I modelli di simulazione

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1 Slides tratte da: Andrea Resti Andrea Sironi Rischio e valore nelle banche Misura, regolamentazione, gestione Egea, 2008

2 AGENDA Le simulazioni storiche L approccio ibrido Le simulazioni storiche filtrate Le simulazioni Monte Carlo Esercizi 2

3 derivano il VaR simulando un grande numero di scenari riguardanti la possibile evoluzione futura dei mercati L approccio della simulazione è dunque più dispendioso in termini di tempo e capacità di calcolo ma è spesso più accurato Full valuation Tre caratteristiche principali Logica del percentile Maggiore flessibilità 3

4 full valuation L approccio varianze-covarianze stima la variazione di valore di un portafoglio attraverso un sistema di coefficienti di sensibilità, solitamente lineari Nei modelli di simulazione il valore di mercato del portafoglio di cui si intende stimare il VaR viene completamente ricalcolato, mediante opportune formule di pricing ( full valuation ) Ad esempio, invece di stimare l effetto di un rialzo dei tassi sul valore di un titolo obbligazionario sulla base della duration modificata si procede a ricalcolare il nuovo prezzo del titolo con il nuovo livello di tassi. L approccio della simulazione richiede di conoscere un opportuna formula di pricing per tutti gli strumenti inseriti nel portafoglio Se le formule di pricing usate sono corrette, i modelli di simulazione non restituiscono variazioni del valore del portafoglio approssimate, ma esatte 4

5 full valuation azioni tassi materie prime cambi 1. Fattori di rischio: Si genera un elevato numero di scenari relativi a variazioni dei fattori di mercato, basati sulle variazioni passate (simulazione storica) o su una determinata (ad es. normale) distribuzione teorica (simulazione Monte Carlo) 2. Portafoglio: 3. Misure di rischio: Ogni scenario è tradotto in una variazione di valore simulata per il portafoglio della banca, di solito attraverso la logica della full valuation ed un insieme di formule di pricing appropriate. Il VaR (o altre misure di rischio) viene derivato dalla distribuzione delle variazioni di valore simulate del portafoglio, ad esempio individuando l opportuno percentile In linea teorica, è possibile applicare la logica della simulazione e continuare a utilizzare la tecnica dei coefficienti di sensibilità 5

6 logica del percentile Nei modelli di simulazione, dopo aver generato la distribuzione di probabilità degli N possibili valori futuri del portafoglio, il VaR viene stimato tagliando tale distribuzione empirica in corrispondenza del percentile associato al livello di confidenza desiderato Ad esempio, dati valori simulati del portafoglio, il VaR al 95% viene calcolato prendendo il 5 percentile (cioè la 501-esima osservazione partendo dalla peggiore) L utilizzo della distribuzione di probabilità simulata dei valori del portafoglio risolve il problema della non-normalità della distribuzione delle perdite future. La distribuzione simulata può assumere qualsiasi forma Il taglio della distribuzione fa superare i problemi legati alla non monotonicità della relazione tra fattore di mercato e portafoglio. I valori del portafoglio sono ordinati dal migliore al peggiore, indipendentemente dal movimento del fattore di mercato che li ha generati 6

7 maggiore flessibilità Per tenere in considerazione il problema delle code spesse, in alcuni modelli parametrici viene aumentato arbitrariamente il multiplo della deviazione standard prescelto non costringono a utilizzare una distribuzione normale per modellare le variazioni dei fattori di mercato le simulazioni storiche generano gli scenari relativi ai fattori di rischio a partire dalla distribuzione empirica delle variazioni passate dei fattori di mercato le simulazioni Monte Carlo richiedono invece che venga definita una distribuzione con cui generare le simulazioni. Essa deve rispecchiare le caratteristiche empiriche delle distribuzioni delle variazioni dei fattori di mercato e prestarsi alla generazione di simulazioni casuali 7

8 maggiore flessibilità Problemi La simulazione Monte Carlo se usata con la distribuzione normale non rispecchia totalmente la distribuzione delle variazioni dei fattori di mercato. L approccio dello stress testing invece si concentra solo su pochi scenari particolarmente sfavorevoli Non linearità dei payoff Non normalità dei rendimenti di mercato a) Full valuation Caratteristiche dell'approccio di simulazione c) Simulazione con distribuzioni non necessariamente normali b) Approccio Simulazione Monte Carlo del percentile Simulazione storica Con distribuzioni non-normali Con distribuzioni normali Legenda: = risolve il problema; = non risolve il problema 8

