Probabilità. Maura Mezzetti Terema della probabilità totale. Il teorema delle probabilità totali afferma che

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1 Probabilità Maura Mezzetti Terema della probabilità totale Il teorema delle probabilità totali afferma che Dato un evento B e una partizione A 1, A 2,,A n Possiamo scrivere la probabilità dell evento B come: P(B)=P(B A 1 )P(A 1 )+P(B A 2 )P(A 2 )+.+P(B A n )P(A n ) 1

2 Esempio 30% degli uomini fuma, rispetto al 40% delle donne. Se ci sono tanti uomini quante donne, qual è la probabilità che preso un individuo a caso sia un fumatore? Esempio 30% degli uomini fuma, rispetto al 40% delle donne. Se ci sono tanti uomini quante donne, qual è la probabilità che preso un individuo a caso sia un fumatore? B ={fumatore} M={maschio} F={femmina} P(B)=P(B M) P(M)+P(B F) P(F) = =0.35 2

3 Teorama della probabilità totale Una partizione dell evento Ω è una classe di eventi. Sia A 1, A 2,,A n tale che A i A j =Ø A 1 A 2 A n =Ω P(A i )>0 per ogno i Il teorema della probabilità totale afferma che Dato un evento B e una partizione A 1, A 2,,A n Possiamo scrivere la probabilità di B come: P(B)=P(B A 1 )P(A 1 )+P(B A 2 )P(A 2 )+.+P(B A n )P(A n ) Teorema di Bayes Dati due eventi complementari e mutuamente esclusivi B e B P(A) = P(B A) + P(B A) = P(B) P(A B) + P(B) P(A B) P(B A) P(B A) = P(A) P(B) P(A B) = P(A) P(B) P(A B) = P(B) P(A B) + P(B) P(A B) = 6 3

4 Bayes Theorem In molte situazioni abbiamo informazioni a priori. Considerate queste informazioni, calcoliamo le probabilità a posteriori aggiornando con l evidenza Il teorema di Bayes compie l operazione opposta, dall evidenza calcola la probabilità di un evento precednete. Prior Probabilities New Information Application of Bayes Theorem Posterior Probabilities Esempio Teorema di Bayes La percentuale di studenti iscritti al secondo anno d ingegneria che frequenta il corso di statistica è il 70%. Si suppone che tra questi il 90% supererà l esame. Invece tra i non frequentati la probabilità di passare l esame è uguale a Quale sarà la percentuale di studenti che passeranno l esame? Dato che uno studente ha passato l esame, quel è la probabilità che ha seguito il corso? 4

5 Esempio Teorema di Bayes A 1 =lo studente frequenta il corso A 2 =lo studente NON frequenta il corso B=lo studente supera l esame Esempio Teorema di Bayes Probabilità a Priori Da informazioni soggettive: P(A 1 ) = 0.7, P(A 2 ) = 0.3 Nuove informazioni LO STUDENTE HA SUPERATO L ESAME Dato che si è verificato l evento B, qual è la probabilità lo studente abbia frequentato il corso? 5

6 Esempio Teorema di Bayes Probabilità condizionate P(B A 1 ) =.9 P(B A 2 ) =.2 Tree Diagram P(B A1) =.9 P(A1 B) =.63 P(A1) =.7 _ P(B A1) =.1 _ P(A1 B) =.07 P(B A2) =.2 P(A2 B) =.06 P(A2) =.3 _ P(B A2) =.8 _ P(A2 B) =.24 6

7 Teorema di Bayes Il teorema di Bayes permette di trovare le probabilità a posteriori dell evento A i, dato che si è verificato l evento B P ( A i ) P ( B A i ) P ( A i B ) = P ( A ) P ( B A ) + P ( A ) P ( B A ) P ( A ) P ( B A ) n n Il Teorema di Bayes quando gli eventi A i sono mutamente esclusivi e la loro unione forma tutto lo spazio campionario: cioè formano una partizione Esempio Teorema di Bayes Probabilità a Posteriori P ( A 1 ) P ( B A 1 ) P ( A 1 B ) = P ( A ) P ( B A ) + P ( A ) P ( B A ) (.7)(.9) + (.3)(.2)) =.913 = (.7)(.9) 7

