UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA DIPARTIMENTO DI MATEMATICA CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN ECONOMIA E DIREZIONE AZIENDALE TESI DI LAUREA VEHICLE ROUTING PROBLEM CON FINESTRE TEMPORALI RELATORE: CHIAR. MA PROF. SSA: ALESSANDRA BURATTO LAUREANDA: CLAUDIA GIORDANO MATRICOLA N ANNO ACCADEMICO

2 INDICE INTRODUZIONE... 3 Capitolo 1 - VRP: Veicle Routing Problem Definizione e concetti principali Descrizione dei problemi Vincolo di capacità (CVRP) Vincoli di lungezza dei route Vincolo di tempo (time windows) Vincolo di precedenza (pickup and delivery) Vincolo con Backaul Capitolo 2 - VRPTW: Veicle Routing Problem wit Time Windows VRPTW Modello Matematico del VRPTW Variante Hard e Soft Veicle Routing Problem wit Hard Time Windows (VRPHTW) Veicle Routing Problem wit Soft Time Windows (VRPSTW) Algoritmi euristici Algoritmi euristici costruttivi Algoritmi euristici a due fasi Algoritmi euristici migliorativi Algoritmi metaeuristici Simulated Annealing (SA) Deterministic Annealing (DA) Tabu Searc (TS) Algoritmi Genetici (AG) Ant Colony System (ACS) Reti Neutrali (RN) VRPTW: diverse definizioni di finestre temporali Tempo di Viaggio Flessibile Tempo dipendente dal tempo di viaggio Capitolo 3 - Tecnice per gestire le finestre temporali attraverso le funzioni Funzioni di costo lineari a tratti Funzione di costo convessa

3 3.2.1 Funzione di costo lineare a tratti convessa della finestra temporale Problemi di regressione isotonica Funzione di costo generale convessa della finestra temporale CONCLUSIONI BIBLIOGRAFIA

4 INTRODUZIONE In questo lavoro verrà approfondito il Veicle Routing Problem (VRP), problema di ottimizzazione con molti risvolti nella vita reale e strumento principale per modellare la realtà della logistica e del trasporto dei beni, attraverso lo studio degli algoritmi euristici e metaeuristici ce lo risolvono. In particolare si analizzerà il problema di VRP con il vincolo di finestra temporale. Questo vincolo implica ce i clienti devono essere serviti all'interno di un certo intervallo cronologico rappresentato dalla finestra temporale. Traendo spunto dall articolo di Hascimoto H., Yagiura M., Imaori S.e Ibaraki T. (2010) Recent progress of local searc in andling te time window of te veicle routing problem, vengono evidenziati gli ultimi sviluppi fatti in materia per quanto riguarda le tecnice per gestire le finestre temporali ce possono essere di due tipologie, come vedremo nel Capitolo 2, Hard o Soft. Nel Capitolo 1 si illustra il VRP in tutti i suoi aspetti fondamentali e nelle sue principali tipologie ce si distinguono per modalità di servizio, caratteristice dei veicoli, struttura dei vincoli, sistema di obiettivi e tipi di vincoli. Nel Capitolo 2, dopo aver presentato le diverse tipologie di problemi collegati al VRP ci concentreremo su uno di questi problemi, quello ce comprende le finestre temporali, ovvero il cosiddetto Veicle Routing Problem wit Time Windows, indicato con la sigla VRPTW. Il Capitolo 3 è dedicato ai recenti sviluppi in relazione alle tecnice di gestione delle finestre temporali attraverso le funzioni di costo lineari a tratti e funzioni di costo convessa, espressi dall'articolo sopra citato. 3

5 Capitolo 1 - VRP: Veicle Routing Problem 1.1 Definizione e concetti principali Il Veicle Routing Problem, ce indiceremo d'ora in poi con la sigla VRP, è un tipico problema operativo nelle reti di distribuzione e consiste nella distribuzione di beni materiali tra un deposito o un insieme di depositi e i clienti. Tale problema è stato introdotto da Dantzig e Ramser (1959); nello specifico con il termine VRP si intende un'intera classe di problemi ce a per oggetto lo studio di tecnice per la pianificazione dei percorsi di una flotta di veicoli, ce svolgono un servizio di distribuzione di beni materiali, servizi o informazioni tra un insieme di depositi ed un insieme di clienti. Nucleo centrale è la pianificazione dei percorsi (route) su cui sono disposti i clienti da raggiungere e servire, con l'obiettivo di minimizzare i costi di routing e di assegnamento dei veicoli ai relativi percorsi. Questo tipo di problema è il più importante tra i problemi di routing, i quali costituiscono un sottoinsieme dei problemi di logistica; questi riguardano il problema di definire un insieme di percorsi coperti da un insieme di veicoli ce trasportano materiali, persone o informazioni e ce partono e terminano nello stesso deposito utilizzando una opportuna rete stradale; la risoluzione di questi problemi prevede la costruzione di un modello a grafo. I problemi di routing più realistici comprendono l'aspetto di sceduling in cui si devono pianificare ance gli orari del servizio; in questo caso si considera oltre alla componente geografica tipica del problema di routing puro ance una componente temporale. Il VRP a molte implicazioni pratice nella realtà in contesti logistici e distributivi di dettaglio, come ad esempio il servizio di scuolabus, la raccolta dei rifiuti, la pulizia delle strade mediante veicoli; tali problemi riguardano non solo le aziende nel settore del trasporto, ma ogni compagnia ce deve affrontare un trasporto effettivo di merce (ad esempio gestire il servizio di posta interna di una grande azienda). Il VRP può essere esplicitato andando a descrivere nel dettaglio le caratteristice dei veicoli, dei clienti e della rete stradale ce ne definiscono il contesto operativo. La rete stradale utilizzata per il trasporto normalmente viene rappresentata mediante un grafo orientato o meno (dipende se per gli arci sia impostato il senso di marcia o meno) i cui arci 4