9 Le simulazioni storiche Nel modello di simulazione storica si ipotizza che le potenziali variazioni dei fattori di mercato siano ben rappresentate dalla loro distribuzione empirica si ipotizza che la distribuzione delle variazioni dei fattori di rischio sia stabile nel tempo Principali passaggi di una simulazione storica Fase Attività 1 Selezione di un campione di rendimenti (ad esempio giornalieri) del fattore o dei fattori di mercato rilevanti, relativo a un determinato periodo storico (ad esempio 250 giorni). 2 Rivalutazione della singola posizione o del portafoglio in corrispondenza di ognuno dei valori storici dei rendimenti del fattore di mercato. 3 Ricostruzione della distribuzione empirica di frequenza dei valori della posizione/portafoglio così ottenuti. 4 Taglio della distribuzione in corrispondenza del percentile relativo al livello di confidenza desiderato. 5 La differenza tra tale percentile ed il valore corrente del portafoglio rappresenta il VaR 9

10 Esempio il VaR di una singola posizione POSIZIONE: Opzione call, strike pari a e vita residua di tre mesi, sull indice S&P500. Il valore corrente dell opzione è pari a circa 2,30 dollari Il campione storico di riferimento sono 500 rendimenti giornalieri fra il 1 gennaio 2003 e il 28 dicembre Nella tabella della slide successiva vengono presentati soltanto i primi 20 e gli ultimi 20 dati, a sinistra ordinati cronologicamente mentre a destra dal peggiore al migliore. La sesta colonna indica i valori che l indice S&P500 potrebbe assumere l indomani se, partendo dal valore corrente (1.213,54 dollari) subisse una variazione logaritmica pari a quella indicata nella colonna precedente La settima colonna indica quale sarebbe, dato questo nuovo valore del sottostante, il nuovo valore di mercato dell opzione 10

11 Valori simulati ($) per la call Rischio e valore nelle banche Esempio il VaR di una singola posizione Dati in ordine cronologico Rendimento logaritmico giornaliero del S&P 500 Dati ordinati in base ai rendimenti logaritmici giornalieri Rendimento logaritmico giornaliero del S&P 500 Valore simulato dell indice S&P500 Valore simulato nella call Variazione nel valore della call Rang Data S&P500 o 03/01/ ,6 0,0% 1-3,6% 1170,8 0,18-2,11 06/01/ ,0 2,2% 2-3,0% 1178,1 0,30-2,00 07/01/ ,9-0,7% 3-2,6% 1182,2 0,39-1,90 08/01/ ,9-1,4% 4-2,5% 1183,3 0,42-1,88 09/01/ ,6 1,9% 5-2,3% 1185,8 0,49-1,80 10/01/ ,6 0,0% 6-1,9% 1190,4 0,65-1,65 13/01/ ,3-0,1% 7-1,9% 1191,2 0,68-1,61 14/01/ ,7 0,6% 8-1,8% 1192,0 0,72-1,58 15/01/ ,2-1,5% 9-1,8% 1192,1 0,72-1,58 16/01/ ,6-0,4% 10-1,6% 1193,7 0,79-1,50 17/01/ ,8-1,4% 11-1,6% 1193,9 0,80-1,50 21/01/ ,6-1,6% 12-1,6% 1194,5 0,83-1,47 22/01/ ,4-1,0% 13-1,6% 1194,7 0,84-1,46 23/01/ ,3 1,0% 14-1,6% 1194,8 0,84-1,46 24/01/ ,4-3,0% 15-1,5% 1194,9 0,85-1,45 27/01/ ,5-1,6% 16-1,5% 1195,1 0,85-1,44 28/01/ ,5 1,3% 17-1,5% 1195,1 0,86-1,44 29/01/ ,4 0,7% 18-1,5% 1195,4 0,87-1,43 30/01/ ,6-2,3% 19-1,5% 1195,8 0,89-1,41 31/01/ ,7 1,3% 20-1,5% 1195,8 0,89-1,40 30/11/ ,8-0,4% 481 1,6% 1233,1 5,44 3,15 01/12/ ,4 1,5% 482 1,6% 1233,1 5,46 3,16 02/12/ ,3-0,1% 483 1,6% 1233,2 5,48 3,18 03/12/ ,2 0,1% 484 1,6% 1233,4 5,51 3,22 06/12/ ,3-0,1% 485 1,7% 1234,7 5,80 3,50 07/12/ ,1-1,1% 486 1,8% 1235,2 5,92 3,63 08/12/ ,8 0,5% 487 1,9% 1236,6 6,26 3,96 09/12/ ,2 0,5% 488 1,9% 1237,1 6,38 4,08 10/12/ ,0-0,1% 489 1,9% 1237,2 6,41 4,11 13/12/ ,7 0,9% 490 1,9% 1237,2 6,41 4,12 14/12/ ,4 0,4% 491 1,9% 1237,3 6,43 4,14 15/12/ ,7 0,2% 492 2,1% 1239,6 7,02 4,72 16/12/ ,2-0,2% 493 2,1% 1239,9 7,11 4,81 17/12/ ,2-0,8% 494 2,2% 1240,7 7,32 5,02 20/12/ ,7 0,0% 495 2,2% 1240,7 7,33 5,03 21/12/ ,5 0,9% 496 2,2% 1240,8 7,36 5,06 22/12/ ,6 0,3% 497 2,3% 1241,4 7,53 5,23 23/12/ ,1 0,0% 498 2,6% 1245,2 8,66 6,36 27/12/ ,9-0,4% 499 3,4% 1255,4 12,23 9,93 28/12/ ,5 0,7% 500 3,5% 1256,5 12,70 10,40 14,00 12,00 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 A valori estremi dei rendimenti del fattore di mercato corrispondono valori estremi dell opzione: la relazione tra il valore di una call e quello del suo sottostante, anche se non lineare, è monotona 1160, , , , , , ,00 Valori simulati ($) per l'indice S&P500 11

