Scheda per il recupero 1

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1 Scheda per il recupero Numeri naturali e numeri interi Le operazioni in N e le loro proprietà OPERAZIONE PROPRIETÀ ESEMPI Addizione Interna a N (ovvero la somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale) Commutativa a þ b ¼ b þ a Associativa ða þ bþ þ c ¼ a þ ðb þ cþ Esiste l elemento neutro a þ 0 ¼ 0 þ a ¼ a Sottrazione Non interna a N Non commutativa Non associativa Invariantiva: la differenza tra due numeri naturali non cambia se a entrambi si aggiunge o si toglie (purché sia possibile effettuare la sottrazione in N) uno stesso numero a b ¼ ða þ cþ ðb þ cþ a b ¼ ða cþ ðb cþ þ ¼ þ ð þ Þ þ ¼ þ ð þ Þ þ 0 ¼ 0 þ ¼ 7 non è eseguibile in N 6¼ ð Þ 6¼ ð Þ 7 ¼ ð7 þ Þ ð þ Þ 7 ¼ ð7 Þ ð Þ Aggiungendo e sottraendo ai due numeri Moltiplicazione Interna a N (ovvero il prodotto di due numeri naturali è sempre un numero naturale) Commutativa a b ¼ b a Associativa ða bþ c ¼ a ðb cþ Esiste l elemento neutro a ¼ a ¼ a Distributiva rispetto all addizione e alla sottrazione a sinistra a destra a ðb cþ ¼ a b a c ða bþ c ¼ a c b c Legge di annullamento del prodotto a b ¼ 0 se e solo se a ¼ 0 o b ¼ 0 Divisione Non interna a N Non commutativa Non associativa Distributiva a destra (ma non a sinistra!) rispetto all addizione Attenzione! ða þ bþ : c ¼ a : c þ b : c (purché tutte le divisioni siano possibili in N) Invariantiva: il quoziente di due numeri non cambia se il dividendo e il divisore vengono moltiplicati o divisi (purché la divisione sia possibile in N) per uno stesso numero diverso da 0 ¼ ð Þ ¼ ð Þ ¼ ¼ ð0 þ Þ ¼ 0 þ ð6 þ 7Þ 8 ¼ 6 8 þ 7 8 : 7 non è eseguibile in N : 6¼ : ð : 6Þ : 6¼ : ð6 : Þ ð99 þ 9Þ : 9 ¼ 99 : 9 þ 9 : 9 ð99 : 9Þ ¼ ð99 Þ : ð9 Þ ð99 : 9Þ ¼ ð99 : Þ : ð9 : Þ Una divisione in cui il divisore è 0 non è definita: perciò non si attribuisce alcun significato a scritture quali: 6 : 0 : Senza significato! Invece una divisione in cui il dividendo è 0 (e il divisore è diverso da 0) dà come quoziente 0. Moltiplicando e dividendo per il dividendo e il divisore /8

2 Scheda per il recupero Numeri naturali e numeri interi Le operazioni in Z COME CALCOLARE... SEGNO VALORE ASSOLUTO ESEMPI... la somma di due interi concordi è uguale a quello dei due addendi è uguale alla somma dei valori assoluti dei due addendi ð Þ þ ð Þ ¼ ð þ Þ ¼ 9 segno uguale a quello dei due addendi valore assoluto uguale alla somma dei valori assoluti dei due addendi... la somma di due interi discordi è uguale a quello dell addendo che ha valore assoluto maggiore è uguale alla differenza fra il valore assoluto maggiore e quello minore dei due addendi ðþþ þ ð Þ ¼ ð Þ ¼ segno uguale a quello di che, fra i due addendi, è quello di valore assoluto maggiore valore assoluto uguale alla differenza dei valori assoluti dei due addendi... il prodotto di due interi è þ se i due numeri sono concordi, è se sono discordi è uguale al prodotto dei valori assoluti dei due numeri ð Þ ð 7Þ ¼ þð 7Þ ¼ þ segno þ perché i due fattori sono concordi prodotto dei valori assoluti dei due fattori... il quoziente di due interi (divisibili in Z) è þ se i due numeri sono concordi, è se sono discordi è uguale al quoziente dei valori assoluti dei due numeri ð 6Þ : ðþþ ¼ ð6 : Þ ¼ segno perché i due numeri sono discordi quoziente dei valori assoluti dei due numeri Le potenze e le loro proprietà TIPO DI POTENZA DEFINIZIONE ESEMPI Potenza a esponente intero positivo maggiore di a n ¼ a a ::: a n volte ð Þ ¼ ð Þ ð Þ ¼ þ volte ð Þ ¼ ð Þ ð Þ ð Þ ¼ 7 Potenza a esponente a ¼ a ¼ ð Þ ¼ Potenza a esponente 0 a 0 ¼, con a 6¼ 0 0 ¼ ð Þ 0 ¼ volte PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN SIMBOLI ESEMPI Prodotto di potenze aventi la stessa base Quoziente di potenze aventi la stessa base a m a n ¼ a mþn 8 ¼ þ8 ¼ 0 a m : a n ¼ a m n : 8 ¼ 8 ¼ Potenza di potenza ða m Þ n ¼ a mn ð Þ ¼ ¼ 6 Potenza di un prodotto ða bþ n ¼ a n b n ð 7Þ ¼ 7 Potenza di un quoziente ða : bþ n ¼ a n : b n ð8 : Þ ¼ 8 : Attenzione!. Nota che a n 6¼ð aþ n. Per esempio: ¼ ¼ 6 mentre ð Þ ¼ ð Þ ð Þ ð Þ ð Þ ¼ þ6 la base è. Il simbolo 0 0 è indefinito.. Nota che ða þ bþ n 6¼ a n þ b n e ða bþ n 6¼ a n b n. Per esempio: ð þ Þ ¼ ¼ 8 mentre þ ¼ þ ¼ la base è /8

