Rita Poletti T A. Numeri e lettere. libro. Li M. Principato. misto. Casa Editrice Principato

Transcript

1 Rita Poletti E T A MLAND Numeri e lettere libro Li M misto Principato

2 Rita Poletti Numeri e lettere PRINCIPATO

3 Direzione editoriale: Franco Menin Redazione: Marco Mauri Progetto grafico e impaginazione: Edit Copertina: Giuseppina Vailati Canta Disegni: Edit, Domenico Di Leo ISBN Numeri e lettere + Figure ISBN Numeri e lettere Prima edizione: gennaio 009 Ristampe VI V IV III II I * Printed in Italy Proprietà letteraria riservata. È vietata la riproduzione, anche parziale, con qualsiasi mezzo effettuata, compresa la fotocopia, anche ad uso interno o didattico, non autorizzata. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del % di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, commi e, della legge aprile 9 n. 6. Le riproduzioni per finalità di carattere professionale, economico o commerciale, o comunque per uso diverso da quello personale, possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana 08, 0 Milano, segreteria@aidro.org e sito web Casa Editrice G. Principato S.p.A. Via G.B. Fauché 0-0 Milano UNI EN ISO info@principato.it Stampa: Grafica Pioltello Seggiano di Pioltello (MI)

4 Indice Indice unità Insiemi numerici capitolo Le operazioni le loro proprietà Addizione 8 Sottrazione 0 Moltiplicazione Divisione L insieme Q 6 LABORATORIO TEST E GIOCHI MATEMATICI 8 DECIMALE NO! PERIODICO 9 RICORDA VERIFICA le tue conoscenze Per l AUTOVALUTAZIONE 9 Per RECUPERARE 0 Per APPROFONDIRE capitolo Potenze e radici L operazione di elevamento a potenza Estrazione di radice LABORATORIO ALGORITMO DI CALCOLO DELLA RADICE QUADRATA RICORDA 9 VERIFICA le tue conoscenze 0 Per l AUTOVALUTAZIONE 9 Per RECUPERARE 60 Per APPROFONDIRE 6 unità L insieme dei numeri relativi capitolo Approfondiamo le conoscenze Caratteristiche e rappresentazione dei numeri relativi 6 Ordinamento 6 Addizione di numeri relativi 69 Sottrazione di numeri relativi Moltiplicazione di numeri relativi 6 6 Divisione di numeri relativi 9 Potenze di numeri relativi Algebra con Excel PARLANDO DEL + E DEL 8 RICORDA 86 VERIFICA le tue conoscenze 88 Per l AUTOVALUTAZIONE Per RECUPERARE 6 Per APPROFONDIRE

5 Indice unità Calcolo letterale capitolo I monomi Numeri e lettere 60 Monomi e loro caratteristiche 6 Operazioni con i monomi: addizione e sottrazione 6 Operazioni con i monomi: moltiplicazione e divisione 6 Operazioni con i monomi: potenze Algebra con Excel ESPRESSIONI LETTERALI 69 RICORDA 0 VERIFICA le tue conoscenze Per l AUTOVALUTAZIONE 9 Per RECUPERARE 98 Per APPROFONDIRE 99 capitolo I polinomi Polinomi e loro caratteristiche 00 Operazioni con i polinomi: addizione e sottrazione 0 Operazioni con i polinomi: moltiplicazione 0 Prodotti notevoli 06 8 LABORATORIO RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DEI PRODOTTI DI POLINOMI 09 RICORDA VERIFICA le tue conoscenze Per l AUTOVALUTAZIONE Per RECUPERARE 6 Per APPROFONDIRE unità Equazioni di primo grado capitolo Identità ed equazioni Definizione di identità e di equazione 0 Equazioni equivalenti Equazioni intere e frazionarie Casi particolari Verifica di un equazione 8 6 Problemi con le equazioni Algebra con Excel EQUAZIONI CON EXCEL RICORDA 6 VERIFICA le tue conoscenze 8 Per l AUTOVALUTAZIONE 0 Per RECUPERARE 0 Per APPROFONDIRE 0

6 Indice unità Funzioni nel piano cartesiano capitolo Retta, parabola, iperbole, esponenziale Il piano cartesiano 06 Distanza tra due punti 0 Punto medio di un segmento 09 La retta Rette parallele 6 Rette perpendicolari Rette e punti 6 8 L iperbole equilatera 8 9 La parabola 0 0 La crescita esponenziale La funzione come generalizzazione di un problema Algebra con Excel e Con Cabri RAPPRESENTAZIONE DI RETTE 0 RAPPRESENTAZIONE DELL IPERBOLE EQUILATERA Algebra con GeoGebra FUNZIONI CON GEOGEBRA SIMMETRIA RISPETTO A UN PUNTO SIMMETRIA ASSIALE TRASLAZIONE RICORDA VERIFICA le tue conoscenze 6 Per l AUTOVALUTAZIONE 9 Per RECUPERARE 60 Per APPROFONDIRE 6 Soluzioni in AZIONE 6 Soluzioni Per l AUTOVALUTAZIONE 6 Soluzioni Per RECUPERARE 6 Soluzioni Per APPROFONDIRE 6

