo del residuo può essere svolto nel modo seguente si ricordi che z 4 i + = per i =,..., : esf; z i = lim z z i fz = lim z 6z + z z i z zi z zi z 4 + = z z i z i 6z i + lim z zi z 4 + zi 4 + = z i 6z i + 4z i dove si è tenuto conto del fatto che zi 6z i +. Nel caso i =,, osservando che z = i, z = i, z + z = i, z z = e z z = si ha: z fx dx = i 6z + 4z + z 6z + i 6z + 4z = i + i 6z + 4iz 4iz = i 6z + + i 6z + = iz + 6z z z iz 6z z + z z z z z = iz z iz + z = iz + z + z z = + =. Esercizio.. Calcolare il seguente integrale: x + 5 x + x + 6x + 5 6i dx. Soluzione.. Consideriamo la funzione: fz = z + 5 z + z + 6z + 5 6i, z C. Essa presenta singolarità nei punti corrispondenti a z +z +6z +5 6i =, ovvero nei punti z = 5+i, z = 5 i, z = 5 + 6i. Si ha che z e z sono poli semplici, mentre z è un polo di ordine. Consideriamo il circuito γ nel piano complesso costituito dalla semicirconferenza centrata nell origine e giacente nel semipiano Imz, di raggio > z = 9, percorsa in senso orario a partire dal punto v = fino al punto w = e dal segmento congiungente w a w. Si osservi che su tale circuito non cadono singolarità di fz e inoltre solo z cade all interno di esso. Inoltre, si ha che fz = O z perché il grado del denominatore è di tre unità superiore a quello del numeratore, pertanto al tendere di + si ha che l integrale sul pezzo curvo di γ

4 tende a e l altro tende all integrale richiesto. Pertanto è possibile calcolare l integrale tramite la formula dei residui: fx dx = iesf; z. Trattandosi di poli semplici, il calcolo del residuo può essere svolto nel modo seguente: z + 5 esf; z = lim z z fz = z z z z z + 5 6i = i i 7i = /98. L integrale richiesto vale pertanto: fx dx = i 49. Esercizio.. Calcolare il seguente integrale: x + x + ix + 6x + 8 dx. Soluzione.. Consideriamo la funzione: fz = z + z + iz + 6z + 8, z C. Essa presenta singolarità nei punti corrispondenti a z + iz + 6z + 8 =, ovvero z = i, z = + i, z = i. Si tratta di poli semplici. Consideriamo il circuito γ nel piano complesso costituito dalla semicirconferenza centrata nell origine e giacente nel semipiano Imz, di raggio > z = 8, percorsa in senso antiorario a partire dal punto v = fino al punto w = e dal segmento congiungente w a w. Si osservi che su tale circuito non cadono singolarità di fz e inoltre solo z cade all interno di esso. Inoltre, si ha che fz = O z perché il grado del denominatore è di due unità superiore a quello del numeratore, pertanto al tendere di + si ha che l integrale sul pezzo curvo di γ tende a e l altro tende all integrale richiesto. Calcoliamo i residui di f in z. Trattandosi di poli semplici, il calcolo del residuo può essere svolto nel modo seguente: z + esf; z = lim z z fz = z z z + iz z = i + i + i i = + i = 6i. L integrale richiesto vale: x + x + ix + 6x + 8 dx = iesf; z = i 5 Esercizio.4. Calcolare il seguente integrale: 6 x + ix + 9x 4i dx. Soluzione.4. Consideriamo la funzione: fz = 6 z + iz + 9z 4i, z C. Essa presenta singolarità nei punti corrispondenti a z + iz + 9z 4i =, ovvero z = i, z = i, z = i, z 4 = 4i. Si tratta di poli semplici. Consideriamo il circuito γ nel piano complesso costituito dalla semicirconferenza centrata nell origine e giacente nel semipiano Imz, di raggio > max z, z 4 = 4, percorsa in senso antiorario a partire dal punto v = fino al punto w = e dal segmento congiungente w a w. Si osservi che su tale circuito non cadono singolarità di fz e inoltre solo z e z 4 cadono all interno di esso. Inoltre, si ha che fz = O z 4 perché il grado del denominatore è di quattro unità superiore a quello del 4

5 numeratore, pertanto al tendere di + si ha che l integrale sul pezzo curvo di γ tende a e l altro tende all integrale richiesto. Pertanto è possibile applicare la formula dei residui. Calcoliamo i residui di f in z e z 4. Trattandosi di poli semplici, il calcolo del residuo può essere svolto nel modo seguente: esf; z = 6 lim z z fz = z z z z z z z z 4 = 6 i + ii + ii 4i = 6 5i 6i i = 5i. esf; z 4 = 6 lim z z 4 fz = z z 4 z 4 z z4 + 9 = 6 4i + i = 6 6i 7 = 7i. L integrale richiesto vale 6 x + ix + 9x 4i dx = iesf; z + esf; z 4 = 4/5. Esercizio.5. Calcolare il seguente integrale: x x 6 + dx. Soluzione.5. Consideriamo la funzione fz = z z 6 +, z C. Essa presenta singolarità nei punti corrispondenti a z 6 + =, ovvero z i = e i/6+ik/, i =,..., 5. Si tratta di poli semplici inoltre le radici sono due a due complesse coniugate. Si ha: z = + i, z = i, z = + i, z 4 = i, z 5 = i, z 6 = i. Consideriamo il circuito γ nel piano complesso costituito dalla semicirconferenza centrata nell origine e giacente nel semipiano Imz, di raggio > max z, z 4 = 4, percorsa in senso antiorario a partire dal punto v = fino al punto w = e dal segmento congiungente w a w. Si osservi che su tale circuito non cadono singolarità di fz e inoltre solo z, z e z cadono all interno di esso. Inoltre, si ha che fz = O z 4 perché il grado del denominatore è di quattro unità superiore a quello del numeratore, pertanto al tendere di + si ha che l integrale sul pezzo curvo di γ tende a e l altro tende all integrale richiesto. Pertanto è possibile applicare la formula dei residui. Trattandosi di poli semplici, il calcolo del residuo può essere svolto nel modo seguente si ricordi che z 6 i + = per i =,..., : esf; z i = lim z z i fz = lim z z z i z zi z zi z 6 + = z z i z i lim z zi z 6 + zi 6 + = z i 6zi 5 = z i dove si è tenuto conto del fatto che zi per i =,..., 5. Osservando che z = i, z = i, z = i, si ha che l integrale richiesto vale: x x 6 + dx = iesf; z + esf; z + esf; z = i i i + =. i Applicazioni del Lemma di Jordan Esercizio.. Calcolare il seguente integrale: sin4x x x + x 5i dx. Soluzione.. Consideriamo le funzioni: g + z = e 4iz z z + z 5i = e4iz fz, g e 4iz z = z z + z 5i = e 4iz fz, z C. 5

