Nicola De Rosa, Liceo scientifico estero Americhe sessione ordinaria 2011, matematicamente.it

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1 PROBLEMA Nel riferimento cartesiano Oxy si consideri il triangolo di vertici O, B(;0), A(0;a) con a 0. Preso un punto P interno al triangolo, si denotino con Q e con R i punti in cui la retta per P, parallela all asse y, taglia i lati OB e AB rispettivamente.. Si dimostri che il luogo dei punti P, interno al triangolo OBA, tali che QP : QR OQ : OB è un arco della parabola d equazione y ax x. Si verifichi che il lato BA del triangolo e la mediana ad esso relativa sono tangenti a rispettivamente in B e O. Si denoti con la regione delimitata da e da OB. In, si inscriva un rettangolo con un lato su OB; si stabilisca per quale valore di a il rettangolo di perimetro massimo risulta essere un quadrato 4. Posto a, si indichi con r la retta ortogonale a nel punto B. Si calcoli l area racchiusa tra r e e si calcoli altresì il volume del solido generato dalla rotazione di intorno alla retta y RISOLUZIONE Punto Sia Px y,0 x, 0 y a, un generico punto P interno al triangolo AOB. Con queste convenzioni QP y, OQ x, OB mentre QR lo ricaviamo dalla similitudine dei triangoli rettangoli AOB e RQP: AO QB QR : QB AO : OB da cui QR a x per cui il luogo dei OB punti P per cui QP : QR OQ : OB diventa y : a x x : da cui : y ax x che con la limitazione geometrica con

2 0 x, 0 y a rappresenta un ramo di parabola con vertice in, a 4 V che interseca l asse delle ascisse in 0,0, B,0 Punto O. L equazione generica della tangente al grafico in un punto x0, y 0 è y mx x 0 y0 con m f ' x 0. La derivata prima della parabola in esame è y' a x per cui la tangente in O 0,0 ha equazione y ax in quanto m f ' 0 a ; la tangente in B,0 ha equazione y ax a in quanto m f ' a. Notiamo che, oltre al punto B,0, anche il punto A 0,a appartiene alla retta di equazione y ax a per cui la retta tangente in B,0 di equazione y ax a coincide con la retta su cui giace il lato BA del triangolo. Dobbiamo solo provare ora che la retta O 0,0 di equazione y ax coincide con la mediana relativa al lato BA. Tale mediana passerà per l origine O 0,0 e per il punto medio, a del lato BA. La retta passante per questi due punti ha effettivamente equazione y ax coincidente con la tangente in O 0,0 alla parabola. Punto Consideriamo la figura a lato. I vertici rettangolo CDEF per ovvi motivi di simmetria rispetto alla direttrice della parabola di equazione x hanno le seguenti coordinate:

3 Cx, 0, D x,0, E x, ax ax, Fx, ax ax perimetro del rettangolo è px CD DE CD x, DE ax ax x con dove 0 x per cui ax xa. Il p ; quindi il perimetro è una parabola con concavità verso il basso la cui a ascissa di massimo coincide con l ascissa del vertice, cioè x M a cui corrisponde il valore massimo a a a a p xm a a a a 4a a a a 4. 4a a a La condizione 0 x con x M espressa in funzione del a parametro a diventa a a a a a a a 0 a a a 0 0 a a a a 0 a a a 0 I lati del rettangolo di perimetro massimo misurano: a 4 CD FE, DE CF ; notiamo che la misura del lato DE a 4a con la limitazione a è positiva. Affinché il rettangolo di perimetro massimo sia un quadrato dobbiamo imporre CD DE e cioè

4 a 4 a 4 8 a 0 a ; poiché a la 4a a soluzione accettabile è a cui corrisponde un perimetro massimo pari a a 4 4 p max. a a Punto 4 La retta r ortogonale a nel punto B,0 ha equazione y m' x dove m' ed m è il coefficiente angolare della retta tangente a m nel punto B,0 ; la retta tangente a nel punto B,0, come trovato al Punto, ha equazione y ax a, per cui m a m', e a posto a, la retta r ortogonale a nel punto B,0 ha equazione r : y x. L area da calcolare è di seguito raffigurata in grigio. Le intersezioni tra la parabola e la retta r : y x si ricavano risolvendo l equazione x x x x x 4 x x 4 0 x 4 x. 4

