LA TEORIA DELLA RELATIVITÁ

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE ALL INSEGNAMENTO SECONDARIO INDIRIZZO SCIENTIFICO MATEMATICO FISICO INFORMATICO lasse A049 matematia e fisia Unità didattia LA TEORIA DELLA RELATIVITÁ Dott. Matriola Anno Aademio 005/006

2 INDICE DEI CONTENUTI Pagina 4 Pagina 4 Pagina 4 Pagina 5 Pagina 5 Pagina 5 Pagina 6 Pagina 6 Pagina 6 Pagina 6 Pagina 7 Pagina 8 Pagina 8 Pagina 9 Pagina 1 Pagina 14 Pagina 14 Pagina 16 Pagina 18 Pagina 0 Pagina 4 Pagina 4 Pagina 5 Pagina 5 Pagina 6 Pagina 7 Pagina 9 Pagina 3 Pagina 33 Pagina 35 Pagina 35 Destinatari Prerequisiti Aertamento dei prerequisiti Obiettivi Obiettivi generali Obiettivi trasversali Obiettivi speifii Conosenze (obiettivi ognitivi) Competenze (obiettivi operativi) Capaità (obiettivi metaognitivi) Sviluppo dei ontenuti La vita e le opere di Albert Einstein Primi anni di vita La sua opera sientifia Gli ultimi anni di vita La teoria della Relatività Sopo della relatività Relatività speiale I postulati della relatività speiale La relatività del tempo e la dilatazione del tempo Viaggi spaziali e invehiamento biologio Il deadimento del muone Esempio Esempio Esempio Esempio La relatività delle lunghezze e la ontrazione delle lunghezze Esempio La omposizione relativistia delle veloità Esempio Esempio Pagina

3 Pagina 37 Quantità di moto e massa relativistihe Pagina 40 Esempio Pagina 40 Esempio Pagina 4 Energia relativistia ed E = m Pagina 43 Materia e antimateria Pagina 44 Energia inetia relativistia Pagina 46 Esempio Pagina 46 Esempio Pagina 47 Esempio Pagina 48 L Universo relativistio Pagina 49 L esperimento di Mihelson-Morley Pagina 5 Il prinipio di equivalenza e la urvatura dello spazio-tempo Pagina 53 Relatività generale Pagina 55 Cosmologia Pagina 58 Metodologie didattihe Pagina 58 Materiali e strumenti utilizzati Pagina 59 Controllo dell apprendimento Pagina 59 Valutazione Pagina 59 Reupero e approfondimento Pagina 59 Tempi dell intervento didattio Pagina 60 Bibliografia Pagina 3

4 DESTINATARI Questa unità didattia è rivolta a studenti del 5 anno del Lieo Sientifio e del Lieo Sientifio P.N.I. PREREQUISITI Conosere i fondamenti della meania Conosere i fondamenti dell elettromagnetismo Conosere i fondamenti della meania galileiana Conosere la terminologia fisia Conosere la omposizione dei moti Conosere i moti relativi Conosere il onetto di spazio, tempo e veloità Conosere le derivate Saper fare aloli letterari Saper fare aloli numerii ACCERTAMENTO DEI PREREQUISITI Questa unità didattia prevede he l alunno abbia ompletamente aquisito nelle unità didattihe preedenti le onosenze e le ompetenze sui onetti fondamentali della meania e sulla terminologia speifia della disiplina, nonhé su onetti fondamentali dell elettromagnetismo, della inematia, quali omposizione dei moti, spazio e tempo, e della matematia, quali il alolo letterale e numerio. Come aertamento dei prerequisiti si aettano i risultati delle verifihe sommative delle unità didattihe preedenti, pur ritenendo neessario ondurre una lezione dialogata, durante la quale l insegnante verifia ulteriormente le onosenze ponendo alune domande opportune. Aluni punti essenziali e di strategia importanza sono da rivedere, integrare e rinforzare in lasse, durante la prima ora dell unità didattia, on modalità dialogia-interattiva. Gli studenti arenti in determinati argomenti, saranno invitati, entro la suessiva lezione, a rivedere le tematihe in questione. Pagina 4

5 OBIETTIVI Obiettivi generali Aquisire le onosenze, ompetenze e apaità previste dall unità didattia per l argomento la teoria della relatività Contribuire a sviluppare e soddisfare l interesse degli studenti per la fisia, in generale, e per la meania, in partiolare Saper utilizzare onsapevolmente proedure matematihe nell ambito fisio Rionosere il ontributo dato dalla meania allo sviluppo delle sienze umane Migliorare l abilità di lettura di eventi fisii evidenziando in tal senso anhe apaità ritihe Motivare gli alunni ad attività di studio teorio degli aspetti quotidiani della fisia Contribuire a rendere gli studenti in grado di affrontare situazioni problematihe di natura meania avvalendosi dei modelli più adatti alla loro rappresentazione Condurre ad un appropriato utilizzo del lessio speifio della fisia e a saper argomentare on proprietà di espressione e rigore logio Sviluppare il senso ritio e la apaità di orreggere errori Aquisire un adeguata onosenza e omprensione dei ontenuti proposti insieme alla onsapevolezza del proprio stile di apprendimento Possedere e migliorare il metodo di studio Abituare ad un metodo autonomo di lavoro, onsolidando la apaità progettuale ed organizzativa Obiettivi trasversali Eduare gli alunni ad un omportamento orretto e responsabile verso ompagni ed insegnanti e al rispetto reiproo nei rapporti interpersonali Sviluppare attitudine alla omuniazione favorendo lo sambio di opinioni tra doente e allievo e tra allievi Proseguire ed ampliare il proesso di preparazione sientifia e ulturale degli studenti Contribuire a sviluppare lo spirito ritio e l attitudine a riesaminare ritiamente ed a sistemare logiamente le onosenze aquisite Pagina 5