6 Esse presentano singolarità nei punti corrispondenti a z z + z 5i =, ovvero z = + i, z = i, z = 5i. Si tratta di poli semplici. Si ha che il coefficiente α per cui g + z = e iαz fz è positivo, e nel semipiano Imz cadono solo le singolarità z e z. Si ha che il coefficiente α per cui g z = e iαz fz è negativo, e nel semipiano Imz cade solo la singolarità z. Poiché il grado del denominatore di f è di due unità superiore al grado del numeratore di f, è possibile applicare il lemma di Jordan, ottenendo che l integrale richiesto è: sin4x x x + x 5i dx = e 4ix e 4ix ix x + x 5i dx = e 4ix i x x + x 5i dx i = esg + ; z + esg + ; z + esg ; z e 4ix x x + x 5i dx Calcoliamo i residui di g + e g Trattandosi di poli semplici, il calcolo del residuo può essere svolto nel modo seguente: esg + ; z = lim z z g + e 4iz z = z z z z z z = e4iz 6i i = e 4i 6 + i = e e4i i. esg + ; z = lim z z g + e 4iz z = z z z z z z = e z z + = e e 5 + i = 65 i. esg ; z = lim z z g e 4iz z = z z z z z z = e 4iz 6i 8i = e 4i = e i 9 e 4i 8 i. Pertanto l integrale vale: sin4x x x + x 5i dx = e e 4i 6 i e 8 8 i e 4i 8 i. 9 Esercizio.. Calcolare il seguente integrale: e ix x + 9x 6i dx. Soluzione.. Consideriamo la funzione: gz = e iz fz = e iz z + 9z 6i, z C. Si ha che il coefficiente α per cui gz = e iαz fz è positivo. La funzione fz è singolare nei punti corrispondenti a z + 9z 6i = ovvero z = i, z = i, z = 6i. Di queste singolarità, solo z e z cadono nel semipiano Imz. Poiché il grado del denominatore di f è di due unità superiore al grado del numeratore di f, è possibile applicare il lemma di Jordan, ottenendo che l integrale richiesto è: e ix x + 9x 6i dx = iesg; z + esg; z Calcoliamo i residui di g in z e in z. Trattandosi di poli semplici, il calcolo del residuo può essere svolto nel modo seguente: e iz esg; z = lim z z gz = z z z z z z = e 9 8. e iz e 8 esg; z = lim z z gz = z z z z z z = eiz z + 9 = 7. Pertanto l integrale richiesto vale: ie 9 9 e 9. 6

7 Esercizio.. Calcolare il seguente integrale: sin 4x x + 6x + 4 dx. Soluzione.. icordando le formule di Eulero si ha che sin 4x = e 4ix e 4ix /i. Consideriamo quindi le funzioni: g + z = e 4iz z + 6z + 4 = e4iz fz, g e 4iz z = z + 6z + 4 = e 4iz fz, z C. Esse presentano singolarità nei punti corrispondenti a z +6z +4 =, ovvero z = +i 5, z = i 5. Si tratta di poli semplici. Si ha che il coefficiente α per cui g + z = e iαz fz è positivo, e nel semipiano Imz cadono solo la singolarità z. Si ha che il coefficiente α per cui g z = e iαz fz è negativo, e nel semipiano Imz cade solo la singolarità z. Poiché il grado del denominatore di f è di due unità superiore al grado del numeratore di f, è possibile applicare il lemma di Jordan, ottenendo che l integrale richiesto è: sin 4x x + 6x + 4 dx = i = i e 4ix e 4ix x + 6x + 4 dx e 4ix x + 6x + 4 dx i = esg + ; z + esg ; z e 4ix x + 6x + 4 dx Trattandosi di poli semplici, il calcolo del residuo può essere svolto nel modo seguente: Pertanto l integrale richiesto vale: esg + ; z = lim z z g + z = e4iz z z z z = e4iz i 5. esg ; z = lim z z g z = e 4iz e 4iz z z z z = i 5. e i 4 5 e i 4 5 5e 4 5 = 5 i 5 e i e i i = 5e 4 5 sin 5 Esercizio.4. Calcolare il seguente integrale: cos x x 6x + 5 dx. Soluzione.4. icordando le formule di Eulero si ha che cos x = e ix + e ix /. Consideriamo quindi le funzioni: g + z = e iz z 6z + 5 = eiz fz, g e iz z = z 6z + 5 = e iz fz, z C. Esse presentano singolarità nei punti corrispondenti a z 6z + 5 =, ovvero z = + 4i, z = 4i. Si ha che il coefficiente α per cui g + z = e iαz fz è positivo, e nel semipiano Imz cade solo la singolarità z. Si ha che il coefficiente α per cui g z = e iαz fz è negativo, e nel semipiano Imz cade solo la singolarità z. Poiché il grado del denominatore di f è di due unità superiore al grado del numeratore di f, è possibile applicare il lemma di Jordan, ottenendo che l integrale richiesto è: cos x x 6x + 5 dx = e ix + e ix x 6x + 5 dx = = iesg + ; z esg ; z e ix x 6x + 5 dx + e ix x 6x + 5 dx 7

8 Trattandosi di poli semplici, il calcolo del residuo può essere svolto nel modo seguente: L integrale richiesto vale pertanto: esg + ; z = lim z z g + z = eiz z z z z = eiz 8i. esg ; z = lim z z z z g z = Esercizio.5. Calcolare il seguente integrale: e 6i 8 + e 6i 8 4 e iz e iz z z = 8i = e 8 cos 6 4 cos x x x + x + 9 dx. Soluzione.5. icordando le formule di Eulero si ha che cos x = e ix + e ix /. Consideriamo quindi le funzioni: g + z = e iz z z + z + 9 = eiz fz, g e iz z = z z + z + 9 = e iz fz, z C. Esse presentano singolarità nei punti corrispondenti a z z +z +9, ovvero z = +i, z = i, z = i, z 4 = i. Si ha che il coefficiente α per cui g + z = e iαz fz è positivo, e nel semipiano Imz cadono solo le singolarità z e z. Si ha che il coefficiente α per cui g z = e iαz fz è negativo, e nel semipiano Imz cadono solo la singolarità z e z 4. Poiché il grado del denominatore di f è di quattro unità superiore al grado del numeratore di f, è possibile applicare il lemma di Jordan, ottenendo che l integrale richiesto è: cos x x x + x + 9 dx = = e ix + e ix x x + x + 9 dx e ix x x + x + 9 dx +. e ix x x + x + 9 dx = iesg + ; z + esg + ; z esg ; z esg ; z 4 Trattandosi di poli semplici, il calcolo del residuo può essere svolto nel modo seguente: esg + ; z = lim z z g + e iz z = z z z z z z z z 4 = e iz iz + 9. esg + ; z = lim z z g + e iz z = z z z z z z z z 4 = e iz z z + 6i. esg ; z = lim z z g e iz z = z z z z z z z z 4 = e iz iz + 9. esg ; z 4 = lim z z 4 g e iz4 z = z z 4 z 4 z z 4 z z 4 z = e iz4 z4 z 4 + 6i. Pertanto l integrale richiesto vale: 6 e iz z e iz z z + + e iz z e iz4 z4 z 4 + Per semplificare quest espressione, osserviamo che z = i, z = i, z = z 4 = 9 quindi: e iz z e iz z + 9 = ei 9 i + e i 9 + i = e ei 9 i + e i 9 + i 9 + i9 i 85 e iz z z + + e iz4 z4 z 4 + = e 9ei ie i + 9e i + ie i 85 = e = e 8 i +e i 4i ei e i = e 85 9 cos + sin 85 e iz 7 6i + e iz i = e i + e 9 7 6i = 4e i 7 6i 85 8

