Tullia Norando Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. Convegno IRRE 2005

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Adelaide Salvatore
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1 Tullia Norando Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano Convegno IRRE 2005

2 Proporzioni Il valore estetico Natura Arte 2

3 Rapporto tra misure semplici Canone Scala naturale Uguaglianza tra due rapporti Euclide Leonardo - Palladio Limite di una successione di rapporti Fibonacci Tracciato regolatore Tracciato costruttore Modulo Le Corbusier 3

4 4

5 La scala pitagorica si basa sui rapporti semplici: 2:1 3:2 4:3 che corrispondono rispettivamente alle consonanze fondamentali: ottava, quinta, quarta 5

6 La sezione aurea si basa sull uguaglianza di due rapporti Costruzione di Erone riportata da Luca Pacioli 6

7 Costruzione di Euclide Riportata da L.B. Alberti 7

8 Metodi per definire l altezza di una stanza a pianta rettangolare di lati e media aritmetica tra e : medio geometrico tra e : medio armonico tra e : 8

9 ! " # 9

10 $ Una successione numerica in cui il rapporto tra ogni termine e il consecutivo converge ad un numero reale n. F(n) F(n)/F(n+1) F(n+1)/F(n) , , , ,6 1, ,625 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Una storia di conigli 10

11 #%& φ è la misura della sezione aurea del segmento unitario 1: φ = φ : 1 ( φ ) Ovvero φ è la soluzione positiva dell equazione Φ = 1/φ è la soluzione positiva dell equazione x 2 2 =1 x =1+ x x 11

12 ' Griglia Aurea Griglia A3-A4-A5 12

13 $ # 13

14 Realizzato da Federico Nicolosi - LS Vittorio Veneto - MI progetto 14

15 ( )*+,-)*++ 15

16 Il valore estetico Test 1871 G.T. Fechner Metodo della scelta Metodo della produzione Metodo dell uso Argomenti di contestazione Ordine Orientazione Colore Casualità del campione dimensione Conclusioni 16

17 Il valore estetico Teorie estetiche Optical feeling Movimenti oculari Ipotesi perimetrica Sensazioni fisiche Contaminazioni culturali Valori estetici misurabili Messa in discussione di tutte le figure geometriche pure 17

18 Il problema della misura Bisogna essere Φedeli : Errori nel rilievo della misura: Difetti di costruzione Deformazioni successive Imprecisione della misura 18

19 Il corpo umano 19

20 Il problema della misura Rapporto tra lunghezze: Errore sulla misura diretta; Errore sulla misura indiretta; Valutazione dell incertezza. Esempio misure di rapporti nel corpo umano 20

21 Leggenda 21

22 o Realta` 22

23 Il volo del. calabrone Gli insetti che hanno occhi composti si dirigono verso una sorgente luminosa mantenendo costante l angolo formato dal raggio luminoso che colpisce l occhio e dal vettore che descrive in ogni istante la direzione del moto. In dipendenza dalla posizione iniziale si possono calcolare le traiettorie. La rapidità di avvicinamento dipende dall angolo. 23

24 Fuga dal mare La nebbia è calata all improvviso sul mare. Il nuotatore sceglie il percorso che rende minimo il massimo tempo di fuga. Articoli di Steven R. Finch (2005) 24

25 Fillotassi Crescita delle foglie la crescita della foglie segue una «spirale vegetativa»: le linee rette che congiungono il centro del fusto e l abbozzo della foglia formano un «angolo di divergenza» di (chiamato angolo aureo). 137,5 è la differenza tra 360 e 360 /. In altre parole: 360 / = per cui l angolo minore è ,5 =137,5 25

26 Fillotassi Motivazioni a) I germogli posti lungo la spirale generatrice risultano più fitti e sfruttano lo spazio con più efficienza ( Harold S.M. Coxeter, J. Adler, N. Rivier). b) per omogeneità( la struttura ovunque è la stessa) e autosomiglianza (la struttura in ogni sua parte conserva lo stesso aspetto). (N.Rivier) c) condizioni di energia minima consumata dalle gemme nel posizionarsi l una dall altra. Esperimenti di L.S.Levitov (1991), Stephane Donady e Yves Couder (1992 e 1996). 26

