Prima Esercitazione Economia Politica, 2006 Marco Piovesan

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1 Prima Esercitazione Economia Politica, 2006 Marco Piovesan Come contattarmi: web-page: http : // f/persondott.php blog: Esercitazione di oggi: 1. Relazione tra variabili 2. Il piano Cartesiano 3. Le intercette di una funzione 4. L inclinazione 5. L equilibrio di mercato 6. La traslazione della curva di domanda Relazione tra variabili Consideriamo la relazione che intercorre tra due variabili, denominate rispettivamente x e y, nell ipotesi che il valore della variabile y dipenda dal valore assunto dalla variabile x. Possiamo scrivere tale relazione nella forma di un equazione. Ad esempio, la Y = ax + b esprime una relazione tra due variabili x ed y. Nell equazione compaiono inoltre i termini a e b che sono due costanti utilizzate con lo scopo di specificare opportunamente la relazione che intercorre tra le due variabili. Nell equazione considerata la variabile y dipende dai valori assunti da x, a, e b. La y è la variabile dipendente. Il valore di x, viceversa, è indipendente dal valore assunto da y, a, e b. La x è la variabile indipendente. Faremo, ora, un esempio per mostrare come si costruiscono le equazioni. Esempio 1 (Libreria) Supponiamo di andare in un grande magazzino per acquistare una scaffalatura dove poter sistemare ordinatamente i libri e i fascicoli che per ora stanno invadendo la nostra stanza. Supponiamo di trovare una di queste librerie dalle dimensioni standard al prezzo di 150 euro. La libreria, però, risulta troppo piccola per sistemare tutti i nostri libri, quaderni, fascicoli di fotocopie ecc.. Allora consideriamo l ipotesi di poter acquistare dei moduli aggiuntivi (supponendo che la libreria sia componibile) al prezzo di 25 euro ciascuno. La spesa che dovremo sostenere per acquistare una libreria dalle dimensioni che ci occorrono dipenderà, dunque, dal prezzo della libreria standard e dal numero di moduli aggiuntivi che ci 1

2 servono moltiplicato per il loro prezzo. Nel nostro esempio, quindi, la spesa che dovremo sostenere dipenderà dal prezzo del mobile standard (che è costante: la libreria-base ci costa comunque e 150) e dalla spesa che dovremo sostenere per l acquisto dei moduli aggiuntivi. Quest ultima è una variabile in quanto bisogna moltiplicare il prezzo di ogni modulo (che è costante: ciascun modulo ci costa comunque e 25) per il numero dei moduli che decideremo di acquistare (che è una variabile: il numero dei moduli che decidiamo di acquistare dipenderà dalle nostre esigenze... ovviamente entro i limiti delle nostre possibilità di spesa!). Riassumendo, detti: y la spesa che dovremo sostenere per acquistare la libreria delle dimensioni che ci servono, a il prezzo della libreria-base, b il prezzo di ciascun modulo e x il numero dei moduli che intendiamo acquistare, avremo che la Y = ax + b esprime la relazione tra la spesa che andremo a sostenere (variabile dipendente y) e il numero dei moduli aggiuntivi (variabile indipendente x), dati i prezzi della libreria-base (costante a) e di ciascuno dei moduli aggiuntivi (costante b). Questi ultimi contribuiscono a specificare la relazione che intercorre tra le due variabili x ed y. Se costruiamo una tabella per questa specifica relazione tra x e y, ci possiamo dar conto delle (teoricamente infinite) combinazioni di x e y che soddisfano l equazione. In base ai valori ipotizzati per a e per b (espressi in euro), data la Y = ax + b avremo: y = x. Spesa complessiv (y) Prezzo base (a) Prezzo modulo (b) Numero moduli (x) e 150 e 150 e 25 0 e 175 e 150 e 25 1 e 200 e 150 e 25 2 e 225 e 150 e 25 3 e 250 e 150 e

