Introduzione alla geometria piana

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1 Introduzione alla geometria piana Matematica di Base - Ingegneria UNIUD

2 Cosa studia la geometria? La geometria razionale studia le carattertiche e le proprietà di tutte le figure piane e solide dello spazio euclideo. La geometria euclidea è praticamente la branca più datata della Matematica, organizzata secondo un impianto ipoteticodeduttivo. 2

3 Enti primitivi Si defincono enti primitivi: Il Punto La linea (retta) Il Piano Tutti gli altri oggetti della geometria piana vengono definiti per loro tramite. π P r 3

4 Semiretta Dicesi semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta viene diva da un punto P detto origine della semiretta P 4

5 Segmento Il segmento è la parte finita di retta delimitata da due punti A e B. Il segmento è il primo elemento che ammette mura. A B 5

6 r Angolo P s Due semirette r ed s con l origine comune P dividono il piano in due parti ciascuna delle quali dicesi angolo. Trattandosi di porzioni illimitate di piano l angolo, in quanto superficie, non ammette mura. Tuttavia gli angoli vengono ugualmente confrontati tra di loro attraverso le ampiezze α, avendo definito come ampiezza unitaria l angolo corrpondente alla 360- esima parte dell angolo giro, ossia dell intero piano. 6

7 r Rette r ed s tagliate da una trasversale t s t Vengono a formarsi: Angoli corrpondenti Sono le coppie: (1;5), (2;6), Essi stanno dalla stessa parte rpetto alle rette e rpetto alla trasversale Angoli alterni Interni: (3;5), (4;6) stanno da parte opposta rpetto alla trasversale ed all interno della strcia Esterni: (1;7), (2.8) stanno da parte opposta rpetto alla trasversale ed all esterno della strcia Angoli coniugati Interni: (4;5), (3;6) stanno dalla stessa parte rpetto alla trasversale ed all interno della strcia Esterni: (1;8), (2;7) stanno dalla stessa parte rpetto alla trasversale ed all esterno della strcia 7

8 Rette parallele tagliate da una trasversale Angoli corrpondenti: Hanno la stessa ampiezza Angoli alterni Hanno la stessa ampiezza, sia quelli interni che quelli esterni Angoli coniugati Sono supplementari, sia quelli interni che quelli esterni r s t 8

9 Poligonale e poligoni Una successione di segmenti consecutivi (ovvero aventi un vertice comune), dicesi poligonale. Una poligonale può essere aperta o chiusa a seconda che il primo vertice del primo segmento coincida o no con il secondo vertice dell ultimo segmento della successione. Si defince poligono la parte di piano delimitata da una poligonale chiusa. 9

10 Poligoni convessi e concavi Se comunque si scelgono due punti P e Q di un poligono (o di una figura qualsiasi), il segmento che li unce è costituito di punti appartenenti tutti al poligono, questo si defince convesso. In caso contrario si dice che il poligono è concavo. P Q 10

11 Diagonale di un poligono Dicesi diagonale di un poligono ogni segmento che congiunge due vertici non consecutivi. Ad esempio, il segmento CE del poligono accanto è una diagonale. 1. Stabilire quante sono le diagonali di un triangolo dopo averle degnate. 2. Idem per un quadrilatero. 3. Idem per un pentagono. 4. Idem per un esagono. 5. Cosa si può dire in generale per un poligono di n lati? E D A C B 11

12 Poligoni regolari Un poligono si dice regolare se presenta i lati e gli angoli interni tutti uguali (congruenti) tra di loro. Di conseguenza anche gli angoli esterni rulteranno uguali tra loro Triangolo equilatero Pentagono regolare quadrato Esagono regolare 12

13 Esercizi 1. Degna un angolo esterno di un qualsiasi poligono scelto a tuo piacere. 2. Stabilci qual é la somma degli angoli interni e quale quella degli angoli esterni di ogni poligono 3. Cosa si può dire in generale in relazione agli angoli esterni di un poligono di n lati? 4. Cosa si può dire in generale in relazione agli angoli interni di un poligono di n lati? 5. Cambiano le rposte ai quesiti 3 e 4 nel caso in cui i poligoni non sono regolari? 13

14 Glossario punto, linea, piano retta, semiretta, segmento, angolo poligono concavo, convesso lato o spigolo, diagonale 14

15 diagonali di un poligono di n lati per ogni vertice di un poligono si possono condurre (n-3) diagonali dtinte; il numero totale di diagonali dtinte che si possono condurre all interno di un poligono di n lati è dato da: 15