Esercitazione 3: Il diagramma di Lexis: contabilità per generazioni e per contemporanei. Introduzione alla costruzione delle tavole.

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1 Esercitazione 3: Il diagramma di Lexis: contabilità per generazioni e per contemporanei. Introduzione alla costruzione delle tavole. Viviana Amati 06/05/2009

2 Il diagramma di Lexis Il diagramma di Lexis è una rappresentazione grafica di eventi vissuti (nascita, matrimonio, divorzio, morte...) da un individuo, ideata dallo statistico tedesco Lexis nel Esso pone in corrispondenza le date di osservazione degli eventi con l età degli individui che li hanno sperimentati. In pratica consente di collocare gli accadimenti demografici mediante una duplice dimensione del tempo: l anno di calendario e l età. Il diagramma di Lexis si rappresenta nel piano attraverso un sistema di assi cartesiani ortogonali, in cui sull asse delle ascisse si riportano i tempi (teoricamente in milioni di anni, cioè pari al tempo trascorso dall origine dell uomo) mentre in ordinata le età (fino al massimo ω, l età irrangiungibile). Attraverso questo grafico è possibile rappresentare la biografia di ciascun soggetto ed evidenziare i fenomeni demografici che lo hanno interessato, in funzione sia dell istante in cui si sono verificati, sia dell età del soggetto nell istante medesimo. La storia di un soggetto viene a coincidere con un segmento, chiamato linea di vita. Essa inizia nell istante della nascita in un determinato punto del grafico, prosegue con inclinazione di 45 rispetto all ascisse e si arresta quando l individuo esce dalla collettività per decesso o emigrazione. Tale linea di vita, che correrà insieme a quella degli altri individui all interno del diagramma, sarà segnata dai vari eventi, (passaggio dallo stato di studente a quello di lavoratore, matrimonio, nascita del primo figlio, cambiamento di lavoro, di città, divorzio, morte,... ). La Figura 1 mostra la linea di vita di un uomo nato il 6 maggio del 1927, Figura 1: Rappresentazione di una linea di vita sposatosi il 20 giugno 1951, diventato padre il 18 agosto del 1953 e deceduto il 21 ottobre Il diagramma di Lexis si configura come un insieme di linee di vita (alcune delle quali sovrapposte) costellate da tanti punti quanti sono gli eventi che si sono succeduti. Tali eventi possono essere conteggiati e classificati sia rispetto al tempo in cui si sono verificati, sia rispetto all età o all istante di nascita dei soggetti che li hanno vissuti. Si supponga ora di ripartire il tempo in anni solari e l età in anni compiuti. Lo schema di 1

3 Lexis viene così rappresentato: Figura 2: Aree del diagramma che identificano gruppi di eventi accomunati dalle stesse caratteristiche Le aree A, B, C, D della Figura 2 rappresentano i gruppi di eventi accomunati dalle stesse caratteristiche. In particolare se si considerano congiuntamente le tre caratteristiche anno in cui si è verificato l evento, anno di nascita ed età del soggetto, allora tutti i puntievento che nel grafico risultano compresi entro triangoli (A) vengono accomunati nella stessa classe. Se, invece, si considera una classificazione basata su due sole caratteristiche si possono presentare i seguenti casi: - tutti i punti evento che condividono l età e l anno di nascita cadono nei parallelogrammi di tipo B - quelli accomunati dall anno dell evento e dall anno di nascita sono inclusi nei parallelogrammi di tipo C - quelli che riguardano lo stesso anno dell evento e la medesima età sono compresi entro i quadrati del tipo D Esempio A scopo esemplificativo si consideri come evento il decesso e si suppone che la popolazione sia chiusa (è soggetta solo a nascite e decessi, ma non ai movimenti migratori). Nella Figura 2 ciascuna coppia di segmenti obliqui che iniziano in corrispondenza di 2 anni contigui delimitano un fascio di linee di vita tutte con origine (rappresentata dalla nascita) durante lo stesso anno di calendario. Ciascun fascio rappresenta una generazione di nati, cioè 2