7 unità Insiemi numerici Le operazioni e le loro proprietà Potenze e radici

8 Che cosa saprai fare utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico comprendere il significato logicooperativo di numeri appartenenti a diversi sistemi numerici utilizzare le diverse notazioni dei numeri e saper convertire da una all altra (da frazioni a decimali, da frazioni apparenti a interi) comprendere il significato di potenza, calcolare potenze e applicarne le proprietà comprendere il significato di radice come operazione inversa della potenza

9 capitolo Le operazioni e le loro proprietà Sempre più operazioni In questi anni hai familiarizzato con le operazioni e le loro proprietà in diversi ambiti. Considera ad esempio la divisione, ripensa a tutti i passi che hai fatto fino ad oggi, dalla sua prima definizione fino a quella più recente. Sai fare il punto della situazione ripercorrendo la strada fatta? Sai distinguere ciò che è rimasto inalterato e ciò che è cambiato? [risposta a pag. ] Addizione [esercizi a pag. ] Gli uomini hanno sempre sentito la necessità di contare. Anzi, possiamo dire che esiste in noi un innato senso del numero, che permette di accorgerci se si aggiunge o si toglie qualcosa in un gruppo di oggetti. I primi numeri che anche noi abbiamo studiato sono i numeri naturali. Abbiamo poi osservato che nel nostro sistema di numerazione decimale e posizionale essi possono essere scritti utilizzando le cifre indo-arabe da 0 a 9. I numeri naturali, nel loro complesso, costituiscono un insieme formato da infiniti elementi che si indica con il simbolo N. All interno dell insieme dei numeri naturali abbiamo definito una serie di operazioni. La prima di esse è l addizione: DEFINIZIONE Si chiama addizione di due numeri naturali a e b l operazione che ad essi associa un numero c ottenuto contando di seguito ad a tante unità quante sono indicate da b. In simboli: a + b c

10 capitolo Le operazioni e le loro proprietà 9 I numeri a e b prendono il nome di addendi, c si chiama somma. Poiché la somma di due numeri naturali è ancora un numero naturale, si dice che l insieme N è chiuso rispetto all addizione e anche che l operazione di addizione è una operazione interna a N. L addizione di numeri naturali gode delle proprietà commutativa e associativa: PROPRIETÀ La somma di due o più numeri naturali non cambia se si cambia l ordine degli addendi (proprietà commutativa). In simboli: a + b b + a Ad esempio: + + e PROPRIETÀ La somma di più numeri naturali non cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma (proprietà associativa). In simboli: (a + b) + c a + (b + c) Ad esempio: ( + ) ( + 9) +. PROPRIETÀ La somma di due o più numeri naturali non cambia se si sostituisce uno degli addendi con due o più numeri che lo ammettono come somma (proprietà dissociativa). In simboli: a + b a + (c + d) con b c + d Ad esempio: PROPRIETÀ L addizione possiede un elemento neutro, lo 0, che lascia inalterato il valore di qualunque numero gli venga addizionato. In simboli: n n n Ad esempio: in AZIONE Riconosci le proprietà applicate nelle seguenti addizioni a b c d

11 0 unità Insiemi numerici Sottrazione L operazione inversa rispetto all addizione è la sottrazione. DEFINIZIONE Sottrarre due numeri significa determinarne un terzo che addizionato al secondo dà come risultato il primo. In simboli: a b c significa a c + b [esercizi a pag. ] Il numero a si chiama minuendo, b si chiama sottraendo, il risultato c prende il nome di differenza. La differenza è un numero naturale solo se il sottraendo è minore o uguale al minuendo, in caso contrario la differenza non è un numero naturale, ma un intero relativo. Ad esempio: 0 e 6 8. Da questo fatto derivano alcune importanti conseguenze. L insieme N non è chiuso rispetto alla sottrazione, quindi per determinare un ambiente in cui la sottrazione sia un operazione interna è necessario ampliare l insieme N. Tale ampliamento individua l insieme Z degli interi relativi, di cui ci occuperemo tra breve. Per la sottrazione non vale la proprietà commutativa: a b b a. Infatti:, ma. Valgono altre proprietà: PROPRIETÀ Se il sottraendo è 0 il minuendo rimane inalterato. Ad esempio: Lo zero non è elemento neutro per la sottrazione poiché a 0 0 a, ad esempio 0 0. PROPRIETÀ Se minuendo e sottraendo sono uguali la differenza è nulla. Ad esempio: Per la sottrazione non vale la proprietà associativa, infatti: ( ) 0, ma ( ) e i due risultati non coincidono ( ). La sottrazione gode invece della proprietà invariantiva: PROPRIETÀ La differenza tra due numeri non cambia se si addiziona o si sottrae lo stesso numero al minuendo e al sottraendo. Ad esempio: ( ) ( ) 0 oppure 6 9 (6 + ) (9 + ) 0.

