METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA. Lezione n

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1 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Lezione n

2 FOCUS SUL BAMBINO

3 Qual è il patrimonio iniziale? La ricerca attuale, nel campo delle scienze cognitive, mostra che l abilità numerica è innata. -Fin dalla nascita siamo in grado di classificare ciò che vediamo in termini di numerosità: si tratta di un processo di percezione visiva chiamato subitizing o immediatizzazione che consente di determinare la numerosità di un insieme visivo di oggetti in modo immediato, senza contare (numero massimo: quattro) -si ritiene anche che faccia parte del patrimonio iniziale la capacità di confrontare la numerosità, di scegliere ad esempio il maggiore tra due insiemi.

4 Qual è il patrimonio iniziale? Si ritiene quindi che l acquisizione dei concetti numerici si verifichi presto nella vita del bambino ma che, prima dei 6 anni, la rappresentazione di numerosità sia facilmente sviata da indizi percettivi Secondo Butterworth la natura fornisce un nucleo innato di capacità numeriche (Modulo Numerico) comune a tutti.

5 Il modulo numerico Il neuropsicologo Brian Butterworth (che nel 1999 scrisse un saggio dal titolo "The Mathematical Brain«,in Italia edito dalla Rizzoli con il titolo "Intelligenza matematica. Vincere la paura dei numeri scoprendo le doti innate della mente") è un sostenitore della tesi innatista del cervello matematico. Egli ritiene infatti che i nostri cervelli possiedano dei circuiti specializzati per categorizzare il mondo in termini di numerosità; secondo la sua tesi le capacità numeriche costituiscono un modulo cognitivo in cui le abilità matematiche sono geneticamente codificate e presenti fin dalla nascita. Le differenze individuali, che riguardano capacità più avanzate, insorgono successivamente e sono riconducibili agli strumenti concettuali forniti.

6 Grazie quindi alle scoperte sopra esposte, è stata definitivamente superata la credenza che l acquisizione dei concetti numerici si verifichi tardi nello sviluppo del bambino; si ritiene comunque che prima dei sei anni la rappresentazione di numerosità sia facilmente sviata da indizi percettivi. Tutto ciò ha prodotto un cambiamento negli orientamenti per la scuola dell infanzia. Nelle indicazioni curricolari del 1991, tra i campi di esperienza educativa compare : Lo spazio, l ordine, la misura.

7 Orientamenti 1991 Sotto tale voce leggiamo: Intorno a tre anni il bambino esprime le prime intuizioni numeriche, come valutazioni approssimate della quantità nel contare gli oggetti, nel confrontare le quantità e le grandezze direttamente, mentre trova difficoltà ad ordinarle serialmente. Incomincia inoltre ad avvertire, esprimendole linguisticamente, alcune collocazioni spaziali e a riconoscere alcune proprietà comuni degli oggetti. Verso i sei anni -operando con oggetti, disegni, persone, ecc.- è in grado di contarli, di valutarne la quantità e di eseguirne operazioni sempre sul piano concreto, di ordinare più oggetti per grandezza, lunghezza e altezza, di classificarli per forma e colore, di localizzare le persone nello spazio, di rappresentare dei percorsi e di eseguirli anche su semplice consegna verbale.