5 L area richiesta, quindi, è pari a x x x x x S x dx x dx x Per il calcolo del volume dovuto alla rotazione di intorno alla retta X x y consideriamo la seguente trasformazione:. In questo Y y modo la retta y verrà a coincidere nel sistema di riferimento OXY con l asse delle ascisse mentre la parabola avrà equazione X X Y.. La regione in OXY è raffigurata in grigio nella figura soprastante. Il volume richiesto sarà quindi pari a 4 X X X X X V dx X dx X X X X

6 PROBLEMA In una semicirconferenza di diametro AB di lunghezza, è inscritto un quadrilatero convesso ABCD avente il lato CD uguale al raggio. I prolungamenti dei lati AD e BC si incontrano inun punto E.. Si dimostri che, qualunque sia la posizione dei punti C e D sulla semicirconferenza, si ha: ˆ ˆ D AC DBC e ˆ A EB. Se x DAˆ B, si provi che la somma CE+DE in funzione di x è data da f x cos x sin x. Quale è l intervallo di variabilità della x? Quale il valore massimo assunto da CE+DE?. Posto gx k sin x si trovino k e di modo che gx f x 4. Si tracci, a prescindere dai limiti geometrici del problema, il grafico di f x e si denoti con R la regione delimitata, per x,, dall asse x e da. Si calcoli l area di R e si calcoli altresì il volume del solido generato da R nella rotazione attorno all asse x. Punto Si consideri la figura a lato rappresentante la geometria del problema. RISOLUZIONE Per il teorema della corda applicato ai triangoli ADC e DCB si ha

7 ˆ ˆ DC DAC DBC arcsin arcsin. r Poiché il triangolo AEC è rettangolo in C ˆ ˆ ˆ A EB AEC DAC. Punto Poiché ˆ D AC, la limitazione sull angolo DAB ˆ x è x. Il triangolo ACE è rettangolo in C, per cui a norma del teorema dei ˆ dove CA, applicando il teorema dei triangoli rettangoli al triangolo ACB è CA AB CAB ˆ cos cos x cos x sin x per cui triangoli rettangoli CE CA tancae CA tan CA CE cos x sin x cos x sin x 7 ; analogamente il triangolo BED è rettangolo in D per cui a norma del teorema dei triangoli rettangoli EBD ˆ DB tan DB DE DB tan dove DB, applicando il teorema dei triangoli rettangoli al triangolo ADB è DAB ˆ sin x DB AB sin per cui DE sin x sin x. In conclusione f x CE DE cos x sin x cos x cos x sin x con f x cos x sin può essere anche x. La funzione x

8 scritta come f x cos x sin x sin x e il valore massimo è assunto quando sin x cioè quando x k x k. Quindi il valore massimo è raggiunto per x e vale f e il quadrilatero corrispondente è un trapezio isoscele. In particolare M, è massimo relativo ed assoluto per la funzione f x cos x sin x sin x. Punto Nel Punto abbiamo mostrato che la funzione f x cos x sin x può essere anche scritta come f x cos x sin x sin x, per cui i valori,k tali per cui gx k sin x f x sono, k. Se non avessimo intuito che la funzione f x cos x sin x poteva essere scritta come f x sin x, avremmo dovuto procedere in questo modo. Sfruttando la formula di addizione, la funzione g x coincide con g x k sin x k sin x cos k cos x sin. L uguaglianza k sinxcos k cosxsin cos x sin x k sin k cos è verificata se ; dividendo la prima per la seconda otteniamo 8

9 tan, mentre elevando al quadrato e sommando otteniamo la seconda condizione k 4 per cui k sin k cos 9 tan k 4 L equazione tan ha come soluzioni k con k Z mentre l equazione k 4 ha come soluzioni k. Tra le possibili k sin coppie,k quella che soddisfa il sistema è solo k cos, k,. Punto 4 Il grafico della funzione f x cos x sin x sin x lo ricaviamo attraverso i seguenti passi:. Grafichiamo la funzione elementare hx sin x ;. Trasliamo il grafico del Punto di x verso le ascisse negative, ottenendo il grafico di h x sin x. Otteniamo il grafico di f x sin x moltiplicando per le ordinate del grafico di h x sin x Il grafico è il seguente..

