CAPITOLO 5. Spire frattali

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1 CPITOLO 5 Spire frattali

2 Uno dei principali vantaggi della geometria frattale consiste nella possibilità di costruire strutture elettricamente lunghe in uno spazio limitato. In questo capitolo sarà descritto il comportamento delle spire frattali sia sotto l ipotesi di spire piccole, in cui cioè il perimetro è molto minore della lunghezza d onda, sia in risonanza. Le spire sono state modellizzate con una strip di altezza h0.0 m corrispondente ad una sezione di diametro d0.5h0.01 m. 5.1 Spira a di neve di Von Koch. L antenna a di neve è stata confrontata con la spira circolare sotto l ipotesi di spire piccole. I due radiatori hanno lo stesso raggio r 1 m, come si vede in figura (5.1), ed il frattale è stato costruito fino alla quarta iterazione. Per entrambe le spire è presente una componente reattiva (induttiva ) che si ipotizzerà compensata da un opportuno condensatore. Il principale inconveniente dei loop circolari in cui C << λ, dove C è la lunghezza della circonferenza e λ è la lunghezza d onda, è la bassa resistenza d ingresso che al massimo può arrivare vicino ai Ohm per C λ /. Si vuole perciò verificare se l aumento della lunghezza del frattale può portare ad un incremento della R in quando si opera a frequenze lontane dalla risonanza. L alimentazione è stata posta, come si vede dalla figura (5.1), in una delle cuspidi del frattale che stanno anche sulla circonferenza. Spira circolare Fiocco di neve di Von Koch r 1 Fig. 5.1 Fiocco di neve inscritto nel loop circolare. Si è fatta variare la frequenza f da.8 MHz a 1 MHz tenendo fisse le dimensioni geometriche, il che è equivalente alla variazione della lunghezza della circonferenza (e quindi del frattale in essa inscritto) tra λ/10 e λ/ mantenendo fissa la frequenza.le lunghezze delle due antenne sono: p 3 3 r 16. m 3 C π r 6. 8m 80

3 mentre le aree valgono: r 1 i 1 3 i 1 i 1.05m circ π r 3. 1m dove per il frattale sono state utilizzate le formule (1.9), (1.10). Si ha un aumento di un fattore.6 del perimetro del di neve rispetto al loop circolare ed un calo dell area occupata di un fattore 1.5. La resistenza d ingresso per la spira circolare va da 0.0 Ω a 1.78 Ω, mentre per il loop frattale va da 0.0 Ω a 6.5 Ω alle frequenze limite di.8 MHz e 1 MHz rispettivamente, come è visualizzato in figura (5.). Si ha un lieve calo del guadagno, che per la spira circolare va da 1.69 db a G circ 1.59 db, mentre per la spira a di neve da 1.50 db a G 1.3 db. Considerando la frequenza limite di 1 MHz ed il fatto che è stata ipotizzata assenza di perdite le due efficienze d apertura valgono: e e λ D π 1. em _ circ ap _ circ circ circ λ D π em _ ap _ 3.69 Spira a di neve di Von Koch. Spira circolare Fig. 5. Resistenza d ingresso per la spira circolare e per il di neve di Von Koch. 81