9 Allora l integrale richiesto vale: 6 e 85 4 Sviluppi, residui ecc... 9 cos + sin 4e 9 85 Esercizio 4.. Si consideri la funzione di variabile complessa: = e 55 7 cos + 6 sin 7e 6. fz = cos z z e /z. Determinare le singolarità della f, classificarle e calcolare il relativo residuo è molto utile osservare che la f è la somma di due funzioni. Scrivere quindi lo sviluppo di Laurent della f relativo a z =, precisandone l insieme di convergenza. Soluzione 4.. La funzione f è olomorfa in tutti i punti eccettuati quelli per cui z + 8 =, ovvero z k = e i/+k/, k =,,, e il punto z =. Si osservi che per k =,, si ha z k = 8/z k I punti z k, k =,, sono poli semplici. icordando che e /z è olomorfa in un intorno di z k e cos z k : esf; z k = lim z z k fz = lim cos z z z k z z k z z k z z z ke /z = cos z k = cos z k z k = 8 cos z k = z ke izk + e izk z k z z k lim z z k z zk + 8 Per quanto riguarda z si ha che si tratta di una singolarità essenziale, infatti cos z/z + 8 è olomorfa in un intorno di e in C \ {} vale: e /z /z k = + k! k= k = + z k, k! k= pertanto esf; z =. icordando che: cos z = z + 8 = 8 n= n zn + z 8 n!, = 8 n= n n zn = n= n n+ zn, se z <, Lo sviluppo di Laurent di f relativo a z =, che converge se < z <, è il seguente: fz = n zn n k zn + + n! n+ k! n= n= k= = n zn j k n! j+ zj + + z k k! = k= n+j=k k k= n+j=k k= n! j+ zj+i + + k k= k! z k z k Esercizio 4.. Determinare e classificare le singolarità di exp z fz =. z + Calcolare il residuo del polo e scrivere lo sviluppo di Laurent relativo a z = precisando l insieme di convergenza. 9

10 Soluzione 4.. La funzione presenta singolarità in z = e z =. Si ha che z è un polo semplice, in quanto la funzione fzz z è olomorfa in un intorno di z. Pertanto il calcolo del residuo porge: esf; z = lim fzz z = lim exp = exp. z z z z Nel punto z = la funzione presenta una singolarità essenziale: si ha infatti, posto w = z, da cui exp w = + n= z m fz = z m + z + w n n!, z m n, n! che al limite per z diverge per ogni m N. La funzione è olomorfa in B, \ {}, ovvero nell insieme {z C : < z < } e pertanto in tale insieme la serie di Laurent relativa a z = converge. n= fz = = z + n= k+j=n j= w j j! = k wj z k k+ j! + z = j= w j j! n= k+j=n = k= k k+ z k k k+ j! z k j. j= w j j! Esercizio 4.. Calcolare il seguente integrale, dove C indica la circonferenza centrata in z = di raggio = e orientata positivamente e z zz + dz. C Soluzione 4.. La funzione integranda, che indicheremo con fz presenta singolarità in z = e z =. Si noti tuttavia che e z lim fz = lim z z z + = z, pertanto è una singolarità eliminabile, e il prolungamento di f in definito da f = /, rende la funzione olomorfa in C \ { }. L unica singolarità è pertanto il polo doppio z =, che è interno al cerchio centrato in di raggio. Calcoliamo il residuo di f in z, trattandosi di un polo doppio si ha: esf; z = lim L integrale richiesto vale allora: z = lim z C d! dz fzz + = lim e z z e z 9z z d dz e z z = 6e e + 9 e z e dz = iesf; = i. zz + = e. Esercizio 4.4. Determinare e classificare le singolarità della funzione di variabile complessa fz = z z 5i + z sin z z + 5i. Indicato con Γ il rettangolo di vertici 5, 5 + 5i, 5 + 5i, 5 percorso in senso antiorario, calcolare fz dz. Γ

11 Soluzione 4.4. La funzione è singolare nei punti z = 5i, ovvero z k = 5e i/6+ik/, k =,, e z = 5i. I punti z = 5e i/6, z = 5e i5/6 e z = 5i sono poli semplici per la funzione, mentre z è un polo di ordine. All interno del rettangolo Γ cadono solo z e z. Calcoliamo il residuo di f in questi punti: esf; z = z z z lim fzz z = lim z z z z z 5i z 5i + z z z sin z z + 5i = z z esf; z = z z z lim fzz z = lim z z z z z 5i z 5i + z z z sin z z + 5i = z z = = L integrale richiesto vale: Γ fz dz = iesf; z + esf; z = i.

12 Metodi Matematici per l Ingegneria Prof. Ugo Gianazza Esercizi di Metodi Dott. Antonio Marigonda 5 Serie di Fourier Pavia, Dicembre 7 Esercizio 5.. Si consideri la funzione f :, -periodica definita da { 4, t [, [ ft :=, t [, [.. Scrivere lo sviluppo di Fourier in forma esponenziale.. Studiare la convergenza della serie alla f.. Determinare la somma della serie numerica + n= n c n. Soluzione 5... Lo sviluppo in serie di Fourier di f in forma esponenziale è dato da f = si ha per n Z \ {}: c = c n = = ft dt = ft dt + ft dt = 4 dt + + n= dt = fte int dt = fte int dt + fte int dt = 4e int dt + [ ] e int [ ] e int 4 + = in in in e in + e in e in = n, in giacché e in = e in = n. Pertanto:. La serie f = + St := + + n= n + n= n converge alla funzione nel senso dell energia perché: ft dt = ft dt + Per quanto riguarda la convergenza puntuale: n e int. in n e int. in ft dt = = < +. Antonio Marigonda, Dipartimento di Matematica F. Casorati, Università di Pavia, Ufficio E, antonio.marigonda@unipv.it c n e int, dove 4 + =. e int dt

13 a per ogni t k, k Z, si ha che f è continua e derivabile in t, e quindi la serie di Fourier calcolata per t k, k Z converge a ft; b per t = k, k Z, si ha che f presenta una discontinuità di prima specie t, e f k +, f k esistono entrambe finite. Siamo nel III caso del Teorema di convergenza puntuale, quindi: Sk = fk+ fk =.. La serie numerica richiesta si ottiene valutando St per t =, e si ha S =. Esercizio 5.. Si consideri la funzione f :, -periodica e pari definita da ft = t per t [, ].. Scrivere lo sviluppo in serie di Fourier di f;. Studiarne la convergenza;. Valutare la somma della serie in t =. Soluzione 5... La funzione è pari, quindi ft = a + a n cos nt. Si ha per n N, n : a = a n = Pertanto: = n ft dt = ft cos nt dt = [ ] cos nt n = ft dt = n= t cos nt dt = [ ] sin nt t n n n f = n= n n cos nt. Osservando che a n = se n = k è pari e a n = 4/n se n = k + è dispari, si ha: f = 4 k + cos k + t. k= sin nt n dt. Si ha che la serie converge alla funzione nel senso dell energia, perché la funzione è periodica e limitata. Per quanto riguarda la convergenza puntuale, posto: St = n= n n cos nt, si ha che: a per ogni t k, k Z, si ha che f è continua e derivabile, quindi vi è convergenza puntuale St = ft. b per ogni t = k, k Z, si ha che f è continua e presenta un punto angoloso, quindi anche in questo caso St = ft.. In particolare, S = f = /, concludiamo perciò che = 4 che k= k + = 8. k=, da cui si può dedurre k +

