Corso di Fisica Moderna
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- Cipriano Cattaneo
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1 Unvrstà dgl Stud d Udn Corso d laura n Fsca Computazonal Corso d Fsca Modrna Sara Padovan Sara Padovan Fsca Modrna 009/00
2 Corso d Fsca Modrna. Partcll dntch spn. Statstca classca (Maxwll-Boltzmann) 3. Statstch quantstch (Frm-Drac Bos-Enstn) 4. Gas d foton (applcazon dlla statstca d Bos-Enstn) 5. Gas d lttron-mtall (applcazon dlla statstca d Frm-Drac) 6. Tora dll band pr sold (cnn) 7. Fsca d smconduttor Sara Padovan Fsca Modrna 009/00
3 Partcll dntch Supponamo d avr du partcll dntch n una scatola. In Mccanca Classca: possamo pnsar d sgur l moto d ogn partclla ndvduarn la trattora, snza dsturbar l sstma. In Mccanca Quantstca non sst l conctto d trattora, ch prsuppon la conoscnza smultana dlla poszon dlla vloctà dll partcll. Supponamo d consdrar du partcll dl tutto dntch, d dtrmnar con lvata prcson la loro poszon ad un crto stant t, trovando du poszon r r. Supponamo d rptr la msura ad un succssvo stant t, trovando dll poszon r r. Samo n grado d dr s la partclla n ra qulla ch s trovava n r, oppur vcvrsa? La rsposta è O. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 3
4 Prncpo d ndstngubltà Qusto è un prncpo gnral ch prnd l nom d: PRICIPIO DI IDISTIGUIBILITÀ dato un sstma contnnt partcll fra loro dntch, è mpossbl ch una msura da rsultat dvrs s s mmagna d scambar fra loro du partcll In altr parol, l sstma dv ssr smmtrco rsptto a tutt l prmutazon possbl. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 4
5 Prncpo d ndstngubltà Il prncpo d ndstngubltà pr l partcll dntch dv smpr ssr tnuto prsnt nll trattazon d MQ, n partcolar nlla forma n cu scrvr la funzon d onda d una partclla. La funzon d onda ch dscrv l sstma dv ssr nsnsbl allo scambo d du partcll. Sa Ψ ( r r, t) ( r, r t) a, b, Ψ, la funzon d onda ch dscrv l sstma costtuto da du partcll dntch non ntragnt, tal pr cu all stant t la partclla a s trova nlla poszon r la partclla b nlla poszon r Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 5
6 Sstma costtuto da du partcll dntch Un sstma costtuto da du partcll può ssr dscrtto dalla funzon d onda: Ψ ( r r, t), ch soddsfa all quazon d Schrödngr: h con H hamltonano dl sstma: ψ ˆ Hψ t H ˆ h h U m m, + ( r, r t) Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 6
7 Sstma costtuto da du partcll dntch La probabltà d trovar la partclla nll lmnto d volum d 3 r, la partclla nll lmnto d 3 r è dfnta dal modulo quadro dlla funzon d onda: dw Ψ r 3 3 (, r, t) d r d r ch va normalzzato su tutto l volum Ψ 3 3 ( r r, t) d r d r, Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 7
8 Sstma costtuto da du partcll dntch SOLUZIOE DELL EQUAZIOE STAZIOARIA S l nrga potnzal U non dpnd dal tmpo, è possbl rsolvr l Equazon d Schrödngr con l mtodo dlla sparazon dll varabl, ponndo: Et h ( r, r, t) Ψ( r r ) Ψ, ( ) Ψ r,r In tal caso la funzon d onda dpnd solo dall coordnat spazal soddsfa all Equazon d Schrödngr stazonara: h m h ψ m ( r, r ) ψ ( r, r ) + U ( r, r ) ψ ( r, r ) Eψ ( r, r ) Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 8
9 Sstma costtuto da du partcll dntch SOLUZIOE DELL EQUAZIOE STAZIOARIA S E è l nrga total dl sstma, sstono du funzon ch possono soddsfar al vncolo E E a +E b Ψ Ψ a b ( r r ) Ψa ( r ) Ψb ( ) ( r r ) Ψ ( r ) Ψ ( ),, r b, a, b a r A B La MQ m fornsc gl strumnt pr costrur una funzon d onda ch dscrv lo stato d un sstma costtuto da partcll dntch snza spcfcar qual partclla sta n uno stato qual nll altro. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 9
10 Oprator d scambo Dfnamo l oprator d scambo P ch nvrt la poszon dll partcll: Applcando l oprator P du volt, s dv rottn la stuazon nzal ossa: Qund: P Ψ PΨ ( r, r ) Ψ( r r ), ( r, r ) PΨ( r, r ) Ψ( r, r ) P ha autovalor P ha autovalor ± Sgnfca ch sstono du tpolog d funzon d onda ch possono dscrvr l sstma: Ψ Ψ ( r, r ) +Ψ( r, r ) ( r, r ) Ψ( r, r ) Smmtrca Antsmmtrca Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 0
11 Sstma costtuto da du partcll dntch SOLUZIOE DELL EQUAZIOE STAZIOARIA S E è l nrga total dl sstma, sstono du funzon ch possono soddsfar al vncolo E E a +E b Ψ Ψ a b ( r r ) Ψa ( r ) Ψb ( ) ( r r ) Ψ ( r ) Ψ ( ),, r b, a, b a r A B C sono du funzon d onda ch dscrvono un sstma costtuto dalla combnazon lnar dgl stat A B : Ψ ± ( r r ) A ( Ψ ( r ) Ψ ( r ) ± Ψ ( r ) Ψ ( )), r a b b a Esstono du tpolog d partcll!!! Sara Padovan Fsca Modrna 009/00
12 Boson frmon Sstma a du partcll Funzon smmtrca BOSOI Partcll con spn ntro Ψ + Ψ S ( r r ) A ( Ψ ( r ) Ψ ( r ) + Ψ ( r ) Ψ ( )), r S a b b a Ψ Ψ A ( r r ) A ( Ψ ( r ) Ψ ( r ) Ψ ( r ) Ψ ( )), r A a b b a Funzon antsmmtrca FERMIOI Partcll con spn sm- ntro Sara Padovan Fsca Modrna 009/00
13 Frmon dntc Rtornamo alla funzon antsmmtrca ch dscrv du frmon: Supponamo d avr du frmon dntc, ovvro ch S ha ch Ψ Ψ A Ψ A ( r r ) A ( Ψ ( r ) Ψ ( r ) Ψ ( r ) Ψ ( )), r A a b b a Ψ Ψ a a ( r ) Ψ ( ) b r ( r ) Ψ ( ) b r ( r r ) A ( Ψ ( r ) Ψ ( r ) Ψ ( r ) Ψ ( r )) 0, A a b b a Ψ A ( r, r ) 0 du frmon dntc, non possono occupar lo stsso stato quantco Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 3
14 Prncpo d scluson d Paul Formulato nl 95 dchara ch: du frmon dntc, non possono occupar lo stsso stato quantco. E' l prncpo d scluson d Paul ch prmtt ad un oggtto d non dssolvrs nll vostr man, dato ch ogn frmon occupa uno spazo vtal ch non può spartr. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 4
15 Boson frmon La funzon d onda total può ssr sprssa com l prodotto d una funzon spazal α una d spn β Funzon d onda total α (funzon spazal) β(funzon d spn) Ψ Y m ( ϑ, ϕ) β ( spn) l La part spazal dscrv l moto orbtal d una partclla rsptto all altra d rapprsntata dall armonch sfrch Y lm (θ,ϕ) E una funzon smmtrca pr spn paralll antsmmtrca pr spn antparalll BOSOI: α β ntramb smmtrch o antsmmtrch FERMIOI: α smmtrca β antsmmtrca o vcvrsa Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 5
16 Boson frmon Funzon smmtrca BOSOI Partcll con spn ntro Ψ ( r, r ) A ( ( r ) ( r ) ( r ) ( r + ΨS S Ψa Ψb + Ψb Ψa )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ψ Ψ A r ( Ψ r Ψ r Ψ r Ψ ), r A r A a b b a Funzon antsmmtrca FERMIOI Partcll con spn sm- ntro FERMIOI: funzon d onda ant-smmtrca pr nvrson spazal. on possono qund cosstr nllo stsso stato (al pù possono sstr du frmon nllo stsso stato nrgtco, ma con spn opposto) BOSOI: funzon d onda smmtrca pr nvrson spazal. Com consgunza d qusto fatto possono cosstr nllo stsso stato anch n numro molto grand. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 6