6 Obiettivi speifii Conosenze (obiettivi ognitivi) Conosere le trasformazioni di Lorentz Conosere i postulati della relatività speiale Conosere la dilatazione dei tempi Conosere la ontrazione delle lunghezze Conosere la omposizione delle veloità relativistia Conosere la quantità di moto relativistia Conosere la relazione tra massa ed energia Conosere l energia inetia relativistia Competenze (obiettivi operativi) Saper determinare le trasformazioni delle oordinate Saper determinare la veloità relativa relativistia Saper determinare la dilatazione del tempo Saper determinare la ontrazione della lunghezza Saper determinare la quantità di moto relativistia Saper determinare l energia inetia relativistia Capaità (obiettivi metaognitivi) Rionosere la stretta analogia tra relatività e mondo fisio Aquisire la apaità di leggere ed interpretare fenomeni del mondo reale e fisio, appliando le ompetenze matematihe aquisite Saper utilizzare le onosenze e le ompetenze aquisite per risolvere problemi Essere in grado di rionosere in ontesti diversi la presenza di fenomeni relativistii ed essere in grado di trarre informazioni sul fenomeno he rappresentano, utilizzando le onosenze e ompetenze aquisite. Pagina 6

7 SVILUPPO DEI CONTENUTI "There was this huge world out there, independent of us human beings and standing before us like a great, eternal riddle, at least partly aessible to our inspetion and thought. The ontemplation of that world bekoned like a liberation." "It is almost a mirale that modern teahing methods have not yet entirely strangled the holy uriosity of inquiry; for what this deliate little plant needs more than anything, besides stimulation, is freedom." "When the Speial Theory of Relativity began to germinate in me, I was visited by all sorts of nervous onflits... I used to go away for weeks in a state of onfusion." "It followed from the speial theory of relativity that mass and energy are both but different manifestations of the same thing -- a somewhat unfamiliar oneption for the average mind. Furthermore, the equation E is equal to m -squared, in whih energy is put equal to mass, multiplied by the square of the veloity of light, showed that very small amounts of mass may be onverted into a very large amount of energy and vie versa. The mass and energy were in fat equivalent, aording to the formula mentioned before. This was demonstrated by Cokroft and Walton in 193, experimentally." "The physiist annot simply surrender to the philosopher the ritial ontemplation of the theoretial foundations; for he himself knows best and feels most surely where the shoe pinhes... he must try to make lear in his own mind just how far the onepts whih he uses are justified... The whole of siene is nothing more than a refinement of everyday thinking." "Dear Mother, -- Good news today. H.A. Lorentz has wired me that the British expeditions have atually proved the light defletion near the sun." Pagina 7

8 LA VITA E LE OPERE DI ALBERT EINSTEIN Il fisio Albert Einstein, nato in Germania, poi ittadino svizzero e quindi statunitense (Ulm, Württemberg Prineton, New Jersey 1955), ontribuì più di qualsiasi altro sienziato alla moderna visione della realtà fisia del se. XX. Sulla sia degli eventi della prima guerra mondiale, le teorie di Einstein, speialmente la sua teoria della relatività, sembrarono a molte persone la via per giungere a una qualità di pensiero libera e inontaminata, he la guerra e le sue onseguenze avevano pratiamente eliminato. Raramente uno sienziato ha susitato tanto interesse nell opinione pubblia per la sua dedizione all aresimento della onosenza. Primi anni di vita Quando Einstein era bambino, i suoi genitori, ebrei non osservanti, si trasferirono da Ulm a Monao di Baviera. La sua famiglia si oupava della fabbriazione di apparehi elettrii, ma nel 1894 la ditta fallì e quindi gli Einstein andarono a vivere a Milano. Fu in questo periodo he Albert Einstein deise uffiialmente di rifiutare la sua ittadinanza tedesa. L anno seguente, senza aver anora terminato la suola seondaria, Einstein non riusì a superare l esame di ammissione a un orso di ingegneria elettria presso l Istituto federale svizzero per la tenologia (il Politenio di Zurigo). Passò quindi l anno suessivo nei pressi di Aarau, frequentando la suola seondaria antonale, dove trovò insegnanti eellenti e ottime opportunità per lo studio della fisia. Einstein tornò quindi nel 1896 al Politenio di Zurigo dove ebbe tra i suoi maestri il fisio Hermann Minkowski e dove nel 1900 onseguì il diploma per l insegnamento della matematia e della fisia nelle suole seondarie. Nel 1901, assunta la ittadinanza svizzera, si sposò on una studentessa di origine serba. Dopo ira due anni ottenne un posto all uffiio brevetti svizzero di Berna. Il lavoro lo oupava molto, ma proprio durante questo periodo, dal 190 al 1909, Einstein pubbliò una sorprendente serie di artioli di fisia teoria, srivendo la maggior parte di questi lavori nei ritagli di tempo e senza avere la possibilità di ontatti on la letteratura sientifia e on altri fisii teorii. Einstein presentò uno di questi sritti all Università di Zurigo per il onseguimento del dottorato, he ottenne nel Tre anni più tardi spedì un seondo lavoro all Università di Berna, diventando libero doente, o lettore, di quella Università. Infine, l anno suessivo, Einstein rievette un inario di professore assoiato di fisia all Università di Zurigo. Nel 1909 Einstein fu rionosiuto studioso e pensatore sientifio di primo piano in tutta l Europa di lingua tedesa. In rapida suessione, tenne insegnamenti di fisia all Università tedesa di Praga e al Politenio di Zurigo. Nel 1914 arrivò a rioprire l inario più prestigioso e meglio retribuito he un fisio teorio potesse ottenere in Europa: professore alla Kaiser Wilhelm Gesellshaft di Berlino. Sebbene Pagina 8