4 l insieme dei nati in un determinato anno di calendario. Si consideri ora la genrazione del 1972, il cui ammontare è pari a e coincide col numero di linee di vita che partono dal segmento AB. Il 31 dicembre 1972 rimarranno in vita tutti coloro che hanno una linea di vita che intersecherà il segmento BC (879157). Le linee di vita che partite da AC non raggiungono BC sono pari agli eventi morte che avvengono nel triangolo ABC (22315). In particolare vale la seguente relazione BC = AB ABC. Le linee della generazione del 1972 che raggiungono il segmento CD compiono in quell istante il primo compleanno e sono pari a Alla luce di quanto sin qui visto, si può osservare che i segmenti verticali identificano gli individui che, in un dato istante, sono tutti viventi contemporaneamente e si chiamano quindi linee dei contemporanei (in altre parole sono le personi viventi in un dato momento storico). I segmenti paralleli all asse delle ascisse, invece, individuano i soggetti che hanno la stessa età, ma in momenti differenti, sono dunque le linee dei coetanei (in altre parole sono le persone viventi ad una precisa età). Figura 3: Un esempio del diagramma di Lexis Dalla Figura 3 si può osservare che i morti del parallelogramma ABCD hanno età compiuta 0, appartengono tutti alla generazione del 1972, ma sono morti in due anni differenti, nel 1972 e nel Tali decessi sono pari a ABC + BCD = = e coincidono con i decessi avvenuti in un parallelogramma di tipo B in Figura 2. 3

5 I decessi, invece, rappresentati nel quadrato ABCE, sono avvenuti nel 1972 e riguardano anch essi individui con età compresa tra 0 e 1, ma appartenenti a due generazioni diverse, quella del 1971 e quella del Essi possono essere determinati nel seguente modo: ABC + ACE = = Infine restano da considerare i decessi avvenuti nel parallelogramma BCDF (tipo C in Figura 2). Essi sono pari a BCD + CDF = = 5106 e coincidono con gli individui deceduti nel 1973 e nati nel Esercizio 1 Disporre sul diagramma di Lexis i seguenti dati: - numero di donne di età 20 al 01/01/1974: numero di donne di età 20 al 01/01/1975: numero di donne di età 20 al 01/01/1976: numero di nati da donne di 20 anni nel corso del 1974: numero di nati da donne di 20 anni nel corso del 1975, di cui: da donne nate nel 1955 e da donne nate nel 1954 Esercizio 2 Disporre i seguenti dati in un diagramma di Lexis Anno N matrimoni dove le ultime quattro colonne riportano il numero di separazioni per durata in anni del matrimonio (la durata è indicata dal nome delle colonne). Con riferimento all esempio precedente si supponga ora di voler studiare la legge di eliminazione per morte secondo l età. Si può procedere in due modi differenti. Il primo consiste nel considerare un certo numero di nati nel medesimo anno e seguirli nel tempo, osservando le modalità di eliminazione per morte finchè tutta la generazione si sarà estinta. Questo tipo di analisi si chiama analisi longitudinale o per coorte (o generazione) perchè segue lo svolgersi di eventi lungo la vita di un gruppo di individui. Così facendo si analizzano i soggetti esposti alle medesime circostanze esterne e ambientali. Il secondo metodo è chiamato analisi trasversale o per contemporanei e consiste nell osservare alle varie età gli avvenimenti relativi a individui contemporanei, appartenenti a 100 o più generazioni. In questo caso il quadro ottenuto è frutto di comportamenti guidati e causati da esperienze passate assai diverse e accumulate dalle varie generazioni che concorrono al risultato finale. Le due tipologie di analisi sono riportate in Figura 4. Per capire la differenza tra le due analisi si possono considerare queste due situazioni. Se l interesse è rivolto allo studio del formarsi della discendenza da un gruppo di donne secondo l età, il modo più logico consiste nell osservare, registrare e addizionare i figli che una generazione mette al mondo 4

