( e 1) ( e 1) ( e 1) 2 x. x ln 4. 2 x x. lim e ln 4 2. ln 4. 1 ln lim x ln 4 x ln 4 2. f '( x) 0 PROBLEMA 1. e sia Г la sua

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1 PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita sull insieme R dei numeri reali da rappresentazione grafica nel sistema di riferimento Oy. f ( ) ln e sia Г la sua Studio di funzione: (anche se non è richiesto) C.E., f ( ) ln ln lim ln lim ln ln ln 1 ln lim e ln lim 1 1 lim lim 1 1 ( ) ( ) lim ln ln lim ln ln A.O. y=+ln a destra e y=++ln a sinistra e e e f '( ) 1 f '( ) f '( ) ( ) ( ) ( ) sempre crescente. ( e )( ) e ( )( ) e e f ''( ) e ( ) e ( ) ( ) ( ) ( ) Fle =

2 1. Si determini il limite di ƒ() per che tende a + e a. Si calcoli ƒ() + ƒ( ) e si spieghi perchè dal risultato si può dedurre che il punto A(; 1 + ln) è centro di simmetria di Г. lim ln lim ln e 1 e f ( ) f ( ) ln ln ln ln ln f ( ) f ( ) ( ) Osserviamo che ln 1 e che Ovvero per ogni punto P(,y) il punto simmetrico rispetto al punto A appartiene alla curva. Infatti: considerata la simmetria centrale ' ta( P) : y' y (ln 1) Abbiamo che: Se P allora t ( P) P ' A. Si provi che, per tutti i reali m, l equazione ƒ() = m ammette una e una sola soluzione in R. Sia α la soluzione dell equazione ƒ() = ; per quale valore di m il numero α è soluzione dell equazione ƒ( ) = m? f ( ) ln m e 1 La funzione f() è continua su tutto R e prende tutti i valori da meno infinito a più infinito, quindi per i teoremi sulla continuità esisterà un valore tale che f()=m. Dato che è crescente, e quindi la funzione è iniettiva, la soluzione è unica f ( ) ln Se e 1 Dato che f ( ) f ( ) ln f( ) f( ) ln ln 1 ln e. Si provi che, per tutti gli reali, è: f ( ) ln Si provi altresì che la retta r di equazione y = + ln e la retta s di equazione y = + + ln sono asintoti di Г e che Г è interamente compresa nella striscia piana delimitata da r e da s. 1 e f ( ) ln ln ln ln ln vera per qualsiasi e e e Asintoti:

3 lim ln e 1 ln m lim ln m lim 1 1 ( ) q lim ln ln e 1 A.Obliquo: y=+ln a destra lim ln ln 1 ln m lim e lim 1 1 ( e 1) q lim ln ln Asintoto. Obliquo: y=++ln a sinistra Posto ( ) ( ) ln del risultato ottenuto? si calcoli il limite lim I( ) I f d. Qual è il significato geometrico e I( ) ln ln d d d ln 1 e e 1 e 1 I( ) ln ln e 1 e lim I( ) lim ln ln lim ln1 ln ln ln e 1 Che rappresenta l area della superficie compresa tra f() e il suo asintoto a destra. Calcolo della primitiva: t d dt dt ln t ln( t 1) ln t( t 1) t t 1 t 1 dt dt e d dt d e t avendo posto e t A B ( A B) t A Ora considerando che t t t t 1 t 1 da cui A= B=-

4 PROBLEMA Per il progetto di una piscina, un architetto si ispira alle funzioni f e g definite, per tutti gli reali, da: f ( ) 16 e g( ) sen 1. Si studino le funzioni f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oy. Si considerino i punti del grafico di g a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell intervallo [ 1; 1] e se ne indichino le coordinate. Grafico f(): C.E., f ( ) 16 Funzione dispari f ( ) 16 ( 16) Intersezione con gli assi. f ( ) y f '( ) 16 f f ( ) ( ) 16( ) 16 ( 16 ) ( ) f () y Min 18 ; Ma f ''( ) 6 per 18 ; Fle,