17 Modllo standard: boson frmon l modllo standard frmon boson sono l du catgor d partcll fondamntal: quant d matra quant d forza. FERMIOI (quant d matra) corrspondono all partcll ch costtuscono la matra (nucl, atom, molcol) coè quark (d cu sono format proton nutron, costtunt dl nuclo atomco), l'lttron l nutrno, pù altr rplch dllo stsso tpo d partcll (con l stss ntrazon) ma molto pù psant qund nstabl. BOSOI (quant d forza): partcll ch, nlla conczon dual ondacorpuscolo dlla MQ, sono portator dll forz fondamntal ch s srctano tra l partcll lmntar ch qund n dtrmnano l ntrazon. FORZE FODAMETALI l'lttromagntca dbol fort gravtazonal foton boson W± Z gluon gravton Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 7
18 Modllo standard: boson frmon l modllo standard frmon boson sono l du catgor d partcll fondamantal: quant d matra quant d forza. ν γ ± Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 8
19 Lo spn l suo famoso artcolo dl 95, n cu nuncò l prncpo d scluson, Wolfgang Paul ntroduss pr la prma volta quattro numr quantc pr dscrvr computamnt lo stato dgl lttron all'ntrno dgl orbtal atomc. Il quarto numro quantco ntrodotto da Paul ra lo "spn", momnto angolar ntrnsco assocato alla partclla. Dal punto d vsta sprmntal, nl frattmpo, tmp rano matur pr l'ossrvazon dgl fftt d tal pots. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 9
20 Corso d Fsca Modrna. Partcll dntch spn. Mccanca statstca classca (Maxwll-Boltzmann) 3. Statstch quantstch (Frm-Drac Bos-Enstn) 4. Gas d foton (applcazon dlla statstca d Bos-Enstn) 5. Gas d lttron-mtall (applcazon dlla statstca d Frm-Drac) 6. Tora dll band pr sold (cnn) 7. Fsca d smconduttor Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 0
21 Mccanca statstca La mccanca statstca è un ramo dlla fsca ch studa l comportamnto l proprtà md d sstm costtut da un numro molto grand d partcll: lo strumnto d qust anals sono mtod l tcnch dlla statstca, applcat alla dscrzon dl moto dll partcll. S è svluppata nl corso dl XIX scolo prncpalmnt pr mrto dl fsco ngls Jams Clrk Maxwll, dl fsco austraco Ludwg Boltzmann dl fsco matmatco statuntns J. Wllard Gbbs. Convnt ch la matra foss costtuta da un gran numro d partcll mnuscol (atom molcol) n costant movmnto, qust scnzat rano consapvol dl fatto ch la dtrmnazon dl moto d ogn sngola partclla, n bas all'applcazon dlla mccanca nwtonana, foss un procdmnto mpratcabl. Maxwll, Boltzmann Gbbs svlupparono mtod statstc ch prmttssro d dscrvr la dnamca dll sngol partcll n trmn d valor md dll varabl mcroscopch, d ddurr da qust l carattrstch trmodnamch macroscopch d sstm. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00
22 Mccanca statstca quantstca gl ann Vnt la mccanca statstca vnn rformulata, al fn d ncludr nuov prncp dlla tora quantstca. La natura dll partcll nfatt, così com vn ntsa dalla tora quantstca, è dvrsa da qulla tpca dlla tora classca, basata su prncp dlla dnamca d wton. Du partcll classch sono torcamnt dstngubl, (possono ssr dstnt apponndo a cascuna un'tchtta d rconoscmnto) l partcll quantstch sono dl tutto ndstngubl. La nuova tora d fsca rchs una rdfnzon gnral d prncp dlla mccanca statstca: noltr, fu ncssaro utlzzar du dvrs mtod statstc pr dscrvr l proprtà fsch d sstm d partcll quantstch. Pr la dscrzon statstca d sstm d partcll dotat d spn sm-ntro (frmon) s rchdva la statstca d Frm-Drac, mntr pr sstm d partcll dotat d spn ntro ( boson) ra ncssara la statstca d Bos- Enstn. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00
23 Mccanca statstca classca: Maxwll Boltzmann Statstca classca: La statstca d Maxwll-BoItzmann è stata rcavata nll'ambto dllo studo dlla tora cntca d gas, nlla qual s assum ch l molcol ntragscono tra d loro molto dbolmnt solo durant l collson: s possono qund trascurar tutt gl altr tp d forz possbl. Sstma chuso d partcll dstngubl dbolmnt ntragnt L. Boltzmann C. Maxwll Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 3
24 Statstca d Maxwll-Boltzmann IPOTESI:. Sstma chuso. Partcll dstngubl 3. Intrazon dbol partcll non-ntragnt 4. cost. Ecost. 5. Tutt paramtr rlvant (volum,...) ch dtrmnano gl stat dl sstma sono costant. 6. S conoscono gl stat d partclla sngola,,... S l loro nrg ε, ε, S ε ε ε 3 ε S 3 S S S ε E Vncol Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 4
25 Statstca d Maxwll-Boltzmann 3... S ε ε ε 3 ε S 3 S S S ε E Vncol Ho ralzzato una rpartzon dtta MACROSTATO Qusta rpartzon può ssr fatta n un crto numro d MODI o MICROSTATI (W) Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 5
26 Statstca d Maxwll-Boltzmann In quant mod posso ralzzar qusta rpartzon? Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 6
27 Statstca d Maxwll-Boltzmann Voglo dtrmnar:. Il numro d mod W assocato ad una crta rpartzon (macrostato) IP Tutt mod (mcrostat) ch rspttano vncol sono quprobabl Lo stato d qulbro dl sstma è qullo pù probabl, coè qullo ch può ssr ralzzato col massmo numro d mod possbl (prncpo d massma vrosmglanza). La dstrbuzon statstca n(e) ch dscrv l sstma all qulbro trmco Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 7
28 Statstca d Maxwll-Boltzmann umro d mod: sstma con numro fnto d stat Possbltà d mttr partcll nllo stato ordnatamnt W ' cascuna d qust può ssr ottnuta con! dffrnt prmutazon dll partcll qund l possbltà dstnt sono Lo stato potrà ssr occupato nl numro d mod: ( )( ) ( ( ) ) K W! W! ( )! ( )! ( )!!!( )! Coffcnt bnomal W W W K W S W s ottn! umro d mod! S Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 8
29 Statstca d Maxwll-Boltzmann Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 9
30 Statstca d Maxwll-Boltzmann Dstrbuzon pù probabl Applchamo ora l PRICIPIO DI MASSIMA VEROSIMIGLIAZA: un sstma fsco ral l partcll tndranno a dspors scondo la confgurazon ch prvd l numro massmo possbl d mod W Qusto sgnfca ch pr un sstma fsco ral l quazon d W sarà massmzzata da una partcolar confgurazon dll partzon,..., S. Rcordamo ch non tutt l confgurazon dll partzon sono ammss, ma solo qull ch rspttano vncol d scluson ntrodott prma. Inoltr potzzamo ch all qulbro trmodnamco l sstma è nlla sua confgurazon pù probabl. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 30
31 Statstca d Maxwll-Boltzmann Dstrbuzon pù probabl: Mtodo d moltplcator d Lagrang Pr la rsoluzon d un problma d massmzzazon vncolata s può applcar l mtodo d moltplcator d Lagrang ch rduc l anals ad una massmzzazon smplc d una funzon n. Tal mtodo consst nl massmzzar la funzon: S S L(, K, s, α, β ) lnw α β ε E La condzon ncssara pr avr un strmo è ch l drvat parzal s annullno: L 0 L 0 α L 0 β Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 3
32 3 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 0 α L 0 β L 0 L S S E ε Fornsc valor,..., S pr la dstrbuzon pù probabl Statstca d Maxwll-Boltzmann Dstrbuzon pù probabl: Mtodo d moltplcator d Lagrang E W L S S s ln ),,,, ( ε β α β α K La condzon ncssara pr avr un strmo è ch l drvat parzal s annullno: 0 ln W βε α
33 Statstca d Maxwll-Boltzmann Formula d Strlng ln! ln ( ) Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 33
34 Statstca d Maxwll-Boltzmann Dstrbuzon pù probabl W S! lnw ln! ln! lnw! s s ln! Formula d Strlng ln! ln ( ) lnw s ln Dstrbuzon lnw α βε α βε 0 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 34