12 -2,5 / -2,0-2,0 / -1,5-1,5 / -1,0-1,0 / -0,5-0,5 / 0,0 0,0 / 0,5 0,5 / 1,0 1,0 / 1,5 1,5 / 2,0 2,0 / 2,5 2,5 / 3,0 3,0 / 3,5 3,5 / 4,0 4,0 / 4,5 4,5 / 5,0 5,0 / 5,5 5,5 / 6,0 6,0 / 6,5 6,5 / 7,0 7,0 / 7,5 7,5 / 8,0 8,0 / 8,5 8,5 / 9,0 9,0 / 9,5 9,5 / 10,0 10,0 / 10,5 10,5 / 11,0 11,0 / 11,5 11,5 / 12,0 12,0 / 12,5 Percemtiale di casi Rischio e valore nelle banche Esempio il VaR di una singola posizione Il VaR (livello di confidenza pari al 99%) è pari a 1,65 dollari sesta variazione negativa più rilevante del valore di mercato dell opzione Se la banca avesse una posizione corta, il VaR andrebbe calcolato utilizzando le variazioni positive del valore di mercato dell opzione. In questo caso il VaR corrispondente al 99% di confidenza è 5,03 dollari 25% 20% I valori di VaR relativi a una posizione lunga sono meno elevati di quelli corrispondenti a una corta. La distribuzione è infatti asimmetrica e presenta una coda destra più pronunciata 15% 10% 5% 0% Variazione di valore della call ($)

13 Esempio la stima del VaR di portafoglio PORTAFOGLIO: azioni appartenenti in egual misura al FTSE 100, al DAX e all S&P500. Nella tabella della slide successiva vengono riportati i rendimenti giornalieri (100) dal 22 luglio all 8 dicembre 2004, dei tre indici. La colonna Media contiene il rendimento di un portafoglio composto in uguale misura dalle azioni dei tre mercati nazionali. Le prime colonne sono in ordine cronologico, mentre la parte destra della tabella è ordinata con riferimento al rendimento medio dei tre indici Anche in questo caso il VaR corrispondente ai differenti livelli di confidenza è ottenuto seguendo la logica del percentile Per semplicità vengono riportati solo i primi dieci e gli ultimi dieci dati. 13

