Teoria della misura. Andrea Calogero e Stefano Meda. Dipartimento di Statistica Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano-Bicocca

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1 Teoria della misura Andrea Calogero e Stefano eda Dipartimento di Statistica Dipartimento di atematica e Applicazioni Università di ilano-bicocca c Andrea Calogero e Stefano eda, 2000; seconda versione, 2007

2 Edito in proprio. Sono stati adempiuti gli obblighi di legge, in ottemperanza all art. 1, D. Lgs. Lgt. n. 660/1945 in data 30/11/2000. Tutti i diritti sono riservati. È vietato lo sfruttamento a fini commerciali.

3 Indice sistematico Prefazione i Capitolo 1 Nozioni preliminari 1.1 Numerabilità Aperti in R n Convergenza di serie in spazi normati 5 Capitolo 2 Insiemi misurabili 2.1 Algebre σ-algebre 10 Capitolo 3 isure 3.1 isure e loro proprietà elementari Completamento delle misure isura esterna e misurabilità Il teorema di estensione di Caratheodory 20 Capitolo 4 isure di Lebesgue e Lebesgue Stieltjes 4.1 La misura di Lebesgue in R isure di Lebesgue Stieltjes in R Funzioni di ripartizione di misure di Borel 34 Capitolo 5 appe misurabili 5.1 Applicazioni misurabili Funzioni misurabili Approssimabilità con funzioni semplici isura immagine e distribuzione di variabili aleatorie Proprietà fini della misura di Lebesgue 45 Capitolo 6 L integrale astratto

4 6.1 Funzioni di distribuzione Alcune proprietà dell integrale di Riemann Integrale di funzioni non negative Funzioni integrabili Lo spazio L 1 µ) Il teorema di convergenza dominata e sue conseguenze isure definite mediante integrali Integrazione rispetto a misure di Lebesgue Stieltjes 77 Capitolo 7 Integrazione in spazi prodotto 7.1 Classi monotone Prodotto di σ-algebre isura prodotto La misura di Lebesgue in R n, n Proprietà della misura di Lebesgue Significato geometrico dell integrale Associatività del prodotto di misure Il teorema di Fubini Tonelli Cambiamento di variabile 107 Appendice Soluzione di alcuni esercizi proposti 113 Capitolo 1. Nozioni preliminari 114 Capitolo 2. Insiemi misurabili 115 Capitolo 3. isure 117 Capitolo 4. isure di Lebesgue e Lebesgue Stieltjes 118 Capitolo 5. appe misurabili 119 Capitolo 6. L integrale astratto 120 Capitolo 7. Integrazione in spazi prodotto 127 Simbologia 137 Bibliografia 140

5 Prefazione Queste dispense contengono materiale per l insegnamento di Complementi di analisi che si tiene presso la Facoltà di Scienze.FF.NN. dell Università di ilano Bicocca. Il materiale contenuto copre i fondamenti di teoria della misura e dell integrazione astratta, e costituisce una base matematica utile per corsi di calcolo delle probabilità e processi stocastici. Una più completa esposizione della teoria della misura si trova nei testi citati in bibliografia di cui consigliamo la consultazione. Questo testo è disponibile in linea all indirizzo stefanom/ Saremo molto grati a coloro che vorranno segnalarci errori, suggerire migliorie, o esprimere critiche a uno dei seguenti indirizzi di posta elettronica: andrea.calogero@unimib.it stefano.meda@unimib.it. Ringraziamo Elsa archini, che ci ha gentilmente segnalato alcuni errori contenuti in una versione precedente di queste note. ilano, 30 gennaio 2007 Gli Autori

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7 1 Nozioni preliminari 1.1 Numerabilità Definizione. Sia E un insieme. Diremo che E è numerabile se esiste un applicazione bigettiva ϕ : N E. Diremo che E è al più numerabile se esso è finito o numerabile Teorema. Siano E, E j, j = 1, 2,... insiemi al più numerabili. Valgono le proprietà seguenti: i) se F E, allora F è al piu numerabile; ii) j=1 E j è al più numerabile; iii) per ogni intero positivo N, il prodotto cartesiano E 1 E N è al più numerabile; iv) l insieme di tutte le successioni finite di elementi di E è al più numerabile; v) Q è numerabile Teorema di Cantor. L insieme delle successioni costituite da 0 e 1 è non numerabile. Dimostrazione. Sia C l insieme delle successioni costituite da 0 e 1. ostriamo che ogni applicazione f : N C è non suriettiva. Per ogni N in N, sia fn) la successione {a N j } j N. La successione 1 a 1 1, 1 a 2 2, 1 a 3 3, 1 a 4 4,... appartiene a C, ma non a fn); perciò f non è suriettiva. Esercizi 1 Dimostrare il Teorema

8 2 Capitolo 1. Nozioni preliminari 1.2 Aperti in R n Sia x = x 1,..., x n ) un punto di R n ; indichiamo con x la sua norma euclidea, definita da n 1/2. x = x 2 def j) j=1 Se r > 0 e x R n, Bx, r) = def {y R n : x y < r}; Bx, r) si chiama palla di centro x e raggio r. Un sottoinsieme A di R n è aperto se per ogni x in A esiste r > 0 tale che Bx, r) A. Un sottoinsieme C di R n è chiuso se il suo complementare C c è aperto Definizione. Chiamiamo intervallo di R un quasiasi sottoinsieme convesso di R. Chiamiamo intervallo di R n il prodotto cartesiano di n intervalli di R notiamo che per ogni n > 1 un punto e un segmento parallelo a uno degli assi sono intervalli di R n ) Teorema di struttura degli aperti di R). Sia A un aperto non vuoto di R. Allora esiste una successione unica a meno dell ordine ed eventualmente finita) di intervalli aperti I j, mutuamente disgiunti, tali che A = j=1 I j. Dimostrazione. Sia x un elemento di A. Poiché A è aperto, esiste un intervallo centrato in x e contenuto in A. Indichiamo con I x l unione di tutti gli intervalli contenenti x e contenuti in A. Si può facilmente dimostrare che I x è un intervallo aperto, e che per ogni intervallo J contenente propriamente I x, esiste y appartenente a J, ma non ad A. Inoltre A = Dimostriamo che, dati due punti distinti x e y di A, si presenta la seguente dicotomia: x A I x. I x I y = oppure I x = I y. Per assurdo, supponiamo che z I x I y, ma I x I y. L intervallo I x I y è contenuto in A perché sia I x che I y lo sono) e contiene propriamente almeno uno dei due intervalli I x e I y, diciamo I y per fissare le idee. a questo contraddice la definizione di I y. Quindi A è unione di intervalli disgiunti del tipo I x. Rimane da dimostrare che A si può scrivere come unione di un infinità al più numerabile di essi. Infatti, ad ogni intervallo I x possiamo associare un numero razionale in esso contenuto. A intervalli disgiunti corrispondono numeri razionali distinti. Poiché Q è numerabile, tale è anche l insieme degli intervalli disgiunti la cui unione è A.

