Sabato 8 dicembre: trovate gli argomenti trattati questa settimana nelle note Determinanti.

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1 .. Indicaioni per lo studio e per gli esercii per casa. Sabato 9 settembre: gli argomenti trattati realtivi agli insiemi li trovate nella nota Richiami sugli insiemi, mentre il materiale relativo ai numeri complessi lo trovate nella nota Numeri complessi: I parte. Per casa potete fare gli esercii che trovate nella nota sugli insiemi e gli esercii Sabato 6 ottobre: trovate gli argomenti trattati questa settimana nelle note sui numeri complessi, I e II parte. Per casa potete fare gli esercii.9-. e.-.6. Sabato 3 ottobre: trovate gli argomenti trattati questa settimana nelle note sui numeri complessi, II e III parte. Per casa potete fare gli esercii Sabato ottobre: trovate gli argomenti trattati questa settimana nelle note sui numeri complessi, III parte e IV parte e nelle note sulla geometria dello spaio I parte. Per casa potete fare qualsiasi eserciio sui numeri complessi. l.3, l.5, gli esercii dal 3. al 3.7. Si consiglia di concentrarsi su questi ultimi nove esercii. Sabato 7 ottobre: trovate gli argomenti trattati questa settimana nelle note sulla geometria dello spaio II parte e nel capitolo del libro. Per casa potete fare qualsiasi eserciio sulla parte relativa alla geometria del piano e dello spaio, qualsiasi eserciio della seione sugli spai e sottospai vettoriali e l esercio. del libro. Si consiglia di fare almeno i primi due esercii della seione sugli spai vettoriale e i primi quattro esercii della seione sulle basi. Sabato 3 novembre: trovate gli argomenti trattati questa settimana nelle seioni del libro e nelle seioni 4. e 4.. e 4... Potete fare gli esercii sulle matrici e i primi quattro esercii sulle applicaioni lineari. Consiglio di fare almeno il primo eserciio sulle matrici e i primi quattro esercii sulle applicaioni lineari. Sabato novembre: trovate gli argomenti trattati questa settimana nelle seioni 4., 4., 4.3 e Potete fare gli esercii del libro 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.5. Potete inoltre fare gli esercii 7.5, 7.6, 7.7, 7.8, 7.9, 7.. Consiglio di fare almeno un paio di esercii tra 7.5, 7.6, 7.7 e un eserciio tra 7.8, 7.9, 7.. Sabato 7 novembre: trovate gli argomenti trattati questa settimana nelle note sui sistemi lineari che compariranno. Potete fare gli esercii del libro 3., 3., 3.4. Potete inoltre fare gli esercii 8., 8., 8.3 e 8.4. Consiglio di fare almeno gli esercii 8., 8., 8.3. Sabato 4 novembre: troverete gli argomenti trattati questa settimana e la precedente nelle note sistemi linerari e nelle note dimensione: I parte che spero saranno disponibili al più presto. Potete fare gli esercii della seione sul teorema fondamentale e l eserciio 7.. Sabato dicembre: trovate gli argomenti trattati questa settimana nelle note dimensione: II parte e nelle note Descriione di sottospai vettoriali. Potete fare qualsiasi eserciio fino alla seione. Sabato 8 dicembre: trovate gli argomenti trattati questa settimana nelle note Determinanti. Sabato 5 dicembre: trovate gli argomenti trattati questa settimana nelle note Determinanti e nella seione 5. del libro. Potete fare qualsiasi eserciio fino alla seione e gli esercii.,.,.3,.4,.5. Giovedì dicembre. Trovate gli argomenti trattati questa settimana nelle seioni 5. e 5. del libro. Potete fare qualsiasi eserciio fino alla seione. Potete fare quasi tutti gli esercii dei compitini (quest anno non abbiamo fatto il duale, e non abbiamo parlato di spai affini).

2 . Esercii vari e richiami Questi esercii riguardano argomenti che nel corso sono stati solo velocemente richiamati durante la prima settimana e che il corso presuppone noti dalle superiori. Si tratta di qualche noione di calcolo proposiionale, di insiemistica, di trigonometria e coordinate polari. Eserciio.. Avete a disposiione un recipiente che contiene esattamente 36 cc, uno che ne contiene 5, un grande recipiente da 9 lt e una fonte d acqua. Utiliando questi recipiente possibile lasciare nel recipiente grande esattamente cc cc 3 cc se possibile far vedere come, se impossibile spiegare perché. Eserciio.. Due bambini giocano sul tavolo di casa che e perfettamente rettangolare. Hanno a disposiione una pila di piatti circolari tutti uguali. I due giocatori dispongono alternandosi un piatto sul tavolo in una ona libera, ovvero sena che questo sia sovrapposto in nessun modo ai piatti precedenti. Perde il primo giocatore che non riesce a mettere il piatto o il cui piatto cade. All iniio il tavoli è vuoto. Il primo giocatore ha una strategia vincente. Quale? Eserciio.3. Scrivere il numero, 345 come fraione. Scrivere la fraione /7 come numero con la virgola. Eserciio.4. In una classe di Ingegneria meccanica di 5 studenti tutti hanno almeno dato un esame tra analisi, geometria e fisica al primo appello utile. 5 hanno dato analisi, geometria, 75 fisica, 5 sia geometria che analisi e 5 tutti e tre gli esami. Gli studenti che hanno dato sia geometria che fisica hanno dato anche analisi. Quanti sono gli studenti che hanno dato almeno due esami? Eserciio.5. Sia Si descrivano gli insiemi elencandone gli elementi. A = {,, 3, 5} B = {x N : x = 9 o x = 6} e C = {4, 6, 7} A B C (A B) (A B) (C B). Eserciio.6. Sia A = {,,,, 3} e sia B = {x : x A}. Si calcoli card(b). Eserciio.7. Siano A e B due sottoinsiemi dell insieme C, ovvero contenuti in C. Sia D = {x C : se x A allora x B} Capire chi è l insieme D. Si faccia un disegno di A, B e C e si colori l insieme D. Eserciio.8. Si dia un descriione più esplicita dei seguenti insiemi {x R : y R R tale che x + y + = } {x R : R tale che y R, x + y + = } {x R : y R R tale che x = x y } {x R : y R tale che R, x = x y }. Eserciio.9. Determinare le coordinate cartesiane dei punti che hanno le seguenti coordinate polari sena usare la calcolatrice ρ = 5, α = 3π/ ρ = 3, α = 5π/4 ρ =, α = π/3 ρ = 4, α = π/6 Eserciio.. Determinare le coordinate polari dei punti che hanno le seguenti coordinate cartesiane sena usare la calcolatrice (, ), (3, 3 3), (, ) Eserciio.. Determinare le coordinate cartesiane dei punti che hanno le seguenti coordinate polari usando la calcolatrice ρ = 5, α =, ρ = 3, α = π/7 ρ =, α = ρ = 4 3, α = π/9

