Codifica delle Informazioni e Aritmetica Binaria

Transcript

1 Codifica delle Informazioni e Aritmetica Binaria Reti Logiche T Francesco Antoniazzi francesco.antoniazzi@unibo.it

2 Argomenti Informazione Codifica Binaria Codici Rappresentare i numeri Operazioni aritmetiche Alma Mater Studiorum Università di Bologna 2

3 Attributo del messaggio Informazione (1) Dato un segnale, l informazione è contenuta nella sua variazione entro la sua dinamica. Nel corso di Reti Logiche i segnali sono digitali Alma Mater Studiorum Università di Bologna 3

4 Misurare l informazione: bit (Binary digit): un astrazione per il livello elettrico alto (1) o basso (0) [logica positiva]. Quantità di informazione: il numero minimo di bit che servono a codificare un messaggio Informazione (2) Un oggetto vero o falso porta 1 bit di informazione. Testo, immagini, audio, video Le macchine digitali usano l informazione codificata in codice binario per dare dei risultati, anch essi in codice binario Alma Mater Studiorum Università di Bologna 4

5 Linguaggi naturali La macchina digitale si aspetta un messaggio binario Codifica Binaria (1) Convertiamo il messaggio in un linguaggio comprensibile alla macchina digitale La macchina digitale lo usa e ci dà i risultati Convertiamo i risultati in un linguaggio a noi comprensibile

6 Il messaggio è una sequenza finita di Simboli elementari parte di un insieme detto Alfabeto. Simbolo, Alfabeto I simboli vengono codificati tramite sequenze di 0 e 1: codifica binaria. Qual è l alfabeto, in questo caso? Per 2 simboli basta 1 bit Per 4 simboli servono 2 bit Per M simboli servono N bit: N = log 2 M

7 Codifica Binaria: esempi facili Alfabeto A 1 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 : log 2 10 = 4 Occorrono almeno 4 bit. Potrei codificare fino a 16 simboli: da qui nasce la numerazione esadecimale Alfabeto latino (solo maiuscole) log 2 26 = 5 Occorrono almeno 5 bit. Quanti bit per includere le minuscole e i numeri?

8 Musica Testo Video Codifica Binaria Codifica Binaria (2)

9 9 Codice Binario (1) Una volta calcolato il numero di bit n necessario per codificare gli M simboli del mio alfabeto, devo far corrispondere ad ogni simbolo almeno una configurazione. Il codice binario è una funzione che ad ogni configurazione di n bit fa corrispondere uno dei simboli dell alfabeto. 2 n M Perché, e non solo =? Alma Mater Studiorum Università di Bologna

10 10 La scelta del codice (la funzione che associa le configurazioni binarie ai simboli) deve essere condivisa. Codice Binario (2) Quanti possibili codici? M 1 C = (2 n i) = i=0 2 n! 2 n M! Con n numero di bit, M numero di simboli. Per esempio, per n = 2 bit, e M = 2 simboli C = 12 Alma Mater Studiorum Università di Bologna

11 11 Codice Binario (3) Ridondante 2 n > M Permettono il controllo e una maggiore resistenza all errore; semplificano la generazione e l interpretazione delle informazioni. (Potrei usare n bit, ma ne uso di più) Non ridondante 2 n = M Minor costo di memorizzazione e maggiore efficienza di calcolo (e alcune situazioni particolari) Proprietario Volto all ottimizzazione delle prestazioni di una specifica macchina e/o a blindare il mercato. Standard Esito dell attività di un ente internazionale, o codice proprietario largamente riconosciuto e utilizzato. Alma Mater Studiorum Università di Bologna

12 12 Codice Binario (4) La conversione tra codici viene detta transcodifica (vedi diapositiva #5). Codice esterno: ridondante, standardizzato Codice interno: non ridondante Una calcolatrice tascabile funziona così? Alma Mater Studiorum Università di Bologna

