Analisi Dinamica Lineare e Analisi Modale
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- Chiara Riccardi
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1 Operazione "Impariamo a ricostruire" rif. PA /RER ANALISI STRUTTURALE Analisi Dinamica Lineare e Analisi Modale Ing. Riccardo Battaglia Ph.D. Regione Emilia-Romagna S.T.B. Po di Volano e della Costa
2 Dinamica delle strutture Come già accennato il comportamento delle strutture soggette ad azioni dinamiche può essere studiato mediante l equazione della seconda legge della dinamica: F = m a Nel caso di oscillazioni libere non smorzate: u(t) k m p(t) u o u uɺ o C t ( ) ( ) 0 m uɺɺ t + k u t = equilibrio dinamico T n Invece per oscillazioni smorzate (video 1 tratto da io non tremo ing. G. Manieri): u u n u n + p ( ) ɺ( ) ( ) 0 m uɺɺ t + c u t + k u t = equilibrio dinamico tn t n + p t
3 Dinamica delle strutture Se si considera un oscillatore smorzato ma soggetto ad una forzante l equazione del moto associata a quella di equilibrio dinamico diventa: F uɺɺ t u t u t 0 t m ( ) + 2ξ ω ɺ( ) + ω 2 ( ) = 0 sin( ω ) dove: ωèla frequenza angolare (pulsazione), ξèil coefficiente di smorzamento, F(t) = F 0 sin(ω 0 t) è la forzante assunta come armonica, ω 0 ed F 0 sono la pulsazione e l ampiezza iniziale della forzante. La soluzione risulta: F β ω ξ β ω 0 ω0 u ( t) = dove β = k ω 2 ( 1 ) sin( 0 t) 2 sin( 0 t) ( 1 β ) + ( 2ξ β) ovvero: F u ( t) = D sin ( t ) dove = ed= = k ξ β 1 max ω0 ϕ : ϕ tan 2 1 β Fattore di amplificazione dinamica ( 1 β ) ( 2ξ β) Se ω = ω 0 allora (1-β 2 ) = 0 e, in assenza di smorzamento, il fattore di amplificazione dinamica diverge con la conseguenza che il sistema va in risonanza. u F k
4 Dinamica delle strutture Da punto di vista grafico si ottiene (video 2 tratto da io non tremo ing. G. Manieri): risonanza Per ω 0 << ω: D -> 1 e quindi u(t)-> F(t)/k= spostamento causato dalla forza statica Per ω 0 -> ω: D -> 1/2 ξe per smorzamento nullo D -> risonanza!! Per ω 0 >> ω: D -> 0 e u(t)-> 0 = la struttura non risente della forzante
5 Dinamica delle strutture Per evidenziare gli effetti della risonanza si considera il caso di sistema inizialmente a riposo avente u(0) = ů(t) = 0: F u t C1 t C2 t e t 2ξ k ωξ t ( ) = sin( ω ) + cos( ω ) 0 cos( ω ) Graficamente al variare di ξ (0,1; 0,2; 0,5) si vede che la soluzione in termini di spostamento diverge (le oscillazioni sono sempre più ampie):
6 Dinamica delle strutture Le azioni dinamiche più conosciute agenti sulle strutture sono: Azione sismica caratterizzata ad una forzante detta accelerogramma che poi, come si vedrà nel seguito, verrà trasformata in uno spettro di risposta. Presenta periodo di oscillazione variabile generalmente da 0,1 sec a 0,5 sec; Azione del vento, generalmente viene trattata mediante un approccio statico equivalente ma solo a patto che il periodo della struttura sia diverso da quello delle raffiche (circa dai 2 sec ai 4 sec); Azioni derivanti da macchine (da studiare nello specifico ma con forzanti ben note e di norma armoniche). Generalmente le strutture civili standard hanno periodi di oscillazione paragonabili a quelli che caratterizzano l azione sismica (=> pericolo di risonanza) ma esistono strutture esili (antenne, pensiline, ponti [Tacoma], ecc ) che invece hanno periodi di oscillazione vicini a quelli di raffica (=> instabilità aeroelastica [video 3]).
