Esercizio 2. Sia. A = {1,2,3,5} B = {x N : x 2 = 9 o x 2 = 16} e C = {4,6,7} Si descrivano gli insiemi A B C (A B) (A B) (C B).

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1 1. Richiami Questi esercii riguardano argomenti che nel corso sono stati solo velocemente richiamati durante la prima settimana e che il corso presuppone noti dalle superiori. Si tratta di qualche noione di calcolo proposiionale, di insiemistica, di trigonometria e coordinate polari. Agli esercii che trovate sotto potete aggiungere gli esercii 1,2,3,4,25,26,28,29,31 del capitolo 1 del libro Analisi Matematica ABC o gli esercii sui richiami di trigonometria e insiemi del libro Un primo corso di analisi matematica. Eserciio 1. In una classe di Ingegneria meccanica di 250 studenti tutti hanno almeno dato un esame tra analisi, geometria e fisica al primo appello utile. 150 hanno dato analisi, 100 geometria, 75 fisica, 25 sia geometria che analisi e 15 tutti e tre gli esami. Gli studenti che hanno dato sia geometria che fisica hanno dato anche analisi. Quanti sono gli studenti che hanno dato almeno due esami? Eserciio 2. Sia Si descrivano gli insiemi elencandone gli elementi. A {1,2,3,5} B {x N : x 2 9 o x 2 16} e C {4,6,7} Eserciio 3. Negare le seguenti frasi: A B C (A B) (A B) (C B). ogni giorno dell anno piove; esiste un uomo nato a Livorno a cui piace Pisa. Eserciio 4. Determinare le coordinate cartesiane dei punti che hanno le seguenti coordinate polari ρ 5,α 3π/2 ρ 3,α 5π/4 ρ 2,α π/3 ρ 4,α π/6 Eserciio 5. Determinare le coordinate polari dei punti che hanno le seguenti coordinate cartesiane ( 2, 2), (3, 3 3), ( 1,1) Numeri complessi Eserciio 6. Scrivere il numero 1, 2345 come fraione. Eserciio 7. Si dimostri che esistono infiniti numeri primi procedendo nel seguente modo: si supponga per assurdo che siano in numero finito e che siano p 1,...,p n si consideri il numero m p 1 p n +1 e si osservi che questo numero non è divisibile per nessuno dei numeri precedenti. Eserciio 8. Calcolare (1+i) 2. Calcolare (3+4i) (3 2i). Eserciio 9. Calcolare parte reale e parte immaginaria del reciproco di (1+7i) e di (1+i). Eserciio 10. Verificare che per ogni,w C si ha w w e che +w +w Eserciio 11. Calcolare le radici quarte di 16. Calcolare le radici ottave di 1. [si consiglia di utiliare le coordinate polari] Eserciio 12. Risolvere l equaione t 2 +2t Calcolare parte reale e parte immaginaria degli tali che i. Eserciio 13. Determinare tutti i numeri complessi tali che 4 3. [si consiglia di utiliare le coordinate polari] Eserciio 14. Determinare tutti i numeri complessi tali che è un numero reale. i +i Eserciio 15. Determinare tutti i numeri complessi tali che i +i 2. 1

2 Eserciio 16. Si verifichi che per ogni C si ha 2 e e Eserciio 17. Determinare tutti i numeri complessi tali che e e. Eserciio 18. Verificare che per ogni numero reale θ, sinθ eiθ e iθ. 2i Eserciio 19. Risolvere le seguenti equaioni, dove C: ( ) 3 i 2 +(i 1) i 0 3 i Eserciio 20. Calcolare (1 i) 24. Risolvere 3 arg()+ π 6 e 2Re(). Eserciio 21. Siano a, b, c, d quattro numeri complessi. Il loro birapporto è definito come bir(a,b,c,d) a c a d b d b c. Fissati tre punti distinti a,b,c nel piano complesso, non allineati mostrare