35 Statstca d Maxwll-Boltzmann umro d mod: caso gnral La stuazon ral, prò, comporta gnralmnt un numro molto grand d stat ch avranno occupazon mdo bassa. S suddvd l nrga n ntrvall E abbastanza grand da contnr un numro g (dgnrazon) suffcntmnt grand d stat x avnt nrg ε, ε, ε 3, Tal ch sa E <<E g >> >> Avrò qund una rpartzon dll partcll n var ntrvall, carattrzzata dall tal pr cu Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 35
36 36 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 I mod pr dsporr partcll nl prmo ntrvallo sono!( )!! W S g W!! Ma l partcll possono ssr mss n g stat, qund avrò g possbltà pr la prma, g pr la sconda cc... In total avrò qund possbltà dvrs d sstmazon s ottn W S W W W K umro d mod Statstca d Maxwll-Boltzmann umro d mod: caso gnral!( )!! g W
37 37 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 s s s g g W ln ln ln ln Statstca d Maxwll-Boltzmann Dstrbuzon pù probabl: caso gnral Dstrbuzon S g W!! 0 ln W βε α + s s g W! ln ln ln ln E g β α
38 Statstca d Maxwll-Boltzmann Dstrbuzon pù probabl: caso gnral La dstrbuzon pù probabl, ch rsulta ssr: g α βε numro mdo d partcll pr stato n g α βε Fattor d Boltzmann Dstrbuzon d Maxwll- Bollzmann valda pr partcll classch dstngubl Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 38
39 Statstca d Maxwll-Boltzmann Funzon d partzon Al fn d dtrmnar paramtr α β s dfnsc la funzon d partzon Z d s sprm l numro mdo d partcll pr stato n n funzon d Z: α g βε stat stat g α βε α stat g βε Z g stat βε α Z α ln Z ln Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 39
40 Statstca d Maxwll-Boltzmann Funzon d partzon Dscrvamo l nrga mda pr partclla trmn dlla funzon d partzon: Z g βε Z g stat βε Z β g ε stat βε E ε Z stat stat g ε βε Z Z β ln Z β ε E ln Z β Enrga mda pr partclla Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 40
41 Statstca d Maxwll-Boltzmann Dstrbuzon pù probabl: dstrbuzon contnua d stat l caso n cu lo spttro d nrga d partclla sngola possa ssr consdrato contnuo, cò avvn quando l volum è grand: g α βε ( ε ) dε g α ( ε ) βe dε numro d partcll ch popolano lvll comprs nll ntrvallo ε ε+dε n g α βε n ( ε ) g ( ε ) α βe ( ε ) numro mdo d partcll ch occupano un sngolo stato Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 4
42 Statstca d Maxwll-Boltzmann Dstrbuzon contnua d stat Z g stat βε Funzon d partzon Z 0 g ( ε ) βε dε n S la dnstà dgl stat è dfnta com: g α βε dn a βε ds ( E) g Z βε ds de ( ε ) dε umro mdo d partcll pr stato g n Z g βε dn Z g ( ε ) βε dε Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 4
43 Statstca d Maxwll-Boltzmann Calcolo d α β ε ln Z β α ln Z ln Enrga mda pr partclla Pr l calcolo d paramtr α β è ncssaro procdr al calcolo dlla funzon d partzon Z. Z 0 g ( ε ) βε dε dn Z g ( ε ) βε dε Calcolo dnstà dgl stat pr un sstma classco Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 43
44 Statstca d Maxwll-Boltzmann Dnstà dgl stat umro d stat nl volum nfntsmo dllo spazo dll fas * ds Cdxdydzdp Intgrando su tutto l volum occupato dal gas x dp y dp z ds CVdp x dp y dp ds CV 4πp CVg( p) z CV 4πp dp de dp Enrga dll partcll lbr de p E m ( ε ) ds / dε πcv ( m) 3 Vε g Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 44
45 Statstca d Maxwll-Boltzmann Dnstà dgl stat Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 45
46 Statstca d Maxwll-Boltzmann Calcolo dlla funzon d partzon ota la dnstà dgl stat: ( ε ) πc ( m) 3 Vε BVε g Calcolo la funzon d partzon: Z 0 g ( ε ) βε dε Z 0 ( ε ) 3 βε g dε BVβ π Z 3 ( ) 3 πm CV β Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 46
47 Statstca d Maxwll-Boltzmann Calcolo d α β Z 3 ( ) 3 πm CV β 3 3 α α ln ( πm) Cβ ln Z ln V Tora cntca dl gas dal ε ε ln Z β 3 KT β KT Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 47
48 Statstca d Maxwll-Boltzmann Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 48
49 Statstca d Maxwll-Boltzmann Dstrbuzon d Maxwll-Boltzmann β KT α ln V ( πm) 3 Cβ 3 ( ε ) πcv ( m) 3 Vε BVε g α βε umro mdo d partcll pr stato dn g( ε ) dε Funzon d dstrbuzon f ( ε ) dn dε Dstrbuzon d Maxwll-Boltzmann f MB 3 ε KT ( ε ) ( KT ) ε π Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 49
50 Statstca d Maxwll-Boltzmann Dstrbuzon d Maxwll-Boltzmann a var tmpratur f MB 3 ε KT ( ε ) ( KT ) ε π Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 50
51 Statstca d Maxwll-Boltzmann Dstrbuzon d Maxwll dll vloctà f MB 3 ε KT ( ε ) ( KT ) ε π ε mv v ε m dε dv F( v) dv f ( ε( v) ) dv Dstrbuzon d Maxwll dll vloctà 3 F m πkt mv KT ( v) 4π v Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 5
52 Statstca d Maxwll-Boltzmann Dstrbuzon d Maxwll dll vloctà 3 F m πkt mv KT ( v) 4π v v v F ( v)dv mv 3 KT Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 5
53 Statstca d Maxwll-Boltzmann Dstrbuzon d Maxwll dll vloctà Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 53
54 Statstca d Maxwll-Boltzmann La statstca d Maxwll-Boltzmann fornsc dll buon prvson sul comportamnto d un gas n condzon normal (prsson atmosfrca: P atm; tmpratura ambnt: T 300 K). Ma molt fnomn rsultano comunqu dl tutto ncomprnsbl dal punto d vsta dlla fsca classca, tra cu rcordamo:. Calor spcfco d sold a bass tmpratur. Emsson corpo nro (lgg d Raylgh/Jans) Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 54
55 Statstca d Maxwll-Boltzmann Calor spcfco Calor spcfco a volum costant C V E T V A ε T V Gas monoatomco ε 3 KT 3 C V R Una mol d soldo (Gl atom vngono trattat com oscllator trdmnsonal) ε 3KT C V 3R Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 55
56 Statstca d Maxwll-Boltzmann Calor spcfco a bass tmpratur Scondo la fsca classca, l calor spcfco dv rmanr fnto anch allo zro assoluto. Qusto fatto è prò n contrasto con l'sprnza: nfatt l calor spcfco dcrsc man mano ch c s avvcna allo zro assoluto (la cosa fu prdtta da rst nl 96 d l procsso, allora ancora gnoto, scondo cu l calor spcfco dcrsc lo chamò dgnrazon dl gas, mntr un gas a tmpratur vcn allo zro assoluto vnn chamato dgnr). Calor spcfco C V dl ram n funzon dlla tmpratura Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 56
57 Radazon d corpo nro Lgg d Raylgh/Jans Uno dgl nsuccss dlla tora classca ondulatora è l calcolo dlla radazon mssa da un corpo nro. Ralgh Jans dscrssro la dstrbuzon d ntnstà I dll ond mss n funzon dlla lunghzza d onda λ, modllando la radazon d corpo nro com qulla provnnt da un nsm d oscllator ch possono mttr d assorbr radazon ad ogn frqunza: di dλ πc KT 4 λ Il calcolo d Raylgh Jans rproduc dat sprmntal solo pr grand λ, pr pccol λ la formula è rrata CATASTROFE ULTRAVIOLETTA Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 57
58 Lzon. Statstch quantstch Frm-Drac Bos-Enstn. Gas d Frm 3. Gas d foton (applcazon dlla statstca d Bos-Enstn) Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 58
59 Mccanca statstca classca è à è Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 59
