I modelli di simulazione

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "I modelli di simulazione"

Transcript

1 Slides tratte da: Andrea Resti Andrea Sironi Rischio e valore nelle banche Misura, regolamentazione, gestione Egea, 2008

2 AGENDA Le simulazioni storiche L approccio ibrido Le simulazioni storiche filtrate Le simulazioni Monte Carlo Esercizi 2

3 derivano il VaR simulando un grande numero di scenari riguardanti la possibile evoluzione futura dei mercati L approccio della simulazione è dunque più dispendioso in termini di tempo e capacità di calcolo ma è spesso più accurato Full valuation Tre caratteristiche principali Logica del percentile Maggiore flessibilità 3

4 full valuation L approccio varianze-covarianze stima la variazione di valore di un portafoglio attraverso un sistema di coefficienti di sensibilità, solitamente lineari Nei modelli di simulazione il valore di mercato del portafoglio di cui si intende stimare il VaR viene completamente ricalcolato, mediante opportune formule di pricing ( full valuation ) Ad esempio, invece di stimare l effetto di un rialzo dei tassi sul valore di un titolo obbligazionario sulla base della duration modificata si procede a ricalcolare il nuovo prezzo del titolo con il nuovo livello di tassi. L approccio della simulazione richiede di conoscere un opportuna formula di pricing per tutti gli strumenti inseriti nel portafoglio Se le formule di pricing usate sono corrette, i modelli di simulazione non restituiscono variazioni del valore del portafoglio approssimate, ma esatte 4

5 full valuation azioni tassi materie prime cambi 1. Fattori di rischio: Si genera un elevato numero di scenari relativi a variazioni dei fattori di mercato, basati sulle variazioni passate (simulazione storica) o su una determinata (ad es. normale) distribuzione teorica (simulazione Monte Carlo) 2. Portafoglio: 3. Misure di rischio: Ogni scenario è tradotto in una variazione di valore simulata per il portafoglio della banca, di solito attraverso la logica della full valuation ed un insieme di formule di pricing appropriate. Il VaR (o altre misure di rischio) viene derivato dalla distribuzione delle variazioni di valore simulate del portafoglio, ad esempio individuando l opportuno percentile In linea teorica, è possibile applicare la logica della simulazione e continuare a utilizzare la tecnica dei coefficienti di sensibilità 5

6 logica del percentile Nei modelli di simulazione, dopo aver generato la distribuzione di probabilità degli N possibili valori futuri del portafoglio, il VaR viene stimato tagliando tale distribuzione empirica in corrispondenza del percentile associato al livello di confidenza desiderato Ad esempio, dati valori simulati del portafoglio, il VaR al 95% viene calcolato prendendo il 5 percentile (cioè la 501-esima osservazione partendo dalla peggiore) L utilizzo della distribuzione di probabilità simulata dei valori del portafoglio risolve il problema della non-normalità della distribuzione delle perdite future. La distribuzione simulata può assumere qualsiasi forma Il taglio della distribuzione fa superare i problemi legati alla non monotonicità della relazione tra fattore di mercato e portafoglio. I valori del portafoglio sono ordinati dal migliore al peggiore, indipendentemente dal movimento del fattore di mercato che li ha generati 6

7 maggiore flessibilità Per tenere in considerazione il problema delle code spesse, in alcuni modelli parametrici viene aumentato arbitrariamente il multiplo della deviazione standard prescelto non costringono a utilizzare una distribuzione normale per modellare le variazioni dei fattori di mercato le simulazioni storiche generano gli scenari relativi ai fattori di rischio a partire dalla distribuzione empirica delle variazioni passate dei fattori di mercato le simulazioni Monte Carlo richiedono invece che venga definita una distribuzione con cui generare le simulazioni. Essa deve rispecchiare le caratteristiche empiriche delle distribuzioni delle variazioni dei fattori di mercato e prestarsi alla generazione di simulazioni casuali 7

8 maggiore flessibilità Problemi La simulazione Monte Carlo se usata con la distribuzione normale non rispecchia totalmente la distribuzione delle variazioni dei fattori di mercato. L approccio dello stress testing invece si concentra solo su pochi scenari particolarmente sfavorevoli Non linearità dei payoff Non normalità dei rendimenti di mercato a) Full valuation Caratteristiche dell'approccio di simulazione c) Simulazione con distribuzioni non necessariamente normali b) Approccio Simulazione Monte Carlo del percentile Simulazione storica Con distribuzioni non-normali Con distribuzioni normali Legenda: = risolve il problema; = non risolve il problema 8

9 Le simulazioni storiche Nel modello di simulazione storica si ipotizza che le potenziali variazioni dei fattori di mercato siano ben rappresentate dalla loro distribuzione empirica si ipotizza che la distribuzione delle variazioni dei fattori di rischio sia stabile nel tempo Principali passaggi di una simulazione storica Fase Attività 1 Selezione di un campione di rendimenti (ad esempio giornalieri) del fattore o dei fattori di mercato rilevanti, relativo a un determinato periodo storico (ad esempio 250 giorni). 2 Rivalutazione della singola posizione o del portafoglio in corrispondenza di ognuno dei valori storici dei rendimenti del fattore di mercato. 3 Ricostruzione della distribuzione empirica di frequenza dei valori della posizione/portafoglio così ottenuti. 4 Taglio della distribuzione in corrispondenza del percentile relativo al livello di confidenza desiderato. 5 La differenza tra tale percentile ed il valore corrente del portafoglio rappresenta il VaR 9

10 Esempio il VaR di una singola posizione POSIZIONE: Opzione call, strike pari a e vita residua di tre mesi, sull indice S&P500. Il valore corrente dell opzione è pari a circa 2,30 dollari Il campione storico di riferimento sono 500 rendimenti giornalieri fra il 1 gennaio 2003 e il 28 dicembre Nella tabella della slide successiva vengono presentati soltanto i primi 20 e gli ultimi 20 dati, a sinistra ordinati cronologicamente mentre a destra dal peggiore al migliore. La sesta colonna indica i valori che l indice S&P500 potrebbe assumere l indomani se, partendo dal valore corrente (1.213,54 dollari) subisse una variazione logaritmica pari a quella indicata nella colonna precedente La settima colonna indica quale sarebbe, dato questo nuovo valore del sottostante, il nuovo valore di mercato dell opzione 10

11 Valori simulati ($) per la call Rischio e valore nelle banche Esempio il VaR di una singola posizione Dati in ordine cronologico Rendimento logaritmico giornaliero del S&P 500 Dati ordinati in base ai rendimenti logaritmici giornalieri Rendimento logaritmico giornaliero del S&P 500 Valore simulato dell indice S&P500 Valore simulato nella call Variazione nel valore della call Rang Data S&P500 o 03/01/ ,6 0,0% 1-3,6% 1170,8 0,18-2,11 06/01/ ,0 2,2% 2-3,0% 1178,1 0,30-2,00 07/01/ ,9-0,7% 3-2,6% 1182,2 0,39-1,90 08/01/ ,9-1,4% 4-2,5% 1183,3 0,42-1,88 09/01/ ,6 1,9% 5-2,3% 1185,8 0,49-1,80 10/01/ ,6 0,0% 6-1,9% 1190,4 0,65-1,65 13/01/ ,3-0,1% 7-1,9% 1191,2 0,68-1,61 14/01/ ,7 0,6% 8-1,8% 1192,0 0,72-1,58 15/01/ ,2-1,5% 9-1,8% 1192,1 0,72-1,58 16/01/ ,6-0,4% 10-1,6% 1193,7 0,79-1,50 17/01/ ,8-1,4% 11-1,6% 1193,9 0,80-1,50 21/01/ ,6-1,6% 12-1,6% 1194,5 0,83-1,47 22/01/ ,4-1,0% 13-1,6% 1194,7 0,84-1,46 23/01/ ,3 1,0% 14-1,6% 1194,8 0,84-1,46 24/01/ ,4-3,0% 15-1,5% 1194,9 0,85-1,45 27/01/ ,5-1,6% 16-1,5% 1195,1 0,85-1,44 28/01/ ,5 1,3% 17-1,5% 1195,1 0,86-1,44 29/01/ ,4 0,7% 18-1,5% 1195,4 0,87-1,43 30/01/ ,6-2,3% 19-1,5% 1195,8 0,89-1,41 31/01/ ,7 1,3% 20-1,5% 1195,8 0,89-1,40 30/11/ ,8-0,4% 481 1,6% 1233,1 5,44 3,15 01/12/ ,4 1,5% 482 1,6% 1233,1 5,46 3,16 02/12/ ,3-0,1% 483 1,6% 1233,2 5,48 3,18 03/12/ ,2 0,1% 484 1,6% 1233,4 5,51 3,22 06/12/ ,3-0,1% 485 1,7% 1234,7 5,80 3,50 07/12/ ,1-1,1% 486 1,8% 1235,2 5,92 3,63 08/12/ ,8 0,5% 487 1,9% 1236,6 6,26 3,96 09/12/ ,2 0,5% 488 1,9% 1237,1 6,38 4,08 10/12/ ,0-0,1% 489 1,9% 1237,2 6,41 4,11 13/12/ ,7 0,9% 490 1,9% 1237,2 6,41 4,12 14/12/ ,4 0,4% 491 1,9% 1237,3 6,43 4,14 15/12/ ,7 0,2% 492 2,1% 1239,6 7,02 4,72 16/12/ ,2-0,2% 493 2,1% 1239,9 7,11 4,81 17/12/ ,2-0,8% 494 2,2% 1240,7 7,32 5,02 20/12/ ,7 0,0% 495 2,2% 1240,7 7,33 5,03 21/12/ ,5 0,9% 496 2,2% 1240,8 7,36 5,06 22/12/ ,6 0,3% 497 2,3% 1241,4 7,53 5,23 23/12/ ,1 0,0% 498 2,6% 1245,2 8,66 6,36 27/12/ ,9-0,4% 499 3,4% 1255,4 12,23 9,93 28/12/ ,5 0,7% 500 3,5% 1256,5 12,70 10,40 14,00 12,00 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 A valori estremi dei rendimenti del fattore di mercato corrispondono valori estremi dell opzione: la relazione tra il valore di una call e quello del suo sottostante, anche se non lineare, è monotona 1160, , , , , , ,00 Valori simulati ($) per l'indice S&P500 11

