Sistemi ad Eventi Discreti Dinamici o DEDS (Discrete Event Dynamic System) Ing.Francesco M. Raimondi Lezioni del corso di

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1 AUTOMAZIONE INDUSTRIALE Le Reti di Petri Ing.Francesco M. Raimondi Lezioni del corso di Automazione Industriale Dipartimento di Ingegneria dell Automazione e dei Sistemi Classificazione dei sistemi di controllo SISTEMA STATICO DINAMICO TEMPO VARIANTE TEMPO INVARIANTE LINEARE NON LINEARE STATO CONTINUO STATO DISCRETO DEDS TIME DRIVEN EVENT DRIVEN DETERMINISTICO STOCASTICO TEMPO DISCRETO TEMPO CONTINUO Automazione Industriale Sistemi ad Eventi Discreti Sistemi ad Eventi Discreti Dinamici o DEDS (Discrete Event Dynamic System) Un Sistema ad Eventi Discreti (Discrete Event System DES) è un sistema dinamico, in cui le transizioni di stato sono provocate da eventi che si presentano in istanti del tempo discreto. Lo spazio di stato di un sistema DES è descritto da un insieme discreto (i.e. insieme dei numeri naturali N), mentre, le transi zioni di stato sono osservate in punti discreti dell asse temporale. Automazione Industriale - 2 3

2 Sistemi ad Eventi Discreti Il concetto di Evento similmente al concetto di insieme e di sistema è un concetto primitivo ed è quindi lasciato all intuizione piuttosto che a una formale definizione. Ma mentre al concetto di Sistema si sono associate varie definizioni, il concetto di evento rimane ancora intuitivo. Com è noto, nei sistemi a variabile continua (Continue Variable Dynamics System CVDS) lo stato generalmente cambia ogni volta che cambia il tempo. Questo è particolarmente evidente nei modelli dei sistemi a tempo discreto, dove un orologio guida le traiettorie delle variabili di stato, e dove, lo stato varia con andamento continuo al variare del tempo. Automazione Industriale Sistemi ad Eventi Discreti Nei sistemi DES lo stato del sistema cambia solo in un certo punto dello spazio temporale, mediante una transizione di stato discontinua. Ad ognuna di queste transizioni si associa un evento. In generale, nel caso in cui la transizione della variabile di stato è sincronizzata con un orologio, si parla di Sistemi Dinamici a Stato Discreto Time-Driven, mentre, nel caso in cui in istanti di tempo non determinati qualche evento E annuncia che si è verificato, allora, si parla di Sistemi ad Eventi Discreti Event- Driven. Ciò premesso si può enunciare la definizione di DES. Automazione Industriale Sistemi ad Eventi Discreti Definizione formale di Sistema ad Eventi Discreti Def. Un Sistema ad Eventi Discreti (Discrete Event System nella terminologia Anglosassone), è un Sistema a Stato Discreto Event Driven, in cui evoluzione l dello stato dipende interamente dall occorrenza di un evento discreto asincrono sopra il tempo. Automazione Industriale - 2 6

3 Sistemi ad Eventi Discreti Dalla def. si notano due proprietà che differenziano i Sistemi DEDS dai sistemi CVDS. ) I Sistemi Dinamici a Variabile Continua sono a variabile di stato continua e Time-Driven, mentre, i Sistemi Dinamici ad Eventi Discreti o DEDS presentano lo spazio di stato discreto e sono Event-Driven. Ciò, significa che nei CVDS la variabile di stato può assumere un valore appartenente al campo dei numeri reali R o complessi C, (comuni quantità fisiche come posizione, velocità, accelerazione, temperatura, pressione, flusso etc. appartengono a tale categorie), e il tempo discreto k (o il tempo continuo t) è una variabile indipendente. Automazione Industriale Sistemi ad Eventi Discreti 2) Nei DEDS la variabile di stato assume valori appartenenti ad insiemi finiti e la variabile tempo è una grandezza dipendente. Inoltre, mentre nei CVDS la variabile di stato x(t) è in generale la soluzione di una equazione differenziale o di una equazione alle differenze, nei DEDS x(t) è un tratto di funzione costante dovuto al salto della variabile di stato da un valore a un altro quando si verifica un evento. - Esiste un ampia classe di strutture per analizzare e modellare i sistemi ad eventi discreti tra cui ricordiamo: la generalizzazione ai processi di Markov; Automi e linguaggi formali; simulazione con il calcolatore; l analisi delle perturbazioni ; le reti di Petri. Automazione Industriale Sistemi ad Eventi Discreti di sistema ad eventi discreti Materiale in Materiale in lavorazione Giostra di Lavorazione Materiale in uscita Flusso del materiale Materiale in attesa Automazione Industriale - 2 9