60 Statstca d Maxwll-Boltzmann Dstrbuzon d Maxwll-Boltzmann a var tmpratur Maxwll Boltzmann svlupparono mtod statstc pr dscrvr la dnamca dll sngol partcll n trmn d valor md dll varabl mcroscopch, d ddurr da qust l carattrstch trmodnamch macroscopch d sstm. f MB 3 ε KT ( ε ) ( KT ) ε π La statstca d Maxwll-Boltzmann fornsc dll buon prvson sul comportamnto d un gas n condzon normal (prsson atmosfrca: P atm; tmpratura ambnt: T 300 K). Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 60
61 Mccanca statstca quantstca PRICIPIO DI IDISTIGUIBILITÀ dato un sstma contnnt partcll fra loro dntch, è mpossbl ch una msura da rsultat dvrs s s mmagna d scambar fra loro du partcll Il sstma dv ssr smmtrco rsptto a tutt l prmutazon possbl. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 6
62 Mccanca statstca quantstca à Funzon smmtrca BOSOI Partcll con spn ntro Ψ ( r, r ) A ( ( r ) ( r ) ( r ) ( r + ΨS S Ψa Ψb + Ψb Ψa )) Ψ ( r r ) A ( Ψ ( r ) Ψ ( r ) Ψ ( r ) Ψ ( )) Ψ A, r A a b b a Funzon antsmmtrca FERMIOI Partcll con spn sm- ntro PRICIPIO DI ESCLUSIOE DI PAULI du frmon dntc, non possono occupar lo stsso stato quantco. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 6
63 Statstch quantstch E. Frm A. Enstn P. Drac S.. Bos Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 63
64 Statstca d Maxwll-Boltzmann Abbamo dtrmnato: Il numro d mod W (MICROSTATI) assocato ad una crta confgurazon (MACROSTATO) W! S g! La dstrbuzon statstca n(e) ch dscrv l sstma all qulbro trmco n g α βε Tutt mod (mcrostat) ch rspttano vncol sono quprobabl Lo stato d qulbro dl sstma è qullo pù probabl, coè qullo ch può ssr ralzzato col massmo numro d mod possbl Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 64
65 Statstch quantstch Ipots. Sstma chuso. Intrazon dbol partcll non-ntragnt 3. cost. Ecost. 4. Tutt paramtr rlvant (volum,...) ch dtrmnano gl stat dl sstma sono costant. 5. S conoscono gl stat d partclla sngola,,... s l loro nrg ε, ε, Partcll ndstngubl (c è solo un modo d mttr partcll nllo stato ) 7. Partcll dpndnt (s la partclla s trova nllo stato g, altra la probabltà ch s trov n g ) 3... ε ε ε 3 3 ε E Vncol Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 65
66 Statstch Esmpo: partcll n 3 stat Maxwll-Boltzmann: l numro d mod W assocato ad una crta confgurazon W S! g! 3!! 9 Partcll dstngubl 9 mod Boson 6 mod Frmon 3 mod Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 66
67 Statstch umro d mod: caso gnral La stuazon ral, prò, comporta gnralmnt un numro molto grand d stat ch avranno occupazon mdo bassa. S suddvd l nrga n ntrvall E abbastanza grand da contnr un numro g (dgnrazon) suffcntmnt grand d stat x avnt nrg ε, ε, ε 3, Tal ch sa E <<E g >> >> Avrò qund una rpartzon dll partcll n var ntrvall, carattrzzata dall tal pr cu Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 67
68 Partcll ndstngubl: FERMIOI g stat frmon g - stat vuot p p p3 p4 p5 I g stat possono ssr occupat n g! mod dvrs Pr cascuno d qust mod v sono (g - ) stat lbr ch possono ssr ralzzat n (g - )! mod dvrs ndstngubl Anch gl! mod d scglr gl stat occupat sono quvalnt prché l partcll sono ndstngubl W g!!( g )! In total mod possbl sono: W g!! ( g )! Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 68
69 Partcll ndstngubl: BOSOI g stat boson g - stt mobl Il numro d dsposzon possbl d partcll stt è: W ' [ + ( g ) ]! Dscrzon dlla confgurazon: combnazon d + (g -) oggtt D qust! rapprsntano dvrs dsposzon dll partcll (ndstngubl) (g -)! sono l dsposzon d stt (ch non comportano modfch al sstma) W [ + ( g ) ]!( g )!! W [ + ( g ) ]! ( g )!! Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 69
70 Partcll ndstngubl: sstma dluto IPOTESI: <<g partcll ndstngubl Partcll ndpndnt L occupazon d uno stato non modfca sgnfcatvamnt l numro d stat dsponbl, qund possbltà d mttr partcll nllo stato ordnatamnt: W g g K g ' cascuna d qust può ssr ottnuta n! mod dvrs, cambano l ordn dll partcll. Poché l partcll sono ndstngubl tutt qust mod sono fscamnt dntc, d l numro d confgurazon fscamnt dffrnt è: g STATI IDETICI W ' In total mod possbl sono: g! W g! Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 70
71 Partcll ndstngubl: sstma dluto Frmon W g!! ( g )! Boson W [ + ( g ) ]! ( g )!! Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 7
72 Confronto d rsultat umro d mod W assocato ad una crta confgurazon Partcll dstngubl MAXWELL-BOLTZMA W! S g! Partcll ndstngubl Frmon FERMI-DIRAC Partcll ndstngubl Boson BOSE-EISTEI W W g!! ( g ) [ + ( g ) ]! ( g )!!! W g Sstma dluto! Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 7
73 Statstch quantstch Dstrbuzon pù probabl: Mtodo d moltplcator d Lagrang Pr la rsoluzon d un problma d massmzzazon vncolata s può applcar l mtodo d moltplcator d Lagrang ch rduc l anals ad una massmzzazon smplc d una funzon n. Ragonamo com s l varabl,..., S sano contnu non dscrt. Calcolamo l massmo dlla funzon lnw, nvc ch d W pr l sgunt motvo: lnw W W massm d W, sono anch massm d lnw ssndo W>0. Qund nvc d crcar l massmo d W, calcolamo l massmo pr la funzon lnw. Utlzzamo l approssmazon d Strlng, nll pots >>. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 73
74 74 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 E W L S S s ln ),,,, ( ε β α β α K La condzon ncssara pr avr un strmo (massmo) è ch l drvat parzal s annullno: Dstrbuzon pù probabl: Mtodo d moltplcator d Lagrang Statstch quantstch S S E ε 0 ln E W β α Fornsc valor,..., S pr la dstrbuzon pù probabl 0 α L 0 β L 0 L
75 Statstca d Frm-Drac Dstrbuzon pù probabl Strlng g! g W!( g ) lnw ln! Dstrbuzon n g α βε + lnw α βe 0 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 75
76 Statstca d Frm-Drac Dstrbuzon pù probabl Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 76
77 Statstca d Bos-Enstn Dstrbuzon pù probabl W [ + ( g ) ]! ( g )!! Strlng g lnw ln + Dstrbuzon n g α βε lnw α βe 0 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 77
78 Statstca d Bos-Enstn Dstrbuzon pù probabl Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 78
79 79 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 Confronto d rsultat ( )!!! g g W ( ) [ ] ( ) +!!! g g W S g W!! g n βε α + g n βε α g n βε α
80 Statstca d Frm-Drac Dstrbuzon d Frm-Drac f FD ( ε ) ε ε kt F + ε F EERGIA DI FERMI L andamnto d qusta dstrbuzon è molto partcolar: Il trmn sponnzal ha lmt dvrs pr T 0 a sconda ch l nga ε sa maggor o mnor dll nrga d Frm: f FD Pr ε ε F f FD / ( ε ) 0 ε < ε F ε > ε F Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 80
81 Statstca d Frm-Drac Efftt dlla tmpratura sulla dstrbuzon d Frm-Drac f FD ( ε ) ε ε kt F + ε F EERGIA DI FERMI T 0 T > 0 Allontanandos dalla condzon T0 la casstta s smussa Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 8
82 Statstca d Frm-Drac Dstrbuzon d Frm-Drac f MB ( ε ) ε ε F kt f FD ( ε ) ε ε F kt + La dstrbuzon d Maxwll-Boltzmann è un caso lmt d qulla d Frm- Drac pr nrg molto alt, s tuttava l nrga cala, pr frmon la probabltà d occupazon d uno stato su un lvllo nrgtco a nrga E sgu una va dvrsa pr nrg par a E F, dtta Enrga d Frm, val ½. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 8