Fillotassi Infiorescenze /Disposizione dei petali o delle scaglie Gli elementi dell infiorescenza crescono e si disperdono in modo da occupare in

27 Fillotassi Infiorescenze /Disposizione dei petali o delle scaglie Gli elementi dell infiorescenza crescono e si disperdono in modo da occupare in maniera efficace lo spazio circolare al centro del fiore. Disposizione a spirale Numero delle spirali avvolte in senso orario oppure antiorario 27

28 Fillotassi Motivazioni Gli elementi si dispongono su circonferenze concentriche tali che: C è un punto su ogni circonferenza. L angolo di divergenza (d) tra punti su circonferenze successive è costante. Il raggio di circonferenze successive cresce di un fattore costante G. 28

29 Fillotassi Motivazioni G=φ, d=π/2 è è è è G=Φ, d=π/2 29

30 Spirali logaritmiche 30

31 Le proprietà principali 31

32 Destra o Sinistra 32

33 Un universo di Spirali Lituo Spirale inversa Clitoide Spirale di Fermat 33

34 Spirali auree 34

35 Spirali 35

36 Spirali Il motivo della spirale logaritmica è stato sempre presente nell arte. Recentemente il tema è stato ripreso nelle opere di Mario Merz. 36

37 Spirali in poesia La chiocciola Vìva la chiòcciola, vìva una béstia che unìsce il mèrito àlla modèstia. Essa àll astrònomo e all àrchitétto fórse nell ànimo destò il concètto del cànnocchiàle e délle scàle: vìva la Chiòcciola, càro animàle. G.Giusti 37

38 Manufatti Mobili Produzione artigianale Produzione industriale Produzione di studenti Gioielli Produzione artigianale Produzione di studenti 38

39 Mobili 39

40 Gioielli e oggetti 40

41 La sezione aurea in pittura Alcuni autori celebri Piero della Francesca Michelangelo Buonarroti Salvador Dali Mondrian George Seurat Malevich Rothko Lavori di alcuni studenti I lavori sono stati prodotti nella partecipazione a stage presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano 41

42 Realta` antiche Piero della Francesca Michelangelo 42

43 e. moderne Salvador Dali 43

44 ancora moderne Mondrian George Seurat 44

45 fino ai nostri giorni Rothko Malevich 45

46 opere di studenti Rossella Barbuto -!!"#$%& ' ( 46

47 opere di studenti Rossella Barbuto -!!"#$%& ' ( 47

48 opere di studenti Federico Nicolosi - Liceo Scientifico Vittorio Veneto - Milano 48

La sezione aurea in scultura contemporanea Xavier Barrera Por la Libertad de Prensa Materiale: fibra di vetro Dimensioni: 250 cm (altezza) Por la Libertad de Prensa è un opera con significato

49 La sezione aurea in scultura contemporanea Xavier Barrera Por la Libertad de Prensa Materiale: fibra di vetro Dimensioni: 250 cm (altezza) Por la Libertad de Prensa è un opera con significato politico, che si riferisce a un evento accaduto a Buenos Aires nel 1997, quando il reporter e fotografo Luis Cabezas fu assassinato a causa di un indagine che stava conducendo sulle attività governative. Ogni anno una manifestazione chiamata Camerazo commemora il giornalista argentino: nell occasione tutti i presenti impugnano una macchina fotografica con la mano destra, in un gesto di ricordo e di sfida. 49

50 Louise Bourgeois La spirale è il tentativo di controllare il caos. Ha due direzioni. Dove ci si colloca, alla periferia o al vortice? Cominciare dall'esterno è paura di perdere il controllo; l'avvolgimento è serrarsi, ritirarsi, comprimersi fino a sparire. Cominciare dal centro è affermazione, muoversi verso l'esterno rappresenta il dare e l'abbandonare il controllo; la fiducia, l'energia positiva, la vita stessa. 50

51 La sezione aurea in architettura contemporanea 51

52 Altre forme artistiche 52

53 Omaggio all arte 53

54 Omaggio all arte 54

55 Bibliografia/Linkografia Musica Free software Sezione aurea e musica Animazioni

56 Bibliografia/Linkografia Sezione aurea e Fibonacci ml 56

57 E adesso. 57

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