9 Einstein avesse un doppio inario di insegnamento all Università di Berlino, da questo periodo in poi non tenne più alun orso universitario regolare. Rimase però all interno dell Università fino al 1933 e da quell anno fino al 1955, anno della sua morte, rioprì un equivalente inario di riera presso l Institute for Advaned Study di Prineton, New Jersey. La sua opera sientifia Nel primo dei tre lavori pubbliati nel 1905, Einstein esaminò il fenomeno soperto da Max Plank, per il quale l energia elettromagnetia sembra essere emessa dagli oggetti radianti in quantità disrete. L energia di queste entità, i osiddetti quanti di lue, era direttamente proporzionale alla frequenza della radiazione. Questa irostanza dava abbastanza da pensare perhé la teoria elettromagnetia lassia, basata sulle equazioni di Maxwell e sulle leggi della termodinamia, aveva stabilito he l energia elettromagnetia onsisteva in onde propagantisi in un mezzo he pervade tutto lo spazio, l etere luminifero", e he le onde avrebbero potuto ontenere quantità qualsiasi di energia, anhe quantità omunque piole. Einstein utilizzò l ipotesi quantistia di Plank per desrivere la radiazione elettromagnetia visibile, ioè la lue. Seondo il pensiero euristio di Einstein, la lue può essere immaginata ome formata da partielle disrete di radiazione. Einstein si servì poi di questa interpretazione per spiegare l effetto fotoelettrio, per il quale erti metalli emettono elettroni quando vengono olpiti da radiazioni luminose di determinate frequenze. Questa teoria e la sua seguente elaborazione, sviluppata dallo sienziato stesso, ha ostituito la base di gran parte della meania quantistia. Il seondo dei lavori he Einstein pubbliò nel 1905 una memoria negli Annalen der Physik, intitolata Zur Elektrodynamik bewegter Körper, nella quale erano esposti i prinipi della sua teoria oggi nota della relatività ristretta he doveva sonvolgere le onezioni della fisia lassia gettando le basi per una nuova impostazione delle rierhe sientifihe: la teoria si basa sul prinipio he le leggi fisihe devono essere le stesse per ogni sistema di riferimento inerziale e he la veloità della lue nel vuoto è una ostante ed è indipendente da quella della sorgente luminosa. Einstein in quel periodo era a onosenza della teoria dell elettrone sviluppata da Hendrik Antoon Lorentz, seondo la quale la massa di un elettrone aumenta se la sua veloità si avviina a quella della lue. Inoltre Einstein sapeva he la teoria dell elettrone, basata sulle equazioni di Maxwell, presupponeva l esistenza dell etere, ma he i tentativi fatti per determinarne le proprietà fisihe non avevano avuto suesso. Einstein periò formulò l ipotesi he le equazioni he desrivono il moto di un elettrone possano in effetti desrivere il moto non aelerato di qualsiasi partiella e di qualsiasi orpo opportunamente definito ome rigido. Basò la sua nuova inematia sulla reinterpretazione del prinipio di relatività lassio, Pagina 9

10 ioè he le leggi della fisia devono avere la stessa forma in qualsiasi sistema di riferimento. Come seonda ipotesi fondamentale Einstein suppose he la veloità della lue rimanesse ostante in tutti i sistemi di riferimento, ome era previsto dalla teoria maxwelliana lassia, e abbandonò l ipotesi dell etere osmio, dato he non aveva alun ruolo nella sua inematia e nella sua reinterpretazione della teoria dell elettrone di Lorentz. Una onseguenza della teoria di Einstein è il fenomeno della dilatazione del tempo, per ui il tempo, analogamente a iò he avviene per la lunghezza e la massa, è funzione della veloità del sistema di riferimento. Aluni mesi più tardi, ma sempre nel 1905, Einstein elaborò la teoria seondo la quale, in un erto senso, massa ed energia sono equivalenti. Einstein non fu il primo a proporre tutti gli elementi he faevano parte della teoria della relatività speiale, ma fu il primo a unifiare importanti enuniazioni della meania lassia e dell elettrodinamia maxwelliana. Il terzo lavoro di Einstein, pubbliato nel 1905, riguardava la meania statistia, un ampo di studio elaborato tra gli altri da Ludwig Boltzmann e Josiah Willard Gibbs. Senza onosere le rierhe di Gibbs, Einstein sviluppò il lavoro di Boltzmann e alolò la traiettoria media di una partiella mirosopia urtata in ollisioni asuali dalle moleole di un fluido o di un gas. Einstein osservò he i suoi aloli potevano spiegare il fenomeno del moto browniano, ioè il movimento disordinato del polline immerso in un liquido, osservato per la prima volta dal botanio inglese Robert Brown. Il lavoro di Einstein dimostrò l esistenza di moleole di dimensioni atomihe, esistenza he aveva già dato origine a numerose disussioni teorihe. I suoi risultati furono ottenuti indipendentemente anhe dal fisio polao Marian von Smoluhowski e più tardi vennero rielaborati dal fisio franese Jean Perrin. Grazie a tale teoria fu possibile ottenere una diversa e diretta valutazione del numero di Avogadro. Questi studi gli valsero la nomina a professore ordinario di fisia teoria presso l università tedesa di Praga ( ) e poi quella di professore ordinario di matematihe superiori presso il politenio di Zurigo ( ); nel 1913, senza rinuniare alla ittadinanza svizzera, aettò l inario per l insegnamento della fisia e della matematia presso l Aademia delle sienze prussiana; nel 1914 si stabilì definitivamente in Germania e nello stesso anno suedette a J. E. Van t Hoff nella direzione del Kaiser Wilhelm Institut, a Berlino: passò quindi a seonde nozze on una sua ugina. Dopo il 1905, Einstein ontinuò a lavorare in tutti e tre questi ampi. Contribuì largamente agli sviluppi della teoria quantistia, ma erò soprattutto di ampliare la teoria della relatività speiale, estendendola ai fenomeni onernenti l aelerazione. La hiave per questa elaborazione vide la lue nel 1907 on l enuniazione del prinipio di equivalenza, seondo il quale l aelerazione gravitazionale non si può distinguere a priori dall aelerazione ausata da forze meanihe: la massa gravitazionale è periò identia alla massa inerziale. Einstein elevò questo prinipio, he è Pagina 10

