Primissime nozioni di Geometria Differenziale A. Sambusetti

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1 Primissime nozioni di Geometria Differenziale A. Sambusetti Notazioni - Richiami. un intorno di P 0 = (x 0 n,, x 0 n) in R n è un sottoinsieme aperto U P0 contenente un prodotto di intervalli aperti (x 0 1 ɛ 1, x ɛ 1) (x 0 n ɛ 1, x 0 n + ɛ 1); se S R n, un intorno di P 0 in S è l intersezione U S P 0 := U P0 S di un intorno U P0 di P 0 in R n con S; un dominio è un sottoinsieme D R n aperto e connesso: cioè, per ogni punto P D esiste un intorno U P di P contenuto in D (cioè D è aperto) e per ogni coppia di punti P, Q D esiste α : [0, 1] D continua tale che α(0) = P, α(1) = Q (cioè D è connesso); un applicazione F = (F i ) : D R d R n è continua in P 0 : SES le sue componenti F i sono funzioni continue in P 0, SES per ogni successione P n S tale che P n P 0, si ha F (P n) F (P 0 ); (assicurarsi di sapere cosa significa che lim n P n = P in R n!) il differenziale di F = (F i ) : D R d R n (di classe almeno C 1 ) nel punto P 0 è l applicazione lineare (df ) P0 : R d R n data dalla moltiplicazione per la matrice ( F i x i P0 ) delle derivate prime di F in P 0. Questa applicazione ha la proprietà di essere l applicazione lineare che meglio approssima F vicino a P 0, nel senso che è l unica che verifica: F (P ) = F (P 0 ) + (df ) P0 ( P 0 P ) + o( P 0 P ) (o(f) indica una funzione che va a zero più rapidamente di f(p ), per P P 0 ). il differenziale verifica la regola di composizione: se Q = F (P ) allora (d G F ) P = (dg) Q (df ) P (cioè la matrice corrispondente al differenziale di G F è il prodotto delle matrici che rappresentano dg e df, calcolate negli opportuni punti). In particolare, se β(t) = F (α(t)) è composizione di α : R R n con F : R n R m, la formula di composizione dà: β (t) = (df ) α(t) (α (t)). 1

2 1 Sottovarietà di R n Definizioni 1.1 (Parametrizzazioni) i. una parametrizzazione (di classe C k, con k 1 almeno) è un applicazione F = (F i ) : D R d R n, dove D è un dominio; ii. una parametrizzazione regolare (p.r.) in P è una parametrizzazione in cui il rango (df ) P è massimo; la parametrizzazione si dice regolare se è regolare in ogni punto; iii. un immersione è una p.r. iniettiva (con d n!); 1 iv. una parametrizzazione grafico rispetto alle variabili (x 1,...x d ) è una p.r. F : D R d F (D) R n della forma F (x 1,..., x d ) = (x 1,..., x d, f 1 (x 1,..., x d ),..., f n d (x 1,..., x d )); (analoga definizione rispetto a qualsiasi d-upla di variabili x i1,..., x id ) Definizioni 1.2 (Sottovarietà parametrizzate di R n ) L immagine S = Im(F ) R n di una parametrizzazione F (di classe C k, k 1) 2 dei tipi sopra descritti si dice, nei rispettivi casi: i. una sottovarietà parametrizzata di dimensione d (di classe C k ) di R n, o anche, per brevità, una d-sottovarietà parametrizzata; ii. una d-sottovarietà (parametrizzata) regolare; iii. una d-sottovarietà (parametrizzata) immersa; iv. una d-sottovarietà grafico (o semplicemente un grafico). Per d = 1, 2 ed n 1 si usano rispettivamente i termini: curva, superficie e ipersuperficie (parametrizzata) regolare, immersa, grafico di R n. C è una nozione altrettanto importante, che è quella di embedding (e, corrispondentemente, di sottovarietà embedded). Non ne parleremo qui, ma ne riparleremo il prossimo anno quando approfondiremo il concetto di continuità e studieremo il concetto di omeomorfismo. Esercizio 1.3 (i) Inventarsi parametrizzazioni F : R R 2 che abbiano per immagine le figure che seguono, in modo che F sia periodica nei primi due casi. (a) non regolare (b) regolare, non immersione (c) immersione, non grafico (ii) Verificare che sono esempi di: (a) una parametrizzazione non regolare; (b) una parametrizzazione regolare che non è un immersione; (c) un immersione che non è un grafico. 1 Attenzione: in letteratura per immersion si intende spesso solo una p.r. con d n; noi per chiarezza restringiamo il termine immersione a p.r. con d n che siano anche iniettive. 2 Si suppone sempre che le parametrizzazioni siano almeno C 1 ; infatti, come mostra l esempio della curva di Peano, che riempie un quadrato, per parametrizzazioni di regolarità inferiore l immagine può essere un sottoinsieme di R n estremamente selvaggio, che non corrisponde affatto, nemmeno localmente, all idea intuitiva di curva/superficie o di insieme d-dimensionale. 2