che il luogo degli tali che bir(a,b,c,) è un numero reale è il cerchio passante per a,b,c. Eserciio 22. Sia a, b, c tre numeri complessi. Dimostrare che a, b, c sono i vertici di un triangolo equilatero se e solo se a 2 +b 2 +c 2 ab ac bc 0. Eserciio 23 (Daddi). Si determini il valore del parametro reale k in modo che l equaione 2 +(3+ ki) 8 9i abbia, tra le sue soluioni, il numero complesso 2 i. Si determini poi l altra soluione dell equaione. Eserciio 24 (Daddi). Pierino, dopo vari anni di tentativi poco fruttuosi, si sta finalmente appassionando alla matematica; purtroppo oggi ha perso il foglio sul quale aveva scritto gli appunti della leione. Appena arrivato a casa, prova a ricostruire un eserciio svolto dal professore; si ricorda che si trattava di determinare le soluioni di un equaione della forma , dove al posto dei puntini ci sono dei numeri reali. Pierino ricorda anche che, tra le soluioni dell equaione, ci sono 2 e 1+4i. Si dica qual l equaione che il professore ha scritto alla lavagna. Eserciio 25 (Daddi). Assegnata l equaione i k 1 i 0 dove k un parametro reale, si determinino gli eventuali valori di k in modo che le soluioni siano non reali ed abbiano modulo uguale a 10. Eserciio 26 (Daddi). Tra i numeri complessi della forma k +1+i(2k 3) dove k un numero reale, determinare quello avente modulo minimo. Eserciio 27 (Daddi). Si disegni nel piano complesso l insieme rappresentato dal sistema { Im( 2+4i) 1 1+3i > 3. Eserciio 28. Si trovi una formula per l ennessimo termine della successione x n definita nel modo seguente: x 0 0, x 1 1, x n+1 2x n 2x n 1. 2

3 Matrici NOTA BENE LA MAGGIOR PARTE DEGLI ESERCIZI CHE ASSEGNEREMO DA ORA IN POI LI TROVERETE SUL LIBRO DI TESTO (GEOMETRIA 1 DI E.SERNESI). PER SAPERE QUALI SONO GLI ESERCIZI ASSEGNATI OGNI SETTIMANA SI CONSULTI IL DIARIO DELLE LEZIONI. Eserciio 29. È vero che se A e B sono matrici 2 2 e A B 0 allora A 0 o B 0. Dimostrare che è vero o esibire un controesempio. Eserciio 30. Siano a,b,c,d C tali che ad bc 0. Si considerino le matrici a b 1 d b A e B. c d ad bc c a Si dimostri che A B B A I 2. Eserciio 31. Sia data la matrice a coefficienti complessi: a b A c d e supponiamo che esista una matrice 2 2, B tale che A B I 2. Si dimostri che ad bc 0 e che B è uguale alla matrice scritta nell eserciio precedente. Eserciio 32. Si disegni lo schema di una rete e si scriva la matrice associata secondo quanto spiegato in classe. Eserciio 33. Dimostrare che se la matrice A ammette una inversa destra allora ogni sistema Ax b ammette almeno una soluione. Eserciio 34. Fare un esempio di una matrice A che ammette una inversa sinistra e di un vettore b tale che il sistema Ax b non ha soluione. Eserciio 35. Dimostrare che (AB) t B t A t e che (A+C) t A t +C t. Eserciio 36. Sia A una matrice m m invertibile. Dimostrare che A t è invertibile e che (A t ) 1 (A 1 ) t. Eserciio 37. Siano A e B due matrici m m invertibili. Dimostrare che AB è invertibile e che (AB) 1 B 1 A 1. Eserciio 38. Verificare le seguenti relaioni M ij M ij I M i (α) M i (α 1 ) I M ij (α) M ij ( α) I. Spai vettoriali, sottospai, basi, generatori e vettori lin.indipendenti Eserciio 39. Dimostrare che l insieme delle matrici mxn a coefficienti in