6 Figura 4: Un esempio del diagramma di Lexis tra l inizio e il termine dell età feconda. Infatti le decisioni in merito alla procreazione vengono prese in funzione delle decisioni prese in precedenza. Per esempio una donna che a 35 anni avrà raggiunto il numero di figli desiderato, smetterà di averne, mentre una donna che a 35 anni desidera ancora dei figli, attuerà una politica familiare differente. In questo ambito è dunque necessario far riferimento ad un analisi longitudinale. Si consideri ora un analisi trasversale e si supponga di voler studiare il comportamento fecondo delle donne dai 15 ai 60 anni nel Mentre le giovani donne hanno potuto avvalersi, nella programmazione della loro vita feconda, della liberalizzazione dell aborto (1978), dell abolizione del divieto di propaganda dei metodi di limitazione delle nascite (1971) e dalla diffusione dei contraccettivi, le donne meno giovani hanno risentito di questi avvenimenti in maniera più attenuata e ad un età più tarda. Da ciò emerge che il comportamento demografico a qualsiasi età non è mai indipendente da ciò che è avvenuto alle età precedenti e pertanto è importante operare un analisi per generazioni. Lo studio per contemporanei si presta meglio all analisi congiunturale poichè aggrega segmenti di comportamenti prodotti da esperienze forzatamente eterogenee. Il diagramma di Lexis contiene tutte le informazioni necessarie per misurare il fenomeno in considerazione, ad esempio attraverso i tassi. In particolare nella prima esercitazione sono stati definiti i tassi generici e i tassi specifici. In questa situazione è possibile definire diversi tipi di tassi specifici a seconda della specificazione che viene effettuata. Poichè un tasso è definito come il rapporto tra il numero di eventi e la popolazione media, occorre definire, a seconda delle specifiche, queste due quantità. a) Se il tasso specifico è calcolato in base alle età (x) e all anno di calendario (t), 5

7 le quantità da prendere in considerazione sono il numero di eventi calcolato in un quadrato di tipo C, a numeratore, e la semisomma della popolazione all inizio e alla fine dell anno (rispettivamente 1.1.t P x e t P x ), a denominatore. b) Se si fissano, invece, la generazione (g) e l età (x), il numero di eventi da porre a numeratore è contenuto nel parallelogramma di tipo B e la popolazione di riferimento è data dalla semisomma della consistenza numerica di coloro che raggiungono l xesimo e l x + 1-esimo compleanno (rispettivamente g P x e g P x+1 ). c) Infine se si specificano la generazione (g) e l anno di calendario (t), il numero di eventi da porre a numeratore si trova nel parallelogramma di tipo B e la popolazione da mettere a denominatore è pari alla semisomma dell ammontare della generazione all inizio dell anno e di quella alla fine dell anno (rispettivamente g 1.1.tP e g tP ). Quanto detto è rappresentato in Figura 5. Figura 5: Tassi specifici Esercizio 3 Si dispone dei dati seguenti: x M x relativi ai morti per età (M x ) di una popolazione immaginaria chiusa ai movimenti migratori e in cui nessuno raggiunge il 5 compleanno. Disporre i dati della tabella precedente su un diagramma di Lexis, secondo le due ipotesi: 6