9 Sezione 1.2 Aperti in R n 3 La struttura degli aperti in R n, n > 1, è più complicata di quella degli aperti di R. La rappresentazione standard di un aperto, descritta nella Proposizione iii), è un buon sostituto del teorema di struttura degli aperti unidimensionali ora dimostrato. Siano x = x 1,..., x n ) un punto di R n e r > 0. Indichiamo con Qx, r) l intervallo {y R n : x j y j < x j + r, j = 1,..., n}. Notiamo che Qx, r) è il prodotto cartesiano di n intervalli di R chiusi a sinistra e aperti a destra Definizione. Per ogni k in Z, indichiamo con 2 k Z n il reticolo dei punti di R n le cui coordinate sono multipli interi di 2 k. Consideriamo la successione Q k di intervalli {Qx, 2 k ) : x 2 k Z n }. Essi verranno chiamati intervalli diadici di risoluzione k in R n. La famiglia Q = Q k def viene detta famiglia degli intervalli diadici di R n ; i suoi elementi sono detti intervalli diadici di R n. k Z In figura Q e Q sono intervalli diadici di risoluzione rispettivamente 1 e 1 in R 2 i bordi tratteggiati non sono contenuti negli intervalli) Osservazione. Sia I un intervallo diadico di risoluzione k in R n ; allora il suo volume elementare vale 2 kn Proposizione. Valgono le proprietà seguenti: i) fissato k in Z, gli elementi di Q k sono mutuamente disgiunti e R n = Qx, 2 k ); x 2 k Z n ii) supponiamo che h < k e che Q e Q appartengano rispettivamente a Q h e Q k. Allora Q Q, oppure Q Q = ; iii) sia A un aperto non vuoto di R n. Allora esiste una successione {I j } di intervalli diadici di R n mutuamente disgiunti tali che A = j I j. Dimostrazione. Le dimostrazioni di i) e di ii) sono semplici e le omettiamo.

10 4 Capitolo 1. Nozioni preliminari Dimostriamo iii). Consideriamo tutti gli intervalli diadici di risoluzione 0 contenuti in A. Consideriamo poi tutti gli intervalli diadici di risoluzione 1 contenuti in A che non intersecano gli intervalli precedentemente scelti. Scegliamo successivamente tutti gli intervalli diadici di risoluzione 2 contenuti in A che non intersecano gli intervalli scelti in precedenza; e così via. L insieme ombreggiato in scuro in figura è l unione degli intervalli diadici di risoluzione 0 e 1 contenuti in A. Siano {Q j } j N gli intervalli scelti con il procedimento descritto sono, al più, un infinità numerabile perché gli intervalli di ogni famiglia sono un infinità numerabile e l unione di un infinità numerabile di insiemi numerabili è numerabile, vd. Teorema ii)). Per costruzione Q j A. j ostriamo ora che A j Q j. Procediamo per assurdo. Sia x in A non contenuto in j Q j; sia Q il più grande intervallo diadico di risoluzione k 0 contenuto in A e contenente x. Un tale intervallo esiste, perché per r abbastanza piccolo la palla Bx, r) è contenuta in A, essendo A aperto, e basta scegliere un intervallo diadico di diametro così piccolo da essere contenuto in Bx, r). Poiché x non appartiene a j Q j, l intervallo Q non è uno di quelli scelti ed è disgiunto da j Q j. a questo non è possibile, perché al passo k l intervallo Q deve essere stato incluso negli intervalli scelti. Perciò A j Q j. Conseguentemente A = j Q j, come richiesto Definizione. Ogni rappresentazione di un aperto A di R n come unione di intervalli diadici si chiama rappresentazione standard di A.

11 Sezione 1.3 Convergenza di serie in spazi normati Convergenza di serie in spazi normati Definizione. Lo spazio normato X, ) si dice spazio di Banach se ogni successione di Cauchy in X converge Definizione. Sia {x n } n N una successione di elementi dello spazio normato X, ). Associamo a {x n } n N la successione delle somme parziali {s n } n N, definita da n s n = x j n N. j=0 Diremo che la serie n=0 x n converge in X se esiste un elemento x in X tale che lim s n x = 0. n Osservazione. Se X, ) è di Banach, allora la serie n x n converge se e solo se vale la seguente condizione di Cauchy: per ogni ε > 0 esiste N tale che per ogni coppia di interi p, q N. q x n < ε n=p Proposizione condizione necessaria di convergenza). Siano X, ) uno spazio normato e {x n } una successione di elementi di X. Allora n=1 x n convergente = lim n x n = 0. Dimostrazione. Posto s N = N n=1 x n, la successione {s N } è convergente, per definizione di convergenza di una serie. Perciò lim x N = lim s N s N 1 ) = 0, N N come richiesto Proposizione. Sia X, ) uno spazio normato. Le affermazioni seguenti sono equivalenti: i) X è di Banach;

12 6 Capitolo 1. Nozioni preliminari ii) per ogni successione {x n } n N di punti di X tale che n=1 x n < la serie n=1 x n converge in X. Dimostrazione. Dimostriamo che i) = ii). Per la disuguaglianza triangolare q x n n=p q n=p xn, che tende a 0, al tendere di p a in virtù del criterio di Cauchy per la serie n x n. Ne deduciamo che la serie n=1 x n converge per il criterio di Cauchy. Dimostriamo che ii) = i). Dobbiamo mostrare che ogni successione di Cauchy in X converge. Sia {x n } una successione di Cauchy di elementi di X. Non è difficile dimostrare che si può estrarre da {x n } una sottosuccessione {x nk } tale che Poiché xnk+1 x nk 2 k xnk+1 x nk <, k=1 k N. la serie k=1 x ) xnk+1 n k è convergente in X per ipotesi. La sua successione delle somme parziali è x nk+1 x n1, e quindi la successione x nk+1 è convergente. Per concludere, basta osservare che una successione di Cauchy, che ammette una sottosuccessione convergente, è convergente.

13 2 Insiemi misurabili 2.1 Algebre Definizione. Siano un insieme e A una classe non vuota di sottoinsiemi di. Diciamo che A è un algebra se valgono le proprietà seguenti: i) E, F A = E F A; ii) E A = E c A Esempi. Sia un insieme. {, } è un algebra: è la più piccola algebra di sottoinsiemi di. P) è un algebra: è la più grossa algebra di sottoinsiemi di. Sia A costituita dai sottoinsiemi di che sono finiti o cofiniti un insieme è cofinito se il suo complementare è finito): A è un algebra. Se =, A non è chiusa rispetto alle unioni numerabili Proposizione proprietà elementari delle algebre). Siano A un algebra di sottoinsiemi di un insieme e E 1,..., E N, E, F elementi di A. Allora i) e sono in A; ii) E F A; N iii) j=1 E j A; N iv) j=1 E j A; v) E \ F A. Dimostrazione. Sia E in A. Poiché A è un algebra, E c e, conseguentemente, E E c, cioè, appartengono ad A. Poiché = c, abbiamo che A, e i) è dimostrato. Dalla formula E F = E c F c) c, segue che E F A, dimostrando così ii). Iterando ii), si ottiene iii); iv) segue da iii), passando ai complementari. Infine, v) segue dalla formula E \ F = E F c.