12 -2,5 / -2,0-2,0 / -1,5-1,5 / -1,0-1,0 / -0,5-0,5 / 0,0 0,0 / 0,5 0,5 / 1,0 1,0 / 1,5 1,5 / 2,0 2,0 / 2,5 2,5 / 3,0 3,0 / 3,5 3,5 / 4,0 4,0 / 4,5 4,5 / 5,0 5,0 / 5,5 5,5 / 6,0 6,0 / 6,5 6,5 / 7,0 7,0 / 7,5 7,5 / 8,0 8,0 / 8,5 8,5 / 9,0 9,0 / 9,5 9,5 / 10,0 10,0 / 10,5 10,5 / 11,0 11,0 / 11,5 11,5 / 12,0 12,0 / 12,5 Percemtiale di casi Rischio e valore nelle banche Esempio il VaR di una singola posizione Il VaR (livello di confidenza pari al 99%) è pari a 1,65 dollari sesta variazione negativa più rilevante del valore di mercato dell opzione Se la banca avesse una posizione corta, il VaR andrebbe calcolato utilizzando le variazioni positive del valore di mercato dell opzione. In questo caso il VaR corrispondente al 99% di confidenza è 5,03 dollari 25% 20% I valori di VaR relativi a una posizione lunga sono meno elevati di quelli corrispondenti a una corta. La distribuzione è infatti asimmetrica e presenta una coda destra più pronunciata 15% 10% 5% 0% Variazione di valore della call ($)

13 Esempio la stima del VaR di portafoglio PORTAFOGLIO: azioni appartenenti in egual misura al FTSE 100, al DAX e all S&P500. Nella tabella della slide successiva vengono riportati i rendimenti giornalieri (100) dal 22 luglio all 8 dicembre 2004, dei tre indici. La colonna Media contiene il rendimento di un portafoglio composto in uguale misura dalle azioni dei tre mercati nazionali. Le prime colonne sono in ordine cronologico, mentre la parte destra della tabella è ordinata con riferimento al rendimento medio dei tre indici Anche in questo caso il VaR corrispondente ai differenti livelli di confidenza è ottenuto seguendo la logica del percentile Per semplicità vengono riportati solo i primi dieci e gli ultimi dieci dati. 13

14 Esempio la stima del VaR di portafoglio Rendimenti logaritmici giornalieri in ordine cronologico Dati ordinati in base ai rendimenti logaritmici giornalieri S&P50 S&P50 Data FTSE100 DAX 0 Media Rank FTSE100 DAX 0 Media 22/07/2004-1,6% -2,0% 0,3% -1,1% 1-1,7% -2,7% -1,6% -2,0% 23/07/2004 0,5% -0,1% -1,0% -0,2% 2-1,6% -2,0% 0,3% -1,1% 26/07/2004-0,9% -1,2% -0,2% -0,8% 3-1,1% -2,1% -0,1% -1,1% 27/07/2004 0,9% 1,6% 1,0% 1,2% 4-0,9% -1,1% -1,1% -1,0% 28/07/2004 0,7% -0,2% 0,1% 0,2% 5-0,3% -1,2% -1,4% -1,0% 29/07/2004 1,4% 2,1% 0,5% 1,3% 6-0,8% -1,5% -0,2% -0,8% 30/07/2004-0,1% 0,2% 0,1% 0,0% 7-0,8% -0,9% -0,6% -0,8% 02/08/2004 0,1% -0,8% 0,4% -0,1% 8-0,9% -1,1% -0,3% -0,8% 03/08/2004 0,3% 0,4% -0,6% 0,0% 9-0,9% -1,2% -0,2% -0,8% 04/08/2004-0,5% -1,4% -0,1% -0,7% 10-0,8% -1,3% 0,0% -0,7% 25/11/2004 0,7% 0,8% 0,0% 0,5% 91 1,1% 1,3% 0,0% 0,8% 26/11/2004-0,3% -0,1% 0,1% -0,1% 92 0,5% 1,6% 0,6% 0,9% 29/11/2004 0,2% -0,2% -0,3% -0,1% 93 0,9% 1,0% 0,9% 0,9% 30/11/2004-1,0% -0,5% -0,4% -0,6% 94 0,8% 0,8% 1,3% 1,0% 01/12/2004 0,7% 1,4% 1,5% 1,2% 95 0,9% 1,6% 1,0% 1,2% 02/12/2004 0,3% 0,7% -0,1% 0,3% 96 0,7% 1,4% 1,5% 1,2% 03/12/2004-0,1% -0,2% 0,1% -0,1% 97 1,1% 1,4% 1,4% 1,3% 06/12/2004-0,5% -0,4% -0,1% -0,3% 98 1,0% 1,7% 1,3% 1,3% 07/12/2004 0,1% 0,4% -1,1% -0,2% 99 1,4% 2,1% 0,5% 1,3% 08/12/2004-0,5% -0,3% 0,5% -0,1% 100 1,9% 2,6% 1,5% 2,0% Posizione corta: VaR (99%)=1,1% VaR(95%)=0,8% Posizione Lunga VaR (99%)=1,3% VaR (95%)=1,2% 14

15 Un confronto simulazioni storiche / approccio varianze - covarianze Il modello di simulazione storica è una tecnica non parametrica: non specifica alcuna forma funzionale della distribuzione delle variazioni dei fattori di mercato e non richiede di stimarne i parametri È possibile applicare l approccio varianze covarianze ai 100 rendimenti dell esempio precedente Deviazione standard dei rendimenti del portafoglio simulato = 0,65% Varianze / covarianze Simulazione storica VaR al 95% - posizione lunga 1,03% 0,85% VaR al 99% - posizione lunga 1,46% 1,12% VaR al 95% - posizione corta 1,03% 1,2% VaR al 99% - posizione corta 1,46% 1,3% Media 0,00% 0,08% Deviazione standard 0,63% 0,63% Asimmetria (skewness) 0,000-0,013 Curtosi in eccesso 0,000 0,868 15

16 Un confronto simulazioni storiche / approccio varianze - covarianze Chi utilizza questa metodologia sostiene che essa abbia una maggior capacità di cogliere le code spesse delle distribuzioni come si vede dalla tabella però, le simulazioni storiche non producono sempre stime di VaR più elevate e dunque più prudenti Confrontando la distribuzione storica dei rendimenti e la distribuzione normale con media nulla e deviazione standard pari a 0,63% si osserva che, per intervalli di confidenza sufficientemente ampi, la distribuzione assume effettivamente code più spesse Mentre variazioni di valore nell ordine del 2% (in più o in meno) sono virtualmente impossibili per la distribuzione normale, esse si sono effettivamente verificate nel passato, anche se in una porzione di casi modesta 16

17 -2,1%/-1,9% -1,9%/-1,7% -1,7%/-1,5% -1,5%/-1,3% -1,3%/-1,1% -1,1%/-0,9% -0,9%/-0,7% -0,7%/-0,5% -0,5%/-0,3% -0,3%/-0,1% -0,1%/0,1% 0,1%/0,3% 0,3%/0,5% 0,5%/0,7% 0,7%/0,9% 0,9%/1,1% 1,1%/1,3% 1,3%/1,5% 1,5%/1,7% 1,7%/1,9% 1,9%/2,1% Percentale di casi Rischio e valore nelle banche Un confronto simulazioni storiche / approccio varianze - covarianze 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% Le code grasse della distribuzione storica risultano confermate dall indice di curtosi della distribuzione storica (slide 16) La minore o maggiore prudenza di una metodologia rispetto a un altra dipende dalla forma funzionale della distribuzione storica dei rendimenti 0% Variazione nel valore del portafoglio azionario ($) Essendo in questo caso ottenuta come somma della distribuzione dei rendimenti di tre diversi fattori di mercato, non è poi molto diversa da una normale 17