14 Esercizio 5.. Si consideri la funzione u :, -periodica che nell intervallo, ] vale, t, /, t [/, ut :=, t [, /, [/, ]. Dopo averne accuratamente disegnato il grafico, calcolare lo sviluppo di Fourier in forma trigonometrica. Studiare quindi la convergenza della serie alla funzione. Infine calcolare la somma della serie numerica n= a n. Soluzione 5.. La funzione è limitata e periodica, pertanto sviluppabile in serie di Fourier. Si ha per n N\{}: a = ut dt = / / dt + dt = 5. a n = ut cosnt dt = / / cosnt dt + cosnt dt = [ ] / [ ] / sinnt sinnt + = sinn/ + sinn/ n n n = sinn/ + sin n/ + n = sinn/ + sin n/ = sinn/ n n n b n = ut sinnt dt = / / sinnt dt + sinnt dt = [ cosnt ] / [ + cosnt ] / n n n = n cosn/ + cosn cosn/ = + n cosn/ cosn n/ n = + n 5 cosn/ n Quindi si ha: u = n= sinn/ n cosnt + + n 5 cosn/ n sinnt. Poiché u è limitata e periodica si ha che la sua serie di Fourier converge a f in energia. Per quanto riguarda la convergenza puntuale, poiché u è continua e derivabile con derivata continua in ogni punto ad eccezione di t = k/, k Z, si ha che la sua serie di Fourier converge puntualmente a ut per t k/, e nei punti t = k/ converge alla media dei limiti destro e sinistro di u, ovvero converge a per t = 4k e t = /4k +, e converge a / per t = k + e t = /4k +. La somma della serie richiesta si ottiene valutando la serie di Fourier per t =, si ha allora = sinn/. n Esercizio 5.4. Si consideri la funzione f :, -periodica, pari, definita da ft := n= 6 t +, t, t [, /] t /,. Tracciare il grafico della f, scrivere lo sviluppo in serie di Fourier della funzione, verificare che converge alla funzione nel senso dell energia. Applicare infine l uguaglianza di Parseval per calcolare la somma della serie numerica n= a n. 4

15 Soluzione 5.4. Poiché f è pari, si avrà: St = a + a n cosnt, n= dove: a = ft dt = ft dt = / ft dt + ft dt / = / 6 t + dt + t dt / [ = 6 t ] / [ ] + t + t t / = = 5 8. a k = ft coskt dt = ft coskt dt = / ft coskt dt + ft coskt dt / = / 6 t + coskt dt + t coskt dt / [ = ] / 6 sinkt / [ ] t + 6 sinkt sinkt dt + t sinkt dt k k k / / k = 6 k k sin 6 [ ] / cos kt 6 k k k sin k + [ coskt ] k k / = 6 k cosk/ k k cosk/ = k cosk/ k Allora si ha: Posto: St = S N t = dato che f è limitata e periodica, si ha che cosk/ k coskt. n= n= k N cosk/ k coskt, k ft dt < +, 5

16 Nel nostro caso si ha: ft dt = = = = / 6 6 / ft dt + ft dt / 6 t + dt + t dt / w + dw + 44 t dt ft dt = [ w + = + 6 ] = + 44 pertanto la serie converge a f nel senso dell energia, ovvero: Per l uguaglianza di Parseval si ha: Nel nostro caso si ha: lim N Pertanto la somma della serie numerica vale 9/8. / [ t ft S N t dt =. ft dt = a 4 + = a n, n= a n, Esercizio 5.5. Si consideri la funzione f :, -periodica, definita da ft = + cos t.. Scrivere lo sviluppo di Fourier di f in forma esponenziale.. Verificare il Teorema di convergenza puntuale in t =. Soluzione La serie in forma esponenziale è: dove al variare di k Z si ha: c k = St = + n= n= c n e int, ] / fte ikt dt = e ikt + cos t dt. Poiché l integrale del coniugato è il coniugato dell integrale, si ha che c n = c n per ogni n N. Pertanto, dato n, si ha: c n = = i e ikt + cos t dt = z = z = z n z + z + dz. 6 z n dz + z + /z iz

17 La funzione integranda è singolare nei punti dove z + z + =, ovvero z = + 5/, z = 5/. Verifichiamo la loro posizione rispetto alla circonferenza C = {z C : z = }. Si ha z = 5 /4. Poiché 5 < infatti 5 >, si ha che 5 < e quindi z <, pertanto z è interno a C. Viceversa, z = + 5/ > / >, pertanto z è esterna. Calcoliamo il residuo della funzione integranda in z. Trattasi di un polo semplice: Pertanto si ha Dunque: es St = 5 + z n z + z +, z z n = lim z z z z z + z + = zn = 5 n z z n. 5 c n = c n = c n = 5 n 5 n n= n 5 n 5, c = 5. e int + 5 n n e int = n n 5 cosnt.. Si ha che f C, quindi la serie di Fourier di f converge ad f puntualmente per ogni t. In particolare, se t = si ha f = S e quindi: 5 = + 5 n= 5 n n 5 = 5 + n= n + z n 5 n= =. 5 Si ha che la serie dell espressione precedente è una ridotta della serie geometrica di ragione z, pertanto: z n = z n = = z, z z Si ha quindi + n= n= n= n= z n = + z = + z = + z 5 = z z z 5 5 =. 5 Sostituendo nell espressione S il risultato ottenuto si trova proprio f. Esercizio 5.6. Si consideri la funzione f :, -periodica, pari, definita da ft = +t per t [, ]. Dopo aver verificato che la f è sviluppabile in serie di Fourier, scriverne lo sviluppo. Utilizzando poi l uguaglianza di Parseval, determinare la somma della serie numerica n + 4. Soluzione 5.6. La funzione è periodica e limitata, pertanto ad energia finita e dunque sviluppabile in serie di Fourier. Si ha: [ ] + t ft dt = 9 + t = 8 = 6. Essendo f pari si avrà St = a + a k coskt, con a = ft dt = ft dt = n= k= + t dt = 6 [ + t a k = ft coskt dt = ft coskt dt = = 6 [ + t sinkt ] 6 sinkt dt = 6 [ coskt k k k k ] = + t coskt dt ] = 6 k k 7

18 Quindi per k si ha che a k = se k = n è pari e a k = /k se k = n è dispari. Si ha quindi: St = + Per l uguaglianza di Parseval si ha: ovvero: n= La somma richiesta vale pertanto 4 /96. 6 Trasformate di Fourier n cosn t = + ft dt = a 4 + = n= a k, k= n + 4. n= cosn + t n +. Esercizio 6.. icordando che Ht = per t > e Ht = per t <, si calcoli la trasformata di Fourier delle funzioni: f t = H tte t, f t = H t + te t, f t = H tte t cos t. Soluzione 6.. Consideriamo la funzione ft = H te t, ovvero ft = e t per t < e altrove. fω = Poiché f t = tft, si ha: fte iωt dt = f ω = i d dω fω = i d dω e t e iωt dt = = i iω e iωt dt = iω. i iω = iω Per quanto riguarda f, si ha f = th t + e t e 6 = te 6 ft, da cui: f ω = e 6 i d [ ] dω iω e iω iω 5i + ω = e i + ω. Per quanto riguarda f, si ha f = th te t e it + e it /, da cui f t = f te it + f te it /, pertanto: f ω = f ω + f ω + = iω + iω +. Esercizio 6.. Si consideri la funzione f :, pari, definita da t + 4, t [ 4, ] t/, t [, ] ft := + t/, t, 4 t, t [, 4], altrove.. Verificare che f è F-trasformabile.. Elencare le principali proprietà che si possono ricavare su f dalla teoria, prima di calcolare f.. Calcolare esplicitamente f. 8