14 8 Capitolo 2. Insiemi misurabili Definizione. Sia F una famiglia di sottoinsiemi di. Chiamiamo algebra generata da F, e la indichiamo con AF), l intersezione di tutte le algebre che contengono F. la definizione precedente ha senso, perché la classe delle algebre che contengono F è non vuota, contenendo l insieme delle parti di ) Proposizione. L algebra AF) generata da F è un algebra. Dimostrazione. Poiché e appartengono a tutte le algebre che contengono F, essi appartengono anche alla loro intersezione, che è AF). Similmente, sia A AF); allora A appartiene a tutte le algebre che contengono F. Conseguentemente, anche A c appartiene a tutte le algebre che contengono F, e dunque anche alla loro intersezione, cioè AF). In modo analogo si mostra che l unione di due elementi appartenenti a AF) appartiene a AF), completando così la verifica che AF) è un algebra Osservazione. AF) è la più piccola algebra contenente F Definizione. Chiamiamo algebra degli insiemi elementari in R n, e la denotiamo con E n, l algebra generata dagli intervalli di R n. Il seguente risultato fornisce un utile strumento per determinare l algebra generata da una famiglia di sottoinsiemi di un insieme dato Proposizione. Siano un insieme e F una famiglia non vuota di sottoinsiemi di che gode delle proprietà seguenti: i) A, B F = A B F; ii) A F = A c è unione di un numero finito di insiemi mutuamente disgiunti di F. Allora l algebra AF) generata da F coincide con la famiglia dei sottoinsiemi di che si possono scrivere come unione finita di insiemi digiunti di F. Dimostrazione. Indichiamo con A la famiglia dei sottoinsiemi di che si possono scrivere come unione finita di insiemi digiunti di F. Evidentemente F A AF) l algebra generata da F deve contenere le unioni finite di elementi di F). È sufficiente dimostrare che A è un algebra. Siano E e F due elementi di A. Per definizione di A esistono insiemi mutuamente disgiunti A 1,..., A m in F tali che E = m A i ; i=1

15 Sezione 2.1 Algebre 9 similmente, esistono insiemi mutuamente disgiunti B 1,..., B n in F tali che F = n B j. j=1 Gli insiemi A i B j sono in F per l ipotesi i) e, al variare di i e j sono mutuamente disgiunti. Poiché E F = i,j A i B j, possiamo concludere che E F appartiene a A. Per l ipotesi ii) l insieme A c i appartiene a A. Poiché m E c = A c i, l insieme E c appartiene a A. Ora la formula i=1 E F = E c F c ) c, mostra che anche E F appartiene ad A, concludendo così la dimostrazione che A è un algebra Osservazione. Dalla proposizione precedente deduciamo che l algebra E n degli insiemi elementari è costituita da e dalle unioni finite di intervalli. Esercizi 1 Sia A una classe di sottoinsiemi di tale che i) A, ii) E, F A = F \ E A. Dimostrare che A è un algebra. 2 Sia C l insieme delle successioni composte da 0 e da 1. Per ogni intero positivo n, siano C n l insieme delle successioni di C che hanno 0 al posto n-esimo e T n l insieme delle successioni che hanno 1 al posto n-esimo. Sia F la famiglia {C n, T n : n = 1, 2,...}. Determinare l algebra generata da F.

16 10 Capitolo 2. Insiemi misurabili 2.2 σ-algebre Definizione. Siano un insieme e S una classe non vuota di sottoinsiemi di. Diciamo che S è una σ-algebra se valgono le proprietà seguenti: i) {E n } n N S = n=1 E n S; ii) E S = E c S Osservazione. Notiamo che E 1 è un algebra, ma non è una σ-algebra vd. Esercizio 3) Esempi. Sia un insieme. {, } è la più piccola σ-algebra di sottoinsiemi di. P) è la più grossa σ-algebra di sottoinsiemi di. Sia S costituita dai sottoinsiemi di che sono numerabili o conumerabili un insieme è conumerabile se il suo complementare è numerabile): S è una σ-algebra. Siano S una σ-algebra su ed E un elemento di S. Sia S E la famiglia di sottoinsiemi di E costituita dagli insiemi del tipo E F, dove F S; S E è una σ-algebra in E vd. Esercizio 5) e si chiama restrizione di S a E Proposizione proprietà elementari delle σ-algebre). Siano S una σ-algebra e {E j } j N S. Valgono le proprietà seguenti: i) S è un algebra; ii) j=1 E j S. Dimostrazione. Poiché E 1 E 2 = E 1 E 2 E 1 E 2..., S contiene le unioni di due suoi elementi qualunque; essendo, per definizione, chiusa rispetto alla complementazione, S è un algebra; i) è dimostrato. Dalla formula si ricava ii). E j = j= Definizione. Sia F una famiglia di sottoinsiemi di. Chiamiamo σ-algebra generata da F, e la indichiamo con σf), l intersezione di tutte le σ-algebre che contengono F la definizione ha senso, perché la classe delle σ-algebre che contengono F è non vuota, contenendo l insieme delle parti di ). j=1 E c j ) c

17 Sezione 2.2 σ-algebre Osservazione. In analogia con quanto fatto per le algebre, si può dimostrare che σf) è una σ-algebra vd. Esercizio 4); più precisamente σf) è la più piccola σ-algebra che contiene F Esempio. Sia un insieme. La σ-algebra generata dalla classe dei sottoinsiemi di costituiti da un solo punto è la σ-algebra costituita dai sottoinsiemi di che sono al più numerabili o il cui complementare è al più numerabile. Nella pratica le σ-algebre vengono sovente definite come σ-algebre generate da famiglie piccole di sottoinsiemi di un dato insieme. Di qui l importanza della nozione di σ-algebra generata Definizione. Chiamiamo σ-algebra di Borel di R n, e la indichiamo con B n, la σ-algebra generata dagli aperti di R n Proposizione. Valgono le proprietà seguenti: i) B n contiene i chiusi e gli intervalli di R n ; ii) B n è la σ-algebra generata da E n ; Dimostrazione. Per definizione, B n contiene gli aperti; essendo una σ-algebra, è chiusa rispetto alla complementazione, ergo contiene i chiusi. In particolare, B n contiene gli intervalli aperti e quelli chiusi. Da questo deduciamo facilmente che B n contiene anche gli altri tipi di intervalli. A scopo esemplificativo, dimostriamo che se n = 2, allora B n contiene l intervallo [a, b) c, d). Osserviamo che [a, b) c, d) = n=1 ) [a, b 1/n] [c + 1/n, d 1/n]. Gli intervalli [a, b 1/n] [c + 1/n, d 1/n] sono chiusi, quindi sono in B n. Essendo B n una σ-algebra, anche la loro unione è in B n, come richiesto. Questo conclude la dimostrazione di i). Dimostriamo ii). Per i), B n contiene gli intervalli; poiché B n è una σ-algebra, vale l inclusione B n σe n ). D altra parte, per la Proposizione iii), ogni aperto si può scrivere come unione numerabile di intervalli, e quindi appartiene alla σ-algebra generata dagli intervalli, che coincide con la σ-algebra generata da E n. Essendo B n la σ-algebra generata dagli aperti, si deduce che B n σe n ) Esempio. Sia {r j } una enumerazione dei razionali. Fissato ǫ > 0, sia I j un intervallo di centro r j e raggio ǫ2 j. Sia E = def j=1 I j; E appartiene a B 1, perché gli