8 E ancora: Orientamenti 1991 La scuola materna svolge la sua azione in due fondamentali direzioni: - raggruppare, ordinare, contare, misurare: ricorso a modi più o meno sistematici di confrontare e ordinare, in rapporto a diverse proprietà, grandezze ed eventi; uso di oggetti o sequenze o simboli per la registrazione; impiego diretto di alcuni semplici strumenti di misura; quantificazioni, numerazioni, confronti; - localizzare: ricorso a modi, spontanei o guidati, di esplorare il proprio ambiente, viverlo, percorrerlo, occuparlo, osservarlo, rappresentarlo; ricorso a parole, costruzioni, modelli, schemi, disegni; costruzione di sistemi di riferimenti che aiutano il bambino a guardare la realtà da più punti di vista, coordinandoli gradualmente fra loro. E' anche opportuno sviluppare la capacità di porre in relazione, come: formulare previsioni e prime ipotesi; individuare, costruire ed utilizzare relazioni e classificazioni; costruire corrispondenze e rapporti di complementazione, unione, intersezione ed inclusioni tra classi; riconoscere invarianti; utilizzare strumenti di rappresentazione; operare riflessioni e spiegazione su numeri, sistemi di riferimento, modalità di rappresentazione e così via. A ciò si aggiunge l'opportunità di sviluppare le capacità di progettare e inventare, come: la creazione di progetti e forme, derivati dalla realtà o del tutto nuovi, di oggetti e spazi dell'ambiente; l'ideazione di storie; la realizzazione di giochi con regole più o meno formalizzate e condivise; le rappresentazioni spontanee o ricavate da quelle in uso e così via.

9 Fino ai giorni nostri: indicazioni nazionali del 2012 Sotto la voce La conoscenza del mondo compare esplicitamente: Numero e spazio La familiarità con i numeri può nascere a partire da quelli che si usano nella vita di ogni giorno; poi, ragionando sulle quantità e sulla numerosità di oggetti diversi, i bambini costruiscono le prime fondamentali competenze sul contare oggetti o eventi, accompagnandole con i gesti dell indicare, del togliere e dell aggiungere. Si avviano così alla conoscenza del numero e della struttura delle prime operazioni, suddividono in parti i materiali e realizzano elementari attività di misura. Gradualmente, avviando i primi processi di astrazione, imparano a rappresentare con simboli semplici i risultati delle loro esperienze. Muovendosi nello spazio, i bambini scelgono ed eseguono i percorsi più idonei per raggiungere una meta prefissata scoprendo concetti geometrici come quelli di direzione e di angolo. Sanno descrivere le forme di oggetti tridimensionali, riconoscendo le forme geometriche e individuandone le proprietà (ad esempio, riconoscendo nel quadrato una proprietà dell oggetto e non l oggetto stesso). Operano e giocano con materiali strutturati, costruzioni, giochi da tavolo di vario tipo.

10 Traguardi per lo sviluppo della competenza (nella scuola dell infanzia) Il bambino raggruppa e ordina oggetti e materiali secondo criteri diversi, ne identifica alcune proprietà, confronta e valuta quantità; utilizza simboli per registrarle; esegue misurazioni usando strumenti alla sua portata. Sa collocare le azioni quotidiane nel tempo della giornata e della settimana. Riferisce correttamente eventi del passato recente; sa dire cosa potrà succedere in un futuro immediato e prossimo. Ha familiarità sia con le strategie del contare e dell operare con i numeri sia con quelle necessarie per eseguire le prime misurazioni di lunghezze, pesi, e altre quantità. Individua le posizioni di oggetti e persone nello spazio, usando termini come avanti/dietro, sopra/sotto, destra/sinistra, ecc.; segue correttamente un percorso sulla base di indicazioni verbali.

11 Lo sviluppo dell abilità di conteggio Si può dire che l inizio esplicito della matematica con i bambini sia costituito dal contare. L esperienza numerica del bambino è all inizio un esperienza linguistica; la parola-numero non rappresenta subito una quantità o un etichetta da associare ad un oggetto (esempio) Le parole (uno, due, tre.) e le dita sono i grandi strumenti del bambino per rispondere alle prime domande sui numeri. Solo successivamente i numeri verranno espressi anche in simboli: 1, 2,. E comunque imparare a contare rappresenta il primo collegamento tra la competenza numerica innata e quella acquisita dall interazione con l ambiente di appartenenza.

