PROGRAMMA CONSUNTIVO

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1 Settore Servizi Scolastici e Educativi PAGINA: 1 PROGRAMMA CONSUNTIVO SCUOLA ITE DOCENTE: CHIARA CASATI MATERIA: MATEMATICA Classe 4 Sezione A A.S CONTENUTI DISCIPLINARI SVOLTI Richiami iniziali di calcolo algebrico Ripasso equazioni frazionarie, campo di esistenza Ripasso sistemi di equazioni di primo, secondo grado e di grado superiore al secondo Ripasso equazioni di secondo grado, relazioni tra soluzioni e coefficienti, equazioni parametriche Ripasso disequazioni di primo, secondo grado, frazionarie, sistemi di disequazioni Ripasso equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche Richiami sulle funzioni Ripasso definizione di funzione reale a variabile reale, dominio e codominio Ripasso classificazione di una funzione Ripasso proprietà delle funzioni: iniettività, suriettività, biunivocità Ripasso funzioni pari e dispari, monotone, periodiche Ripasso funzioni esponenziali e funzioni logaritmiche Composizione di funzioni e funzione inversa Le coniche nel piano cartesiano: iperbole Definizione dell iperbole come luogo geometrico, equazione in forma canonica Iperbole equilatera, iperbole equilatera riferita ai propri asintoti Iperbole equilatera come funzione legame tra grandezze inversamente proporzionali Funzione omografica (per rappresentare Sr) Successioni numeriche Definizione di successione con termine generale e con formula ricorsiva Successioni limitate, proprietà di monotonia Progressioni aritmetiche e geometriche: definizione Somma dei primi n termini Sn di una progressione aritmetica Somma dei primi n termini Sn di una progressione geometrica Le operazioni finanziarie Operazioni finanziarie: capitalizzazione e attualizzazione La capitalizzazione semplice, interesse e montante a confronto (grafici) Regime finanziario dell'interesse composto, interesse e montante a confronto, montanti a confronto (grafici) Il tempo: convenzione mista e convenzione esponenziale Semplici problemi sulle operazioni finanziarie I regimi di sconto: commerciale, razionale e composto. Loro rappresentazione grafica (confronto tra Sc, Scp, Sr) Valori attuali a confronto con Geogebra (confronto tra Vc, Vcp, Vr) Capitalizzazione frazionata semplice e composta, tassi equivalenti Tassi nominali convertibili Scindibilità di una legge finanziaria Il principio di equivalenza finanziaria

2 PAGINA: 2 Applicazione del principio di equivalenza finanziaria in situazioni particolari: a. ricerca unificazione capitali b. scadenza comune c. scadenza comune media d. sostituzione di pagamenti e. tasso medio di più impieghi Le rendite Generalità sulle rendite e fattori che le caratterizzano Montante di una rendita temporanea posticipata/anticipata Valore attuale di una rendita temporanea posticipata/anticipata Gli operatori finanziari:,,, (*) Rendite differite: montante e valore attuale Rendite perpetue immediate e differite: valore attuale di una rendita perpetua Problemi inversi sulle rendite a. calcolo della rata b. calcolo del numero di rate c. calcolo del tasso di interesse (esempi di interpolazione) Piano di costituzione di un capitale (cenni) Tan e Taeg (cenni) Goniometria Definizione di radiante e circonferenza goniometrica. Uso della calcolatrice per il passaggio da: a. gradi a radianti e viceversa b. da notazione sessagesimale a decimale e viceversa Definizione delle funzioni goniometriche sinx, cosx, tgx e cotgx Seno, coseno, tangente di angoli fondamentali (30, 45, 60 ) Valore delle funzioni per archi associati (π α); (π + α); ( α); ( π 2 α); (π 2 + α) Grafici delle funzioni goniometriche Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche. Formule di addizione, sottrazione e duplicazione (cos(α β) (*) 1 ) Identità, equazioni e disequazioni goniometriche Equazioni goniometriche elementari: sinx = a, cosx = a, tgx = a Disequazioni goniometriche elementari Significato del coefficiente angolare di una retta: m = tgα, condizione di perpendicolarità Angolo tra due rette in funzione dei loro coefficienti angolari Trigonometria Teoremi fondamentali sui triangoli rettangoli (1 e 2 teorema) La risoluzione dei triangoli rettangoli I triangoli qualunque: teorema della corda, teorema dei seni, teorema del coseno La risoluzione dei triangoli qualunque Applicazione dei teoremi sui triangoli rettangoli: area del triangolo Trigonometria applicazioni: a. calcolo dell altezza di una torre b. distanza tra due punti con ostacolo (entrambi raggiungibili, uno solo raggiungibile, nessuno raggiungibile, distanza terra luna) 1 *Teorema con dimostrazione