12 capitolo Le operazioni e le loro proprietà in AZIONE Stabilisci se è stata applicata in modo corretto la proprietà invariantiva nelle seguenti sottrazioni, in caso contrario correggi. a. 6 0 c b. 9 0 d Moltiplicazione DEFINIZIONE Si definisce moltiplicazione di due numeri naturali a e b l operazione che ad essi associa il numero c che si ottiene addizionando il primo tante volte quante sono indicate dal secondo. In simboli: [esercizi a pag. ] a b c significa a + a + a + a + c b volte Ad esempio: + +. I numeri a e b si chiamano fattori, c si chiama prodotto. Poiché la moltiplicazione si può ricondurre a un addizione, è immediato concludere che l insieme N è chiuso rispetto alla moltiplicazione. Per la moltiplicazione valgono le seguenti proprietà: PROPRIETÀ Il prodotto di due numeri non cambia si cambia l ordine dei fattori (proprietà commutativa). In simboli: a b b a Ad esempio:. PROPRIETÀ Il prodotto di più fattori non cambia se a due o più di essi si sostituisce il loro prodotto (proprietà associativa). In simboli: (a b) c a (b c) Ad esempio: ( ) ( ). PROPRIETÀ Il prodotto di due o più fattori non cambia se a uno di essi si sostituiscono due o più numeri che lo ammettono come prodotto (proprietà dissociativa). In simboli: a b a (c d) con b c d Ad esempio 0 0.

13 unità Insiemi numerici La proprietà distributiva collega la moltiplicazione all addizione e alla sottrazione. PROPRIETÀ Il prodotto di un numero per una somma è uguale alla somma dei prodotti del numero dato per ognuno dei singoli addendi (proprietà distributiva rispetto all addizione). In simboli: a (b + c) a b + a c Ad esempio: ( + 6) + 6. PROPRIETÀ Il prodotto di un numero per una differenza è uguale alla differenza tra i prodotti del numero dato per il minuendo e per il sottraendo (proprietà distributiva rispetto alla sottrazione). In simboli: a (b c) a b a c Ad esempio: ( ). Valgono poi due proprietà riguardanti 0 e : PROPRIETÀ Il numero rappresenta l elemento neutro per la moltiplicazione poiché lascia inalterato qualunque numero con il quale venga moltiplicato. In simboli: a a a Ad esempio: PROPRIETÀ Il numero 0 è l elemento annullatore del prodotto, infatti il prodotto di qualunque numero per 0 è sempre nullo. In simboli: a 0 0 a 0 Ad esempio: Vale inoltre la seguente legge di annullamento del prodotto: PROPRIETÀ Il prodotto di due numeri è zero se e solo se è zero uno dei due fattori. In simboli: a b 0 se e solo se a 0 o b 0 in AZIONE Scrivi accanto a ogni moltiplicazione quale proprietà è stata applicata a. (8 ) 8 8 c. 8 b. 0 0 d. 6 6

14 capitolo Le operazioni e le loro proprietà Divisione L operazione inversa rispetto alla moltiplicazione è la divisione. DEFINIZIONE Dividere due numeri significa determinarne un terzo che, moltiplicato per il secondo, dà come risultato il primo. In simboli: a : b c significa c b a [esercizi a pag. ] Il numero a si chiama dividendo, b si chiama divisore, c è il quoziente. Il quoziente di due numeri naturali è un numero naturale solo se il dividendo è multiplo del divisore, quindi l insieme N non è chiuso rispetto alla divisione. Per la divisione non vale la proprietà commutativa infatti a : b b : a. Ad esempio: 0 : : 0, infatti la prima divisione dà come risultato, la seconda. Valgono anche per la divisione alcune proprietà riguardanti 0 e : PROPRIETÀ Se dividendo e divisore sono uguali il quoziente è uguale a. Ad esempio: :. PROPRIETÀ Se il divisore è il quoziente è uguale al dividendo. Ad esempio: :. PROPRIETÀ Se il divisore è 0 il quoziente non esiste. Infatti se esistesse un numero c a :0 allora a c 0, ma ciò contrasta con il fatto che 0 è l elemento annullatore del prodotto. La divisione gode inoltre, come la sottrazione, della proprietà invariantiva: PROPRIETÀ Il quoziente non cambia se si moltiplicano o dividono per uno stesso numero (diverso da zero) sia il dividendo sia il divisore. In simboli: a : b (a : c) : (b : c) a : b (a d) : (b d) Ad esempio: : ( : ) : ( : ) 9 : e : ( ) : ( ) 90 : 0. in AZIONE Vero o falso? a. 60 : 90 6 : 9 b. : 6 0 : 6 + c. 0 : 9 0 d. :