7 La risposta sismica Se la forzante è un azione sismica è possibile tradurla in un accelerazione del suolo fornita sottoforma di accelerogramma e le equazioni di equilibrio dinamico e del moto diventano: ɺɺ( ) + ɺ( ) + ( ) = ɺɺg ( ) 2 ( ) + 2ξ ω ( ) + ω ( ) = ( ) m u t c u t k u t m x t uɺɺ t uɺ t u t ɺɺ x t g e.ne di equilibrio dinamico e.ne del moto La soluzione in termini di u(t) è fornita dall integrale di Duhamel da cui è poi possibile determinare: ů(t) = velocità relativa ű(t) = accelerazione totale
8 La risposta sismica Noti che siano i valori massimi della risposta (in termini di spettro di risposta) ad un dato accelerogramma è possibile procedere al progetto della struttura. Gli spettri di risposta forniscono, al variare di ξ (di norma da 0 a 0,2) il valore massimo di u, ů o ű al variare del periodo T: Procedendo in questo modo per diverse registrazioni e normalizzando ad un unico livello standard di intensità si ricavano gli spettri medi di risposta che poi vengono normati (cfr 3.2 NTC 2008).
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13 L Analisi Sismica Le NTC 2008, come è noto, indicano 4 diverse modalità di studio degli effetti dell azione sismica sulla struttura nel suo complesso [cfr. 7.3 DM 2008] che possono essere così sintetizzati: Già trattata nei precedenti incontri Analisi Statica Lineare: la forzante sismica viene applicata come azione statica alla struttura che deve avere determinati requisiti geometrici [ DM 2008]. Analisi Dinamica Lineare: la forzante sismica viene applicata come azione dinamica alla struttura [ DM 2008]. Analisi Statica Non Lineare: la forzante sismica è applicata come azione statica e viene incrementata fino al collasso della struttura [ DM 2008]. Analisi Dinamica Non Lineare: la forzante sismica èapplicata come azione dinamica (set di accelerogrammi spettrocompatibili) valutando nel contempo gli effetti non lineari sulla struttura [ DM 2008].
14 L Analisi Dinamica Lineare Per quali tipologie di fabbricati è applicabile? Per tutte le costruzioni a patto che la struttura sismo-resistente non sia mista (e.g. muratura/elementi in c.a.); Come è possibile verificare se una struttura è mista? Non vi sono indicazioni precise sulle NTC 2008 tuttavia al punto viene indicato come limite di rigidezza per gli elementi strutturali secondari il 15%. Pertanto un elemento strutturale (e.g. pilastro del portico) è secondario solo se il suo contributo alla rigidezza traslazionale complessiva è inferiore al 15%; Ci sono differenze di requisiti per strutture in muratura e in altri materiali? No; Esistono casi in cui l analisi dinamica lineare non è applicabile a prescindere dal materiale considerato? Sì, quando la struttura èmista (e.g. muratura/elementi in c.a.), in questo caso è obbligatorio utilizzare un analisi non lineare.
15 L Analisi Dinamica Lineare -concetto Si considera la struttura come un sistema a masse concertate nei baricentri dei diversi piani (e.g. edifici multipiano con solai rigidi). Si definiscono gradi di liberta (GDL) il numero minimo di spostamenti e rotazioni indipendenti. Per edifici ad n piani si ha: nello spazio: 2 GDL traslazionali per piano (direzioni X ed Y) e 1 GDL torsionale (sull asse verticale Z); nel piano: 1 GDL traslazionale per piano (direzione X - vedi figura a lato).