3 Esercizio 1.4 Qualcosina sulle curve Sia α : I R n una curva parametrizzata (di classe C k con con k opportuno). Il vettore velocità di α in s è il vettore α (s) = (x 1(s),, x n(s)); la velocità (scalare) e versore tangente di α in s sono rispettivamente definiti come v(s) = α (s) e T (s) = α (s)/v(s). La retta t s passante per α(s) e direzione T (s) è detta retta tangente ad α in s. Il vettore accelerazione di α in s è il vettore α (s), e l accelerazione (scalare) è a(s) = α (s). Il versore normale di α in s è invece ottenuto derivando T (s) e normalizzando: N(s) = T (s)/ T (s) ; il valore k(s) = T (s) /v(s) è detto curvatura di α in s. Il piano affine π s passante per α(s) e di giacitura T (s), N(s) è detto piano osculatore di α in s. Il numero ρ(s) = 1/k(s) ed il punto c(s) = α(s) + 1 k(s) N(s) sono detti rispettivamente il raggio di curvatura e il centro di curvatura di α in s; il cerchio C s che giace sul piano osculatore π s, di centro c(s) e raggio ρ(s) è detto cerchio osculatore di α in s. Si noti che: il vettore velocità e il versore tangente esistono se la curva è almeno C 1 ; il vettore accelerazione esiste se la curva è almeno C 2 ; mentre il versore normale, il piano e il cerchio osculatore esistono in s se la curva è C 2 e k(s) 0; la curvatura k(s) è pari a T (s) se la curva è parametrizzata con v(s) = 1; il vettore accelerazione e il versore normale non hanno in genere la stessa direzione; difatti, le proiezioni ortogonali di α (s) lungo T (s) ed N(s) si chiamano rispettivamente vettore accelerazione tangenziale e vettore accelerazione normale): portare degli esempi. Mostrare che: (i) la retta tangente ad α in s 0 è la retta che meglio approssima α per s s 0, nel senso che si ha d(α(s), t s0 ) = o(s s 0 ) per s s 0 ; invece, per ogni altra retta r(s) passante per α(s 0 ) per s = s 0 si ha lim s s0 d(α(s), r)/(s s 0 ) = c 0; (ii) N(s), se esiste, è un vettore ortogonale a T (s); Suggerimento: usare che T (s) 2 = α (s) α (s) = 1 per ogni s. (iii) la curva α s0 (s) che è l approssimazione di Taylor al secondo ordine di α in s = s 0 è piana e contenuta nel piano osculatore; (iv) la curvatura può calcolarsi tramite la formula k(s) = (α α ) α 3 ; (v) se α è piana, N punta sempre verso la concavità della curva α, cioè: detto π + s 0 è il semipiano tagliato da t s0 che contiene il punto α(s 0 )+N(s 0 ), esiste ɛ > 0 tale che la curva α(s) è contenuta nel semipiano π + s 0 per s s 0 < ɛ; (vi) se α è piana e k(s 0 ) 0, il cerchio osculatore C s0 è il limite del cerchio passante per 3 punti P, Q, R Im(α) quando P, Q, R α(s 0 ). Suggerimento: mostrare che centro e raggio del cerchio passante per P, Q, R tendono a c(s), ρ(s) per P, Q, R α(s 0 ). Esercizio 1.5 Flessi di curve piane parametrizzate Sia α : I R 2 una curva piana regolare, sia s 0 I. Si dice che α(s 0 ) è un punto di flesso se α attraversa la retta tangente t s0 per s s 0. La formulazione matematica precisa di questa condizione è: detto n un vettore non nullo normale a α (s 0 ), per ogni ɛ > 0 esistono ɛ < δ < 0 < δ + < ɛ tali che ( ) ( ) α(s 0)α(s 0 + δ ) n α(s 0)α(s 0 + δ +) n < 0. Mostrare che: (i) se α(s 0 ) è un punto di flesso, allora k(s 0 ) = 0; (ii) se k(s 0 ) = 0, α(s 0 ) non è necessariamente un flesso (controesempio?). 3

4 Esercizio 1.6 Studio di una curva piana parametrizzata Studiare la cicloide α(t) = (x(t), y(t)) = (t sin t, 1 cos t), t R. In particolare, studiare: (i) periodicità delle componenti, e possibile riduzione dello studio di α ad un intervallo più piccolo; (ii) la tabella delle variazioni di x(t), y(t); (iii) il vettore tangente in punti particolari di α, ed il limite del versore tangente nei punti non regolari; (iv) la curvatura, i punti di flesso ed i cambi di convessità. Disegnare l andamento di α tenendo conto delle informazioni precedenti. Eseguire lo stesso studio per le curve: a) α(t) = (sin t, sin 2t) ( papillon ); b) β(t) = (cos 3 t, sin 3 t) ( asteroide ); c) γ(t) = (sin t, cos 2 t 2 cos t ). Dopo tutti questi sforzi, ci accorgiamo con disappunto che: Esercizio 1.7 La sfera S 2 è parametrizzabile, ma... (i) nessuna parametrizzazione naturale della sfera è definita o regolare ovunque (verificare con quelle che si conoscono); (ii) trovare una parametrizzazione regolare di (tutta) S 2 è un po complicato: provarci. Suggerimento: il nome può aiutare, è nota come il bendaggio dell infermiera... (iii) Addirittura, la sfera non è una superficie parametrizzata immersa. Nota: questa cosa non è facile da dimostrare. Bisogna utilizzare il teorema inverso del Dini (v. 2) per mostrare che l inversa di un immersione F : D R 2 R 3 con immagine tutta S 2 avrebbe necessariamente inversa F 1 continua; e ciò è impossibile perché S 2 è compatta, mentre nessun dominio D di R 2 lo è). Se uno degli oggetti più semplici che vorremmo studiare (la sfera!) non è una buona sottovarietà parametrizzata, vuol dire che dobbiamo considerare una definizione più duttile. Per questo nasce l idea di sottovarietà indipendente dalla scelta di una particolare parametrizzazione: Definizioni 1.8 (Sottovarietà differenziabili non parametrizzate di R n ) Un sottoinsieme S R n è una (C k -) sottovarietà differenziabile di R n di dimensione d se P S