11 impliito nelle teorie di Isaa Newton, a prinipio guida del suo tentativo di spiegare sia l aelerazione elettromagnetia he quella gravitazionale ome faenti parte di un unio insieme di leggi fisihe. Così nel 1907 propose he, se la massa è equivalente all energia, il prinipio di equivalenza rihiede he la massa gravitazionale interagisa on la massa apparente della radiazione elettromagnetia, ompresa quella della radiazione luminosa. Nel 1911 Einstein fu in grado di prevedere he un raggio di lue proveniente da una stella lontana, passando viino al Sole, viene attratto, e leggermente deviato, in direzione della massa solare. Allo stesso modo, la lue he si irradia dal Sole interagise on la massa solare e il risultato di questa interazione è una leggera variazione dello spettro ottio solare verso la sua estremità infrarossa. A questo punto Einstein sapeva anhe he ogni nuova teoria della gravitazione avrebbe dovuto tenere onto di una piola ma persistente anomalia del moto del pianeta Merurio intorno al Sole. Verso il 191 Einstein iniziò una nuova fase delle sue rierhe sulla gravitazione on l aiuto del matematio Marel Grossman, suo amio, per riformulare le sue teorie utilizzando il alolo tensoriale, elaborato da Tullio Levi- Civita e Gregorio Rii-Cubastro. Il alolo tensoriale failitava enormemente i aloli nello spazio-tempo a quattro dimensioni. Einstein riavò questa nozione, da un elaborazione matematia della sua teoria della relatività speiale fatta da Hermann Minkowski. Nel 1916 nella memoria intitolata: Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie, espose in forma definitiva la sua teoria della relatività generale, dove, in base al postulato dell equivalenza fra tutti i sistemi inerziali e non inerziali, formulò una nuova teoria della gravitazione in ui il ampo gravitazionale generato da ogni orpo materiale è rappresentato ome una modifiazione delle proprietà geometrihe dello spazio fisio. Come onseguenza di iò, la geometria eulidea risultò insuffiiente a desrivere le leggi seondo le quali i orpi si omportano nello spazio: infatti, la urvatura dello spazio, ipotizzata dalla teoria, indue a onsiderare la retta, il piano e le altre entità geometrihe, il prinipio d inerzia e le altre leggi lassihe della teoria newtoniana della gravitazione universale, ome asi limite validi solo, on grandissima approssimazione, per lo spazio del nostro sistema planetario. La formulazione matematia della teoria fu possibile, in quanto Einstein adottò la nuova matematia non eulidea formulata da Riemann. In essa il ampo gravitazionale era espresso da equazioni ovarianti, perhé osì, ome per le equazioni di Maxwell, le equazioni del ampo assumono la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento equivalenti. Dimostrando la propria validità fin dall inizio, le equazioni ovarianti del ampo fornirono il moto osservato di Merurio intorno al Sole. La teoria della relatività generale di Einstein nella sua forma originale è stata verifiata in numerose oasioni, e in partiolar modo nelle spedizioni per le elissi solari, le quali permisero di verifiare la previsione di Einstein per la deflessione della lue dovuta al ampo gravitazionale. Pagina 11