18 Pregi e limiti delle simulazioni storiche 4 VANTAGGI 1. È una metodologia facilmente comprensibile e comunicabile fra le varie unità di una banca oltre che all'alta Direzione Rappresenta infatti la perdita che si otterrebbe se le condizioni passate dovessero ripetersi in futuro 2.Non viene richiesto di esplicitare alcuna ipotesi circa la forma funzionale della distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato. L unica ipotesi (implicita) è che la distribuzione dei rendimenti futuri sia correttamente approssimata dalla distribuzione storica 3.Non è necessario stimare la matrice varianze-covarianze dei fattori di mercato. Le simulazioni storiche catturano la struttura delle correlazioni riflessa nelle variazioni congiunte dei fattori di mercato e ipotizzano che rimangano costanti nel futuro 4. Essendo basate sulla full valuation, consentono di cogliere il rischio di portafogli la cui sensibilità alle variazioni dei fattori di mercato è non lineare o non monotona 18

19 Pregi e limiti delle simulazioni storiche 3 LIMITI: 1.Onerosità dei calcoli necessari per rivalutare l'intero portafoglio: possono richiedere tempi troppo lunghi rispetto alle esigenze di quantificazione del rischio connesse all'attività di trading di una banca. Questo limite è venuto diminuendo di importanza in seguito al continuo progresso della potenza di calcolo dei computer 2.Le simulazioni storiche ipotizzano implicitamente la stabilità temporale (stazionarietà) della distribuzione di probabilità. Se la distribuzione (non osservabile) dei rendimenti è eteroschedastica, allora la distribuzione empirica è un ibrido di realizzazioni di variabili diversamente distribuite con scarso significato sia concettuale che operativo segue sulla slide 21 19

20 Pregi e limiti delle simulazioni storiche 3.Limitatezza delle serie storiche disponibili, specie se l orizzonte temporale prescelto è superiore a un giorno. Ciò si traduce in una scarsa definizione delle code della distribuzione. Incrementare la lunghezza della serie storica di riferimento può essere controproducente perché diviene più probabile che sia violata l ipotesi di stabilità della distribuzione trade-off tra stabilità e rappresentatività Le simulazioni storiche producono misure di VaR poco reattive alle variazioni delle condizioni dei mercati. Il VaR cambia quando si presenta un rendimento superiore (in valore assoluto) al percentile prescelto o quando quest ultimo esce dal campione È un pregio e un difetto il VaR risulta più stabile il VaR può risultare poco aggiornato 20

21 L approccio ibrido L approccio ibrido, cerca di combinare i pregi dei due approcci, varianzecovarianze e simulazioni storiche Si applicano ponderazioni esponenzialmente decrescenti alla serie dei rendimenti e non viene formulata alcuna ipotesi relativa alla forma funzionale della distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato Si utilizza una serie storica di riferimento relativamente lunga ma viene attribuito un peso più elevato ai dati più vicini nel tempo A ogni osservazione passata viene assegnata una ponderazione tanto maggiore quanto più recente è la stessa osservazione (logica simile alle medie mobili esponenziali) i Date n osservazioni storiche, da t-1 a t-n : w t i con n 0 1 i Ponderazione assegnata a ogni osservazione storica i1 21

22 L approccio ibrido Quanto minore è il valore di lambda, tanto maggiore è la velocità di decrescita della ponderazione Il VaR viene ottenuto tagliando la distribuzione empirica in corrispondenza del valore a cui è associata una ponderazione cumulata corrispondente al livello di confidenza desiderato I singoli rendimenti non contribuiscono alla determinazione del VaR solo in funzione della relativa intensità, ma anche in base relativa lontana/vicinanza temporale Riprendiamo l esempio della slide 15 (portafoglio azionario) e riportiamo i dati di rendimento nella slide successiva A ogni dato di rendimento storico è associata una ponderazione che decresce in modo esponenziale, con un λ pari a 0,94 L ultima colonna riporta la ponderazione cumulata corrispondente a ogni dato di rendimento 22

23 L approccio ibrido Data Rendimenti logaritmici giornalieri in ordine cronologico t - i Rendimenti simulati del portafoglio Pesi w i ( i /S i ) Data Dati ordinati in base ai rendimenti logaritmici giornalieri t - i Rendimenti simulati del portafoglio Pesi w i ( i /S i ) Pesi cumulati (Sw i ) 22/07/2004 t ,12% 0,01% 06/08/2004 t ,99% 0,03% 0,03% 23/07/2004 t ,20% 0,01% 22/07/2004 t ,12% 0,01% 0,04% 26/07/2004 t ,76% 0,01% 25/10/2004 t ,09% 0,83% 0,87% 27/07/2004 t ,16% 0,02% 19/11/2004 t ,04% 2,69% 3,56% 28/07/2004 t ,20% 0,02% 22/09/2004 t ,99% 0,20% 3,76% 29/07/2004 t ,34% 0,02% 12/10/2004 t ,85% 0,48% 4,23% 30/07/2004 t ,05% 0,02% 27/09/2004 t ,78% 0,24% 4,48% 02/08/2004 t ,12% 0,02% 11/08/2004 t ,77% 0,03% 4,51% 03/08/2004 t ,02% 0,02% 26/07/2004 t ,76% 0,01% 4,52% 04/08/2004 t ,66% 0,02% 20/10/2004 t ,70% 0,69% 5,21% 05/08/2004 t ,46% 0,02% 04/08/2004 t ,66% 0,02% 5,23% 25/11/2004 t ,52% 3,45% 01/11/2004 t ,80% 1,13% 90,01% 26/11/2004 t - 9-0,11% 3,66% 17/11/2004 t ,89% 2,38% 92,38% 29/11/2004 t - 8-0,12% 3,90% 11/11/2004 t ,94% 1,86% 94,24% 30/11/2004 t - 7-0,63% 4,15% 10/08/2004 t ,98% 0,03% 94,27% 01/12/2004 t - 6 1,21% 4,41% 27/07/2004 t ,16% 0,02% 94,28% 02/12/2004 t - 5 0,32% 4,69% 01/12/2004 t - 6 1,21% 4,41% 98,70% 03/12/2004 t - 4-0,06% 4,99% 16/08/2004 t ,30% 0,04% 98,73% 06/12/2004 t - 3-0,32% 5,31% 27/10/2004 t ,34% 0,94% 99,67% 07/12/2004 t - 2-0,18% 5,65% 29/07/2004 t ,34% 0,02% 99,69% 08/12/2004 t - 1-0,10% 6,01% 01/10/2004 t ,01% 0,31% 100,00% La ponderazione cumulata subisce un salto da 0,87% a 3,56% in corrispondenza del passaggio dal nono al decimo maggior (in valore assoluto) rendimento negativo. Seguendo un criterio prudenziale: VaR(99%)=1,09% 23

24 L approccio ibrido In alternativa si può utilizzare un interpolazione lineare: (3,56% 1%) (1% 0,87%) VaR99 % 1,09% 1,04% 1,088% (3,56% 0,87%) (3,56% 0,87%) Confronto metodo delle simulazioni storiche e approccio ibrido Simulazione storica Simulazione ibrida VaR al 95% - posizione lunga 0,85% 0,72% VaR al 99% - posizione lunga 1,12% 1,09% VaR al 95% - posizione corta 1,16% 1,17% VaR al 99% - posizione corta 1,34% 1,31% In questo caso l approccio ibrido da luogo, per la posizione lunga, a misure di rischio leggermente più contenute le riduzioni più pronunciate dei fattori di mercato si sono verificate nella parte iniziale del campione 24

25 L approccio ibrido In definitiva l approccio ibrido combina i pregi delle simulazioni storiche con i vantaggi propri della tecnica delle medie mobili esponenziali Questo approccio dà una prima risposta a due problemi: ipotesi di stabilità ( i.i.d.-ness ) della distribuzione dei rendimenti viene dato più peso alle osservazioni più vicine, provenienti da distribuzioni più simili a quella corrente lunghezza ottimale della serie storica riducendo le distorsioni legate alla violazione dell ipotesi di i.i.d.-ness, permette di usare più dati 25

26 Il bootstrapping e la generazione di traiettorie Finora abbiamo ipotizzato che l orizzonte temporale su cui si vuole calcolare il VaR sia simile alla frequenza con cui sono stati rilevati i dati del campione storico Si possono anche usare dati giornalieri per un VaR settimanale, trasformando i dati da giornalieri a settimanali Con il metodo del bootstrapping e della generazione di traiettorie si fa in modo che tale passaggio non riduca il numero di osservazioni Il bootstrapping prevede che anziché usare una sola volta ogni rendimento passato, venga estratto dal campione un elevato numero di valori, ogni volta, con re-immissione. 26