3 Il piano Cartesiano In economia si usano spesso dei grafici per rappresentare le relazioni che intercorrono tra le variabili. Un grafico è una rappresentazione visiva della relazione che intercorre tra due variabili, ad esempio x e y. Un grafico consiste in due assi ortogonali denominati rispettivamente asse delle ascisse (orizzontale) e asse delle ordinate (verticale). Gli assi corrispondono alle variabili di riferimento (le variabili prese in considerazione). Di solito gli assi prendono il nome delle variabili che si stanno studiando: in economia, si parla spesso, quindi, di asse del prezzo e asse della quantità e così via. Il punto è la relazione minima rappresentabile su un grafico. Ogni punto è definito da una coppia di numeri indicata tra parentesi che ne esprime le coordinate. Le coordinate di un punto servono a determinare la collocazione di un punto in un grafico. Le coordinate sono date da una ascissa (coordinata x) e da una ordinata (coordinata y). Il punto d intersezione tra i due assi si chiama origine. L origine degli assi viene indicata anche come punto (0,0). Asse delle y, Variabili dipendenti ordinate Punto P coordinate (x,y) y Asse delle x, Variabili indipendenti ascisse Origine x Figure 1: Grafico di riferimento. 3

4 Esempio 2 (Libreria 2) Se volessimo rappresentare graficamente l esempio precedente? Il primo passo consiste nel generare una serie di punti da rappresentare graficamente. Per farlo, selezioneremo alcuni valori dell ascissa. (Si noti che, nel caso di una retta, ne bastano due ma se ne selezioniamo 5, in corrispondenza ciascuno di un punto diverso, potremo avere la riprova di aver fatto bene i calcoli, verificando che tutti appartengano alla medesima retta). Selezioniamo, dunque, almeno 5 valori per le x; quindi, usando l equazione, potremo calcolare i corrispondenti valori delle y. Man mano, le coppie di valori così ottenute possono essere illustrate in un grafico. Nell esempio della libreria, come abbiamo ricordato, l equazione è: y = x. La serie delle coppie ottenute possono essere riportate in una tabella come quella qui sotto. Nel caso della libreria, la tabella può iniziare così: Spesa complessiv (y) Numero moduli (x) e e e e e Figure 2: Libreria. 4

5 Le intercette di una funzione Nell equazione y = a+bx, la costante denominata a viene definita termine noto e graficamente corrisponde all intercetta sulle ordinate. L intercetta sulle ordinate è la misura della distanza tra l origine degli assi e il punto in corrispondenza del quale la retta interseca l asse delle ordinate (l asse verticale). L intercetta sulle ordinate corrisponde al valore che y assume quando x è uguale a zero; graficamente essa è definita dal punto di intersezione tra la retta e l asse delle ordinate. Si noti che se x = 0, allora y = a. Quando useremo dei grafici, quindi, denomineremo punto (0,a) il punto che definisce l intercetta sulle ordinate. Esempio 3 (Libreria 3) Nell esempio della libreria, l equazione che esprime la relazione data è: y = x. Il valore del termine noto verifica l equazione quando non vogliamo alcun modulo aggiuntivo (x = 0): esso corrisponde, infatti, al prezzo della libreria-base, ovvero e 150. Si può constatare che il punto in cui la retta interseca l asse delle ordinate è (0,150). L intercetta sulle ordinate, in questo caso, è 150 e corrisponde al valore del termine noto. Esempio 4 (Domanda di un bene) Un consumatore vuole acquistare delle brioche. Se queste non costassero nulla, egli ne acquisterebbe 8 (oltre rischierebbe di gettarle o di fare indigestione!). La sua domanda diminuisce progressivamente mano a mano che il prezzo del bene aumenta, poiché il consumatore ha una disponibilità economica limitata o comunque preferisce impiegare il suo denaro su altri beni se le brioche aumentano troppo di prezzo. Supponiamo, così, il seguente andamento della domanda: prezzo (X) quantità (Y) 0 8 0, , Prezzo (p) b=2 Y = - (1/4)X ,5 1 0,5 a=1/ Quantità (q) Figure 3: Domanda di un bene. Il grafico che rappresenta la domanda del bene pone sull asse verticale la variabile indipendente (il prezzo) e su quello orizzontale la quantità domandata. L intercetta sull asse verticale illustra il prezzo al quale la 5