3 Scheda per il recupero Numeri naturali e numeri interi Il linguaggio fondamentale in N e in Z DOMANDE RISPOSTE ESEMPI Dati due numeri naturali a e b, quando a si dice multiplo di b? In quali modi equivalenti si può esprimere la frase «a è multiplo di b»? Quando esiste un numero naturale q tale che: a ¼ q b «b è un divisore di a» «b divide a» «a è divisibile per b» 0 ¼ quindi 0 è multiplo di a q b «0 è multiplo di» equivale a «è un divisore di 0», oppure a «divide 0» oppure a «0 è divisibile per» Quando un numero naturale si dice primo? Quando è maggiore di ed è divisibile soltanto per se stesso e per il numero. è primo 6 non è primo (è divisibile, oltre che per se stesso e per, per e per ) Quali sono i principali criteri di divisibilità? Che cos è il massimo comune divisore tra due o più numeri naturali diversi da zero, e come si calcola? Un numero è divisibile per: se termina con una cifra pari o 9 se lo è la somma delle sue cifre se termina per 0 o per o se lo è il numero formato dalle ultime sue due cifre o se termina con due zeri se lo è la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari, contate a partire da destra È il più grande fra i loro divisori comuni. Si può calcolare scomponendo i numeri dati in fattori primi e considerando il prodotto dei fattori primi comuni a tutti i numeri assegnati, presi una sola volta, ciascuno con il minimo esponente con cui figura nelle scomposizioni. è divisibile per è divisibile per (perché þ þ ¼ 6 è divisibile per ) e 0 sono divisibili per 6 è divisibile per (perché lo è 6); 7 è divisibile per (perché lo è 7) 9 è divisibile per perché lo è þ 9 ¼ 0 (0 è divisibile per qualsiasi numero naturale diverso da zero, in particolare è divisibile per ) ¼, 0 ¼, 80 ¼ Osserviamo che è l unico fattore primo comune a tutti e tre i numeri dati e che l esponente minimo con cui compare nelle scomposizioni è ; quindi: M.C.D.ð, 0, 80Þ ¼ Quando due numeri si dicono primi fra loro o coprimi? Quando il loro massimo comune divisore è. e sono primi tra loro e non sono primi tra loro (perché il loro massimo comune divisore è ) Che cos è il minimo comune multiplo tra due o più numeri naturali diversi da zero, e come si calcola? Quali numeri si dicono interi? Quando due numeri si dicono concordi o discordi? Che cos è il valore assoluto di un numero intero? Quando due numeri si dicono opposti? È il più piccolo fra i multipli comuni, diversi da 0. Si può calcolare scomponendo i numeri dati in fattori primi e considerando il prodotto dei fattori primi comuni e non comuni a tutti i numeri assegnati, presi una sola volta, ciascuno con il massimo esponente con cui figura nelle scomposizioni. I numeri ottenuti attribuendo a ciascun numero naturale un segno þ o un segno. L insieme dei numeri interi si indica con la lettera Z. Sono concordi se sono preceduti dallo stesso segno; sono discordi in caso contrario. È il numero stesso, se esso è maggiore o uguale a 0, è il suo opposto in caso contrario. Quando hanno lo stesso valore assoluto e segno contrario ¼, 90 ¼, 0 ¼ I fattori comuni e non comuni sono, e, e i massimi esponenti con cui questi tre numeri compaiono nelle scomposizioni sono rispettivamente, e ; quindi: m.c.m.ð, 90, 0Þ ¼ ¼ 60 Sono numeri interi: 7, þ, 0, 0, þ00 e sono concordi þ e þ sono concordi e þ sono discordi j j ¼ ð Þ ¼ þ e þ sono opposti þ e sono opposti j þ j ¼ þ /8

4 Scheda per il recupero Numeri razionali e introduzione ai numeri reali Definizioni principali DOMANDE RISPOSTE ESEMPI Che cos è una frazione? Quando una frazione si dice ridotta ai minimi termini? Una frazione è il rapporto tra due numeri naturali. Si dice ridotta ai minimi termini quando il massimo comune divisore fra numeratore e denominatore è. è una frazione ridotta ai minimi termini, mentre non lo è Come si possono confrontare due frazioni? Come si può esprimere una frazione in forma decimale? Come si può trasformare un numero decimale finito in una frazione? Come si può trasformare un numero decimale periodico in una frazione? a b < c d a b ¼ c d a b > c d rispettivamente a seconda che: ad < bc ad ¼ bc ad > bc Eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore. Si scrive una frazione che ha: al numeratore il numero scritto senza la virgola; al denominatore un seguito da tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola. Si scrive una frazione che ha: per numeratore la differenza fra il numero scritto senza la virgola e la parte che viene prima del periodo; per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo (se c è). > 8 7 perché 7 > 8 < perché < 7 ¼ ð7 : Þ ¼,7, ¼ 00 ¼, ¼ 0 ¼ 7, ¼ 9 0,0 ¼ ¼ 9 ¼ ¼ 7 0, ¼ 9 80 Che cos è un numero razionale assoluto? Che cos è un numero razionale? Quando due numeri razionali si dicono concordi? E discordi? Che cos è il reciproco o inverso di un numero razionale? Che cosa rappresenta la proporzione a : b ¼ c : d? Che cosa rappresenta il simbolo di percentuale %? Si chiama numero razionale assoluto l insieme di tutte le frazioni equivalenti a una frazione data. Si chiama numero razionale ogni numero che si ottiene facendo precedere il segno þ o il segno a un numero razionale assoluto. Si dicono concordi quando hanno lo stesso segno, discordi in caso contrario. È il numero che, moltiplicato per il numero originario, dà come risultato. Se il numero razionale è espresso nella forma b a, il suo reciproco è a b. Non esiste il reciproco di 0. È una scrittura equivalente a: a b ¼ c d È una scrittura equivalente a, 0 8, sono rappresentazioni diverse dello stesso numero razionale, definito dall insieme, 0 8,, :::. þ ; 0,; þ,; þ e sono discordi 0, e, sono concordi þ þ reciproco reciproco : ¼ : 6 equivale a. % ¼ ¼ 0 ¼ 6 /7

5 Scheda per il recupero Numeri razionali e introduzione ai numeri reali Attenzione! Non confondere l opposto di un numero con il suo reciproco. Per esempio, l opposto di è mentre il reciproco di è. Il reciproco di un numero, al contrario dell opposto, ha lo stesso segno del numero originario. Operazioni nell insieme dei numeri razionali Le operazioni fra numeri razionali assoluti, espressi da frazioni, sono definite come riassunto nella seguente tabella. OPERAZIONE COME È DEFINITA ESEMPI Addizione e sottrazione Moltiplicazione Divisione a b c d a b c d ¼ a c b d a b : c d ¼ a b d c ¼ ðm.c.m.ðb, dþ : bþ a ðm.c.m.ðb, dþ : dþ c m.c.m.ðb, dþ þ ¼ þ ¼ 6 7 ¼ 8 : ¼ ¼ Le operazioni tra numeri razionali relativi si eseguono con regole del tutto analoghe a quelle viste in Z, tenendo conto della regola dei segni. Potenze nell insieme dei numeri razionali Le potenze nell insieme dei numeri razionali sono definite in modo analogo a quanto visto in N e in Z. In Q però si definiscono anche le potenze con esponente negativo. POTENZA A ESPONENTE INTERO NEGATIVO a n ¼ n a con a 6¼ 0, n N ESEMPI Esponente opposto ¼ ð Þ þ ¼ 7 Base reciproca Attenzione! ¼ ¼ 9 ¼ ¼ 9 6. Una potenza con esponente intero negativo non è sempre negativa! Lo è solo se la base è negativa e l esponente ha come valore assoluto un numero dispari.. Restano non definiti i simboli 0, 0,..., 0 n, con n N. /7