3 Eserciio.. Determinare le coordinate polari dei punti che hanno le seguenti coordinate cartesiane usando la calcolatrice (, 3), (3, 5), (4, ) Eserciio.3. Sia S una sfera di raggio e sia C un cono a base circolare e con altea passante per il centro della base, circoscritto alla sfera. Sapendo che la base del cono ha area uguale a 4π calcolare il volume. Eserciio.4. Si dimostri che esistono infiniti numeri primi procedendo nel seguente modo: si supponga per assurdo che siano in numero finito e che siano p,..., p n si consideri il numero m = p p n + e si osservi che questo numero non è divisibile per nessuno dei numeri precedenti. Eserciio.5. Sia dato un cubo di lato. () Quanto è lunga la strada più corta lungo la superficie del cubo per andare da un vertice al vertice opposto? () Si considerino 4 vertici del cubo A, B, C, D non adiacenti (non appartenenti ad uno stesso spigolo). Calcolare il volume del solido i cui vertici sono A, B, C, D.. Numeri complessi Eserciio.. Calcolare ( + i). Calcolare (3 + 4i) (3 i). Eserciio.. Sia = 3 + 4i e w = 7 3i. Calcolare /w e w. Eserciio.3. Verificare che per ogni C si ha =. Eserciio.4. Calcolare le radici quadrate complesse dei seguenti numeri: (ogni tanto vi verranno dei numeracci) 37, 69,, 9i, 3 + i, 3 + 7i. 4 Eserciio.5. Risolvere le seguenti equaioni dove è un numero complesso ( + i) + 4 =, =, ( + i) + 3 i = (ogni tanto vi verranno dei numeracci) Eserciio.6. Calcolare le radici quarte di 6 (ovvero gli tali che 4 = 6). Calcolare le radici ottave di (ovvero gli tali che 8 = ). [utiliare le coordinate polari]. Eserciio.7. Determinare tutti i numeri complessi tali che 4 = 3. Eserciio.8. Determinare tutti i numeri complessi tali che è un numero reale. i + i Eserciio.9. Determinare tutti i numeri complessi tali che i + i =. Eserciio.. Determinare tutti i numeri complessi tali che e = e. Eserciio.. Risolvere le seguenti equaioni, dove C: ( ) 3 = i + (i ) i = 3 = i Eserciio.. Calcolare ( i) 4. Risolvere 3 = arg () + π 6 e = Re (). Eserciio.3 (Daddi). Si determini il valore del parametro reale k in modo che l equaione + (3 + k i) = 8 9 i abbia, tra le sue soluioni, il numero complesso i. Si determini poi l altra soluione dell equaione. 3

4 Eserciio.4 (Daddi). Assegnata l equaione i k i = dove k un parametro reale, si determinino gli eventuali valori di k in modo che le soluioni siano non reali ed abbiano modulo uguale a. Eserciio.5 (Daddi). Tra i numeri complessi della forma = k + + i ( k 3) dove k un numero reale, determinare quello avente modulo minimo. Eserciio.6 (Daddi). Si disegni nel piano complesso l insieme rappresentato dal sistema { Im( + 4 i) + 3 i > 3. Eserciio.7. Risolvere l equaione e 3 + 5e + 7e =. Eserciio.8. Trovare tutte le, w C che risolvono il seguente sistema: { w = i w + = Eserciio.9 (Daddi). Pierino, dopo vari anni di tentativi poco fruttuosi, si sta finalmente appassionando alla matematica; purtroppo oggi ha perso il foglio sul quale aveva scritto gli appunti della leione. Appena arrivato a casa, prova a ricostruire un eserciio svolto dal professore; si ricorda che si trattava di determinare le soluioni di un equaione della forma =, dove al posto dei puntini ci sono dei numeri reali. Pierino ricorda anche che, tra le soluioni dell equaione, ci sono e + 4 i. Si dica qual l equaione che il professore ha scritto alla lavagna. Eserciio.. Sia w = e π i n, allora w n + w n + + w + =. Eserciio.. Sia a, b, c tre numeri complessi. Dimostrare che a, b, c sono i vertici di un triangolo equilatero se e solo se a + b + c ab ac bc =. Eserciio.. Si trovi una formula per l ennessimo termine della successione x n definita nel modo seguente: x =, x =, x n+ = x n x n. Eserciio.3. Dati a, b, c C trovare una equaione polinomiale in a, b, c che dica quando il triangolo che ha come vertici a, b, c sia isoscele e rettangolo in a. Eserciio.4. Descrivere usando i numeri complessi la rotaione di π/3 attorno al punto + 3i. Eserciio.5. Descrivere usando i numeri complessi la riflessione rispetto alla retta passante per 3 e parallela alla bisettrice del primo quadrante. 3. Geometria del piano e dello spaio Eserciio 3.. Siano dati i punti p = (,, 3), q = (,, ), r = (,, ). Calcolare p + 3q r 3p q + r Eserciio 3.. Siano dati i punti p = (,, 3), q = (,, ), r = (,, ), s = (,, ). Calcolare il baricentro dei quattro punti. Eserciio 3.3. Siano dati i punti p = (, 3), q = (, ), r = (, ), s = (, ). Calcolare l interseione tra le rette pq e rs. Eserciio 3.4 (Lombardo). Sia dato un quadrilatero convesso abcd nel piano. Si dimostri che esiste un punto comune ai segmenti congiungenti i punti medi dei lati opposti e al segmento congiungente i punti medi delle due diagonali. Di che punto si tratta? Eserciio 3.5. Siano dati i punti p = (,, 3), q = (,, ), r = (,, ). Calcolare lunghea dei lati, perimetro e angoli del triangolo pqr. [per gli angoli usare la calcolatrice]. 4