15 unità Insiemi numerici L insieme Q [esercizi a pag. 6] La necessità di ricercare un ambiente per il quale la divisione sia un operazione interna ci ha portato a introdurre l insieme Q dei numeri razionali. Un qualunque a numero razionale è rappresentato dalla frazione in cui il numero naturale a costituisce il numeratore e il numero naturale b il denominatore. b La frazione può essere considerata come un operatore che, applicato a una grandezza, la divide in tante parti quante sono indicate dal denominatore e ne considera tante quante sono indicate dal numeratore. Se la frazione è propria, quando viene applicata a una grandezza ne determina una minore di quella data. Se la frazione è impropria, determina una grandezza maggiore di quella data; se è apparente determina degli interi. Ad esempio è una frazione propria. Se calcoli i di kg ottieni 0 kg che è una grandezza minore di kg. Invece è una frazione impropria e di cm sono cm, grandezza maggiore di cm. 8 8 La frazione è apparente, corrispondente a interi. di 6 l sono l, esattamente il doppio della grandezza data. in AZIONE Considera la lunghezza 8 km e applica ad essa gli operatori frazionari, e. Verifica la coerenza tra le grandezze ottenute e il tipo di frazione applicata. La frazione è il numero razionale che si ottiene dividendo l unità per il denominatore e moltiplicando per il numeratore il quoziente ottenuto. In particolare, dividendo l unità per 0, si ottengono i decimi, per 000 i millesimi, la frazione divide l unità per e la moltiplica per. Se consideriamo la frazione come numero, esso può costituire i termini di ogni operazione o può essere confrontato con altri numeri. Per eseguire un addizione di numeri razionali bisogna tener conto del denominatore delle frazioni. DEFINIZIONE Se le frazioni hanno lo stesso denominatore la somma è una frazione con lo stesso denominatore e con numeratore corrispondente alla somma dei numeratori. Ad esempio: + 8.

16 capitolo Le operazioni e le loro proprietà DEFINIZIONE Se le frazioni da sommare hanno denominatori diversi devono essere ridotte allo stesso denominatore: si considerano cioè le frazioni equivalenti a quelle date che hanno come denominatore il mcm tra i denominatori. + 8 Ad esempio: +. Poiché il risultato di un addizione di frazioni è ancora una frazione, possiamo affermare che Q è chiuso rispetto all addizione. Inoltre, poiché l operazione di addizione viene effettuata considerando i numeri naturali che costituiscono i numeratori, valgono in Q tutte le proprietà dell addizione di numeri naturali. Per eseguire una sottrazione di numeri razionali, si seguono le stesse regole viste per l addizione, quindi si calcola la differenza tra i numeratori. Come nel caso dei numeri naturali, se il minuendo è minore del sottraendo la differenza, in questo caso il numeratore della frazione, è un intero relativo. L insieme Q non è chiuso rispetto alla sottrazione. 0 0 Ad esempio: e DEFINIZIONE Per moltiplicare due o più numeri razionali si esegue la moltiplicazione dei numeratori e la moltiplicazione dei denominatori, riducendo ai minimi termini il risultato ottenuto o eseguendo la semplificazione in croce. 0 Ad esempio: e. 6 Poiché il prodotto è un operazione interna a N, la frazione ottenuta ha come numeratore e denominatore due numeri naturali, quindi Q è chiuso rispetto alla moltiplicazione, inoltre valgono per i numeri razionali tutte le proprietà della moltiplicazione di numeri naturali. DEFINIZIONE Per dividere due numeri razionali si esegue la moltiplicazione della prima frazione per l inversa della seconda, cioè la frazione ottenuta scambiando tra loro numeratore e denominatore. Ad esempio: : 8. L operazione di divisione, essendo equivalente a una moltiplicazione, determina quindi un numero razionale, perciò l insieme Q risulta chiuso rispetto alla divisione. in AZIONE Esegui le seguenti operazioni con numeri razionali 9 a. + + b. c. d : 0