16 L Analisi Dinamica Lineare -concetto Per sistemi non smorzati l equazione di equilibrio dinamico può essere discretizzata ottenendo un sistema algebrico di equazioni risolventi: ( ) ( ) M uɺɺ t + K u t = u( 0) = u0 uɺ ( 0) = uɺ 0 e.ne di equilibrio dinamico e condizioni iniziali Matrice delle masse (simm. e semidef. Positiva); Matrice di rigidezza (simm. e semidef. Positiva); Vettore dei GDL (spostamenti relativi); Vettore degli spostamenti relativi all istante t=0; Vettore delle velocità relative all istante t=0. La soluzione può essere determinata mediante un approccio agli autovalori/autovettori: Φ 0 ( 2 ) ( 2 K ω M K ω M) Φ= 0 det = 0 0
17 L Analisi Dinamica Lineare -concetto Dal momento che le matrici K ed M sono simmetriche e semi-definite positive il problema ammette soluzioni in termini di ω i reali (autovalori) a cui corrispondono le pulsazioni del sistema a ciascuna delle quali è poi associato un modo proprio di vibrare (autovettore) Φ i che definisce la forma propria del modo di oscillare del sistema. Considerando 2 autovettori qualunque Φ i e Φ j associati rispettivamente a ω i ω j si ha per ortogonalità: T T Φ M Φ = 0 Φ K Φ = 0 ( ) j i j i T 2 T T 2 T j K i ωi j M i Φi K Φ j = ωj Φi M Φj Φ Φ = Φ Φ PoichéKed Msono simmetriche sommando si ha: ω T i ωj T Φj K Φj Kj Kj i j Φj M Φ i = j = = T j = Φ M j M Φj j Mj ω ω ω ω Noti che siano i diversi ω i (i = 1 n) è possibile definire il vettore spostamento come combinazione lineare tra le coordinate principali z i (t) e i modi di vibrare Φ i. Con alcuni passaggi algebrici è possibile dimostrare che le equazioni del moto di un sistema a n- GDL (accoppiate) possono essere trasformate in un sistema di n equazioni indipendenti ciascuna con un solo GDL. Stesse considerazioni possono essere fatte anche per sistemi smorzati.
18 L Analisi Dinamica Lineare -concetto Stesse considerazioni possono essere fatte anche per sistemi smorzati. In questo caso l equilibrio elastico si scrive come: ( ) ( ) ( ) ( ) M uɺɺ t + C uɺ t + K u t = M r ɺɺ x t Dove: r è il vettore di influenza del sisma (definisce gli spostamenti in direzione dei GDL per spostamenti unitari del suolo) e Cèla matrice di smorzamento. Procedendo come di consueto disaccoppiando i diversi GDL è possibile come in precedenza definire il vettore degli spostamenti relativi come combinazione lineare tra coordinate relative e modi di vibrare Φ i : n n n 2 ( ) = Φ ( ) ( ) = ( ) = Φ ( ) = Φ ω γ ( ) u t z t F t K u t K z t M v t i i i i i i i i i= 1 i= 1 i= 1 Dove: γ i =Φ it M r/m i è il coefficiente di partecipazione modale (indica la percentuale di massa che viene eccitata dal modo i-esimo), m i = Φ it M Φ i e v i (t) è la soluzione per l oscillatore soggetto alla forzante sismica. Noto che sia F(t)èpoi possibile determinare ogni altra sollecitazione come ad esempio il taglio di piano associato al modo i-esimo da combinare secondo la combinazione CQC ovvero SRSS (E rappresenta la generica sollecitazione/parametro): 2 1,5 8c ( 1+ βij) βij 2 ( 1 β 2 ) 4 2 ( 1 2 ij + c βij + βij) E = ρ E E con ρ = E = E 2 ij i j ij i i, j= 1, n i= 1, n g
19 L Analisi Dinamica Lineare -concetto Per meglio comprendere le due metodologie di combinazione dei modi di vibrare si pensi alla norma euclidea delle risposte ai singoli modi (SRSS) e alla sua generalizzazione che tiene conto della correlazione tra i diversi modi propri (CQC). Di norma se i modi sono tra loro indipendenti, vale a dire che Ti < 0,9Tj la SRSS è la combinazione usualmente considerata. Viceversa se i modi sono tra loro correlati (con frequenze ravvicinate tra loro) èindicata la CQC. Le NTC 2008 al punto indicano l utilizzo della combinazione CQC in quanto più generale e coincidente con la SRSS nel caso sopra descritto di modi indipendenti (ovvero frequenze tra loro distanti). se fi molto distante fj 2 CQC = ρij i j SRSS = i i, j= 1, n i= 1, n E E E E E
20 L Analisi Dinamica Lineare -concetto Esistono inoltre dei parametri dettati dalle NTC 2008 (cfr ) da rispettare: 1. Eccitare una quantità minima di massa pari all 85% di quella totale; 2. Considerare, di norma, i modi che eccitano almeno il 5% della massa totale; Dal punto di vista operativo l analisi dinamica lineare prevede: Modi principali di vibrare. Massa eccitata complessiva in direzione X ed Y 85% (rif NTC 2008).