5 Eserciio 3.6. Siano dati i tre punti del piano cartesiano di coordinate (, 3), (7, ), (5, 4). Calcolare area, perimetro e angoli del triangolo da essi individuato. Eserciio 3.7. Siano dati i punti (,, 3), (3, 4, 5), (7,, ). triangolo da essi individuato. Calcolare area, perimetro e angoli del Eserciio 3.8. Sia abc un triangolo non degenere. Si dimostri che le tre altee si incontrano in uno stesso punto. Eserciio 3.9. Sia abc un triangolo non degenere. Sia p l interseione delle altee (ortocentro), q l interseione delle mediane (baricentro) e r il centro del triangolo circoscritto (circocentro). Si dimostri che p, q, r giacciono su una stessa retta. Eserciio 3.. Da un punto P esterno ad una circonferena si tracci una retta che interseca il cerchio e siano A e B i due punti di interseione (eventualemente coincidenti se la retta è tangente alla circonferena). Si dimostri che dist(a, P ) dist(b, P ) = d r dove d è la distana di P dal centro della circonferena e r è il raggio della circonferena. Eserciio 3.. Siano dati i punti p = (,, 3), q = (,, ). Calcolare la proieione di q sulla retta Op e la distana di q da tale retta. Eserciio 3.. Siano dati i punti p = (,, 3), q = (,, ), r = (,, ). Calcolare la proieione di r sulla retta pq e la distana di r da tale retta. Eserciio 3.3. Sia π piano x + y + =. Si calcoli la proieione di p = (,, 3) su π e la distana di p da π. Si calcoli inoltre il simmetrico di p rispetto a π. Eserciio 3.4. Sia π piano x + y + =. Si calcoli la proieione di p = (,, 3) su π e la distana di p da π. Si calcoli inoltre il simmetrico di p rispetto a tale piano. Eserciio 3.5. Siano dati i punti p = (,, 3), q = (,, ), r = (,, ). Eserciio 3.6. Calcolare il volume del tetraedro che ha come vertici i punti (,, ), (,, 3), (,, ), (3,, ). Eserciio 3.7. Sia Π il piano di equaioni ax + by + c = d. Si determini una formula per la distana di un punto di coordinate (α, β, γ) da Π. Eserciio 3.8. Sia U la retta di R 3 generata da (,, ) e sia C la sfera di centro A = (,, 4) e raggio. () Determinare la distana di A da U. () Determinare i piani contenenti U e tangenti alla sfera. 4. Spai e sottospai vettoriali Eserciio 4.. Si considerino i seguenti sottoinsiemi dello spaio vettoriale R. Quali sono sottospai vettoriali? U = {(x, y) R : 3x + 4y = } W = {(x, y) R : 3x + 4y = } X = {(x, y) R : x + y = } Y = {(x, y) R : x e y } Z = {(x, y) R : x + 4xy + 4y = } Nei casi in cui è un sottospaio si devono verificare le tre proprietà che caratteriano i sottospai, nei casi in cui non è un sottospaio basta fare un esempio che mostra che almeno una di queste proprietà fallisce. [Si,No,No,No,Si] 5

6 Eserciio 4.. Si considerino i seguenti sottoinsiemi dello spaio vettoriale F(Z, R). Quali sono sottospai vettoriali? U = {f(x) F(Z, R) : f() = e f() = } W = {f(x) F(Z, R) : f()f() = } X = {f(x) F(Z, R) : f( x) = f(x) per ogni x Z} Y = {f(x) F(Z, R) : f(x + ) = f(x) per ogni x Z} Z = {f(x) F(Z, R) : f(x + ) = f(x) + per ogni x Z} Nei casi in cui è un sottospaio si devono verificare le tre proprietà che caratteriano i sottospai, nei casi in cui non è un sottospaio basta fare un esempio che mostra che almeno una di queste proprietà fallisce. [Si,No,Si,Si,No] Eserciio 4.3. Siano U e W due spai vettoriali e sia V = U W. Su V definisco O, somma e prodotto per scalare nel seguente modo: (u, w) + (u, w ) = (u + u, w + w ) λ (u, w) = (λu, λw) = (, ) per ogni u, u U, w, w W e λ K. Si verifiche che V è uno spaio vettoriale. Eserciio 4.4. Si dimostri che se U e W sono due sottospai vettoriali dello spaio vettoriale V allora U W è un sottospaio vettoriale di V. Eserciio 4.5. Sia R una retta passante per l origine di R 3 e sia Π il piano ortogonale a R passante per l origine. Si determini R Π e R + Π. Eserciio 4.6. Dimostrare che gli unici sottospai di R sono {} le rette e tutto R. Eserciio 4.7. Sia V uno spaio vettoriale su K. Allora v = V per ogni v V e λ V = V per ogni λ K. Eserciio 4.8. Sia V, + V, V, V il seguente spaio vettoriale su R: come insieme V = R +, V = e somma e prodotto sono definite nel modo seguente x + V y = xy per x, y V e λ R. Verificare che è uno spaio vettoriale. λ V x = x λ Eserciio 4.9. Siano U e W due sottospai dello spaio vettoriale V. Si dimostri che se U W è un sottospaio vettoriale di V allora U W o W U. 5. Basi, generatori e vettori linearmente indipedenti Eserciio 5.. Trovare una base del sottospaio x y + 3 = di C 3. Scrivere le coordinate di (, 4, ) rispetto alla base scelta. Eserciio 5.. Si dimostri che i seguenti polinomi sono una base di C[t] : f (t) = (t )(t ), f (t) = t(t ), f 3(t) = t(t ). Sia f = t, scrivere le coordinate di f rispetto a f, f, f 3. Se f è un polinomio qualsiasi quali sono le coordinate di f rispetto alla base f, f, f 3. (C è un modo molto sintetico ed efficace per farlo) Eserciio 5.3. Descrivere una base delle spaio vettoriale delle matrici a coefficienti reali. Eserciio 5.4. Sia V uno spaio vettoriale V su K. Siano u, v V e sia v diverso da ero. Dimostrare che u e v sono linearmente dipendenti se e solo se esiste λ K tale che u = λv. Eserciio 5.5. Sia v, v, v 3, v 4 una base di uno spaio vettoriale V. Dimostrare che per ogni v in V i vettori v, v, v 3, v 4, v generano V ma non sono linearmente indipendenti. Eserciio 5.6. Sia v, v, v 3, v 4 una base di uno spaio vettoriale V e sia U = Span(v, v ) e W = Span(v 3, v 4 ). Determinare U W e U + W. Eserciio 5.7. Siano u,..., u h, w,..., w k e sia U = Span(u,..., u h ) e sia W = Span(w,..., w k ). Allora U + W è generato da u,..., u h, w,..., w k. [Se aiuta sostituire h e k con e 3] Eserciio 5.8. Sia U e W due sottospai vettoriali di uno spaio vettoriale V. Siano u, u U e w, w W. Dimostrare che se U W = {} e u, u sono lineamente indipendenti e w, w sono linearmente indipendenti allora u, u, w, w sono linearmente indipendenti. 6