10 Nell intervallo 5, la funzione f x cos x sin x sin x è positiva mentre in 5, 5 è negativa ed è simmetrica rispetto alla retta x ; da ciò deduciamo che l area della regione R è pari a S R 5 sin x dx 5 sostituzione t x l integrale diventa S sin x dx. Effettuando la R sin tdt sin tdt cos t0 cos t 0 cos cos0 cos cos 8 0

11 Il volume del solido dovuto alla rotazione di R intorno all asse delle ascisse è V R 4sin x dx t x l integrale diventa 0. Effettuando la sostituzione V R 4sin x dx 4sin tdt cos tdt t sin t 4 0 0

12 QUESTIONARIO Quesito Sia W il solido ottenuto facendo ruotare attorno all asse y la parte di piano compresa, per x 0,, fra il grafico di y sin x e l asse x. Quale dei seguenti integrali definiti fornisce il volume di W? 0 A) xsin xdx ; B) arcsin x dx D) nessuno di questi Si motivi la risposta. 0 ; C) sin xdx ; La risposta esatta è la A). Pensiamo la regione R decomposta in tanti ognuno dei quali genera un solido pari alla differenza di due cilindretti, in modo che, intuitivamente potremo pensare W come somma progressiva di infiniti gusci cilindrici coassiali di spessore dx, dove il raggio x varia da 0 a. Il volume del guscio (infinitesimo) può essere calcolato come prodotto dell area circolare di base di raggio esterno x e raggio interno x, per l altezza: V x x i i i i xi sin xi i x i 0. Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore a x i il volume infinitesimo sarà V x sin x x. Se il numero di gusci cilindrici in cui i i suddividiamo l intervallo i i 0, è N il volume richiesto sarà:

13 N N V lim V lim x sin x x xsin xdx i i i i N N i i 0 0 x cos x sin x Quesito Angelo siede in un punto A della piazza del suo paese e vi osserva un albero in B, una fontana in F e un lampione in L. Stima l ampiezza dell angolo sotto cui vede la congiungente B e F pari a 0 e l ampiezza dell angolo sotto cui vede FL pari a 45. Sapendo che BF m e FL 0m e che B F ˆL 55, si spieghi ad Angelo come procedere per calcolare AB, AF e AL. Sono attendibili i risultati AB AF,8m e AL 7,85m? Consideriamo la figura seguente rappresentante la geometria del problema. Indicando l angolo A FL ˆ, gli altri angoli di conseguenza saranno A LF ˆ 5, AFB ˆ 55, ABˆ F 5 con 5 5.

14 Applichiamo il teorema dei seni ai due triangoli ABF ed AFL per ricavare in ambo i casi la misura del lato AF e dei lati AL e AB : AF FL 0sin 5 () AF 0 sin 5 sin 5 sin 45 sin 45 AF BF sin 5 AF FL FLsin AL AB BF BFsin 55 AB () 4 sin 5 sin 5 sin 0 sin 0 AL () 0 sin sin sin 45 sin 45 (4) sin 55 sin 0 sin sin 55 Uguagliando le due espressioni e si ha: 0 sin 5 4 sin 5 0 sin5 cos cos5 sin 4sin cos5 cos sin 5 0 cos sin 4sin cos5 cos sin 5 0cos sin 4sin cos5 cos sin 5 4 cos5 0 sin 0 4sin 5 cos 0 posto cos 0 k 0 4sin 5 4 cos5 0 cos tan 0 4 cos sin 5 tan 5,5 4 cos50 Ricordiamo ora le formule trigonometriche che esprimono il seno e il coseno in funzione della tangente:

15 tan sin,cos. tan tan Dalla () ricaviamo 0 tan AF 0 sin 5 0sin cos tan 0 5,5 5,5 Dalla () ricaviamo,8m 0 tan 0 5,5 AL 0 sin 7, 85m tan 5,5 Dalla (4) ricaviamo AB 4 sin 55 4 sin55cos cos55sin 4sin55 4 cos55 tan 4sin55 4 cos55 5,5,8m tan 5,5 In conclusione sono attendibili i risultati proposti dalla traccia. Quesito La base di un solido S è la regione triangolare compresa tra gli assi coordinati e la retta di equazione 4x 5y 0. Si calcoli il volume di S sapendo che le sue sezioni con piani perpendicolari all asse x sono semicerchi. 0 4x 0 x 5 5 x cui corrisponde un area pari a Fissato x, il raggio del semicerchio sarà r x con x A 5 otteniamo il volume richiesto: x r x 5 x 5 5. Integrando l area

16 V A x dx x dx x Quesito 4 Si spieghi perché l equazione cos x x ha almeno una soluzione La funzione f x x cos x è definita e continua in tutto R ed è strettamente crescente nel dominio R in quanto ha derivata prima f ' x sin x non negativa. Poichè, inoltre, f 0 0, f 0 a norma del teorema degli zeri 4 4 f x e cioè di cos x x. esiste un unica soluzione dell equazione 0 Quesito 5 Si risolva l equazione x x Per risolvere l equazione richiesta bisogna considerare che: per x 0 si ha: x x, x x per 0 x si ha: x x, x x per x si ha: x x, x x Risolviamo l equazione considerando gli intervalli soprastanti: x 0: x x x 0 non accettabile; 0 x : x x 0 0 per cui tutti i numeri reali appartenenti all intervallo 0, sono soluzioni dell equazione; x : x x x x accettabile In conclusione l equazione presenta infinite soluzioni e sono gli infiniti numeri reali appartenenti all intervallo 0,.

17 Quesito Una sfera è inscritta in un cubo; quale è il rapporto fra il volume della sfera e quello del cubo? 4 Sia r il raggio della sfera inscritta il cui volume è VSfera r. Il cubo circoscritto ha lato pari al diametro della sfera l r, di conseguenza il volume è l 8r. Il rapporto tra i volumi è quindi V R V Sfera Cubo V Cubo 4 r 8r. Quesito 7 Si dimostri che in un triangolo, il rapporto tra ciascun lato e il seno dell angolo ad esso opposto è uguale al diametro del cerchio circoscritto al triangolo. Si consideri la figura a lato. C Siano CAB ˆ, CBA ˆ, BCˆ A gli angoli opposti rispettivamente ai lati b h a BC a, AC b, AB c del triangolo O ABC inscritto e sia AO R il raggio A H c della circonferenza circoscritta. Il triangolo ACD è inscritto in una semicirconferenza per cui è rettangolo in C; inoltre ADC ˆ ABˆ C in quanto sono angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco. I triangoli ACD e CHB 7 D B

18 sono, quindi, simili in quanto entrambi rettangoli con un angolo acuto uguale, per cui vale la proporzione tra lati omologhi: ab h : b a : R da cui R. Per il teorema sui triangoli rettangoli h applicato a CHB si ha h asin bsin per cui sostituendo in ab ab b ab a R ricaviamo R e R ; h a sin sin b sin sin c dobbiamo quindi solo dimostrare che R ; applicando il teorema sin c b a dei seni al triangolo ABC si ha per cui sin sin sin sostituendo nella formula del diametro si ha in definitiva a b c R. sin sin sin Quesito 8 t 0, Sia ; quale è la curva rappresentata dalle equazioni x acost e y bsin t? Si tratta di trovare l equazione cartesiana del luogo a partire dalle x cos t a seguenti equazioni parametriche: Elevando ambo i membri x sin t b al quadrato e ricordando l identità goniometrica fondamentale x y sin t cos t il luogo avrà equazione che corrisponde b a all equazione dell ellisse di semiassi a e b. 8