12 Gli ultimi anni di vita Quando le spedizioni inglesi, in oasione dell elissi solare del 9 marzo 1919, onfermarono le previsioni di Einstein, lo sienziato venne lungamente elebrato dalla stampa popolare. Anhe la sua etia personale aveva aeso l immaginazione della gente. Einstein, he dopo il suo ritorno in Germania nel 1914 non rihiese la ittadinanza tedesa rifiutata anni prima, entrò a far parte del piolo gruppo di professori tedeshi paifisti he non appoggiava la politia degli armamenti della Germania. Dopo la fine della guerra, quando gli alleati vittoriosi tendevano a esludere gli sienziati tedeshi dagli inontri internazionali, Einstein, un ebreo he viaggiava on passaporto svizzero, fu onsiderato aettabile ome rappresentante tedeso. La sua visione politia di paifista e sionista, lo fee entrare in onflitto on i onservatori tedeshi he lo bollarono di tradimento e disfattismo. I rionosimenti pubblii tributati alla sua teoria della relatività gli valsero anhe, negli anni Venti, furiosi attahi da parte dei fisii antisemiti Johannes Stark e Philipp Lenard, uomini he, dopo il 193 erarono di fondare in Germania la osiddetta fisia ariana. Le irostanze in ui Einstein rievette il premio Nobel nel 191 dimostrano ome la teoria della relatività rimanesse disutibile e ontroversa per i fisii più rigidi e hiusi; infatti il premio fu assegnato ad Einstein, non per la relatività, ma per il suo lavoro del 1905 sull effetto fotoelettrio. Con l avvento del nazismo in Germania, Einstein si trasferì negli Stati Uniti e abbandonando il suo paifismo, onvenne, sia pure on riluttanza, he il nuovo stato di ose poteva essere ambiato soltanto on la forza delle armi. In questo ontesto Einstein inviò una lettera al presidente Roosevelt, on la quale lo spingeva a istituire un programma di riera per la realizzazione della bomba atomia, prima he lo faesse la Germania. La lettera, sritta dall amio di Einstein, Leo Szilard, fu uno dei molti sambi di opinioni avuti tra Einstein e la Casa Biana e ontribuì alla deisione di Roosevelt di fondare il progetto Manhattan. Sebbene fosse onsiderato dall opinione pubblia un eroe delle ause impopolari, ome la sua opposizione negli anni Cinquanta alla Commissione sulle attività antiameriane del senatore MCarthy, le sue iniziative a favore del disarmo nuleare, le maggiori energie di Einstein erano omunque rivolte anora ai problemi della fisia. All età di 59 anni, quando altri fisii teorii avevano ormai abbandonato da tempo le rierhe sientifihe originali, Einstein insieme ai suoi ollaboratori Leopold Infeld e Banesh Hoffmann giunse a nuovi e importanti risultati nella teoria della relatività. Fino al termine della sua vita Einstein erò di elaborare una teoria unifiata dei ampi, on la quale i fenomeni della gravitazione e dell elettromagnetismo potessero essere derivati da un unio gruppo di equazioni. Pohi fisii seguirono la strada di Einstein negli anni dopo il 190, dato he la loro attenzione fu attirata più della fisia quantistia he dalla relatività. Da parte sua, Einstein non riusì mai ad aettare la nuova meania quantistia on il suo prinipio di indeterminazione formulato da Werner Heisenberg ed elaborata in un nuovo modello Pagina 1

13 epistemologio da Niels Bohr. Sebbene le ultime idee di Einstein siano state abbandonate per diversi anni, adesso i fisii si stanno dediando seriamente e on grande impegno alla realizzazione del sogno di Einstein: una grande unifiazione delle teorie fisihe. Nel 1950 pubbliò un appendie alla terza edizione del suo libro The Meaning of Relativity, in ui formulava alune ipotesi sul problema osmologio affermando, tra l altro, he l asserzione di un inizio dell espansione dell universo va onsiderata solo una singolarità in senso matematio; he lo spazio quadridimensionale è isotropo rispetto a tre dimensioni; he l universo va inteso ome un entità finita in espansione; he l età dell universo è maggiore di quella della Terra (ipotesi, questa, poi onfermata). Nel 1953 pubbliò una seonda appendie alla stessa opera on la quale esponeva i prinipi di una generalizzazione della teoria della relatività (teoria del ampo unifiato), mediante ui erano legate in una sola relazione le teorie della gravitazione e dell elettromagnetismo, il he riondurrebbe a un unio sistema tutti i fenomeni fisii marosopii. Non fu possibile per Einstein giungere a ontrollare l esattezza delle sue formulazioni, poihé non esiste una matematia in grado di risolvere il sistema di equazioni proposto per la verifia sperimentale della nuova teoria. Convinto della giustezza delle sue idee, lo sienziato finì on l isolarsi dalla maggior parte dei fisii, he egli giudiava soggetti a una onezione statia della materia e legati all interpretazione probabilistia dei fenomeni fisii, da lui ritenuta, pur essendone uno degli ideatori, non soddisfaente. Per la genialità delle sue onezioni, per la profondità di pensiero, per l influsso eseritato su intere generazioni di studiosi, Einstein deve essere onsiderato uno dei maggiori, se non il più grande, sienziato di tutti i tempi. Pagina 13

14 LA TEORIA DELLA RELATIVITA La teoria della relatività di Albert Einstein ha dato origine alla più grande rivoluzione nel ampo della fisia e della astronomia del se. XX. Essa ha introdotto nel pensiero sientifio il onetto di "relatività" (la nozione he nell universo non vi è nessun moto assoluto, ma soltanto moto relativo) sostituendo in tal modo la teoria della meania di Isaa Newton, formulata 00 anni prima. Einstein ha mostrato he noi non viviamo in uno spazio eulideo piatto e nel tempo assoluto e uniforme dell esperienza quotidiana, ma in un ambiente diverso; lo spazio-tempo urvo. La teoria ha gioato un ruolo importante negli sviluppi della fisia he hanno portato all era nuleare (on tutte le sue potenzialità, sia per quanto riguarda i benefii he per quanto riguarda le distruzioni) e he hanno reso possibile una omprensione del miroosmo delle partielle elementari e delle loro interazioni. Essa ha anhe rivoluzionato il nostro punto di vista sulla osmologia, on le sue predizioni di fenomeni astronomii apparentemente strani, ome a esempio il big bang, le stelle di neutroni, i buhi neri, e le onde gravitazionali. Sopo della relatività La teoria della relatività è un unia teoria he omprende la teoria dello spazio-tempo, della gravitazione e della meania. Essa, tuttavia, è generalmente onsiderata ome formata di due parti separate, teoriamente indipendenti: la relatività speiale, o ristretta, e la relatività generale. Un motivo di questa divisione è senz altro il fatto he Einstein presentò la relatività speiale nel 1905, mentre la relatività generale non venne pubbliata, nella sua forma finale, fino al Un altra ragione risiede nei ampi di appliazione molto diversi delle due parti della teoria: la relatività speiale nel ampo della fisia mirosopia, la relatività generale nel ampo dell astrofisia e della osmologia. Un terzo motivo risiede nel fatto he i fisii hanno aettato e ompreso la relatività speiale fin dagli inizi degli anni Venti. Essa divenne rapidamente uno strumento di lavoro per i teorii e per gli sperimentatori nei ampi, allora nasenti, della fisia atomia e nuleare e della meania quantistia. Questa rapida aettazione non ebbe luogo, tuttavia, per la relatività generale. La teoria infatti non sembrò avere lo stesso diretto ollegamento on l esperienza ome la teoria speiale; la maggior parte delle sue appliazioni si avevano su sala astronomia, ed essa si limitava in apparenza ad aggiungere minusole orrezioni alle previsioni della teoria della gravitazione di Newton; il suo influsso sulla osmologia non si sarebbe sentito per un altro deennio anora. Inoltre il livello di omprensione della matematia, he interveniva nella teoria, era portato a un grado di diffioltà estremamente alto. All astronomo inglese sir Arthur Eddington, uno dei primi a omprendere interamente la teoria nei suoi dettagli, fu hiesto una volta se era vero he Pagina 14