7 Eserciio 5.9. Sia X un insieme finito e K un campo e sia V = F K (X) lo spaio vettoriale delle funioni da X in K definito in classe. Per ogni x X sia δ x la funione definita nel modo seguente: { se y = x; δ x (y) = se y x. Dimostrare che se x,..., x n sono gli elementi di X allora δ x,..., δ xn è una base di F K (X). Eserciio 5.. Siano v,..., v n V dei vettori linearmente indipendenti. Sia v V. Dimostrare che v,..., v n, v sono linearmente indipendenti se e solo se v / v,..., v n. Eserciio 5.. Si considerino i vettori 3 v = v = v 3 = v 4 = Si verifichi che sono una base di R 4 e si calcolino le cordinate dei seguenti vettori rispetto a questa base: ; ; ;. 6. Matrici Eserciio 6.. Siano date le seguenti matrici A = B = C = D = G = 4 5 H = () Calcolare i prodotti A A, B C. () Si può eseguire il prodotto A D? E il prodotto D A? calcolare quello dei due che si può eseguire. (3) Calcolare AB BA e BC CB. (4) Calcolare D G e G + G = G G + G. (5) Calcolare A. (6) Calcolare H G e G H. (7) se M è una matrice m 3 e N è una matrice 3 n descrivere il prodotto H N e M H. Eserciio 6.. È vero che se A e B sono matrici e A B = allora A = o B =. Dimostrare che è vero o esibire un controesempio. Eserciio 6.3. Siano a, b, c, d C tali che ad bc. Si considerino le matrici a b d b A = e B =. c d ad bc c a Si dimostri che A B = B A = I. Eserciio 6.4. () Si dimostri che se A è una matrice 3 a coefficienti reali e non nulla, allora T r(a A t ) >. () Si dimostri che se A è una matrice m n a coefficienti reali e non nulla allora T r(a A t ) >. Eserciio 6.5. Si cosideri la seguente matrice 3 4 A = Si calcoli T r(a ). Definiione. Una matrice quadrata A si dice simmetrica se è simmetrica rispetto alla diagonale ovvero se A t = A. Si dice invece antisimmetrica se A t = A. Indichiamo con Matsim n l insieme delle matrici simmetriche n n e con Matant n quello delle matrici antisimmetriche n n. 7

8 Eserciio 6.6. Si dimostri che Matsim n è un sottospaio vettoriale di Mat n n. Se ne determini una base nel caso di n =. Eserciio 6.7. Si dimostri che Matant n è un sottospaio vettoriale di Mat n n. Se ne determini una base nel caso di n = 3. Eserciio 6.8. Sia K = R o K = C. () Si determini Matsim n Matant n. () Si determini Matsim + Matant. (3) Si dimostri che Matsim n + Matant n = Mat n n. Eserciio 6.9. Sia A una matrice m h e B una matrice h n. Si dimostri che () (A B) t = B t A t. () Se inoltre m = n vale Tr(A B) = Tr(B A). Eserciio 6.. Sia data la matrice a coefficienti complessi: a b A = c d e supponiamo che esista una matrice, B tale che A B = I. Si dimostri che ad bc e che B è uguale alla matrice scritta nell eserciio 6.3 Eserciio 6.. Sia A una matrice m m invertibile. Dimostrare che A t è invertibile e che (A t ) = (A ) t. Eserciio 6.. Siano A e B due matrici m m invertibili. Dimostrare che AB è invertibile e che (AB) = B A. 7. Applicaioni lineari Eserciio 7.. Quali delle seguenti applicaioni da R 3 a R è una applicaione lineare? f x y 3 + y = g x y + = h x y x + y + = k x y = 5y x x y x a y e x x = b y e = x e y x c y x = + y x + x x d y x = y Eserciio 7.. Sia V = C[t] e siano G : V V, G : V C 3 e H : C 3 V definite nel modo seguente: F (p(t)) = (t 5t)p(t) p() G(p(t)) = p(3) x H y = x(t ) + y(t 3) + (t 7) + (t 8) p(7) () dire quali tra F, G, H sono lineari. () dire quali tra F, G, H sono iniettive? (3) dire quali tra F, G, H sono surgettive? (4) Determinare G H e F H. Eserciio 7.3. Sia F : R 3 R 4 l applicaione lineare definita da 3x + y + x F y = x + y x + x + y () Si determini una matrice A tale che F = L A ; () Si dica quali dei seguenti punti sono nel nucleo:,,, 3 8 4,.

9 (3) Si dica quali dei seguenti punti sono nell immagine: 4,,,, Eserciio 7.4. Sia F : C[t] C[t] l applicaione lineare definita da F (f) = f la derivata rispetto a t di f. Si determini il nucleo e l immagine. Eserciio 7.5. Sia V = C[t] 3 e sia F : V V definita da F (p(t)) = p (t) + p(t + ). Si verifiche che è una applicaione lineare e si calcoli la matrice associata a F rispetto alla base standard di V in partena e in arrivo. Eserciio 7.6. Sia V = Mat 3 e W = Mat. Sia inoltre A = Sia R A : V W l applicaione definita da R A (X) = X A. Si dimostri che R A è lineare e se ne calcoli la matrice associata rispetto alla basi standard in arrivo e in partena. Eserciio 7.7. Sia W il piano di R 3 definito da x + y = e sia F : W R l applicaione definita da F x y x + 3 = per ogni x y W x y Si scelga una base di W e si scriva la matrice associata a F rispetto a questa base in partena e alla base standard in arrivo. Eserciio 7.8 (Compito luglio 7). Sia W il sottospaio di R 3 definito dall equaione x + =, sia E lo spaio vettoriale delle matrici e sia T : W E l applicaione lineare definita da x x T y x y = per ogni y W. y x +. Sia inoltre S : R 3 E l applicaione lineare definita da S x y = T x y per ogni x y W e S = a) scegliere una base di W e una di E e scrivere la matrice associata a T rispetto a queste basi. b) scrivere la matrice associata ad S rispetto alla basi standard di R 3 ed E. Eserciio 7.9 (Compitino febbraio 7). Sia W il sottospaio di R 3 definito dall equaione x+y+ = e sia V il sottospaio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 3 che si annullano in : V = {p(t) R[t] 3 : p() = }. Sia F : W V l applicaione lineare definita da F x y = x + y t + t + (x + )t 3 (per esempio F (,, ) è il polinomio t + t 3 ) a) Si scelga una base di W e una di V e si scriva la matrice associata a F rispetto a queste basi. b) Sia G : R 3 R[t] 3 l applicaione lineare tale che x x x G = + t e G y = F y se y W. Scrivere la matrice associata a G rispetto alle basi standard di R 3 e R[t] 3. Eserciio 7.. Sia data la seguente matrice : 4 M = 9