6 Scheda per il recupero Insiemi e logica Insiemi e sottoinsiemi DOMANDE RISPOSTE ESEMPI Che cos è un insieme? Come si può rappresentare un insieme? Un raggruppamento di oggetti per cui sia possibile stabilire, senza ambiguità, se un oggetto appartiene o meno al raggruppamento. Si può rappresentare in tre modi diversi: per elencazione mediante proprietà caratteristica mediante diagrammi di Venn I numeri naturali maggiori di 000 formano un insieme. I numeri naturali molto grandi non formano un insieme perché non è precisato il criterio in base al quale un numero è da considerarsi «grande». Chiamiamo A l insieme dei numeri naturali compresi tra e, incluso ed escluso. A ¼ f,,, g A ¼ f Nj < g Figura qui sotto A Che cos è un sottoinsieme? Quando un sottoinsieme si dice proprio e quando improprio? Dati due insiemi A e B, si dice che B è un sottoinsieme di A, se ogni elemento di B appartiene ad A. Dato un insieme qualsiasi, l insieme stesso e l insieme vuoto (cioè l insieme privo di elementi) vengono detti sottoinsiemi impropri dell insieme; ogni altro sottoinsieme viene detto proprio. L insieme dei numeri pari è un sottoinsieme di N. L insieme f, 0g non è un sottoinsieme di N (perché non appartiene a N). L insieme dei numeri pari è un sottoinsieme proprio di N. L insieme vuoto è un sottoinsieme improprio di N. SIMBOLI SIGNIFICATO NEGAZIONI A L elemento appartiene ad A = A A B A è contenuto in B (ovvero A è un sottoinsieme di B) A 6 B A B A contiene B (ovvero B è un sottoinsieme di A) A 6 B A B A è strettamente contenuto in B (ovvero A è un sottoinsieme di B e A 6¼ B) A 6 B A B A contiene strettamente B (ovvero B è un sottoinsieme di A e A 6¼ B) A 6 B Attenzione! È un errore utilizzare la scrittura fg per indicare l insieme vuoto: la scrittura fg indica infatti l insieme che ha come unico elemento l insieme vuoto. Il simbolo corretto per indicare l insieme vuoto è:. Il simbolo è riservato a indicare l appartenenza di un elemento a un insieme; il simbolo indica, invece, un sottoinsieme di un insieme. Sono perciò corrette le scritture: N fg N Esatte! Bisogna invece prestare attenzione a non utilizzare scritture come quelle seguenti: N o fg N Errate! /9

7 Scheda per il recupero Insiemi e logica Operazioni tra insiemi OPERAZIONE SIMBOLO ESEMPIO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Dati due insiemi A e B, si chiama intersezione di A e B l insieme degli elementi che appartengono ad A e a B. Intersezione di A e B: A \ B Se A ¼ f,,, g e B ¼ f,, g, gli elementi in comune sono quelli sottolineati, quindi: A \ B ¼ f, g A A B B Dati due insiemi A e B, si chiama unione di A e B l insieme degli elementi che appartengono ad A o a B. Unione di A e B: A [ B Se A ¼ f,,, g e B ¼ f,, g, l insieme unione di A e B è: A [ B ¼ f,,,, g Attenzione. Gli elementi e, che appartengono sia ad A sia a B, vanno scritti una sola volta! A B A B Dati due insiemi A e B, si chiama differenza di A e B l insieme degli elementi che appartengono ad A ma non a B. Differenza di A e B: A B Se A ¼ f,,, g e B ¼ f,, g, gli elementi di A che appartengono anche a B sono quelli sottolineati; eliminando da A questi elementi otteniamo che: A B ¼ f, g A A B B L insieme dei due elementi a e b, presi in quest ordine, si chiama coppia ordinata. Coppia ordinata: (a, b) Tabella a doppia entrata B A d e a ða, dþ ða, eþ b ðb, dþ ðb, eþ Dati due insiemi A e B, si chiama prodotto cartesiano di A e B l insieme di tutte le possibili coppie ordinate (a, b) con a A e b B. Prodotto cartesiano di A e B: A B Se A ¼ fa, bg e B ¼ fd, eg, allora: A B ¼ fða, dþ, ða, eþ, ðb, dþ, ðb, eþg Diagramma cartesiano B e (a, e) (b, e) d (a, d) (b, d) O a b A /9

8 Scheda per il recupero Monomi Terminologia sui monomi DOMANDE RISPOSTE ESEMPI Che cos è un monomio? Quando un monomio si dice in forma normale? Che cosa sono il coefficiente e la parte letterale di un monomio? Che cos è il grado di un monomio? Quando due monomi (non nulli) si dicono simili? Un espressione algebrica che si può scrivere come prodotto di numeri e lettere, queste ultime elevate a esponenti non negativi. Quando compare un solo fattore numerico e ogni lettera compare una sola volta. Dato un monomio in forma normale, il fattore numerico è il coefficiente del monomio; il complesso dei fattori letterali è la parte letterale. È la somma degli esponenti delle lettere che compaiono nel monomio. Quando, ridotti in forma normale, hanno la stessa parte letterale. Sono monomi: a b abc yz Il monomio a b è in forma normale. Il monomio 6aab non è in forma normale perché la lettera a compare due volte. coefficiente a b parte letterale Il monomio y z, equivalente a y z, ha grado þ þ ¼ 6 Sono simili: y y Operazioni tra monomi OPERAZIONE TRA MONOMI PROCEDIMENTO PER ESEGUIRLA ESEMPI Addizione e sottrazione Si possono semplificare solo somme algebriche in cui gli addendi sono monomi simili. La somma (differenza) di due monomi simili è un monomio simile, avente come coefficiente la somma (differenza) dei coefficienti. a þ b non si può ulteriormente semplificare perché a e b non sono simili þ ¼ ð þ Þ ¼ a a ¼ ð Þa ¼ a Moltiplicazione Divisione Potenza Si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti delle lettere uguali. Si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti delle lettere uguali. La divisione dà luogo a un monomio solo se tutte le lettere che compaiono nel divisore compaiono anche nel dividendo, con esponente maggiore o uguale. Per elevare un monomio a n si eleva il coefficiente a n e si moltiplicano gli esponenti delle lettere per n. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo ð a b Þð a b Þ ¼ ð Þð Þa þ b þ ¼ ¼ þ6a b ð 6a b Þ : ð a b Þ ¼ ½ð 6Þ : ð ÞŠa b ¼ ¼ þa 0 b ¼ þb ð a bc Þ ¼ ð Þ a b c ¼ ¼ 7a 6 b c 9 Le regole per il calcolo del M.C.D. e del m.c.m. fra monomi sono del tutto analoghe a quelle utilizzate fra numeri. Conveniamo di scegliere come coefficiente del massimo comune divisore (minimo comune multiplo) il massimo comune divisore (minimo comune multiplo) fra i valori assoluti dei coefficienti se questi ultimi sono numeri interi e di scegliere come coefficiente in caso contrario. /6