6 domanda è nulla (q=0); l intercetta sull asse orizzontale illustra la quantità massima acquistata se il prezzo è pari a 0 (p=0). Ogni punto lungo la curva esprime la domanda intermedia del bene. Esempio 5 (Costi dell impresa) Un impresa che produce scarpe deve acquistare un macchinario del costo di 100 Euro e pellami del costo di 10 Euro per ogni paio di scarpe prodotto. Illustriamo la curva del costo totale di produzione per l impresa rispetto al numero di paia di scarpe prodotte. L intercetta ci dice qual è il costo dell impresa se non produce alcun paio di scarpe (paia=0). Se l impresa ne produce un paio avrà un costo di =110 tale che possiamo scrivere. Per Q=1 C=110; per Q=2 C=120; per Q=3 C= Che rappresentiamo graficamente come una retta con intercetta in 100 costo Paia di scarpe Figure 4: Costi dell impresa. Nota: nel seguente, come in molti casi, una funzione può avere soltanto una o nessuna intercetta. Ciò è dovuto al fatto che: quando una variabile assume valore pari a (o prossimo a) 0, l altra assume valore infinito (es: se un bene non costa nulla posso decidere di prenderne una quantità infinita); la variabile dipendente non assume mai valore pari o inferiore a 0, come nell esempio del costo di produzione dell impresa) 6

7 Esempio 6 (Domanda di due beni) Abbiamo 10 Euro e dobbiamo decidere se acquistare banane a 2 Euro il chilo o mele a 1 Euro al chilo. Illustriamo le quantità acquistabili dei due beni, ponendo le stesse sugli assi di ordinate e ascisse. L intercetta per le banane è rappresentata dai chili di banane che possiamo acquistare se rinunciamo alle mele (mele=0). Viceversa per le mele, cosicché: intercetta banane = 10 : 2 = 5 Kg intercetta mele = 10 : 1 = 10 Kg Inoltre, per ogni valore intermedio di banane acquistate possiamo valutare quante sono le restanti mele che possiamo acquistare, così da avere i valori intermedi assunti da ogni punto della retta. banane mele banane mele Figure 5: Domanda di due beni. 7

8 L inclinazione La pendenza è una misura dell ampiezza dell angolo formato da una retta con l asse delle ascisse (o con una parallela ad esso). Tale misura si può esprimere mediante il rapporto tra una variazione della variabile dipendente (y) e la corrispondente variazione della variabile indipendente (x): pendenza = variazione y variazione x Esempio 7 Riprendiamo l esempio della libreria componibile che abbiamo introdotto nel primo esempio. Come ricorderete, si trattava di una libreria-base che aveva un prezzo di e 150 alla quale si poteva aggiungere un numero indefinito di moduli al prezzo di e 25 ciascuno. La spesa per la libreria componibile varia ad un tasso di e 25 per ogni modulo che vi aggiungiamo. pendenza = variazione della spesa variazione del numero moduli aggiuntivi pendenza = 25 1 = 25 L inclinazione di una funzione è positiva (e la funzione si dice crescente) se due variabili sono tra loro correlate positivamente, ossia se all aumentare del valore dell una (asse x) aumenta anche il valore assunto dalla variabile dipendente (asse y). L inclinazione di una funzione è negativa (e la funzione si dice decrescente) se due variabili sono tra loro correlate negativamente, ossia se all aumentare del valore dell una (asse x) il valore assunto dalla variabile dipendente (asse y) diminuisce. 8

9 Esempio di decrescenza: la mia domanda di brioche diminuisce all aumentare del prezzo Esempio di crescenza: il costo di produrre le scarpe aumenta all aumentare del numero di scarpe prodotte. Esempio di applicazione ad una funzione matematica crescente : Il reddito totale di un lavoratore ammonta al reddito di cui egli dispone indipendentemente dal fatto di lavorare più la quota guadagnata con il lavoro, che aumenta progressivamente all aumentare delle ore di lavoro. Assumendo ad esempio una retribuzione oraria di 10, possiamo scrivere: Y = X tale che avremo: se X = 0, Y = 50 se X = 1, Y = 60 se X = 2, Y = 70 se X = 3, Y = e graficamente si avrà Y X Figure 6: Y = X. dove la funzione aumenta sempre ad ogni aumento di X e quindi le due variabili sono correlate positivamente. Esempio di decrescenza : Si consideri una funzione che esprime la domanda di un certo bene: D = 15 3p Allora possiamo valutare come aumenta la quantità richiesta ogni volta che c è un aumento di prezzo, confrontando il livello richiesto dopo con quello richiesto prima: Da cui si ricavano i valori con le seguenti variazioni nella quantità richiesta ad ogni incremento unitario del prezzo: 9