13 Rappresentare i numeri (1) Codice BCD log 2 10 = 4 Codifichiamo il numero 371: Cifra Decimale Codice Binario Alma Mater Studiorum Università di Bologna 13

14 Rappresentare i numeri (2) Codice 7 segmenti Useremo 7 bit (siamo ridondanti rispetto ai minimi 4 richiesti) Alma Mater Studiorum Università di Bologna 14

15 Rappresentare i numeri (3) Cifra Decimale A B C D E F G (1) Alma Mater Studiorum Università di Bologna 15

16 Cifra Decimale #1 #2 #3 #4 # Codice 1 of n Codifichiamo n simboli con n bit. L n-esimo simbolo viene codificato con n-1 bit a zero, e un bit a uno, alla posizione n. Alma Mater Studiorum Università di Bologna

17 ASCII e Unicode (1) Con 8 bit, il codice (Extended) ASCII codifica tutte le possibili lingue originate dall alfabeto latino, i numeri, la punteggiatura. Con 16 bit, il codice Unicode codifica (quasi) tutte le lingue conosciute sulla Terra, mantenendo la compatibilità con il codice ASCII. Il tipo di dato char del C è adibito ai caratteri ASCII. Alma Mater Studiorum Università di Bologna 17

18 ASCII e Unicode (2) Alma Mater Studiorum Università di Bologna 18

19 Bitmap BN Grayscale Red Green Blue 1 bit 8 bit 8 bit 8 bit 8 bit Alma Mater Studiorum Università di Bologna 19

20 Configurazioni a distanza N È il numero di bit omologhi con valore diverso: D(000,111) = 3 D(011,010)=1 Distanza Distanza minima Il numero minimo DMIN che assume la distanza entro le configurazioni di un codice. Nota bene I codici non ridondanti hanno sempre distanza 1 I codici ridondanti (e.g., 1-of-n) >=1 Alma Mater Studiorum Università di Bologna 20

21 Codice Gray Non lo usiamo per contare, ma per denominare degli stati in un sistema (prossime lezioni). Passando da 01 a 10 forse è meglio non rischiare che si passi per 11! Stato Codifica Gray Bomba spenta 00 Bomba innescata 01 Boom! 11 Wait 10 Alma Mater Studiorum Università di Bologna 21

22 Numeri in base 2 (1) Funziona come la base 10 descritta in notazione posizionale: + n B = a i B i a i Alfabeto i= Esempi: 3724,28 10 = Esattamente allo stesso modo, = Questi sono numeri Reali, vero? Dov è la virgola? Alma Mater Studiorum Università di Bologna 22

23 Numeri in base 2 (2) In realtà per la base 2 basta K 1 n B = a i 2 i a i 0,1 i=0 i = 0 perché qui consideriamo i numeri interi K è il numero di bit che vogliamo usare: = = a i 2 i = i=0 Alma Mater Studiorum Università di Bologna 23

24 Dato un numero Q, di quanti bit avrò bisogno per rappresentarlo? Quanti bit servono? N = log 2 Q La formula è sempre uguale. Nei computer a 64 bit, una variabile numerica intero senza segno (unsigned long int) a 64 bit potrà contenere i numeri da 0 a

25 Da base 2 a base = bit 0 + ถ0 2 bit bit = = = Alma Mater Studiorum Università di Bologna 25

26 Da base 10 a base / 2 = resto / 2 = 79 + resto 0 79 / 2 = 39 + resto 1 39 / 2 = 19 + resto 1 19 / 2 = 9 + resto 1 9 / 2 = 4 + resto 1 4 / 2 = 2 + resto 0 2 / 2 = 1 + resto 0 1 / 2 = 0 + resto 1 Ripercorrendo dal basso i resti delle divisioni: Vale anche per altre basi? 26