8 a) i dati si riferiscono a una generazione; b) i dati si riferiscono a contemporanei. Esercizio 4 Sapendo che: - i ventiseienni al sono pari a 1200; - l ammontare della popolazione che nel 1996 raggiunge i 26 anni è pari a 1400; e disponendo della distribuzione di decessi, rappresentata su un diagramma di Lexis: Figura 6: Tassi specifici calcolare: a) il tasso specifico di mortalità per l età 26 nell anno 1996; b) il tasso specifico di mortalità per l età 26 e la generazione del 1969; c) il tasso specifico di mortalità dell anno 1995 per la generazione del Dal diagramma di Lexis alla Tavola di mortalità La tavola di mortalità (o di sopravvivenza) è lo strumento logico e tecnico più completo per descrivere il processo di estinzione di una generazione di individui. In generale così come il diagramma di Lexis può essere utilizzato facendo riferimento a svariati fenomeni demografici, anche la tavola di mortalità può essere applicata in contesti differenti da quello della mortalità e ha come scopo lo studio di un evento di interesse nel corso della vita di un individuo. Il tempo individuale è misurato a partire da un evento di origine e si conclude con la sperimentazione dell evento di interesse. Nel caso della mortalità l evento origine è la nascita e l evento di interesse è il decesso. Per costruire una tavola di mortalità occorre conoscere la data di nascita e di morte di ciscun individuo e l obiettivo consiste nello stimare la probabilità di morte alle varie età. Per fare ciò è necessario determinare la velocità di estinzione di una generazione, poichè più l incidenza della mortalità è forte, più sarà rapida l eliminazione. Nella prima esercitazione si è osservato che per misurare l intensità di un fenomeno in relazione all età, si può 7

9 ricorrere al tasso specifico di mortalità m x. Una misura maggiormente significativa è costituita dalla probabilità di morte q x che esprime il rischio di morire tra il compimento dell anno x e il suo successivo. Ipotizzando l assenza di fenomeni migratori, essa può essere calcolata come rapporto tra il numero di decessi tra il compleanno x e x + 1 e l ammontare della popolazione che ha compiuto il compleanno x. q x = M x P x Occorre precisare che esiste un secondo tipo di probabilità di morte, indicate con il temine probabilità prospettive di morte. Esse sono calcolate tra due date e due compleanni successivi e misurano il rischio che hanno, in media, i soggetti in età x (anni compiuti) all istante iniziale t, di non essere in vita al compleanno x + 1 all istante finale t + 1 dell intervallo temporale considerato. Il calcolo viene effettuando fissando una generazione e un anno mediante il rapporto: q x/x+1 = g t M g 1.1.tP x dove g t M rappresenta il numero dei decessi osservati nell anno t nell ambito dei g 1.1.tP x soggetti appartenenti alla generazione nata nell anno g, in età x al 1 gennaio dell anno t. Le quantità coinvolte sono ricavabili dal diagramma di Lexis come riportato in Figura 7. Figura 7: Calcolo delle probabilità prospettive di morte Si supponga ora di aver calcolato una serie di probabilità di morte e di disporre del contingente iniziale sottoposto a eliminazione. Tali informazioni sono sufficienti per costruire le altre variabili della tavola attraverso lo sviluppo di una serie di relazioni che le legano fra loro. Queste quantità possono essere calcolate per tutte le età di una generazione oppure in corrispondenza delle diverse età di tutte le generazioni che convivono in un dato intervallo biennale. Come già detto in precedenza, nel primo caso si potrà costruire una tavola di mortalità per generazioni, mentre nel secondo per contemporanei. Esempio Per capire la differenza tra tavola di mortalità per generazioni e per contemporanei, si considerino i seguenti dati, relativi ad una popolazione nella quale tutti si estinguono prima del quarto compleanno, e li si collochino opportunamente sul diagramma di Lexis: - Nell anno 1965 sono nati 100 bambini e nel primo anno di vita ne sono deceduti 29 8

10 - Nel 1964 sono nati 80, di questi 60 hanno raggiunto il primo anno di vita e 20 sono deceduti prima del secondo anno di compleanno. - Della generazione del bambini arrivano a compiere il secondo anno di vita e di questi 15 giungono al terzo compleanno. - Nel 1962 sono nati 90 bambini. Di questi 15 sono deceduti nel primo anno di vita, 25 nel secondo, 40 nel terzo. In base a queste informazioni, riportate in nero nella Figura 8, è possibile ricavare le altre quantità necessarie per calcolare le probabilità di morte (riportate in blu). Se si centra la Figura 8: Diagramma di Lexis costruzione della tavola di mortalità sulla generazione nata nel 1962 allora le probabilità di morte sono fornite dai valori cerchiati in verde in Figura 9. Ad esempio q 0 = = q 1 = = Queste sono le probabilità di morte relative ad una generazione. Se, invece, si fissa l anno di calendario si ottengono le probabilità di morte per contemporanei, rappresentate in giallo in Figura 9. Per esempio: q 0 = = q 1 = = Occorre ora considerare il caso più realistico, in cui la popolazione è soggetta oltre che alla natalità e alla mortalità, anche all immigrazione e all emigrazione. La presenza di movimenti migratori modifica l ammontare della popolazione esposta al rischio di morte e per poter calcolare la probabilità di morte occorre formulare un ipotesi sulla distribuzione delle migrazioni e sulla durata media della permanenza nella popolazione degli individui 9