10 () si determini un vettore non nullo v di R tale che L M (v ) = v ; () si determini un vettore non nullo v di R tale che L M (v ) = 3v ; (3) si calcoli M. Eserciio 7. (Compito 5 giugno 7). Sia F : R 3 R 3 l applicaione lineare che ha come matrice associata rispetto alla base canonica la matrice a) Dire se esistono due basi u, u, u 3 e v, v, v 3 di R 3 tale che [F ] u,u,u3 v,v,v 3 b) Dire se esiste una base v, v, v 3 di R 3 tale che [F ] e,e,e3 v,v,v 3 è diagonale. 8. Sistemi lineari Eserciio 8.. Si consideri il seguente sistema lineare x + x x 4 + x 5 = 7 x + x + 7 x 3 + x 4 = 4 x + 3 x x 4 + x 5 = 4 () Scrivere la matrice e la matrice completa associate al sistema lineare () Ridurre la matrice a scalini. (3) Calcolare il rango della matrice associata e della matrice completa (4) Descrivere le soluioni del sistema è diagonale. Eserciio 8.. Si consideri il seguente sistema lineare al variare del parametro c R. x x + x 3 + 6x 4 = 3 x + x + 5x 3 + 3x 4 = c + 4 x + 3x 3 + x 4 = c x + x 3 + 3x 4 = 7 () calcolare il rango della matrice associata al sistema () calcolare il rango della matrice completa associata al sistema (3) per quali c il sistema ha soluione? e quando ha soluione quante soluioni ha? Eserciio 8.3. Sia A la matrice Si determini una base di N(L A ). A = Eserciio 8.4. Sia A una matrice m n. Si dimostri che esiste una matrice B tale che AB = Id se e solo se rango(a) = m [molto simile al caso delle matrici invertibili fatto in classe] Eserciio 8.5. Si calcoli l inversa, se esiste, delle seguenti matrici: Eserciio 8.6. Si considerino i seguenti vettori in R 3 : v = v = v 3 = 5 3 7

11 Sia W = v, v, v 3. Si determini una base di W, e si calcoli la dimensione di W e si descriva W tramite equaioni. Dire tra i seguenti vettori quali stanno in W : 3 w = 3/ w = w 3 = 3 5 Per i vettori w i che stanno in W si determinino le cordinate rispetto alla base scelta Eserciio 8.7. Si considerino i seguenti vettori in C 5 : v = 3 v = v 3 = v 4 = Sia W = v, v, v 3, v 4. Si determini una base di W, e si calcoli la dimensione di W e si descriva W tramite equaioni. Dire tra i seguenti vettori quali stanno in W : + i 3 i + w = w = 3 w 3 = 3 + i 3 5 i Eserciio 8.8 (Compitino febbraio 6). Sia V lo spaio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a. Al variare del parametro reale k si consideri l applicaione lineare L k : V V definita da per ogni polinomio p(t). L k ( p(t) ) = p(t + ) k p(t) a) Si scelga una base di V e si determini la matrice associata ad L k rispetto a tale base; b) Si determini il rango di L k al variare del parametro k; c) Sia f(t) il polinomio f(t) = t + si determini al variare di k se esistono polinomi p(t) tali che L k ( p(t) ) = f(t). 9. Teorema fondamentale, dimensione Eserciio 9.. Sia u = (,, 3) e sia U = Ru. Sia W il piano 3x =. Trovare una base v, v, v 3 di R 3 tale che v è una base di U, v, v è una base di W. Eserciio 9.. Sia V uno spaio vettoriale di dimensione n e sia W W W n una successione di sottospai di V tali che dim W i = i. Dimostrare che esiste una base v,..., v n di V tale che per ogni i, i vettori v,..., v i sono una base di W i. Eserciio 9.3. Siano U e W due spai vettoriali di dimensione finita e sia V = U W lo spaio vettoriale descritto nell eserciio 4.3. Dimostrare che dim V = dim U + dim W. Eserciio 9.4. Esiste una applicaione lineare da R 5 a R iniettiva? e una surgettiva? Eserciio 9.5 (Compitino febbraio 7). b) Esistono due applicaioni lineari a) Si enunci il teorema della dimensione. f : R 3 R, g : R R 3 tali che la loro composiione g f sia iniettiva? Motivare la risposta. Eserciio 9.6. Siano F : U V e G : V W due applicaioni lineari. Si dimostri che rango G F rango F e che rango G F rango G.

12 . Descriione di sottospai, somma e interseione di sottospai Eserciio.. Sia W il sottospaio di R 4 descritto dalle equaioni: Descrivere W in forma parametrica. x + x + x 3 + x 4 = x + x 3x 3 + x 4 =. Eserciio.. Sia W il sottospaio di R 5 generato dai vettori 3 si descriva W in forma parametrica e in forma cartesiana. Eserciio.3. Sia W il sottospaio di R 3 il sottospaio descritto dalla parametriaione F : R R 4 ( s F = t) 3s + t t s t + 3s () si verifichi che F è una parametriaione (cioè che F è iniettiva); () si determini una base di W ; (3) si descriva W in forma cartesiana. Eserciio.4. Sia A la matrice A = 3 8 si descrivano Im L A e N(L A ) in forma parametrica e in forma cartesiana. Eserciio.5 (I compitino 5-6). Siano U e W due sottospai vettoriali di R 8. Sia dim U = 3 e dim W = 5. Quale delle seguenti affermaioni è sicuramente vera? A) dim(u + W ) = 8 qualsiasi siano U e W. B) dim(u W ) = qualsiasi siano U e W. C) Se U W è diverso da ero allora dim(u + W ) = 8. D) Se dim(u W ) = 3 allora U W. E) Se dim U + W = 8 allora dim(u W ) = 3. Eserciio.6 (Compito luglio 7). Sia T : R 4 R 5 una applicaione lineare con dim N(T ) = e sia W un sottospaio di R 5 di dimensione 4 a) dimostrare che W Im(T ) ; b) quali sono le possibili dimensioni di W Im(T )? motivare la risposta Eserciio.7 (Compito 6 giugno 6). Siano V e W due sottospai di dimensione 3 di R 4. Quali sono le possibili dimensioni del sottospaio V W? Motiva la risposta in modo completo. Eserciio.8. Siano U e W due sottospai di V. Si dimostri che se U W è un sottospaio allora U W o W U. Eserciio.9. Siano U, V, W dei sottospai dello spaio vettoriale E in somma diretta. Sia u,..., u a una base di U, v,..., v b una base di V, w,..., w c una base di W. Dimostrare che u,..., u a, v,..., v b, w,..., w c è una base di U + V + W. [La dimostraione è del tutto analoga a quella fatta in classe nel caso di due soli sotospai] Eserciio.. Sia W = {x C 5 : x + x + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5 = }. Si trovino tre sottospai X e Y e Z diversi da ero, di W tali che W = X Y Z. Eserciio.. Sia V = R 4 e sia X, Y, Z dei sottospai di dimensione 3 di V. Sia a = dim X Y, b = dim X Z, c = dim Y Z e d = dim X Y Z. () si dimostri che a = o 3; () si dimostri che non può essere d = ;