8 Tabular Approach Step 1 Prepara le seguenti tre colonne Colonna 1 - Gli eventi mutuamente esclusivi A i, per cui si vuole calcolare la probabilità a posteriori Colonna 2 - Le probabilità a priori degli eventi A i Colonna 3 - Le probabilità condizionate del nuovo evento B dato ogni evento A i, Tabular Approach events Prior Conditional A i P(A i ) P(B A i ) A A sum 1 8

9 Tabular Approach Step 2 Nella Colonna 4 otteniamo le probabilità congiunte. Moltiplicando le probabilità a priori per le probabilità condizionate P(A i IB) = P(A i ) P(B A i ). Tabular Approach events Prior Conditional Joint A i P(A i ) P(B A i ) P(A i B) A A sum 1 9

10 Tabular Approach Step 3 Sommando le probabilità congiunte otteniamo la probabilità di B P(B)=P(B A 1 )+P(B A 2 )+.+P(B A n ) Tabular Approach events Prior Conditional Joint A i P(A i ) P(B A i ) P(A i B) A A sum 1 P(B)=

11 Tabular Approach Step 4 Infine nell ultima Colonna, la Colonna 5, otteniamo le probabilità a posteriori P ( A i B ) = P ( A i B ) P ( B ) Tabular Approach events Prior Conditional Joint Posterior A i P(A i ) P(B A i ) P(A i B) P(A i B) A A sum 1 P(B)=

12 Tabular Approach events Prior Conditional Joint Posterior A i P(A i ) P(B A i ) P(A i B) P(A i B) A A sum 1 P(B)= Esercizio Una ditta acquista fiale da tre diversi fornitori: il 65% dal fornitore B1, con difettosità del 5% il 25% dal fornitore B2, con difettosità del 10% il 10% dal fornitore B3, con difettosità del 25% Qual è la probabilità di ricevere una fiala difettosa? 12

13 events Prior Conditional Joint conditional A i P(A i ) P(B A i ) P(A i B) P(A i B) A A A sum 1 events Prior Conditional Joint conditional A i P(A i ) P(B A i ) P(A i B) P(A i B) A A A sum

14 events Prior Conditional Joint conditional A i P(A i ) P(B A i ) P(A i B) P(A i B) A A A sum Soluzione P(B 1 )+P(B 2 )+ P(B 3 )=1 Ω=B1 B2 B3 B1 p[a/b1] A D= fiale difettosa A B2 p[a/b2] Bn p[a/bn] A P(D)=P(D B 1 )P(B 1 )+P(D B 2 )P(B 2 )+P(D B 3 )P(B 3 )= = = = =

15 Ricapitolando: Il 23% di tutti i giocatori di rugby risulta positivo al test, ma soltanto il 9.5% usa davvero steroidi anabolizzanti. Quindi la probabilità che un giocatore che è risultato positivo al test usi davvero steroidi anabolizzanti è: P(S T) = P(steroidi test positivo) = = 0.095/( ) = = 0.095/0.23 = 41.3% 29 Teorema di Bayes Notate come abbiamo appena calcolato P(S T) (= probabilità che un atleta usi gli steroidi dato che è risultato positivo al test), a partire dalla conoscenza di P(T S) (= probabilità che il test sia positivo per un atleta che usa gli steroidi), di P(T S) (= probabilità che il test sia positivo per un atleta che non usa gli steroidi), e di P(S). Nel nostro esempio: P(T S) = 0.95, P(T S) = 0.15, P(S) = 0.1, P(S) = 0.9 P(S T) = ( )/( ) =