12 COMPONENTI DEL CONTARE 1) Avere a disposizione una buona raccolta di etichette ( numerali) Si possono distinguere tre livelli evolutivi: La sequenza dei numeri è usata come stringa di parole. Si distinguono le parole, ma la sequenza viene prodotta solo in avanti a partire da uno. La sequenza è bidirezionale, producibile a partire da un numero qualsiasi della serie, ordinata in modo stabile. 2) Eseguire il confronto secondo un processo iterativo Ciascuna parola-numero, selezionata con un ordine corretto, va collegata a uno e un solo oggetto dell insieme; è il concetto di corrispondenza biunivoca, che compare molto presto nell esperienza del bambino, che già a due anni è in grado di mettere, ad esempio, ogni tazza sul suo piattino

13 COMPONENTI DEL CONTARE 3) Identificare la parola che esprime il risultato dell operazione eseguita Si intende con questo riconoscere il valore cardinale dell ultimo numero pronunciato. Il bambino deve capire che l ultima parola-numero pronunciata nel conteggio corrisponde alla numerosità dell insieme contato; i bambini di 3-4 anni possono farlo come imitazione dell adulto, senza avere però avere reale comprensione del ruolo di tale parola. Spesso a questa età i bambini pensano che le parole-numero siano come etichette da attaccare agli oggetti; se ad uno di essi assegna cinque, il cinque identifica esattamente quell oggetto e non può rappresentare altro. Dal punto di vista evolutivo il valore cardinale delle parole-numero viene acquisito verso i 5 anni.

14 ERRORI NEL CONTARE 1)Incertezza sulle parole numerali 2)Non è chiaro che l ultima parola è il risultato del conteggio 3)Errori nel processo di ripartizione 4)Errori nell etichettamento 5)Errori nel coordinamento ritmico tra ripartizione ed etichettamento

15 I cinque principi di Gelman e Gallistel (1979) L acquisizione dell abilità di conteggio verbale è guidata dalla conoscenza innata di alcuni principi basati sulla competenza numerica non verbale; si ipotizza cioè l esistenza di una struttura innata che orienta i comportamenti gli apprendimenti e consente di apprendere a contare. I principi sono i seguenti: Il principio di iniettività Il principio dell ordine stabile Il principio di cardinalità Il principio di astrazione Il principio di irrilevanza dell ordine La padronanza dei principi della conta comincia, in genere dai 2-3 anni e si completa intorno ai 5. Il principio cardinale viene acquisito per ultimo.

16 La teoria di Karen Fuson La Fuson sottolinea i contesti diversi in cui le parole numero sono utilizzate ed è necessario sottolineare che non sempre tali contesti si riferiscono alla numerosità; solo attraverso ripetuti esercizi e per imitazione il bambino gradualmente comprende il senso del contare e connette tra loro i diversi significati. Da ciò si evince il ruolo cruciale dell interazione con l ambiente. Esaminiamo i contesti

17 Karen Fuson: i contesti il contesto cardinale, in cui la parola-numero fa riferimento all intera collezione di elementi discreti e dice di quanti elementi è costituita; il contesto ordinale, dove la parola-numero fa riferimento ad un elemento collocato all interno di una serie ordinata di elementi discreti e indica quale posizione vi occupa; il contesto di misura, dove la parola-numero è in relazione ad una grandezza continua e indica quante unità di misura sono necessarie per riempire la grandezza; il contesto sequenza, in cui l enunciazione è condotta senza riferire le parole-numero a oggetti o altro (le parole-numero sono usate in modo simile alle lettere nella recita dell alfabeto); il contesto conta, dove l enunciazione è condotta con riferimento a oggetti posti in corrispondenza uno a uno con le parole-numero; il contesto simbolico, in cui la parola-numero è intesa come oggetto di scrittura o di lettura; il contesto non numerico, in cui la parola-numero è usata come etichetta, identificando un attributo in un oggetto.