19 Soluzione 6... f è limitata e nulla fuori dall intervallo [ 4, 4], pertanto è immediato verificare che +, e questo garantisce che f è F-trasformabile.. Alcune proprietà della trasformata sono le seguenti: a poiché f è pari e reale, allora f è pari e reale. b per il Lemma di iemann-lebesgue, si ha f C e lim fω =. ω ± ft dt < c poiché f è nulla fuori da [ 4, 4], non solo f ma anche tf L, quindi anche tf è trasformabile e si ha tf = i d dω f. Pertanto d f dω C, quindi f C. d il ragionamento precedente può essere iterato: per ogni k N, si ha t k f L, da cui t k f = i k dk dω k f pertanto dk dω k f C, quindi f C k. Quindi f C. Un calcolo diretto a partire dalla definizione risulta molto difficoltoso. Un procedimento alternativo è il seguente: si osserva che f t = χ [ 4, ] t χ [,]t + χ [,] χ [,4] t, t, ±, ±4. Inoltre valgono le seguenti relazioni: χ [ 4, ] t = χ [,] t+, χ [,] t = χ [,] t+, χ [,] t = χ [,] t, χ [,4] t = χ [,] t. Perciò si ottiene: f t = χ [,] t + χ [,]t + + χ [,]t χ [,] t. Trasformando membro a membro e osservando dalle tabelle che: si ottiene: e quindi: ft t = fωe iωt, iω fω = sin ω ω = sin ω ω χ[,] t = sin ω ω, f = iω f, e iω eiω + e iω e iω i eiω e iω i = i sin ω sinω sinω. ω fω = sin ω sinω sin ω. ω i eiω e iω i Esercizio 6.. Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f : C definita da ft = e 5it t 4t + 8. Soluzione 6.. Posto gt = /t 4t + 8, si ha ft = gte 5it. Per le proprietà della F-trasformata, si ha: ˆfω = ĝω 5, dove: + ĝω = t 4t + 8 e iωt dt. 9

20 La funzione integranda è singolare per t 4t + 8 =, ovvero t = + i, t = i. Per il lemma di Jordan, si ottiene allora: e iωt ies t 4t + 8, + i se ω < ĝω = e iωt ies t 4t + 8, i se ω > Si ha: e iωt es t 4t + 8, + i e iωt = lim t t t t t t t t = e iωt = e i+iω t t 4i e iωt es t 4t + 8, i e iωt = lim t t t t t t t t = e iωt Pertanto si ottiene: ĝω = e iω e ω, = e i+ω 4i = e i ω t t 4i e il valore in è determinato per continuità il teorema di iemann-lebesgue ci assicura che ĝ è continua. Quindi fω = e iω 5 e ω 5. Esercizio 6.4. Data la fuzione f : definita da ft = calcolare f utilizzando opportunamente le tavole. Soluzione 6.4. Possiamo riscrivere f nel modo seguente: ft = cos 4t t + cos 4t cos t t, cos t t = cos t t cos 4t t. Per le formule di bisezione, si ha cos t = sin t e cos 4t = sin t, da cui sin t ft = t sin t t. Dalle tavole si ricava che la trasformata di sin at/t, a > è a + ω χ [ a,] ω + a ω χ [,a] ω, sostituendo nell espressione della trasformata di f si ha il risultato richiesto. Esercizio 6.5. Data la funzione f : definita da calcolare f utilizzando le relazioni fondamentali. Soluzione 6.5. Si ha: ft = e 8 t + 4t sint, ft = e 8 t sint + 4t e 8 t sint. Dalle tavole si ricava che se gt = e 8 t, allora ĝω = 6/64 + ω, inoltre da cui: Infine ˆfω = ĥω 4 d dω ĥω. ht = e 8 t sint = i e 8 t e it i e 8 t e it, ĥω = i ω ω +. =

21 Esercizio 6.6. Si consideri f : C definita da. Verificare che f è F-trasformabile.. Calcolare f. Soluzione 6.6. Si ha: Quindi ft = e 4it + it4 it. ft = e 4it + it4 it = 9 + t 6 + t. ft dt = 9 + t 6 + t dt. Tale integrale è finito, perché f C e all infinito f è asintotica a /t, e ciò assicura l integrabilità. Per quanto riguarda la trasformata, abbiamo ft = gte 4it, con gt = / + it4 it. Percò ˆfω = ĝω 4. Si ha: ĝω = e iωt + it4 it dt = e iωt t it + 4i dt. la funzione integranda è singolare in t = i e t = 4i. Calcoliamo il residuo: e iωt es t it + 4i, t = e iωt = eω t t 7i e iωt es t it + 4i, t = e iωt = e 4ω t t 7i Per il lemma di Jordan, si ha: ĝω = e iωt ies t it + 4i, t ies e iωt t it + 4i, t = 7 eω se ω < = 7 e 4ω se ω > Infine: ˆfω = ĝω 4 = 7 eω 4 se ω < 4 7 e 4ω 4 se ω 4 Si osservi che è necessario prestare particolare attenzione alla traslazione di ĝ.

22 Metodi Matematici per l Ingegneria Prof. Giuseppe Savaré Esercizi in preparazione alla I prova in itinere Dott. Antonio Marigonda Pavia, Novembre 7 Esercizio 6.7. Si consideri la funzione di variabile complessa fz = z sin z z z + i. Senza trascurare z, determinare le singolarità di f, classificarle e calcolare i relativi residui. Soluzione 6.7. La funzione è singolare in z =, z =, z = i. z e z sono poli semplici, mentre z è una singolarità essenziale. Calcoliamo i residui: esf, z = lim z z fz = 4 sin/ = i sin/ z z + i esf, z = 4 sin /i lim z z fz = = sini/ z z i + i Per quanto riguarda z, si ha: f/z = sinz z /z /z + i = sinz z + iz, = + i sinh/ e tale funzione è olomorfa in un intorno di z =, pertanto z è una singolarità eliminabile. Per calcolare il residuo in z, poniamo: Si avrà allora: gw = f /w w = w Si ha che w = è un polo semplice per g, quindi: Essendo infine: si ricava che: w sinw /w /w + i = esf, z = esg;. sinw w w + iw. sinw esf, z = esg; = lim wgw = lim w w w w + iw =. esf, z + esf, z + esf, z + esf, z =, esf, z = + i sinh/ i sin/. Esercizio 6.8. Si consideri la funzione f :, -periodica, definita da { se t [, [ ft = se t [, [ Dopo aver verificato che la funzione è sviluppabile in serie di Fourier, scriverne lo sviluppo. Utilizzare quindi l uguaglianza di Parseval per determinare la somma della serie numerica n +. n= Nota: i coefficienti di indice pari dello sviluppo sono nulli. Antonio Marigonda, Dipartimento di Matematica F. Casorati, Università di Pavia, Ufficio E, antonio.marigonda@unipv.it