17 6 unità Insiemi numerici La frazione è il quoziente tra numeratore e denominatore. Se il numeratore è multiplo del denominatore, cioè si sta considerando una frazione apparente, il quoziente è un numero intero, se la frazione è propria, la cifra delle unità del quoziente è 0, se la frazione è impropria tale cifra è maggiore o uguale a. Per quanto riguarda la parte decimale essa dipende dai fattori che formano il denominatore della frazione. Se il denominatore di una frazione ridotta ai minimi termini contiene solo e/o o loro potenze, il numero decimale che si ottiene dividendo numeratore e denominatore è un numero decimale limitato. Ad esempio 8 corrisponde a : 8, (0) La divisione data si arresta ai millesimi e dà origine a un numero decimale che si dice limitato perché ha un determinato numero di cifre dopo la virgola. DEFINIZIONE Un numero si dice decimale limitato se le cifre che compongono la parte decimale si arrestano a un certo punto. Se il denominatore non contiene e/o e le loro potenze, ma tutti gli altri numeri o le loro potenze la frazione ridotta ai minimi termini determina un numero periodico semplice. Ad esempio corrisponde a :, DEFINIZIONE Un numero si dice periodico semplice se è decimale illimitato ma la parte decimale è costituita da una cifra o un gruppo di cifre che si ripetono sempre e che si indicano con il nome di periodo.... Per indicare il periodo si scrive il numero decimale e si sopralinea la cifra o il gruppo di cifre che si ripetono. Ad esempio, ,. Se il denominatore contiene e/o o le loro potenze e altri numeri o le loro potenze, la frazione ridotta ai minimi termini determina un numero periodico misto. Ad esempio corrisponde a : 6,

18 capitolo Le operazioni e le loro proprietà Dopo il primo resto, si ripete sempre il resto e quindi la parte decimale diventa illimitata e nel quoziente si ripete sempre la cifra. DEFINIZIONE Un numero si dice periodico misto se è decimale illimitato e il periodo è preceduto da una o più cifre decimali semplici che prendono il nome di antiperiodo. REGOLA REGOLA REGOLA Nel numero,8 8 è la cifra dell antiperiodo e è la cifra del periodo, la sua scrittura è, 8. È possibile realizzare anche il passaggio inverso, cioè la trasformazione di un numero decimale nella sua frazione generatrice. Per trasformare in frazione un numero decimale limitato, si scrive a numeratore il numero senza la virgola e a denominatore seguito da tanti 0 quante sono le cifre decimali. Se possibile si riduce la frazione ai minimi termini. Ad esempio,. 00 Per trasformare un numero periodico semplice si scrive una frazione che ha a numeratore la differenza tra le cifre che compongono il numero e tutto ciò che precede il periodo e a denominatore tanti 9 quante sono le cifre periodiche. Ad esempio, Per trasformare un numero periodico misto si scrive una frazione che ha a numeratore la differenza tra le cifre che compongono il numero e tutto ciò che non è periodico e a denominatore tanti 9 quante sono le cifre periodiche e tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo. 6 9 Ad esempio, Utilizzando perciò le frazioni generatrici è sempre possibile trasformare un calcolo con allineamenti decimali o periodici in un calcolo con numeri razionali. in AZIONE Determina le frazioni generatrici di a. 0,008 b., c. 0, 6 d. 6, [risposta] Il percorso effettuato (che spesso è parallelo al percorso storico) è consistito nella ricerca di insiemi numerici sempre più ampi, chiusi rispetto al maggior numero possibile di operazioni. Ad esempio con la considerazione dell insieme Q dei razionali abbiamo ottenuto la chiusura rispetto alla divisione. La divisione, che non sempre è possibile in N è invece sempre possibile in Q. Abbiamo inoltre verificato che tutte le proprietà che valgono per gli insiemi numerici più piccoli (ad esempio N), valgono anche negli insiemi numerici più ampi (ad esempio Q) e questa è una costante del pensiero matematico.

19 unità Insiemi numerici TEST E GIOCHI MATEMATICI Per aguzzare l ingegno ti proponiamo alcuni semplici test e giochi matematici. Pierino deve sistemare scatole formando due pile. In quanti modi diversi può disporre le scatole? Dal momento che non è precisato in quale ordine devono essere considerate le pile, le soluzioni possibili sono Per la proprietà commutativa dell addizione, si ottengono altre file formate dallo stesso numero di scatole (6, ). La soluzione richiesta è: Pierino può disporre le scatole in cinque modi diversi. Luca ha sempre festeggiato il suo compleanno spegnendo le candeline sulla torta. Con il compleanno di ieri ha spento in tutto 6 candeline. Quanti anni ha compiuto? In un quaderno della mamma, Lucia ha trovato questo gioco interrotto: 6 6 xx 6 6 oox... Le cifre che devi considerare sono quelle da a 6. Ogni x indica che nella fila c è un numero giusto al posto sbagliato, ogni o indica che il numero è giusto e anche al posto giusto. Quali sono le due possibili combinazioni vincenti? Inserisci nelle caselle rosse e i segni delle operazioni in quelle azzurre, in modo che, percorrendo l orologio in senso antiorario, il risultato delle operazioni eseguite sia sempre lo stesso. 6 8 LABORATORIO CONTINUA Prova a risolvere i giochi matematici che trovi sulle riviste e sui settimanali enigmistici: sono sempre un buon allenamento matematico. Ricordando le regole per la costruzione delle successioni, formula con esse dei semplici giochi del tipo: qual è il numero successivo in una serie di numeri assegnata secondo un certo criterio? Costruisci successioni di figure con regole semplici e chiedi ai tuoi amici di trovare il disegno mancante.