6 rappresentano i tratti stradali percorribili ed i cui vertici corrispondono ai punti importanti della rete, cioè agli incroci ed ai punti dove sono localizzati clienti e depositi. Si tratta di un grafo pesato, ovvero ad ogni arco è specificato il costo di transito (lungezza del collegamento) ma in alcuni modelli può rappresentare il tempo di percorrenza (dipende dal tipo di veicolo ce percorre tale collegamento o dall'orario durante il quale l'arco è attraversato). Ciascun cliente, è caratterizzato da: un vertice del grafo stradale in cui è localizzato; quantità di merce, ance di diversi tipi, ce deve essere consegnata e/o raccolta (i clienti possono riciedere: consegna della merce, prelievo della merce, entrambi i servizi); intervalli di tempo (time windows) per il servizio, poicè i clienti anno un preciso arco temporale in cui possono ricevere il servizio riciesto (gli orari di apertura di un esercizio ne sono un esempio); tempi di carico e di scarico della merce; eventuali sottoinsiemi di veicoli ce possono essere utilizzati per servirlo (ad esempio, in certe parti della città possono essere adatti solo alcune tipologie di veicoli); una domanda ce se non viene soddisfatta interamente: si definiscono livelli di priorità (vincoli di precedenza definiti tra clienti); oppure se non viene eseguito il servizio in modo totale o parziale si prevede una penalità (in termini di tempo o di costi). I circuiti percorsi anno origine e destinazione in uno o più depositi localizzati nei vertici del grafo. Ogni deposito possiede un numero e determinate tipologie di veicoli inoltre può variare la quantità di merce ce il deposito è in grado di trattare. In alcuni casi è possibile una pre-assegnazione di alcuni clienti ai depositi e i veicoli partono e ritornano allo stesso deposito, per cui ciascun deposito agisce in modo indipendente dagli altri e quindi il problema può essere scomposto in diversi problemi relativi ciascuno ad un solo deposito. È frequente la situazione in cui questa scomposizione non può avvenire percè il veicolo non fa ritorno alla stesso deposito di partenza per la mancata pre-assegnazione dei clienti a 5

7 particolari depositi, questo per far fronte, se necessario, a vincoli ulteriori, ad esempio il vincolo di capacità. Un altra dimensione per la classificazione dei problemi di VRP è data dalle caratteristice dei veicoli: la flotta di veicoli può essere prefissata o variabile; il deposito di partenza, dove i veicoli ritornano o meno alla fine del percorso; capacità del veicolo, ce può essere definita dal peso, volume, numero di unità di imballaggio della merce, con eventuale suddivisione in scomparti dei beni; alcuni veicoli possono non essere idonei al carico di determinati tipi di merce (ad esempio la necessità di celle frigorifere per beni deperibili); metodologia di carico e scarico e disponibilità a bordo di attrezzature per la movimentazione della merce (pianali mobili); impossibilità per il veicolo al transito in alcuni tratti stradali; costo associato all'utilizzo del veicolo, costo prodotto dal tempo utilizzato o dalla distanza percorsa. Il problema è ance caratterizzato dagli autisti ce sono utilizzati per la guida dei veicoli e sono soggetti a vincoli di tipo sindacale diversi a seconda ce siano dipendenti del trasportatore o lavoratori autonomi (ad esempio: orari di lavoro, numero e durata delle pause). Di solito questi vincoli sono associati direttamente ai veicoli. Deposito D Cliente Figura (1.1): rappresentazione grafica del VRP classico Fonte: elaborazione personale 6

8 I principali obiettivi, ance contrastanti, dei problemi di veicle routing, sono: minimizzare il numero di veicoli utilizzati per servire tutti i clienti; minimizzare la distanza totale percorsa dalla flotta; minimizzare il costo totale del trasporto ce dipende dalla distanza totale percorsa, dal tempo totale impiegato e dai costi fissi associati ai veicoli; minimizzare le penali associate al servizio portato a termine solo a una parte dei clienti; bilanciamento dei percorsi per quanto riguarda il tempo di percorrenza e/o carico del veicolo; minimizzare una funzione obiettivo ce corrisponde a una combinazione degli obiettivi precedenti. Il VRP non è un problema puramente geografico dato ce la domanda dei clienti può essere vincolante; infatti la maggior parte delle volte è possibile trovare una soluzione ottima solo se il numero di clienti da visitare è relativamente piccolo. Nello specifico questi problemi appartengono ad una classe di problemi NP-ard, cioè l'esecuzione di algoritmi ce risolvano in modo esatto questi problemi riciede un tempo di calcolo esponenziale nella dimensione del problema. Per comprendere meglio il concetto di NP-ard di seguito una breve esposizione delle varie classi di complessità. I vari problemi possono essere suddivisi in classi a seconda del tempo occorrente all'algoritmo, definito dal numero di operazioni necessarie, per risolvere tale problema. Le principali categorie sono: Problemi P (polinomiale), per i quali esistono algoritmi risolutivi di complessità polinomiale, sono problemi di decisione ce possono essere risolti con una maccina sequenziale deterministica in un tempo ce è polinomiale rispetto alla dimensione dei dati di ingresso. Problemi NP (polinomiale non deterministico), in questa classe rientrano i problemi di decisione le cui soluzioni positive possono essere verificate in tempo polinomiale avendo le giuste informazioni, o equivalentemente, la cui soluzione può essere trovata in tempo polinomiale con una maccina non deterministica. Problemi NP completi, un problema è NP-completo se e solo se appartiene a NP e ogni altro problema in NP è riconducibile ad esso in tempo polinomiale; sono i più 7

9 difficili problemi nella classe NP nel senso ce, se si trovasse un algoritmo in grado di risolvere "velocemente" (nel senso di utilizzare tempo polinomiale) un qualsiasi problema NP-completo, allora si potrebbe usarlo per risolvere velocemente ogni problema in NP. Problemi NP-ard (difficile non deterministico in tempo polinomiale), un problema rientra in questa classe se ogni problema in NP è riducibile ad esso in tempo polinomiale (ance se non appartiene ad NP); questi problemi sono almeno complessi quanto quelli definiti nella versione di ottimizzazione di un problema NP-completo; dimostrare ce un problema di calcolo è equivalente a un problema notoriamente NPdifficile significa dimostrare ce è praticamente impossibile trovare un modo efficiente di risolverlo. I problemi ce andremo a studiare nei prossimi capitoli sono tutti riconducibili a quest ultima classe di problemi esposti. 1.2 Descrizione dei problemi Esistono molte versioni del VRP, conseguenti al tentativo di modellare al meglio le molteplici situazioni pratice riconducibili ad un problema di instradamento. I percorsi devono rispettare determinati vincoli, ce dipendono dalla natura del trasporto effettuato, dalla qualità del servizio desiderato e dalle caratteristice di clienti e dei veicoli. Alcuni tipici vincoli sono i seguenti: la riciesta totale dei clienti posti lungo il percorso non può superare la capacità del veicolo ad esso assegnato; i clienti serviti possono riciedere solo la consegna della merce, solo la raccolta o entrambi i servizi; i clienti possono essere serviti in un arco di tempo limitato (time windows) nel quale ricevono il servizio riciesto e tale attività è eseguita durante il periodo di lavoro degli autisti; possono essere definiti vincoli di precedenza tra i clienti, ne troviamo di due tipi: un primo tipo di vincolo impone ce una parte della merce da consegnare ad un cliente debba essere preventivamente raccolta presso altri clienti, per cui interi gruppi di clienti devono essere serviti dallo stesso veicolo; 8