11 migrati. Come fatto per i tassi, si ipotizza che le migrazioni si distribuiscano in modo uniforme durante l anno e che coloro che sono migrati siano rimasti esposti al rischio per un periodo di metà anno. Figura 9: Probabilità di morte per generazioni e per contemporanei Esercizio 5 Avendo a disposizione i seguenti dati: calcolare la probabilità di morte a 60 anni. Supponendo di conoscere anche le informazioni sui migranti, calcolare la probabilità di morte a 60 anni. 10

12 Sia l 0 il numero di individui considerati (solitamente è pari a o ad una diversa potenza di 10) e si supponga che durante la loro esistenza essi risultino sottoposti al rischio di morte tra due compleanni successivi fornito dalle serie dei q x Con tali premesse, se q 0 è il valore della probabilità di morte tra il compleanno 0 (nascita) e il compleanno 1, il numero atteso di decessi entro il primo compleanno sarà: d 0 = l 0 q 0 Sottraendo il numero di decessi al contingente iniziale si ricava il numero di sopravviventi della tavola al primo compleanno: l 1 = l 0 d 0 A questi sopravviventi si applica la probabilità q 1 per ottenere i decessi tra 1 e 2 anni d 1 = l 1 q 1 e poi si ootengono i sopravviventi al secondo compleanno. l 2 = l 1 d 1 e così di seguito fino all estinzione totale dell ammontare iniziale. In generale i decessi all età x e i sopravviventi all età x + 1 sono forniti da: d x = l x q x l x+1 = l x d x In questo modo si ottiene la serie completa dei sopravviventi l x ai successivi compleanni e il numero di decessi d x avvenuti entro i diversi compleanni. Esercizio 6 Si completi la seguente tabella: Altri esercizi Esercizio 7 x l x d x q x Disporre sul diagramma di Lexis i seguenti dati: a) nati vivi nel 1970; b) morti in età 0 anni nel 1970 appartenenti alla generazione del 1970; c) morti in età 0 anni nel 1971 appartenenti alla generazione del 1970; d) totale morti di 0 anni appartenenti alla generazione del 1970 deceduti nel ; e) morti in età 0 anni nel 1970 appartenenti alla generazione del 1969; 11

13 f) contemporanei di 0 anni viventi al 31/12/1970 appartenenti alla generazione del 1970; g) totale morti di 0 anni appartenenti alle generazioni deceduti nel 1970; h) appartenenti alla generazione del 1970 sopravvissuti e coetanei al primo compleanno. Esercizio 8 Con riferimento ai dati dell esercizio 4, determinare: a) la probabilità di un 26-enne del 1995 di non raggiungere il 27-esimo compleanno b) la probabilità di un 25-enne al di non raggiungere i 26 anni al Esercizio 9 Avendo a disposizione i dati nel diagramma di Lexis: calcolare: a) P 40 b) il tasso specifico di mortalità per l età 41 nell anno 1942 c) la probabilità di un 40-enne al di non raggiungere i 41 anni al d) la probabiltà di morte a 40 anni 12

14 Soluzioni Esercizio 1 Il diagramma di Lexis è: Esercizio 2 Poichè non è possibile attribuire il numero delle separazioni per ciascun anno ad una coorte di matrimoni precisa, le uniche informazioni di cui si dispone sono l anno in cui si sono verifcati gli eventi considerati e la loro durata (che coincide con l età di matrimoni ). Di conseguenza i dati non possono che essere riportati in quadrati: 13