23 Soluzione 6.8. Proviamo che f L,. f L = ft dt = ft dt + ft dt = 4 + = 5 < +. Poiché f L,, essa è sviluppabile in serie di Fourier. Calcoliamo i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier: a = a k = = b k = = ft dt = ft cos kt dt = cos kt dt ft dt + ft sin kt dt = sin kt dt ft cos kt dt + [ sin kt cos kt dt = ft dt = = k ft sin kt dt + [ cos kt sin kt dt = k ] t= t= ] t= ft cos kt dt [ sin kt k ft sin kt dt t= = /k cos k + cosk/k /k = + cosk + cosk = cos k k k ] t= t= [ cos kt Ciò implica che b k = se k è pari e b k = 6/k se k è dispari. Osservando che gt = ft / è una funzione dispari infatti vale / per t [, [ e / per t [, [ si poteva dedurre immediatamente che a k = per ogni k >, infatti si ha: gt cos kt dt = ft cos kt dt = ft cos kt dt, dove il primo termine è nullo per disparità. Pertanto si ha Per la formula di Parseval, si ha: ovvero nel nostro caso: da cui si ottiene: k= ft = a + a k cos kt + b k sin kt = 6 k= ft dt = a 4 + a k + b k, 5 = n= n= n +, n + = 8. k sin k + t. k + Esercizio 6.9. Calcolare l integrale lungo la circonferenza Γ di centro l origine e raggio orientata positivamente z sin z z i + ez dz. Γ = ] t= t=

24 Soluzione 6.9. La fuzione e z è olomorfa su tutto C, pertanto il suo integrale esteso ad un qualunque circuito chiuso è nullo. Ci si riconduce quindi allo studio di: fz dz, fz = z sin z z i. Γ La funzione f presenta un polo doppio per z = i. Tale singolarità è interna a Γ. Trattandosi di un polo doppio il calcolo del residuo è: esf; z = lim z z d fzz z = lim dz z z d dz z sin z = sin z + z cos z = sin i + i cos i. Applicando la formula dei residui si ottiene allora: fz dz = iesf; z = cos i + i sin i = cos i + i sin i = e i = e. Γ Esercizio 6.. Determinare i valori di z C tali che: Soluzione 6.. Si ha per h, k Z: sinz + i cosz = + i. sinz + i cosz = i i sinz + cosz = ii sin z + cos z = ie iz = e i/+ih e iz = e i/ iz+ih + i = e i/4+ik da cui si ricava /4 + k = / z + h e pertanto, posto n = h k, z = /8 + n, n Z. Esercizio 6.. Si consideri la funzione u :, -periodica definita da: { t se t <, ut = se t <.. Verificare che u è sviluppabile in serie di Fourier e calcolarne i coefficienti.. Studiare la convergenza puntuale della serie.. Utilizzando i risultati dei punti precedenti, calcolare la somma della serie numerica: Soluzione 6.. k= k +.. Si ha che la funzione u è periodica e ut è limitata su [, ], pertanto la funzione è sviluppabile in serie 4

25 di Fourier. Calcoliamo i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier: c = = c k = = = = = ut dt = t dt + ute ikt dt = te ikt dt + { [te ikt { ik eik ik ] k ik + ik ute ikt dt + ute ikt dt dt = [ ] t + = 4 + ik [ e ikt ik ute ikt dt + e ikt dt ] + k k e ikt dt } } + [ e ikt ik ] + ik e ik + ik e ik ute ikt dt = k ik k k + k = ik ik k k. La funzione u è di classe C a tratti, per cui la sua serie di Fourier converge a u nei punti di continuità e alla media dei valori destro e sinistro di u nei punti di salto. Nel nostro caso, la funzione è continua in ogni punto ad eccezione dei punti x k = k, k Z, dove il limite destro vale e il limite sinistro vale si osservi che nei punti k + con k Z la funzione è continua. Pertanto in la serie di Fourier di u converge a /, cioé si ha: = 4 + k Z\{} = 4 k k k= ik k k = 4 k= ik k k + ik k k Notiamo che i termini di indice pari della sommatoria sono tutti nulli, per cui si ha: pertanto la somma richiesta vale /8. 4 = n= n +, 5

26 Metodi Matematici per l Ingegneria Prof. Giuseppe Savaré Esercizi in preparazione alla I prova in itinere Dott. Antonio Marigonda 4 Pavia, 6 Novembre 7 Esercizio 6.. Senza trascurare di studiare il comportamento sul bordo, determinare l insieme di convergenza della serie + n z n. + log n z + 4i n= Soluzione 6.. Poniamo w = z z+4i, a n = n + log n. Dal criterio del rapporto, si ha: a n+ n + + logn + lim = lim n a n n n =, + log n pertanto il raggio di convergenza è. Se w <, la serie converge, se w > diverge. Se w =, si ha: + n= + n + log n < n < +. Quindi si ha convergenza anche per w =. Si ha w = z z+4i, per cui w < se z < z + 4i ovvero z < z + 4i, quindi posto z = x + iy, si ha che w < se e solo se x + y < x + y + 4, quindi, semplificando, y > x/. Esercizio 6.. Al variare di n N, determinare il valore dell integrale: n= utilizzando metodi di analisi complessa. e int + cos t dt, Soluzione 6.. Posto z = e it, si ha grazie alle formule di Eulero cos t = z +/z/, pertanto l integrale diviene: e int + cos t dt = γ z n dz 4 + z + /z iz = i γ z n z + 4z + dz. dove γ è la circonferenza centrata nell origine di raggio percorsa in senso antiorario. La funzione integranda f è singolare nei punti z + 4z + =, ovvero z = + e z =, che sono poli semplici, e γ non passa per queste singolarità. Si ha z = + >, per cui z cade all esterno di γ, mentre z = <, quindi z cade all interno di γ. Calcoliamo il residuo della funzione integranda in z, trattandosi di un polo semplice si avrà: esf; z = lim z z fzz z = zn z z = zn Pertanto, dalla formula dei residui si ha: z n i γ z + 4z + dz = i iesf; z = n. 4 Antonio Marigonda, Dipartimento di Matematica F. Casorati, Università di Pavia, Ufficio E, antonio.marigonda@unipv.it 6