10 il secondo tipo di vincolo prevede invece ce i veicoli possono effettuare raccolta e distribuzione, a condizione ce quest'ultima attività avvenga per prima. Per una descrizione più approfondita del VRP, analizzeremo di seguito le varianti più importanti studiate Vincolo di capacità (CVRP) La versione più comune della classe di problemi VRP è il Capacitated Veicle Routing Problem (CVRP). La soluzione CVRP consiste nel determinare un sistema di circuiti, ognuno percorso da un singolo veicolo, ce partono da un determinato deposito e vi fanno ritorno, tali da rispettare i vincoli di capacità dei veicoli e da soddisfare i requisiti della clientela e del distributore, con l'obiettivo di minimizzare il costo totale di trasporto in funzione del numero dei percorsi, della loro lungezza complessiva o del tempo di percorrenza. Questa versione del problema a specifice caratteristice: il veicolo deve consegnare la merce e non deve raccoglierla e deve passare per il deposito; la domanda del cliente è nota a priori e deve essere soddisfatta da un solo veicolo; ogni veicolo deve effettuare un solo viaggio; tutti i veicoli sono uguali (K veicoli identici); esiste un singolo deposito centrale (vertice 0); la somma delle domande dei clienti di un circuito deve essere minore o uguale alla capacità C dei veicoli (vincolo di capacità del veicolo). In questo tipo di problema il vincolo di capacità limita l'insieme dei nodi del grafo visitabili da ciascun veicolo percè ogni veicolo a una capacità di carico limitata, per cui questo vincolo riduce il numero di soluzioni possibili. 9

11 Il CVRP può essere formulato in termini di problema su grafo, nel seguente modo: Sia G= (V, A) un grafo completo dove V= {0,...,n} è l' insieme dei vertici e A quello degli arci. I vertici i=1,...,n rappresentano i clienti, mentre il vertice 0 corrisponde al deposito. Ogni arco (i, j) A a un costo non negativo c ij ce corrisponde al costo di trasferimento dal vertice i al vertice j; di solito non è consentito l'uso di loop,cioè un arco (i,i) ce collega un nodo a se stesso e ciò è imposto definendo c ii = +, i V. Se il grafo è completo orientato (diretto), la matrice dei costi c sarà asimmetrica e il corrispondente problema è detto Asymmetric CVRP (ACVRP), altrimenti se il grafo non è orientato c ij = c ij (i, j) A il problema è ciamato Symmetric CVRP (SCVRP). Nel caso il problema si sviluppi in modo simmetrico (SCVRP), l'insieme degli arci A è generalmente sostituito da un insieme di lati E. Dato un lato e E, α(e) e β(e) definiscono i suoi estremi. Per semplicità si indiceranno l'insieme dei lati di un grafo non diretto (completo) G con: A quando i lati sono indicati attraverso i loro estremi (i;j); E quando sono indicati con un singolo simbolo e. Il grafo G è generalmente completo (grafo semplice non orientato a cui ogni vertice è collegato a tutti i vertici rimanenti). Dato un vertice i, si indica con Δ + (i) l'insieme di tutti i vertici j tali ce (i;j) A insieme definito forward star; con Δ - (i) indica il backward star, ce corrisponde all'insieme dei vertici l tali ce (l;i) A. Dato un insieme di vertici S V, δ(s) denota l'insieme dei lati e E con un solo estremo in S, mentre E(S) indica il sottoinsieme dei lati con entrambi gli estremi in S. In molti casi di interesse pratico la matrice dei costi c soddisfa la disuguaglianza triangolare: c ik + c kj c ij, i, j, k V. Questa proprietà viene riciesta a volte da alcuni algoritmi; quando non è presente, si può ovviare alla sua mancanza aggiungendo una quantità positiva M al costo di ogni arco, ance se questa procedura può portare ad una pesante distorsione della metrica di costo delle soluzioni. In alcune istanze i vertici sono associati a punti del piano in cui sono specificate le coordinate, in questi casi il costo generico c ij relativo all'arco (i;j) A è definito come la distanza euclidea tra i due punti corrispondenti ai vertici i e j. 10

12 La matrice dei costi in questo caso è simmetrica, e soddisfa ance la disuguaglianza triangolare; il problema ce si propone è denominato Euclidean SCVRP. Ogni cliente i=1,..., n é associato ad una riciesta non negativa di merce d i (domanda del cliente), mentre il deposito a una domanda fittizia d o =0. Dato un insieme S V, d(s) rappresenta la riciesta complessiva dei clienti in: S : d( S) d s ss indicando con r un route, d(r) è la riciesta complessiva dei vertici visitati. Un insieme K di veicoli, uguali tra loro ed ognuno con capacità C, è disponibile nel deposito. Poniamo una condizione di ammissibilità d i C per ogni cliente i=1,..,n (condizione in cui la domanda del cliente deve essere minore o uguale alla capacità del veicolo assegnato). Ogni veicolo può percorrere un circuito e si assume ce K sia non minore di K min ce corrisponde al numero minimo di veicoli necessari per servire tutti i clienti. Il valore di K min si determina risolvendo il Bin Packing Problem (BPP) associato all'istanza di CVRP: il BPP riciede di inserire tutti gli oggetti nei contenitori in modo ce ciascun oggetto venga inserito in un contenitore; il peso (d i per i = 1,..., n) degli oggetti inseriti in ciascun contenitore non deve superare la capacità C di ogni contenitore con l'obiettivo di minimizzare il numero di contenitori utilizzati. Il BPP è un problema NP-ard, ma esistono algoritmi risolutivi efficienti ance per istanze con molti elementi. Se consideriamo un sottoinsieme S V e indiciamo con r(s) il numero minimo di veicoli necessari per servire tutti i vertici in S, una stima grossolana di r(s) può essere fornita dal lower bound [d(s)/c], essendo r (V \{0}) = K min. Introdotta la seguente variabile binaria utilizzata: x k ij 1 se ( i, j) A appartiene 0 altrimenti al route servito dal veicolo k, k K 11