esiste un intorno Up S in S che è una d-sottovarietà grafico (C k ). Una sottovarietà differenziabile S non ammette quindi necessariamente un unica parametrizzazione globale, bensì una collezione di parametrizzazioni-grafico, le cui immagini la ricoprono completamente. Ogni parametrizzazione grafico F i : V i R d U i = F (V i ) S con P 0 U i si dice una carta di S intorno a P 0 ; per ogni P U i, le coordinate di F 1 i (P ) in R d si dicono le coordinate locali di P in tale carta Un insieme di carte le cui immagini coprono completamente S, i.e. i U i = S, si dice un atlante per S. Se d = 1, 2, n 1, S si dirà una curva/superficie/ ipersuperficie differenziabile. Il termine sottovarietà differenziabile risulterà chiaro in un corso più avanzato di Geometria Differenziale. E comunque, tenete a mente che questa non è la più generale definizione di superficie e di varietà: più in là (nel prossimo corso di Geometria) introdurremo la nozione di varietà differenziabile astratta, cioè non contenuta in R n. 4

5 Esempio 1.9 (i) Le curve (b) e (c) dell Es. 1.3 non sono 1-sottovarietà differenziabili (nemmeno la curva (a), ma questo è meno facile vederlo). (ii) La curva (d) qui sotto, detta spirale logaritmica è una 1-sottovarietà differenziabili perché è una 1-sottovarietà-grafico intorno ad ogni suo punto; ma non è una sottovarietà-grafico! Trovarne un atlante e dimostrare questo fatto. (iii) La sfera è una 2-sottovarietà differenziabile, ma non una sottovarietà grafico. Idem per l iperboloide iperbolico. (d) 1-sottovarietà, non grafico (e) 2-sottovarietà, non grafico Esercizio 1.10 Si considerino le seguenti quadriche reali di R 3 : E a,b,c : x2 a + y2 2 b + z2 2 c = 1 I ip 2 a,b,c : x2 a + y2 2 b z2 2 c = 1 I ell 2 a,b,c : x2 a y2 2 b z2 2 P ip a,b : z = x2 a 2 Cil ell a,b : x2 a 2 π a,b : x2 a 2 y2 b 2 P ell a,b : z = x2 a 2 + y2 b 2 + y2 b = 1 Cil ip 2 a,b : x2 a y2 2 b = 1 C 2 a,b,c : x2 a 2 y2 b = 0 π 2 a : x2 a = 1 π : x 2 = 0 2 c 2 = 1 + y2 b z2 2 c = 0 2 Darne parametrizzazioni, e dire dove tali parametrizzazioni sono regolari, o immersioni, o grafici. Quali di esse sono sottovarietà differenziabili di R n? Definizione 1.11 (Equazioni Cartesiane) Una famiglia di equazioni cartesiane (C k ) per un insieme S R n è un applicazione G = (G i ) : D R n R m (di classe C k ) con n m, tale che S sia l insieme dei punti che soddisfano il sistema G 1 (P ) =... = G m (P ) = 0, i.e. S = G 1 (0). Definizioni 1.12 (Superfici rigate e di rotazione) (i) Un sottoinsieme S R n è rigato se S = P B r P, dove r P è una retta passante per P ; l insieme B si dice base o direttrice della rigata, le rette r P sono dette generatrici. Nel caso in cui le rette r P passino tutte per un medesimo punto V, l insieme rigato si dice un cono di vertice V ; nel caso in cui le rette r P abbiano tutte la stessa direzione v, l insieme si dice un cilindro di asse v. (ii) Un sottoinsieme S R 3 è di rotazione se esiste una retta r dello spazio tale che per ogni piano π ortogonale a r la sezione S π è un unione di circonferenze centrate in r π (dette i paralleli di S), oppure l insieme vuoto; equivalentemente, S è un insieme di rotazione se Simm(S) contiene tutte le rotazioni R r,ϑ di asse r e angolo ϑ R. Una superficie parametrizzata rigata è un sottoinsieme S R n che ammette una parametrizzazione rigata, cioè una parametrizzazione F della forma particolare F (s, t) = α(s) + tv(s) dove α, v sono due curve parametrizzate e v(s) non è mai nullo (nota: se α(s) è costante si ottiene un cono, se v(s) è costante si ottiene un cilindro); ed una superficie parametrizzata di rotazione è un sottoinsieme S R n che ammette una parametrizzazione di rotazione, cioè F : U = I R R n tale che F (s R) sia un parallelo per ogni s. 5

6 Esercizio 1.13 Sia C(B, V ) il cono di vertice V = (0, 0, 1) e base l insieme B di equazione y = x 3 nel piano z = 0. Si consideri inoltre la retta r : x = z 1 = 0, e si ponga C(B, V ) = C(B, V ) r. (i) Determinare una parametrizzazione rigata per C(B, V ); la parametrizzazione trovata è regolare? (ii) Trovare un equazione cartesiana per l insieme C(B, V ); esiste un equazione cartesiana solo per l insieme C(B, V ), definita su tutto R 3? L insieme C(B, V ) ammette un equazione cartesiana di secondo grado? (iii) C(B, V ) è una superficie differenziabile di R 3? È una superficie regolare? Nota: dire che un insieme S è una superficie regolare vuol dire che esiste una parametrizzazione regolare per S, non che la prima che vi viene in mente è regolare! Per questo, forse non riuscirete a rispondere alla seconda domanda in (iii) fino al 3, dove introdurremo lo spazio tangente. Esercizio 1.14 Sia C(B, V ) il cono di vertice V = (0, 1, 0) e base l insieme B di equazione x = z 4 nel piano y = 0. Si consideri poi la retta r : z = y 1 = 0 e si ponga