27 Il bootstrapping e la generazione di traiettorie Indichiamo con r 1,t+1 il primo dei rendimenti. È un rendimento giornaliero, mentre l orizzonte del VaR è settimanale (M=7) Il valore assunto il giorno dopo dal fattore di rischio S sarà: 1, t1 Estraiamo con il bootstrapping un nuovo rendimento giornaliero r 1,t+2 il valore assunto da S sarà: S 1, 1 1, 2 r t r S e t t t 1, 2 Se si procede fino a 7 rendimenti giornalieri si determina il valore di S fra una settimana: S S e i1 1, t7 t M r 1, ti Sulla base di questo valore è possibile applicare la logica della full valuation per ottenere il valore del portafoglio della banca in questo primo scenario S S t e r 1, t1 27

28 Il bootstrapping e la generazione di traiettorie Per poter costruire una distribuzione di N possibili valori del portafoglio della banca tra una settimana, è necessario generare altre N-1 traiettorie, cioè generare, in tutto, NM valori di r A partire da tale distribuzione, sarà possibile identificare il percentile desiderato (per esempio, il primo) ed il relativo VaR La Figura riportata nella slide successiva, creata utilizzando come campione storico i 100 rendimenti giornalieri del portafoglio (slide 15), mostra una singola traiettoria per il valore del portafoglio nell arco di sette giorni consecutivi (primo pannello), cinque traiettorie (secondo pannello), infine cento traiettorie (terzo pannello: NM=700) La generazione di traiettorie con il bootstrapping non simula solo la variazione totale delle variabili di mercato, ma anche il percorso evolutivo che le conduce al valore finale (caratteristica utile per alcuni tipi di opzioni) 28

29 Il bootstrapping e la generazione di traiettorie 106,0 106,0 104,0 102,0 104,0 102,0 5 traiettorie 100,0 100,0 98,0 1 traiettoria 98,0 96,0 96,0 94,0 94,0 108,0 106,0 104,0 102,0 100,0 98,0 96,0 94,0 92,0 90,0 92,0 t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t traiettorie t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 107,5-108,0 107,0-107,5 106,5-107,0 106,0-106,5 105,5-106,0 105,0-105,5 104,5-105,0 104,0-104,5 103,5-104,0 103,0-103,5 102,5-103,0 102,0-102,5 101,5-102,0 101,0-101,5 100,5-101,0 100,0-100,5 99,5-100,0 99,0-99,5 98,5-99,0 98,0-98,5 97,5-98,0 97,0-97,5 96,5-97,0 96,0-96,5 95,5-96,0 95,0-95,5 94,5-95,0 94,0-94,5 93,5-94,0 93,0-93,5 92,5-93,0 92,0-92,5 92,0 t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 distribuzione di frequenza dei 100 valori del portafoglio in t+7 0% 5% 10% 15% 20% 29

30 Le simulazioni storiche filtrate Il bootstrapping conduce a risultati corretti se i rendimenti giornalieri sono iid L approccio ibrido rappresenta solo una risposta approssimata ai problemi legati alla stabilità delle distribuzioni dei fattori di rischio Sono stati perciò proposti altri modelli 1 Hull e White nel 1998 suggeriscono di aggiustare i dati storici sulla base delle condizioni attuali (o previste) della volatilità dei fattori di rischio approccio volatility weighted In presenza di un incremento della volatilità, i rendimenti storici vengono corretti al rialzo conducendo a stime di VaR superiori di quelle implicite nella distribuzione storica 30

31 Le simulazioni storiche filtrate 2 Proposto da Barone-Adesi e Giannopoulos nel 1996 Approccio delle simulazioni storiche filtrate Questo approccio è utilizzato per il controllo del rischio presso la London Clearing House, la cassa di compensazione del mercato dei futures di Londra (LIFFE) Si basa su due idee di fondo: 1.Utilizzo di modelli GARCH per filtrare i dati e rendere i residui i.i.d la volatilità non è costante ma stocastica 2. Utilizzo di tali residui filtrati per generare scenari con una tecnica di bootstrap, tenendo conto della non-normalità dei rendimenti dei fattori di rischio e della loro eteroschedasticità Si può ipotizzare che i rendimenti seguano un semplice GARCH (1,1) rt 2 2 t 2 t 0 1 t1 1 t1 31

32 Le simulazioni storiche filtrate Dopo aver stimato i coefficienti del GARCH (1,1), i rendimenti storici vengono standardizzati ( filtrati ): rendimenti storici et Se il modello è corretto, questi rendimenti standardizzati sono i.i.d. ed è dunque possibile utilizzarli per la simulazione storica Il bootstrapping viene utilizzato per estrarre casualmente (con re-inserimento) numero N di valori; il campione di partenza non è quello dei rendimenti storici, bensì dei rendimenti filtrati Ognuno degli e i viene quindi moltiplicato per la stima della volatilità condizionata relativa al periodo t+1 per cui si desidera calcolare il VaR Il primo shock ad esempio è / t r t e ˆ t 1 volatilità condizionata 32

33 Le simulazioni storiche filtrate Dopo aver generato i valori di r 2, r 3, r N, il portafoglio della banca viene rivalutato in base ad ogni shock, così da ottenere una distribuzione di N possibili valori futuri Il VaR si ottiene tagliando la distribuzione in corrispondenza del percentile desiderato e calcolando la differenza tra tale percentile ed il valore corrente del portafoglio Se l orizzonte di rischio è superiore alla frequenza di calcolo dei rendimenti Si utilizza la versione filtrata del metodo basato sulla generazione di traiettorie r 1,t+1 = e 1,t+1 è il primo rendimento giornaliero generato ( pesato per la volatilità corrente) r1, t Il valore assunto il giorno successivo dal fattore di rischio S sarà: S1, t1 Ste Partendo dal rendimento simulato è anche possibile ottenere una stima di t2 0 1 t1 1 t1 t

34 Le simulazioni storiche filtrate Utilizzando nuovamente il bootstrapping è possibile estrarre dal campione un nuovo valore casuale e 1,t+2 Moltiplicando tale valore per la stima della volatilità appena ottenuta, si genera un rendimento simulato coerente con la volatilità prevista per il secondo giorno: r ˆ 1, t 2 1, t 2 2, t 2 t 2 Ripetendo il procedimento per i giorni successivi, si ottiene un vettore di sette rendimenti (r 1,t+1,, r 1, t+7 ), che consente di stimare il possibile valore, tra una 7 settimana, del fattore di rischio: r S 1, t7 Generando altre N-1 traiettorie, si potrà costruire una distribuzione di N possibili valori del portafoglio della banca tra una settimana A partire da tale distribuzione si potrà individuare il percentile desiderato e il VaR e S t e i1 1, ti 34

35 Le simulazioni Monte Carlo Anche le simulazioni Monte Carlo si basano sulla generazione di dati casuali Partendo dal campione storico si stimano i parametri di una particolare distribuzione di probabilità (normale, t di Student, ecc) dalla quale verranno successivamente estratti gli N valori simulati per il fattore o i fattori di rischio È possibile generare un numero di valori anche superiore al numero di osservazioni presente nel campione storico Deve essere però selezionata la giusta distribuzione di probabilità del fattore di rischio: si tratta dunque di una tecnica parametrica Le simulazioni Monte Carlo sono state originariamente utilizzate in finanza quale strumento per il pricing di prodotti complessi 35

36 Le simulazioni Monte Carlo Se sono valide alcune ipotesi (completezza dei mercati, assenza di opportunità di arbitraggio, etc.) il prezzo di uno strumento derivato è dato dal valore atteso del suo payoff futuro attualizzato al tasso risk free Il valore atteso può essere calcolato simulando un numero elevato di possibili evoluzioni delle condizioni di mercato. Se il numero di simulazioni è sufficientemente elevato, il valore medio risulta uno stimatore non distorto del vero valore atteso del payoff In termini analitici ciò equivale a stimare in modo approssimato l integrale, pesato per la probabilità, di una funzione V(x 1, x 2, x m ) in uno spazio di dimensione m (maggiore o uguale a uno), pari al numero dei fattori di mercato rilevanti 36

I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti

I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti Slides tratte da: Andrea Resti Andrea Sironi Rischio e valore nelle banche Misura, regolamentazione, gestione Egea, 2008 AGENDA Un

Dettagli

GUIDA ALLA LETTURA DELLE SCHEDE FONDI

GUIDA ALLA LETTURA DELLE SCHEDE FONDI GUIDA ALLA LETTURA DELLE SCHEDE FONDI Sintesi Descrizione delle caratteristiche qualitative con l indicazione di: categoria Morningstar, categoria Assogestioni, indice Fideuram. Commenti sulla gestione

Dettagli

Tesoreria, Finanza e Risk Management per gli Enti Locali. Derivati: Gestione del Rischio e Valore di Mercato

Tesoreria, Finanza e Risk Management per gli Enti Locali. Derivati: Gestione del Rischio e Valore di Mercato Tesoreria, Finanza e Risk Management per gli Enti Locali Derivati: Gestione del Rischio e Valore di Mercato COMUNE DI MONTECATINI TERME 16 marzo 2009 1. Introduzione La valutazione del derivato del Comune

Dettagli

Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi)

Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi) Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi) QUANTILE Data una variabile casuale X, si definisce Quantile superiore x p : X P (X x p ) = p Quantile inferiore x p : X P (X x p ) = p p p=0.05 x p x p Graficamente,

Dettagli

Regressione Mario Guarracino Data Mining a.a. 2010/2011

Regressione Mario Guarracino Data Mining a.a. 2010/2011 Regressione Esempio Un azienda manifatturiera vuole analizzare il legame che intercorre tra il volume produttivo X per uno dei propri stabilimenti e il corrispondente costo mensile Y di produzione. Volume

Dettagli

Il RISCHIO DI TASSO DI INTERESSE. Il Cash Flow Mapping La normativa di vigilanza

Il RISCHIO DI TASSO DI INTERESSE. Il Cash Flow Mapping La normativa di vigilanza Il RISCHIO DI TASSO DI INTERESSE Il Cash Flow Mapping La normativa di vigilanza NEMANJA RADIĆ 22/04/2009 AGENDA Introduzione I. I modelli basati sul cash flow mapping II. III. 2 Gli obiettivi del cash

Dettagli

Quesiti livello Application

Quesiti livello Application 1 2 3 4 Se la correlazione tra due attività A e B è pari a 0 e le deviazioni standard pari rispettivamente al 4% e all 8%, per quali dei seguenti valori dei loro pesi il portafoglio costruito con tali

Dettagli

RISCHIO E RENDIMENTO DEGLI STRUMENTI FINANZIARI. Docente: Prof. Massimo Mariani

RISCHIO E RENDIMENTO DEGLI STRUMENTI FINANZIARI. Docente: Prof. Massimo Mariani RISCHIO E RENDIMENTO DEGLI STRUMENTI FINANZIARI Docente: Prof. Massimo Mariani 1 SOMMARIO Il rendimento di un attività finanziaria: i parametri rilevanti Rendimento totale, periodale e medio Il market

Dettagli

A.A. 2011/11 Corso Financial Risk Management Market Risk. Assignment finale

A.A. 2011/11 Corso Financial Risk Management Market Risk. Assignment finale A.A. 2011/11 Corso Financial Risk Management Market Risk Assignment finale NB: per ottenere risultati uniformi attraverso i gruppi di lavoro, si raccomanda per lo svolgimento degli esercizi l utilizzo

Dettagli

Tecniche di stima del costo e delle altre forme di finanziamento

Tecniche di stima del costo e delle altre forme di finanziamento Finanza Aziendale Analisi e valutazioni per le decisioni aziendali Tecniche di stima del costo e delle altre forme di finanziamento Capitolo 17 Indice degli argomenti 1. Rischio operativo e finanziario

Dettagli

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2013-2014 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

Modelli di portafoglio

Modelli di portafoglio Università Bicocca - Milano Anno Accademico 2007 / 2008 Modelli di portafoglio Corso di Risk Management Milano, 26 Marzo 2008 Perchè stimare EL e UL: un esempio Actual Portfolio Loss 2.00% 1.80% 1.60%

Dettagli

Derivati: principali vantaggi e utilizzi

Derivati: principali vantaggi e utilizzi Derivati: principali vantaggi e utilizzi Ugo Pomante, Università Commerciale Luigi Bocconi Trading Online Expo Milano 28, Marzo 2003 CONTENUTI In un mondo senza derivati I futures Le opzioni Strategie

Dettagli

CAPITOLO 10 I SINDACATI

CAPITOLO 10 I SINDACATI CAPITOLO 10 I SINDACATI 10-1. Fate l ipotesi che la curva di domanda di lavoro di una impresa sia data da: 20 0,01 E, dove è il salario orario e E il livello di occupazione. Ipotizzate inoltre che la funzione

Dettagli

Esperienza MBG Il moto browniano geometrico. Proprietà teoriche e simulazione Monte Carlo

Esperienza MBG Il moto browniano geometrico. Proprietà teoriche e simulazione Monte Carlo Università degli Studi di Perugia Laurea specialistica in Finanza a.a. 2009-10 Corso di Laboratorio di calcolo finanziario prof. Franco Moriconi Esperienza MBG Il moto browniano geometrico. Proprietà teoriche

Dettagli

Orientamenti ABE in materia di. valore a rischio in condizioni di stress (VaR in condizioni di stress) EBA/GL/2012/2

Orientamenti ABE in materia di. valore a rischio in condizioni di stress (VaR in condizioni di stress) EBA/GL/2012/2 Orientamenti ABE in materia di valore a rischio in condizioni di stress (VaR in condizioni di stress) EBA/GL/2012/2 Londra, 16.05.2012 1 Oggetto degli orientamenti 1. Il presente documento contiene una

Dettagli

Introduzione alberi binomiali

Introduzione alberi binomiali Introduzione alberi binomiali introduzione L albero binomiale rappresenta i possibili sentieri seguiti dal prezzo dell azione durante la vita dell opzione Il percorso partirà dal modello a uno stadio per

Dettagli

ANALISI DEL RISCHIO NELLA VALUTAZIONE DEGLI INVESTIMENTI. Docente: Prof. Massimo Mariani

ANALISI DEL RISCHIO NELLA VALUTAZIONE DEGLI INVESTIMENTI. Docente: Prof. Massimo Mariani ANALISI DEL RISCHIO NELLA VALUTAZIONE DEGLI INVESTIMENTI Docente: Prof. Massimo Mariani 1 SOMMARIO Analisi del rischio; limiti del VAN in contesti di incertezza; tecniche di descrizione del rischio dei

Dettagli

I modelli fondati sul mercato dei capitali

I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli fondati sul mercato dei capitali Slides tratte da: Andrea Resti Andrea Sironi Rischio e valore nelle banche Misura, regolamentazione, gestione Egea, 2008 AGENDA L approccio basato sugli spread

Dettagli

Esercizi: i rendimenti finanziari

Esercizi: i rendimenti finanziari Esercizi: i rendimenti finanziari Operazioni algebriche elementari Distribuzione e dipendenza Teoria di probabilità Selezione portafoglio p. 1/25 Esercizio I Nella tabella sottostante relativa all indice

Dettagli

Economia Intermediari Finanziari 1

Economia Intermediari Finanziari 1 Economia Intermediari Finanziari Il rischio, inteso come possibilità che il rendimento atteso da un investimento in strumenti finanziari, sia diverso da quello atteso è funzione dei seguenti elementi:

Dettagli

RISCHIO E CONTROLLO DI GESTIONE LA COSTRUZIONE DI UN BUDGET

RISCHIO E CONTROLLO DI GESTIONE LA COSTRUZIONE DI UN BUDGET LA COSTRUZIONE DI UN BUDGET Prof. Francesco Albergo Docente di PIANIFICAZIONE E CONTROLLO Corso di Laurea in Economia Aziendale Curriculum in Gestione Aziendale Organizzata UNIVERSITA degli Studi di Bari

Dettagli

Misure della dispersione o della variabilità

Misure della dispersione o della variabilità QUARTA UNITA Misure della dispersione o della variabilità Abbiamo visto che un punteggio di per sé non ha alcun significato e lo acquista solo quando è posto a confronto con altri punteggi o con una statistica.

Dettagli

OPZIONI, DURATION E INTEREST RATE SWAP (IRS)

OPZIONI, DURATION E INTEREST RATE SWAP (IRS) ESERCITAZIONE MATEMATICA FINANZIARIA 1 OPZIONI, DURATION E INTEREST RATE SWAP (IRS) Valutazione delle opzioni Esercizio 1 2 ESERCIZIO 1 Il portafoglio di un investitore è composto di 520 azioni della società

Dettagli

Il VaR: i modelli di simulazione. Prof. Ugo Pomante Università di Roma Tor Vergata

Il VaR: i modelli di simulazione. Prof. Ugo Pomante Università di Roma Tor Vergata Il VaR: i modelli di simulazione Prof. Ugo Pomante Università di Roma Tor Vergata Agenda I modelli di simulazione: caratteristiche generali Le simulazioni storiche L approccio ibrido Le simulazioni Monte

Dettagli

Il processo decisionale di copertura del «cash flow interest rate risk» nelle imprese industriali

Il processo decisionale di copertura del «cash flow interest rate risk» nelle imprese industriali Il processo decisionale di copertura del «cash flow interest rate risk» nelle imprese industriali di Giuseppe Zillo e Elisabetta Cecchetto (*) La valutazione degli effetti delle variazioni dei tassi di

Dettagli

23 Giugno 2003 Teoria Matematica del Portafoglio Finanziario e Modelli Matematici per i Mercati Finanziari ESERCIZIO 1

23 Giugno 2003 Teoria Matematica del Portafoglio Finanziario e Modelli Matematici per i Mercati Finanziari ESERCIZIO 1 23 Giugno 2003 Teoria Matematica del Portafoglio Finanziario e Modelli Matematici per i Mercati Finanziari In uno schema uniperiodale e in un contesto di analisi media-varianza, si consideri un mercato

