GEOMETRIA (Schoof) 1 o appello Roma, 4 luglio 2014, ore 11:00 13:00.

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Agata Corona
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1 GEOMETRIA (Schoof o appello Roma, 4 luglio 24, ore : 3:. COGNOME NOME Risolvere gli esercii negli spai predisposti. Accompagnare le risposte con spiegaioni chiare ed esseniali. Consegnare SOLO QUESTO FOGLIO. Ogni eserciio vale 6 punti.. In R 3 siano dati il punto p e la retta r come segue Calcolare la distana di p da r. Questo è l eserciio del foglio 6. p = 2, r : x y = + t 2, (t R Sia r la retta in R 3 di equaione cartesiana { y = x = e siano P e Q i punti di interseione di r con la sfera di centro e raggio 2. Calcolare la distana fra P e Q. Un equaione della sfera è data da X 2 + (Y 2 + Z 2 = 4. Per le coordinate dei punti P e Q abbiamo che x = e y = e quindi + (y 2 + y 2 = 4. Questo implica che y = ( ± 5/2 e determina La distana fra P e Q è la lunghea del vettore vale a dire è. ( P = ( + 5/2 ( +, Q = ( 5/2 5/2 (. 5/2 ( ( + 5/2 ( + ( 5/2 5/2 (, 5/2 3. Sia v = e sia f : R 3 R 3 l applicaione data da f(x = x v. Determinare la dimensione dell immagine di f. x y x Si ha che f y = + x. Il nucleo di f consiste quindi dei vettori y che soddisfano x = y =. x + y In altre parole ker f è lo span di v e ha quindi dimensione. Ne segue che l immagine di f ha dimensione 2.

2 4. Sia A = 2 4. Calcolare A. Questo è l eserciio 5 del foglio Sia V R 3 il sottospaio dato da V = { x y R 3 : x = y} e sia h : R 3 R 3 l applicaione data da h x y = x + y +. 3x y (a Dimostrare che se x V, allora anche h(x V (b Sia H : V V la restriione di h a V. Si ha quindi che H(x = h(x per ogni x V. Calcolare il polinomio caratteristico di H. ( x La parte (a segue dal fatto che se x = y, allora la prima coordinata di h y h(x V. Per la parte (b scegliamo la base e = ( H(e = ( ed e 2 = ( = e 2 e H(e 2 = ( 2 è uguale alla seconda ed di V. Allora si ha che = e 2 + 2e. La matrice rappresentativa di H rispetto alla base e, e 2 è quindi uguale a caratteristico è X 2 X 2. 2 e il suo polinomio

3 GEOMETRIA (Schoof o appello Roma, 4 luglio 24, ore : 3:. COGNOME NOME Risolvere gli esercii negli spai predisposti. Accompagnare le risposte con spiegaioni chiare ed esseniali. Consegnare SOLO QUESTO FOGLIO. Ogni eserciio vale 6 punti.. In R 3 siano dati il punto p e la retta r come segue Calcolare la distana di p da r. p = 2, r : x y = + t 2, (t R Sia r la retta in R 3 di equaione cartesiana { y = x = e siano P e Q i punti di interseione di r con la sfera di centro e raggio 3. Calcolare la distana fra P e Q.

4 3. Sia v = e sia f : R 3 R 3 l applicaione data da f(x = x v. Determinare la dimensione dell immagine di f. 4. Sia A = 2 4. Calcolare A. 5. Sia V R 3 il sottospaio dato da V = { x y R 3 : x = y} e sia h : R 3 R 3 l applicaione data da h x y = x + y +. 2x y (a Dimostrare che se x V, allora anche h(x V (b Sia H : V V la restriione di h a V. Si ha quindi che H(x = h(x per ogni x V. Calcolare il polinomio caratteristico di H.

5 GEOMETRIA (Schoof o appello Roma, 4 luglio 24, ore : 3:. COGNOME NOME Risolvere gli esercii negli spai predisposti. Accompagnare le risposte con spiegaioni chiare ed esseniali. Consegnare SOLO QUESTO FOGLIO. Ogni eserciio vale 6 punti.. In R 3 siano dati il punto p e la retta r come segue Calcolare la distana di p da r. p = 2, r : x y = + t 2, (t R Sia r la retta in R 3 di equaione cartesiana { y = x = e siano P e Q i punti di interseione di r con la sfera di centro 2 e raggio 2. Calcolare la distana fra P e Q.

6 3. Sia v = e sia f : R 3 R 3 l applicaione data da f(x = x v. Determinare la dimensione dell immagine di f. 4. Sia A = 2 4. Calcolare A. 5. Sia V R 3 il sottospaio dato da V = { x y R 3 : x = y} e sia h : R 3 R 3 l applicaione data da h x y = x + y +. x + 2y (a Dimostrare che se x V, allora anche h(x V (b Sia H : V V la restriione di h a V. Si ha quindi che H(x = h(x per ogni x V. Calcolare il polinomio caratteristico di H.

7 GEOMETRIA (Schoof o appello Roma, 4 luglio 24, ore : 3:. COGNOME NOME Risolvere gli esercii negli spai predisposti. Accompagnare le risposte con spiegaioni chiare ed esseniali. Consegnare SOLO QUESTO FOGLIO. Ogni eserciio vale 6 punti.. In R 3 siano dati il punto p e la retta r come segue Calcolare la distana di p da r. p = 2, r : x y = + t 2, (t R Sia r la retta in R 3 di equaione cartesiana { y = x = e siano P e Q i punti di interseione di r con la sfera di centro 2 e raggio 3. Calcolare la distana fra P e Q.

8 3. Sia v = e sia f : R 3 R 3 l applicaione data da f(x = x v. Determinare la dimensione dell immagine di f. 4. Sia A = 2 4. Calcolare A. 5. Sia V R 3 il sottospaio dato da V = { x y R 3 : x = y} e sia h : R 3 R 3 l applicaione data da h x y = x + y +. x + 3y (a Dimostrare che se x V, allora anche h(x V (b Sia H : V V la restriione di h a V. Si ha quindi che H(x = h(x per ogni x V. Calcolare il polinomio caratteristico di H.

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