18 12 Capitolo 2. Insiemi misurabili intervalli appartengono a B 1 per la Proposizione 2.2.9, e dunque vi appartiene anche la loro unione, perché B 1 è una σ-algebra. Intuitivamente, l insieme E è piccolo, perché j=1 I j ǫ qui I j indica la lunghezza di I j ). Il suo complementare, che appartiene a B 1, è grosso, perché E E c = R. Tuttavia E c non contiene alcun intervallo. Esercizi 1 Siano S una σ-algebra e {E j } una successione di elementi di S. Dimostare che: i) se E j E, allora E S ii) se E j E, allora E S. 2 Siano un insieme ed E un suo sottoinsieme proprio non vuoto. ostrare che l algebra generata da {E} e la σ-algebra generata da {E} sono {,, E, E c }. 3 ostrare che l algebra E 1 non è chiusa rispetto alle unioni e alle intersezioni numerabili. 4 ostrare che l intersezione di una famiglia qualunque di σ-algebre contenute in P) è una σ-algebra. 5 Siano S una σ-algebra su ed E un elemento di S. ostrare che S E è una σ-algebra. 6 Siano F 1 F 2... classi di sottoinsiemi di. i) ostrare che se F j, j = 1, 2,... è un algebra allora j=1 F j è un algebra. ii) ostrare con un esempio che se F j, j = 1, 2,... è una σ-algebra, j=1 F j può non essere una σ-algebra. 7 Siano F 1 e F 2 due famiglie di sottoinsiemi di. ostrare che se F 1 F 2, allora σf 1 ) σf 2 ). Inoltre, si fornisca un esempio in cui si abbia F 1 F 2 e σf 1 ) = σf 2 ). 8 ostrare che una σ-algebra infinita non può essere numerabile. 9 Supponiamo che n > 1. Dimostrare che B n è la σ-algebra generata dalla famiglia {Bx, r) : x R n, r > 0}. 10 Sia D 0 la famiglia degli intervalli di R della forma [a, a+1), a Z. Sia D 1 la famiglia degli intervalli di R della forma [a, a + 1/2), a Z/2. In generale, per ogni intero j sia D j la famiglia degli intervalli di R della forma [a, a + 2 j ), a 2 j Z. Dimostrare che ) σ j D j = B Descrivere AQ k ), AQ), σq k ), σq). 12 Sia E un sottoinsieme di R n. Siano F l unione di tutti i compatti contenuti in E e G l intersezione di tutti gli aperti che contengono E. Dimostrare che F e G appartengono a B n.

19 3 isure 3.1 isure e loro proprietà elementari Definizione. Chiamiamo spazio misurabile una coppia, S) costituita da un insieme e da una σ-algebra S di sottoinsiemi di. Gli elementi di S sono chiamati insiemi misurabili Definizione. Una misura positiva nel seguito misura) µ su uno spazio misurabile, S) è una funzione µ : S [0, ], non identicamente uguale a e numerabilmente additiva, cioè tale che per ogni successione {E i } di elementi di S mutuamente disgiunti valga la formula ) µ E i = µe i ). Se µ) <, µ si dice finita; se µ) = 1, µ si dice di probabilità. i= Definizione. Uno spazio di misura è una terna, S, µ), costituita da un insieme, una σ-algebra S di suoi sottoinsiemi, e una misura positiva µ su, S). Se µ è di probabilità, S, µ) si dice spazio di probabilità Proposizione proprietà elementari delle misure). Siano, S, µ) uno spazio di misura, {E i } i N S, E, F S. Valgono le proprietà seguenti: i) µ ) = 0; i=1 ii) se E 1,..., E n sono mutuamente disgiunti, allora µ iii) se E F, allora µe) µf); iv) se E 1 E 2 E 3..., allora lim n µe n ) = µ n i=1 E i i=1 E i v) se E 1 E 2 E 3..., e µe 1 ) <, allora lim n µe n ) = µ ) ) ; = n i=1 µe i); i=1 E i Dimostrazione. Per definizione di misura, esiste E S tale che µe) <. Per la numerabile additività di µ µe) = µe ) = µe) + µ ) + µ ) +..., ).

20 14 Capitolo 3. isure da cui µ ) = 0, e i) è dimostrato. Da i) e dalla numerabile additività di µ segue direttamente ii). Poiché F = E F \ E), e E F \ E) =, si ha che per ii)) µe) µe) + µf \ E) = µe F \ E)) = µf). Dimostriamo iv). Poniamo F 1 = E 1, F j = E j \ E j 1 per j = 2, 3,... Allora F j S, F i F j = se i j, E j = F 1 F j e j=1 E j = j=1 F j. Perciò µe j ) = j i=1 µf i ) e µ j=1 E j ) = µf i ). i=1 Ora iv) segue dalla definizione di somma di una serie. Dimostriamo v). Poniamo G j = E 1 \ E j. Allora G 1 G 2 G 3..., µg j ) = µe 1 ) µe j ), j=1 G j = E 1 \ j=1 E j, e quindi iv) mostra che µe 1 ) µ j=1 ) E j = µ E 1 \ ) E j j=1 = lim j µg j) = µe 1 ) lim j µe j), da cui segue v), poiché µe 1 ) <. Le proprietà iv) e v) della proposizione precedente vanno sotto il nome di continuità dal basso e continuità condizionale dall alto di µ Osservazione. Senza l ipotesi µe 1 ) <, la conclusione del punto v) della proposizione precedente è falsa vd. Esercizio 2) Osservazione. Se µ è finita, la proprietà v) della proposizione precedente vale per ogni catena discendente di insiemi {E j }, perché µe 1 ) µ) < Esempio. Siano un insieme e x un suo elemento. La funzione δ x : P) [0, ], definita da { 1 se x E δ x E) = 0 se x / E, è una misura.

21 Sezione 3.1 isure e loro proprietà elementari 15 Infatti, siano E i mutuamente disgiunti. Se x / i E i, allora x / E i per ogni i. Quindi ) δ x E i = 0 = δ x E i ). i i Se x appartiene a i E i, allora x appartiene a uno e uno solo degli insiemi {E i }, diciamo a E j. Quindi ) δ x E i = 1 = δ x E j ) + δ x E i ). i i j La misura δ x è detta misura di Dirac concentrata in x ed è di probabilità Esempio. Siano un insieme, {x n } n N una successione di punti di, e {w n } n N una successione di numeri reali non negativi. Sia µ : P) [0, ] definita da µe) = E P). {n N: x n E} w n Si verifica facilmente che, P), µ) è uno spazio di misura: µ è detta misura del conteggio pesata. Se n N w n = 1, allora µ è di probabilità. In particolare, sia µ : P) [0, ] definita da µe) = def E, dove E indica la cardinalità di E se E è finito e altrimenti. Questo corrisponde al caso in cui i pesi w n siano tutti uguali a 1. Chiamiamo µ misura del conteggio su Esempio. Due casi importanti di misura del conteggio pesata sono i seguenti: in entrambi i casi = {0, 1,..., N} e x j = j. La misura corrispondente a w j = 1/N + 1) per j = 0, 1,..., N viene detta equiprobabilità sullo spazio campione {0, 1,..., N}, e la misura corrispondente a w j = 2 N N j ) viene detta bernoulliana. Poiché la bernoulliana è di probabilità. N ) N 2 N = 1, j j=0 Una generalizzazione della bernoulliana si ottiene nel modo seguente. Siano e x j come al punto precedente; fissato p in 0, 1), poniamo w j = p j 1 p) N j N j ). Poiché N ) N p j 1 p) N j = p + 1 p) ) N j j=0 la misura del conteggio pesata corrispondente è di probabilità. La bernoulliana si ottiene scegliendo p = 1/2. = 1,