13 Il problema può essere così formulato: k min c ij x (1.1) ij kk ( i, j) A con i seguenti vincoli: kk jv x 1 i V (1.2) k ij iv d i jv x k ij C k K (1.3) jv x 1 k K (1.4) k oj iv k k x x 0 V, k K (1.5) i jv j iv k x 1 k K (1.6) ( i, n1) x 0,1 i, j V (1.7) k ij La funzione obiettivo (1.1) diciara ce il costo totale di trasporto, dato dalla somma dei costi espressi sugli arci, dovranno essere minimizzati. Il vincolo (1.2) impone ce ogni cliente deve essere visitato esattamente una volta e deve essere assegnato ad un solo veicolo; il vincolo di capacità (1.3) diciara ce nessun veicolo può servire più clienti di quanto permetta la sua capacità. Il vincolo (1.4) impone ce il veicolo parta dal deposito; il vincolo (1.5) definisce ce il veicolo lasci il generico nodo, appartenente all'insieme V, solo se è entrato in tale nodo; il vincolo (1.6) impone ce il veicolo torni al fittizio nodo n+1 (ce può o non può coincidere con il deposito 0) questo ultimo è ripetitivo ma sottolinea la struttura dei percorsi; infine il vincolo (1.7) definisce la natura binaria della variabile 12

14 In letteratura sono state proposte e studiate molte varianti della versione semplice di CVRP vista; di seguito alcuni esempi: caso in cui il numero K di veicoli disponibili è maggiore a, in questa eccezione è consentito lasciare inattivi alcuni veicoli, in questo caso ad ogni mezzo viene associato un costo fisso, e il costo totale di trasporto viene valutato ance tenendo conto di questo aspetto; altro caso molto frequente considera la presenza di veicoli diversi tra loro, ognuno con una propria capacità con k =1,..., K e se riciesto con un proprio costo fisso; in altri casi possono essere vietati circuiti (percorsi) ce visitino un solo cliente. Il CVRP è un problema NP-ard, ce generalizza il primo problema di routing della storia: il problema del commesso viaggiatore, il cosiddetto Travelling Salesman Problem (TSP), dove è disponibile un solo veicolo (commesso) e deve servire un certo numero di clienti, ognuno una sola volta e deve partire dal deposito e tornare alla fine del viaggio. Per questo problema non si considera la capacità di carico del veicolo in quanto necessariamente il veicolo sarà sufficiente al trasporto di tutta la merce. Infatti un'istanza CVRP con un solo veicolo (K=1) e con capacità del veicolo in grado di soddisfare l'intera domanda di servizio, si riduce ad un'istanza di TSP. Il problema si può esplicitare come segue: dato un grafo, ce rappresenta una rete di strade, in cui i nodi rappresentano i clienti da visitare ed ad ogni arco ce congiunge i nodi è associato un costo, il problema consiste nel cercare la rotta più corta o più economica. Nel grafo è compreso un nodo ce rappresenta il deposito da dove si assume parta il veicolo e ce poi finito il percorso di distribuzione vi faccia rientro. Il TSP è puramente geografico percè sia i vincoli ce la funzione obiettivo da ottimizzare dipendo solo da una componente geografica. Ma ance se è semplice la descrizione del problema, trovare la risoluzione tenendo in considerazione tutti i vincoli citati è un problema di difficile risoluzione. 13

15 Di seguito, nella figura 1.2, la rappresentazione grafica del problema: Deposito D Cliente Figura (1.2):TSP Fonte: elaborazione personale Vincoli di lungezza dei route Una importante variante del CVRP è il DVRP Distance-Constrained VRP in cui si introducono dei vincoli sulle lungezze delle distanze percorse in ogni rotta o sui tempi massimi di percorrenza. In questo caso i vincoli di capacità di ogni percorso sono sostituiti da: vincoli di lungezza: una lungezza non negativa viene associata ad ogni arco (i,j), la lungezza totale degli arci ce sono compresi in una route non deve superare un valore massimo pari a T; vincoli di tempo massimo: se il parametro rappresenta il tempo di viaggio, ogni vertice i a assegnato un tempo di servizio s i ce rappresenta il tempo necessario al veicolo per compiere il proprio servizio dal cliente; in alcuni casi i tempi di servizio possono essere inclusi nei costi temporali degli arci, ponendo per ogni arco (i,j) dove è il costo temporale per la sola percorrenza dell' arco (i,j). Possiamo analizzare un seconda variante, il DCVRP- Distance-Constrained CVRP- dove ad ogni rotta si impone, oltre al vincolo di capacità di trasporto, i vincoli di lungezza o tempo di percorrenza massima. In genere le matrici dei costi e delle distanze coincidono, cioè vale l' uguaglianza per tutti gli arci (i,j) A. L' obiettivo del problema è minimizzare la lungezza totale dei circuiti oppure, se il tempo di servizio è incluso nei costi temporali degli arci, la loro durata. 14

16 1.2.3 Vincolo di tempo (time windows) Un' altra variante del problema è il VRP con Time Windows (finestre temporali) -VRPTW- in cui si estende il problema di base attraverso un vincolo aggiuntivo: i clienti devono essere serviti all'interno di un certo intervallo cronologico rappresentato dalle finestre temporali; tale problema tiene in considerazione l'aspetto temporale dei problemi di routing. Di questo particolare vincolo parleremo in modo più approfondito nei prossimi capitoli, ma per introdurre il problema definiamo le caratteristice principali e i concetti più importanti. Questi intervalli di tempo devono essere rispettati, vale a dire ce un veicolo deve visitare un cliente all'interno dell'intervallo di tempo prestabilito. Questo tipo di problema rende realistico il problema di base percé il cliente oltre a riciedere un servizio indica ance gli orari entro i quali deve essere soddisfatta la riciesta (esempio: orario di apertura del cliente, orari di accesso a Z.T.L.) Nello specifico ad ogni cliente i è associato un intervallo di tempo [e i, l i ] denominato time windows. Il servizio di ogni cliente deve iniziare in un istante s i contenuto nella finestra temporale; se arriva prima al vertice i del tempo stabilito il veicolo deve attendere il tempo e i prima di poter effettuare il servizio. Altro elemento del problema è la matrice dei tempi di viaggio, in cui l'elemento generico è pari al tempo di percorrenza dell'arco (i,j) A, inoltre definiamo l'istante di tempo nel quale i veicoli lasciano il deposito. In genere si definisce ce le matrici di costi e di tempi coincidano e si suppone ce tutti i veicoli partano dal deposito all'istante t = 0. Problema di solito rappresentato in modo asimmetrico percé i valori della finestra temporale inducono implicitamente un orientamento dei percorsi. Obiettivo del problema è quello di determinare K circuiti di costo minimo tali ce: ogni circuito visiti il deposito; ogni cliente sia visitato da solo un circuito; la somma delle ricieste dei clienti visitati da una route non ecceda la capacità u dei veicoli ce li serve; per ogni cliente i, il servizio deve avvenire all'interno del time windows [e i,l i ] e il veicolo deve rimanere occupato per un tempo pari a s i. La formulazione matematica di tale variante sarà esplicitata nel Capitolo 2. 15