16 Teorema di Bayes Notate come abbiamo appena calcolato P(S T) (= probabilità che un atleta usi gli steroidi dato che è risultato positivo al test), a partire dalla conoscenza di P(T S) (= probabilità che il test sia positivo per un atleta che usa gli steroidi), di P(T S) (= probabilità che il test sia positivo per un atleta che non usa gli steroidi), e di P(S). Nel nostro esempio: P(T S) = 0.95, P(T S) = 0.15, P(S) = 0.1, P(S) = 0.9 P(S T) = ( )/( ) = Esercizio Un'azienda produttrice di componenti elettronici per la telefonia mobile sottopone a un controllo ogni pezzo prodotto. Se il pezzo supera il controllo, viene messo in commercio. Sapendo che ha superato il controllo, qual è la probabilità NON sia difettoso? 16

17 Esercizio Supponiamo di conoscere le seguenti probabilità: La probabilità che il pezzo sia difettoso è 0.1; Sapendo che il pezzo è difettoso, la probabilità che non superi il controllo, è 0.9. Sapendo che il pezzo non è difettoso, la probabilità che superi il controllo, è 0.8. Si calcoli la probabilità che il pezzo superi il controllo. Sapendo che ha superato il controllo, qual è la probabilità NON sia difettoso? Esercizio ( D) P( D) + P( T D ) P( ) P( T ) = P T D = = 0.73 = (1 0.9) = ( D ) P( D ) P T 0.72 P( D T ) = = = P( T )

18 Esercizio Uno studente ha appena seguito un corso di statistica; si considerino i seguenti eventi: Lo studente ha preso un buon voto all'esame. Lo studente ha gradito il corso. Esercizio Supponiamo che: i. la probabilità che, nell ipotesi che abbia gradito il corso, lo studente prenda un buon voto all esame, è P(B A) = 0,7; ii. la probabilità che lo studente abbia gradito il corso è P(A) =0,4; iii. la probabilità che lo studente abbia preso un buon voto, nell ipotesi che non abbia gradito il corso è P(B A c )= 0,4. Si calcoli la probabilità che lo studente abbia preso un buon voto all'esame. 18

19 Esercizio A= gradito il corso A C = NON gradito il corso B = lo studente ha preso un buon voto Events A Prior prob P(Ai) Conditiona l prob P(B Ai) Joint prob P(Ai B) Posterior prob P(Ai B) A= gradito il corso A C = non gradito il corso Esercizio A= gradito il corso A C = NON gradito il corso B = lo studente ha preso un buon voto Events A Prior prob P(Ai) Conditiona l prob P(B Ai) Joint prob P(Ai B) Posterior prob P(Ai B) A= gradito il corso A C = non gradito il corso

20 Esercizio A= gradito il corso A C = NON gradito il corso B = lo studente ha preso un buon voto Events A Prior prob P(Ai) Conditiona l prob P(B Ai) Joint prob P(Ai B) Posterior prob P(Ai B) A= gradito il corso A C = non gradito il corso Esercizio In un caso di omicidio ci sono due sospetti, A e B, considerati dalla polizia ugualmente sospettati. Sul luogo del delitto sono stati rinvenuti dei capelli non appartenenti alla vittima, e quindi appartenenti al colpevole. La prova del DNA sui capelli e sui due sospetti ha portato alla conclusione che il DNA ritrovato potrebbe appartenere all 80% ad A e al 50% a B. Qual è la probabilità che sia A il colpevole alla luce dell analisi del test sul DNA? E che sia B? 20

21 Esercizio P(A) = P(B) = 0.5 P(test A) = 0.80 P(test B) = 0.50 Allora: P(test A)P(A) + P(test B)P(B) = 0.8 x x 0.5 = 0.65 P(A test) = 0.8x0.5/0.65 = 0.6 P(B test) = 0.5x0.5/0.65 = 0.4 Tabular Approach events Prior Conditional Joint Posterior A i P(A i ) P(B A i ) P(A i B) P(A i B) A A sum 1 P(B)=