ORIGAMI E GEOMETRIA. Breve storia degli origami. Tetraedro. Modello1. Modello2. Conclusioni geometriche. analitica

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1 ORIGAMI E GEOMETRIA Breve storia degli origami Tetraedro Modello1 1) Istruzioni origami 2) Analisi geometrica 3) Interpretazione analitica Modello2 Conclusioni geometriche 1) Istruzioni origami 2) Analisi geometrica La costruzione del rettangolo 1 analitica nel linguaggio della geometria 1

2 Breve storia degli origami Sebbene gli origami siano tutt oggi sinonimo di Giappone, la prima traccia di questa tradizione arriva dalla Cina, dove la carta venne prodotta fin dal 200 come alternativa economica alla seta. L arte cinese del piegare la carta fu conosciuta come Zhezhi e fu portata con la carta in Giappone nel VI secolo da monaci buddisti cinesi. Gli origami iniziarono così a diffondersi in Giappone. La stessa parola giapponese origami è la composizione di due parole: ori, che significa piegare, e gami che significa carta. Questa arte fu per molti secoli (e lo è ancora) un popolare passatempo per i bambini giapponesi. E questo sarebbe rimasto se non fosse stato per l operaio giapponese Akira Yoshizawa. Nato nel 1911 da una famiglia di produttori di latte, Akira si appassionò agli origami da piccolo ma, come molti bambini, li abbandonò gradualmente crescendo e trovando nuove attività che occupavano il suo tempo. Tuttavia, a differenza degli altri bambini, riaccese la sua passione per gli origami subito dopo i vent anni. Aveva iniziato a lavorare in una fabbrica, dove insegnava la Geometria ai giovani operai, e realizzò che gli origami potevano essere un modo semplice e efficace per insegnare ai suoi studenti i concetti di angolo, linea e forma. Con la pratica, Yoshizawa sviluppò alcune tecniche pionieristiche come quella del wet folding (letteralmente piega bagnata) che permetteva schemi più complicati e la possibilità di realizzare su un singolo foglio un maggior numero di curve. Il suo lavoro fece partire il rinascimento degli origami. Le sue nuove tecniche cambiarono gli origami da passatempo a forma d arte. Con il disegno di schemi sempre più complessi, questa arte iniziò ad attirare l interesse dei matematici che avevano la stessa idea di Yoshizawa: c era una grande intersezione tra l arte di piegare la carta e la Geometria. Gli studi matematici riguardanti gli origami finalmente portarono a un nuovo approccio ai due problemi suddetti le cui radici, molti anni prima, risalivano a differenti culture e differenti continenti. Per concludere il nostro discorso introduttivo, è necessario precisare che l origami può realizzare modelli sia partendo da un unico foglio che partendo da più fogli (= moduli) opportunamente combinati insieme. Il nostro lavoro si collega a questa ricerca di interazione tra la piegatura della carta e la geometria e in modo particolare si occupa della realizzazione di poliedri regolari. Un attenta osservazione delle piegature eseguite per ottenere la forma geometrica desiderata si rivela un ottimo strumento di applicazione di nozioni geometriche basilari. Dei cinque solidi platonici, tetraedro, esaedro, ottaedro, dodecaedro e icosaedro, solo il tetraedro, il cubo e l ottaedro possono essere realizzati con l uso di un solo foglio di carta (esistono, comunque, anche le forme modulari) mentre il dodecaedro e l icosaedro possono essere realizzati solo con origami modulare Illustriamo ora la costruzione con il metodo origami del tetraedro, evidenziandone le possibili implicazioni geometriche. 2

3 Tetraedro I modelli studiati sono 2: modello1 e modello2 e per ciascuno sono previste le istruzioni origami e la relativa analisi geometrica. modello1 Istruzioni origami Fase 1 Dal foglio quadrato bisogna creare un rettangolo 1 x 3 e da questo rettangolo si realizza il tetraedro Da un foglio quadrato ricavare un foglio rettangolare di dimensioni 1 x 3 (rettangolo A della figura in basso) A 3

4 Fase 2 Dal foglio 1 x 3 al tetraedro Analisi geometrica Nella figura qui sotto è rappresentata la costruzione, che attraverso le piegature corrispondenti alle rette illustrate, porta alla realizzazione del rettangolo ( in rosso nella figura). Giustifichiamo la costruzione, facendo riferimento alle lettere della figura. 1. M ed N sono rispettivamente punti medi dei lati del quadrato a cui appartengono. Il punto P è il punto medio di AM e il segmento PQ è parallelo ad MN. La piegatura MR porta il punto A nel punto A della retta PQ: A è dunque il simmetrico di A rispetto a MR. Sia O il punto di intersezione fra le rette RA e MN. Si ha. Nel triangolo rettangolo MPA l ipotenusa MA è il doppio del cateto PM perciò l angolo è di 60. Si riconosce allora che: 4

5 Il triangolo RMO è dunque equilatero ed è. E stato cosi realizzato il rettangolo desiderato, evidenziato in rosso nella figura. Se poniamo 2. Consideriamo ora la costruzione del tetraedro: lavoriamo nel rettangolo ABCD, dove sono state realizzate le piegature EF, RS, GH che lo dividono in quattro strisce uguali. La striscia superiore è portata sulla seconda e la striscia inferiore sulla terza in modo che A e D vanno a coincidere con R, e B e C vanno a coincidere con S; otteniamo il rettangolo a doppio strato GHFE. Le piegature GI e HJ portano rispettivamente E in E e F in F sul segmento RS. Il punto E è il simmetrico di E rispetto a GI e F il simmetrico di F rispetto ad HJ. Nel triangolo rettangolo E RG si ha: perciò ; il triangolo IGU, ottenuto prolungando il segmento IE, è dunque equilatero e, analogamente, lo è il triangolo JVH. 5

