Un operazione tra numeri naturali è una funzione che, a una coppia ordinata di N N associa un elemento appartenente a N (il risultato).

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1 Significato delle operazioni in N e algoritmi Operazioni Un operazione tra numeri naturali è una funzione che, a una coppia ordinata di N N associa un elemento appartenente a N (il risultato). È ovunque definita se, comunque scelta la coppia in N N è sempre possibile determinare il risultato. Quali operazioni sono ovunque definite su N N?

2 Significato delle operazioni in N e algoritmi Naturalmente non potremo presentare agli alunni le operazioni come delle funzioni. Andranno curati, operazione per operazione, i significati. Ad essi seguono logicamente le proprietà, che consentono lo svolgimento degli algoritmi tradizionali. La proprietà consentono anche di trovare tecniche di calcolo alternative e veloci.

3 Significato delle operazioni in N e algoritmi Osservazioni Se tutte le volte che si deve svolgere un operazione ci si appoggia alle Tavole di composizione, significa che il calcolo è basato sulla memorizzazione di tali tabelle e non sull appropriazione del loro significato. Inoltre, se non conoscessimo il significato di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, nella risoluzione dei problemi non saremmo in grado di scegliere quale operazione utilizzare.

4 Significato delle operazioni in N e algoritmi Algoritmi Alcune operazioni, se svolte ricorrendo al loro significato, comportano il dispendio di molto tempo e un forte carico di lavoro (non a caso nell antichità le operazioni erano svolte dagli schiavi che contavano i sassolini per trovare il risultato delle addizioni, moltiplicazioni,...). Si introducono quindi alla scuola primaria alcune tecniche di calcolo per risolvere tali casi, dette algoritmi. Storicamente non è stato immediato accettare le tecniche di calcolo per la risoluzione delle operazioni.

5 Significato Significato dell addizione Si può procedere seguendo uno dei due modi: Consideriamo l aspetto ordinale: usiamo il concetto di successore di un numero. Questo concetto possiamo rivisitarlo pensando che: S(n) = n + 1. Se abbiamo n + 6, procediamo in modo reiterato n + 6 = (n + 5) + 1 = S(n + 5) = S(S(n + 4)) = S(S(S(n + 3))) = = S(S(S(S(S(S(n)))))) Visualizziamo sulla semiretta orientata tale procedimento con n = 2:

6 Significato Se abbiamo a + b dobbiamo reiterare il successore di a un numero di volte pari a b. Se b è un numero grande, tale procedimento risulta lungo e laborioso. Ricorreremo a delle strategie appropriate.

7 Significato Consideriamo l aspetto cardinale : avevamo considerato 0, 1, 2, 3,... le classi d equivalenza della relazione avere la stessa cardinalità fra insiemi. Se devo addizionare a + b significa che devo prendere due insiemi A e B di oggetti aventi l uno cardinalità a e l altro cardinalità b. Devo poi trovare la cardinalità dell insieme ottenuto prendendo gli elementi di A e quelli di B; tale cardinalità sara determinata dal confronto del nuovo insieme con gli elementi delle classi d equivalenza descritte dai numeri 0, 1, 2, 3,.... Nell addizione a + b = c chiamiamo a e b addendi e c somma.

8 Significato Osservazioni Se gli insiemi A e B non sono disgiunti, quando considero la somma delle loro cardinalità potrei pensare di dover togliere la cardinalità dell insieme intersezione. Questo però non accade poiché nel momento in cui abbiamo definito i numeri 0, 1, 2, 3,... non abbiamo guardato agli elementi che appartenevano agli insiemi, ma alla possibilità di creare una biezione fra gli insiemi A e B al di là del fatto che potessero avere o no gli stessi elementi.

9 Significato Mostriamo due schede che presentano l addizione, l una secondo l aspetto ordinale, l altra secondo l aspetto cardinale:

10 Significato

11 Proprietà e tavola Proprietà dell addizione Le proprietà essenziali dell addizione sono tre.

12 Proprietà e tavola 1. Associativa. Se sono presenti più addizioni è possibile svolgerle in qualunque ordine. m, n, p N : (m + n) + p = m + (n + p) Ciò d` senso alla scrittura: m + n + p.

13 Proprietà e tavola 2. Esistenza dell elemento neutro. Lo zero, elemento neutro dell addizione, è il numero che aggiunto a qualunque numero naturale n dà come risultato n stesso. n N : n + 0 = 0 + n = n

14 Proprietà e tavola 3. Commutativa..Cambiando di posto gli addendi, la somma non cambia. m, n N : m + n = n + m

15 Proprietà e tavola Conosciamo altre proprietà?

16 Proprietà e tavola

17 Proprietà e tavola La cosiddetta proprietà dissociativa non è una nuova proprietà, ma è sempre l associativa. Esempio = Il simbolo = non ha un verso di lettura, indica soltanto che le due quantità espresse sono uguali tra loro. La proprietà in questione è l associativa.

18 Proprietà e tavola Tavola dell addizione Quali sono le proprietà che la tavola di composizione consente di visualizzare?

19 Proprietà e tavola Altre osservazioni. la somma tra due numeri pari è... la somma tra due numeri dispari è... la somma tra un pari e un dispari è... la somma tra due numeri consecutivi è... la somma tra tre numeri consecutivi è...

20 Algoritmo Algoritmo tradizionale dell addizione Addizione senza riporto notaz.polinomiale = = ( ) + ( ) pr.associat.+ = = pr.commutativa+ = = pr.distr. rispetto al = = (1 + 3) (2 + 4) (3 + 5) 10 0 = = notaz.polinomiale = = 468

21 Algoritmo In sintesi La barra orizzontale che è posta sotto al secondo addendo rappresenta il simbolo di =.

22 Algoritmo Gli strumenti che si possono usare con i bambini per visualizzare in modo concreto ciò che si realizza a livello poi astratto sono con l abaco, i blocchi multibase o le monete e banconote.

23 Algoritmo Addizione con riporto/con cambio notaz.polinomiale = = ( ) + ( ) = pr.associativa+ = = pr.commutativa+ = = pr.distr. risp.+ = (1 + 9) (2 + 3) (7 + 5) 10 0 = = (1 10) (2 + 3) ( ) 10 0 = = = = (3 + 1) notaz.polinomiale = = 4062

24 Algoritmo In sintesi si scrive:

25 Tecniche alternative e calcolo mentale Tecniche alternative e calcolo mentale Insistere sul calcolo mentale anche dopo aver consolidato gli algoritmi. Insegnare gli amici del 10 (del 20, del 50, del 100,...). I bambini devono essere rapidi nell individuare le coppie di numeri la cui somma dà 10 e utilizzarle, sfruttando le proprietà. Esempio = comm = ass = = ass = ass = 83 Dopo aver insegnato la sottrazione: aggiungere 9 equivale ad aggiungere 10 e togliere 1...