9 Scheda per il recupero Polinomi Polinomi, operazioni con i polinomi e prodotti notevoli DOMANDE RISPOSTE ESEMPI Che cos è un polinomio? Che cos è il grado di un polinomio? Un espressione algebrica che si può scrivere come somma algebrica di monomi. Il massimo dei gradi dei suoi termini. þ e y z þ y y y z þ y z ) il polinomio ha grado 7 ha grado ha grado ha grado þ ¼ þ þ ¼ 6 þ þ ¼ 7 Quando un polinomio si dice omogeneo? Quando tutti i suoi termini hanno lo stesso grado. ab þ a b þ a þ b è un polinomio omogeneo perché tutti i termini hanno grado ab þ a b þ a þ b þ non è omogeneo (perché il termine noto ha grado 0, mentre tutti gli altri termini hanno grado ) Quando un polinomio si dice completo rispetto a una lettera? Come si esegue l addizione o la sottrazione di due o più polinomi? Come si esegue la moltiplicazione tra due polinomi? Quando nel polinomio compaiono tutte le potenze di quella lettera, da quella di grado massimo a quella di grado 0. Si tolgono le parentesi, applicando le ordinarie regole sui segni, quindi si riducono gli eventuali termini simili. Si moltiplica ciascun termine dell uno per tutti i termini dell altro e si sommano i prodotti parziali, quindi si riducono gli eventuali termini simili. y þ þ è completo rispetto alla lettera, ma non rispetto alla lettera y (perché manca il termine di primo grado in y). ð þ y Þ ð þ y Þ þ ð yþ ¼ ¼ þ y y þ þ y ¼ ¼ þ y þ ð þ Þð Þ ¼ þ ð Þ þ þ ð Þ ¼ ¼ 6 þ 9 ¼ ¼ 9 E E E E Prodotto notevole Formula Esempi Somma di due monomi per la loro differenza Quadrato di un binomio Quadrato di un trinomio Cubo di un binomio ða þ BÞðA BÞ ¼ A B ða þ BÞ ða BÞ ¼ A B ð þ yþð yþ ¼ ðþ ðyþ ¼ y ða þ BÞ ¼ A þ AB þ B ða þ BÞ ¼ A þ A B þ B ð þ Þ ¼ ðþ þ ðþ þ ¼ þ þ 9 ð yþ ¼ ½ þ ð yþš ¼ ¼ þ ð yþ þ ð yþ ¼ 6y þ 9y ða þ B þ CÞ ¼ ðaþb þcþ ¼ A þ B þ C þ A B þ AC þb C ¼ A þ B þ C þ AB þ AC þ BC ðþyþzþ ¼ðÞ þðyþ þðzþ þðþðyþþðþðzþþðyþðzþ¼ ¼ þ y þ z þ y þ z þ yz ða þ BÞ ¼ A þ A B þ AB þ B ða þ BÞ ¼ A þ A B þ A B þ B ð Þ ¼½þð ÞŠ ¼ðÞ þ ð ÞþðÞð Þ þð Þ ¼ ¼ 9 þ 7 7 /

10 6 Scheda per il recupero 6 Divisibilità tra polinomi Divisione tra polinomi DOMANDE Come si effettua la divisione di un polinomio per un monomio? Come si effettua la divisione di un polinomio per un polinomio? Qual è l enunciato del teorema del resto? Sotto quale condizione il polinomio PðÞ è divisibile per a? RISPOSTE Applicando la proprietà distributiva, cioè dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio. Un polinomio è divisibile per un monomio a condizione che tutti i suoi termini lo siano. Utilizzando l algoritmo della divisione fra polinomi. Se il divisore è un binomio di primo grado in cui il coefficiente della variabile è, si può utilizzare la regola di Ruffini. Il resto della divisione di un polinomio PðÞ per il binomio ð aþ è uguale a PðaÞ. Quando PðaÞ ¼ 0. Attenzione! Per evitare errori nelle divisioni fra due polinomi, bisogna ricordare di:. controllare che i polinomi siano ordinati secondo le potenze decrescenti della variabile;. controllare se il polinomio dividendo è completo e, nel caso non lo sia, completarlo scrivendo i termini mancanti, aventi coefficienti nulli. Scheda 6 B Esercizi da svolgere Test Quale dei seguenti polinomi non è divisibile per y? A y þ y B y þ y C y þ y D y þ 0 y 0 Un polinomio PðÞ ha grado 8 e un polinomio QðÞ ha grado ; qual è il grado del quoziente della divisione tra PðÞ e QðÞ? A B 6 C D Le informazioni date non sono sufficienti per stabilirlo Un polinomio PðÞ ha grado 8 e un polinomio QðÞ ha grado ; nell effettuare la divisione tra PðÞ e QðÞ, l algoritmo di divisione si arresta quando si trova un resto parziale di grado: A B minore di C maggiore di D nessuna delle precedenti risposte è corretta Siano QðÞ ed RðÞ il quoziente e il resto della divisione AðÞ per BðÞ; allora sussiste la relazione: A AðÞ ¼ BðÞQðÞ RðÞ C BðÞ ¼ AðÞQðÞ þ RðÞ B RðÞ ¼ AðÞ þ BðÞQðÞ D RðÞ ¼ AðÞ BðÞQðÞ Quale delle seguenti divisioni si può effettuare con la regola di Ruffini? A ð þ Þ : ð þ Þ B ð þ Þ : ð þ Þ C ð þ Þ : ð þ Þ D ð þ Þ : ð þ Þ 6 Per calcolare il resto della divisione di un polinomio PðÞ per ð þ Þ occorre calcolare: A PðÞ B Pð Þ C PðÞ D Pð Þ 7 Un polinomio PðÞ è tale che PðÞ ¼ 0. Allora possiamo affermare che: A PðÞ è divisibile per B PðÞ non è divisibile per C PðÞ è divisibile per þ D PðÞnon è divisibile per þ /