3 PAGINA: 3 Applicazione della geometria analitica all economia Interpretazione analitica di alcune funzioni economiche: costi fissi e costi totali (funzione lineare e funzione quadratica) costo unitario (caso costo totale lineare / quadratico) Calcolo infinitesimale - Limiti e continuità Definizione di intorno di un punto, intorno sinistro e destro di un punto, gli intorni di infinito Sup e inf, massimo e minimo di un insieme E R Sup e inf, massimo e minimo per una funzione reale Punto isolato e punto di accumulazione Concetto intuitivo di limite Definizione limite lim f(x) = l x x0 Definizione lim f(x) = e ricerca degli asintoti verticali x x0 Definizione lim f(x) = l e ricerca degli asintoti orizzontali x Definizione lim f(x) = x Verifica di semplici limiti mediante l applicazione della definizione Teoremi sui limiti: Unicità del limite (*) Permanenza del segno Confronto Limite della funzione costante (*) Limite della variabile (*) Limite della somma, prodotto, reciproco, rapporto di funzioni Limite di 1 se lim f(x) = 0 o lim f(x) = f(x) Limiti di funzioni composte: [f(x)] α con α R, ln[f(x)], a f(x) Calcolo dei limiti, forme di indecisione: 0, 0,, (per funzioni polinomiali, razionali 0 fratte, semplici funzioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche e goniometriche) Asintoti verticali, orizzontali, obliqui (solo per funzioni razionali fratte). Infinitesimi e infiniti. Confronto tra infiniti, gerarchia degli infiniti Limiti notevoli: senx a. lim (*) e conseguenze x 0 x x b. x x 1 lim 1 e conseguenze Capitalizzazione continua (cenni) Continuità Continuità di una funzione in un punto e in un intervallo Somma, prodotto e quoziente di funzioni continue Continuità delle funzioni elementari Continuità delle funzioni composte Teoremi sulle funzioni continue (solo enunciato): a. Teorema di Weierstrass b. Teorema dei valori intermedi c. Teorema dell esistenza degli zeri Punti di discontinuità: 1 specie, 2 specie ed eliminabili Esempi di funzioni economiche continue e discontinue: discontinuità della funzione costo totale Grafico probabile di una funzione algebrica (intera/fratta) e di semplici funzioni trascendenti

4 PAGINA: 4 Geometria sintetica Estensione superficiale ed equivalenza. Definizione e postulati dell equivalenza Teorema fondamentale dell equivalenza (*) 2 Teorema equivalenza parallelogrammi/triangoli(*) Teorema equivalenza trapezio/parallelogramma Teorema Euclide1(*) Teorema Pitagora (*) Teorema Euclide2 (*) Teorema inverso di Pitagora (cenni con il Metodo della corda) Misura di grandezze; grandezze incommensurabili. Data I rappresentanti di classe Firma docente 2 *Teorema con dimostrazione

5 PAGINA: 5 MODULI DI DIDATTICA ATTIVA E DI APPROFONDIMENTO 1. MODULO TANGRAM Dopo una prima fase di familiarizzazione con il gioco del Tangram (di carta o online), è stato costruito un Tangram individuale di cartoncino, con il quale è stato possibile realizzare esercizi di riconoscimento e di riproduzione di figure piane. Il modulo ha permesso l attivazione di conoscenze spaziali implicite e il recupero della geometria degli anni passati consentendo di affrontare il problema dell equivalenza di figure piane attraverso l equiscomponibilità e i relativi teoremi con una maggiore consapevolezza. 2. MODULO MATEMATICA FINANZIARIA CON SOFTWARE DI CALCOLO SIMBOLICO E DI GEOMETRIA DINAMICA Dopo avere affrontato le principali operazioni elementari in ambiente Excel/Number (su ipad) (come ad esempio l apertura, il salvataggio e la chiusura di un file, la selezione di una o più celle, l immissione di dati e l'inserimento di formule nelle celle di un foglio di lavoro) è stato possibile interpretare i diversi regimi di capitalizzazione e di sconto, confrontandoli anche attraverso grafici (con Geogebra). Le formule per la capitalizzazione semplice/composta, per il calcolo di montante e valore attuale di una rendita temporanea a rate costanti, sono state tradotte in funzioni di calcolo (formule dirette) utilizzando anche lo strumento Ricerca obiettivo per le formule inverse. Sono state anche utilizzate le formule finanziarie: VAL.FUT, VA, TASSO, RATA, N.RATA. 3. MODULO IL DILEMMA DEL PRIGIONIERO Durante la learning week, grazie a un intervento di didattica plurima della collega Curtò, è stato possibile introdurre il Dilemma del Prigioniero, classico esempio della Teoria dei Giochi, come situazione in cui i giocatori prendono decisioni strategiche che devono tenere conto delle azioni e delle reazioni di ciascuno degli altri giocatori. Il dilemma è stato proposto inizialmente nella sua versione classica, con l ausilio anche di un breve video della serie televisiva Numb3rs. Successivamente sono stati proposti ai ragazzi altri dilemmi da risolvere con una simulazione a gruppi in aula. L esempio ha permesso di introdurre la distinzione tra giochi cooperativi e giochi noncooperativi. 4. MODULO OBIETTIVI PERSONALI Alla fine dell anno scolastico precedente, è stato chiesto agli allievi di indicare su un foglio gli aspetti del loro metodo di studio o del loro atteggiamento in classe che, secondo loro, potessero essere migliorati. Quanto indicato dagli allievi è stato analizzato da un gruppo di tre docenti del consiglio di classe. In alcuni casi, laddove le indicazioni erano troppo generiche o poco realistiche, sono stati chiesti chiarimenti, precisazione di eventuali priorità o declinazione degli obiettivi in aspetti pratici e operativi. A settembre i buoni propositi sono stati revisionati da entrambe le parti e, in occasione del consiglio di classe aperto, sono stati consegnati ai genitori che, con la loro firma, si sono impegnati a fare fronte comune con la scuola per l effettiva realizzazione degli obiettivi individuali. Alla fine del primo quadrimestre sono stati analizzati i diari di bordo di ciascun allievo e i docenti hanno fatto una restituzione scritta individuale circa progressi e insuccessi. In occasione della learning week, sono state messe in comune le esperienze delle tre classi coinvolte in un momento di scambio e di confronto. Data I rappresentanti di classe Firma docente