un campo K con somma, prodotto per scalare e ero definito in classe è uno spaio vettoriale. Eserciio 40. Sia X un insieme e K un campo. Dimostrare che l insieme F X delle funioni da X in K con somma, prodotto per scalare e ero definito in classe è uno spaio vettoriale. Eserciio 41. Sia X un insieme finito e K un campo e sia F X lo spaio vettoriale delle funioni da X in K. Per ogni x X sia δ x la funione definita nelmodo seguente: { 1 se y x; δ x (y) 0 se y x. Dimostrare che se x 1,...,x n sono gli elementi di X allora δ x1,...,δ xn è una base di F X. Eserciio 42. SiaV unospaiovettorialeallora{0}ev sonosempresottospaivettorialidiv. L insieme vuoto è un sottospaio vettoriale di V? Eserciio 43. Sia V R 2. Si dimostri che gli unici sottospai di V diversi da {0} e da V sono le rette passanti per l origine. Eserciio 44. Sia V lo spaio vettoriale delle matrici m n. Per i 1,...,m e j 1,...,n sia E ij la matrice che ha tutte le entrate uguali a 0 tranne l entrata nel posto i,j che è uguale a 1. Dimostrare che le matrici E ij per i 1,...,m e j 1,...,n sono una base di V. 3

4 Eserciio 45. Si dimostri che v 1,...,v n sono linearmente dipendenti se e solo se esiste i tale che v i è una combinaione lineare di v 1,...,v i 1,v i+1,...,v n. Eserciio 46. In classe abbiamo dimostrato che se v 1,...,v n è un insieme minimale di vettori che generano V (ovvero se un sottoinsieme proprio di v 1,...,v n non genera V) allora v 1,...,v n sono una base. Si dimostri che se v 1,...,v n è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti (ovvero se aggiungendo un qualsiasi vettore di V alla lista si ottengono dei vettori linearmente dipendenti) allora v 1,...,v n generano V. Eserciio 47. Sia V C[x] 4 lo spaiovettorialedei polinomi di gradominore o uguale a 4 a coefficienti complessi. Si trovi una base di V e si calcoli la dimensione di V. Eserciio 48. Sia W {(x,y,) K 3 : x+y + 0}. W è un sottospaio di K 3. Se ne trovi una base e se ne calcoli la dimensione. Si completi la base di W trovata ad una base di K 3. Si ricorda che le matrici simmetriche sono le matrici A tali che A t A mentre le matrici antisimmetriche sono le matrici A tali che A t A. Eserciio 49. Sia W lo spaio vettoriale delle matrici simmetriche a coefficienti complessi 2 2. Se ne trovi una base e se ne calcoli la dimensione. Eserciio 50. Sia W lo spaio vettoriale delle matrici simmetriche a coefficienti complessi n n. Se ne trovi una base e se ne calcoli la dimensione. Eserciio 51. Sia W lo spaio vettoriale delle matrici antisimmetriche a coefficienti complessi 2 2. Se ne trovi una base e se ne calcoli la dimensione. Eserciio 52. Sia W lo spaio vettoriale delle matrici antisimmetriche a coefficienti complessi n n. Se ne trovi una base e se ne calcoli la dimensione. Eserciio 53 (I compitino ). Siano U e W due sottospai vettoriali di R 8. Sia dimu 3 e dim W 5. Quale delle seguenti affermaioni è sicuramente vera? A) dim(u +W) 8 qualsiasi siano U e W. B) dim(u W) 2 qualsiasi siano U e W. C) Se U W è diverso da ero allora dim(u +W) 8. D) Se dim(u W) 3 allora U W. E) Se dimu +W 8 allora dim(u W) 3. Eserciio 54 (Compito 6 giugno 2016). Siano V e W due sottospai di dimensione 3 di R 4. Quali sono le possibili dimensioni