22 16 Capitolo 3. isure Esempio. Siano N un intero positivo e p un numero reale in 0, 1). Indichiamo con l insieme delle N-uple di 0 e di 1; contiene 2 N elementi. Se x è un elemento di cioè una N-pla di 0 e di 1) poniamo P {x} ) = p numero di 1 nella N-pla x) 1 p) numero di 0 nella N-pla x). Se E è un sottoinsieme di, poniamo PE) = x E P {x} ). Si verifica facilmente che, P), P) è uno spazio di probabilità, detto spazio campione delle N prove di Bernoulli con trucco p Esempio. Restrizione di una misura) Siano, S, µ) uno spazio di misura ed E un elemento di S. Sia µ E : S E [0, ], definita da µ E F) = µe F). È facile dimostrare vd. Esercizio 1) che µ E è una misura su E, S E ), detta restrizione di µ a S E. Notiamo che se, S, µ) è di probabilità, allora E, S E, µ E ) non è necessariamente di probabilità. Osserviamo che se µe) > 0, allora c è un modo semplice di probabilizzare E, S E ). Basta definire µe F) P E F) = F S E. µe) Definizione. Supponiamo che Ω, S, P) sia uno spazio di probabilità e sia E un elemento di S tale che PE) > 0. Per ogni F in S poniamo P E F) = PE F). PE) La misura di probabilità P E così definita su S si chiama probabilità condizionata dato E; nei testi di probabilità viene frequentemente indicata con il simbolo P E).

23 Sezione 3.1 isure e loro proprietà elementari 17 Esercizi 1 Dimostrare che µ E è una misura su E, S E ). 2 Dimostrare che l ipotesi µe 1 ) < nella Proposizione v) è necessaria. 3 Verificare che la misura del conteggio pesata è una misura. 4 Sia, S, µ) uno spazio di misura. Dimostrare che per ogni {E i } i N S vale la formula ) µ E i µe i ). i=1 La proprietà espressa dalla formula precedente si chiama subadditività. i=1 5 Sia, S, µ) di probabilità. Dimostrare la formula µa B) = µa) + µb) µa B). È necessario assumere che µ sia di probabilità? E che sia finita? 6 Sia, S, µ) di probabilità. Generalizzando l esercizio precedente, dimostrare la formula principio di inclusione-esclusione) = N µ N i=1 A i ) i=1 µa i ) i<j µa i A j ) + i<j<k N µa i A j A k ) ) N 1) µ i=1 A i ), per ogni N-upla A 1,, A N di elementi di S. 7 Si consideri N, PN) ). Sia µ : PN) [0, ] definita come segue: se E PN) è infinito, poniamo µe) = def ; se E è finito, poniamo µe) = def j E 2 j. La funzione µ è finitamente additiva? È numerabilmente additiva? 8 Siano {µ k } una successione di misure su, S) e {a k } una successione di numeri reali positivi. Supponiamo che esista E in S tale che k a k µ k E) <. Dimostrare che k a k µ k è una misura su, S).

24 18 Capitolo 3. isure 3.2 Completamento delle misure Definizione., S, µ) uno spazio di misura. Diciamo che µ è completa se per ogni E in S tale che µe) = 0 e per ogni F E, si ha che E è in S e conseguentemente µf) = 0): in tal caso diremo che, S, µ) è completo Esempio. Ogni misura sulla σ-algebra delle parti è completa Definizione. Sia, S, µ) uno spazio di misura. Indichiamo con S l insieme dei sottoinsiemi di della forma S N, dove S appartiene a S e N è un sottoinsieme di un insieme di misura nulla. Definiamo µ : S [0, ] µs N) = def µs); µ si chiama completamento di µ Teorema del completamento). Sia, S, µ) uno spazio di misura. Valgono le affermazioni seguenti: i) S è una σ-algebra contenente S; ii) µ è una misura completa su S, la cui restrizione a S coincide con µ. Dimostrazione. Esercizio Esempio. Consideriamo R, la σ-algebra S = {, R, {0}, R \ {0} } e la misura µ definita da µ ) = 0 = µr \ {0}), µr) = 1 = µ{0}). La misura µ non è completa, perché, ad esempio, un qualunque sottoinsieme non vuoto di R \ {0} non appartiene a S. Si verifica facilmente che S = PR) e che µ = δ 0. Esercizi 1 Dimostrare il teorema del completamento.

25 Sezione 3.3 isura esterna e misurabilità isura esterna e misurabilità Definizione. Una misura esterna su un insieme è una funzione ρ : P) [0, ] tale che i) ρ ) = 0; ii) E F = ρe) ρf); iii) subadditività) E i=1 E i = ρe) i=1 ρe i). Diremo che la misura esterna ρ è finita se ρ) < Osservazione. Una misura esterna non è necessariamente una misura. Consideriamo, ad esempio, il caso in cui = {1, 1} e ρ : P) [0, ] è definita da ρ ) = 0, ρ{ 1}) = ρ{1}) = 1, ρ) = 3/2. Si verifica direttamente che ρ è una misura esterna. D altra parte, se ρ fosse una misura, sarebbe additiva; invece 3/2 = ρ) = ρ { 1} {1} ) < ρ{ 1}) + ρ{1}) = Definizione. Sia ρ una misura esterna sull insieme. Diciamo che un sottoinsieme E di è misurabile se per ogni sottoinsieme A di vale la formula ρa) = ρa E) + ρa E c ) Osservazione. Notiamo che dati due sottoinsiemi A ed E di A = A E) A E c ). Poiché ρ è subadditiva per definizione di misura esterna, abbiamo che ρa) ρa E) + ρa E c ). Conseguentemente, per dimostrare che E è misurabile è sufficiente mostrare che per ogni sottoinsieme A di vale la disuguaglianza ρa) ρa E) + ρa E c ). Notiamo che la disuguaglianza precedente è ovvia se ρa) =. Quindi è sufficiente dimostrarla nel caso in cui ρa) <.

