Prova d esame del 19 luglio 2011 Soluzione

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1 Prova d esame del 9 luglio 2 Soluzione Il sistema dato possiede gradi di libertà. Scegliamo come coordinate lagrangiane lo spostamento orizzontale del nodo A e gli spostamenti verticali dei nodi B e D, che raccogliamo nel vettore v ua {v} = v2 = wb. () v w D Esprimiamo gli spostamenti generalizzati del sistema in funzione delle coordinate lagrangiane: u = v, u = v, u = v, u = v, u = v ; A B C D E w =, w = v, w = (v v )/2, w = v, w = ; A B 2 C 2 D E v v v v θ =, θ =, θ =. 2 2 AB BD DE LAB LBD LDE (2) Spostamenti generalizzati Ciascuna delle tre pile del ponte si comporta come una mensola che trasmette all impalcato un azione orizzontale e un azione verticale, proporzionali ai corrispondenti spostamenti in sommità: EJ EA T = v e N = w. H () RS R RS R HRS RS Pila File: DdS-Prova_esame-Soluzione.doc Pag. di 6

2 Equilibrio dinamico degli elementi dell impalcato Le equazioni del moto del sistema si ottengono scrivendo le tre equazioni di equilibrio dinamico (traslazione orizzontale, traslazione verticale e rotazione) per ciascuno dei tre elementi rigidi: AB: BD: DE: XB m ɺɺ ABuA =, XB XD TBF TCG TDH m ɺɺ BDuC =, XD mdeuɺɺ D =, YA YB mabw ɺɺ B /2 =, YB YD NBF NCG NDH mbdwɺɺ C pb pc pd =, YD YE mdew ɺɺ D /2 =, wɺɺ B LAB LBD LBD YBL AB mab I ɺɺ ABθ AB = ; (YB NBF p B) (YD NDH p D) I ɺɺ wɺɺ D LDE BDθ BD = ; YDLDE mde I ɺɺ DEθ DE = ; (4) dove IAB = mabl AB, IBD = mbdl BD, IDE = mdelde (5) sono i momenti di inerzia delle aste rigide. Sostituendo le Eq. (2), () e (5) nelle Eq. (4) si ottengono le equazioni in funzione delle coordinate lagrangiane del sistema. In particolare, dalle equazioni per AB e DE si ricavano X = m ɺɺ v, X = m ɺɺ v, B AB D DE YB = m ɺɺ ABv 2; YD = m ɺɺ DEv ; (6) che, sostituite nelle equazioni per BD, dopo alcune semplificazioni, forniscono (m m m )v ɺɺ EJ( )v =, AB BD DE HBF HCG HDH EA EA EA EA (2m m )v ɺɺ (m 2m )v ɺɺ (6 )v ( 6 )v = 6p 6p 6p, AB BD 2 BD DE 2 B C D HBF HCG HCG HDH EA EA (2m m )v ɺɺ (m 2m )v ɺɺ 6 v 6 v = 6p 6p. H H AB BD 2 BD DE 2 B D BF DH (7) File: DdS-Prova_esame-Soluzione.doc Pag. 2 di 6

3 La prima equazione, che rappresenta l equilibrio alla traslazione orizzontale di BD, risulta indipendente dalle altre due. Le rimanenti equazioni presentano matrici di massa e di rigidezza che non sono simmetriche. Per rendere simmetriche tali matrici (operazione che tuttavia non è indispensabile ai fini del calcolo degli autovalori), sommiamo e poi sottraiamo fra loro la seconda e la terza equazione: 4 EA 4(m m )v ɺɺ 2m ɺɺ v EA( )v v = 2p 6p, AB BD 2 BD 2 B C HBF HCG HCG EA 4 2m ɺɺ v 4(m m )v ɺɺ v EA( )v = 6p 2p. BD 2 BD DE 2 C D HCG HCG HDH (8) In conclusione, le equazioni di equilibrio dinamico in forma matriciale si scrivono come segue: mab mbd mde ɺɺ v 4(mAB m BD) 2mBD ɺɺ v2 2mBD 4(mBD m DE) v ɺɺ EJ( ) H H H BF CG DH v 4 EA EA( ) v2 6 2pB pc HBF HCG HCG v pc 2pD = EA 4 EA( ) HCG HCG HDH. (9) File: DdS-Prova_esame-Soluzione.doc Pag. di 6

4 Prova d'esame di Dinamica delle Strutture del 9 luglio 2 Docente: Dott. Ing. Paolo S. VALVO Matricola dello studente: M := 4 Lunghezza delle campate L AB := 2 L BD := 6 L DE := 2 L tot := L AB L BD L DE = Altezza delle pile H BF := 2 H CG := 4 H DH := Sezione trasversale delle pile b := 6 h := 2 t :=.5 A := b h ( b 2 t) ( h 2 t) = 7. J := Modulo di Young e densità del materiale (calcestruzzo) 2 b h 2 ( b 2 t) ( h 2 t ) =.58 E := 9 ρ := 25 Masse delle travi di impalcato m AB := M = 4 m BD := M = 2 m DE := M = 4 Momenti di inerzia delle travi di impalcato I AB 2 m 2 := AB L AB =. I BD 2 m 2 := BD L BD = 6 I DE 2 m 2 := DE L DE =. Matrice di massa M := m AB m BD m DE 4 ( m AB m BD) 2 m BD 2 m BD 4 m BD m DE ( ) =

5 Matrice di rigidezza K := E J H BF H CG H DH E A 4 H BF H CG E A H CG E A E A H CG 4 H CG H DH K = Ricerca degli autovalori f ( λ) K λ M := K = M = K 5 f( λ) λ

6 Vettore dei coefficienti dell'equazione caratteristica vec_coeffs := f ( λ) coeffs e- Autovalori generalizzati λ := polyroots( vec_coeffs) = Pulsazioni, frequenze e periodi propri ω λ ω := = 2.27 f := = 9. T := 2 π f = La prima pulsazione propria si poteva calcolare direttamente ω := E J H BF m AB H CG m BD m DE H DH = 5.52

7 Prova d esame del 9 luglio 2 Risultati analisi FEM Configurazione di riferimento Forma modale Modo (f =.72 Hz) File: DdS-Prova_esame-Soluzione.doc Pag. 4 di 6

8 Forma modale Modo 2 (f 2 =.74 Hz) Forma modale Modo (f = Hz) File: DdS-Prova_esame-Soluzione.doc Pag. 5 di 6

9 Forza normale nelle pile in funzione del tempo File: DdS-Prova_esame-Soluzione.doc Pag. 6 di 6