del sottospaio V W? Motiva la risposta in modo completo. Eserciio 55. Completare la dimostraione che se U e V sono sttospai di W allora U + V è un sottospaio di W. Eserciio 56. Si considerino i vettori v v v v Si verifichi che sono una base di R 4 e si calcolino le coordinate dei seguenti vettori rispetto a questa base: ; 1 0 ; 0 1 ; Applicaioni lineari, duale e determinanti Eserciio 57. Quali delle seguenti applicaioni da R 3 a R 2 è una applicaione lineare? f x y 3 +y g x y 1+ h x y x+y + k x y 0 5y x 1 x y a x y e x b x y e x e y c x y x 2 +y 2 0 +x x 2 d x y x y 4

5 Eserciio 58. Sia V C[t] 3 e sia F : V V definita da F(p(t)) p (t)+p(t+1). Si verifiche che è una applicaione lineare e si calcoli la matrice associata a F rispetto alla base standard di V in partena e in arrivo. Eserciio 59. Sia E 1 Mat 2 2 (R) e sia E 2 Mat 2 3 (R). Sia A e sia T : E 1 E 2 l applicaione T(X) X A. (1) si dimostri che T è una applicaione lineare; (2) si scelgano basi di E 1 ed E 2 e si scriva la matrice associata a T rispetto a queste basi. Eserciio 60. Sia F : V W una applicaione lineare di spai vettoriali. Siano v 1,...,v n degli elementi di V. Si dimostri una delle seguenti affermaioni: (1) sef èiniettiva ev 1...v n sonolinearmenteindipendenti alloraf(v 1 ),...,F(v n ) sonolinearmente indipendenti; (2) se F è surgettiva e v 1...v n generano V allora F(v 1 ),...,F(v n ) generano W; (3) se F è un isomorfismo e v 1...v n sono una base di V allora F(v 1 ),...,F(v n ) sono una base di W. Eserciio 61. Sia data la seguente matrice 2 2: 1 2 M 4 5 (1) si determini un vettore non nullo v 1 di R 2 tale che L M (v 1 ) v 1 ; (2) si determini un vettore non nullo v 2 di R 2 tale che L M (v 2 ) 3v 2 ; (3) si calcoli M 100. Eserciio 62. Sia V uno spaio vettoriale di base v 1,...,v n e sia ϕ 1,...,ϕ n la base duale. Si dimostri che per ogni v V si ha Eserciio 63. Sia data la seguente base di R 3 Si calcoli la base duale. v ϕ 1 (v)v 1 +ϕ 2 (v)v 2 + +ϕ n (v)v n. v v v Eserciio 64. Sia V C[x] 9 e si considerino le funioni ϕ i : V C definite da ϕ i (f(t)) f(i) per i 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Si dimostri che ϕ 0,...,ϕ 9 sono una base di V e se ne calcoli la base duale. Eserciio 65. Siano λ 1...,λ n C. Si consdieri la matrice n n: 1 λ 1 λ λ n λ 2 λ λ n 2 2 V... 1 λ i λ 2 i... λi n 2 i... 1 λ n λ 2 n... λn n 2 1 λ n 1 2 λ n 1 Si dimostri che V è invertibile se e solo se λ 1,...,λ n sono tutti distinti. (sugg. ci si ispiri all esr 64). Eserciio 66. Utiliando le proprietà 1,2,4 enunciate venerdì a leione si deduca che se sommo alla riga di una matrice quadrata un multiplo di un altra riga il determinante non cambia. Eserciio 67. Si enuncino proprietà analoghe alle proprieta 1,2,4,5 enunciate venerdì a leione, sostituendo alle righe le colonne. Si deducano inoltre tale proprietà dalle proprietà 1,2,4,5 e dalla proprietà 6. 5 λ n 1 λ n 1 n