17 1.2.4 Vincolo di precedenza (pickup and delivery) Un ulteriore versione del problema è il VRP con Pickup and Delivery (VRPPD) in cui viene esplicitato il vincolo di precedenza tra i clienti a causa della necessità di un certo tipo di servizio all'interno dello stesso viaggio. Ogni cliente è associato a due quantità non negative: d riciesta di merce; : quantità di merce da ritirare. i Per semplificare si può definire d i - i (eventualmente negativa). Per ogni vertice i sono introdotti altri due parametri e : ce è pari alla differenza netta di merce necessaria i: sono i vertici ce sono all'origine della domanda di consegna; i: sono i vertici di destinazione, in cui si consegna il materiale. La merce riciesta dal vertice i deve essere prima raccolta dal veicolo dal cliente i; allo stesso modo la merce ritirata presso il cliente i deve essere consegnata al cliente essere visitato successivamente. Per convenzione si definisce ce lo scarico della merce avvenga prima del caricamento. L'obiettivo è quello di determinare K route di costo minimo, tali ce: ce deve ogni circuito visiti il deposito; ogni cliente sia visitato da uno e un solo circuito; il carico del veicolo, in ogni punto della route, sia non negativa e non ecceda la capacità totale C; per ogni cliente i, il vertice i, se diverso dal deposito, venga visitato nello stesso circuito e prima della visita di i; per ogni cliente i, il vertice i, se diverso dal deposito, venga visitato nello stesso circuito e dopo della visita di i. Spesso l'origine i e la destinazione i sono comuni per tutti i vertici e non sono indicati esplicitamente (ad esempio coincidono con il deposito), in questo caso il problema è VRP con Pickup and Delivery simultaneo (VRPSPD). In letteratura esiste ance una variante di VRP ce tiene conto degli ultimi due vincoli analizzati VRP Pickup and Delivery Problem wit Time Windows (VRPPDTW) in cui i 16

18 veicoli durante il percorso (itinerari) consegnano e ritirano le merci all'interno di determinate finestre temporali. VRPPD e VRPSPD generalizzano entrambi il CVRP, e sono quindi NP-ard in senso stretto Vincolo con Backaul Il VRP con Backaul (VRPB) è un'estensione del CVRP in cui l'insieme dei clienti V\{0} è diviso in due sottoinsiemi, si coinvolgono sia i punti di ritiro ce di consegna della merce: il primo L, contiene n clienti Lineaul, ogni cliente a una specifica domanda di merce, sono clienti ce devono ricevere una quantità di merce; il secondo B, contiene m clienti Backaul, dai quali una certa quantità di prodotto deve essere ritirata. In questo caso, la rotta percorsa può servire prima tutti i punti di consegna di merci prelevate da un deposito (clienti Lineaul), e dopo tutti i punti di prelievo merci da trasportare al deposito (clienti Backaul). I vertici sono numerati in modo ce L={1,...,n} e B={n+1,...,n+m}. In questo caso è sottointeso un vincolo di precedenza tra i clienti in L e i clienti in B, se un percorso serve clienti di entrambi i tipi: tutti i clienti di L devono essere visitati prima di ciascuno di quelli in B, questo per evitare di riorganizzare i carici sul veicolo. Ad ogni vertice i è associato un paramento non negativo d i, ce rappresentante la riciesta di merce; al deposito è associato un valore fittizio d 0 =0. La quantità di merce da consegnare e da ritirare è fissa e nota a priori. Se la matrice dei costi è asimmetrica, il problema è detto VRP con Backaul asimmetrico (AVRPB). Esiste ance una variante ce comprende il vincolo di finestra temporale (time windows) denominato VRPBTW. 17

19 In questo problema si riciede di individuare un insieme di K circuiti semplici di costo minimo tali ce: ogni circuito visiti il deposito; ogni vertice sia visitato da uno e un solo circuito; in ogni circuito, tutti i clienti lineaul vengano visitati prima di eventuali clienti backaul; le ricieste totali dei clienti in L e di quelli in B non superino, separatamente, la capacità C del veicolo. Distanza totale percorsa dai veicoli sia minimizzato. In genere circuiti con solo clienti backaul non sono ammessi. Denotati con K L e K B il minimo numero di veicoli necessari a servire tutti i clienti in L e tutti quelli in B, rispettivamente, si deve assumere per l'ammissibilità di un'istanza ce K max{k L, K B }. K L e K B possono essere ricavati risolvendo l'istanza di Bin Packing Problem associata ai rispettivi sottoinsiemi di vertici. VRPB e AVRPB generalizzano rispettivamente SCVRP e ACVRP quando B=Ø, e sono quindi problemi NP-ard in senso stretto. Graficamente, di seguito nella figura (1.3) viene descritto il VRBP: Deposito D Cliente Lineau l Cliente Backaul Figura (1.3):VRPB Fonte: elaborazione personale 18

20 Per riassumere quanto esposto in questo capitolo, di seguito la figura (1.4) dove descriviamo le correlazioni tra le principali classi di problemi, a partire dal caso base il CVRP, ce si differenziano per i vincoli imposti. VRPB Backauling CVRP VRPTW Time Windows Distance Mixed Service DCVRP VRPPD VRPBTW VRPPDTW Figura (1.4): La classificazione dei problemi di Veicle Routing Fonte: TOHT, P., VIGO, D., Te Veicle Routing Problem. SIAM Nella figura (1.4) sono state inserite sono solo alcune possibili estensioni del VRP, quelle maggiormente studiate e note. Nel seguito di questo lavoro focalizzeremo l'attenzione sul problema di routing di veicoli con finestre temporali, cioè la variante del VRP più importante, definiremo un modello matematico ed analizzeremo i principali approcci a tale problema di ottimizzazione combinatoria. 19