83 Statstca d Frm-Drac Confronto:Frm-Drac Maxwll-Boltzmann f MB ( ε ) ε ε kt F f FD ( ε ) ε ε kt F + La dstrbuzon d Maxwll-Boltzmann prvd ch a bass tmpratur sa lo stato a mnor nrga ad ssr popolato smpr pù n proporzon a lvll cctat l caso d frmon, sst un valor massmo d popolazon (al max la gnrazon d lvll) l lmt d T 0, l partcll rmpranno tutt lvll ad nrga mnma compatblmnt col prncpo d scluson, fno al lvllo E F E E0 MOLECOLE T0 FERMIOI T0 EE F Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 83
84 Statstca d Frm-Drac Efftt dlla tmpratura sulla dstrbuzon d Frm-Drac T0 Tbassa Talta E EE F E0 Lvll nrgtc nrga d Frm Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 84
85 Confronto tra l statstch è à é f MB ( ε ) f ( ε ) f ( ε ) ε ε kt E -> 0 (coè pr T -> 0 ma T 0) F FD ε ε kt F + BE ε ε kt F GAS DI BOSOI: s orgna una condnsazon dl gas stsso, coè, boson costtunt l gas tndono ad occupar tutt lo stsso stato nrgtco (E E 0 ) GAS DI FERMIOI: un solo frmon s trovrà nllo stato a cu compt nrga zro, tutt gl altr andranno ad occupar stat ad nrga supror fno a ch non sano saurt frmon stss (lvllo nrgtco E F ). Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 85
86 Statstca d Bos-Enstn Dstrbuzon d Bos-Enstn f BE ( ε ) ε ε kt F Il sgnfcato fsco dlla dstrbuzon pr BOSOI è compltamnt dffrnt d qulla pr FERMIOI non sst alcun vncolo supror all occupazon d un qualunqu lvllo nrgtco MOLECOLE T0 BOSOI T0 FERMIOI T0 E EE F E0 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 86
87 Gas d Frm E. Frm P. Drac Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 87
88 Gas d Frm Dnstà dgl stat: partcll ndstngubl n una scatola cubca S abbano partcll n una scatola d volum VL 3. All ntrno dlla scatola l potnzal è nullo l quazon d Schrödngr ndpndnt dal tmpo d ogn partclla è: h m + x ( r) y + ( r ) z ψ Eψ ( r) La funzon d onda normalzzata al volum V è fattorzzabl rsulta ssr: nπ nπ n π Asn x sn y sn z L L L 3 ψ k Con n ntr postv. Qusta è un onda stazonara. con n k π n k L π n k L 3π 3 L n 0,,K Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 88
89 89 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 Dnstà dgl stat: partcll n una scatola cubca I valor d nrga sono: ( ) ( ) n n n E n n n L m E π h k m E h Essndo: Gas d Frm
90 Gas d Frm partcll n una scatola cubca: dnstà dgl stat l gusco sfrco d spssor dk s trovano ds stat, la dnstà dgl stat è dfnta com: ( k) ( E) g ds de ds V k h g dk π E m k g π m h 3 ( E) VE Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 90
91 Gas d Frm Dnstà dgl stat Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 9
92 9 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 Calcolo dlla funzon d partzon ( ) 3 ε ε π ε BV V m g h ( ) 3 0 π β ε ε βε BV d g Z 3 3 β π V m Z h ota la dnstà dgl stat: Calcolo la funzon d partzon: ( ) ε ε βε d g Z 0 Gas d Frm
93 93 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 BVβ 3 π Z KT β Calcolo d α β Z ln ln α 3 3 ln β π α h m V 3 3 β π V m Z h Gas d Frm non lo dmostramo...
94 Gas d Frm Dstrbuzon d Frm-Drac 3 m g π h ( ε ) Vε BVε umro mdo d partcll pr stato Funzon d dstrbuzon dn f ( E) de g E ( E) E F KT dn de + Dstrbuzon d Frm-Drac f ( E) V 8π m 3 h E E 3 E F / KT + Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 94
95 Gas d foton A. Enstn S.. Bos Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 95
96 Gas d Foton Studo dl gas d foton com applcazon dlla statstca d Bos-Enstn. Consdramo un volum d spazo nl qual ond lttromagntch sono n qulbro trmco con l part dl contntor. I foton, trattat com partcll quantstch, rapprsntano ond lttromagntch pr soddsfar l condzon al contorno con l part dvono vnr assocat con ond ch s annullano a bord. L condzon d quantzzazon prodca pr l numro d onda k sono: n k π n k L π n k L 3π 3 L Qund ssndo h p + L p hk E cp ( n + n n ) ( E n + n + n ) 3 hc L 3 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 96
97 Gas d Foton Dnstà dgl stat C ntrssa la dnstà dgl stat g(e)ds/de. Consdramo lo spazo 3D con coordnat n, n n 3, raggo n, d lmnto d volum sfrco 4 πn dn. C s lmta ad un ottant d sfra, s consdrano mod d polarzzazon dstnt: ds g( n) dn dn 4πn dn 8 dn g ( E) g( n( E)) de dn hc E L n hc de L dn 3 8πL g( E) E 3 3 h c Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 97
98 Gas d Foton Dstrbuzon d Bos-Enstn 3 8πL g( E) E 3 3 h c umro mdo d partcll pr stato Funzon d dstrbuzon dn f g ( E) ( E) de E KT dn de Dstrbuzon d Bos- Enstn f ( E) 8πL 3 h c 3 3 E E KT Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 98
99 Radazon d corpo nro Lgg d Raylgh/Jans Uno dgl nsuccss dlla tora classca ondulatora è l calcolo dlla radazon mssa da un corpo nro. Raylgh Jans dscrssro la dstrbuzon d ntnstà I dll ond mss n funzon dlla lunghzza d onda λ, modllando la radazon d corpo nro com qulla provnnt da un nsm d oscllator ch possono mttr d assorbr radazon ad ogn frqunza: di dλ πc KT 4 λ Il calcolo d Raylgh Jans rproduc dat sprmntal solo pr grand λ, pr pccol λ la formula rrata CATASTROFE ULTRAVIOLETTA Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 99
100 Radazon d corpo nro Lgg d Planck l 900 Planck propos una tora dlla radazon d corpo nro ch rproducva dat sprmntal a tutt l lunghzz d ond. La lgg d radazon postulata da Planck è: di dλ λ πc 5 hc hc λkt Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 00
101 Radazon d corpo nro Lgg d Planck 3 di hc di 8π hν πc 4 hc 3 hν dλ λ λkt dλ c KT Partndo dalla lgg d radazon postulata da Planck s trova: Alt lunghzz d onda (hν<<kt) Lgg d Raylgh-Jans di dν ν 8 πkt 3 c Bass lunghzz d onda (hν>>kt) Lgg d Wn di 3 8πh ν 3 dν c hν KB Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 0
102 Radazon d corpo nro Lgg d Planck Il problma ra qullo d gustfcar la lgg d Planck. Fu Enstn a rndrs conto ch Planck avva ntrodotto un nuovo conctto nlla fsca: l quanto d luc. Oscllator armonc classc Lgg d Raylgh-Jans Oscllator armonc quantstc ε ε KT di dν ν hν hν KT 8 πkt 3 c Lgg d Planck di dν 8π 3 c 3 hν hν KB Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 0
103 Statstca d Bos-Enstn Lgg d Planck Dstrbuzon d Bos-Enstn f ( E) 8πL 3 h c 3 3 E E KT U ( ν ) dne / V Lgg d Planck u( ν ) 8π 3 c 3 hν hν KB Abbamo dunqu rcavato l modllo d quantzzazon dlla radazon lttromagntca, ch è n ccllnt accordo con gl spttr d msson ossrvat pr un corpo nro n qulbro trmco. Inoltr, la lgg d Planck è ora pnamnt gustfcata da una trattazon statstca nlla qual foton sono dscrtt n trmn dlla quantstca bosonca. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 03
104 Corso d Fsca Modrna. Partcll dntch spn. Statstca classca (Maxwll-Boltzmann) 3. Statstch quantstch (Frm-Drac Bos-Enstn) 4. Gas d foton (applcazon dlla statstca d Bos-Enstn) 5. Gas d lttron-mtall (applcazon dlla statstca d Frm-Drac) 6. Tora dll band pr sold (cnn) 7. Fsca d smconduttor Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 04