15 soltanto tre persone al mondo omprendevano la relatività generale. Si die he egli avesse risposto: "Chi è la terza?". Questo stato di ose perdurò per quasi quarant anni. La teoria della relatività generale veniva onsiderata un argomento di grande impegno, adatto non per i fisii, ma per i matematii puri e per i filosofi. Verso il 1960, tuttavia, ominiò a rinasere un notevole interesse per la relatività generale, he in tal modo è diventata una brana importante della fisia e dell astronomia (nel 1977 la battuta di Eddington venne riordata a una onferenza sulla relatività generale, alla quale erano presenti più di 800 rieratori in quel ampo). Questo sviluppo ha le sue radii, in primo luogo, nell appliazione, iniziata attorno al 1970, di nuove tenihe matematihe allo studio della relatività generale. Tali tenihe hanno semplifiato in modo ragguardevole i aloli e hanno permesso di estrarre dalla omplessità matematia i onetti fisii signifiativi. In seondo luogo tale sviluppo è dovuto alla soperta di fenomeni astronomii fuori del omune in ui la relatività generale poteva gioare un ruolo importante; tra questi si inludono i quasar (1963), il fondo di radiazione a miroonde a 3 K (1965), le pulsar (1967), e la probabile soperta dei buhi neri (1971). Inoltre, il rapido sviluppo tenologio degli anni Sessanta e Settanta ha fornito ai fisii sperimentali nuovi strumenti di alta preisione per verifiare se la teoria della relatività generale fosse la orretta teoria della gravitazione. La distinzione tra la relatività speiale e lo spazio tempo urvo della relatività generale è in larga misura una questione di gradualità. In realtà, la relatività speiale è un approssimazione allo spazio tempo urvo valida in regioni dello spazio-tempo suffiientemente piole, nella stessa maniera in ui la superfiie totale di una mela è urva anhe se una piola regione di essa può essere onsiderata approssimativamente piatta. Periò la relatività speiale può venire usata ogni volta he la sala dei fenomeni studiati è piola in onfronto alla sala su ui la urvatura dello spazio-tempo (gravitazione) ominia a manifestarsi. Per la maggior parte delle appliazioni nella fisia atomia o nuleare quest approssimazione è osì aurata he la relatività speiale può onsiderarsi esatta; in altre parole si può ammettere he la gravità sia ompletamente assente. Da questo punto di vista la relatività speiale e tutte le sue onseguenze possono venire "dedotte" da un unio semplie postulato. In presenza della gravità, tuttavia, può manifestarsi la natura approssimata della relatività speiale stessa e quindi è neessario introdurre il prinipio di equivalenza per determinare la maniera in ui la materia si omporta nello spazio tempo urvo. Infine, per apire in he modo lo spazio-tempo viene inurvato dalla presenza della materia, è neessario appliare la relatività generale. Pagina 15

16 Relatività speiale I due onetti fondamentali della relatività speiale sono il sistema inerziale e il prinipio di relatività. Un sistema di riferimento inerziale è una qualsiasi regione dello spazio, ome a esempio un laboratorio in aduta libera in ui tutti i orpi si muovono in linea retta on veloità uniforme. Tale regione è esente da effetti di gravitazione e viene detta sistema galileiano. Il prinipio di relatività postula he il risultato di un qualsiasi esperimento fisio eseguito all interno di un laboratorio in un sistema inerziale è indipendente dalla veloità uniforme del sistema stesso. In altre parole, le leggi della fisia devono avere la stessa forma in qualsiasi sistema inerziale. Un orollario he ne disende è he la veloità della lue deve essere la stessa in ogni sistema inerziale (dal momento he la misura della veloità della lue è un esperimento fisio) indipendentemente dalla veloità della sorgente e da quella dell osservatore. In definitiva tutte le leggi e tutte le onseguenze della relatività generale possono venir dedotte da questi onetti. La prima onseguenza importante è la relatività della simultaneità. Poihé una definizione operativa di eventi simultanei in punti diversi dello spazio implia l invio di segnali luminosi tra essi, si dedue he due eventi simultanei in un sistema inerziale possono non essere simultanei quando sono osservati da un sistema di riferimento he risulti in moto relativo rispetto al primo. Questa onlusione ha permesso di rigettare il onetto newtoniano di un tempo assoluto e universale. Un altra onseguenza della relatività è he la legge di trasformazione, he permette il passaggio dalle oordinate x, y, z, t, di un sistema di riferimento inerziale alle oordinate x, y, z, t, di un altro sistema di riferimento, he si muove on veloità v rispetto al primo (a esempio nella direzione x), non è più la legge di trasformazione galileiana, bensì la trasformazione di Lorentz dove è la veloità della lue ( Km/s). x vt x ' = v 1 y' = y z' = z v x t t ' = v 1 Questa legge di trasformazione fu ottenuta nel 1895 da Hendrik A. Lorentz ome risultato del suo lavoro sull elettromagnetismo e sulla teoria degli elettroni. Einstein dimostrò he tale legge era Pagina 16