21 Capitolo 2 - VRPTW: Veicle Routing Problem wit Time Windows Riprendendo i concetti di base del Veicle Routing Problem wit Time Windows (VRPTW) illustrati nel Capitolo 1 e partendo dall'articolo base di questa tesi: Hascimoto H., Yagiura M., Imaori S. e Ibaraki T. (2010) Recent progress of local searc in andling te time window of te veicle routing problem, andremo ad approfondire tale problema, orientando l'analisi e l'approfondimento delle tematice discusse all'interno dell'articolo. 2.1 VRPTW Ma partiamo dai concetti principali del VRPTW: Tra le tante varianti del VRP (illustrate nel primo capitolo) il VRPTW è la variante più comune e più studiata, infatti tale tipologia di problema è un' importante generalizzazione del VRP classico, tale problema include, oltre a tutti i vincoli definiti per il problema base, ance un vincolo temporale per cui a una maggiore complessità rispetto al VRP. Il VRPTW è molto studiato nel campo della ricerca operativa percè è uno dei problemi di ottimizzazione combinatoria più difficili, e come già accennato, questo problema è rilevante per il progresso nella gestione del modello di base di routing. Il VRPTW coinvolge un certo numero di veicoli ce, partendo da un deposito, devono servire un certo numero di clienti in determinate finestre temporali situati in posti geografici differenti. La finestra temporale (time windows) è un intervallo di tempo specifico all'interno del quale il veicolo deve iniziare e quindi fornire il servizio a ciascun cliente; il lasso di tempo è definito dal cliente stesso, in questa caso i clienti riciedono dei tempi di consegna, vale a dire il momento della giornata in cui le consegne devono avvenire. Come abbiamo già anticipato, a ogni veicolo deve essere assegnato a un circuito (rotta), progettato in modo tale ce ciascun cliente venga servito da un solo veicolo e una sola volta all'interno del percorso e all'interno della finestra temporale specifica. 20

22 Ogni veicolo deve iniziare il proprio percorso da una posizione specifica (il deposito) e al termine del proprio servizio deve tornare al deposito. Ciascun cliente a una specifica domanda ma le ricieste totali di tutti i clienti all'interno di una determinata rotta non devono superare la capacità del veicolo, per cui ogni veicolo non può servire più clienti rispetto alla sua capacità di carico. L'introduzione del vincolo temporale al problema di VRP di base rende più difficile la costruzione ed il mantenimento di un insieme realizzabile di rotte, ma permette la specificazione di funzioni obiettivo più realistice, rispetto alla semplice minimizzazione della distanza totale percorsa sostenuta dalla flotta di veicoli, in modo ce siano rispettati i vincoli di capacità, infatti gli obiettivi del VRPTW sono quelli di minimizzare: il costo complessivo del viaggio; il numero di veicoli utilizzati; la durata totale del percorso. In questa variante con la presenza di finestre temporali, i costi totali ce si devono considerare comprendono i costi fissi di utilizzo del veicolo ma ance i costi variabili, come ad esempio quelli di tempo necessario per gli spostamenti e i tempi di attesa sostenuti quando un veicolo arriva troppo presto dal cliente o quando il veicolo viene caricato o scaricato. Tale problema aggiunge specifice condizioni realistice al VRP, difatti a una vasta gamma di applicazioni nel mondo reale, è un importante problema ce si verifica in molti sistemi di distribuzione con la conseguenza ce la risoluzione del problema contribuisce direttamente alla riduzione dei costi totali nelle attività imprenditoriali (ad esempio nell' area logistica o nella gestione della distribuzione). Di seguito alcuni principali esempi ce evidenziano come il VRPTW si riscontri nelle maggior parte delle attività quotidiane della vita reale, come i servizi di: consegna alle bance (Lambert et al. (1993)), in questo caso la maggior parte delle bance devono inviare dei veicoli in modo regolare alle proprie succursali al fine di raccogliere denaro depositato dai clienti o fornire denaro a filiali o bancomat. Il 21

23 problema è definito come un problema di VRP con l'aggiunta di condizioni specifice del contesto bancario, come ad esempio sanzioni degli interessi persi; scuolabus (Braca et al.(1994)), l'analisi del problema a origine dall'obiettivo di trovare un sistema computerizzato per pianificare il servizio di trasporto per una flotta di autobus scolastici in tutti i distretti di New York, città ce a uno dei sistemi scolastici più estesi al mondo. L'obiettivo, come per tutti i problemi di VRP, è quello di minimizzare il numero di scuolabus necessari a servire la città riducendo così al minimo il costo totale di esercizi; tenendo presente ce oltre al vincolo di capacità (un autobus può contenere solo un numero limitato di studenti in una sola volta) devono ance essere soddisfatti i vincoli temporali, ogni studente non deve viaggiare sul bus per più di un ammontare specifico di tempo, in quanto uno studente è più sicuro quanto meno tempo passa all'interno dello scuolabus. Inoltre è presente una finestra temporale definita di acceso alla scuola, e per questo l'autobus deve svolgere il servizio rispettando gli orari di inizio e fine delle attività scolastice; consegne postali (Mecti et al. (2001)), questo problema si occupa del servizio postale giornaliero presso i clienti sparsi all'interno di una specifica zona urbana, la trattazione di Mecti et al.(2001) a l'obiettivo di progettare una serie di percorsi di costo minimo, ce anno origine e ce terminano in un deposito centrale, per una flotta di veicoli identici ce devono erogare il servizio postale al clienti; raccolta di rifiuti industriali (Golden et al. (2001)), in questo specifico esempio, si analizza la gestione dei rifiuti solidi industriali, infatti molte aziende di rifiuti solidi devono riuscire a erogare il servizio di raccolta rifiuti ottimizzando tempo e numero dei veicoli coinvolti, considerando ance la compattezza del percorso e il bilanciamento del carico per soddisfare le esigenze dei clienti. Inoltre nell'industria della raccolta dei rifiuti, ci sono tre aree principali: la raccolta dei rifiuti commerciale, la raccolta dei rifiuti residenziali e roll-on-roll-off (raccolta ce viene attuata quando sono coinvolti grandi rimorci, per cui bisogna spostare volumi consistenti da cantieri, aree del centro ad un impianto di smaltimento). Oltre ai vincoli del problema VRPTW bisogna, in questo caso considerare le operazioni di smaltimento e gli orari di lavoro (turni e pausa pranzo) dei conducenti. Quando un veicolo è pieno, è necessario passare ad uno degli impianti di smaltimento (discarica o stazione di trasferimento). Si deve quindi tener conto ance di variabili specifice come: la gestione di diverse tipologie 22