5 Il grafico di g( ) sen è un commune grafico di una sinusoide di periodo T Infatti sen per k k k, 1,... sen k k k k k, 1,... g '( ) cos k 1 k k, 1,... g '( ) cos k k 1 k 1 k k, 1,... Ma k Min k; 1 1 ;1 g ''( ) sin k k k k k, 1,... Fle k; I punti a tangente orizzontale sono i punti i cui la derivata prima è nulla quindi 1 k k, 1,...

6 . L architetto rappresenta la superficie libera dell acqua nella piscina con la regione R delimitata dai grafici di f e di g sull intervallo [; ]. Si calcoli l area di R. Area ( g( ) f ( )) d sen ( 16 ) d cos 16 Area cos Ai bordi della piscina, nei punti di intersezione del contorno di R con le rette y = 15 e y = 5, l architetto progetta di collocare dei fari per illuminare la superficie dell acqua. Si calcolino le ascisse di tali punti (è sufficiente un approssimazione a meno di 1-1 ). f ( ) da grafico si vede che le soluzioni in [; ] sono due y 5 Per calcolare le soluzioni usiamo il metodo di Newton nel punto =. N f f' errore ,1E-1,15,518-15,77-1,9E-,195,55E-6-15,7 -,6E-7 A =,1 Nel punto = N f f' errore 1 5 1,56E-1,875,8915 8, 1,E-,8597,11 8,8811,8E-5 B =,8

7 y 15 f ( ) da grafico si vede che le soluzioni in [; ] sono due Il polinomio si può fattorizzare secondo Ruffini // ( 1)( 15) da cui ,89 15,9 Quindi C =1 e D =,89. In ogni punto di R a distanza dall asse y, la misura della profondità dell acqua nella piscina è data da h() = 5. Quale sarà il volume d acqua nella piscina? Quanti litri d acqua saranno necessari per riempire la piscina se tutte le misure sono espresse in metri? Volume ( g( ) f ( ))( h( )) d sen ( 16 ) d cos 16 ( g( ) f ( ))( h( ) d (sin 16 )(5 ) d (sin )(5 ) d ( 16 )(5 ) d ( ) d ( cos )'(5 ) d ( cos )'(5 ) sin m 186dm 186l 15

8 Questionario: Questionario 1 1. Silvia che ha frequentato un indirizzo sperimentale del lice scientifico, sta dicendo ad una sua amica che la geometria euclidea, non è più vera perché per descrivere la realtà del mondo che ci circonda occorrono modelli di geometria non euclidea. Silvia ha ragione? Si motivi la risposta. La geometria euclidea continua a essere valida, per descrivere piccole porzioni di universo come sulla terra. Però dopo la relatività generale, in cui l universo è considerato curvo. La geometria che rappresenta tale universo è la geometria ellittica di Riemann. In cui l universo è una sfera e le rette sono le circonferenze massime della sfera. In tale geometria, le rette sono sempre incidenti, e i triangoli hanno angoli interni la cui somma è > 18. Osserviamo che se il percorso più breve su una sfera è la circonferenza, su un piano è la retta. Quindi da a dimensioni abbiamo che la proiezione della geometria ellittica diventa la geometria euclidea, e quindi continua ad essere valida. Ma l altra differenza è che la geometria euclidea descrive la realtà, la geometria ellittica è la realtà. Questionario. Si trovi il punto della curva y, più vicino di coordinate (,) P(, y) P(, ) ( ) 1 d'( ) ( ) d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Osserviamo che la retta tangente in P è perpendicolare al segmento P e (,) 7 y f '(7 / ) m 1 7