14 Esempio la stima del VaR di portafoglio Rendimenti logaritmici giornalieri in ordine cronologico Dati ordinati in base ai rendimenti logaritmici giornalieri S&P50 S&P50 Data FTSE100 DAX 0 Media Rank FTSE100 DAX 0 Media 22/07/2004-1,6% -2,0% 0,3% -1,1% 1-1,7% -2,7% -1,6% -2,0% 23/07/2004 0,5% -0,1% -1,0% -0,2% 2-1,6% -2,0% 0,3% -1,1% 26/07/2004-0,9% -1,2% -0,2% -0,8% 3-1,1% -2,1% -0,1% -1,1% 27/07/2004 0,9% 1,6% 1,0% 1,2% 4-0,9% -1,1% -1,1% -1,0% 28/07/2004 0,7% -0,2% 0,1% 0,2% 5-0,3% -1,2% -1,4% -1,0% 29/07/2004 1,4% 2,1% 0,5% 1,3% 6-0,8% -1,5% -0,2% -0,8% 30/07/2004-0,1% 0,2% 0,1% 0,0% 7-0,8% -0,9% -0,6% -0,8% 02/08/2004 0,1% -0,8% 0,4% -0,1% 8-0,9% -1,1% -0,3% -0,8% 03/08/2004 0,3% 0,4% -0,6% 0,0% 9-0,9% -1,2% -0,2% -0,8% 04/08/2004-0,5% -1,4% -0,1% -0,7% 10-0,8% -1,3% 0,0% -0,7% 25/11/2004 0,7% 0,8% 0,0% 0,5% 91 1,1% 1,3% 0,0% 0,8% 26/11/2004-0,3% -0,1% 0,1% -0,1% 92 0,5% 1,6% 0,6% 0,9% 29/11/2004 0,2% -0,2% -0,3% -0,1% 93 0,9% 1,0% 0,9% 0,9% 30/11/2004-1,0% -0,5% -0,4% -0,6% 94 0,8% 0,8% 1,3% 1,0% 01/12/2004 0,7% 1,4% 1,5% 1,2% 95 0,9% 1,6% 1,0% 1,2% 02/12/2004 0,3% 0,7% -0,1% 0,3% 96 0,7% 1,4% 1,5% 1,2% 03/12/2004-0,1% -0,2% 0,1% -0,1% 97 1,1% 1,4% 1,4% 1,3% 06/12/2004-0,5% -0,4% -0,1% -0,3% 98 1,0% 1,7% 1,3% 1,3% 07/12/2004 0,1% 0,4% -1,1% -0,2% 99 1,4% 2,1% 0,5% 1,3% 08/12/2004-0,5% -0,3% 0,5% -0,1% 100 1,9% 2,6% 1,5% 2,0% Posizione corta: VaR (99%)=1,1% VaR(95%)=0,8% Posizione Lunga VaR (99%)=1,3% VaR (95%)=1,2% 14

15 Un confronto simulazioni storiche / approccio varianze - covarianze Il modello di simulazione storica è una tecnica non parametrica: non specifica alcuna forma funzionale della distribuzione delle variazioni dei fattori di mercato e non richiede di stimarne i parametri È possibile applicare l approccio varianze covarianze ai 100 rendimenti dell esempio precedente Deviazione standard dei rendimenti del portafoglio simulato = 0,65% Varianze / covarianze Simulazione storica VaR al 95% - posizione lunga 1,03% 0,85% VaR al 99% - posizione lunga 1,46% 1,12% VaR al 95% - posizione corta 1,03% 1,2% VaR al 99% - posizione corta 1,46% 1,3% Media 0,00% 0,08% Deviazione standard 0,63% 0,63% Asimmetria (skewness) 0,000-0,013 Curtosi in eccesso 0,000 0,868 15

16 Un confronto simulazioni storiche / approccio varianze - covarianze Chi utilizza questa metodologia sostiene che essa abbia una maggior capacità di cogliere le code spesse delle distribuzioni come si vede dalla tabella però, le simulazioni storiche non producono sempre stime di VaR più elevate e dunque più prudenti Confrontando la distribuzione storica dei rendimenti e la distribuzione normale con media nulla e deviazione standard pari a 0,63% si osserva che, per intervalli di confidenza sufficientemente ampi, la distribuzione assume effettivamente code più spesse Mentre variazioni di valore nell ordine del 2% (in più o in meno) sono virtualmente impossibili per la distribuzione normale, esse si sono effettivamente verificate nel passato, anche se in una porzione di casi modesta 16