C(B, V ) = C(B, V ) r. (i) determinare una parametrizzazione rigata per C(B, V ); la parametrizzazione trovata è regolare? (ii) Trovare un equazione cartesiana per l insieme C(B, V ); Esiste un equazione cartesiana solo per l insieme C(B, V ), definita su tutto R 3? L insieme C(B, V ) ammette un equazione cartesiana di secondo grado? (iii) C(B, V ) è una superficie differenziabile di R 3? È una superficie regolare? Esercizio 1.15 Si trovino parametrizzazioni ed equazioni cartesiane per: (i) il toro ottenuto ruotando attorno all asse z la circonferenza C, contenuta nel piano Oyz, di raggio r e centro c = (0, R, 0), con R > r > 0; (ii) il pomodoro ottenuto ruotando attorno all asse z la stessa circonferenza, ma con r > R > 0; (iii) l insieme ottenuto ruotando la curva C nel piano Oyz: - parametrizzata da f(t) = (0, f 2 (t), f 3 (t)); - oppure di di equazione cartesiana x = g(y, z) = 0. (iv) Dire se le superfici parametrizzate in (i)-(ii) sono superfici differenziabili. 6

7 2 Parametrizzazioni vs Equazioni Cartesiane Il problema che tratteremo è il seguente, fondamentale in matematica: dato un sistema di equazioni del tipo G(X) = 0, dove X = (x 1,..., x n ) R n e G = (G i ) : D R n R m, e cioè: G 1 (x 1,..., x n ) = 0 G 2 (x 1,..., x n ) = 0 G m (x 1,..., x n ) = 0 le soluzioni S R n di tale sistema (se esistono) formano uno spazio regolare, cioè parametrizzabile? Se sì, di che dimensione, cioè in funzione di quanti parametri può esprimersi? Tale problema consiste quindi nel cercare di passare da equazioni cartesiane per un insieme S ad una parametrizzazione di S. Notiamo che tale problema è stato risolto nei corsi di Algebra Lineare e Geometria 1 nel caso in cui le G i siano polinomi di primo grado, i.e. (1) sia un sistema lineare: Teorema 2.1 Sia G(X) = G 0 X + b = 0 un sistema lineare in X = (x 1,..., x n ), con G 0 M(m, n, R) e b R m. L insieme S delle soluzioni, se non vuoto, è un sottospazio affine di R n di dimensione d = n rk(g 0 ). Euristicamente, ciò vuol dire che da ogni equazione, che pone un vincolo su (x 1,..., x n ), possiamo ricavare un incognita x i, e dunque se le m equazioni sono indipendenti (cioè rk(g 0 ) = m) le soluzioni si esprimono in funzione di d = n m variabili libere. Reciprocamente, nel corso di Algebra lineare abbiamo visto: Teorema 2.2 Sia F = (F i ) : R d R n una parametrizzazione affine del tipo F (x 1,..., x d ) = P 0 + x 1 v x d v d = P 0 + F 0 X dove {v 1,..., v d } sono d vettori linearmente indipendenti (cioè rk(f 0 ) = d). Allora S = ImF è l insieme delle soluzioni di un sistema del tipo (1), costituito da m = n d equazioni polinomiali di grado 1 indipendenti. Osservazione 2.3 (Equazioni cartesiane non regolari) È facile convincersi che, la sola ipotesi che le equazioni cartesiane G i siano funzioni C k, ma senza ulteriori condizioni di regolarità, l insieme delle soluzioni S non ha una naturale dimensione deducibile da n, m. Si pensi al seguente esempio: consideriamo la funzione { C 0 se r 1 f(r) = e 1 (r 1) 2 se r 1 e sia S k = G 1 (k) : f(x 2 + y 2 ) = k. L insieme S k è una circonferenza per ogni 0 < k < 1, mentre S 0 è un cerchio, dunque un oggetto bi-dimensionale (nonostante sia definito da un equazione in due variabili!). Il Teorema 2.1 si generalizza a equazioni C k qualsiasi (con k 1) a meno di sostituire la condizione rk(g 0 ) = m con rk(dg) P0 = m, fornendo però solamente un enunciato locale : una garanzia, cioè, della possibilià di passare da equazioni cartesiane a parametrizzazioni in un intorno di un punto P 0 fissato: Definizione 2.4 Un insieme di equazioni cartesiane per S R n si dirà regolare in P 0 S se il rango di (dg) P0 è massimo, i.e. rk(dg) P0 = m; in tal caso si dice anche che la mappa G è una summersione in P 0. Più in generale, una summersione G : D R n G(D) R m, n m, è un applicazione tale che rk(dg) P = m in ogni punto P, cioè con differenziale suriettivo ovunque. L immagine F (D) si dice la base della summersione, e per ogni P G(D) i sottoinsiemi F 1 (P ) si dicono le fibre. (1) 7

8 Teorema del Dini 2.5 Sia G=(G i ) :D R n R m n, S = G 1 (0) e P 0 S. Supponiamo che: (i) G sia di classe C k (con k 1); (ii) G sia regolare in P 0, ovvero una summersione in P 0, cioè rk(dg) P0 = m; (diciamo, per semplicità, che 3 det( Gi x j P0 ) i=1,...,m j=1,...,m 0). Allora S è una sottovarietà grafico C k intorno a P 0, di dimensione d = n m; esiste cioè un intorno UP S 0 di P 0 tale che UP S 0 = Im(F ) per una parametrizzazionegrafico di classe C k : F (x m+1,.., x n ) = (f 1 (x m+1,..., x n ),..., f m (x m+1,..., x n ), x m+1,..., x n ) Locuzioni equivalenti (che si usano spesso) sono: S è un grafico rispetto a (x m+1,..., x n ) vicino a P 0, oppure è possibile esplicitare (x 1,..., x m ) in funzione di (x m+1,..., x n ) su S vicino a P 0. Dimostrazione