10 allora si può scrivere che in ogni punto: Q 1 Q 0 p 1 p variazione = Q 1 Q 0 p 1 p 0 = 3 e ciò ci rappresenta di quanto la funzione di domanda è inclinata. Graficamente, la funzione di domanda si presenta nel modo seguente: p q Figure 7: Esempio di decresenza. Ricapitolando: L inclinazione (o pendenza) della funzione di una retta è rappresentata dal coefficiente a, che ci dice infatti di quanto varia Y al variare di X. Inoltre, se il coefficiente a ha segno positivo, la funzione è crescente (esempio: Y=50+10X), se il coefficiente a ha segno negativo, la funzione è decrescente (esempio: Y=15-3X). 10

11 L equilibrio di mercato Esempio 8 Siano la domanda e l offerta annue di automobili di un determinato modello dettate in tal modo dal livello dei prezzi cui possono essere immesse sul mercato: DOMANDA auto Inclinata negativamente OFFERTA auto Inclinata positivamente Allora, esiste un prezzo al quale sia la domanda che l offerta vengono soddisfatte: 25 mila Euro. A tale prezzo, la quantità di auto venduta sarà pari a 3000 unità. Rappresentazione grafica: p offerta domanda q (migliaia) Figure 8: Equilibrio di mercato. Esempio 9 Siano la domanda e l offerta di settimanali dettate nel seguente modo dal livello dei prezzi cui possono essere immesse sul mercato: 11

12 DOMANDA 0, , , ,5 1 Inclinata negativamente OFFERTA 2, ,2 3 3,4 4 3,6 5 3, Inclinata positivamente Allora, esiste un prezzo al quale sia la domanda che l offerta vengono soddisfatte: 3 Euro a copia. A tale prezzo, la quantità di settimanali venduta sarà pari a 2 milioni di copie. Nota: la quantità di giornali offerta parte da un livello di prezzo abbastanza elevato e cresce poi significativamente a piccole variazioni di prezzo. Ciò è dovuto al fatto che: a) esiste un elevato costo fisso iniziale nella produzione del giornale (costo immobili, macchinari, giornalisti... ); b) il costo della produzione aggiuntiva di giornali (quanto mi costa produrre copie in più) è limitato rispetto al costo fisso e quindi posso coprirlo con piccoli aumenti. Rappresentazione grafica: p 3,5 offerta 3 2,8 domanda q Figure 9: Domanda e offerta di settimanali. Esempio 10 La domanda di un bene è data dalla seguente espressione: D = 10 2p Ciò significa che: se p=0 allora D=10 domanda massima a prezzo nullo del bene (significa che la mia funzione di domanda è influenzata innanzitutto da una componente che mi dice quanto di quel bene vorrei consumare se non dovessi pagare nulla per averlo); se p=1 o maggiore, allora D=8 (dove il prezzo influenza negativamente la mia possibilità/volontà di acquistare poiché è inserito nella funzione con segno - ed il numero riportato davanti a p mi dice il 12

13 peso che i consumatori danno al prezzo nella loro funzione di domanda più questo coefficiente è alto più io do peso al prezzo nel decidere quanto acquistare); se p=5 o maggiore la domanda è nulla (D=0). L offerta è espressa dalla funzione O = 3p 1 Ciò significa che: l offerta è nulla se il prezzo è uguale o inferiore a (infatti sostituendo O=0.333*3 1=0) quindi rappresenta l intercetta dell offerta se p=1 allora O=2; se p=2 allora O=5... in crescendo (dove il prezzo influenza positivamente la mia possibilità/volontà di produrre/offrire il bene poiché è inserito nella funzione con segno + ed il numero riportato davanti a p mi dice il peso che i produttori danno al prezzo nella loro funzione di offerta più questo coefficiente è alto, più l impresa dà peso al prezzo nel decidere quanto vendere); esiste un effetto negativo sull offerta dato da -1 che rappresenta quindi un peso dei costi che l impresa deve sostenere e che va quindi coperto dall ottenimento di un prezzo sul mercato. Possiamo schematizzare la situazione calcolando per diversi valori assunti (variabile indipendente) dal prezzo le quantità rispettivamente domandate/offerte: domandata Quantità offerta ,333 9, L equilibrio viene visionato graficamente nell incrocio tra domanda ed offerta p offerta domanda 0, q Figure 10: Domanda e offerta. 13