27 Esercizio 6.4. Si risponda ai seguenti quesiti:. Esistono coefficienti û k C tali che e t = û k e ikt nell intervallo,?. Esistono coefficienti a k, b k tali che e cos t = a + a k coskt + b k sinkt per t?. Esistono coefficienti û k C tali che sin t = 4. Esistono coefficienti a k tali che = Soluzione 6.4. k= k= k= û k e ikt nell intervallo,? a k coskt nell intervallo,? k=. La funzione ut = e t è limitata in [, ], pertanto essa è sviluppabile in serie di Fourier. Indicati con u k i coefficienti del suo sviluppo di Fourier rispetto alla base {e ikt, k Z}, si ottiene che, per ipotesi, û k = per k <. Sviluppando in serie di Fourier rispetto alla base {, cos kt, sin kt}, si ha: ut = a + a k coskt + b k sinkt, e i coefficienti a k, b k C, per le formule di Eulero, sono legati a û k da: k= a = û, a k ib k = û k, a k + ib k = û k, k >. Poiché la funzione è reale, si deve avere a k, b k, inoltre essendo û k = per k <, si ottiene a k +ib k = da cui a k = e b k = per k >, quindi ut û. Poiché ut non è costante in,, si conclude che non esistono coefficienti û k che soddisfino la condizione richiesta.. La funzione ft = e cost è limitata, inoltre si ha e cost+ = e cost, pertanto ft + = ft è periodica di periodo. Pertanto essa è sviluppabile in serie di Fourier. Inoltre è di classe C, pertanto la sua serie di Fourier converge puntualmente a f in ogni punto t. Definiti: a = ft dt, a k = si ha che tali coefficienti soddisfano alla condizione richiesta. ft coskt dt, b k = ft sinkt dt,. Le funzioni e ikt, k Z sono periodiche di periodo. D altra parte si ha sin / = sin/ = mentre sin / + = sin/ = quindi tale funzione non è periodica di periodo, pertanto non esistono coefficienti a, a k, b k con la proprietà richiesta. 4. la funzione ft per t, è limitata, pertanto è sviluppabile in serie di Fourier e, anzi, si ha che tutti i suoi coefficienti di Fourier ad eccezione di a sono nulli e a =. Per l unicità dello sviluppo in serie di Fourier, si ha che non esistono coefficienti con la proprietà richiesta. Esercizio 6.5. Calcolare lo sviluppo in serie di Fourier di ut = cos t sint. Soluzione 6.5. La funzione è limitata e periodica di periodo, infatti sint+ = sint+ = sint, e cos t + = cos t + = cos t = cost per cui sviluppabile in serie di Fourier. icordando che cosα = cos α, si ottiene ut = cost + sint = cost sint + sint = 4 sin4t + sint. 7

28 Si ha dunque ut = a + a k coskt + b k sinkt, k= con a k = per k N, b = /, b = /4, b k = per k >. Esercizio 6.6. Calcolare lo sviluppo in serie di Fourier del segnale u -periodico, che vale e 4t nell intervallo,. Calcolare 4 + k. k= Soluzione 6.6. Il segnale è periodico con T = e limitato, quindi sviluppabile in serie di Fourier. ω = /T, da cui ω =. I coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier sono dati da k Z: c k = T = e ik ik ute ikt dt = = + ik e 4t e ikt dt = e ik 4 + k = + ik Posto a k = c k + c k e ib k = c k c k, si ottiene per k N, k > : Per l identità di Parseval si ha: [ e e ikt ikt dt = ik e 4 [cos k + i sin k] 4 + k = + ik a = e4, a k = e k, b k = k e k. T ut dt = T k= c k, Nel nostro caso si ha: e 8t dt = e8, 8 e c k 4 e 4 = = 4 + k k= Pertanto la somma richiesta vale: e 8 8 k= 4 e 4 = e4 e Esercizio 6.7. Calcolare l integrale: 4 e 4 = e 4 + e 4 = sin t + 4 cos 4t4 sin 4t + 4 cos 4t dt. Soluzione 6.7. Posto x = t, l integrale richiesto diventa: sinmx sinnx dx = sin x + 4 cos x4 sin x + 4 cos x dx. k= ] 4 + k, e + e e e = coth. icordando a questo punto che per m, n N si ha: cosmx cosnx dx = { se m = n cosm nx + cosm + nx dx = se m n, { se m = n cosm nx cosm + nx dx = se m n, sinmx cosnx dx = sinm + nx sinm nx dx =, e k Si ha 8

29 l integrale richiesto si riduce a: 6 cos x dt = 8. Esercizio 6.8. Si consideri lo sviluppo in serie di Fourier del segnale 4-periodico: + ut = 6sinc k/ coskt/, k= che vale t in,. Scrivere lo sviluppo di Fourier di ut in forma esponenziale e calcolare le serie + k= 6sinc k/ cosk/, + k= 6 sinc 4 k/. Si calcoli lo sviluppo di Fourier della funzione -periodica v che coincide con u nell intervallo,. Soluzione 6.8. Si ha, posto T = 4 e ω = /T = /: c = T/ ut dt = t dt = t dt = [ ] t =. T T/ 4 c k = T/ ute ikωt dt = t e ikt/ dt = { te ikt/ dt + T T/ 4 4 = { } te ikt/ dt + te ikt/ dt = e ikt/ + e ikt/ t dt = 4 { [ = t sinkt/ ] } sinkt/ dt = [ ] coskt/ k/ k/ k /4 = 6 k k } te ikt/ dt t coskt/ dt Si osservi che per k N, k > : c = a = 6, b k = c k c k =, a k = c k +c k = k se k = n, n N k = 4 n + se k = n +, n N. D altra parte, ricordando che sinc x = sin x x, si ritrova: se k = n, n N 6sinc k/ = 4 n + se k = n +, n N. La funzione ut = t è continua in t = e regolare a tratti in,, pertanto la sua serie di Fourier converge puntualmente in t = a u. Si ha allora: pertanto + u = = 6sinc k/ cosk/, + k= k= 6sinc k/ cosk/ =. Tale calcolo poteva essere fatto direttamente ricordando che cosk/ vale se k è dispari e se k è pari, ma sinc k/ vale se k è pari. Sfruttando l uguaglianza di Parseval, si ha: T T/ T/ ut dt = a a k + b k, k=

30 nel nostro caso si ha: da cui: 9t dt = sinc 4 k/ = k= Si osservi che ut = ut, pertanto posto t/ = x: [ t ] =, 6 4 = 6. c u k = T T/ T/ ute ikωt dt = ute ikt/ dt = uxe ikx dx = uxe ikx dx = c v 4 4 k, ovvero i coefficienti di Fourier di v sono metà di quelli di u. Esercizio 6.9. Calcolare gli sviluppi in serie di Taylor centrati in delle funzioni: Sugg.: ricordare che d dz arctan z = +z Soluzione 6.9. Si ha: pertanto: Si ha: fz = ez z, gz = arctanz. z n n e z = + = + n! n! zn, fz = n= n= n n! zn = n= n= n= n+ n +! zn. + z = z n = n z n, n= pertanto, integrando termine a termine, e ricordando che g = : e quindi arctanz = gz = n= n= n n + zn+, n n+ z n+. n + Esercizio 6.. Calcolare lo sviluppo in serie di Fourier dei seguenti segnali periodici: ut = vt = wt = { per t k, k, k Z per t k, k +, k Z { per t 4k, 4k, k Z per t 4k, 4k +, k Z { per t 4k, 4k, k Z per t 4k, 4k +, k Z Soluzione 6.. Tndicati con T u, T v, T w i periodi di u, v, w rispettivamente, si ha T u =, T v = 4, T w = 4 da cui ω u = /T u =, ω v = ω w = /. Tutti questi segnali sono periodici e limitati, per cui è possibile calcolarne lo sviluppo in serie di Fourier.