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25 L Analisi Dinamica Lineare esempio 1 Consideriamo ad esempio una struttura composta da 3 telai di 2 piani aventi travi in altezza caratterizzate da rigidezza flessionale molto superiore rispetto ai pilastri: Dati: Zona Bologna; H piano = 3,00 m; Calcestruzzo C25/30, armatura B450C; Solaio in laterocemento spessore 16+4 cm.
26 L Analisi Dinamica Lineare esempio 1 Analisi dei carichi e combinazione di carico sismica:
27 L Analisi Dinamica Lineare esempio 1 Per procedere all analisi dinamica lineare è necessario prima di tutto fare un analisi modale della struttura definendo i GDL che si desidera considerare e di conseguenza le matrici delle masse e di rigidezza elastica: Per semplicità, volendo considerare un caso piano, si considera come unico GDL quello alla traslazione orizzontale nel piano del telaio tipo. Le matrici delle masse Me di rigidezza elastica Kin questo caso sono:
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30 L Analisi Dinamica Lineare esempio 1 Noti che siano i modi di vibrare e soprattutto i periodi dei modi principali è possibile procedere all analisi della risposta sismica. È quindi necessario definire lo spettro di progetto funzione delle caratteristiche di pericolosità sismica del sito in esame e del fattore di struttura q. Se si tratta di un fabbricato residenziale sito a Bologna i parametri necessari per determinare lo spettro sono: Classe d uso: II (edifici residenziali) -> coefficiente d uso c u = 1; Vita nominale: V N = 50 anni (periodo in cui si presuppone che non vi siano manutenzioni straordinarie/invasive alle strutture. Di norma è 50 anni ma potrebbe esser anche 100 anni); Periodo di riferimento: V N c u = 50 anni; Coordinate geografiche: note per la località di Bologna; Categoria di sottosuolo: fornita dalla relazione geologica-geotecnica (nell esempio di considererà sottosuolo di tipo C); Fattore di struttura: q è funzione delle caratteristiche di regolarità della struttura, della tecnologia costruttiva adottata (telai in c.a., acciaio, pareti in c.a., muratura, ecc..) -> èda determinare.
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41 L Analisi Dinamica Lineare esempio 1 Il fattore di struttura q pertanto risulta: Tenendo conto del fattore K R =0,8 di riduzione per la non regolaritàin altezza: q = K R q 0 = 0,8 3,00 1,3 => q = 3,12
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48 L Analisi Dinamica Lineare esempio 1 Confronto con i risultati ottenuti mediante analisi statica lineare: T ,75 0,075 H 0, ,288sec = = = 1,0 Fh = Sd ( T1 ) W λ g = 0,187 g ( ) = 6732kg g ( ) 2690 Fi = Fh zi Wi z j j Wj = kg 4040 H Fi zi Fmod = kg kg = F st La struttura infatti non èregolare in altezza e quindi questo èun risultato atteso -> non avrei potuto utilizzare l analisi statica lineare
49 L Analisi Dinamica Lineare esempio 1 Risultati ottenuti mediante programma di calcolo commerciale: f T 1 1 M = 8,805Hz = 0,114 sec 1 = 6,9% f T 2 2 M = 4,57Hz = 0, 219sec 2 = 93,1%
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52 L Analisi Dinamica Lineare esempio 2 Analisi dei carichi e combinazione di carico sismica:
53 L Analisi Dinamica Lineare esempio 2 Come di consueto è necessario per prima cosa fare un analisi modale della struttura definendo i GDL che si da considerare e le matrici delle masse edi rigidezza elastica: Sempre nell ipotesi di caso piano (unico GDL quello alla traslazione orizzontale) le matrici delle masse M e di rigidezza elastica K risultano:
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66 L Analisi Dinamica Lineare esempio 2 Il fattore di struttura q pertanto risulta: Tenendo conto del fattore K R =0,8 in quanto la struttura non èregolare in altezza: q = K R q 0 = 0,8 3,00 1,2 => q = 2,88
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73 L Analisi Dinamica Lineare esempio 2 Confronto con i risultati ottenuti mediante analisi statica lineare: T ,75 0,075 H 0, ,288sec = = = 1,0 Fh = Sd ( T1 ) W λg= 0,202g ( ) = 3636kg g ( ) 1212 Fi = Fh zi Wi z j j Wj = kg 2424 H Fi zi Fmod = kg kg = F st La struttura infatti non èregolare in altezza e quindi questo èun risultato atteso -> non avrei potuto utilizzare l analisi statica lineare
74 L Analisi Dinamica Lineare esempio 2 Risultati ottenuti mediante programma di calcolo commerciale: f T 1 1 M = 18,14Hz = 0,06sec 1 = 0,7% f T 2 2 M = 4,74Hz = 0, 21sec 2 = 99,3%
75 L Analisi Dinamica Lineare esempio 3 Consideriamo ad esempio una struttura composta da 3 telai di 2 piani aventi travi in altezza caratterizzate da rigidezza flessionale molto superiore rispetto ai pilastri: Dati: Zona Bologna; Calcestruzzo C25/30, armatura B450C; Solaio in laterocemento spessore 16+4 cm.
76 L Analisi Dinamica Lineare esempio 3 Analisi dei carichi e combinazione di carico sismica:
77 L Analisi Dinamica Lineare esempio 3 Ancora una volta si deve fare l analisi modale della struttura definendo a priori i GDL da considerare e le matrici delle masse e di rigidezza elastica: Sempre con riferimento al caso piano si considera come unico GDL quello alla traslazione orizzontale nel piano del telaio tipo. La matrice delle masse M diventa:
78 L Analisi Dinamica Lineare esempio 3 La matrice di rigidezza elastica K invece è così definita:
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91 L Analisi Dinamica Lineare esempio 3 Il fattore di struttura q pertanto risulta: Tenendo conto del fattore K R =1,0 in quanto la struttura èregolare in altezza: q = K R q 0 = 1,0 3,00 1,2 => q = 3,6
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98 L Analisi Dinamica Lineare esempio 3 Confronto con i risultati ottenuti mediante analisi statica lineare: T ,75 0,075 H 0, ,288sec = = = 1,0 Fh = Sd ( T1 ) W λg= 0,162g ( ) = 2915kg g ( ) 975 Fi = Fh zi Wi z j j Wj = kg 1945 H Fi zi Fmod = kg kg = F st La struttura èregolare in altezza e quindi questo èun risultato atteso -> avrei potuto utilizzare l analisi statica lineare
99 L Analisi Dinamica Lineare esempio 3 Risultati ottenuti mediante programma di calcolo commerciale: f T 1 1 M = 4,309Hz = 0,232sec 1 = 94,4% f T 2 2 M = 1,134Hz = 0,882sec 2 = 5,6%
100 L Analisi Dinamica Lineare esempio 4 Consideriamo ora una un solo telaio piano di una sola campata avente travi in altezza caratterizzate da rigidezza flessionale molto superiore rispetto ai pilastri. Come evidenziato nell esempio 2 la risposta modale è dominata dal 1 modo di vibrare. L esempio si propone di studiare come varia la risposta modale al crescere del numero di piani. Dati: Zona Bologna; Calcestruzzo C25/30, armatura B450C; Pilastri 30x30 cm; Massa di piano 9000 kg.