24 di rifiuti, le dimensioni delle confezioni di rifiuti, la disposizione in più punti nel territorio delle sedi di smaltimento e le esigenze dei clienti diverse e variabili; consegna di gas industriali (Campbell et al. (2001)), in questa trattazione si è analizzato il problema della gestione e distribuzione del rifornimento di gas industriali da una grande azienda ai singoli clienti. In questo caso il fornitore gestisce il rifornimento delle scorte dei propri clienti, lo stesso determina quando e in quali quantità il cliente dovrà ricevere la fornitura di gas attraverso il monitoraggio, con tecnologie ad oc, a distanza dei livelli delle scorte. I venditori così risparmiano sui costi di distribuzione grazie alla possibilità di coordinare meglio le consegne ai diversi clienti e quest'ultimi non devono dedicare delle risorse per gestire le scorte, questi tipi di problemi sono noti come Inventory Routing Problems (IRP). L'obiettivo è quello di minimizzare il costo totale di distribuzione del prodotto, ma non causando rotture di stock, il cliente non dovrà mai essere sprovvisto del prodotto. In questa analisi si combina la gestione delle scorte presso i clienti con la progettazione delle rotte. Inoltre, nella realtà, i vincoli di tempo e capacità possono, in una certa misura, essere violati. Per cui per quanto riguarda il vincolo temporale, esistono due principali varianti del problema: la prima è la variante in cui le finestre temporali sono ard, in questo caso il vincolo temporale deve essere soddisfatto e rispettato rigidamente, il veicolo può arrivare in anticipo da un cliente ma in tal caso per poterlo servire deve aspettare l'inizio della relativa finestra temporale e comunque non può arrivare dal cliente dopo il termine dell'intervallo di tempo predefinito; la consegna dei beni al cliente non è possibile al di fuori della finestra temprale specificata. Variante definita Veicle Routing Problem wit Hard Time Windows (VRPHTW). nella seconda variante le finestre temporali sono soft, nel senso ce il vincolo di tempo può essere violato al costo dell'introduzione di una penalizzazione all'interno della funzione obiettivo; la consegna è possibile al di fuori del lasso temporale definito dal cliente ma sono previste delle sanzioni. Tale variante è definita Veicle Routing Problem wit Soft Time Windows (VRPSTW). Soprattutto negli ultimi anni, questa 23

25 variante è stata studiata da molti ricercatori come analizzeremo nel prossimo paragrafo. Come definito all'interno della trattazione di Hasimoto et al.(2010), la soluzione al VRPTW è composta da due fasi: routing: si stabiliscono i percorsi dei veicoli per servire tutti i clienti (instradamento dei veicoli, veicles routing); sceduling: in questa fase si definiscono i turni di ogni veicolo, pianificando il tempo di ogni mezzo lungo il suo percorso, avendo come informazioni note la domanda, i luogi e tempi di inizio e di fine del servizio (turnazione dei mezzi, veicles sceduling). Sebbene il calcolo della parte di routing (ad esempio, la distanza e la violazione dei vincoli di capacità) può essere fatto in modo efficiente, la parte di sceduling (ad esempio, la violazione del vincolo della finestra temporale) diventa spesso un collo di bottiglia per un algoritmo, poicé comporta la determinazione dei tempi. Per non avere questo tipo di limite, ci concentreremo sulla parte di sceduling lungo ogni rotta. Infatti ponendo l'attenzione più specifica alla parte di sceduling, si definisce il problema di determinare un'ottima scedulazione dei veicoli in ogni rotta per soddisfare il cliente, Optimal Time Sceduling Problem (abbreviato OTSP), per cui si ottimizza la turnazione dei veicoli per soddisfare la domanda dei clienti. Un tema legato al OTSP è il macine sceduling problems wit time windows si considera la programmazione dei maccinari con il vincolo temporale, per cui si considera il problema di scedulare i maccinari in modo ce rispettino le finestre temporali. Il problema di programmazione della maccina è uno dei problemi classici di ottimizzazione combinatoria. Tali problemi sono strettamente correlati alla VRPTW, in cui un cliente corrisponde a un posto di lavoro e ogni lavoro a un tempo di elaborazione, un tempo di rilascio e una data di scadenza. Ogni attività deve essere elaborata dopo il suo tempo di rilascio e prima della data di scadenza. In questi tipi di problemi il vincolo temporale (vale a dire, tempo di rilascio e/o la data di scadenza) a volte può essere violato, e viene considerata la pena per tale violazione. 24

26 Un'impostazione comune è ce il vincolo di tempo è ard per i tempi di rilascio, ma è soft per le date di scadenza, in tal caso, i programmi vengono valutati da un valore oggettivo in relazione alle date di scadenza, come ad esempio il ritardo totale, ritardo massimo e il tempo totale di anticipo nel attività. 2.2 Modello Matematico del VRPTW Descriviamo ora un modello matematico di programmazione lineare intera per il VRPTW. Il VRPTW è definito da un grafo completo orientato, G = (V, E) dove: V = {1,2,...,n} è l'insieme dei vertici (nodi); E = {(i;j) i,j V, i j } definisce l'insieme degli arci del grafo il quale rappresenta la connessione tra deposito e clienti e tra clienti; M = {1,2,...,m} è l'insieme dei veicoli, ed ogni veicolo a una identica capacità u. Il deposito è rappresentato da 0 in cui partono tutti i veicoli con il carico da consegnare e quello a cui tornano una volta percorsa la relativa rotta. Tutti gli altri vertici rappresentano i clienti i. Ad ogni cliente i ed ad ogni arco (i,j) E della rete vengono associati: la quantità di beni da consegnare al cliente i, è fissa e predeterminata a i ( 0) la domanda dei clienti è nota; una finestra temporale [e i, l i ] ce rappresenta l'intervallo temporale all'interno del quale deve iniziare il servizio al cliente i da parte del veicolo della flotta; un costo di trasporto ( 0) da i a j; un tempo di percorrenza dell'arco ( 0), cioè il tempo di viaggio da i a j. Il tempo di servizio, cioè il tempo in cui il veicolo staziona dal cliente per erogare il servizio per poi passare al cliente successivo, in questo caso è incluso all'interno del tempo di viaggio Il deposito a una finestra temporale [, ], detta ance sceduling orizon. 25