27 Dec Hex Bin Dec Hex Bin 0 0H H H H H AH H BH H CH H DH H EH H FH 1111 Rappresentare i numeri (4) Codice Esadecimale Lo troverete spesso! Esempio: = 4CH=0x4C 1. Trasformo il numero in binario 2. Raggruppo 4 bit per 4 3. Riscrivo la combinazione Alma Mater Studiorum Università di Bologna

28 Operazioni aritmetiche

29 (E)XOR: OR esclusivo Tabella della verità EXOR A B Out Non fa parte dell algebra della commutazione, che è composta da AND OR NOT A B = (A + B)( ҧ A + തB) Alma Mater Studiorum Università di Bologna 29

30 Cin A B Cout Sum Somma aritmetica Come è noto, 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 Senza dimenticare i riporti 30 Gli oggetti che fanno questa operazione si chiamano Half Adder e Full Adder.

31 Half Adder A B Cout Sum A B HA Cout Sum Alma Mater Studiorum Università di Bologna 31

32 7+8=15 Somma in colonna? 12+5=17 attenzione ai riporti e all overflow 9+2= =20 Alma Mater Studiorum Università di Bologna 32

33 Full Adder Due Half Adder in cascata, più un OR Alma Mater Studiorum Università di Bologna 33

34 Adder per numeri senza segno a n bit C 4 qui viene detto overflow : indica se la somma di peso maggiore ha generato riporto, e quindi se siamo usciti dal range di n bit.

35 Segno Decimale Numeri relativi (1): segno e modulo Utilizziamo un bit per indicare il segno del dato. Anche se è facile da leggere, si vede che qualcosa non torna: B + B 0 Due zeri Range: 2 n 1 + 1, 2 n 1 1

36 La codifica Segno e Modulo deriva dalla definizione data K 1 n B = a i 2 i = a K 1 2 K a i=0 36 Numeri relativi (2) Proviamo con questa altra definizione: K 2 n B = a K 1 2 K 1 + i=0 a i 2 i Cambia il range: per a K 1 = 0, come sopra con un bit in meno. Per a K 1 = 1, invece Alma Mater Studiorum Università di Bologna

37 Numeri relativi (2): Complemento a 2 2 N 2 n N = 2 n 1 N + 1!N A B = A B + 2 n 2 B 2 n = A +! B n (notare che per fare una differenza continuiamo ad usare un Adder) Alma Mater Studiorum Università di Bologna 37

38 Numeri relativi (3): Complemento a 2 Con A=0: B =! B n Range: N 2 n 1, 2 n 1 1 Così almeno B B = 0 B3 B2 B1 B0 N Alma Mater Studiorum Università di Bologna 38

39 Numeri relativi (4): Complemento a 2 Il 2 n non viene considerato (è il CO ignorato 2 slides fa) B = 2 B = തB + 1 In complemento a 2, le somme sono algebriche Overflow della somma in complemento a 2 per quantità con lo stesso segno: o = CO co n 2 Alma Mater Studiorum Università di Bologna 39

40 Conversione in complemento a 2 7-1=6 N = ഥN + 1 Somma in colonna? -8-5=-13 overflow? Questi esercizi all esame valgono [-5,+1] punti 5+6=11 overflow? -6-2=-8 Alma Mater Studiorum Università di Bologna 40

41 41 Quando la somma è data da interi senza segno: L overflow è CO Riporti: riassunto Quando la somma è data da numeri con segno in complemento a 2 L overflow è dato dallo XOR dei due riporti più significativi

42 Vecchi esercizi Si dica quanti numeri interi si possono rappresentare con 4 bit in Complemento a due e quanti numeri si possono rappresentare con il codice bit di segno e modulo Si indichino tutti i numeri rappresentabili con 3 bit con i due codici Complemento a due e bit di segno e modulo, poi a ciascuno di questi numeri si associ la codifica effettuata secondo ciascuno dei due codici assegnati. Si disegni la rete logica che calcola in complemento a due l opposto di un numero positivo (ad esempio se l ingresso è +3, l uscita deve essere -3)