26 20 Capitolo 3. isure Teorema. Sia ρ una misura esterna sull insieme ; indichiamo con la classe dei sottoinsiemi misurabili di. Valgono le proprietà seguenti: i) è una σ-algebra; ii) la restrizione di ρ a è una misura completa su. Dimostrazione. La dimostrazione consiste in una serie di noiose verifiche delle proprietà enunciate vd., ad esempio, [Ro, Thm 1, p. 251]). 3.4 Il teorema di estensione di Caratheodory In questa sezione illustreremo il teorema di estensione di Caratheodory Hahn Kolmogorov. Esso è utile nelle applicazioni, perché riduce il problema di definire una misura su una σ- algebra al problema di definirne una su un algebra, operazione di solito più semplice Definizione. Una misura su un algebra A è una funzione µ : A [0, ], non identicamente uguale a, con la proprietà seguente: per ogni successione {E i } i N A di insiemi mutuamente disgiunti tali che i=1 E i A, vale la formula µ i=1 E i ) = µe i ). i= Osservazione. Una misura su un algebra A è una misura se e solo se A è una σ-algebra Definizione. Sia µ una misura su un algebra A di parti di. Definiamo µ : P) [0, ] { µ E) = inf µe i ) : E i A, E E i }. def i= Definizione. Sia A un algebra di parti di. Denotiamo con A σ la collezione di tutti i sottoinsiemi di che sono unione numerabile di elementi di A Proposizione. Siano µ una misura su un algebra A di parti di e µ definita come sopra. Valgono le proprietà seguenti: i) se E appartiene a A, allora µ E) = µe); ii) µ è una misura esterna su ; iii) ogni elemento di A è misurabile rispetto alla misura esterna µ ; i=1

27 Sezione 3.4 Il teorema di estensione di Caratheodory 21 iv) per ogni sottoinsieme B di e per ogni numero reale ε > 0 esiste un insieme A in A σ che contiene B tale che µ A) µ B) + ε. Dimostrazione. Dimostriamo i). Sia E in A. Consideriamo la copertura di E costituita dal solo elemento E. Dalla definizione di µ segue che µ E) µe). Per concludere la dimostrazione di i) è sufficiente mostrare che µ E) µe). Sia {E j } j N una qualunque copertura di E costituita da elementi di A. ostriamo che µe j ) µe). Indichiamo con B j l insieme j E E j E c j 1... Ec 1. Evidentemente B j E j ed E è unione disgiunta degli insiemi B j che appartengono all algebra A). Perciò l additività numerabile di µ implica che µe) = j µb j ) monotonia di µ) j µe j ), come richiesto. Prendendo l estremo inferiore rispetto a tutte le possibili coperture numerabili di E con elementi di A, si ottiene, per definizione di µ, La dimostrazione di i) è completa. µe) µ E). Dimostriamo ii). La funzione d insieme µ è chiaramente non negativa e monotona. Inoltre µ ) = 0. Rimane solo da mostare che µ è numerabilmente subadditiva. Sia E j E j. Se µ E j ) = per qualche j, allora banalmente µ E) j µ E j ). Supponiamo perciò che µ E j ) < per ogni j. Fissiamo un numero reale ε > 0. Dalla definizione di µ E j ) segue che per ogni j esiste una copertura {E j,k } k N di E j di elementi di A tale che µe j,k ) < µ E j ) + ε2 j. k

28 22 Capitolo 3. isure Notiamo che gli insiemi E j,k al variare di j e k costituiscono una copertura di E. Quindi µ E) j < j µe j,k ) k µ E j ) + ε. Facendo variare ε si ottiene che µ E) j µ E j ), come richiesto. ostriamo iii). Siano E un elemento di A e B un qualunque sottoinsieme di. Dobbiamo mostrare che µ B) = µ B E) + µ B E c ). In virtù dell Osservazione che segue la definizione di insieme misurabile rispetto a una misura esterna è sufficiente mostrare che µ B) µ B E) + µ B E c ), e possiamo assumere che µ B) <, altrimenti la disugualianza precedente è banale. Fissiamo un numero reale ε. Sia {E j } j N una copertura di B di elementi di A tale che Poiché µ è additiva su A, µe j ) < µ B) + ε j µe j ) = µe j E) + µe j E c ) j N. Notiamo anche che {E j E} j N è una copertura di B E e che {E j E c } j N è una copertura di B E c. Quindi µ B) + ε > j [ µej E) + µe j E c ) ] Facendo variare ε si ottiene µ B E) + µ B E c ). µ B) µ B E) + µ B E c ),

29 Sezione 3.4 Il teorema di estensione di Caratheodory 23 come richiesto. Infine mostriamo iv). Per definizione di µ esiste una copertura {E j } j N di B di elementi di A tale che µe j ) µ B) + ε. j Poniamo A = j E j. Evidentemente A appartiene a A σ. Inoltre per definizione di µ A) µ A) j µe j ) µ B) + ε, come richiesto Definizione. La misura esterna µ che abbiamo definito si chiama misura esterna associata a µ Definizione. Una misura µ sull algebra A è detta σ-finita se esiste una successione { j } j N di insiemi in A di misura finita tali che = j. j=1 La misura λ 1 sull algebra E 1 è σ-finita, perchè, ad esempio, R si può scrivere come unione degli intervalli [j, j + 1). La misura del conteggio su PR) non è σ-finita Teorema di estensione di Caratheodory). Sia µ una misura su un algebra A di parti di e consideriamo la misura esterna µ associata a µ. Valgono le proprietà seguenti: i) µ è una misura completa) sulla σ-algebra degli insiemi misurabili rispetto a µ ; conseguentemente la sua restrizione alla σ-algebra σa) generata da A è una misura su σa); ii) se µ è σ-finita su A e se ν è una misura sulla σ-algebra σa) che coincide con µ su A, allora ν coincide con la restrizione di µ a σa). Dimostrazione. Dimostriamo i). Per il Teorema µ è una misura sulla σ-algebra degli insiemi misurabili. Quindi la restrizione di µ a σa) è una misura. Notiamo che la restrizione di µ a σa) estende µ pensata definita su A) per la Proposizione Dimostriamo ii). Notiamo che µ e ν necessariamente coincidono su A σ, perché ogni elemento di A σ si può esprimere come unione numerabile di elementi a due a due disgiunti di A e le misure µ e ν coincidono su A.

30 24 Capitolo 3. isure Sia ora B un qualunque insieme in σa) tale che µ B) <. Per la Proposizione iv) per ogni ε > 0 esiste un insieme A in A σ che contiene B e tale che µ A) < µ B) + ε. Poiché B A, Poiché ε è arbitrario, abbiamo νb) νa) = µa) = µ A) < µ B) + ε. νb) µ B). D altra parte, ogni elemento di σa) è misurabile rispetto alla misura esterna µ perché la collezione degli insiemi misurabili rispetto a µ è una σ-algebra contenente A e σa) è la più piccola σ-algebra che contiene A. Siano B in σa) e A in A σ come sopra. Abbiamo da cui ricaviamo che µ A) = µ B) + µ A \ B), ) µ A \ B) = µ A) µ B) ε. Qui abbiamo usato l ipotesi che µ B) <. Quindi µ B) µ A) = νa) ν è una misura su σa) e A = B A \ B), B A \ B) = ) = νb) + νa \ B) per la prima parte della dimostrazione di ii)) νb) + µ A \ B) per *)) νb) + ε Per l arbitrarietà di ε abbiamo µ B) νb), e quindi possiamo concludere che µ B) = νb), come richiesto. Poiché µ è σ-finita su A, esiste una successione { j } j N di insiemi di A mutuamente disgiunti tali che = j j. Sia B un qualunque insieme in σa) di misura µ A) infinita. Scriviamo B = B j ). j

31 Sezione 3.4 Il teorema di estensione di Caratheodory 25 Poiché gli insiemi a secondo membro sono mutuamente disgiunti e hanno misura µ finita µ B) = j µ B j ) = j νb j ) ν è una misura) = νb), come richiesto per concludere la dimostrazione di ii). Esercizi 1 Lo scopo di questo esercizio è quello di mostrare che se si omette l ipotesi µ σ-finita su A nell ipotesi della seconda parte del teorema di estensione di Caratheodory, l unicità dell estensione può venire a mancare. Sia A l algebra di sottoinsiemi di Q costituita da Q, da e dalle unioni finite di intervalli a due a due disgiunti di Q della forma [a, ),, b), [a, b). Indichiamo con µ la misura del conteggio su A. ostrare che i) la σ-algebra generata da A è PQ); ii) µ e 2µ sono misure distinte su PQ) che coincidono su A.