14 La traslazione della curva di domanda L equilibrio di mercato, e quindi il prezzo del bene e la quantità prodotta/consumata dello stesso possono variare a causa di mutamenti della domanda. I consumatori possono dichiararsi disposti ad acquistare una quantità superiore o inferiore del bene a parità di prezzo qualora si abbia un mutamento: 1) delle preferenze (gusti) dei consumatori 2) del reddito dei consumatori 3) nel prezzo di un bene complementare 4) nel prezzo di un bene sostituto (o succedaneo) 5) nelle aspettative o informazioni reali Vediamo qualche esempio. Esempio 11 (Variazione nel prezzo di un bene complementare) La domanda del caffè dipende non soltanto dal prezzo della materia prima, ma anche dal prezzo dello zucchero, poiché è complementare se la nostra preferenza è quella di zuccherare il caffè. La funzione di domanda di caffè è data da: una costante (valore fisso) che esprime la preferenza indipendentemente dal prezzo l effetto negativo che una variazione di prezzo ha sulla domanda del bene l effetto negativo che il dover comprare anche lo zucchero ha sulla domanda di caffè. La domanda di caffè esprime la quantità di caffè che vogliamo acquistare ad ogni variazione del prezzo del caffè. Invece, quando parliamo di variazione del prezzo del bene complementare si avrà una traslazione della domanda di caffè, ossia una diminuzione/aumento della quantità di caffè domandata per ogni livello di prezzo del caffè. Sia la domanda D = 10 2pc pze sia il prezzo dello zucchero inizialmente pz = 1,allora la quantità domandata assumerà i seguenti valori rispetto ai diversi livelli di prezzo: Domanda iniziale di caffè (D = 10 2pc 1) : ,5 0 Se il prezzo dello zucchero ora aumenta, divenendo pz=2, anche la domanda di caffè subisce una variazione (poiché ora la funzione diviene D = 10 2pc 2). Domanda di caffè dopo la variazione del prezzo del bene complementare: ,5 0 Data una funzione di offerta del caffè pari a O = 3pc 1, tale che l offerta assume il seguente andamento: 0, ,5 12,5 14

15 Allora l equilibrio di mercato prima e dopo l aumento del prezzo del bene complementare (zucchero) ossia prima e dopo la traslazione della domanda di caffè varia come in figura seguente. La conseguenza è una diminuzione della quantità di caffè immessa sul mercato ed una diminuzione dl prezzo del caffè. p 4,5 4 offerta D D q Figure 11: Variazione di prezzo di un bene complementare. Esempio 12 Ogni individuo può decidere se acquistare un libro per poi leggerlo oppure prenderlo in prestito in biblioteca. La domanda di libri dipende quindi non soltanto dal prezzo del volume, ma anche dall eventuale costo del prenderlo a prestito. Vediamo l effetto di un eventuale decisione del comune di erogare i libri a pagamento. Ciò che vogliamo quindi verificare è cosa accade alla domanda di libri passando da un sistema di erogazione bibliotecaria gratuita (pp=0) al pagamento di un prezzo per il prestito (pp=1). La funzione di domanda di libri è data da: D = 20 4pl + 2pp (con pl=prezzo di acquisto del libro) Dove più mi costa il bene sostituto (prestito) più mi dirigo sul bene di base (libro di proprietà). Allora la quantità di libri domandata dato pp = 0 (sistema iniziale bibliotecario gratuito) assumerà i seguenti valori rispetto ai diversi livelli di prezzo pl: Domanda iniziale di libri (D = 20 4pl) Se il comune decide ora di far pagare un prezzo per il prestito dei volumi (pp=1), anche la domanda d acquisto di libri subisce una variazione (poiché ora la funzione diviene D = 20 4pl + 2). Domanda di libri dopo la decisione pubblica 15

16 ,5 0 Data una funzione di offerta di libri pari a O = 2pc 4, l offerta assume il seguente andamento: , Allora l equilibrio di mercato prima e dopo l aumento del prezzo del bene sostituto (prestito) ossia prima e dopo la traslazione della domanda di libri varia come in figura seguente. p 5,5 5 4 offerta 3 2 D 1 D q Figure 12: Variazione di prezzo di un bene sostituto. La conseguenza è un aumento della quantità di libri immessi sul mercato ed un aumento del prezzo d acquisto degli stessi. 16