18 Karen Fuson: modello di sviluppo numerico La Fuson propone un modello di sviluppo numerico che descrive l evoluzione del bambino nell acquisizione delle parole-numero legate a tre contesti d uso: a) contesto di sequenza, che comprende due momenti. Nel primo c è l apprendimento della recita corretta della sequenza standard, che impegna il bambino nel distinguere nel linguaggio le parole non-numero dalle parole-numero apprendendo così l ordine corretto di quest ultimi. Nel secondo momento vi è l elaborazione della parte di sequenza che consiste nello sviluppo di nuove abilità; b) contesto di conta, in cui il bambino stabilisce corrette corrispondenze termine a termine tra oggetti e parole-numero; c) contesto cardinale in cui il bambino comprende che nel pronunciare la conta, nel toccare o indicare gli elementi, l ultima parola corrisponde al numero di elementi contati.

19 Lettura e scrittura dei numeri La lettura precede la scrittura ed evolve gradualmente, ma il riconoscimento del simbolo scritto non implica necessariamente l acquisizione della corretta rappresentazione della quantità corrispondente (semantica del numero) L acquisizione del numero scritto richiede la competenza simbolica, che viene conquistata dal bambino con due processi basilari: - la produzione di significanti individuali(simboli), di tipo personale, stabiliti dal singolo soggetto - La produzione di significanti collettivi (segni)connessi al significato da una convenzione sociale e perciò esterni al soggetto

20 La notazione numerica Tra i ricercatori non è ravvisabile una convergenza su quale sia il percorso attraverso il quale il bambino conquista la competenza nel numero scritto e il rapporto corretto tra numero scritto e suo significato. Si possono comunque distinguere quattro categorie di rappresentazione grafica della quantità, che rendono evidente una evoluzione 1) idiosincratica: notazioni incomprensibili per un osservatore esterno 2) pittografica : si riproducono figurativamente gli oggetti della collezione 3) iconica: segni grafici posti in corrispondenza biunivoca con gli oggetti 4) simbolica: formata da numeri arabici

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22 La notazione numerica e tre tipologie di notazione numerica: 1) Notazione con grado informativo nullo (per un osservatore esterno, ma portatore di significati per il bambino) 2) Notazione basata sulla corrispondenza biunivoca 3) Notazione convenzionale

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24 Difficoltà Un problema che incontrano i bambini nel loro approccio iniziale al numero scritto è legato alla difficoltà di collegare il simbolo aritmetico convenzionale con il suo significato in termini quantitativi. È pertanto indispensabile guidare il bambino, già nei suoi primi approcci con la matematica scritta, alla comprensione profonda del significato dei simboli aritmetici per evitare che si instauri un utilizzo rigido dei simboli.

25 Le schede che seguono sono tratte dal testo

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32 SCUOLA PRIMARIA Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della scuola primaria Numeri Contare oggetti o eventi, a voce e mentalmente, in senso progressivo e regressivo e per salti di due, tre,... Leggere e scrivere i numeri naturali in notazione decimale, avendo consapevolezza della notazione posizionale; confrontarli e ordinarli, anche rappresentandoli sulla retta. Eseguire mentalmente semplici operazioni con i numeri naturali e verbalizzare le procedure di calcolo. Conoscere con sicurezza le tabelline della moltiplicazione dei numeri fino a 10. Eseguire le operazioni con i numeri naturali con gli algoritmi scritti usuali. Leggere, scrivere, confrontare numeri decimali (si deve intendere: numeri scritti in notazione decimale posizionale, da non confondere coi numeri con la virgola.n.d.c.), rappresentarli sulla retta ed eseguire semplici addizioni e sottrazioni, anche con riferimento alle monete o ai risultati di semplici misure.

33 Obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta della scuola primaria Numeri Leggere, scrivere, confrontare numeri decimali (ossia: scritti in notazione decimale). Eseguire le quattro operazioni con sicurezza, valutando l opportunità di ricorrere al calcolo mentale, scritto o con la calcolatrice a seconda delle situazioni. Eseguire la divisione con resto fra numeri naturali; individuare multipli e divisori di un numero. Stimare il risultato di una operazione. Operare con le frazioni e riconoscere frazioni equivalenti. Utilizzare numeri decimali, frazioni e percentuali per descrivere situazioni quotidiane. Interpretare i numeri interi negativi in contesti concreti. Rappresentare i numeri conosciuti sulla retta e utilizzare scale graduate in contesti significativi per le scienze e per la tecnica. Conoscere sistemi di notazione dei numeri che sono o sono stati in uso in luoghi, tempi e culture diverse dalla nostra.