101 L Analisi Dinamica Lineare esempio 4 Come visto in precedenza la struttura è regolare in altezza, se il telaio si ripete con un certo interasse (rimanendo entro il limite delle 4 volte) è anche regolare in pianta (come in precedenza quindi si avràil fattore di struttura pari a q= 3,9). Lo spettro di progetto risulta quindi:
102 L Analisi Dinamica Lineare esempio 4 Se la struttura ha 3 piani (nel piano XZ 3 GDL quindi 3 modi) si ottiene in termini di risposta modale (video 4 tratto da io non tremo ing. G. Manieri): Modo 1, f = 3,07 Hz M = 90,7% Modo 2, f = 8,65 Hz M = 8,2% Modo 3, f = 12,7 Hz M = 1,1%
103 L Analisi Dinamica Lineare esempio 4 Se la struttura ha 10 piani (nel piano XZ 10 GDL quindi 10 modi)si ottiene in termini di risposta modale (si riportano solo i primi 4 modi): Modo 1, f = 8,71 Hz Modo 2, f = 2,74 Hz Modo 3, f = 4,97 Hz Modo 4, f = 6,91 Hz M = 78,8% M = 14,4% M = 3,5% M = 1,6%
104 L Analisi Dinamica Lineare esempio 4 Se la struttura ha 30 piani (nel piano XZ 30 GDL quindi 30 modi)si ottiene in termini di risposta modale (si riportano solo i primi 4 modi): Modo 1, f = 0,16 Hz Modo 2, f = 0,70 Hz Modo 3, f = 1,49 Hz Modo 4, f = 2,26 Hz M = 66,4% M = 21,5% M = 5,6% M = 1,2%
105 L Analisi Dinamica Lineare esempio 4 Al crescere del numero di piani è possibile osservare che: 1. Aumenta il numero di GDL e quindi di modi di vibrare ma quelli significativi, vale a dire che eccitano una percentuale di massa apprezzabile, rimangono comunque pochi; 2. Il contributo dei modi superiori in termini di massa eccitata inizia ad aumentare. In particolare per il 2 modo (forma modale contraddistinta da 2 semionde) la massa eccitata cresce significativamente (nel caso studio triplica) e pertanto le sollecitazioni sugli elementi strutturali ad essa associate si incrementano. Attenzione ai dimensionamenti delle sezioni!
106 L Analisi Dinamica Lineare esempio 4 Quindi se un edificio (regolare in pianta e altezza) ha un numero limitato di piani il comportamento è dominato dal 1 modo di vibrare quindi le sollecitazioni massime di calcolo sono attese alla base del telaio: Attenzione ai meccanismi di piano debole!
107 L Analisi Dinamica Lineare esempio 4 Se un edificio (regolare in pianta e altezza) ha un numero elevato di piani il comportamento non è più dominato dal solo 1 modo di vibrare ma anche da quelli successivi, in particolare il 2, quindi le sollecitazioni di calcolo vanno ricercate anche lungo l altezza del telaio.
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116 L Analisi Dinamica Lineare esempio 6 Considerando lo spettro elastico q= 1 si ha:
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124 L Analisi Dinamica Lineare esempio 6 Se si procede all analisi transiente dinamica lineare (video 5), ricordando che il capannone ha periodi propri di oscillazione dell ordine di 1,5 sec, si osserva che i contenuti in frequenza della forzante (lo spettro di risposta che ne risulta presenta accelerazioni rilevanti in corrispondenza di periodi tra 1 sec e 2 sec) determinano sollecitazioni elevate sulla struttura.
125 L Analisi Dinamica Lineare esempio 6 Si osservi infatti l andamento delle sollecitazioni M, T ed N sui pilastri in correlazione alla forzante sismica alla base. Momento (video 6): presenta delle forti variazioni sia in termini di valore assoluto che di segno (arriva a picchi di 840 knm con spettro elastico); Taglio (video 7): presenta delle forti variazioni sia in termini di valore assoluto che di segno (raggiunge un massimo di 122 kn con spettro elastico); Sforzo normale (video 8): varia poco, dell ordine del 5% attestandosi all incirca sul valore di 400 kn. Nella simulazione non si èconsiderata la componente del sisma in direzione Z.
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128 L Analisi Dinamica Lineare esempio 6 Procedendo ad una verifica sommaria con le armature rilevate in sito composte da 4φ22 longitudinali e staffe φ8/20 cm si ottiene: A f sw yd 1, VRsd = 0,9 d ( cotα+ cotϑ) sinα= 0,9 37 2,5= 8660kg 87kN s FC 20 1,35 ( α + ϑ) f cot cot cd VRcd = 0,9 d bw αc = 0, ,1 = kg 1128kN FC 1,35 2,5 2 ( 1+ cot ϑ) ( ρ ) V = 87kN < 122kN = 1, 4 Rd Verifica a taglio (senza GR struttura esistente) NON VERIFICATO
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