del Teorema del Dini. Vedi l Appendice. Osservazioni 2.6 (i) nel caso G : D R 2 R (dunque d = 1), la condizione sufficiente per esplicitare x i rispetto all altra variabile x j vicino a P 0 diventa: G x i P0 0. Questa condizione, come vedremo nella 3, corrisponde geometricamente a chiedere che lo spazio tangente a C = ker(g) in P 0 sia una retta non parallela all asse x i. (ii) nel caso G : D R 3 R (dunque d = 2), la condizione sufficiente per G esplicitare x i rispetto alle altre variabili vicino a P 0 si riduce a: x i P0 0. Questa condizione, come vedremo nella 3, corrisponde geometricamente a chiedere che lo spazio tangente ad S = ker(g) in P 0 sia un piano non parallelo all asse x i. Corollario 2.7 (Fibre di una summersione) Se G : D R n R m n è una summersione in P 0 (di classe C k ), allora la fibra G 1 (P 0 ) è una (C k )-sottovarietà differenziabile di R n di dimensione d = n m. Dimostrazione dei Corollario 2.7. Basta usare il Teorema del Dini e ricordare la definizione di sottovarietà differenziabile! È naturale porsi anche il problema inverso: dato un insieme S R n definito come l immagine di una parametrizzazione F, è possibile realizzarlo come l insieme delle soluzioni di un sistema del tipo (1)? Ancora una volta, c è un analogo del Teorema 2.2 che fornisce una risposta positiva sotto simili ipotesi di regolarità per F, e sempre in un senso puramente locale, come descritto qui di seguito: Teorema inverso del Dini 2.8 Sia F = (F i ) : D R d n R n, S = F (D). Supponiamo che: (i) F sia di classe C k (con k 1); (ii) F sia regolare in Q 0, cioè rk(df ) Q0 = d (diciamo, per semplicità, che det( Fi x j Q0 ) i=1,...,d j=1,...,d 0). Allora, esiste un intorno V Q0 R d di Q 0 tale che l insieme S Q0 = F (V Q0 ) S è una parametrizzazione-grafico rispetto a x 1,..., x d, ed ha m = n d equazioni cartesiane regolari del tipo (1), con G = (G i ) di classe C k e rk(dg) P0 = m. Dimostrazione del Teorema del Dini. Vedi l Appendice. 3 Le G i sono m, mentre le x j sono n m: quindi per fare una matrice m m, le G i devono esserci tutte, mentre delle x j bisogna selezionarne m, che per questo sono scritte in neretto. 8

9 Nota 2.9 Il Teorema inverso del Dini non afferma: (i) che S Q0 = F (V Q0 ) S è un intorno di P 0 in S, per un qualche intorno V Q0 di Q 0 abbastanza piccolo; (ii) che S = ImF ammette n d equazioni cartesiane (C k, regolari) vicino a P 0 =F (Q 0 ): ciò è vero solo per il sottoinsieme S Q0 =F (V Q0 ); (iii) che F stessa è una parametrizzazione-grafico, ma solo che S Q0 = F (V Q0 ) ammette una parametrizzazione-grafico F, in genere diversa da F. (La dimostrazione spiega come trovare tale F.) Quindi, non confondetevi: l immagine di una parametrizzazione regolare, o anche di un immersione, non è generalmente una sottovarietà differenziabile! Lo è solo restringendo opportunamente il dominio. Esempio 2.10 Per capire bene questi fatti, considerate per esempio la curva di Lissajous, che è la curva (b) dell Esercizio 1.8. È parametrizzata da F : R R2, con F (t) = (sin t, sin 2t). Notare che, posto Q 0 = 0 e P 0 = F (0) = O: L = ImF è una curva ad : un qualsiasi intorno U Q0 di Q 0, benché arbitrariamente piccolo, contiene una parte di entrambi i due rami della curva. Nessuno dei due rami, da solo, è un intorno di Q 0 ; per il Teorema inverso del Dini (e per verifica diretta!) ciascuno dei due rami della curva L vicino ad O ammette una parametrizzazione grafico e un equazione cartesiana regolare; però, l unione dei due rami non ammette né una parametrizzazione grafico, né un equazione cartesiana regolare! Esercizio 2.11 Dire, per ciascuno dei tre sottoinsiemi parametrizzati: S = {F (t) = (e t cos t, e t sin t) t R } (spirale logaritmica) C + = {F (t, ϑ) = (t cos ϑ, t sin ϑ, t) t 0, ϑ R } (semicono) E = {F (t, s) = (t cos s, t sin s, s) t, s R } (elicoide circolare) (i) in quali punti le parametrizzazioni non sono regolari; (ii) in quali punti non è possibile esplicitare x in funzione di y; (Rispondere alla luce dell Osservazione 2.6) (iii) il Teorema Inverso del Dini assicura l esistenza di equazioni cartesiane per S, C + ed E? (iv) gli insiemi S, C +, E ammettono un equazione cartesiana? Regolare ovunque? (v) gli insiemi S, C +, E sono sottovarietà differenziabili? 9