17 una proprietà fondamentale dello spazio tempo. Un effetto previsto dalle trasformazioni di Lorentz è la ontrazione di Fitzgerald-Lorentz, he onsiste in un apparente diminuzione, della lunghezza di una bahetta in movimento rispetto a una bahetta identia in quiete. Questo effetto fu proposto per la prima volta nel 189 da George F. Fitzgerald allo sopo di spiegare l insuesso dell esperimento di Mihelson e Morley, eseguito nel 1887 per rivelare la dipendenza della veloità della lue dal moto della Terra attraverso il osiddetto etere, ioè il mezzo nel quale si pensava he la lue dovesse propagarsi. Einstein puntualizzò he il prinipio di relatività rendeva superfluo il onetto di etere, dal momento he il risultato di Mihelson e Morley poteva venire spiegato usando un qualsiasi sistema di riferimento inerziale. Un altro effetto della relatività speiale è l apparente dilatazione degli intervalli temporali misurati da un orologio in movimento rispetto a quelli misurati da un orologio in quiete. Questa "dilatazione temporale" è stata onfermata on un elevato grado di preisione da numerosi esperimenti eseguiti in laboratorio, ompreso uno del 1966 in ui dei muoni instabili (mesoni mu), he si muovevano a una veloità di 0,997, avevano una vita media esattamente 1 volte più lunga di quella dei muoni a riposo. Quando si modifia la meania di Newton, he è invariante per una trasformazione di Galileo, per renderla invariante per una trasformazione di Lorentz, si ottiene ome onseguenza he la quantità di moto di una partiella la ui massa di riposo è m, non è più mv, ma la massa della partiella aumenta on il progressivo aumentare della sua veloità. Questo aumento relativistio dell inerzia impedise alle partielle di venire aelerate fino, e oltre, alla veloità della lue. Tale effetto è stato osservato innumerevoli volte negli aeleratori di partielle ad alta energia. Einstein ha inoltre mostrato he iò he in un sistema di riferimento inerziale appare ome energia si può manifestare ome massa in un altro sistema di riferimento; quindi entrambe sono manifestazioni della stessa entità e sono ollegate fra loro dalla famosa equazione E = m². Le più importanti onseguenze e onferme della relatività speiale emergono in varie maniere quando essa viene assoiata alla meania quantistia; si hanno in tal modo molte previsioni in aordo on gli esperimenti, ome a esempio lo spin delle partielle elementari, la struttura fine dell atomo, l antimateria e. I fondamenti matematii della relatività speiale vennero posti nel 1908 dal matematio tedeso Hermann Minkowski, he introdusse il onetto di uno "spazio-tempo quadridimensionale" nel quale il tempo, ioè la quarta dimensione dello spazio-tempo di Minkowski, è trattato alla stessa stregua delle tre dimensioni dello spazio. Pagina 17

18 I postulati della relatività speiale Può sorprenderi il fatto he la teoria della relatività di Einstein sia basata su due semplii postulati e he l algebra sia l unia onosenza matematia rihiesta per ottenere i risultati più importanti. I postulati della relatività ristretta formulati da Einstein possono essere espressi nel seguente modo: Le leggi della fisia sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. La veloità della lue nel vuoto, = 3, m/s, è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali ed è indipendente dal moto della sorgente e da quello dell osservatore. Il primo postulato è siuramente ragionevole. Riordiamo he un sistema di riferimento inerziale è un sistema nel quale valgono le leggi del moto di Newton. In partiolare, un orpo sul quale non agisono forze, ha un aelerazione nulla in tutti i sistemi inerziali. Il primo postulato di Einstein non fa altro he estendere questa nozione di sistema inerziale per oprire tutte le leggi della fisia, omprese quelle della termodinamia, dell elettriità, del magnetismo e delle onde elettromagnetihe. Per esempio, un esperimento di meania eseguito sulla superfiie della Terra (he approssimativamente possiamo onsiderare un sistema inerziale) fornise gli stessi risultati he fornirebbe se fosse fatto a bordo di un aereo he viaggia a veloità ostante. Inoltre, il omportamento del alore, dei magneti e dei iruiti elettrii è il medesimo sull aereo e a terra. Tutti i sistemi di riferimento inerziali si muovono l uno rispetto all altro on veloità ostante (he vuol dire aelerazione nulla). Quindi, la teoria della relatività ristretta è ristretta nel senso he limita le onsiderazioni a sistemi non aelerati. Il aso più generale, nel quale viene preso in onsiderazione il moto aelerato, è l argomento della teoria della relatività generale. Nel aso della Terra, le aelerazioni assoiate al suo moto orbitale e di rotazione sono abbastanza piole da poter essere trasurate nella maggior parte degli esperimenti. Periò, salvo avviso ontrario, onsidereremo la Terra e i orpi in movimento on veloità ostante rispetto a essa ome sistemi di riferimento inerziali. Il seondo postulato della relatività è meno intuitivo del primo. In partiolare, esso stabilise he la lue viaggia nel vuoto sempre alla stessa veloità, indipendentemente dal fatto he la sorgente oppure l osservatore siano in movimento. Per omprendere le impliazioni di questa affermazione, onsideriamo per un momento le onde nell aqua. Immaginiamo un osservatore fermo rispetto all aqua e due sorgenti, A e B, in movimento he generano onde. Sia le onde prodotte da A sia quelle prodotte da B, una volta generate, viaggiano alla veloità aratteristia v a, delle onde Pagina 18

