Domanda 2. Si calcoli il polinomio caratteristico della seguente matrice A = 2 1 7

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1 A Compitino di algebra lineare del 21 febbraio 217: prima parte Istruioni: Avete 25 minuti di tempo a disposiione. Come prima cosa scrivete nome, cognome e matricola nello spaio qui sotto. Scrivete solo i risultati sena nessuna spiegaione negli appositi spai. Effettuate i calcoli necessari sui fogli che vi saranno consegnati a parte. Dovete consegnare solo questo foglio. Prima di consegnare il foglio trascrivetevi su un foglietto i risultati. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrice, cellulari, pena l annullamento del compito. Per essere ammessi alla seconda parte del compito è necessario aver risposto correttamente a tutte e 5 le domande. Nome e cognome e matricola: Domanda 1. Si determinino tutti i numeri complessi tali che 2 2 e Re() Im(). Risposta: Domanda 2. Si calcoli il polinomio caratteristico della seguente matrice A Risposta: p A (t) Domanda 3. Sia data la seguente base di R 3 : Sia ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 la base duale. Si calcoli ϕ 2. Risposta: ϕ 2 x y v v 2 1 v Domanda 4. Sia F : C 4 C 3 una applicaione lineare tale che dim N(F ) 2. Calcolare il rango di F. Risposta: rango (F ) Domanda 5. Siano U e W sottospai dello spaio vettoriale V delle matrici 2 2: V Mat 2 2. Se U + W V, dim(u W ) 1 e dim W 2 quale è la dimensione di U? Risposta: dim U 1

2 B Compitino di algebra lineare del 21 febbraio 217: prima parte Istruioni: Avete 25 minuti di tempo a disposiione. Come prima cosa scrivete nome, cognome e matricola nello spaio qui sotto. Scrivete solo i risultati sena nessuna spiegaione negli appositi spai. Effettuate i calcoli necessari sui fogli che vi saranno consegnati a parte. Dovete consegnare solo questo foglio. Prima di consegnare il foglio trascrivetevi su un foglietto i risultati. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrice, cellulari, pena l annullamento del compito. Per essere ammessi alla seconda parte del compito è necessario aver risposto correttamente a tutte e 5 le domande. Nome e cognome e matricola: Domanda 1. Si determinino tutti i numeri complessi tali che 2 2 e Re() Im(). Risposta: Domanda 2. Si calcoli il polinomio caratteristico della seguente matrice A Risposta: p A (t) Domanda 3. Sia data la seguente base di R 3 : v v 2 1 v Sia ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 la base duale. Si calcoli ϕ 2. Risposta: ϕ 2 x y Domanda 4. Sia F : C 5 C 4 una applicaione lineare tale che dim N(F ) 2. Calcolare il rango di F. Risposta: rango (F ) Domanda 5. Siano U e W sottospai dello spaio vettoriale V delle matrici 2 3: V Mat 2 3. Se U + W V, dim(u W ) 2 e dim W 3 quale è la dimensione di U? Risposta: dim U 2

3 Compitino di algebra lineare del 19 febbraio 216: seconda parte Istruioni: I fogli per svolgere gli esercii vi saranno forniti. Consegnate solo la bella e il foglio con gli esercii e motivate sempre le vostre risposte. Sarà valutata anche l esposiione e non saranno corretti esercii illeggibili. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrici, cellulari, pena l annullamento del compito. Eserciio 1. a) Si enunci il teorema della dimensione. b) Esistono due applicaioni lineari f : R 3 R 2, g : R 2 R 3 tali che la loro composiione g f sia iniettiva? Motivare la risposta. Eserciio 2. Sia W il sottospaio di R 3 definito dall equaione x+y+ e sia V il sottospaio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 3 che si annullano in 1: V {p(t) R[t] 3 : p(1) }. Sia F : W V l applicaione lineare definita da F x y x + 2 y t + t 2 + (x + )t 3 (per esempio F (1, 1, ) è il polinomio 1 2t + t 3 ) a) Si scelga una base di W e una di V e si scriva la matrice associata a F rispetto a queste basi. b) Sia G : R 3 R[t] 3 l applicaione lineare tale che G t e G x y F x y se x y W. Scrivere la matrice associata a G rispetto alle basi standard di R 3 e R[t] 3. Eserciio 3. Si determinino tutti gli complessi tali che Eserciio 4. Sia A la matrice con tutte le entrate uguali a 1. a) Si determini una base del nucleo di L A. b) Si determini un autovettore con autovalore diverso da ero (si provi ad indovinare!). c) Si determini una base di autovettori per L A e si calcoli il polinomio caratteristico di L A. Domanda i e 1 i. Soluioni prima parte versione A Domanda 2. p A (t) (t 2)(t 1)(t + 1) t 3 + 2t 2 + t 2. Domanda 3. ϕ 2 x y x + y +. Domanda 4. rango(f ) 2. Domanda 5. dim U 3. Domanda 1. 1 i e 1 + i. Soluioni prima parte versione B Domanda 2. p A (t) (t + 2)(t 1)(t + 1) t 3 2t 2 + t