20 capitolo Le operazioni e le loro proprietà 9 DECIMALE NO! PERIODICO Un allineamento periodico è un numero la cui parte decimale è formata da cifre che da un certo punto in avanti si ripetono. Le regole studiate permettono di trasformarlo in frazione. Vediamo alcune particolarità legate a questi numeri. Perché il periodo di un numero non è mai 9? Considera un numero periodico con periodo 9 ad esempio, Secondo le regole di approssimazione, un numero di questo tipo è uguale a. Scriviamolo sotto forma di numero periodico e trasformiamolo in frazione applicando le regole studiate. LABORATORIO 9, , Come puoi notare, un numero intero corrisponde a un numero con periodo 9. Un numero decimale limitato può essere considerato un numero periodico? Un allineamento decimale è un numero la cui parte decimale si arresta. D altra parte sai che gli zeri dopo la virgola non si considerano. Consideriamo allora un numero decimale limitato, ad esempio,. Lo puoi scrivere come, , 0 quindi sotto forma di numero periodico con periodo 0. Applichiamo le regole di trasformazione sia al numero decimale limitato sia al numero in forma periodica:, , Ottieni la stessa frazione. Puoi concludere che un numero decimale limitato corrisponde a un numero periodico con periodo 0. Conosci già esempi di successioni numeriche: ad esempio i numeri naturali si ottengono partendo da 0 e addizionando al termine precedente. Una qualunque successione di multipli si ottiene moltiplicando uno stesso numero per,,, Particolare importanza in matematica hanno le progressioni geometriche. Si tratta di particolari successioni costruite in questo modo: fissa un numero a come primo termine fissa un numero b come ragione moltiplica a per b e ottieni il secondo termine i termini successivi si ottengono moltiplicando il termine precedente per la ragione

21 unità Insiemi numerici Ad esempio, consideriamo la successione: Si tratta di una progressione geometrica con primo termine a / e ragione b /. Proviamo a sommare i primi cinque termini che abbiamo scritto, considerandoli espressi in forma decimale. Si ottiene 0, + 0, + 0, + 0,06 + 0,0 0,968 Più termini addizioni, più la somma si avvicina a. Nel corso dei tuoi studi vedrai che la somma di tutti i termini della progressione si calcola semplicemente con la formula: S 8 6 a b... Nel caso considerato quindi S Considera ora il numero periodico 0, 6. Se lo scrivi per esteso ottieni 0, Puoi scriverlo anche come 0,6 + 0, ,00006 Quindi: Ogni termine si ottiene moltiplicando il precedente per /00 e il primo numero è 6/00. Le frazioni considerate costituiscono i termini di una progressione geometrica dove a 6/00 e la ragione b è /00. Calcolando la somma di tutti i termini con la regola precedente si ottiene: S : Se esprimiamo 0, 6 in frazione con la regola nota otteniamo: 6 0 0, 6 99 LABORATORIO CONTINUA Come vedi i due risultati coincidono, quindi possiamo affermare che un numero periodico semplice corrisponde alla somma dei termini di una progressione geometrica. Prova a individuare quali frazioni con denominatore formato da una cifra determinano i numeri periodici con periodo più lungo. Scopri le progressioni geometriche corrispondenti a numeri periodici semplici a tua scelta e verifica che la somma dei loro termini corrisponde al numero periodico espresso in termini di frazione. Alcune progressioni geometriche sono utili per illustrare i paradossi di Zenone. Ricerca in che cosa consistono questi paradossi.