6 Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico e diagonaliabilità Eserciio 68. Sia uno spaio vettoriale complesso. Sia F : V V una applicaione lineare tale che F 4 Id. Si dimostri che se λ è un autovalore di F allora λ 4 1 Eserciio 69. Sia F : V V una applicaione diagonaliabile. Si dimostri che F 2 è diagonaliabile. Eserciio 70. Sia A una matrice 5 5 triangolare superiore che ha lungo la diagonale tutte le entrate uguali a 2. Si dimostri che A è diagonaliabile se e solo se A 2I. Eserciio 71. Sia V C[x] 2 lo spaiovettorialedei polinomi di gradominore o uguale a 2 a coefficienti complessi. Si consideri l applicaione lineare F : V V definita nel seguente modo: F(p(t)) p(0)x 2 +p (x) a) Si determinino gli autovalori di F e le loro molteplicità. b) Si determini una base di autovettori. c) Si calcoli F 15 A Compitino di algebra lineare del 19 febbraio 2016: prima parte Istruioni: Avete 30 minuti di tempo a disposiione. Come prima cosa scrivete nome, cognome e matricola nello spaio qui sotto. Scrivete solo il risultato o la lettera della risposta corretta sena nessuna spiegaione negli appositi spai. Effettuate i calcoli necessari sui fogli che vi saranno consegnati a parte. Dovete consegnare solo questo foglio. Prima di consegnare il foglio trascrivetevi su un foglietto i risultati. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrice, cellulari, pena l annullamento del compito. Domanda 1. Sia 1+i e w 2+i. Calcolare /w. Domanda 2. Calcolare il determinante della seguente matrice A Domanda 3. Sia L : R 5 R 7 una applicaione lineare di rango 3. Determinare la dimensione del nucleo di L. Domanda 4. Siano U e W due sottospai vettoriali di R 8. Sia dimu 3 e dimw 5. Quale delle seguenti affermaioni è sicuramente vera? A) dim(u +W) 8 qualsiasi siano U e W. B) dim(u W) 2 qualsiasi siano U e W. C) Se U W è diverso da ero allora dim(u +W) 8. D) Se dim(u W) 3 allora U W. E) Se dimu +W 8 allora dim(u W) 3. Domanda 5. Si determini la dimensione dello spaio vettoriale Mat 5 3 (R) Compitino del 19 febbraio 2016: seconda parte Nessuno di noi si ricorda quanto tempo abbiamo dato per la seconda parte, credo 2 ore e 30. Istruioni: I fogli per svolgere gli esercii vi saranno forniti. Consegnate solo la bella e il foglio con gli esercii e motivate sempre le vostre risposte. Sarà valutata anche l esposiione e non saranno corretti esercii illeggibili. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrice, cellulari, pena l annullamento del compito. Eserciio 1. Sia V uno spaio vettoriale e sia T : V V una applicaione lineare. a) Si definisca cosa è kert, il nucleo di T. b) Si dimostri che se kert {0} allora T è iniettiva. 6

7 Eserciio 2. Sia V lo spaio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 2. Al variare del parametro reale k si consideri l applicaione lineare L k : V V definita da L k ( p(t) ) p(t+1) kp(t) per ogni polinomio p(t). a) Si scelga una base di V e si determini la matrice associata ad L k rispetto a tale base; b) Si determini il rango di L k al variare del parametro k; Eserciio 3. Sia B la matrice 1 2 B 3 4 Sia E Mat 2 2 (R) lo spaio vettoriali delle matrici 2 2 a coefficienti reali. Sia T : E E l applicaione definita da T(X) B X a) Si determinino nucleo e immagine di T. b) Si determini una base di E e si calcoli la matrice associata a T rispetto a questa base. c) Si calcoli il determinante di T. Eserciio 4. Sia C la matrice C a) Si determini un vettore non nullo v 1 R 2 tale che C v 1 3v 1. b) Si determini un vettore non nullo v 2 R 2 tale che C v 2 9v 2. c) Si calcoli C