17 -2,1%/-1,9% -1,9%/-1,7% -1,7%/-1,5% -1,5%/-1,3% -1,3%/-1,1% -1,1%/-0,9% -0,9%/-0,7% -0,7%/-0,5% -0,5%/-0,3% -0,3%/-0,1% -0,1%/0,1% 0,1%/0,3% 0,3%/0,5% 0,5%/0,7% 0,7%/0,9% 0,9%/1,1% 1,1%/1,3% 1,3%/1,5% 1,5%/1,7% 1,7%/1,9% 1,9%/2,1% Percentale di casi Rischio e valore nelle banche Un confronto simulazioni storiche / approccio varianze - covarianze 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% Le code grasse della distribuzione storica risultano confermate dall indice di curtosi della distribuzione storica (slide 16) La minore o maggiore prudenza di una metodologia rispetto a un altra dipende dalla forma funzionale della distribuzione storica dei rendimenti 0% Variazione nel valore del portafoglio azionario ($) Essendo in questo caso ottenuta come somma della distribuzione dei rendimenti di tre diversi fattori di mercato, non è poi molto diversa da una normale 17

18 Pregi e limiti delle simulazioni storiche 4 VANTAGGI 1. È una metodologia facilmente comprensibile e comunicabile fra le varie unità di una banca oltre che all'alta Direzione Rappresenta infatti la perdita che si otterrebbe se le condizioni passate dovessero ripetersi in futuro 2.Non viene richiesto di esplicitare alcuna ipotesi circa la forma funzionale della distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato. L unica ipotesi (implicita) è che la distribuzione dei rendimenti futuri sia correttamente approssimata dalla distribuzione storica 3.Non è necessario stimare la matrice varianze-covarianze dei fattori di mercato. Le simulazioni storiche catturano la struttura delle correlazioni riflessa nelle variazioni congiunte dei fattori di mercato e ipotizzano che rimangano costanti nel futuro 4. Essendo basate sulla full valuation, consentono di cogliere il rischio di portafogli la cui sensibilità alle variazioni dei fattori di mercato è non lineare o non monotona 18

19 Pregi e limiti delle simulazioni storiche 3 LIMITI: 1.Onerosità dei calcoli necessari per rivalutare l'intero portafoglio: possono richiedere tempi troppo lunghi rispetto alle esigenze di quantificazione del rischio connesse all'attività di trading di una banca. Questo limite è venuto diminuendo di importanza in seguito al continuo progresso della potenza di calcolo dei computer 2.Le simulazioni storiche ipotizzano implicitamente la stabilità temporale (stazionarietà) della distribuzione di probabilità. Se la distribuzione (non osservabile) dei rendimenti è eteroschedastica, allora la distribuzione empirica è un ibrido di realizzazioni di variabili diversamente distribuite con scarso significato sia concettuale che operativo segue sulla slide 21 19

20 Pregi e limiti delle simulazioni storiche 3.Limitatezza delle serie storiche disponibili, specie se l orizzonte temporale prescelto è superiore a un giorno. Ciò si traduce in una scarsa definizione delle code della distribuzione. Incrementare la lunghezza della serie storica di riferimento può essere controproducente perché diviene più probabile che sia violata l ipotesi di stabilità della distribuzione trade-off tra stabilità e rappresentatività Le simulazioni storiche producono misure di VaR poco reattive alle variazioni delle condizioni dei mercati. Il VaR cambia quando si presenta un rendimento superiore (in valore assoluto) al percentile prescelto o quando quest ultimo esce dal campione È un pregio e un difetto il VaR risulta più stabile il VaR può risultare poco aggiornato 20

21 L approccio ibrido L approccio ibrido, cerca di combinare i pregi dei due approcci, varianzecovarianze e simulazioni storiche Si applicano ponderazioni esponenzialmente decrescenti alla serie dei rendimenti e non viene formulata alcuna ipotesi relativa alla forma funzionale della distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato Si utilizza una serie storica di riferimento relativamente lunga ma viene attribuito un peso più elevato ai dati più vicini nel tempo A ogni osservazione passata viene assegnata una ponderazione tanto maggiore quanto più recente è la stessa osservazione (logica simile alle medie mobili esponenziali) i Date n osservazioni storiche, da t-1 a t-n : w t i con n 0 1 i Ponderazione assegnata a ogni osservazione storica i1 21

22 L approccio ibrido Quanto minore è il valore di lambda, tanto maggiore è la velocità di decrescita della ponderazione Il VaR viene ottenuto tagliando la distribuzione empirica in corrispondenza del valore a cui è associata una ponderazione cumulata corrispondente al livello di confidenza desiderato I singoli rendimenti non contribuiscono alla determinazione del VaR solo in funzione della relativa intensità, ma anche in base relativa lontana/vicinanza temporale Riprendiamo l esempio della slide 15 (portafoglio azionario) e riportiamo i dati di rendimento nella slide successiva A ogni dato di rendimento storico è associata una ponderazione che decresce in modo esponenziale, con un λ pari a 0,94 L ultima colonna riporta la ponderazione cumulata corrispondente a ogni dato di rendimento 22