22 RICORDA Insiemi numerici Addizione Operazione interna a N e Q Ha elemento neutro, lo 0 Proprietà Commutativa Associativa Dissociativa a + b c a e b addendi c somma a a a a + b b + a a + b + c a + d a + b c + d + b con d b + c con c + d a Sottrazione Operazione inversa rispetto all addizione N e Q non sono chiusi rispetto alla sottrazione Proprietà Invariantiva a b c c + b a a b b a e b a numero relativo a b (a + c) (b + c) a b (a d) (b d) Moltiplicazione Operazione interna a N e Q Ha elemento neutro Ha elemento annullatore 0 Proprietà Commutativa Associativa Dissociativa Distributiva a b c a e b fattori c prodotto a a a a 0 0 a 0 a b b a a b c d c con d a b a b c d b con c d a a (b + c) a b + a c a (b c) a b a c Divisione Operazione inversa rispetto alla moltiplicazione Operazione interna a Q, non a N, infatti c N se b è multiplo di a se b non è multiplo di a c decimale se b è composto da e/o o loro potenze c è decimale limitato se b è composto da fattori diversi da e/o c è periodico semplice se b è composto da e/o e altri fattori c è periodico misto Proprietà Invariantiva Distributiva a : b c c b a a : b c a, b N 8 : 6 :, 6 :,6666 6, 9 9 : 6,8, , 8 90 a : b (a : c) : (b : c) c 0 a : b (a d) : (b d) d 0 (a + b) : c (a : c) + (b : c) (a b) : d (a : d) (b : d) 90 6

23 unità Insiemi numerici VERIFICA le tue conoscenze Quale proprietà dell addizione è rappresentata dalla scrittura simbolica a + b b + a? a È valida se a e b sono due numeri naturali? b È valida se a e b sono due numeri razionali? La scrittura simbolica (a + b) + c a + (b + c) esprime la proprietà... a È valida se a, b, c sono numeri naturali? b È valida se a, b, c sono numeri razionali? Spiega il significato della seguente affermazione: L insieme N è chiuso rispetto all addizione. a b c Perché la sottrazione non gode della proprietà commutativa? Quando la differenza di due numeri naturali è un elemento di N? Se la differenza di due naturali non è un numero naturale, a quale insieme appartiene? 6 Completa la frase: La proprietà invariantiva della sottrazione afferma che... Scrivila in forma simbolica. La scrittura simbolica a (b + c) a b + a c esprime la proprietà... Spiegane il significato. In quali insiemi numerici è valida? Perché? La moltiplicazione di numeri naturali o razionali gode della proprietà dissociativa. Illustra la validità dell affermazione con esempi sia in N sia in Q. 8 La scrittura a : b (a : c) : (b : c) esprime la proprietà... In quali insiemi numerici è valida? Di quali altre proprietà gode la divisione? 9 a b c Che cos è un numero razionale? A quale operazione corrisponde? A quale insieme numerico appartengono i termini di tale operazione? 0 L insieme dei numeri razionali è chiuso rispetto a all addizione? Perché? b alla sottrazione? Perché? c alla moltiplicazione? Perché? d alla divisione? Perché? Illustra i tre significati delle frazione. Indica quali devono essere le caratteristiche di una frazione ridotta ai minimi termini perché determini a un numero decimale limitato b un numero periodico semplice c un numero periodico misto

24 METTITI ALLA PROVA Addizione Sottrazione [teoria a pag. 8] [teoria a pag. 0] capitolo Le operazioni e le loro proprietà Moltiplicazione Divisione [teoria a pag. ] [teoria a pag. ] 6 Riconosci quale proprietà è esemplificata dalle seguenti uguaglianze Completa le seguenti uguaglianze applicando la proprietà indicata. 9 + commutativa + + commutativa associativa 8 + dissociativa Riconosci le proprietà applicate nelle seguenti uguaglianze Scrivi accanto ad ogni passaggio quale proprietà è stata applicata ( ) + (0 + 0) + ( + ) Osserva i seguenti calcoli e indica quale proprietà è stata applicata. 8 9 (8 + ) (9 + ) (9 + ) (08 + ) ( ) ( ) Completa la tabella, eseguendo l operazione indicata, lascia vuote le caselle dove l operazione non è possibile in N. b a a + b

25 unità Insiemi numerici Considera le seguenti addizioni di frazioni, applica la proprietà commutativa e verificane la validità: Somma le due frazioni + quindi esprimi ognuna di esse come numero misto e verifica che il risultato dell operazione rimane invariato. Quale proprietà dell addizione è espressa dal procedimento che hai seguito? Applica alle seguenti addizioni di frazioni la proprietà associativa e verificane la validità: La sottrazione di numeri razionali gode delle stesse proprietà della sottrazione di numeri naturali? Dimostralo con gli esempi che ritieni più opportuni. L addizione e la sottrazione di numeri naturali ammettono un elemento neutro. Qual è? Il risultato vale anche per l addizione e la sottrazione di numeri razionali? Dimostralo con gli esempi che ritieni più opportuni. Scrivi accanto a ogni uguaglianza se è vera o falsa e quale proprietà è stata applicata V F... V F... ( ) V F V F... ( + ) + V F... 9 V F... ( + ) + V F V F V F... ( + 0) V F V F V F V F...