34 Perché fare i calcoli è difficile? Le scienze psicologiche mostrano che si tratta di un fenomeno cognitivo complesso che richiede l attivazione di diversi processi mentali. Quali sono le competenze cognitive necessarie per essere abili esecutori di calcoli? Accenniamo sinteticamente a due modelli Modello semantico di McCloskey Modello del triplo codice di Dehaene

35 Modello semantico di McCloskey McCloskey ha elaborato un modello modulare sui meccanismi del calcolo. Il modello presuppone tre sottosistemi: il sistema della comprensione, il sistema del calcolo e il sistema della produzione. Il sistema di comprensione prevede un modulo per la comprensione verbale, un modulo per la comprensione dello scritto con sottomoduli per la comprensione delle cifre arabiche, del testo o dei numeri romani. Il sistema di produzione è analogo al sistema di comprensione con l'ovvia differenza che la comprensione verbale diventa produzione verbale e la lettura diventa scrittura. Il sistema di calcolo prevede la memorizzazione delle operazioni, cioè un sistema per il recupero in memoria dei risultati dei calcoli, nel caso sia possibile e l'applicazione delle procedure di calcolo precedentemente apprese.

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37 Modello semantico di McCloskey Le conoscenze delle procedure di calcolo prendono il nome di "conoscenze procedurali" mentre le conoscenze che si recuperano direttamente in memoria sono le "conoscenze dichiarative". Per eseguire delle semplici operazione è necessario che il bambino capisca cosa gli viene chiesto e traduca quanto richiesto in una rappresentazione semantica con la quale deve essere in grado di applicare le procedure. I bambini usano sia le conoscenze dichiarative che quelle procedurali per arrivare a rispondere correttamente ad un quesito di calcolo. Una volta applicate le procedure e trovato il risultato il bambino deve essere in grado di trasformare quanto prodotto in un output fatto in modo che possa essere interpretato dagli altri ai quali viene comunicato.

38 Nel modello di McCloskey la via semantica risulta quindi essere l unico accesso alla produzione numerica: l elaborazione di un numero comporta sempre una rappresentazione concettuale attraverso la quale vengono identificate le informazioni relative alla quantità. I meccanismi semantici regolano tale comprensione della quantità (3= ), concetto che viene astratto dal codice specifico in cui viene presentato il numero.

39 Il modello del triplo codice di Dehaene Tre diversi codici sono rappresentati in tre diverse aree cerebrali processamento codice arabico (aree occipitotemporali ventrali bilaterali) codifica verbale dei numeri (aree perisilviane sx) rappresentazione analogica delle quantità (aree intraparietali bilaterali) Tra i codici è possibile una comunicazione che non richiede di trasformare la forma numerica in un codice semantico astratto, in una rappresentazione astratta di quantità

40 Il codice arabico visivo richiede la padronanza dei sistemi di notazione posizionale delle cifre (sintassi) e viene utilizzato per eseguire operazioni aritmetiche con numeri a più cifre. Il codice verbale /uditivo consente la numerazione e il recupero in memoria delle operazioni aritmetiche semplici di addizione e di moltiplicazione. Il codice della rappresentazione analogica dei numeri, di natura preverbale, elabora i numeri sotto forma di grandezze e fornisce le basi per il confronto numerico, le stime e le operazioni di subitizing.

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42 Si possono rintracciare le influenze di tali modelli in tecniche o metodi o strumenti didattici in uso nella pratica didattica attuale. Il modello del triplo codice è, ad esempio, alla base del metodo analogico di Bortolato.