Dettagli

Histogram of C1 Normal

Histogram of C1 Normal Soluzioni domande ed esercizi Fondamenti di Affidabilità Capitolo 2. La vita di un cambio ad ingranaggi può essere fortemente influenzata nelle fasi iniziali della sua vita da problemi derivanti principalmente

Dettagli

Capitolo V. I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM

Capitolo V. I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM Capitolo V. I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM 2 OBIETTIVO: Il modello IS-LM Fornire uno schema concettuale per analizzare la determinazione congiunta della produzione e del tasso

Dettagli

continuazione CORSO ECONOMIA DEGLI INTERMEDIARI FINANZIARI II Testi di riferimento PROGRAMMA Parte relativa alla gestione dei rischi bancari

continuazione CORSO ECONOMIA DEGLI INTERMEDIARI FINANZIARI II Testi di riferimento PROGRAMMA Parte relativa alla gestione dei rischi bancari continuazione CORSO ECONOMIA DEGLI INTERMEDIARI FINANZIARI II 3) Rischi e redditività ruolo del capitale allocazione del capitale valutazione della performance della banca e dei singoli centri operativi

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2014-2015 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTA DI SCIENZE STATISTICHE CORSO DI LAUREA IN STATISTICA ECONOMIA E FINANZA TESI DI LAUREA Il VALUE AT RISK PER LA GESTIONE DEL RISCHIO DI MERCATO: METODI DI CALCOLO

Dettagli

RISCHIO E CAPITAL BUDGETING

RISCHIO E CAPITAL BUDGETING RISCHIO E CAPITAL BUDGETING Costo opportunità del capitale Molte aziende, una volta stimato il loro costo opportunità del capitale, lo utilizzano per scontare i flussi di cassa attesi dei nuovi progetti

Dettagli

Microeconometria (Silvia Tiezzi) 01 aprile2011 Esercitazione

Microeconometria (Silvia Tiezzi) 01 aprile2011 Esercitazione Microeconometria (Silvia Tiezzi) 01 aprile2011 Esercitazione Esercizio 1 Si consideri il seguente modello ad effetti fissi con variabili binarie: + 1 2 a) supponete che N=3. Si mostri che i regressori

Dettagli

LEZIONE 4. Il Capital Asset Pricing Model. Professor Tullio Fumagalli Corso di Finanza Aziendale Università degli Studi di Bergamo.

LEZIONE 4. Il Capital Asset Pricing Model. Professor Tullio Fumagalli Corso di Finanza Aziendale Università degli Studi di Bergamo. LEZIONE 4 Il Capital Asset Pricing Model 1 Generalità 1 Generalità (1) Il Capital Asset Pricing Model è un modello di equilibrio dei mercati che consente di individuare una precisa relazione tra rendimento

Dettagli

Esercizi su domanda e offerta. 24 novembre 2010

Esercizi su domanda e offerta. 24 novembre 2010 Esercizi su domanda e offerta 24 novembre 2010 Domande Domanda 1* Cosa si intende per spesa totale di un consumatore per un dato bene? Descrivete come essa varia quando il prezzo del bene considerato aumenta

Dettagli

SIMULAZIONE PROVA DI ECONOMIA POLITICA (PRIMA PARTE DEL PROGRAMMA: CAPP. 2,4,5,7,21) ANNO ACCADEMICO 2011/2012

SIMULAZIONE PROVA DI ECONOMIA POLITICA (PRIMA PARTE DEL PROGRAMMA: CAPP. 2,4,5,7,21) ANNO ACCADEMICO 2011/2012 SIMULAZIONE PROVA DI ECONOMIA POLITICA (PRIMA PARTE DEL PROGRAMMA: CAPP. 2,4,5,7,21) ANNO ACCADEMICO 2011/2012 La prova d esame completa comprende 6 domande a risposta multipla più 4 esercizi articolati

Dettagli

Scenari di Self Risk Assessment e loro utilizzo nei modelli AMA

Scenari di Self Risk Assessment e loro utilizzo nei modelli AMA Scenari di Self Risk Assessment e loro utilizzo nei modelli AMA Proposte metodologiche dall esperienza del Gruppo UBI Banca Giulia Marini Claudio Andreatta BASILEA 3 2012 RISCHIO OPERATIVO-CONVEGNO ANNUALE

Dettagli

DOCUMENTO SUL MULTICOMPARTO

DOCUMENTO SUL MULTICOMPARTO DOCUMENTO SUL MULTICOMPARTO Aggiornamento: giugno 2013 1 Dalla sua origine nel 1987 e fino al 31 dicembre 2008 il Fondo ha adottato un modello di gestione basato su una convenzione assicurativa, gestita

Dettagli

TECNICHE DI STIMA DEL COSTO DELLE ALTRE FORME DI FINANZIAMENTO. Docente: Prof. Massimo Mariani

TECNICHE DI STIMA DEL COSTO DELLE ALTRE FORME DI FINANZIAMENTO. Docente: Prof. Massimo Mariani TECNICHE DI STIMA DEL COSTO DELLE ALTRE FORME DI FINANZIAMENTO Docente: Prof. Massimo Mariani 1 SOMMARIO Il costo del capitale stima del costo del capitale stima del costo del capitale di aziende operanti

Dettagli

Premesse alla statistica

Premesse alla statistica Premesse alla statistica Versione 22.10.08 Premesse alla statistica 1 Insiemi e successioni I dati di origine sperimentale si presentano spesso non come singoli valori, ma come insiemi di valori. Richiamiamo

Dettagli

RISK MANAGEMENT: MAPPATURA E VALUTAZIONE DEI RISCHI AZIENDALI. UN COSTO O UN OPPORTUNITA?

RISK MANAGEMENT: MAPPATURA E VALUTAZIONE DEI RISCHI AZIENDALI. UN COSTO O UN OPPORTUNITA? Crenca & Associati CORPORATE CONSULTING SERVICES RISK MANAGEMENT: MAPPATURA E VALUTAZIONE DEI RISCHI AZIENDALI. UN COSTO O UN OPPORTUNITA? Ufficio Studi Milano, 3 aprile 2008 Introduzione al Risk Management

Dettagli

Non esiste un investimento perfetto in assoluto, esiste invece un investimento ottimale per ognuno di noi.

Non esiste un investimento perfetto in assoluto, esiste invece un investimento ottimale per ognuno di noi. ANALISI DEGLI INVESTIMENTI Non esiste un investimento perfetto in assoluto, esiste invece un investimento ottimale per ognuno di noi. Come un comodo abito ogni investimento deve essere fatto su misura.

Dettagli

Nota integrativa consolidata Parte E Informazioni sui rischi e sulle relative politiche di copertura

Nota integrativa consolidata Parte E Informazioni sui rischi e sulle relative politiche di copertura SEZIONE 2 RISCHI DELLE IMPRESE DI ASSICURAZIONE 2.1 RISCHI ASSICURATIVI Ramo Vita I rischi tipici del portafoglio assicurativo Vita (gestito attraverso EurizonVita, EurizonLife, SudPoloVita e CentroVita)

Dettagli

Le obbligazioni: misure di rendimento e rischio. Economia degli Intermediari Finanziari 4 maggio 2009 A.A. 2008-2009

Le obbligazioni: misure di rendimento e rischio. Economia degli Intermediari Finanziari 4 maggio 2009 A.A. 2008-2009 Le obbligazioni: misure di rendimento e rischio Economia degli Intermediari Finanziari 4 maggio 009 A.A. 008-009 Agenda 1. Introduzione ai concetti di rendimento e rischio. Il rendimento delle obbligazioni

Dettagli

Il processo di misurazione e gestione del rischio nell ambito di modelli VaR. Aldo Nassigh. 16 Ottobre 2007

Il processo di misurazione e gestione del rischio nell ambito di modelli VaR. Aldo Nassigh. 16 Ottobre 2007 Il processo di misurazione e gestione del rischio nell ambito di modelli Aldo Nassigh 16 Ottobre 2007 INDICE 1. La misurazione del rischio di mercato attraverso il 1.a Nozioni basilari 1.b I metodi parametrici

Dettagli

MATEMATICA FINANZIARIA Schede Esercizi a.a. 2014-2015 Elisabetta Michetti

MATEMATICA FINANZIARIA Schede Esercizi a.a. 2014-2015 Elisabetta Michetti MATEMATICA FINANZIARIA Schede Esercizi a.a. 2014-2015 Elisabetta Michetti 1 MODULO 1 1.1 Principali grandezze finanziarie 1. Si consideri una operazione finanziaria di provvista che prevede di ottenere

Dettagli

Corso di Risk Management

Corso di Risk Management Concetti fondamentali di risk management Tutti i concetti della lezione odierna sono presi da McNeil, Frey, Embrechts (2005), Quantitative Risk Management, Princeton, Princeton University Press, cap. 2.