19 nell aqua. Periò l osservatore vede una veloità delle onde he è indipendente dalla veloità della sorgente, proprio ome postulato per la lue. Per ontro, supponiamo he l osservatore sia in moto on una veloità v rispetto all aqua. Se l osservatore si muove verso destra e le onde dell aqua si muovono verso sinistra on veloità v a le onde passano davanti all osservatore on veloità v + v a. Analogamente, se anhe le onde dell aqua si muovono verso destra l osservatore troverà he viaggiano a una veloità v - v a. Chiaramente, il fatto he l osservatore sia in moto rispetto al mezzo nel quale viaggiano le onde (in questo aso l aqua) i fa apire he la veloità osservata delle onde nell aqua dipende dalla veloità dell osservatore. Prima della teoria della relatività di Einstein, era generalmente aettato he una simile situazione valesse anhe per le onde luminose. In partiolare, si pensava he la lue si propagasse attraverso un ipotetio mezzo, hiamato etere luminifero o più brevemente etere, he permeava tutto lo spazio. Dato he la Terra ruota intorno al suo asse a ira 1500 km/h e orbita intorno al Sole on una veloità di ira km/h, ne onsegue he deve muoversi rispetto all etere. Se iò è vero, deve essere possibile rivelare questo moto misurando la veloità della lue he si propaga in direzioni diverse, ome nel aso delle onde nell aqua. I fisii ameriani A.A. Mihelson ( ) ed E. W. Morley ( ) ondussero dal 1883 al 1887, a questo sopo, esperimenti estremamente preisi. Non riusirono a rivelare aluna differenza nella veloità della lue. Più reenti e aurati esperimenti hanno portato alla medesima onlusione, permettendoi di affermare he il seondo postulato della relatività è una desrizione aurata del omportamento della lue. Per vedere quanto possa essere poo intuitivo il seondo postulato, esaminiamo la seguente situazione. Un raggio di lue si propaga verso destra on veloità rispetto ad un osservatore fermo. Un seondo osservatore si muove anh esso verso destra on veloità 0,9. Sebbene sembri naturale pensare he il seondo osservatore veda il raggio di lue passare a una veloità di solo 0,1, non è osì. Egli, ome tutti gli osservatori in sistemi di riferimento inerziali, vede il raggio viaggiare on la veloità della lue. Perhè le osservazioni fatte siano valide, ioè perhè entrambi gli osservatori misurino la stessa veloità della lue, il omportamento dello spazio e quello del tempo, quando le veloità si avviinano a, devono essere diversi dall esperienza quotidiana. Questo è quanto avviene effettivamente, ome vedremo in dettaglio. Nelle situazioni quotidiane la fisia desritta dalle leggi di Newton è perfettamente adeguata. In effetti le leggi di Newton sono valide per veloità molto piole, mentre la teoria della relatività di Einstein fornise risultati orretti per tutte le veloità, da zero alla veloità della lue. Poihé tutti gli osservatori inerziali misurano la stessa veloità della lue, essi hanno tutti ugualmente ragione quando affermano di essere in quiete. Per esempio, il primo osservatore del aso preedente può dire di essere in quiete e he l altro osservatore si sta muovendo on veloità di Pagina 19

20 0,9 verso destra. Anhe quest osservatore è ugualmente nel giusto quando afferma di essere in quiete e he il primo osservatore è in moto verso sinistra on veloità di 0,9. Dal punto di vista della relatività entrambi hanno ragione. Non esiste una quiete assoluta o un moto assoluto, ma soltanto un moto rispetto a qualos altro. Infine, osserviamo he non avrebbe senso per il seondo osservatore avere una veloità maggiore di quella della lue. Se fosse osì, non sarebbe possibile per la lue sorpassare l osservatore, tanto meno sorpassarlo on la veloità. Periò, onludiamo he la massima veloità nell Universo è la veloità della lue. La relatività del tempo e la dilatazione del tempo Generalmente pensiamo he il tempo fluisa in avanti a veloità ostante, ome i suggerise la nostra esperienza di tutti i giorni. Tuttavia, non è osì quando abbiamo a he fare on veloità he si avviinano alla veloità della lue. Se, per esempio, osservassimo una naviella spaziale he si muove rispetto a noi on una veloità di 0,5, vedremmo he gli orologi nella naviella sono rallentati rispetto al nostro, anhe se sono identii in tutti gli altri aspetti. Per alolare la differenza tra un orologio in movimento e uno in quiete, onsideriamo l orologio a lue. In questo orologio, un ilo inizia quando viene emesso un lampo di lue dalla sorgente S: la lue perorre la distanza d fino allo spehio, dove viene riflessa, torna indietro per una distanza d fino al rivelatore D e fa partire il lampo suessivo. Potremmo pensare he ogni viaggio di andata e ritorno di un raggio di lue sia un ti dell orologio. Iniziamo on il alolare l intervallo di tempo fra i ti di questo orologio quando è in quiete, ioè quando la sua veloità rispetto all osservatore è nulla. Poihé la lue perorre una distanza d on una veloità ostante, il tempo fra due ti è: d t0 = L indie 0 india he l orologio è in quiete (v = 0 m/s) nel momento in ui effettuiamo la misura. Al ontrario, onsideriamo lo stesso orologio a lue he si muove on una veloità v. La lue ora deve seguire un perorso a zigzag per ompletare un ti. Poihé questo perorso è più lungo di d e la veloità è sempre la stessa, per quanto affermato dal seondo postulato della relatività, il tempo fra due ti deve essere maggiore di t 0. Poihé il tempo fra due ti è maggiore, l orologio rallenta. Chiamiamo questo fenomeno dilatazione del tempo, perhé l intervallo fra due ti è Pagina 0

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