11 6 C Esercizi guidati Scheda per il recupero 6 Divisibilità tra polinomi Completa la seguente tabella, in cui ti guidiamo ad applicare l algoritmo della divisione. Passi. Il dividendo è completo? È ordinato? Divisione da effettuare: ð þ 6 þ þ Þ : ð þ Þ È completo? SÌ NO, completandolo ottengo... È ordinato? SÌ NO, ordinandolo ottengo.... Completa lo schema della divisione qui a fianco, ripetendo calcoli simili a quelli effettuati per calcolare il primo resto parziale (evidenziato in verde). 6 þ þ þ 6... þ þ þ::::: þ ::::: ::::: þ ::::: Passaggi svolti. 6 : ¼. ð þ Þ ¼ 6 þ 6 cambiando i segni. 6 þ þ þ ð 6 Þ ¼ ¼ þ þ Il grado dell ultimo resto parziale è minore, maggiore o uguale a quello del divisore?... Quindi puoi dire che la divisione è terminata?.... Scrivi quoziente e resto. Il quoziente è QðÞ ¼... Il resto è RðÞ ¼.... Effettua un controllo. Se un polinomio di grado n viene diviso per un polinomio di grado m, con n m, qual è il grado del quoziente?... Senza effettuare la divisione, si poteva dunque prevedere che il grado del quoziente doveva essere... Il risultato ottenuto concorda con la previsione?... Completa la seguente tabella, in cui ti guidiamo ad applicare la regola di Ruffini. Passi Divisione da effettuare: ð þ Þ : ð þ Þ. Il dividendo è completo? È ordinato?. Costruisci uno schema come il primo indicato qui a fianco, poi completalo eseguendo calcoli simili a quelli indicati nel primo passaggio svolto. È completo? SÌ NO, completandolo ottengo... È ordinato? SÌ NO, ordinandolo ottengo... coefficienti del dividendo 0 opposto del termine noto del divisore. Scrivi quoziente e resto. Il dividendo ha grado e il divisore ha grado..., quindi il quoziente deve avere grado..., cioè essere un trinomio del tipo a þ b þ c. Puoi leggere i coefficienti a, b e c nello schema della divisione e concludere che: QðÞ ¼ ::::: ::::: þ ::::: Il resto della divisione è R ¼ :::::::::: Completa: «Il resto della divisione di PðÞ ¼ þ per þ, in base al teorema del resto, è uguale a Pð Þ. Poiché Pð Þ ¼ ð Þ ð Þ þ ¼ :::::::::::::::, il resto è ::::::::::» coefficienti del quoziente resto /

12 7 Scheda per il recupero 7 Scomposizione di polinomi Raccoglimenti parziali e totali DOMANDE RISPOSTE ESEMPI Che cosa significa scomporre un polinomio in fattori? Significa scriverlo come prodotto di polinomi di grado minore o uguale a quello del polinomio dato. Scrivendo þ come ð þ Þ lo abbiamo scomposto in fattori. Scrivendo þ come ð þ Þ lo abbiamo scomposto in fattori. Quando un polinomio si dice riducibile? E quando irriducibile? Un polinomio si dice riducibile se si può scrivere come prodotto di polinomi, ciascuno dei quali di grado minore del grado del polinomio dato; si dice irriducibile in caso contrario. 9 ¼ ð Þð þ Þ: poiché ciascuno dei due fattori ha grado minore del grado del polinomio dato, il polinomio 9 è riducibile. I binomi di primo grado sono irriducibili (sai giustificare perché?). Che cosa significa scomporre un polinomio tramite un raccoglimento totale? Che cosa significa eseguire dei raccoglimenti parziali? Significa scomporre il polinomio come prodotto di due fattori, uno dei quali è il massimo comune divisore fra i termini del polinomio. Questa tecnica (efficace se il massimo comune divisore è diverso da ) si basa sull utilizzo della proprietà distributiva «al contrario» rispetto a quando si svolge una moltiplicazione. Significa eseguire dei raccoglimenti fra alcuni gruppi dei termini del polinomio (ma non fra tutti i suoi termini). Per essere utili, i raccoglimenti parziali devono mettere nelle condizioni di eseguire successivamente un raccoglimento totale. Osserva i termini del polinomio: a 6a Il loro massimo comune divisore è 8a. Possiamo allora scomporlo come segue: a 6a ¼ 8a a 8a ¼ 8a ða Þ Si dice che il fattore 8a è stato raccolto o messo in evidenza. Osserva i termini del polinomio: a þ a y b by a b Possiamo raccogliere a fra i primi due e b fra gli ultimi due e poi eseguire un raccoglimento totale: a þ a y b by ¼ a ð þ yþ bð þ yþ ¼ ¼ a ð þ yþ bð þ yþ ¼ ð þ yþða bþ Attenzione!. Non bisogna confondere i termini di un polinomio con i suoi fattori. Per esempio, nel caso del binomio 9: i suoi termini sono e 9; i suoi fattori, in base alla scomposizione 9 ¼ ð Þð þ Þ, sono e þ.. Osserva le seguenti scomposizioni: þ þ ¼ ð þ þ Þ z þ yz y ¼ zð þ yþ ð þ yþ ¼ ð þ yþðz Þ a þ b þ a þ b ¼ ða þ bþ þ ða þ bþ ¼ ð þ Þða þ bþ È un errore comune, in esercizi di questo tipo, dimenticare di scrivere, nei fattori, i numeri: e /7

13 7 Scheda per il recupero 7 Scomposizione di polinomi Scomposizione mediante il riconoscimento di prodotti notevoli REGOLA DI SCOMPOSIZIONE Differenza di due quadrati FORMULA A B ¼ ða BÞðA þ BÞ ESEMPI a 9 ¼ ðaþ ¼ ða Þ ða þ Þ A B ða BÞ ða þ BÞ 6 y ¼ ð Þ ðyþ ¼ ð yþ ð þ yþ Sviluppo del quadrato di un binomio A þ AB þ B ¼ ða þ BÞ A AB þ B ¼ ða BÞ A B ða BÞ ða þ BÞ þ þ ¼ ðþ þ ðþ þ ¼ ð þ Þ A þ A B þ B ¼ ða þ BÞ a 6a þ 9 ¼ ðaþ ðaþ þ ¼ ða Þ Somma di due cubi Differenza di due cubi segno uguale A þ B ¼ ða þ BÞðA AB þ B Þ segno opposto segno uguale A B ¼ ða BÞðA þ AB þ B Þ segno opposto A A B þ B ¼ ða BÞ A þ B ¼ ða þ BÞ ða A B þ B Þ þ 7y ¼ ðþ þ ðyþ ¼ ð þ yþ½ðþ ðþ ðyþ þ ðyþ Š ¼ ¼ ð þ yþð y þ 9y Þ A B ¼ ða BÞ ða þ A B þ B Þ 8a ¼ ðaþ ¼ ða Þ½ðaÞ þ ðaþ þ Š ¼ ¼ ða Þða þ a þ Þ Attenzione! I trinomi A AB þ B e A þ AB þ B sono chiamati «falsi quadrati» perché ricordano lo sviluppo del quadrato di un binomio: tuttavia in essi compare il prodotto (preceduto dal segno þ o dal segno ), invece del doppio prodotto, delle basi dei quadrati. I falsi quadrati sono polinomi irriducibili (nell insieme dei polinomi a coefficienti in R). Scomposizione di un trinomio di secondo grado Per scomporre un trinomio del tipo þ b þ c, si cerca, se esistono, due numeri p e q tali che: p þ q ¼ b e p q ¼ c Se tali numeri esistono, il trinomio si scompone secondo la formula: þ b þ c ¼ ð þ pþð þ qþ Scomposizione mediante il teorema e la regola di Ruffini Consideriamo un polinomio PðÞ e supponiamo di conoscere uno zero del polinomio, cioè un numero, diciamolo a, tale che PðaÞ ¼ 0. Allora vale la seguente scomposizione: PðÞ ¼ ð aþ QðÞ dove QðÞ è il quoziente della divisione di PðÞ per ð aþ. Se PðÞ ha coefficienti interi, i suoi eventuali zeri razionali sono da ricercare fra i numeri del tipo p, essendo p un divisore del termine noto di PðÞ e q un divisore del coefficiente del suo termine q di grado massimo. /7