23 L approccio ibrido Data Rendimenti logaritmici giornalieri in ordine cronologico t - i Rendimenti simulati del portafoglio Pesi w i ( i /S i ) Data Dati ordinati in base ai rendimenti logaritmici giornalieri t - i Rendimenti simulati del portafoglio Pesi w i ( i /S i ) Pesi cumulati (Sw i ) 22/07/2004 t ,12% 0,01% 06/08/2004 t ,99% 0,03% 0,03% 23/07/2004 t ,20% 0,01% 22/07/2004 t ,12% 0,01% 0,04% 26/07/2004 t ,76% 0,01% 25/10/2004 t ,09% 0,83% 0,87% 27/07/2004 t ,16% 0,02% 19/11/2004 t ,04% 2,69% 3,56% 28/07/2004 t ,20% 0,02% 22/09/2004 t ,99% 0,20% 3,76% 29/07/2004 t ,34% 0,02% 12/10/2004 t ,85% 0,48% 4,23% 30/07/2004 t ,05% 0,02% 27/09/2004 t ,78% 0,24% 4,48% 02/08/2004 t ,12% 0,02% 11/08/2004 t ,77% 0,03% 4,51% 03/08/2004 t ,02% 0,02% 26/07/2004 t ,76% 0,01% 4,52% 04/08/2004 t ,66% 0,02% 20/10/2004 t ,70% 0,69% 5,21% 05/08/2004 t ,46% 0,02% 04/08/2004 t ,66% 0,02% 5,23% 25/11/2004 t ,52% 3,45% 01/11/2004 t ,80% 1,13% 90,01% 26/11/2004 t - 9-0,11% 3,66% 17/11/2004 t ,89% 2,38% 92,38% 29/11/2004 t - 8-0,12% 3,90% 11/11/2004 t ,94% 1,86% 94,24% 30/11/2004 t - 7-0,63% 4,15% 10/08/2004 t ,98% 0,03% 94,27% 01/12/2004 t - 6 1,21% 4,41% 27/07/2004 t ,16% 0,02% 94,28% 02/12/2004 t - 5 0,32% 4,69% 01/12/2004 t - 6 1,21% 4,41% 98,70% 03/12/2004 t - 4-0,06% 4,99% 16/08/2004 t ,30% 0,04% 98,73% 06/12/2004 t - 3-0,32% 5,31% 27/10/2004 t ,34% 0,94% 99,67% 07/12/2004 t - 2-0,18% 5,65% 29/07/2004 t ,34% 0,02% 99,69% 08/12/2004 t - 1-0,10% 6,01% 01/10/2004 t ,01% 0,31% 100,00% La ponderazione cumulata subisce un salto da 0,87% a 3,56% in corrispondenza del passaggio dal nono al decimo maggior (in valore assoluto) rendimento negativo. Seguendo un criterio prudenziale: VaR(99%)=1,09% 23

24 L approccio ibrido In alternativa si può utilizzare un interpolazione lineare: (3,56% 1%) (1% 0,87%) VaR99 % 1,09% 1,04% 1,088% (3,56% 0,87%) (3,56% 0,87%) Confronto metodo delle simulazioni storiche e approccio ibrido Simulazione storica Simulazione ibrida VaR al 95% - posizione lunga 0,85% 0,72% VaR al 99% - posizione lunga 1,12% 1,09% VaR al 95% - posizione corta 1,16% 1,17% VaR al 99% - posizione corta 1,34% 1,31% In questo caso l approccio ibrido da luogo, per la posizione lunga, a misure di rischio leggermente più contenute le riduzioni più pronunciate dei fattori di mercato si sono verificate nella parte iniziale del campione 24

25 L approccio ibrido In definitiva l approccio ibrido combina i pregi delle simulazioni storiche con i vantaggi propri della tecnica delle medie mobili esponenziali Questo approccio dà una prima risposta a due problemi: ipotesi di stabilità ( i.i.d.-ness ) della distribuzione dei rendimenti viene dato più peso alle osservazioni più vicine, provenienti da distribuzioni più simili a quella corrente lunghezza ottimale della serie storica riducendo le distorsioni legate alla violazione dell ipotesi di i.i.d.-ness, permette di usare più dati 25