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33 4 isure di Lebesgue e Lebesgue Stieltjes 4.1 La misura di Lebesgue in R In questa sezione costruiremo la misura di Lebesgue in R, utilizzando il teorema di estensione di Caratheodory Hahn Kolmogorov e il teorema del completamento Definizione. Sia I è un intervallo in R di estremi a e b. Chiamiamo lunghezza di I il numero I, definito da { I = b a def se I è limitato se I non è limitato Proposizione. Siano I 1,..., I e J 1,..., J N due famiglie finite di intervalli di R, ciascuna delle quali costituita da intervalli mutuamente disgiunti. Allora N I i = J j = i=1 j=1 N I i = J j. i=1 j=1 Dimostrazione. Distinguiamo due casi: i=1 I i illimitato, oppure i=1 I i limitato. Se i=1 I i è illimitato, allora almeno uno degli intervalli I 1,..., I e almeno uno degli intervalli J 1,..., J N sono illimitati. Perciò i=1 I i e N j=1 J j sono entrambe infinite e la proprietà richiesta è vera. Supponiamo ora che i=1 I i sia limitato. Supponiamo dapprima anche che i=1 I i sia un intervallo, che chiamiamo H. ostreremo che I i = H e che i=1 N J j = H, j=1 da cui segue direttamente la tesi. Supponiamo che I i sia un intervallo di estremi a i e b i. Ordiniamo gli intervalli I i in modo tale che a 1 <... < a. Sotto l ipotesi che i=1 I i sia un intervallo, abbiamo che

34 28 Capitolo 4. isure di Lebesgue e Lebesgue Stieltjes b i = a i+1, i = 1,..., 1. Quindi I i = i=1 ) bi a i i=1 = b a 1 = H, come affermato. La dimostrazione che N j=1 J j = H è analoga. Rimane da trattare il caso in cui i=1 I i non sia un intervallo. Necessariamente i=1 I i è un unione finita di intervalli H 1,..., H P mutuamente disgiunti. Dall ipotesi che i=1 I i = N j=1 J j, deduciamo che anche N j=1 J j è unione digiunta degli intervalli H 1,..., H P. Si può quindi applicare il ragionamento fatto sopra a ciascuna delle componenti connesse di i=1 I i, completando la dimostrazione della proposizione Definizione. Siano E 1 l algebra degli insiemi elementari ed E un elemento di E 1. Se E = N i=1 I i, e gli intervalli I i sono mutuamente disgiunti, poniamo λ 1 E) = def N i=1 I i. per la Proposizione 4.1.2, λ 1 è ben definita sull algebra E 1 ) Proposizione. La funzione λ 1 è una misura sull algebra E 1. Dimostrazione. Sia {E i } i N una successione di elementi di E 1 mutuamente disgiunti e tali che i E i sia in E 1. Dobbiamo mostrare che ) λ 1 E i = i λ 1 E i ). i=0 Poniamo E := i=0 E i. Per ogni i in N, E i si può scrivere come unione finita di intervalli mutuamente disgiunti; essendo gli {E i } i N a loro volta mutuamente disgiunti, E è unione di un infinità numerabile di intervalli mutuamente disgiunti, che indichiamo con {I i } i N. Parte I: E è un intervallo. Supponiamo dapprima che E sia un intervallo di estremi a e b eventualmente infiniti). Dobbiamo mostrare che E = I i. i=1 Parte Ia:. Per ogni intero positivo N, il complementare di I 1 I N in E è unione finita di intervalli mutuamente disgiunti, diciamo H 1,..., H kn. Perciò E è unione

35 Sezione 4.1 La misura di Lebesgue in R 29 disgiunta di I 1,..., I N, H 1,..., H kn. Per la Proposizione 4.1.2, E = N I j + j=1 N I j. j=1 N H j Prendendo l estremo superiore al variare di N in N, otteniamo E i=1 I i. Parte Ib:. ostriamo che E j=1 I i. i=1 Se i=1 I i =, la disuguaglianza precedente è banalmente vera. Supponiamo perciò che i=1 I i <. Parte Ib 1 :, E = [a, b] compatto. Sia ǫ > 0. Siano a i e b i gli estremi di I i e indichiamo con Ii ǫ l intervallo a i ǫ2 i, b i + ǫ2 i). La successione di intervalli {Ii ǫ} i N è un ricoprimento aperto di E; poiché E è compatto, esiste una sottocopertura finita di E, diciamo Ii ǫ 1,..., Ii ǫ N. Vogliamo rendere questa sottocopertura la più economica possibile nel modo seguente. Eventualmente rinominando gli intervalli, possiamo supporre che Ii ǫ 1 contenga a estremo sinistro di E). Se l estremo destro di Ii ǫ 1 contiene anche b, allora Ii ǫ 1 ricopre [a, b] ed eliminiamo gli intervalli Ii ǫ 2,..., Ii ǫ N. In caso contrario l estremo destro di Ii ǫ 1 è contenuto in almeno) uno degli intervalli Ii ǫ 2,..., Ii ǫ N, che possiamo supporre essere Ii ǫ 2 dopo una eventuale ridenominazione di Ii ǫ 2,..., Ii ǫ N. Se l estremo destro di Ii ǫ 2 contiene anche b, allora Ii ǫ 1 e Ii ǫ 2 ricoprono [a, b] ed eliminiamo gli intervalli Ii ǫ 3,..., Ii ǫ N. In caso contrario iteriamo il procedimento fino a quando il primo degli intervalli scelti in questo modo contiene b. Supponiamo che Ii ǫ 1,..., Ii ǫ P siano gli intervalli scelti mediante questo procedimento. Osserviamo che ) a ij ǫ2 i j < b ij 1 + ǫ2 i j 1 < b ij + ǫ2 i j j {1,..., P }. Perciò [ 2ǫ + I i = bi + ǫ2 i a i ǫ2 i ) ] i=1 i=1 P [ bij + ǫ2 i j a ij ǫ2 i j ) ] j=1 per la *)) b ip + ǫ2 i P a i1 ǫ2 i 1 ) > b a = E,