14 8 Scheda per il recupero 8 Frazioni algebriche Terminologia e semplificazioni DOMANDE RISPOSTE ESEMPI Che cos è una frazione algebrica? Per quali valori delle variabili una frazione algebrica è definita? Che cosa sono le condizioni di esistenza (C.E.) di una frazione algebrica? Come si semplifica una frazione algebrica? Il rapporto di due polinomi, di cui il secondo diverso dal polinomio nullo. Per tutti i valori delle variabili per cui il denominatore è diverso da zero. Le condizioni che le variabili devono soddisfare perché la frazione algebrica sia definita. Con un procedimento analogo a quello per le frazioni numeriche: si scompongono numeratore e denominatore, quindi si «elidono» i fattori comuni. þ ab a þ b è definita per 6¼ a a b ¼ è definita per 6¼ 0 ^ 6¼ ð Þ La frazione algebrica 6¼ 0. Pertanto: C.E.: 6¼ 9 ¼ ð Þ ð Þð þ Þ ¼ è definita purché sia þ Attenzione!. Sono frequenti gli errori di semplificazione; ecco alcuni errori tipici: a þ b ¼ a þ b Errato! a þ b b ¼ a þ Errato! Questi errori dipendono dal fatto che si sono semplificati i denominatori con degli addendi dei numeratori: invece le semplificazioni sono possibili soltanto tra due fattori.. Quando in una frazione algebrica compaiono due fattori opposti, essi si possono semplificare pur di raccogliere un fattore. Per esempio: a b b a ¼ a b ða bþ ¼ a b a b ¼ y y ¼ ð yþ ð yþ ¼ Operazioni tra frazioni algebriche REGOLA IN SIMBOLI ESEMPI La somma (differenza) di due frazioni algebriche aventi lo stesso denominatore è la frazione algebrica che ha denominatore uguale a quello delle frazioni date e per numeratore la somma (o la differenza) dei numeratori. Se due o più frazioni algebriche hanno denominatori diversi, per calcolare la loro somma o la loro differenza occorre prima ridurle allo stesso denominatore e poi applicare la regola precedente. Il procedimento è analogo a quello per le frazioni numeriche. A B C B ¼ A C B y þ y ¼ þ y y y y ¼ þ y y ¼ þ y y þ ¼ ð þ Þ ð Þð þ Þ ¼ ¼ ð Þð þ Þ : ½ð þ ÞŠ ð Þð þ Þ : ½ð Þð þ ÞŠ ð Þ ð Þ ð Þð þ Þ ¼ ð Þð þ Þ ¼ m.c.m. dei denominatori ð þ Þð Þ ð Þð þ Þ ¼ ð Þ ¼, /

15 8 Scheda per il recupero 8 Frazioni algebriche, REGOLA IN SIMBOLI ESEMPI Il prodotto tra due frazioni algebriche è la frazione algebrica che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. A B C D ¼ A C B D a a a a þ ¼ a a ða Þða þ Þ ¼ a a La divisione tra due frazioni algebriche (di cui la seconda non nulla) è uguale, per definizione, al prodotto della prima per la reciproca della seconda. Per elevare una frazione algebrica a un esponente intero positivo o nullo n, basta elevare a n numeratore e denominatore della frazione algebrica. Per elevare una frazione algebrica a un esponente intero negativo n, con n>0, basta elevare a n il reciproco della frazione algebrica. A B : C D ¼ A B D C A n ¼ An B B n A n ¼ B B A n y : y ¼ y y ¼ a b ¼ ða Þ ðb Þ ¼ a 9b 6 y y a ¼ a a a ¼ ða Þ ða Þ ¼ ða Þ 7a 6 Scheda 8 B Esercizi da svolgere Vero o falso? pffiffiffi è una frazione algebrica V F þ la frazione algebrica è definita per 6¼ 0 þ V F la somma di due frazioni algebriche aventi lo stesso numeratore è una frazione algebrica che ha lo stesso numeratore delle frazioni date e come denominatore la somma dei denominatori V F il prodotto di due frazioni algebriche reciproche è uguale a y y y ¼ y y ¼ y V F a b a þ b a þ b a þ b ¼ a b a þ b ¼ a þ b a þ b a þ b ¼ V F a ¼ b b a V F a b : b a ¼ a V F b þ ¼ þ V V F F /