105 Mtall Crca tr quart dgl lmnt chmc conoscut sono mtall. IA IIA IIIA IVA VA VIA IIIB IVB VB VIB VIIB VIIIB IB IIB La lna rossa dvd mtall da non mtall Alcaln Alcalno trros Transzon METALLI Trr rar Altr mtall Gas nobl Alogn on mtall Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 05
106 Mtall Mtall con lttron d valnza n orbtal s p Gl lttron pù strn d un atomo ch sono convolt n un lgam sono chamat lttron d valnza. Gl lttron dl noccolo non vngono convolt nl lgam. Il numro dgl lttron d valnza è gual al numro dl gruppo. ALCALII Gruppo IA lttron d valnza n un orbtal s ALCALIO-TERROSI Gruppo IIA lttron d valnza n un orbtal s Gruppo IIIA lttron d valnza n un orbtal s, n orbtal p Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 06
107 Mtall Mtall con lttron d valnza n orbtal s p Gruppo IVA lttron d valnza n un orbtal s, n orbtal p Gruppo VA lttron d valnza n un orbtal s, 3 n orbtal p Gruppo VIA lttron d valnza n un orbtal s, 4 n orbtal p Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 07
108 Mtall Mtall d transzon La pù numrosa famgla d mtall è qulla dgl lmnt d transzon, comprndnt 33 mmbr; n ssa gl lttron d valnza sono dspost scondo rgol non smplc ngl orbtal d d s. La famgla è stata suddvsa n otto grupp. Grupp: IB-VIIIB Lantand attnd Gl lttron d valnza n qust mtall sono dspost scondo rgol complcat ngl orbtal f s. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 08
109 Struttur crstalln 4 Rtcol Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 09
110 Mtall Struttur crstalln Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 0
111 Mtall Struttur crstalln Il 90% d mtall prsnta struttura: cubca a corpo cntrato sagonal compatta cubca a facc cntrat Sara Padovan Fsca Modrna 009/00
112 Mtall Struttur crstalln Sono struttur ad alto mpacchttamnto Sara Padovan Fsca Modrna 009/00
113 Mtall Il lgam mtallco I mtall sono carattrzzat da un alta conducbltà lttrca d n un mtallo un gran numro d lttron (n gnr o pr atomo) è lbro d muovrs lbramnt (lttron d conduzon). Il lgam mtallco è dovuto alla nuvola d lttron lbr prsnta nrg d lgam modst rsptto a gl altr lgam (onco, covalnt) qund po ssr consdrato un lgam dbol. I mtall hanno bassa nrga d onzzazon (quanttà d nrga ncssara pr strappar un lttron a un atomo nutro) qund loro lttron strn sono attratt dbolmnt da rspttv nucl, s n sparano faclmnt. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 3
114 Gas d lttron lbr: modllo d Drud à ò à Scondo Drud tutt gl lttron d valnza dvntano conduttor d lttrctà sono chamat lttron d conduzon. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 4
115 Gas d lttron lbr: modllo d Drud Assunzon dl modllo d Drud à è τ τ à è à è ì 3 F m πkt mv KT ( v) 4π v Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 5
116 Gas d lttron lbr: modllo d Drud à La torca classca d Drud non spga: capactà trmca cammno lbro mdo lttronco l vτ Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 6
117 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Assunzon dl modllo d Sommrfld à è τ τ à è è Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 7
118 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Dstrbuzon d Frm-Drac f FD ( ε ) ε ε kt F ε F EERGIA DI FERMI + Il trmn sponnzal ha lmt dvrs pr T 0 a sconda ch l nga ε sa > o < dll nrga d Frm: Pr ε ε F, allora f FD / f FD ( ε ) 0 ε < ε F ε > ε F Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 8
119 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Efftt dlla tmpratura sulla dstrbuzon d Frm-Drac T 0 T > 0 Allontanandos dalla condzon T0 la casstta s smussa S dfnsc tmpratura d Frm T F E F / k. T T F T >> T F Quando T >> T F, f FD tnd a dvntar un sponnzal dcadnt. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 9
120 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Dstrbuzon d Frm-Drac f MB ( ε ) ε ε F kt f FD ( ε ) ε ε F kt + La dstrbuzon d Maxwll-Boltzmann è un caso lmt d qulla d Frm- Drac pr nrg molto alt, s tuttava l nrga cala, pr frmon la probabltà d occupazon d uno stato su un lvllo nrgtco a nrga E sgu una va dvrsa pr nrg par a E F, dtta Enrga d Frm, val ½. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 0
121 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Confronto:Frm-Drac Maxwll-Boltzmann f MB ( ε ) ε ε F kt f FD ( ε ) ε ε kt F + La dstrbuzon d Maxwll-Boltzmann prvd ch a bass tmpratur sa lo stato a mnor nrga ad ssr popolato smpr pù n proporzon a lvll cctat l caso d frmon, sst un valor massmo d popolazon (al max la gnrazon d lvll) l lmt d T 0, l partcll rmpranno tutt lvll ad nrga mnma compatblmnt col prncpo d scluson, fno al lvllo E F E E0 MOLECOLE T0 FERMIOI T0 EE F Sara Padovan Fsca Modrna 009/00
122 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Efftt dlla tmpratura sulla dstrbuzon d Frm-Drac T0 Tbassa Talta E EE F E0 Lvll nrgtc nrga d Frm Sara Padovan Fsca Modrna 009/00
123 Buca d potnzal nfnta: dmnson 3 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 3
124 Buca d potnzal nfnta: dmnson Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 4
125 Buca d potnzal nfnta: dmnson 5 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 5
126 6 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 Dnstà dgl stat: lttron n una scatola cubca S abbano lttron n una scatola d volum VL 3. All ntrno dlla scatola l potnzal è nullo l quazon d Schrödngr ndpndnt dal tmpo d ogn partclla è: Con n ntr postv. Qusta è un onda stazonara. ) ( ) ( r r z y x m k k k ψ ψ ε + + h z L n sn y L n sn x L n sn V r k π π π ψ 3 8 ) ( La funzon d onda normalzzata al volum V è fattorzzabl rsulta ssr: S abbano lttron n una scatola d volum VL 3. Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld
127 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Dnstà dgl stat: lttron n una scatola cubca Funzon d onda ch soddsfno all condzon prodch agl strm: Ugualmnt pr y z. ψ ( x, y, z) ψ ( x L, y, z) k k + L funzon d onda ch soddsfano all quazon d Schrödngr stazonara, alla normalzzazon sul volum all condzon d prodctà sono ond pan dlla forma: ψ ( r) k V k r Con k n π n 0,, K L Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 7
128 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Dnstà dgl stat: lttron n una scatola cubca h m h m ( ) I valor d nrga sono: ε k k + k + k L ampzza dl vttor d onda k è lgato alla lunghzza d onda: x y z k π λ llo stato fondamntal d un sstma ad lttron lbr gl stat occupat possono ssr rapprsntat com punt all ntrno d una sfra nllo spazo k. L nrga sulla suprfc dlla sfra è dtta nrga d Frm: k z k F ε h m F k F k x k y Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 8
129 9 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 Enrga d Frm Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld k 3 V L k F 3 3 F π π π 3 3 V k F π 3 3 V m F π ε h L n k π
130 30 Sara Padovan Fsca Modrna 009/ V k F π 3 3 V m F π ε h K T F F ε 3 3 V m m k v F F π h h Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld
131 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Dnstà dgl stat: lttron n una scatola cubca l gusco sfrco d spssor dk s trovano ds stat, la dnstà dgl stat è dfnta com: ( E) g g ds de ( k) ds dk V E k π h m k Dnstà dgl stat pr l lttron lbro g V π m h 3 ( ε ) ε Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 3
132 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Dnstà dgl stat Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 3
133 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Dnstà dgl stat Dnstà dgl stat pr l lttron lbro g V π m h 3 ( ε ) ε KT Dnstà d stat pn ad una tmpratura fnta T ( ε ) g( ε ) f,t Stat pn a T0 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 33
134 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Capactà trmca Il modllo d Drud non spga la capactà trmca d mtall. C V E T La mccanca statstca classca prvd ch una partclla lbra puntform abba capactà trmca V A ε T V 3 C V K Scondo Drud tutt gl lttron d valnza dvntano conduttor d lttrctà Qund pr un mtallo con atom ( lttron d valnza) 3 C V K Sprmntalmnt l contrbuto lttronco a tmpratura ambnt è non pù dll % d qusto valor!!! Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 34
135 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Capactà trmca Modllo d Sommrfld: non tutt gl lttron pr rscaldamnto dallo zro assoluto acqustano un nrga KT. Solo qugl lttron ch appartngono a stat ntro l ntrvallo d nrga KT rsptto al lvllo d Frm vngono cctat trmcamnt. S è l numro total d lttron, soltanto una frazon dll ordn d T/T F può ssr cctata trmcamnt alla tmpratura T Cascuno d qust T/T F lttron ha un nrga dll ordn d KT: E l T T F KT Enrga trmca total dgl lttron C l E T l K T T F Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 35
136 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Capactà trmca Rcavamo sprsson pr la capactà trmca valda a bass tmpratur TF k KT << KT F EF C l El f Eg F T T T 0 f T ( E) fde Eg( E) de g( E ) E de 0 0 C l π g( EF )KT 3 g ε V π m h 3 ( ε ) ε F h 3π m V 3 C l π K T T F Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 36
137 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Capactà trmca sprmntal A tmpratur nfror alla tmpratura d Frm la capactà trmca a volum costant n mtall sgu la rlazon: C Cl + Crt γt + AT 3 Contrbuto rtcolar Contrbuto lttronco prdomna a bass tmpratur Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 37
138 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Capactà trmca: rsultat sprmntal C l π 3 K T T F h mπ 0 K ( 3π / V ) 3 T γ f C Cl + Crt γt + AT 3 C T γ + CT S usa ntrodurr una massa ffcac dll lttron d valnza m t * γ γ spr f * m t m Corrzon dovuta a ntrazon: - valnza - - valnza - valnza - rtcolo - valnza - fonon Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 38
139 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Capactà trmca: rsultat sprmntal γ γ spr f * m t m Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 39
140 Fonon In una vbrazon rtcolar l nrga è quantzzata. Il quanto d nrga assocato all onda lastca è l FOOE, n analoga col foton, quanto d nrga dll ond lttromagntch. Il fonon ntragsc con altr partcll camp com s avss un momnto p hk Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 40
141 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Conduzon: fftto dl campo lttrco Impulso d un lttron lbro F p hk In un campo lttrco E la forza F ch agsc sull lttron è dp h dt dk dt E In assnza d collson la sfra d Frm rsulta traslata (dopo dt) d: E0 E 0 d k F dt h Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 4
142 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Conduzon: fftto dl campo lttrco Quando la forza applcata vn tolta procss d collson (dgl lttron con mpurzz, mprfzon rtcolar fonon) tndono a rportar l sstma nl suo stato stazonaro. S l tmpo d collson è τ, lo spostamnto dlla sfra d Frm all qulbro è d k τ F h Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 4
143 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Conduzon: lgg d Ohm Qusto spostamnto contrbusc a cascun lttron ad un ncrmnto dlla vloctà: dv F τ Eτ m m S v sono n lttron pr untà d volum, la dnstà d corrnt lttrca è: j ndv n m Eτ La rlazon pr j ha la forma dlla lgg d Ohm, σ è la conduttvtà lttrca: La rsstvtà lttrca è: j σe σ n τ m σ m n τ ρ Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 43
144 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Lbro cammno mdo lttronco Tmpo d rlassamnto τ σm n ov n è la dnstà dgl lttron d conduzon Il lbro cammno mdo l τv F Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 44
145 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Lbro cammno mdo lttronco: confronto modllo d Drud modllo d Sommrfld Lgg d Ohm: σ n τ m m 4 τ σ 0 n s Drud: Maxwll-Boltwmann 7 mv 3 KT v 0 cms l vτ 0A& Sommrfld: Frm-Drac 8 mv EF vf 0 cms l v F τ 00A& A tmpratura ambnt pr l ram τ 0 4 s l m 300A& Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 45
146 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Rsstvtà lttrca sprmntal La rsstvtà lttrca calcolata scondo l modllo ad lttron lbr: σ m n τ ρ La rsstvtà lttrca: Agtazon trmca dl rtcolo Alt tmpratur ρ ρ L + ρ Scattrng dgl lttron da mpurzz Bass tmpratur Rsstvtà rsdua ρ Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 46
147 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Rsstvtà lttrca sprmntal La rsstvtà lttrca: ρ ρ L + ρ ρ ρ L L T T 5 T >> θ T << θ Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 47
148 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Conduttvtà trmca La conduttvtà trmca K d un soldo è dfnta com: Q K T x Ov Q è l flusso d nrga trmca (nrga trasmssa n untà d ara tmpo). Il procsso d conduttvtà trmca può ssr dscrtto mdant un procsso d urt. S trova dalla tora cntca d gas ch la conduttvtà trmca può ssr sprssa mdant la capactà trmca C, la vloctà mda dll partcll v l lbro cammno mdo l, dalla sgunt rlazon: K Cvl 3 Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 48
149 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Conduttvtà trmca K Cvl 3 Utlzzando l rlazon rcavat nl modllo ad lttron lbr d Sommrfld: C l π 3 K T T F ε F mv F π nk Tτ K l 3m In gnral, n sold la conduttvtà trmca è somma d un contrbuto lttronco d uno fononco: mtall a tmpratura ambnt l contrbuto domnant è qullo lttronco. T F ε F K S ottn ch l contrbuto lttronco alla conduttvtà trmca è: K K l + K fon v F l τ Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 49
150 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Lgg d Wdmann-Franz La lgg d Wdmann-Franz stablsc ch pr mtall l rapporto tra conduttvtà trmca d lttrca è drttamnt proporzonal alla tmpratura, con valor dlla costant d proporzonaltà ndpndnt dal mtallo stsso. σ n τ m K π nk Tτ 3m Lgg d Wdmann-Franz K σ π 3 K T LT umro d Lorntz W Ω/K L non dpnd n da m n da n!!! Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 50