13 (3) di esibiscano X, Y, Z tali che d = ; (4) di esibiscano X, Y, Z tali che d = ; (5) si descrivano tutte le quadruple (a, b, c, d) che si possono ottenere al variare di X, Y, Z. Eserciio. (Compitino di algebra lineare del 6 febbraio 8). Sia U il sottospaio vettoriale di R 4 generato dai vettori 4 3 e 3. 4 Sia V il sottospaio vettoriale di R 4 delle soluioni del sistema x + x + x 3 + x 4 = x + 4 x 3 x 4 = 3 x + 5 x + x 3 + x 4 = a) Calcolare la dimensione di U e V. b) Calcolare la dimensione di U + V e U V. Eserciio.3. Si considerino i seguenti vettori di R 5 : u = u = u 3 = w = 3 w = Sia U il sottospaio di R 5 generato da u, u, u 3 e W il sottospaio generato da w, w, w 3. () Si descriva una base di U + W ; () Si descriva una base di U W ; (3) Si descriva U + W in forma cartesiana; (4) Si descriva U W in forma cartesiana.. Determinanti Eserciio.. Calcolare il determinante delle seguenti matrici, riducendole a scalini: w 3 = Eserciio.. Calcolare il determinante delle seguenti matrici applicando la formula di Laplace Eserciio.3. Sia V = C[t] n lo spaio vettoriale dei polinomi di grado minore o oguale a n e siano λ, λ,..., λ n C. Si consideri la seguente applicaione lineare F : V C n F (p(t)) = (p(λ ), p(λ ),... p(λ n )) Si dimostri che è iniettiva se e solo se i numeri λ i sono distinti. Se ne deduca che λ λ... λ n λ n λ λ... λ n λ n det... λ i λ i... λ n i λ n = i... λ n λ n... λ n n se e solo se due dei numeri λ i sono uguali. 3 λ n n

14 Eserciio.4 (I compitino 6). Sia B la matrice B = 3 4 Sia E = Mat (R) lo spaio vettoriali delle matrici a coefficienti reali. l applicaione definita da T (X) = B X. Si calcoli il determinante di T. Eserciio.5. Sia M la matrice a blocchi: M = A B D Sia T : E E con A matrice p p, D matrice q q e B matrice p q. Dimostrare che det M = det A det D seguendo i seguenti passi: () Dimostrare che se A non è invetibile allora non lo è neppure M e quindi det M = ; () Se A è invertibile dimostrare che A I I A M = B I D I e applicare il teorema di Binet. (3) Calcolare i determinanti delle tre matrici che compaiono nella formula precedente.. Autovalori, autovettori e diagonaliabilità Eserciio.. Sia V uno spaio vettoriale complesso. Sia F : V V una applicaione lineare tale che F 4 = Id. Si dimostri che se λ è un autovalore di F allora λ 4 = Eserciio.. Sia F : V V una applicaione lineare e sia un autovalore di F. Si dimostri che 6 è un autovalore di F 4 + F. Eserciio.3. Si calcolino gli autovalori delle applicaioni L A associate alle seguenti matrici: 4 3 Eserciio.4. Sia F : V V una applicaione diagonaliabile. Si dimostri che F è diagonaliabile e che F è diagonaliabile. Eserciio.5. Sia A una matrice 5 5 triangolare superiore che ha lungo la diagonale tutte le entrate uguali a. Si dimostri che A è diagonaliabile se e solo se A = I. Eserciio.6 (Compito 9 gennaio 7). Sia V uno spaio vettoriale sui numeri complessi di dimensione finita e sia F : V V una applicaione lineare. a) Sia λ un autovalore di F. Si dia la definiione di molteplicità geometrica e molteplicità algebrica di λ rispetto a F. b) Supponiamo che dim V = 4. Si dimostri che se la molteplicità geometrica di è uguale a 4 allora F = Id. Eserciio.7. Sia V uno spaio vettoriale e sia F : V V tale che F = F. Dimostrare che F è diagonaliabile. [Dimostrare che V V = V direttamente] Eserciio.8 (I compitino 7). Sia A la matrice 3 3 con tutte le entrate uguali a. a) Si determini una base del nucleo di L A. b) Si determini un autovettore con autovalore diverso da ero (si provi ad indovinare!). c) Si determini una base di autovettori per L A e si calcoli il polinomio caratteristico di L A. Eserciio.9. Sia V = C[x] lo spaio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a a coefficienti complessi. Si consideri l applicaione lineare F : V V definita nel seguente modo: F (p(t)) = p()x + p (x) a) Si determinino gli autovalori di F. b) Si determini una base di autovettori. c) Si calcoli F 5 4