27 Poicé il tempo del servizio è calcolato all'interno del tempo di viaggio non a effetti sui costi, si può supporre senza perdita di generalità ce = =0, cioè ce tutte le rotte partano dal tempo 0 e si assume inoltre ce in deposito il veicolo a quantità di carico pari a 0, =0. Indiciamo con il percorso (rotta/circuito) del veicolo k, dove () indica il cliente è all'interno del percorso. Per cui il percorso σ è dato da: =(,,..., ) comprende tutti i percorsi di tutti i veicoli in gioco all'interno del grafo. Per cui ogni rotta a un numero di cliente definito ce indiciamo con. Per costruire il modello matematico introduciamo: la variabile binaria: (σ) {0,1}, per i V \ {0} e k M, (σ) è pari a 1 se e solo se il veicolo k visita il cliente i, 0 altrimenti; Lo scopo del modello VRPTW è quello di definire un insieme di rotte di costo minimo, una per ogni veicolo, in modo tale ce: ogni cliente i sia servito esattamente una volta dal veicolo k; ogni cliente i è incluso esattamente una volta nel percorso ; ogni rotta abbia origine nel vertice 0 il deposito per cui (0)=0 e (. +1)=0 vale per tutti i veicoli k questo significa ce ogni veicolo k M parte dal deposito, svolge il servizio definito presso i clienti e poi ritorna al deposito; vengano osservati i vincoli: temporali: nel senso ce devono essere soddisfatte le preferenze dei clienti per quanto riguarda il momento della giornata in cui vogliono essere serviti; di capacità: la domanda totale dei clienti della specifica rotta non può essere maggiore alla capacità del veicolo ce deve percorrerla. Il costo di viaggio del percorso del veicolo k è espresso come: d n ( k k ) c( k,( ), k ( 1)) 0 la somma di tutti i costi sostenuti dal veicolo k per visitare tutta la quantità di clienti all'interno del percorso partendo dal deposito per poi al termine del servizio farvi ritorno. 26

28 Definiamo poi: ce indica l'inizio del servizio al cliente i dal veicolo assegnato; il momento di arrivo del veicolo k al deposito al termine del percorso predefinito. Il problema, nella forma classica, può essere formulato come segue min d( k ) (2.1) km con i seguenti vincoli: km y ( ) 1 (2.2) ik iv o a y i ik ( ) u (2.3) (2.4), (2.5) (2.6) (2.7) (2.8) 27

29 La funzione obiettivo (2.1) diciara ce i costi totali di routing del veicolo k dovranno essere minimizzati. I vincoli: (2.2) è il vincolo definito di assegnazione, per cui ogni cliente i \{0}deve essere visitato esattamente una volta e deve essere assegnato ad un veicolo, per cui la consegna non può essere frazionata tra più veicoli; (2.3) è un vincolo di capacità, esplicita ce nessun veicolo deve essere caricato più di quanto sia permesso dalla sua capacità u; I tre vincoli (2.4), (2.5) e (2.6) successivi sono vincoli di flusso: (2.4) questo vincolo si assicura ce ogni veicolo parta dal deposito (cioè dal vertice 0) (2.5) definisce ce il veicolo lasci il cliente i solo se a visitato tale nodo cioè il veicolo dopo aver raggiunto un cliente deve ripartire nuovamente, il veicolo k non può servire il cliente se prima non è arrivato in tale nodo; (2.6) con questo vincolo si definisce ce il veicolo deve tornare alla fine del percorso al deposito, questo ultimo vincolo di flusso è ridondante ma esso è mantenuto nel modello per mettere in evidenza la struttura di rete; (2.7) tale vincolo è specifico della variante VRPTW, è il vincolo temporale per ogni cliente, tale vincolo impone ce ogni finestra temporale sia rispettata e quindi soddisfatta; (2.8) questo ultimo è il vincolo di interezza della variabile decisionale y. Si noti ce le variabili decisionali essenziali in questo formulazione sono i percorsi del veicolo k, poicé i valori di (σ) sono determinati automaticamente da σ, e quando σ è fisso, è facile o trovare valori appropriati per (inizio del servizio al cliente) e (momento di arrivo al deposito) o si conclude ce non è possibile trovare un pianificazione fattibile per la rotta σ. Il numero di veicoli m può ance essere una variabile di decisione, in questo caso l' obiettivo espresso è quello di trovare una soluzione, minimizzando il numero di veicoli e il costo totale delle spese di viaggio in ordine lessicografico, cioè, una soluzione è migliore di un altra se: 1. se il numero dei veicolo è minore o; 2. se i numero del veicolo sono gli stessi ma il costo è minore. 28

30 Omettendo i vincoli specifici della variante di VRP con finestra temporale il modello proposto rappresenta un CVRP classico, questo può essere ottenuto definendo un'istanza caratterizzata dai parametri =0 e =+ per ogni vertice (cliente) i=1,..., n, quello ce ne risulta è un problema generalizzato da VRPTW problema quindi NP-ard in senso stretto. Eliminando invece il vincolo di assegnazione (2.2) il problema diventa un Elementary Sortest Pat Problem wit Time Windows and Capacity Constraints (ESPPTWCC) per ogni veicolo, il problema in questo caso a l'obiettivo di trovare il percorso più corto ce parta dal deposito e termini nello stesso, tenendo presenti e quindi rispettando i vincoli temporali e di capacità, con l'obbligo del veicolo di visitare i clienti sulla rotta al massimo una volta. Dato ce abbiamo assunto ce la flotta di veicoli sia omogenea, i veicolo sono identici tra loro e quindi ance tutti i problemi ESPPTWCC ce si ottengono rimuovendo il vincolo di assegnazione. Oltre ad eliminare il vincolo di assegnazione (2.2) se elimino: il vincolo temporale ottengo un problema denominato ESPPCC in cui resta da rispettare il vincoli di capacità; il vincolo di capacità (2.3) ottengo ESPPTW; entrambi i vincoli temporale e di capacità il problema sarà denominato ESPP. Si può definire ance un rilassamento di ESPPTWCC, il SPPTWCC, il problema in questo caso deve trovare il percorso più corto ce soddisfi sia il vincolo di capacità ce i vincoli di tempo, ma in questo caso non si deve rispettare il vincolo ce il cliente debba essere visitato una sola volta, in questa variante il cliente può essere servito più di una volta. In questo caso se eliminiamo il vincolo (2.2) e: il vincolo temporale abbiamo: SPPCC; il vincolo di capacità troviamo SPPTW; entrambi siamo temporale e di capacità nel caso di SPP. 29