9 Questionario. Sia R la regione delimitata per, rotazione di R attorno all asse y. Si calcoli il volume di, dalla curva y=sin e dall asse e sia il solido ottenuto dalla Volume f ( ) d Volume ( cos sin ) ( cos sin ) Oppure sin d ( cos ) d ( cos ) d cos cos d cos sin 1 ( arcsin( y )) arcsin ydy y ( y arcsin y 1 y ) ( ) ( arcsin ) arcsin arcsin sin arcsin y ydy y ar y ydy y 1 y ( ar sin y) dy y ar sin ydy y y arcsin y dy y y y arcsin y dy y y arcsin y 1 y 1 y Oppure y ( ) '( ) cos sin sin y 1 1 Volume g y dy f d d d Volume sin sin d sin ( cos ) ( cos ) d Volume sin ( cos ) sin Questionario. Il numero delle combinazione di n oggetti a a è uguale al numero delle combinazioni degli stessi oggetti a a. Si trovi n. n n n n! n!! n!! n! n! n! 1 1! n!! n ( n )! n n n 7

10 Questionario 5 5. In una delle sue opere G. Galilei fa porre da Salvini, uno dei personaggi, la seguente questione riguardante l insieme N dei numeri naturali ( i numeri tutti ): Disse Salviati:.. se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, esser più che i quadrati soli, dirò proposizione verissima non è così? Come si può rispondere all interrogativo posto con quali argomentazioni? La proposizione è falsa perché l insieme dei numeri naturali n, e l insieme dei numeri n, sono in corrispondenza biunivoca, quindi hanno lo stesso numero di elementi. Questionario 6 f : n n 6. Di tutti i coni inscritti in una sfera di raggio 1 cm, qual è quello di superficie laterale massima? S ar l raggio _ cono Poniamo OH= allora R HB R cono apotema CB CH HB ( R ) R R R R apotema R R Sl R R R R R R ( )( ) ( )( R ) ( R ) ( R R ) S R R l ( R )( R ) ( R )( R ) R R R R R R R R R

11 Questionario 7 7. Un test d esame consta di 1 domande per ciascuna delle quali si deve scegliere l unica risposta corretta tra quattro alternative. Quale è la probabilità che, rispondendo a caso alle dieci domande, almeno due delle risposte risulti corrette? La proposizione contraria è che E { nessuna, o 1 domanda sia corretta }. Allora la probabilità richiesta P( E) 1 P( E) 1 ( p p1) 1 ( p p1) 1 1,75 Questionario 8 8. In che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Perché è citato spesso? Il problema della curvatura del cerchio, è il problema classico, insieme alla duplicazione del cubo, in cui in passato si cercava di trovare un quadrato, o un poligono equivalente al cerchio, avente lati di lungezza razionale. Tale cosa è impossibile, perché l area di un cerchio è proporzionale ad un numero irrazionale, e si può arrivare a tale numero con il metodo di esaustione, in cui con poligoni regolari inscritti, o circoscritti, di n lati, ma solo con n che tende all infinito. Questionario 9 9. Si provi che nello spazio a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti da tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell ipotenusa. Sia ABC il triangolo rettangolo in A. Allora il punto medio M dell ipotenusa è tale che AM=BM=CM. Inoltre preso una retta r perpendicolare al piano di ABC in M. ogni punto di r P, forma con i quattro vertici un triangolo rettangolo. APM, BPM, CPM. Questi tre triangoli sono congurenti, per il primo criterio. Allora PA=PB=PC.

12 Questionario 1 1. Nella figura a lato, denotati con I,II, III, sono disegnati i tre grafici. Uno di essi èil grafico della funzione f, un altro è il grafico della derivata f, e l altro ancora di f. Quale delle seguenti alternative indica correttamente ciascuno dei tre grafici? La risposta è la D. Perché la III curva presenta un massimo e minimo, nei punti in cui il II grafico si annulla. il I grafico si annulla dove il III grafico presenta un flesso. Inoltre tra III e II grafico coincidono crescenza e positività, e tra III e I concavità e positività