15 Eserciio.. Costruisci una matrice A di taglia 3 3 tale che l applicaione L A : R 3 R 3 soddisfi entrambe le proprietà seguenti: l immagine di L A è il piano definito da x + y = ; l endomorfismo L A non è diagonaliabile. Eserciio. (II compitino 6). Determinare per quali valori t R la matrice seguente è diagonaliabile: t t t t. t + Eserciio. (Compito 6 giugno 6). Sia M() lo spaio vettoriale delle matrici. Data una matrice A, consideriamo l applicaione lineare T A : M() M() seguente: T A (X) = AX. () Dimostra che T A è diagonaliabile nel caso A =. () Più in generale, dimostra che A è diagonaliabile se e solo se T A è diagonaliabile. Eserciio.3 (Compito 7 giugno 6). Sia n un numero naturale fissato e R n [x] lo spaio di tutti i polinomi di grado al più n. Considera l endomorfismo T : R n [x] R n [x] definito come dove p è la derivata del polinomio p. T (p) = (x + )p () Determina gli autovalori di T. () L endomorfismo T è diagonaliabile? Motiva la risposta. Eserciio.4 (Compito 8 luglio 6). Sia V lo spaio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 3 nella variabile x. Sia T : V V l applicaione definita da T (p(x)) = p()x 3 + p (x). a) Si calcoli il polinomio caratteristico di T e si dica se T è diagonaliabile. b) Si determini T. Eserciio.5 (Compito 8 settembre 6). Considera la matrice A =. Sia M() lo spaio vettoriale delle matrici e sia T : M() M() l endomorfismo definito nel modo seguente: T (X) = AX XA. (a) Calcola la dimensione dell immagine di T. (b) L endomorfismo T è diagonaliabile? Motiva la risposta. (c) Dimostra che per qualsiasi altra scelta della matrice A iniiale la dimensione dell immagine di T è sempre minore o uguale a 3. (d) Dimostra che per qualsiasi altra scelta della matrice A iniiale la dimensione dell immagine di T è sempre minore o uguale a. Eserciio.6 (Compito 9 gennaio 7). Sia V lo spaio vettoriale delle matrici e sia a b A = c d una matrice invertibile. Si considerino le applicaione lineari F A, G A : V V definite da F A (X) = AXA e G A (X) = AX XA. a) Si calcoli il polinomio caratteristico di F A e G A nel caso in cui a =, b = c =, d =. b) Si dimostri che l autospaio relativo all autovalore per l applicaione F A è uguale all autospaio relativo all autovalore per G A. 5

16 Eserciio.7 (Compito 6 giugno 7). Sia V = R [x] lo spaio vettoriale formato da tutti i polinomi in x di grado al massimo due. Considera l endomorfismo F : V V dato da dove p indica la derivata di p. F (p) = p + 4x p() a) L endomorfismo F è diagonaliabile? b) Considera lo stesso endomorfismo F definito sui complessi, cioè con V = C [x]. È diagonaliabile? c) Nelle domande precedenti, nei casi in cui sia diagonaliabile, trova una base di autovettori. Eserciio.8 (Compito settembre 7). Sia V uno spaio vettoriale su R di dimensione finita e sia F : V V una applicaione lineare. a) È vero che se F = Id allora F è diagonaliabile? b) È vero che se F = Id allora F è diagonaliabile? c) È vero che se F = allora F è diagonaliabile? motivare la risposta con una dimostraione nel caso sia diagonaliabile o con un controesempio in caso contrario. Eserciio.9 (Compitino 6 febbraio 8). Sia A la seguente matrice A = a) Calcolare rango, determinante e traccia di A; b) Trovare un vettore non nullo v R 7 tale che A v = v; c) Determinare il polinomio caratteristico di A e dire se A è diagonaliabile. Di seguito trovate gli esercii dei compitini del primo semestre degli anni passati. Il programma del primo semestre cambia leggermente da anno in anno quindi potrebbe essere che non conosciate qualche definiione o qualche risultato che viene richiesto per svolgere gli esercii. A Compitino di algebra lineare del 9 febbraio 6: prima parte Istruioni: Avete 3 minuti di tempo a disposiione. Come prima cosa scrivete nome, cognome e matricola nello spaio qui sotto. Scrivete solo il risultato o la lettera della risposta corretta sena nessuna spiegaione negli appositi spai. Effettuate i calcoli necessari sui fogli che vi saranno consegnati a parte. Dovete consegnare solo questo foglio. Prima di consegnare il foglio trascrivetevi su un foglietto i risultati. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrice, cellulari, pena l annullamento del compito. Nome e cognome e matricola: Domanda. Sia = + i e w = + i. Calcolare /w. Risposta: /w = 6

17 Domanda. Calcolare il determinante della seguente matrice 3 A = Risposta: det A = Domanda 3. Sia L : R 5 R 7 una applicaione lineare di rango 3. Determinare la dimensione del nucleo di L. Risposta: dim ker L = Domanda 4. Siano U e W due sottospai vettoriali di R 8. Sia dim U = 3 e dim W = 5. Quale delle seguenti affermaioni è sicuramente vera? A) dim(u + W ) = 8 qualsiasi siano U e W. B) dim(u W ) = qualsiasi siano U e W. C) Se U W è diverso da ero allora dim(u + W ) = 8. D) Se dim(u W ) = 3 allora U W. E) Se dim U + W = 8 allora dim(u W ) = 3. Risposta: L affermaione sicuramente vera è la Domanda 5. Si determini la dimensione dello spaio vettoriale Mat 5 3 (R) Risposta: La dimensione di Mat 5 3 (R) è uguale a Compitino di algebra lineare del 9 febbraio 6: seconda parte Istruioni: I fogli per svolgere gli esercii vi saranno forniti. Consegnate solo la bella e il foglio con gli esercii e motivate sempre le vostre risposte. Sarà valutata anche l esposiione e non saranno corretti esercii illeggibili. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrice, cellulari, pena l annullamento del compito. Eserciio. Sia V uno spaio vettoriale e sia T : V V una applicaione lineare. a) Si definisca cosa è ker T, il nucleo di T. b) Si dimostri che se ker T = {} allora T è iniettiva. Eserciio. Sia V lo spaio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a. Al variare del parametro reale k si consideri l applicaione lineare L k : V V definita da per ogni polinomio p(t). L k ( p(t) ) = p(t + ) k p(t) a) Si scelga una base di V e si determini la matrice associata ad L k rispetto a tale base; b) Si determini il rango di L k al variare del parametro k; c) Sia f(t) il polinomio f(t) = t + si determini al variare di k se esistono polinomi p(t) tali che L k ( p(t) ) = f(t). 7