4 Domanda 3. ϕ 2 x y x + y. Domanda 4. rango(f ) 3. Domanda 5. dim U 5. Soluioni seconda parte Eserciio 1. a) Sia V uno spaio vettoriale di dimensione finita sul campo K e sia F : V W una applicaione lineare allora dim V dim ker F + dim Im F. b) Una tale coppia di applicaioni non esiste. Infatti per il teorema della dimensione l applicaione f ha nucleo di dimensione almeno 1 quindi esiste v non ero tale che f(v). Quindi anche g(f(v)) e g f non è iniettiva. Eserciio 2. a)una base di W è ed una base di V è data da w w p 1 (t) t 1, p 2 (t) t 2 1 p 3 (t) t 3 1 Abbiamo F (w 1 ) 1 2t + t 3 p 3 (t) 2p 1 (t) e F (w 2 ) 2t t 2 t 3 p 3 (t) p 2 (t) + 2p 1 (t). Quindi [F ] w 1,w 2 p 1,p 2,p b) Osserviamo che e 1, w 1, w 2 è una base di R 3 e che per definiione di G abbiamo 1 1 [G] e 1,w 1,w ,t,t 2,t Per determinare la matrice cercata calcoliamo la matrice di cambiamento di base [Id] e 1,e 2,e 3. Tale matrice è l inversa della matrice [Id] e 1,w 1,w 2 e 1,e 2,e Possiamo calcolare l inversa della matrice in vari modi, procediamo per riduione a scalini della matrice sommiamo la tera riga alla seconda, poi sommiamo la seconda alla prima e infine cambiamo segno alla seconda e alla tera riga. Otteniamo

5 e ricaviamo che [Id] e 1,e 2,e 3 è la matrice costituita dalle ultime tre colonne della matrice appena calcolata. Quindi [G] e 1,e 2,e 2 1,t,t 2,t 3 [G] e 1,w 1,w 2 1,t,t 2,t 3 [Id] e 1,e 2,e Eserciio 3. Sia ρ il modulo di e θ [, 2π) l argomento. Abbiamo ρe iθ e quindi 32 4 ρ 5 e 3iθ. Da questa equaione ricaviamo ρ 5 32 da cui ρ 2 e 3θ come angolo ovvero θ, 2π/3, 4π/3. Quindi le soluioni sono 2e 2 2e 2π/3 1 + i 3 2e 4π/3 1 i 3 Eserciio 4. Tutte le colonne della matrice A sono uguali quindi L A ha rango 1 e di conseguena il nucleo ha dimensione 12. Il nucleo di L A è definito dall equaione x x 13 ovvero x 1 x 2 x 2 x 13. Una base del nucleo è quindi data da v i e 1 e i per i 2,..., 13. Notiamo che se v 1 è il vettore con tutte le entrate uguali a 1, abbiamo L A (v 1 ) 13 v 1. Quindi v 1,, v 13 sono una base di autovettori e abbiamo [L A ] v 1...v 13 v 1...v Il polinomio caratteristico di L A è quindi uguale a t 12 (13 t) 13 t 12 t 13. 5