10 3 Spazio tangente Lo spazio tangente ad un sottoinsieme S R n in un suo punto P 0 è un approssimazione di S come un unione di rette vicino al punto scelto. La natura dello spazio tangente in un punto dà informazioni sul sottoinsieme S nell intorno di tale punto (per esempio permette di distinguere sottoinsiemi molto differenti tra loro) ed è uno strumento fondamentale in geometria algebrica e differenziale. Definizione 3.1 (Vettori tangenti) Sia S R n un sottoinsieme, e sia P 0 S. Un vettore unitario û R n si dice un versore tangente ad S in P 0 se esiste una P 0P n P 0P n = û. successione di punti P n S, P n P 0, tale che lim n Qualsiasi vettore del tipo u = λû si dirà allora un vettore tangente ad S in P 0. Lo spazio tangente ad S in P 0 è l insieme T P0 S = {u R n u vettore tangente ad S in P 0 } ed è anche detto il cono tangente ad S in P 0 (per quanto spiegato sotto in 3.3(i)). Notare che T P0 S è vuoto se e solo se P 0 non è un punto di accumulazione per S. Il sottoinsieme T aff P 0 S = P 0 + T P0 S è detto spazio affine tangente ad S in P 0. Esercizio 3.2 Verificare che: (i) Se S = Q 2, allora T O S = R 2. (ii) Se S = {F (t) = (e t cos t, e t sin t) t R } {O} è una spirale logaritmica, allora T O S = R 2. (iii) Se L = {F (t) = (sin t, sin 2t) t [0, 2π] } R 2 è la curva di Lissajous, allora T O L = r + r, dove r ± sono le rette di equazioni y = ±2x. (iv) Se C + = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = z 2, z 0} è la falda superiore del cono C = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = z 2 }, allora T O C + = C I risultati che seguono aiutano a calcolare T P0 S in molti casi: Proposizione 3.3 Sia S R n e P 0 S: (i) T P0 S (rispettivamente T aff P 0 S) è un cono di vertice O (risp. di vertice P 0 ); (ii) se U S P 0 è un intorno di P 0 in S, si ha T P0 S = T P0 U S P 0 ; (iii) se S = S 1 S 2 e P 0 S 1 S 2, allora T P0 S = T P0 S 1 T P0 S 2. Dimostrazione. (i) Sia TP 1 0 S l insieme dei versori unitari tangenti a S in P 0. T P0 S è il cono di vertice O e base B = TP 1 0 S. Si noti inoltre che un cono traslato è un cono. (ii) Evidentemente T P0 UP S 0 T P0 S; poichè d altra parte ogni û TP 1 0 S è ottenuto da una successione di punti P n S tali che P n P 0, e ogni tale successione è contenuta definitivamente in UP S 0, vale anche l inclusione inversa. (iii) Anche in questo caso si ha chiaramente T P0 S i T P0 S, dunque l inclusione T P0 S 1 T P0 S 2 T P0 S. D altra parte, se û TP 1 0 S è ottenuto da una successione di punti P n S tali che P n P 0, esiste una sottosuccessione P nk dei P n che è tutta contenuta in un S i, quindi û T P0 S i ; da cui l inclusione inversa. Teorema 3.4 (Spazio tangente per parametrizzazioni regolari) (i) Sia S R n una d-sottovarietà differenziabile e sia F: D R d S una carta intorno a P 0 = F (Q 0 ): allora T P0 S è uno spazio vettoriale di dimensione d uguale a Im(dF ) Q0. (ii) Sia S R n una sottovarietà parametrizzata, ed F : D R d S una sua parametrizzazione, regolare in P 0 =F (Q 0 ): allora, esiste un intorno abbastanza piccolo V Q0 di Q 0 tale che lo spazio tangente in P 0 al sottoinsieme F (V Q0 ) S è uno spazio vettoriale di dimensione d, uguale a Im(dF ) Q0. 10

11 In particolare, se S è una sottovarietà parametrizzata regolare, allora lo spazio tangente T P0 S in un qualsiasi suo punto P 0 contiene uno spazio vettoriale di dimensione d (ma non è necessariamente uno spazio vettoriale). Dimostrazione. (i) Sia F : V Q0 : S una parametrizzazione grafico di S intorno a P 0 = F (Q 0 ). Mostriamo prima che Im(dF ) Q0 T P0 S. In effetti, sia v = (df ) q0 (û), dove F (Q possiamo supporre û = 1. Allora v = lim 0+t nu) F (Q 0) n t n, per qualsiasi successione t n 0. Detti Q n = Q 0 + t n u, si ha t n = Q 0 Q n, e dunque F (Q n) F (Q 0) F (Q 0)F (Q n) F (Q0)F (Qn) v = lim = lim (2) n Q 0Q n n F (Q 0)F (Q n) Q 0Q n Poiché F (Q n ) S e F (Q n ) F (Q 0 ) = P 0 (per la continuità di F ), il primo quoziente nel limite tende a un versore tangente ˆv TP 1 0 S; dunque il secondo tende necessariamente a v, sicché (2) mostra che v T P0 S. Viceversa, sia ˆv T P0 S, che possiamo supporre unitario. Esistono allora punti P n = F (Q n ) S con P n P 0 tali che P 0P n ˆv = lim n P = lim F (Q 0)F (Q n) 0P n n F (Q 0)F (Q = lim F (Q 0)F (Q n) Q 0Q n n) n Q 0Q n F (Q 0)F (Q n) Poiché F è almeno C 1, si ha F (Q n ) = F (Q 0 ) + (df ) Q0 ( Q 0 Q n ) + o( Q 0 Q n ), dunque v = lim n (df ) Q0 ( Q 0 Q n ) + o( Q 0 Q n ) Q 0 Q n (df ) Q0 ( Q 0 Q n Q 0 Q n ) + o( Q 0 Q n ) Poiché P n = F (Q n ) P 0 = F (Q 0 ) ed F è una parametrizzazione grafico, Q si ha che Q n Q 0 e quindi i versori 0Q n Q 0Q n tendono a un versore tangente û T Q0 D = R 2. Da (3) e dall ipotesi che F sia C 1 e regolare segue allora che (df ) Q0 (û) 0 e ˆv = (df ) Q 0 (û) (df ) Q0 (û) Im(dF ) Q 0. (ii) La dimostrazione è identica ad (i), l unica differenza è nel punto in cui si dice che se P n = F (Q n ) P 0 = F (Q 0 ) allora Q n Q 0. Ciò è evidente nel caso in cui F sia una parametrizzazione-grafico perché F 1 esiste ed è continua (è la proiezione sullo spazio delle variabili libere!). Nel caso invece di una parametrizzazione regolare in Q 0, non abbiamo (a priori) la continuità di F 1 (l applicazione F non è neppure invertibile!). Ma il Teorema inverso del Dini assicura l esistenza di un aperto abbastanza piccolo V Q0 di Q 0 tale che il sottoinsieme