4 Quindi l antenna frattale è elettricamente più ampia di quella circolare oltre ad avere una resistenza d ingresso notevolmente più elevata. θ90 ϕ0 ϕ90 Spira a di neve di Von Koch. Spira circolare Fig. 5.3 Confronto tra i diagrammi di radiazione delle due spire. In figura (5.3) sono stati confrontati i diagrammi di radiazione delle due spire. Per ϕ0 e ϕ90 i diagrammi non vanno a zero nelle direzioni corrispondenti agli assi, ciò è dovuto al fatto che la corrente lungo i loop non è costante. In questo modo si viene a perdere la simmetria teorica che garantiva l esistenza di tali zeri, per ripristinarli la frequenza andrebbe scelta estremamente bassa. La figura (5.3) si riferisce alla frequenza di 1 MHz. La rotazione della direzione del massimo per l antenna a di neve può essere anche variata cambiando la posizione del punto di alimentazione, dato che il frattale non ha una simmetria di tipo circolare ed è quindi sensibile al punto di alimentazione. E interessante notare che la deformazione del diagramma del loop di Von Koch per θ90 è dovuta all aumento della lunghezza dell antenna che provoca il manifestarsi dei lobi a frequenze più basse rispetto al loop circolare. In conclusione per le spire piccole le antenne frattali portano ad un notevole aumento della resistenza d ingresso e dell efficienza d apertura, ma i lobi secondari compaiono prima. 5. Spira a quadrato di Minkowsky. Il loop di Minkowsky è stato costruito fino alla terza iterazione ed è stato confrontato con la spira quadrata, corrispondente all iterazione n0 del frattale. La dentellatura w vale 0.5 per tutte le antenne, quindi dalla formula (1.11) si ottiene la dimensione D del frattale risolvendo: d da cui si ricava D 1.. In questo caso si prenderà in considerazione il comportamento delle antenne vicino alla risonanza, non si farà più l ipotesi di spire piccole. Già nel Capitolo 3 è stata dimostrata la capacità di miniaturizzazione della geometria frattale per i dipoli, questa caratteristica è presente anche nei loop. d 8

5 Nel seguente paragrafo si è preferito tenere costante la frequenza di risonanza e riscalare le dimensioni delle spire di un fattore opportuno PC ottenuto attraverso le simulazioni. Le antenne sono state alimentate nel centro di uno dei quattro lati. n0 n1 n Fig. 5. Spire di Minkowsky. Nella tabella sottostante sono stati riportati i valori trovati, dove il perimetro p e l area sono stati calcolati tramite le formule (1.1) ed (1.13). Si nota un aumento dell efficienza d apertura dovuto soprattutto al fatto che il calo dell area geometrica è, in proporzione, nettamente superiore al calo dell area equivalente ad ogni iterazione. Quindi le spire frattali sfruttano meglio l area geometrica a loro disposizione. n fris (MHz) PC h p G (db) Rin (Ohm) em eap Tabella 5.1 Valori per la spira a quadrato di Minkowsky. Il guadagno e al resistenza d ingresso tendono a calare all aumentare di n. nche in questo caso il fatto che la corrente non fosse sinusoidale lungo la spira non ha permesso di ottenere gli zeri sull asse θ0 nei diagrammi di radiazione di figura (5.5). Si può notare che questi pur rimanendo sostanzialmente simili all aumentare dell iterazione nella simulazione, tendono a ruotare leggermente in senso antiorario. Ciò è stato osservato in [1] durante le misurazioni in camera anecoica in concomitanza con un aumento della componente di cross-polarizzazione imputato ad un aumento del frastagliamento della struttura. 83

6 θ90 ϕ0 ϕ90 n0 n1 n n3 Fig. 5.5 Diagrammi di radiazione per la spira a quadrato di Minkowsky. 5.3 Spire e geometria frattale. nalogamente a quanto visto nei due capitoli precedenti, si può osservare che le caratteristiche delle spire appena evidenziate possono essere ottenute da loop costruiti con geometrie di tipo non frattale, come quella di figura (5.6), in cui è anche evidenziata la discretizzazione finora utilizzata. Fig. 5.6 Spira a geometria non frattale. Questa antenna, come si può osservare, è stata costruita semplicemente ponendo due meander lines al posto di due lati e lasciando gli altri due rettilinei. Ne risulta una figura non autosomigliante che sicuramente non è un prefrattale. Dalla tabella (5.) si può osservare che i risultati sono molto vicini a quelli precedentemente ottenuti, se si eccettua un calo della resistenza d ingresso. 8

7 Triangoli totali fris (MHz) h p G (db) Rin (Ohm) em eap Tabella 5. Dati della spira non frattale. Best in [56] ha determinato delle strutture, una delle quali è mostrata in figura (5.7), in grado di sostituire in modo eccellente le spire frattali. Queste presentano, come nel caso dei dipoli, un elevato grado di circonvoluzione ed occupano un area effettiva molto bassa, il che permette un aumento notevole dell efficienza d apertura. Fig. 5.7 ncora una volta la geometria frattale, che pur fornisce notevoli incrementi nelle prestazioni, si è dimostrata non essere l unica soluzione possibile. 85