Dettagli

LA VALUTAZIONE DI PORTAFOGLIO. Giuseppe G. Santorsola 1

LA VALUTAZIONE DI PORTAFOGLIO. Giuseppe G. Santorsola 1 LA VALUTAZIONE DI PORTAFOGLIO Giuseppe G. Santorsola 1 Rendimento e rischio Rendimento e rischio di un singolo titolo Rendimento e rischio di un portafoglio Rendimento ex post Media aritmetica dei rendimenti

Dettagli

L approccio parametrico o delle varianze-covarianze

L approccio parametrico o delle varianze-covarianze L approccio parametrico o delle varianze-covarianze Slides tratte da: Andrea Resti Andrea Sironi Rischio e valore nelle banche Misura, regolamentazione, gestione Egea, 2008 AGENDA Il VaR nell ipotesi di

Dettagli

Nell approccio varianze-covarianze, il VaR di un azione viene calcolato sulla base del CAPM come. VaR = z α β σ M,

Nell approccio varianze-covarianze, il VaR di un azione viene calcolato sulla base del CAPM come. VaR = z α β σ M, Il VaR di un azione Nell approccio varianze-covarianze, il VaR di un azione viene calcolato sulla base del CAPM come VaR = z α β σ M, dove σ M è la volatilità dell indice di mercato scelto per l azione.

Dettagli

Oscillazione dei mercati valutari e percezione del cambio in fase di budgeting

Oscillazione dei mercati valutari e percezione del cambio in fase di budgeting Oscillazione dei mercati valutari e percezione del cambio in fase di budgeting di Giuseppe Zillo (*) e Elisabetta Cecchetto (**) La definizione del cambio obiettivo nell azienda industriale non è solo

Dettagli

Tecnica Bancaria (Cagliari - 2015)

Tecnica Bancaria (Cagliari - 2015) Tecnica Bancaria (Cagliari - 2015) prof. Mauro Aliano mauro.aliano@unica.it mauro.aliano@unica.it 1 Il rischio di interesse 2 Il rischio di tasso di interesse Il rischio di tasso di interesse può essere

Dettagli

A.A. 2009/10 Corso Financial Risk Management Market Risk. Assignment finale

A.A. 2009/10 Corso Financial Risk Management Market Risk. Assignment finale A.A. 2009/10 Corso Financial Risk Management Market Risk Assignment finale NB: per ottenere risultati uniformi attraverso i gruppi di lavoro, si raccomanda per lo svolgimento degli esercizi l utilizzo

Dettagli

La modalità di determinazione dei Margini Iniziali

La modalità di determinazione dei Margini Iniziali La modalità di determinazione dei Margini Iniziali Ufficio RM Versione 1.0 Sommario Premessa... 3 1. Tipologie di Margini Iniziali... 3 2. Il Calcolo dei Margini Iniziali Ordinari... 4 3. La Determinazione

Dettagli

1. Exponential smoothing. Metodi quantitativi per i mercati finanziari. Capitolo 5 Analisi dei prezzi. Consideriamo la media mobile esponenziale

1. Exponential smoothing. Metodi quantitativi per i mercati finanziari. Capitolo 5 Analisi dei prezzi. Consideriamo la media mobile esponenziale 1. Exponential smoothing Consideriamo la media mobile esponenziale Metodi quantitativi per i mercati finanziari XMA t = (1 α)xma t 1 + αp t come previsione del prezzo al tempo T + 1 sulla base dell insieme

Dettagli

Il risultato di un analisi chimica è un informazione costituita da: un numero un incertezza un unità di misura

Il risultato di un analisi chimica è un informazione costituita da: un numero un incertezza un unità di misura Il risultato di un analisi chimica è un informazione costituita da: un numero un incertezza un unità di misura Conversione del risultato in informazione utile È necessario fare alcune considerazioni sul

Dettagli

Corso di Macroeconomia. Il modello IS-LM. Appunti

Corso di Macroeconomia. Il modello IS-LM. Appunti Corso di Macroeconomia Il modello IS-LM Appunti 1 Le ipotesi 1. Il livello dei prezzi è fisso. 2. L analisi è limitata al breve periodo. La funzione degli investimenti A differenza del modello reddito-spesa,

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

2 + (σ2 - ρσ 1 ) 2 > 0 [da -1 ρ 1] b = (σ 2. 2 - ρσ1 σ 2 ) = (σ 1

2 + (σ2 - ρσ 1 ) 2 > 0 [da -1 ρ 1] b = (σ 2. 2 - ρσ1 σ 2 ) = (σ 1 1 PORTAFOGLIO Portafoglio Markowitz (2 titoli) (rischiosi) due titoli rendimento/varianza ( μ 1, σ 1 ), ( μ 2, σ 2 ) Si suppone μ 1 > μ 2, σ 1 > σ 2 portafoglio con pesi w 1, w 2 w 1 = w, w 2 = 1- w 1

Dettagli

Rischio e rendimento degli strumenti finanziari

Rischio e rendimento degli strumenti finanziari Finanza Aziendale Analisi e valutazioni per le decisioni aziendali Rischio e rendimento degli strumenti finanziari Capitolo 15 Indice degli argomenti 1. Analisi dei rendimenti delle principali attività

Dettagli

Dato il Mercato, è possibile individuare il valore e la duration del portafoglio:

Dato il Mercato, è possibile individuare il valore e la duration del portafoglio: TEORIA DELL IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA Con il termine immunizzazione finanziaria si intende una metodologia matematica finalizzata a neutralizzare gli effetti della variazione del tasso di valutazione

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

lezione 18 AA 2015-2016 Paolo Brunori

lezione 18 AA 2015-2016 Paolo Brunori AA 2015-2016 Paolo Brunori Previsioni - spesso come economisti siamo interessati a prevedere quale sarà il valore di una certa variabile nel futuro - quando osserviamo una variabile nel tempo possiamo

Dettagli

www.cicliemercati.it Tutti i diritti riservati Pag. 1

www.cicliemercati.it Tutti i diritti riservati Pag. 1 LA MATRICE DEI MERCATI DESCRIZIONE E UTILIZZO PER L INVESTITORE DESCRIZIONE La Matrice è basata su un algoritmo genetico proprietario che permette di individuare e visualizzare, a seconda delle preferenze

Dettagli

Tabella per l'analisi dei risultati

Tabella per l'analisi dei risultati Vai a... UniCh Test V_Statistica_Eliminatorie Quiz V_Statistica_Eliminatorie Aggiorna Quiz Gruppi visibili Tutti i partecipanti Info Anteprima Modifica Risultati Riepilogo Rivalutazione Valutazione manuale

Dettagli

STUDIO DI SETTORE TK16U

STUDIO DI SETTORE TK16U ALLEGATO 7 NOTA TECNICA E METODOLOGICA EVOLUZIONE STUDIO DI SETTORE TK16U NOTA TECNICA E METODOLOGICA CRITERI PER LA COSTRUZIONE DELLO STUDIO DI SETTORE L evoluzione dello Studio di Settore ha il fine

Dettagli

STATISTICA INFERENZIALE

STATISTICA INFERENZIALE STATISTICA INFERENZIALE Premessa importante: si ipotizza che il comportamento della popolazione rispetto ad una variabile casuale X viene descritto attraverso una funzione parametrica di probabilità p

Dettagli

Finanza Aziendale. Teoria delle opzioni, metodologie di valutazione e implicazioni per la finanza aziendale. BMAS Capitolo 20

Finanza Aziendale. Teoria delle opzioni, metodologie di valutazione e implicazioni per la finanza aziendale. BMAS Capitolo 20 Finanza Aziendale Teoria delle opzioni, metodologie di valutazione e implicazioni per la finanza aziendale BMAS Capitolo 20 1 Le opzioni nei mercati reali e finanziari Si dicono opzioni i contratti finanziari

Dettagli

ANALISI COSTI-BENEFICI

ANALISI COSTI-BENEFICI ANALISI COSTI-BENEFICI ANALISI COSTI BENEFICI Fondamento dell ANALISI COSTI BENEFICI è l idea che un progetto o una politica possono essere considerati validi dal punto di vista della società se i benefici

Dettagli

ANALISI DEI DATI PER IL MARKETING 2014

ANALISI DEI DATI PER IL MARKETING 2014 ANALISI DEI DATI PER IL MARKETING 2014 Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it RIPASSO SULLE MATRICI 1 Addizione tra matrici Moltiplicazione Matrice diagonale Matrice identità Matrice trasposta

Dettagli

Economia dei mercati mobiliari

Economia dei mercati mobiliari pag. 1 1 Cos'è un currency future? A) È un contratto che rappresenta l'impegno alla cessione o all'acquisto a termine di una quantità di valuta B) È un contratto in cui una parte acquisisce la facoltà

Dettagli

Capitolo IV. I mercati finanziari

Capitolo IV. I mercati finanziari Capitolo IV. I mercati finanziari 2 I MERCATI FINANZIARI OBIETTIVO: SPIEGARE COME SI DETERMINANO I TASSI DI INTERESSE E COME LA BANCA CENTRALE PUO INFLUENZARLI LA DOMANDA DI MONETA DETERMINAZIONE DEL TASSO

Dettagli

Un introduzione all analisi Monte Carlo in Finanza

Un introduzione all analisi Monte Carlo in Finanza ASSOCIAZIONE ITALIANA FINANCIAL RISK MANAGEMENT Un introduzione all analisi Monte Carlo in Finanza Stefano Fabi Working Paper, 1/01/98 Presidenza: Fernando Metelli - Banca Popolare di Milano, Via Fara

Dettagli

Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano

Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano Esercizio 1 Nella seguente tabella è riportata la distribuzione di frequenza dei prezzi per camera di alcuni agriturismi, situati nella regione Basilicata.