26 Il bootstrapping e la generazione di traiettorie Finora abbiamo ipotizzato che l orizzonte temporale su cui si vuole calcolare il VaR sia simile alla frequenza con cui sono stati rilevati i dati del campione storico Si possono anche usare dati giornalieri per un VaR settimanale, trasformando i dati da giornalieri a settimanali Con il metodo del bootstrapping e della generazione di traiettorie si fa in modo che tale passaggio non riduca il numero di osservazioni Il bootstrapping prevede che anziché usare una sola volta ogni rendimento passato, venga estratto dal campione un elevato numero di valori, ogni volta, con re-immissione. 26

27 Il bootstrapping e la generazione di traiettorie Indichiamo con r 1,t+1 il primo dei rendimenti. È un rendimento giornaliero, mentre l orizzonte del VaR è settimanale (M=7) Il valore assunto il giorno dopo dal fattore di rischio S sarà: 1, t1 Estraiamo con il bootstrapping un nuovo rendimento giornaliero r 1,t+2 il valore assunto da S sarà: S 1, 1 1, 2 r t r S e t t t 1, 2 Se si procede fino a 7 rendimenti giornalieri si determina il valore di S fra una settimana: S S e i1 1, t7 t M r 1, ti Sulla base di questo valore è possibile applicare la logica della full valuation per ottenere il valore del portafoglio della banca in questo primo scenario S S t e r 1, t1 27

28 Il bootstrapping e la generazione di traiettorie Per poter costruire una distribuzione di N possibili valori del portafoglio della banca tra una settimana, è necessario generare altre N-1 traiettorie, cioè generare, in tutto, NM valori di r A partire da tale distribuzione, sarà possibile identificare il percentile desiderato (per esempio, il primo) ed il relativo VaR La Figura riportata nella slide successiva, creata utilizzando come campione storico i 100 rendimenti giornalieri del portafoglio (slide 15), mostra una singola traiettoria per il valore del portafoglio nell arco di sette giorni consecutivi (primo pannello), cinque traiettorie (secondo pannello), infine cento traiettorie (terzo pannello: NM=700) La generazione di traiettorie con il bootstrapping non simula solo la variazione totale delle variabili di mercato, ma anche il percorso evolutivo che le conduce al valore finale (caratteristica utile per alcuni tipi di opzioni) 28

29 Il bootstrapping e la generazione di traiettorie 106,0 106,0 104,0 102,0 104,0 102,0 5 traiettorie 100,0 100,0 98,0 1 traiettoria 98,0 96,0 96,0 94,0 94,0 108,0 106,0 104,0 102,0 100,0 98,0 96,0 94,0 92,0 90,0 92,0 t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t traiettorie t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 107,5-108,0 107,0-107,5 106,5-107,0 106,0-106,5 105,5-106,0 105,0-105,5 104,5-105,0 104,0-104,5 103,5-104,0 103,0-103,5 102,5-103,0 102,0-102,5 101,5-102,0 101,0-101,5 100,5-101,0 100,0-100,5 99,5-100,0 99,0-99,5 98,5-99,0 98,0-98,5 97,5-98,0 97,0-97,5 96,5-97,0 96,0-96,5 95,5-96,0 95,0-95,5 94,5-95,0 94,0-94,5 93,5-94,0 93,0-93,5 92,5-93,0 92,0-92,5 92,0 t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 distribuzione di frequenza dei 100 valori del portafoglio in t+7 0% 5% 10% 15% 20% 29

30 Le simulazioni storiche filtrate Il bootstrapping conduce a risultati corretti se i rendimenti giornalieri sono iid L approccio ibrido rappresenta solo una risposta approssimata ai problemi legati alla stabilità delle distribuzioni dei fattori di rischio Sono stati perciò proposti altri modelli 1 Hull e White nel 1998 suggeriscono di aggiustare i dati storici sulla base delle condizioni attuali (o previste) della volatilità dei fattori di rischio approccio volatility weighted In presenza di un incremento della volatilità, i rendimenti storici vengono corretti al rialzo conducendo a stime di VaR superiori di quelle implicite nella distribuzione storica 30