151 Gas d lttron lbr: modllo d Sommrfld Lgg d Wdmann-Franz: confrm sprmntal Lgg d Wdmann-Franz K σ π 3 K T LT umro d Lorntz W Ω/K SUCCESSO MODELLO ELETTROI LIBERI Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 5
152 Modllo ad lttron lbr Lgg d Ohm Lbro cammno mdo lttronco Modllo d Drud Dstrbuzon d Maxwll-Boltzmann m 4 σ n τ τ σ 0 s m n OK 7 mv 3 KT v 0 l vτ 0A& cms OK OK Modllo d Sommrfld Dstrbuzon d Frm-Drac m 4 σ n τ τ σ 0 s m n 8 EF vf 0 cms mv l v τ 00A& F Capactà trmca 3 C l K OK C l π K T T F Lgg d Wdmann-Franz OK K σ 3 K T OK K π σ 3 K T Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 5
153 à Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 53
154 Lmt dl modllo ad lttron lbr Il modllo a lttron lbr è molto smplc, ma funzona molto bn pr dvrs mtall, ad s. gl alcaln, Mg, Al, cc. n qual la sovrapposzon fra var lvll è molto alta. Tuttava, n altr cas, n qual la sovrapposzon è mno ampa, l modllo non è suffcnt. Inoltr, l modllo non spga prché alcun lmnt chmc crstallzzano n modo da dvntar buon conduttor d lttrctà, mntr altr dvntano solant, altr ancora smconduttor, con proprtà lttrch ch varano notvolmnt a sconda dlla tmpratura S dv, allora, passar ad un modllo pù complsso ch tn conto dlla ntrazon dgl lttron con gl on ch formano la struttura crstallna ch rapprsntano una succsson rgolar d buch d potnzal. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 54
155 Mtall, solant smconduttor Rsstvtà conduttvtà lttrca La conduttvtà la rsstvtà lttrca a tmpratura ambnt sono molto dffrnt pr l tr tpolog d sold: à Ω ρ ρ ρ Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 55
156 Mtall, solant smconduttor Rsstvtà lttrca Com varano la rsstvtà con la tmpratura? Mtall: Gl lttron sono lbr d muovrs. La conducbltà dmnusc con la tmpratura. Smconduttor. Allo zro assoluto non c è conducbltà lttrca la conducbltà crsc con la tmpratura. Isolant: Conducbltà zro n un ampo ntrvallo d tmpratur. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 56
157 Band d nrga Supponamo d avr atom dntc solat: prsntano lvll nrgtc con la stssa nrga Ma mano ch s avvcnano gl atom, un partcolar lvllo nrgtco dll atomo solato s scnd n lvll nrgtc dffrnt l caso d un soldo lvll nrgtc sono così vcn ch appaono com un contnuo: s cra una banda d nrga. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 57
158 Band d nrga Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 58
159 Modllo a band d nrga Elttron non è lbro, ma è soggtto ad un potnzal prodco dovuto agl on ch formano la struttura crstallna ch rapprsntano una succsson rgolar d buch d potnzal a Il modo pù smplc pr studar l moto n un potnzal prodco consst nl sosttur l potnzal ral con una squnza rgolar d buch quadrat (Potnzal d Kronng Pnny). b a L soluzon dll quazon d Schrödngr pr un potnzal prodco è, ovvamnt, pù complssa d qulla dl modllo a lttron lbr. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 59
160 Modllo a band d nrga L soluzon dll q. d Schrödngr pr un potnzal prodco è, ovvamnt, pù complssa d qulla dl modllo a lttron lbr. b a L ampzza dll onda non è pù costant ma è prodca n x, com l potnzal, pr cu la forma non è pù ψ(x) A kx ma ψ(x) u k (x) kx Torma d Bloch con u k (x) funzon prodca: u k (x) u k (x + a) u k (x + na) pr cu la funzon d onda total è Ψ(x,t) u k (x) (kx-ωt) E n (k) E n (k+k) Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 60
161 Modllo a band d nrga Torma d Bloch E n (k) E n (k+k) E è una funzon contnua prodca n k. La prodctà n k comporta l aprtura d gap. L band prmss sono sparat da ntrvall d nrga vtat (band vtat o band gaps). Coè (n qulla drzon) l lttron non può propagars con qull nrg. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 6
162 Band d nrga L band possono ssr ampamnt dstant tra d loro, vcn o addrttura sovrappost: è la loro confgurazon ch dtrmna l proprtà lttrch d sold. SODIO METALLICO SEMICODUTTORE Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 6
163 Band d nrga Gl lttron n sold sono dspost n band d nrga, sparat da rgon nll qual non sono prmss stat lttronc (ntrvall probt). Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 63
164 Band d nrga: mtallo La banda d valnza è parzalmnt pna /o comunqu s sovrappon alla banda d conduzon. Gl lttron possono occupar faclmnt uno qualsas d lvll qund rtrovars assocat ad un qualsas atomo. Qusta abbondanza d portator lbr d muovrs fa d mtall dgl ottm conduttor d corrnt. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 64
165 Band d nrga: mtallo T > 0 E C,V Funzon d Frm E F E 0 Banda d valnza parzalmnt pna à à Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 65
166 Band d nrga: solant La banda d valnza, compltamnt pna, è molto dstant dalla banda d conduzon. Affnché un lttron rsca a passar dalla BDV alla BDC è ncssaro fornr una nrga almno par al gap. Qusta nrga, ngl solant, è bn maggor dlla nrga trmca dgl lttron, pr cu la transzon è altamnt mprobabl. In trmn d lgam, gl atom sono ntrssat da lgam tanto fort ch dffclmnt vngono rott pr mttr n lbrtà un lttron ch possa trasportar corrnt. lla banda d valnza pna non è possbl la conduzon prché gl lttron possono solo scambars tra d loro l poszon ma non dar luogo ad un flusso ntto d carca. Un ottmo solant, molto usato nlla ralzzazon d dspostv lttronc, è l ossdo d slco, SO, l cu gap val E g 8V. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 66
167 Band d nrga: solant T > 0 E gap E C Banda d conduzon vuota Funzon d Frm E F EV Banda d valnza pna è è à è à à è Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 67
168 Band d nrga: smconduttor La banda d valnza d conduzon sono abbastanza vcn (0.<E G <V) pr cu non è mpnsabl fornr ad un lttron d valnza una quanttà d nrga ch gl prmtta d raggungr la conduzon. I smconduttor hanno prncpalmnt lgam covalnt. lla rapprsntazon a lgam, qusto quval a dr ch l lgam covalnt può, con rlatva facltà, vnr spzzato d l suo lttron dvntar lbro qund capac d condurr corrnt. Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 68
169 Band d nrga: smconduttor T > 0 Funzon d Frm E gap Banda d conduzon parzalmnt pna E C E F E Banda d valnza V parzamnt pna è à è à à Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 69
170 à Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 70
171 Smconduttor IA H L a Mg K Rb Cs Fr IIA IIIA IVA VA VIA VIIA B Ca IIIB IVB VB VIB VIIB VIIIB IB IIB Sc T Hf Ta W R Os Ir B Al C O F S V Cr Mn F Co Cu Zn Ga G As Sr Y Zr b Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Ba Ra Sn P Sb S Cl S T Pt Au Hg Tl Pb B Po Br I VIIIA H Ar Kr X At Rn Lantand Attnd La C Pr d PmSm Eu Gd Tb Dy Ho Er TmYb Lu Ac Th Pa U p Pu AmCmBk Cf Es FmMd o Lr I matral smconduttor appartngono all colonn IV (S, G), III-V (GaAs, InP, Ga, InSb), II-VI (CdS, CdT), IV-VI (PbS, PbS). I smconduttor hanno una struttura crstallna, con lgam (compltamnt o parzalmnt) covalnt tra gl atom Sara Padovan Fsca Modrna 009/00 7
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