Dettagli

Strategie α nella costruzione di portafoglio. 03 Maggio 2012

Strategie α nella costruzione di portafoglio. 03 Maggio 2012 Strategie α nella costruzione di portafoglio 03 Maggio 2012 AGENDA La costruzione di portafoglio Le strategie alpha Il portafoglio con strategie alpha LA COSTRUZIONE DI UN PORTAFOGLIO FINANZIARIO Un portafoglio

Dettagli

IV. ANALISI DI SENSITIVITÀ

IV. ANALISI DI SENSITIVITÀ IV. ANALISI DI SENSITIVITÀ IV.1 SENSITIVITÀ ALLA CRESCITA ECONOMICA La sensitività della finanza pubblica italiana alla crescita economica è valutata simulando il comportamento dell indebitamento netto

Dettagli

ESERCITAZIONE MATEMATICA FINANZIARIA OPZIONI. Matematica finanziaria Dott. Andrea Erdas Anno Accademico 2011/2012

ESERCITAZIONE MATEMATICA FINANZIARIA OPZIONI. Matematica finanziaria Dott. Andrea Erdas Anno Accademico 2011/2012 ESERCITAZIONE MATEMATICA FINANZIARIA 1 OPZIONI 2 LE OPZIONI Le opzioni sono contratti che forniscono al detentore il diritto di acquistare o vendere una certa quantità del bene sottostante a una certa

Dettagli

Il rischio di mercato Le tipologie, le metodologie di gestione, i requisiti patrimoniali. Giuseppe G. Santorsola

Il rischio di mercato Le tipologie, le metodologie di gestione, i requisiti patrimoniali. Giuseppe G. Santorsola Il rischio di mercato Le tipologie, le metodologie di gestione, i requisiti patrimoniali 1 Una definizione I rischi di mercato si manifestano quando le variazioni dei fattori di mercato hanno delle conseguenze

Dettagli

Rischi in Finanza. Rischi finanziari. Rischi puri. Rischi sistematici. Rischi non sistematici

Rischi in Finanza. Rischi finanziari. Rischi puri. Rischi sistematici. Rischi non sistematici Rischi in Finanza Rischi puri Rischi finanziari Rischi sistematici Rischi non sistematici Rischi non sistematici I rischi non sistematici sono rischi specifici Tipologie di rischi specifico più frequenti:

Dettagli

Inferenza statistica I Alcuni esercizi. Stefano Tonellato

Inferenza statistica I Alcuni esercizi. Stefano Tonellato Inferenza statistica I Alcuni esercizi Stefano Tonellato Anno Accademico 2006-2007 Avvertenza Una parte del materiale è stato tratto da Grigoletto M. e Ventura L. (1998). Statistica per le scienze economiche,

Dettagli

STUDIO DI SETTORE SG42U

STUDIO DI SETTORE SG42U ALLEGATO 2 NOTA TECNICA E METODOLOGICA STUDIO DI SETTORE SG42U NOTA TECNICA E METODOLOGICA CRITERI PER LA COSTRUZIONE DELLO STUDIO DI SETTORE Di seguito vengono esposti i criteri seguiti per la costruzione

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5) INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI

Dettagli

M. Massari, L. Zanetti, Valutazione. Fondamenti teorici e best practice nel settore industriale e finanziario, Mc Graw Hill, 2008

M. Massari, L. Zanetti, Valutazione. Fondamenti teorici e best practice nel settore industriale e finanziario, Mc Graw Hill, 2008 M. Massari, L. Zanetti, Valutazione. Fondamenti teorici e best practice nel settore industriale e finanziario, Mc Graw Hill, 2008 CAP. 5 (2a PARTE) LA STIMA DEL COSTO OPPORTUNITA DEL CAPITALE 1 LA STIMA

Dettagli

Esercitazione n.2 Inferenza su medie

Esercitazione n.2 Inferenza su medie Esercitazione n.2 Esercizio L ufficio del personale di una grande società intende stimare le spese mediche familiari dei suoi impiegati per valutare la possibilità di attuare un programma di assicurazione

Dettagli

Dipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici. Università degli Studi di Bari Aldo Moro. Corso di Macroeconomia 2014

Dipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici. Università degli Studi di Bari Aldo Moro. Corso di Macroeconomia 2014 Dipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici Università degli Studi di Bari Aldo Moro Corso di Macroeconomia 2014 1. Assumete che = 10% e = 1. Usando la definizione di inflazione attesa

Dettagli

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE Se il coefficiente di correlazione r è prossimo a 1 o a -1 e se il diagramma di dispersione suggerisce una relazione di tipo lineare, ha senso determinare l equazione

Dettagli

Introduzione alle opzioni

Introduzione alle opzioni Introduzione alle opzioni Tipi di Opzioni La call è un opzione di acquisto La put è un opzione di vendita Le opzioni europee possono essere esercitate solo alla scadenza Le opzioni americane possono essere

Dettagli

Finanza Aziendale. Lezione 13. Introduzione al costo del capitale

Finanza Aziendale. Lezione 13. Introduzione al costo del capitale Finanza Aziendale Lezione 13 Introduzione al costo del capitale Scopo della lezione Applicare la teoria del CAPM alle scelte di finanza d azienda 2 Il rischio sistematico E originato dalle variabili macroeconomiche

Dettagli

1 IL RISCHIO: INTRODUZIONE.2 2 LA VOLATILITA.4

1 IL RISCHIO: INTRODUZIONE.2 2 LA VOLATILITA.4 IL RISCHIO 1 IL RISCHIO: INTRODUZIONE.2 2 LA VOLATILITA.4 2.1 La volatilità storica... 4 2.2 Altri metodi di calcolo... 5 3 LA CORRELAZIONE..6 4 IL VALUE AT RISK....8 4.1 I metodi analitici... 9 4.2 La

Dettagli

Università di Firenze - Corso di laurea in Statistica Seconda prova intermedia di Statistica. 18 dicembre 2008

Università di Firenze - Corso di laurea in Statistica Seconda prova intermedia di Statistica. 18 dicembre 2008 Università di Firenze - Corso di laurea in Statistica Seconda prova intermedia di Statistica 18 dicembre 008 Esame sull intero programma: esercizi da A a D Esame sulla seconda parte del programma: esercizi

Dettagli

Lezione 8 (Capitolo 12 De Long)

Lezione 8 (Capitolo 12 De Long) Lezione 8 (Capitolo 12 De Long) Curva di Phillips e aspettative R. Capolupo- Macro 2 1 Legame tra modello a prezzi vischiosi e quello a prezzi flessibili Il passaggio dal modello a prezzi vischiosi al

Dettagli

Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete

Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete 1) Cosa intendiamo, esattamente, quando parliamo di funzione reale di due variabili reali? Quando esiste una relazione fra tre variabili reali

Dettagli

Capitolo 20: Scelta Intertemporale

Capitolo 20: Scelta Intertemporale Capitolo 20: Scelta Intertemporale 20.1: Introduzione Gli elementi di teoria economica trattati finora possono essere applicati a vari contesti. Tra questi, due rivestono particolare importanza: la scelta

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi :

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi : Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Analisi dei dati quantitativi : Confronto tra due medie Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in

Dettagli

LA PREVISIONE DELLA DOMANDA. Corso di Gestione della Produzione prof. De Toni, ing. Fornasier 1

LA PREVISIONE DELLA DOMANDA. Corso di Gestione della Produzione prof. De Toni, ing. Fornasier 1 LA PREVISIONE DELLA DOMANDA Corso di Gestione della Produzione prof. De Toni, ing. Fornasier 1 MANUFACTURING PLANNING & CONTROL SYSTEM Resource planning Production planning Demand management Master production

Dettagli

Trading System Report

Trading System Report Volume 1 of 12 th August 2013 Trading System Report Analysis of Dax Advantix This analysis is derived from a statistical study of the results obtained from the time series considered. It aims to analyze

Dettagli

TURBO Certificate Long & Short

TURBO Certificate Long & Short TURBO Certificate Long & Short Fai scattare la leva dei tuoi investimenti x NEGOZIABILI SUL MERCATO SEDEX DI BORSA ITALIANA Investi a Leva su indici e azioni! Scopri i vantaggi dei TURBO Long e Short Certificate

Dettagli

Esercitazione n.1 (v.c. Binomiale, Poisson, Normale)

Esercitazione n.1 (v.c. Binomiale, Poisson, Normale) Esercizio 1. Un azienda produce palline da tennis che hanno probabilità 0,02 di essere difettose, indipendentemente l una dall altra. La confezione di vendita contiene 8 palline prese a caso dalla produzione

Dettagli