16 9 Scheda per il recupero 9 Equazioni di primo grado numeriche intere Terminologia sulle equazioni DOMANDE RISPOSTE ESEMPI Che cos è un equazione? Un uguaglianza contenente almeno una lettera, detta incognita, di cui si cercano i valori che rendono l uguaglianza vera. ¼ þ membro membro è un equazione nell incognita. Quando un equazione si dice intera? Quando l incognita non compare in alcun denominatore. þ ¼ è intera Quando un equazione si dice frazionaria (o fratta)? Quando l incognita compare in almeno un denominatore. þ ¼ þ è frazionaria Che cos è una soluzione di un equazione in una incognita? È un numero che, sostituito nell equazione al posto dell incognita, la trasforma in un uguaglianza vera. è una soluzione dell equazione ¼ 0 perché, sostituendo nell equazione al posto di, si ottiene l uguaglianza: ð Þ ¼ 0 che è vera ð0 ¼ 0Þ þ non è una soluzione dell equazione ¼ 0 perché, sostituendo nell equazione þ al posto di, si ottiene l uguaglianza: Quando due equazioni si dicono equivalenti? Quando un equazione si dice in forma normale? Che cos è il grado di un equazione? Quando hanno insiemi delle soluzioni uguali. Quando è posta nella forma AðÞ ¼ 0 e AðÞ è un polinomio in forma normale. Il grado del polinomio AðÞ, una volta che l equazione sia stata scritta nella forma normale AðÞ ¼ 0. ðþþ ¼ 0 che è falsa ð ¼ 0Þ þ ¼ 0 e ¼ sono equivalenti; entrambe hanno come insieme delle soluzioni S ¼ f g. ¼ 0 è in forma normale ¼ non è in forma normale ð Þ ¼ non è in forma normale. Riconduciamola a forma normale: þ þ ¼ 0 þ ¼ 0 Forma normale L equazione ha quindi grado. Quando un equazione si dice impossibile? Quando un equazione si dice indeterminata? Quando un equazione si dice un identità? Attenzione! Quando non ammette soluzioni, ovvero quando il suo insieme delle soluzioni è vuoto. Quando ammette infinite soluzioni. Quando è soddisfatta per ogni valore reale dell incognita, eccetto gli eventuali valori che fanno perdere di significato a uno dei due membri. Le equazioni del tipo a ¼ 0, con a 6¼ 0, come per esempio: ¼ 0, ¼ 0, ¼ 0 non sono né impossibili né indeterminate: hanno come soluzione ¼ 0. Le equazioni del tipo: a ¼ b con a ¼ 0 e b 6¼ 0 sono impossibili. Per esempio: 0 ¼, 0 ¼,... L equazione 0 ¼ 0 è indeterminata. ð Þ ¼ þ è un identità soddisfatta per ogni R. /7

17 9 Scheda per il recupero 9 Equazioni di primo grado numeriche intere Principi di equivalenza REGOLE EQUAZIONE ORIGINARIA ESEMPI EQUAZIONE EQUIVALENTE Si può trasportare un termine che compare come addendo da un membro all altro di un equazione cambiandogli il segno. þ ¼ Trasportiamo al primo membro e þ al secondo þ ¼ Se in un equazione compaiono due termini uguali, uno al primo membro e uno al secondo, questi si possono «sopprimere». þ ¼ þ þ Possiamo sopprimere i due termini di secondo grado ¼ þ Si possono moltiplicare o dividere entrambi i membri di un equazione per uno stesso numero, purché questo sia diverso da zero. 6 ¼ 9 ¼ Possiamo dividere tutti i termini per Possiamo moltiplicare tutti i termini per 6 ¼ ¼ 6 Procedimento per risolvere un equazione di primo grado nell incognita. Se l equazione è a coefficienti frazionari, si moltiplicano entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori, in modo da ricondursi a un equazione a coefficienti interi;. si svolgono gli eventuali calcoli ai due membri dell equazione, togliendo tutte le parentesi;. si trasportano tutti i termini in al primo membro e tutti i termini numerici al secondo;. si risolve l equazione del tipo a ¼ b cui ci si è ricondotti nel passo precedente; i casi che possono presentarsi sono riassunti nel seguente schema. a 0 S= b a equazione determinata a = b a = 0 b = 0 b 0 S = R S = equazione indeterminata (identità) equazione impossibile Procedimento per risolvere problemi il cui modello algebrico è un equazione. Si determinano i dati e l obiettivo del problema.. Si sceglie l incognita, precisandone il dominio entro cui può variare in relazione al problema, quindi si scrive l equazione che formalizza il problema stesso. La scelta dell incognita non è unica.. Si risolve l equazione ottenuta.. Si interpretano le soluzioni in relazione al problema e si risponde. Attenzione! L interpretazione delle soluzioni è una fase molto importante: può succedere infatti che l equazione che costituisce il modello algebrico abbia soluzioni, ma il problema risulti impossibile! Oltre ai problemi impossibili, può capitare anche di imbattersi in problemi indeterminati: problemi, cioè, che hanno infinite soluzioni. /7

18 0 Scheda per il recupero 0 Equazioni di primo grado frazionarie e letterali Equazioni frazionarie Per risolvere un equazione frazionaria si procede come segue.. Si determinano le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche che compaiono nell equazione.. Si moltiplicano i due membri dell equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori.. Si risolve l equazione intera cui si è pervenuti.. Si confrontano le soluzioni trovate con le condizioni di esistenza, scartando quelle che non le soddisfano. PASSI Equazione da risolvere: Condizioni di esistenza (C.E.): Moltiplichiamo i due membri per il m.c.m. dei denominatori: ESEMPIO þ ¼ I denominatori sono già scomposti. Le C.E. sono: 6¼ 0 ) 6¼ ð Þ þ ¼ ð Þ Risolviamo l equazione ottenuta: þ ¼ ) ¼ ) ¼ Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: La soluzione trovata, ¼, non soddisfa le C.E. (avevamo posto 6¼ ), quindi è da scartare. Pertanto, l equazione data è impossibile. Equazioni letterali DOMANDE RISPOSTE ESEMPI Quando un equazione si dice letterale? Quando contiene, oltre alla lettera che rappresenta l incognita, altre lettere, dette parametri. ð Þa ¼ þ è un equazione letterale, nell incognita, dove a è un parametro Ci sono differenze tra la risoluzione di un equazione letterale di primo grado e la risoluzione di un equazione numerica di primo grado? Data un equazione letterale, viene spesso richiesto non solo di risolverla, ma anche di discuterla. Che cosa significa? Il procedimento risolutivo è lo stesso ma bisogna prestare attenzione nei passaggi finali: prima di dividere i due membri dell equazione per il coefficiente dell incognita bisogna scomporre il primo membro, in modo che l incognita compaia come fattore e porre come condizione che il coefficiente di sia diverso da zero. Discutere un equazione letterale significa studiare come variano, al variare dei parametri, l esistenza e il numero delle soluzioni dell equazione. ð Þa ¼ þ a a ¼ þ a ¼ þ a ða Þ ¼ þ a ¼ þ a a Equazione da risolvere Svolgendo la moltiplicazione Portando al membro i termini con la e al gli altri Scomponendo il membro Questo passaggio è lecito se a 6¼ In riferimento all esempio precedente: se a 6¼, la soluzione è ¼ þ a a se a ¼, l equazione data diventa ¼ þ, che è impossibile /