6 Si ha:, allora anche. I tre triangoli IGU, JVH e TUV, con T punto medio di EF, sono equilateri e lo sono anche TIU e JTV; tutti questi sono i triangoli che sono stati ottenuti con i piegamenti successivi visti nella fase operativa. Nella figura sottostante, compaiono colorati in rosso, i triangoli che formeranno il tetraedro: Un interessante osservazione riguarda la relazione tra le dimensioni del foglio utilizzato per costruire il tetraedro e i triangoli equilateri che potranno essere in esso contenuti. Il confronto con il modello 2, costruito da un foglio di carta di dimensioni differenti, consentirà di osservare una diversa disposizione dei triangoli equilateri. 6

7 modello2 Fase1 Dal foglio quadrato bisogna creare un rettangolo 1 x 2 (foglio A4) e da questo rettangolo si realizza il tetraedro Istruzioni origami Fase 1 Da un foglio quadrato ricavare un foglio rettangolare di dimensioni 1 x 2 (rettangolo B della figura in basso) B 7

8 Fase 2 Dal foglio 1 x 2 al tetraedro Analisi geometrica 1. Nella figura che segue sono rappresentate le piegature che portano, a partire dal foglio quadrato, al rettangolo in cui il rapporto fra le dimensioni è. Giustifichiamo la costruzione, facendo riferimento alle lettere della figura.. La piegatura AR porta il punto B sul punto B della diagonale AC: B è il simmetrico di B rispetto ad AR. Il triangolo CB R è rettangolo ed isoscele, la retta B E, parallela ad AB, passante per B, è perpendicolare a BC, perciò E è il punto medio di RC: dunque FE è la piegatura, parallela ad AB che porta C in R. 8

9 Se N è la proiezione di B sul lato AB, il triangolo ANB è rettangolo isoscele, si ha: Poiché si ha Concludiamo così che il rettangolo ABEF è il rettangolo richiesto. Se poniamo Il rettangolo A4, che è usato in tutto il mondo con l eccezione degli Stati Uniti d America, è appunto un rettangolo in cui il rapporto fra le dimensioni è. Un aspetto affascinante del rettangolo A4 è che, tagliato a metà lungo il lato maggiore, genera due rettangoli a lui simili, quindi ancora rettangoli A4. Perché? Quanto abbiamo visto fino ad ora suggerisce un procedimento, illustrato dalla figura che segue, che permette, dato un quadrato, di costruirne uno di area doppia. 9

10 2. Ritorniamo alla realizzazione del tetraedro. Le prime tre piegature del foglio 1 x 2 sono, come nel modello precedente, parallele alla dimensione maggiore del rettangolo, rispettivamente secondo il punto medio della dimensione minore del rettangolo e poi secondo i punti medi delle relative metà della stessa dimensione. Come nel caso precedente la striscia e la striscia inferiore sono portate rispettivamente sulla seconda e sulla terza in modo che A e D vanno a coincidere con R, e B e C vanno a coincidere con S; otteniamo il rettangolo a doppio strato GHFE. La piegatura HJ porta F in F sulla piegatura RS. Il punto F è il simmetrico di F rispetto a HJ. Nel triangolo rettangolo F SH si ha: perciò. Il triangolo HJU, ottenuto prolungando il segmento JF, è dunque equilatero e, analogamente, lo è il triangolo UTV, ottenuto con le successive piegature. 10

11 Il confronto con il modello precedente ci permette di osservare che nella dimensione maggiore del rettangolo ( ) le basi dei triangoli equilateri non sono contenute per intero, infatti: altezza triangolo equilatero = lato triangolo equilatero = ed è Mentre con il primo modello era indifferente quale delle due estremità della striscia inserire nell altra, con questo secondo modello se inseriamo l estremità B nella A vediamo una faccia del tetraedro risultante divisa in due parti disuguali. lembo triangolare 11

12 Conclusioni geometriche Nei tetraedri ottenuti con le due modalità suindicate soltanto il modello 1, ottenuto dal foglio rettangolare 1 x, presenta tre facce formate da un unica superficie cartacea e solo una divisa a metà, nel modello 2, una faccia del tetraedro non è divisa in maniera simmetrica. Sono possibili altri modelli di tetraedro, che qui non stiamo ad analizzare e per la cui costruzione sono necessari fogli rettangolari di dimensioni in rapporto diverso da ; anche in questi si osserva la stessa anomalia su almeno una faccia del tetraedro, come si può osservare dalla figura sotto. MODELLI DI TETRAEDRO Rapporto dimensioni del foglio rettangolare 2 8/7 La costruzione del rettangolo 1 analitica nel linguaggio della geometria Ricordiamo la figura in cui sono rappresentate le piegature che portano alla costruzione del rettangolo 1 : 12

13 E vediamola nel piano cartesiano. Poniamo: A (0, 0), B (a, 0), V (a, a), Z (0, a); equazione retta equazione retta ; coordinate del punto A, simmetrico di A sulla retta PQ: A è l intersezione della retta PQ con la circonferenza che ha centro in M e raggio MA,. ; coordinate del punto R, punto dell asse Y, equidistante da A e da A :... retta RA : coordinate del punto O, intersezione fra le rette MN e RA : O Si ha: 13