36 30 Capitolo 4. isure di Lebesgue e Lebesgue Stieltjes come richiesto. Parte Ib 2 :, E limitato, ma non compatto. Se ora E è un intervallo limitato del tipo [a, b), allora aggiungendo alla successione {I i } l intervallo ridotto al solo punto {b}, otteniamo E = {b} I i ). Poiché E è compatto, per il caso precedente abbiamo E = i I i. D altra parte E = E per definizione di lunghezza, e quindi E = i I i. Gli altri casi in cui E è limitato ma non compatto si trattano in modo analogo. Parte Ib 3 :, E illimitato. Sia ora E un intervallo illimitato. Sia J un intervallo compatto contenuto in E. Conserviamo la notazione utilizzata nella parte Ib 1. Gli intervalli I ε i costituiscono una copertura aperta di J perché sono una copertura aperta di E, che contiene J propriamente). La dimostrazione di Ib 1 mostra che Facendo variare ǫ concludiamo che 2ǫ + I i > J. i=1 I i J. i=1 Prendendo l estremo superiore di entrambi i membri rispetto a tutti gli intervalli compatti J contenuti in E ricaviamo che i=1 I i E, come richiesto. Parte II: E è unione di un numero finito di intervalli. Infine, se E non è un intervallo, esso è unione di un numero finito di intervalli perché E è in E 1 ) mutuamente disgiunti e si può applicare il ragionamento precedente a ciascuno di questi. Sia λ 1 la misura esterna su PR) definita da λ 1 E) = def i=1 i { inf λ 1 E i ) : E i E 1, E E i }. Per il teorema di Caratheodory, λ 1 è una misura completa) sulla σ-algebra degli insiemi misurabili 1 rispetto a λ 1. Ogni misura sulla σ-algebra B 1 che ristretta a E 1 coincide con λ 1, coincide con λ 1 su tutta la σ-algebra B 1. Si può dimostrare che R, B 1, λ 1 ) non è uno spazio di misura completo; il suo completamento è R, 1, λ 1 ) Definizione. Gli elementi di 1 si chiamano insiemi Lebesgue misurabili di R e 1 si chiama σ-algebra di Lebesgue di R. La misura λ 1 si chiama misura di Lebesgue di R. i=1

37 Sezione 4.2 isure di Lebesgue Stieltjes in R 31 Esercizi 1 Sia {a ij } una successione di numeri reali non negativi. Allora a ij = a ij. i=1 j=1 j=1 i=1 2 ostrare che per ogni intervallo I di R vale la formula λ 1 I) = I. 3 ostrare che { inf λ1 I i ) : i } I i Q [0, 1)) 1, se l estremo inferiore è fatto al variare delle collezioni finite di intervalli. 4 ostrare che i razionali sono un sottoinsieme Lebesgue misurabile di R di misura di Lebesgue nulla. Più in generale, mostrare che ogni sottoinsieme numerabile di R ha misura nulla. Concludere che R non è numerabile. 4.2 isure di Lebesgue Stieltjes in R La costruzione della misura di Lebesgue procede dalla nozione di lunghezza di un intervallo. Una costruzione simile si applica a una situazione unidimensionale più generale, che esporremo in questa sezione, e che presenta applicazioni interessanti al calcolo delle probabilità Definizione. Sia I un intervallo di R. Diremo che una funzione f : I R è crescente se per ogni x e y in I tali che x < y, si ha che fx) fy). Diremo che f è strettamente crescente se fx) < fy) Notazione. Indichiamo con XR) l insieme delle funzioni F : R R crescenti e continue da destra Definizione. Siano F una funzione in XR) e a b. Definiamo la funzione µ F sugli intervalli di R come segue: µ F a, b) ) = Fb ) Fa) µ F a, b] ) = Fb) Fa) µ F [a, b] ) = Fb) Fa ) µ F [a, b) ) = Fb ) Fa ), dove Fb ) = lim x b Fx). Notiamo che se Fx) = x, allora µ F I) = I.

38 32 Capitolo 4. isure di Lebesgue e Lebesgue Stieltjes Proposizione. La funzione µ F ammette un unica estensione a una misura, ancora denotata con µ F, sull algebra E 1. Dimostrazione. La dimostrazione è del tutto simile a quella della Proposizione 4.1.2; per brevità la omettiamo Definizione. Indichiamo con µ F la misura che si ottiene restringendo la misura esterna µ F ) alla classe degli insiemi misurabili rispetto a µ F ), che denotiamo con F. La misura completa) µ F si chiama misura di Lebesgue Stieltjes associata alla funzione F. Notiamo che µ F è, in particolare, definita sulla σ-algebra generata da E 1, che è B Osservazione. La σ-algebra F contiene B 1 per costruzione e dipende dalla funzione F scelta. Ad esempio, se Fx) = x, allora F = 1 qui 1 indica la σ-algebra degli insiemi Lebesgue misurabili), che si può mostrare essere propriamente contenuta in PR), mentre se Fx) = 1 [0, ), allora F = PR) Esempio. Se Fx) = x, allora µ F è la misura di Lebesgue in R Esempio. Sia F = def 1 [0, ). Allora µ F è la misura di Dirac δ 0. Infatti, sia I un intervallo di R. Allora µ F I) vale 1 se e solo se 0 I; altrimenti vale 0. Quindi µ F coincide sugli intervalli con la restrizione agli intervalli della misura δ 0. Poiché µ F si estende in un unico modo a una misura su E 1, tale estensione deve coincidere con la restrizione di δ 0 a E 1. Si conclude utilizzando il teorema di Caratheodory Esempio. Sia F definita da Fx) = 1 π x e t2 dt x R, dove l integrale è inteso nel senso di Riemann generalizzato. La misura µ F associata a F si chiama misura di Gauss in R e si indica con γ Proposizione. Siano F, G, {F n } n N funzioni in XR) Valgono le affermazioni seguenti: i) µ F = µ G se e solo se F G è costante; ii) sia x in R; allora µ F {x}) = 0 se e solo se F è continua in x; iii) se n=1 F n è puntualmente convergente in R a F, allora µ F = n=1 µf n. Dimostrazione. La dimostrazione di i) è semplice e la omettiamo.

39 Sezione 4.2 isure di Lebesgue Stieltjes in R 33 Dimostriamo ii). Supponiamo che µ F {x}) = 0. Poiché F è continua da destra in x, è sufficiente dimostrare che essa è continua da sinistra. Osserviamo che 0 = µ F {x} ) per la continuità di µ F ) per definizione di µ F ) perché F è continua da destra) = lim µf [x, x + 1/n] ) n = lim Fx + 1/n) n Fx ) = lim Fy) Fx ), y x + da cui si deduce che F è continua da sinistra in x, come richiesto. Per dimostrare il viceversa, basta ripercorrere i passaggi precedenti a ritroso. Dimostriamo iii). Poiché le F n sono crescenti, F è crescente. Sia S n = n i=1 F i. Osserviamo che F S n = i=n+1 F i è crescente. Sia a R +. ostriamo che i=1 F i converge uniformemente in [ a, a]. Osserviamo che ) lim max Fa) S n a), F a) S n a) = 0, n perché S n converge puntualmente a F in R, a fortiori nei punti a e a. Poiché F S n è crescente, ) sup y [ a,a] Fy) S n y) max F a) S n a), Fa) S n a), che tende a 0 per n tendente a, cioè {S n } n N converge uniformemente a F in [ a, a], come richiesto. Poiché {S n } n N converge uniformemente a F in [ a, a] e le funzioni S n sono continue da destra, anche F è continua da destra. Abbiamo provato che F appartiene a XR). In virtù del Teorema di estensione di Caratheodory, per dimostrare che µ F e n=1 µf n coincidono è sufficiente mostrare che µ F = i=1 µf i su E 1. Per la Proposizione 4.2.4, è sufficiente provare che µ F I) = i=1 µf i I) per ogni intervallo I. Consideriamo, ad esempio, il caso I = a, b). Abbiamo perché entrambe le serie convergono) = µ F I) = Fb ) Fa) = F i b ) F i a) = i=1 i=1 Fi b ) F i a) ) i=1 µ F i I), i=1