26 capitolo Le operazioni e le loro proprietà Individua in ogni passaggio quale proprietà è stata applicata, specificando a quale operazione si riferisce. ( ) 0 0 Calcola nei due modi possibili il risultato delle eseguenti operazioni (0 + 6) ( ) (0 ) (0 + 9) (0 + 0) (0 ) 0 0 (0 ) ( ) (0 + 9) (0 + 80) Considera le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione e spiega il ruolo di 0 e per ciascuna di esse. Qual è il significato di elemento neutro rispetto a un operazione? Per ciascuna delle quattro operazioni fondamentali indica, se esiste, l elemento neutro giustificando con opportuni esempi. Applicando la proprietà invariantiva, completa la seguente tabella, dividendo i numeri della prima riga per ciascuno di quelli indicati nella colonna. Lascia vuote le caselle dove la divisione non è possibile nell insieme N. Considera il seguente prodotto di 6 frazioni:. 9 8 Dimostra la validità delle proprietà commutativa e associativa. Considera l uguaglianza È valida? Quale proprietà esprime? La moltiplicazione di frazioni è distributiva anche rispetto alla sottrazione? Dimostralo con un esempio. 8 : Completa la tabella precedente considerando i numeri come elementi dell insieme Q. È possibile eseguire tutte le operazioni? Giustifica la risposta.

27 6 unità Insiemi numerici 9 0 Considerando valori a tua scelta, esegui la divisione di due numeri naturali la divisione di un numero intero per una frazione la divisone di una frazione per un numero naturale la divisione di due frazioni A quale insieme numerico appartiene il risultato in ciascuno dei casi precedenti? Le seguenti affermazioni sono equivalenti? L insieme Q è chiuso rispetto alla divisione La divisione è un operazione interna a Q Qual è il loro significato? Motiva la tua risposta. L insieme Q [teoria a pag. ] Ricorda che una frazione dà origine a un numero decimale limitato quando, ridotta ai minimi termini ha denominatore formato da e/o e le loro potenze. Ad esempio : 0,6. Viceversa un numero decimale si può scrivere in forma polinomiale o in frazione, infatti, Più semplicemente, per trasformare in frazione un numero decimale si scrive a numeratore il numero privato della virgola e a denominatore seguito da tanti 0 quante sono le cifre decimali. Se possibile si riduce la frazione ai minimi termini. Scrivi la frazione corrispondente alle seguenti forme polinomiali, come nell esempio Scrivi i seguenti numeri decimali, prima in cifre, poi in forma polinomiale, quindi in frazione. unità 8 decimi unità centesimi 6 decimi centesimi unità decimi centesimi decimi millesimi 8 millesimi

28 capitolo Le operazioni e le loro proprietà 6 decina unità decimi decine unità centesimi decine millesimi centinaia centesimi millesimi decine decimi millesimi decine decimi 8 unità decimi millesimi decine decimi centesimi unità decimo Riduci se necessario ai minimi termini le seguenti frazioni, individua quelle che danno origine a un numero decimale limitato e determinalo Determina, senza eseguire la divisione, quale tra le tre frazioni date non corrisponde allo stesso numero decimale delle altre due (riduci ai minimi termini e osserva)

29 8 unità Insiemi numerici Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere o false e correggi quelle errate , 0, 08 0, 8 0, 9 0 0, 0,, 0, , 0 0, 0, , 0, 0, 0, , 0, 0, 0, 0 Per trasformare una frazione in frazione decimale, è necessario scrivere il suo denominatore come potenza di 0, quindi come potenze con uguale esponente di e. Ad esempio: Scomponi numeratore e denominatore delle seguenti frazioni, esegui le necessarie semplificazioni e trasformale in frazioni decimali

30 capitolo Le operazioni e le loro proprietà 9 Riduci ai minimi termini e trasforma in frazione decimale. Ad esempio: Vero o falso?,,0 V F,,0 0,6 0,600 V F,00 0, V F 0, 0,0 0,00 V F 0,8 8,00, V F, 00 V F V V V V F F F F Due o più frazioni si dicono equivalenti quando, ridotte ai minimi termini, danno luogo alla stessa frazione. Le frazioni equivalenti determinano quindi lo stesso numero decimale. Ad esempio 0, corrisponde a,,,, Trasforma in frazione il numero 0, e scrivi cinque frazioni diverse che lo rappresentino. Scrivi cinque frazioni che rappresentino,. Scrivi cinque frazioni corrispondenti al numero 0,. Determina la frazione decimale corrispondente al numero, scrivila sotto forma di numero decimale e determina altre quattro frazioni che rappresentino il numero dato. Scrivi la frazione decimale corrispondente a, esprimila come numero decimale e determina altre quattro frazioni che rappresentino il numero dato. Spiega perché la frazione non si può esprimere come numero decimale limitato.