F (V Q0 ) S sia una parametrizzazione-grafico; e dunque si può applicare il punto (i) a F (V Q0 ). Teorema 3.5 (Spazio tangente per equazioni cartesiane regolari) Sia S = ker(g), con G = (G i ) : D R n R m regolare in P 0 S: allora, T P0 S è uno spazio vettoriale di dimensione n m uguale a ker(dg) P0. Dimostrazione. Per il Teorema del Dini esiste un intorno VP S 0 di P 0 in S che è un grafico, immagine cioè di una parametrizzazione-grafico F:U Q0 R d VP S 0 R n, con d = n m, F (Q 0 )=P 0 e F (U Q0 ) = V P0. Per la Proposizione 3.3 e il Teorema 3.4 sappiamo che T P0 S = T P0 V P0 = Im(dF ) Q0. Resta da vedere che Im(dF ) Q0 = ker(dg) P0. Ma poiché G(F (U Q0 )) = 0, differenziando si ottiene (dg) P0 (df ) Q0 = 0, quindi Im(dF ) Q0 ker(dg) P0. D altronde, poiché (df ) Q0 ha rango d e (dg) P0 ha rango m, gli spazi Im(dF ) Q0 e ker(dg) P0 hanno entrambi dimensione uguale a d, e pertanto coincidono. (3) 11

12 Osservazioni 3.6 (Retta e piano tangente a curve e superfici) (i) Sia C una curva regolare parametrizzata da F : D R R n, e P 0 = F (Q 0 ). Il teorema precedente assicura che esiste un intorno V Q0 = (Q 0 ɛ, Q 0 + ɛ) tale che T P0 F (V Q0 ) = Im(dF ) Q0 = F (Q 0 )R; da qui il nome di retta tangente per la retta passante per P 0 e avente vettore direzione F (Q 0 ). Ma attenzione: mentre per una curva-grafico C si ha sempre T P0 C = F (Q 0 )R, in generale per una curva regolare qualsiasi si ha solo T P0 C F (Q 0 )R. Per esempio, nel caso della curva di Lissajous L, fatta ad, dell Esercizio 3.2 (ii), la proposizione precedente e la Proprietà 3.3(iii) mostrano che T O L è l unione delle due rette y = ±2x. (ii) Se S è una superficie regolare parametrizzata da F : D R 2 R n e P 0 = F (Q 0 ). Il teorema precedente assicura che esiste un intorno V Q0 di Q 0 tale che T P0 F (V Q0 ) = Im(dF ) Q0 = Span{F x (Q 0 ), F y (Q 0 )}, da cui il nome di piano tangente per il piano passante per P 0 e avente questa giacitura. Di nuovo, se per una superficie-grafico S si ha T P0 S = Span{F x (Q 0 ), F y (Q 0 )}, per una superficie regolare qualsiasi si ha solo T P0 S Span{F x (Q 0 ), F y (Q 0 )}. Per esempio, se S è il cilindro in R 3 di base la curva L di Lissajous ed asse il vettore ẑ = (0, 0, 1), la proposizione precedente e la Proprietà 3.3(iii) mostrano che T O S è l unione dei due piani y = ±2x. Nota 3.7 Nel caso di un insieme S definito da una equazione cartesiana regolare G(x 1,..., x n ) = 0 (per esempio una curva in R 2 o una superficie in R 3 ), dg = (G x1,..., G xn ) può essere identificato, in ogni punto, ad un vettore detto il gradiente di G, denotato grad(g). Allora T P0 S = ker(dg) P0 = grad P0 (G), ovvero: grad(g) è un vettore normale allo spazio tangente, in ogni punto di S. Esercizio 3.8 (i) Sia u un punto della sfera S di centro l origine e raggio r: verificare che T u S = u. Fare un disegno. (ii) Sia Q la vostra quadrica non degenere preferita, e P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) un suo punto: determinare l equazione del piano tangente a T P0 Q, e le coordinate di un vettore N(P 0 ) normale a tale piano. (iii) Per ognuna della quadriche dell Esercizio 1.8, si trovino i punti P in cui lo spazio tangente è un piano verticale. (iv) Si trovi un equazione cartesiana per il cilindro Cil(L, ẑ) di base la curva di Lissajous L e asse ẑ. L equazione trovata è regolare nell origine? Esiste un equazione per Cil(L, ẑ) regolare nell origine? Definizione 3.9 (Punti singolari di varietà parametrizzate) Sia S una d-sottovarietà parametrizzata di R n. Un punto P S si dice singolare se P non ha un intorno in S che è una sottovarietà-grafico, di classe almeno C 1. Corollario 3.10 Sia S una d-sottovarietà parametrizzata, e P un suo punto: se S è una sottovarietà, allora ogni suo punto è non singolare, e T P S è sempre uno spazio vettoriale di dimensione d (ovvero: se T P S non è uno spazio vettoriale di dimensione d, allora P è singolare, e S non è una sottovarietà differenziabile). Dimostrazione. Segue dalla definizione di varietà differenziabile e dal Teorema 3.4(i), che assicura che T P S è uno spazio vettoriale di dimensione d. Si noti anche che se P è un punto singolare per una sottovarietà parametrizzata S, non esiste un equazione cartesiana regolare per S in P (sennò il Teorema del Dini assicurerebbe che S intorno a P è una superficie-grafico, e P sarebbe nonsingolare). 12