31 Notiamo che u e v sono dispari ovvero u t = ut e v t = vt per ogni t. Per quanto riguarda u si ha n N, n > : a u = a u n = b u n = T u Tu/ T u/ = n, n ut sinnω u t dt = ut sinnt dt = [ sinnt dt = cosnt ] n da cui b u n = per n pari e b u n = 4/j + se n = j +, j N. Lo sviluppo in serie di Fourier risulta quindi: ut = 4 j= j + sinj + t. Osserviamo inoltre che vt = ut/, pertanto i coefficienti di Fourier di v sono gli stessi di u: Quindi si ha: c v n = T v Tv/ T v/ vte iωvnt dt = Tu ut/e itωu/ dt = Tu/ uxe iωux dx = c u T u T u T n. u T u/ vt = 4 j= j + sin j + t. Osserviamo infine che wt = vt + /, pertanto si avrà vt = wt e perciò: wt = + j= j + sin j + t. Esercizio 6.. Sia Γ il rettangolo di vertici + i, + i, i, i percorso in senso antiorario. Calcolare z 5 z 4 i z 6 dz. + Soluzione 6.. Posto fz = z5 z 4 z 6 + = z4 z z 6, z C, + si ha che fz è singolare per z 6 + =, ovvero z 6 = e i+k, k Z, quindi si hanno le singolarità z k = e i/6+ik/, k =,..., 5. Tali singolarità sono due a due complesse coniugate e si ha: z = + i, z = i, z = + i, e z = z, z 4 = z = i, z 5 = z. Si tratta di poli semplici, il cui residuo vale: esf, z k = lim z z k fz = lim z 4 z z k z z z k z z k z 6 + zk 6 + = z k =, 6z k 6z k dove si è sfruttato il fatto che z 6 k + = e z4 k z k. Calcoliamo il residuo all infinito. Posto: gz = f/z w si ha osservando che è un polo semplice per g z = 4 z = z + z 6 z + z 6, esf, z = esg, = lim z zgz =.

32 Per quanto riguarda la posizione delle singolarità di f, si ha che z, z, z, z 4, z 5 sono tutte contenute all interno di Γ, mentre z = i giace all esterno come ovviamente z. Si ha allora dalla formula dei residui: z 5 z 4 i z 6 dz = esf, z + esf, z + esf, z + esf, z 4 + esf, z 5 + = esf, z + esf, z = 6i = i 6. Esercizio 6.. Sia Γ la circonferenza di centro i e raggio 5 orientata in senso antiorario. Calcolare: z z zz 4z + dz. Soluzione 6.. Poniamo: fz = Γ z z zz 4z +, z C. La funzione f è singolare per z zz 4z + =, ovvero per z =, z =, z = + i, z = i. Si ha che z è singolarità eliminabile, mentre z, z, z sono poli semplici. Una singolarità z k, k =,,, cade all interno di Γ se e solo se si ha: z k i < 5. Pertanto le singolarità che cadono all interno di Γ sono solo z, z e z. Di queste, z è eliminabile e pertanto il suo residuo è nullo, le altre sono poli semplici. esf, z = lim z z z z fz = lim z z z 4z + = 9. esf, z = lim z z z z fz = lim z z z z z z = i 6i = 8. Per la formula dei residui si ha: z z zz 4z + dz = iesf, z + esf, z = i 9. Γ Esercizio 6.. Sia Γ la circonferenza di centro 4 e raggio, calcolare: 5 e z + e a i dz. Γ Soluzione 6.. Non è restrittivo supporre Ima <, infatti, e a+ik = e a per ogni k Z. Poniamo f a z = 5/e z + e a i, z C e studiamone le singolarità. La funzione f a z è singolare nei punti dove e z = e a i, ovvero e z = e a e i/+ik, k Z, quindi per z k = a + i/ + k, k Z. Si tratta, come risulterà dal seguente calcolo, di poli semplici: z z k lim z z k f a z = 5 lim z z k z z k e z + e a i e z k + ea i = 5 e z k Pertanto esf a, zk a = 5i/ea. Per semplicità, poniamo x a = ea e y a = Ima. Studiamo quali singolarità cadono all interno di Γ, osservando che z k 4 = x a 4 + / + k + y a. Se x a 4 >, ovvero x a < 4 o x a > 4 +, si ha z k 4 > quindi all interno di Γ non cadono singolarità, quindi l integrale richiesto è nullo. Poiché il residuo in z k è sempre 5i e, si ha che se su Γ non cadono a singolarità, l integrale è pari a: Γ 5 e z + e a i dz = i z k 4 < = 5i e a esf a, z k = e a N a, dove N a è il numero di singolarità che cadono all interno di Γ. Studiamo perciò, al variare di k Z: x a 4 + / + k + y a < 4.

33 A questo punto poniamo x a = xa 4 disequazione: xa y a + k <. e ỹ a = 4 + ya ottenendo che per y a < si ha 4 ỹ a < 7 4, e la x a + ỹ a + k <. Condizione necessaria perché tale disequazione sia soddisfatta è che ỹ a + k <, ed essendo 4 ỹ a < 7 4, ciò implica necessariamente che se k, x a, ỹ a soddisfano la disequazione, allora /4 + k < e 7/4 + k > pertanto k {,, }. Nel caso k =, si ha: z 4 < x a + ỹa xa 4 < y a <. Nel caso k =, si ha: z 4 < x a + ỹ a xa 4 < y a <. Nel caso k =, si ha: z 4 < x a + ỹ a xa 4 < y a <. Si ha dunque: Posto Q = {z C : /4 Imz < 7/4}, B = {z C : z < }, B = {z C : z i < }, B = {z C : z i < }, ã = x a + iỹ a si ottiene: ã Q B B \ B B \ B B = Q B \ B B \ B B N a =. ã Q B B B N a =. ã Q \ B B B N a =. L integrale non esiste se ã Q B B B. Si osservi che Q B \ B =. Nel caso particolare a, ovvero y a =, si ha che z 4 >. La discussione diventa: xa 4 z 4 < < xa 4 z 4 < + 6 < Pertanto, si ha ricordando a = x a Γ 5 e z + e a i dz = Esercizio 6.4. Calcolare il seguente integrale: Soluzione 6.4. Consideriamo la funzione: fz = xa 4 xa 4 e a se a 4 < 7 < 7 6 x a 4 < 7. < 5 6 x a 4 < 5. non esiste se a = 4 ± 7 e a se 7 < a 4 < 5 non esiste se a = 4 ± 5 se a 4 > t 4 dt. + 9z 4, z C.

34 Si ha che f presenta singolarità per 9z 4 + = ovvero per z 4 = 9 eik+, k Z, quindi per z k = eik+/4, k =,,,. Si tratta di poli semplici, il calcolo del residuo è immediato: z z k esf, z k = lim z z k fz = lim z z k z z k + 9z 4 + 9zk 4 = 9 4zk = z k 4. Si ha che z e z hanno parte immaginaria strettamente positiva, mentre le loro coniugate z e z hanno parte immaginaria strettamente negativa. Fissato > max k z k, consideriamo il circuito γ costituito dall arco di circonferenza centrato nell origine passante per e e giacente nel semipiano dei complessi con parte immaginaria strettamente positiva, orientato in senso antiorario, e dal segmento reale congiungente a. fz dz = iesf, z + esf, z γ Si ha che, per l integrale di f sul pezzo curvo tende a zero perché il grado del denominatore di f e di quattro unità superiore a quello del numeratore, e l altro tende all integrale richiesto. Pertanto: ricordando le definizioni di z e z t 4 dt = i z 4 z = 6 4 6, 4