18 Eserciio 3. Sia B la matrice B = 3 4 Sia E = Mat (R) lo spaio vettoriali delle matrici a coefficienti reali. l applicaione definita da T (X) = B X a) Si determinino nucleo e immagine di T. b) Si determini una base di E e si calcoli la matrice associata a T rispetto a questa base. c) Si calcoli il determinante di T. Eserciio 4. Sia C la matrice C = a) Si determini un vettore non nullo v R tale che C v = 3v. b) Si determini un vettore non nullo v R tale che C v = 9 v. c) Si calcoli C. Sia T : E E A Compitino di algebra lineare del febbraio 7: prima parte Istruioni: Avete 5 minuti di tempo a disposiione. Come prima cosa scrivete nome, cognome e matricola nello spaio qui sotto. Scrivete solo i risultati sena nessuna spiegaione negli appositi spai. Effettuate i calcoli necessari sui fogli che vi saranno consegnati a parte. Dovete consegnare solo questo foglio. Prima di consegnare il foglio trascrivetevi su un foglietto i risultati. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrice, cellulari, pena l annullamento del compito. Per essere ammessi alla seconda parte del compito è necessario aver risposto correttamente a tutte e 5 le domande. Nome e cognome e matricola: Domanda. Si determinino tutti i numeri complessi tali che = e Re() = Im(). Risposta: Domanda. Si calcoli il polinomio caratteristico della seguente matrice 7 A = 3 Risposta: p A (t) = Domanda 3. Sia data la seguente base di R 3 : v = v = v 3 =. Sia ϕ, ϕ, ϕ 3 la base duale. Si calcoli ϕ. Risposta: ϕ x y = 8

19 Domanda 4. Sia F : C 4 C 3 una applicaione lineare tale che dim N(F ) =. Calcolare il rango di F. Risposta: rango (F ) = Domanda 5. Siano U e W sottospai dello spaio vettoriale V delle matrici : V = Mat. Se U + W = V, dim(u W ) = e dim W = quale è la dimensione di U? Risposta: dim U = Compitino di algebra lineare del 9 febbraio 7: seconda parte Istruioni: I fogli per svolgere gli esercii vi saranno forniti. Consegnate solo la bella e il foglio con gli esercii e motivate sempre le vostre risposte. Sarà valutata anche l esposiione e non saranno corretti esercii illeggibili. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrici, cellulari, pena l annullamento del compito. Eserciio. a) Si enunci il teorema della dimensione. b) Esistono due applicaioni lineari f : R 3 R, g : R R 3 tali che la loro composiione g f sia iniettiva? Motivare la risposta. Eserciio. Sia W il sottospaio di R 3 definito dall equaione x + y + = e sia V il sottospaio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 3 che si annullano in : V = {p(t) R[t] 3 : p() = }. Sia F : W V l applicaione lineare definita da x F y = x + y t + t + (x + )t 3 (per esempio F (,, ) è il polinomio t + t 3 ) a) Si scelga una base di W e una di V e si scriva la matrice associata a F rispetto a queste basi. b) Sia G : R 3 R[t] 3 l applicaione lineare tale che x x G = + t e G y = F y se x y W. Scrivere la matrice associata a G rispetto alle basi standard di R 3 e R[t] 3. Eserciio 3. Si determinino tutti gli complessi tali che 4 = 3. Eserciio 4. Sia A la matrice 3 3 con tutte le entrate uguali a. a) Si determini una base del nucleo di L A. b) Si determini un autovettore con autovalore diverso da ero (si provi ad indovinare!). c) Si determini una base di autovettori per L A e si calcoli il polinomio caratteristico di L A. AAA Compitino di algebra lineare del 6 febbraio 8: prima parte Istruioni: Avete 35 minuti di tempo a disposiione. Come prima cosa scrivete nome, cognome e matricola nello spaio qui sotto. Scrivete solo i risultati sena nessuna spiegaione negli appositi spai. Effettuate i calcoli necessari sui fogli che vi saranno consegnati a parte. Dovete consegnare solo questo foglio. Prima di consegnare il foglio trascrivetevi su un foglietto i risultati e le lettere ABB. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrice, cellulari, pena l annullamento del compito. Per essere ammessi alla seconda parte del compito è necessario aver risposto correttamente a tutte e 5 le domande. Nome e cognome e matricola: 9

20 Domanda. Sia P il punto di coordinate (,, ), Q il punto di coordinate (,, ) e O l origine. Sia α l angolo P OQ. Calcolare cos α. Risposta: cos α= Domanda. Sia A la seguente matrice Calcolare det(a). A = 3 Risposta: det(a) = Domanda 3. Sia = + 3i e w = + i. Calcolare la parte reale di /w. Risposta: Re(/w) = Domanda 4. Sia W il sottospaio vettoriale di R 3 generato dai vettori u = e v = Descrivere W mediante una equaione lineare ax + by + c =. 4. Risposta: Domanda 5. Sia F : R 8 R 5 una applicaione lineare suriettiva, W R 8 un sottospaio di dimensione 6 e U = W N(F ). Sapendo che N(F ) + W = R 8 calcolare dim U. [con N(F ) indico il nucleo di F ] Risposta: dim U = Compitino di algebra lineare del 6 febbraio 8: seconda parte Istruioni: I fogli per svolgere gli esercii vi saranno forniti. Mettete il vostro nome su tutti i fogli. Consegnate sia la bella che la brutta che il foglio con gli esercii e motivate sempre le vostre risposte. Se un foglio che consegnate non volete che sia corretto scriveteci brutta in cima. Sarà valutata anche l esposiione e non saranno corretti esercii illeggibili. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrici, cellulari, pena l annullamento del compito. Eserciio. a) Dare la definiione di vettori linearmente indipendenti. b) Fare un esempio di tre vettori u, v, w in R 3 tali che presi a coppie siano linearmente indipendenti (ovvero che u, v siano linearmente indipendenti. u, w siano linearmente indipendenti, e che v, w siano linearmente indipendenti) ma che u, v, w siano linearmente dipendenti c) Siano u, v, w elementi di uno spaio vettoriale. Supponiamo che u e v siano linearmente indipendenti. Dimostrare che se u, v, w sono linearmente dipendenti allora w u, v.

21 Eserciio. Sia U il sottospaio vettoriale di R 4 generato dai vettori 4 3 e 3. 4 Sia V il sottospaio vettoriale di R 4 delle soluioni del sistema x + x + x 3 + x 4 = x + 4 x 3 x 4 = 3 x + 5 x + x 3 + x 4 = a) Calcolare la dimensione di U e V. b) Calcolare la dimensione di U + V e U V. Eserciio 3. Sia V = R[t] lo spaio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a. Sia W = {f V : f() = } e sia D : W V l applicaione lineare definita da D(f) = f. Per a R sia F a : V V l applicaione linerare tale che F a (f) = D(f) per ogni f W e F a () = a(t ). a) Scegliere una base per W e scrivere la matrice associata a D rispetto a questa base in partena e alla base standard in arrivo; b) Per quali valori di a l applicaione F a è diagonaliabile? Eserciio 4. Sia A la seguente matrice A = a) Calcolare rango, determinante e traccia di A; b) Trovare un vettore non nullo v R 7 tale che A v = v; c) Determinare il polinomio caratteristico di A e dire se A è diagonaliabile.