19 Scheda per il recupero Funzioni Piano cartesiano asse y y P(, y) y II quadrante I quadrante ordinata y O ascissa asse O III quadrante IV quadrante Funzioni reali di variabile reale DOMANDE Che cos è una funzione reale di variabile reale? Che cos è il dominio di una funzione reale di variabile reale di equazione y ¼ f ðþ? Che cos è il grafico di una funzione reale di variabile reale y ¼ f ðþ? RISPOSTE Una funzione che ha come dominio e codominio sottoinsiemi dell insieme R dei numeri reali. Se non diversamente specificato, è l insieme dei valori di per cui tutte le operazioni che compaiono nell espressione analitica della funzione si possono eseguire. L insieme: fð, f ðþþj Dg, essendo D il dominio della funzione. Che cos è uno zero della funzione di equazione y ¼ f ðþ, e come lo si può interpretare algebricamente e graficamente? Come si può interpretare graficamente l equazione f ðþ ¼ 0? Come si può interpretare graficamente l equazione f ðþ ¼ gðþ? Come si può interpretare graficamente la disequazione f ðþ > 0? Come si può interpretare graficamente la disequazione f ðþ > gðþ? Quasi sempre ci si riferisce al grafico di una funzione intendendo la rappresentazione di questo insieme nel piano cartesiano. Un numero reale, chiamiamolo a, tale che f ðaþ ¼ 0. Ciascuno zero rappresenta l ascissa di un punto in cui il grafico della funzione interseca l asse. Per determinare gli zeri della funzione, basta risolvere l equazione f ðþ ¼ 0. Le (eventuali) soluzioni dell equazione f ðþ ¼ 0 si possono interpretare graficamente come ascisse dei punti d intersezione con l asse del grafico della funzione y ¼ f ðþ. Le (eventuali) soluzioni dell equazione f ðþ ¼ gðþ si possono interpretare graficamente come ascisse dei punti d intersezione tra il grafico della funzione y ¼ f ðþ e il grafico della funzione y ¼ gðþ. Le (eventuali) soluzioni della disequazione f ðþ>0 si possono interpretare graficamente come ascisse dei punti in cui il grafico della funzione y ¼ f ðþ ha ordinate positive. Le (eventuali) soluzioni della disequazione f ðþ>gðþ si possono interpretare graficamente come ascisse dei punti in cui il grafico della funzione y ¼ f ðþ è «al di sopra» del grafico della funzione y ¼ gðþ. /8

20 Scheda per il recupero Funzioni Funzioni di proporzionalità diretta, inversa e quadratica TIPO DI PROPORZIONALITÀ CARATTERIZZAZIONE A PAROLE FUNZIONE CHE ESPRIME IL LEGAME FRA LE DUE VARIABILI GRAFICO Diretta Una variabile y si dice direttamente proporzionale alla variabile quando, per ogni 6¼ 0, si mantiene costante (diverso da zero) il rapporto: y Il valore costante di questo rapporto è la costante di proporzionalità. y ¼ k dove k è una costante, con k 6¼ 0 y y = k, k < 0 y = k, k > 0 O Inversa Una variabile y si dice inversamente proporzionale alla variabile quando si mantiene costante (diverso da zero) il prodotto: y Il valore costante di questo prodotto è la costante di proporzionalità. y ¼ k dove k è una costante, con k 6¼ 0 y O y =, k k > 0 y =, k k < 0 Quadratica Una variabile y si dice proporzionale al quadrato della variabile quando, per ogni 6¼ 0, si mantiene costante (diverso da zero) il rapporto: y Il valore costante di questo rapporto è la costante di proporzionalità. y ¼ k dove k è una costante, con k 6¼ 0 y O y = k k > 0 y = k k < 0 Funzioni lineari FUNZIONE LINEARE DI EQUAZIONE y ¼ m þ q Tipo di grafico se m>0 Tipo di grafico se m<0 y O m > 0 Le due rette grafico delle funzioni lineari: y ¼ m þ q e y ¼ m 0 þ q 0 sono parallele se e solo se: m ¼ m 0 y O m < 0 /8

21 00 Scheda Scheda per il recupero Statistica Termini di base TERMINE Popolazione (o collettivo) Carattere Modalità Frequenza (assoluta) di una modalità Frequenza relativa di una modalità Frequenza percentuale di una modalità SIGNIFICATO L insieme degli individui oggetto di un indagine statistica. La proprietà oggetto di un indagine statistica. Ciascuna delle varianti con cui un carattere può presentarsi. Il numero di volte in cui una modalità è stata osservata. Il rapporto tra la frequenza assoluta della modalità e il numero di individui della popolazione. La rappresentazione in percentuale della frequenza relativa. Tipo di carattere Carattere Quantitativo (quando le modalità sono espresse da numeri) Qualitativo (quando le modalità non sono esprimibili tramite numeri) Discreto (quando può assumere soltanto un numero finito di valori) Esempio: l anno di nascita di una persona Continuo (quando può assumere tutti i valori reali di un determinato intervallo) Esempio: l altezza di una persona, misurata in metri Principali rappresentazioni grafiche DIAGRAMMA A BARRE DIAGRAMMA A TORTA GRAFICO CARTESIANO ISTOGRAMMA Frequenze Voti in un compito in classe 7 6 Voto 7 8 Colore degli occhi in un insieme di persone 80% azzurri marroni 8% % verdi Prezzo Andamento del prezzo di un prodotto Anni Stipendi medi Stipendi in un azienda per fasce d età [0, ) [, 0) [0, 6) Fasce d età /6

22 Scheda per il recupero Statistica Valori medi e misure di variabilità Le formule nella tabella seguente si riferiscono a n numeri,,..., n, di media. TERMINE DEFINIZIONE ESEMPI Media aritmetica ¼ þ þ ::: þ n n La media dei tre numeri, e 6 è: ¼ þ þ 6 ¼ Mediana Ordinati i numeri,,..., n in senso crescente (o decrescente), la loro mediana è: il numero che occupa la posizione centrale, se n è dispari. la media aritmetica dei due numeri che occupano le posizioni centrali, se n è pari. La mediana dei tre numeri:,, 6 n ¼ (dispari) è il numero. La mediana dei quattro numeri:,, 6, 7 n ¼ (pari) è la media aritmetica dei due numeri che occupano le posizioni centrali: þ 6 ¼. Moda Il dato (o i dati) che hanno la massima frequenza. Dati i numeri:,,,, la moda è il numero, che compare con frequenza massima uguale a. Varianza V ¼ ð Þ þ ::: þ ð n Þ Deviazione standard oppure V ¼ þ ::: þ n n s ¼ p ffiffiffi V n Distribuzioni di frequenze Dati k numeri,,..., k, con frequenze rispettivamente f, f,..., f k : la loro media aritmetica è data dalla formula: ¼ f þ f þ ::: þ k f k f þ f þ ::: þ f k la loro varianza è data dalla formula: V ¼ f þ :::::: þ k f k f þ ::: þ f k Consideriamo i due numeri e 8. La loro media aritmetica è: ¼ þ 8 ¼ 6 La loro varianza, in base alla formula abbreviata, è: V ¼ þ 8 6 ¼ La deviazione standard di e 8, in base alla varianza poc anzi calcolata, è: p s ¼ ffiffiffi ¼ /6