31 Le simulazioni storiche filtrate 2 Proposto da Barone-Adesi e Giannopoulos nel 1996 Approccio delle simulazioni storiche filtrate Questo approccio è utilizzato per il controllo del rischio presso la London Clearing House, la cassa di compensazione del mercato dei futures di Londra (LIFFE) Si basa su due idee di fondo: 1.Utilizzo di modelli GARCH per filtrare i dati e rendere i residui i.i.d la volatilità non è costante ma stocastica 2. Utilizzo di tali residui filtrati per generare scenari con una tecnica di bootstrap, tenendo conto della non-normalità dei rendimenti dei fattori di rischio e della loro eteroschedasticità Si può ipotizzare che i rendimenti seguano un semplice GARCH (1,1) rt 2 2 t 2 t 0 1 t1 1 t1 31

32 Le simulazioni storiche filtrate Dopo aver stimato i coefficienti del GARCH (1,1), i rendimenti storici vengono standardizzati ( filtrati ): rendimenti storici et Se il modello è corretto, questi rendimenti standardizzati sono i.i.d. ed è dunque possibile utilizzarli per la simulazione storica Il bootstrapping viene utilizzato per estrarre casualmente (con re-inserimento) numero N di valori; il campione di partenza non è quello dei rendimenti storici, bensì dei rendimenti filtrati Ognuno degli e i viene quindi moltiplicato per la stima della volatilità condizionata relativa al periodo t+1 per cui si desidera calcolare il VaR Il primo shock ad esempio è / t r t e ˆ t 1 volatilità condizionata 32

33 Le simulazioni storiche filtrate Dopo aver generato i valori di r 2, r 3, r N, il portafoglio della banca viene rivalutato in base ad ogni shock, così da ottenere una distribuzione di N possibili valori futuri Il VaR si ottiene tagliando la distribuzione in corrispondenza del percentile desiderato e calcolando la differenza tra tale percentile ed il valore corrente del portafoglio Se l orizzonte di rischio è superiore alla frequenza di calcolo dei rendimenti Si utilizza la versione filtrata del metodo basato sulla generazione di traiettorie r 1,t+1 = e 1,t+1 è il primo rendimento giornaliero generato ( pesato per la volatilità corrente) r1, t Il valore assunto il giorno successivo dal fattore di rischio S sarà: S1, t1 Ste Partendo dal rendimento simulato è anche possibile ottenere una stima di t2 0 1 t1 1 t1 t

34 Le simulazioni storiche filtrate Utilizzando nuovamente il bootstrapping è possibile estrarre dal campione un nuovo valore casuale e 1,t+2 Moltiplicando tale valore per la stima della volatilità appena ottenuta, si genera un rendimento simulato coerente con la volatilità prevista per il secondo giorno: r ˆ 1, t 2 1, t 2 2, t 2 t 2 Ripetendo il procedimento per i giorni successivi, si ottiene un vettore di sette rendimenti (r 1,t+1,, r 1, t+7 ), che consente di stimare il possibile valore, tra una 7 settimana, del fattore di rischio: r S 1, t7 Generando altre N-1 traiettorie, si potrà costruire una distribuzione di N possibili valori del portafoglio della banca tra una settimana A partire da tale distribuzione si potrà individuare il percentile desiderato e il VaR e S t e i1 1, ti 34

35 Le simulazioni Monte Carlo Anche le simulazioni Monte Carlo si basano sulla generazione di dati casuali Partendo dal campione storico si stimano i parametri di una particolare distribuzione di probabilità (normale, t di Student, ecc) dalla quale verranno successivamente estratti gli N valori simulati per il fattore o i fattori di rischio È possibile generare un numero di valori anche superiore al numero di osservazioni presente nel campione storico Deve essere però selezionata la giusta distribuzione di probabilità del fattore di rischio: si tratta dunque di una tecnica parametrica Le simulazioni Monte Carlo sono state originariamente utilizzate in finanza quale strumento per il pricing di prodotti complessi 35

36 Le simulazioni Monte Carlo Se sono valide alcune ipotesi (completezza dei mercati, assenza di opportunità di arbitraggio, etc.) il prezzo di uno strumento derivato è dato dal valore atteso del suo payoff futuro attualizzato al tasso risk free Il valore atteso può essere calcolato simulando un numero elevato di possibili evoluzioni delle condizioni di mercato. Se il numero di simulazioni è sufficientemente elevato, il valore medio risulta uno stimatore non distorto del vero valore atteso del payoff In termini analitici ciò equivale a stimare in modo approssimato l integrale, pesato per la probabilità, di una funzione V(x 1, x 2, x m ) in uno spazio di dimensione m (maggiore o uguale a uno), pari al numero dei fattori di mercato rilevanti 36