13 Nota 3.11 Condizioni necessarie o sufficienti alla nonsingolarità (ii) Il Teorema del Dini dà una condizione sufficiente affinché una sottovarietà parametrizzata sia una sottovarietà differenziabile; ma non è una condizione necessaria! Analogamente, il Teorema inverso del Dini dà una condizione sufficiente affinché l immagine di una parametrizzazione regolare F : D S, ristretta opportunamente, sia una sottovarietà differenziabile, ma non è una condizione necessaria. (ii) Il Corollario 3.10 ci dà invece una condizione necessaria affinché una sottovarietà parametrizzata sia una sottovarietà differenziabile; ma non una condizione sufficiente. Il prossimo esercizio chiarisce bene queste cosae. Esercizio 3.12 (i) Mostrare che esiste un equazione cartesiana C 1 per la sfera S 2 che non è regolare nel polo nord N. Mostrare altresì che la parametrizzazione naturale della sfera S 2 tramite angoli di latitudine e longitudine non è regolare in tutti i punti corrispondenti ad N. Eppure N non è singolare per S 2! (ii) Mostrare che se C è l unione di due circonferenze tangenti in O, oppure è la curva parametrizzata da F (t) = (t 2, t 3 ), allora T O C è una retta. Eppure O è un punto singolare per C in entrambi i casi! (iii) Per ognuna delle quadriche dell Esercizio 1.8 si trovino gli eventuali punti singolari e lo spazio tangente in tali punti. Osservazione 3.13 (Esplicitare variabili e posizione del tangente) Giustificare le Osservazioni 2.6 (i)&(ii). Cioè: (i) Mostrare che se G : D R 3 R 2 con P 0 C = G 1 (0), la condizione per esplicitare x i, x j rispetto a x k vicino a P 0 è che T P0 C sia una retta non parallela al piano Ox i x j. (ii) In generale, se G : D R n R m con m n e P 0 S = G 1 (0), la condizione di poter esplicitare x 1,..., x m rispetto alle altre d = n m variabili, [ ] i=tutte G ovvero det i x j 0 equivale a dire che T P0 S Span( x 1,..., x m ) = R n. j=1,...m Abbiamo definito lo spazio tangente esclusivamente per sottovarietà di R n. In un qualsiasi corso di Geometria Differenziale vi sarà poi definito lo spazio tangente ad una varietà differenziabile astratta, in termini più astratti (ma equivalente alla definizione appena vista, per le sottovarietà). 13

14 A Dimostrazione del Teorema del Dini e inverso (usando il Teorema della Funzione Inversa) Daremo una dimostrazione dei due Teoremi 2.5&2.8 usando un risultato 4 fondamentale che vedrete nel corso di Analisi (almeno in due variabili!), che supporremo acquisito: Teorema della Funzione Inversa A.1 Sia D dominio, e F : D R k R k un applicazione con F (P 0 ) = Q 0 tale che (i) F è di classe C k (con k 1); (ii) F è regolare in P 0, cioè det(df ) P0 0. Allora, esistono intorni U P0, V Q0 di P 0, Q 0 R k tali che F UP0 : U P0 V Q0 sia un C k -diffeomorfismo (cioè C k, biiettiva e con inversa ancora di classe C k ). Dimostrazione del Teorema del Dini 2.5. Supponiamo, per semplicità di scrittura, che det( Gi x j P0 ) i=1,...,m j=1,...,m P 0 = (x 0 1,..., x 0 n). Consideriamo G : D R n R n definita come G(x 1,..., x n ) = (G 1 (x 1,..., x n ),..., G m (x 1,..., x n ), x m+1,..., x n ). Chiamiamo O l origine in R m, e Q 0 = G(P 0 ) = (O, x 0 m+1,..., x 0 n). Notiamo che G(S) O R d, dove d = n m. 0, e sia Per ipotesi det(d G) P0 = det( Gi x j P0 ) i=1,...,m j=1,...,m 0, dunque il Teorema della Funzione Inversa ci fornisce intorni U P0, V Q0 rispettivamente di P 0, Q 0 R n tali che G UP0 : U P0 V Q0 sia biiettiva e con inversa C k, denotata F : V Q0 U P0. Poiché F inverte G su V Q0, essa è della forma: F (x 1,..., x n ) = ( F 1 (x 1,..., x n ),..., F m (x 1,..., x n ), x m+1,..., x n ). Pertanto, se V = V Q0 (O R d ), l applicazione F = F V : V R d S U P0 F (x m+1,..., x n ) = ( F 1 (O, x m+1,..., x n ),..., F m (O, x m+1,..., x n ), x m+1,..., x n ) è una parametrizzazione C k e biiettiva di S U P0, che è quindi un grafico C k rispetto alle d variabili x m+1,..., x n. Dimostrazione del Teorema inverso del Dini 2.8. Supponiamo ancora, per semplicità di scrittura, che det( Fi x j Q0 ) i=1,...,d j=1,...,d 0. Consideriamo la composizione π d F : D R d R d, dove π d è la proiezione canonica sulle prime d coordinate, i.e. π d F (x 1,..., x d ) = (F 1 (x 1,..., x d ),..., F d (x 1,..., x d )) [ ] i=1,...,d e sia P 0 = (π d F )(Q 0 ). Per ipotesi la matrice d(π d F ) Q0 = (πd F i) x j Q0 j=1,...,d è non singolare, dunque il Teorema della Funzione Inversa ci fornisce intorni V Q0, U P0 rispettivamente di Q 0, P 0 R d tali che F = (π d F ) VQ0 : V Q0 U P0 sia biiettiva e con inversa F 1 : U P0 V Q0 ancora C k. Sia allora S Q0 = F (V Q0 ). Detta F = F F 1 : U P0 R d R n, si ha F 1 (V Q0 ) = S Q0 e (poiché F inverte F = π d F su U P0 ), la parametrizzazione F è della forma F (x 1,.., x d ) = (x 1,..., x d, F d+1(x 1,.., x d ),..., F n(x 1,.., x d )) sicché S Q0 è un grafico C k rispetto a x 1,..., x d. Pertanto S Q0 ha equazioni cartesiane: G 1 (x 1,..., x n ) = x d+1 F d+1 (x 1,.., x d ) = 0 G 2 (x 1,..., x n ) = x d+2 F d+2 (x 1,.., x d ) = 0 G m (x 1,..., x n ) = x n F n(x 1,.., x d ) = 0 e G = (G i ) è chiaramente regolare in P 0. 4 In realtà, in molti testi si dimostra prima il Teorema del Dini, e poi il Teorema della Funzione Inversa; i due teoremi sono in effetti equivalenti. 14