15 Esercizio 3 I dati per contemporanei sono stati indicati tra parentesi. 14

16 Esercizio 4 Questo esercizio richiede il calcolo dei possibili tassi specifici di mortalità e di alcune informazioni che possono essere facilmente deducibili dal diagramma di Lexis (in blu). a) Per il calcolo di questo tasso specifico, avendo richiesto un età e un anno precisi, entrano in gioco due differenti generazioni, quella del 1969 e del Il valore cercato è dato da: 1996m 26 = 1996M 26 1 ( P x P x ) 1000 = = b) In questo caso si considerano due differenti anni, il 1995 e il 1996, avendo specificato l età e la generazione. Il tasso è pertanto determinato da: 1969 m 26 = 1969 M (1969 P P 27 ) 1000 = = c) L ultimo tasso di mortalità specifico prende in considerazione due differenti età, poichè in questo caso sono stati evidenziati anno e generazione. Pertanto il tasso viene calcolato nel seguente modo: Esercizio m = M 1 2 ( P P ) 1000 = = Se non si considerano i fenomeni migratori per calcolare la probabilità di morte tra due compleanni si applica la consueta formula: q 60 = 1978 M 60 P 60 = = Se si considerano, invece, i fenomeni migratori il denominatore cambia: q 60 = 1978M 60 P ( I E 60 ) = = (( ) ( )) 2 15

17 Esercizio 6 Per prima cosa si deve fissare la radice della tavola. Per convenzione essa è un multiplo di 10 e solitamente si pone l 0 = Fissata questa quantità e noti i decessi in età 0 è possibile ricavare la probabilità di morte q 0, tramite la nota relazione: q 0 = d 0 l 0 = = A questo punto i sopravviventi in età 1 anno sono pari a: l 1 = l 0 d 0 = = Noti i sopravviventi e la probabilità di morte in età 1, si possono ricavare i decessi relativi a questa età: d 1 = l 1 q 1 = = 146 Iterando questi procedimenti si ottiene: l 2 = l 1 d 1 = = q 2 = = La tabella completa è dunque: Esercizio 7 a) nati vivi nel 1970 AB q 3 = = x l x d x q x b) morti in età 0 anni nel 1970 appartenenti alla generazione del 1970 ABC c) morti in età 0 anni nel 1971 appartenenti alla generazione del 1970 BCE d) totale morti di 0 anni appartenenti alla generazione del 1970 deceduti nel ABCE e) morti in età 0 anni nel 1970 appartenenti alla generazione del 1969 ACD f) contemporanei di 0 anni viventi al 31/12/1970 appartenenti alla generazione del 1970 BC g) totale morti di 0 anni appartenenti alle generazioni deceduti nel 1970 ABCD h) appartenenti alla generazione del 1970 sopravvissuti e coetanei al primo compleanno CE 16

18 Esercizio 8 I dati che occorrono per determinare i due tassi sono stati calcolati nell Esercizio 4. a) In questo punto si richiede la probabilità di morte tra due compleanni, cioè q 96 = 69 M P 26 = = b) Nel secondo punto si chiede di calcolare la probabilità di morte tra due date ed età successive, cioè le probabilità prospettive di morte: Esercizio 9 q 25/26 = M P 25 = = a) La popolazione di quarant anni al è fornita da: P 40 = = P M M E E I E 40 = = = b) Il tasso specifico di mortalità è dato da: 92m 41 = 92M 41 1 ( P P 41 ) Poichè P 41 è nota è necessario calcolare solo P 41 : P 41 = = così si ottiene: 1992m 41 = = ( ) 17

19 c) La probabilità prospettiva di morte è fonita da: q 40/41 = M P Tenendo conto anche del saldo migratorio: = = q 40/41 = M P + 1 ( I 1991 E) = = ( ) 2 d) La probabilità di morte a quarant anni è pari a: q 40 = M P ( I 1991 E) = = [ ( )] 2 18