4 Sistemi ad Eventi Discreti di sistema ad eventi discreti Eventi: sul pezzo pezzo - pezzo Automazione Industriale - 2 Reti di Petri Reti di Petri - Le Reti di Petri rappresentano uno studio alternativo agli Automi, e sono stati sviluppati per la prima volta da C.A. Petri nel 96. -Le Reti di Petri sono uno strumento grafico e analitico per la descrizione di sistemi distribuiti. - Mediante le RdP è possibile rappresentare sia la concorrenza, attività o processi che evolvono in parallelo, sia la sincronizzazione di attività o di processi. -Esistono diversi modelli chiamati RdP, noi ci limitiamo a descrivere un particolare tipo di rete di Petri, noto con il nome Reti posto Transizione. Automazione Industriale - 2 Reti di Petri - Si prestano bene a rappresentare in modo naturale sistemi asincroni (gli eventi non sono vincolati ad accadere secondo una frequenza ben definita): infatti in una rete non è possibile forzare una transizione a scattare qualora in un data configurazione ve ne sia più d una abilitata a farlo. - Sono dotate di una rappresentazione grafica molto spontanea, che ne facilita l uso anche con strumenti dedicati assistiti da calcolatore CAD. - Rappresentano un estensione significativa degli Automi. Infatti, le reti di Petri possono rappresentare in modo compatto concetti generali quali sincronizzazione tra processi, il succedersi asincrono di eventi, operazioni concorrenti, conflitti e condivi sione di risorse. Automazione Industriale - 2 2

5 Reti di Petri - Gli automi non riescono a rappresentare sistemi ad infiniti stat con un numero finito di nodi mentre le reti di Petri consentono d rappresentare sinteticamente tali sistemi anche tramite un grafo con un numero finito di nodi. - In una rete di Petri lo stato di un sistema e la transizione di stato sono concetti distribuiti: - Ogni stato complessivo della rete è interpretabile come composto da più stati parziali ed indipendenti relativi a sottoreti. Automazione Industriale Reti di Petri - Una transizione in generale si limita a influenzare solo una parte dello stato complessivo. Al contrario, negli automi a stati finiti lo stato del sistema viene sempre considerato nel suo complesso e per di più le transizioni di stato possibili sono tra loro mutuamente esclusive. - Consentono di modellare il comportamento dinamico di Sistemi ad Eventi Discreti. Ogni evento è una operazione, cioè un lavoro o un azione, che ha inizio una durata e un termine definibile in modo preciso Automazione Industriale Elementi Costitutivi delle RdP Elementi costitutivi delle Reti di Petri Una Rete di Petri è un grafo bipartito G=(V,A), in cui l insieme V comprende due tipi di vertici e in cui possono esistere solo archi A che collegano vertici di tipo differente. Posto Transizione Arco Token o marca Automazione Industriale - 2 5

6 Elementi costitutivi di una RdP - I posti rappresentano gli elementi passivi della Rete di Petri e permettono di modellare gli stati del sistema. Essi servono per definire condizioni o situazioni e sono quindi utili per rappresentare lo stato del sistema o delle componenti del sistema. Il simbolo grafico con cui si rappresenta un posto è un cerchio. I posti possono contenere dei token rappresentati graficamente con dei cerchi neri. - Le transizioni servono per rappresentare eventi o attività che modificano lo stato del sistema e determinano lo spostamento dei token da un posto ad un altro. Le transizioni si rappresentano graficamente con segmenti o con rettangoli. Automazione Industriale Elementi costitutivi di una RdP La presenza o assenza di token in un posto serve a indicare la condizione o la situazione legata al posto. Nel caso in cui il posto rappresenti una condizione e che quindi vi possano essere zero o un token nel posto, la condizione booleana è vera se il posto contiene un token è falsa se il posto è vuoto. Nel caso in cui il posto possa contenere più di un token, la presenza e il numero di token specificano particolari situazioni. - Gli archi stabiliscono una relazione tra posti e transizioni ovvero tra attività e situazioni. Essi definiscono il modo in cui un evento o una attività modificano lo stato di una porzione di rete alterando il numero dei token in certi posti. Automazione Industriale Archi Archi All arco orientato normalmente viene dato valore unitario. L arco orientato può avere valore non unitario. Se l arco è posto in uscita di una condizione, abiliteràla relativa transizione solo quando il numero delle marche nella condizione è pari o maggiore al valore dell arco. In attivazione della transizione, il numero delle marche della condizione decrescerà di un valore pari al valore dell arco. Se l arco è posto in ad una condizione, quando la transizione a monte è abilitata, la condizione sarà riempita di un numero di marche pari al valore dell arco. Automazione Industriale - 2 8

7 Elementi costitutivi di una RdP - La marcatura rappresenta lo stato della Rete di Petri, e comprende la descrizione del numero di token contenuti in ciascun posto. La marcatura può essere rappresentata da un vettore di n numeri interi M, il cui elemento i è il numero di token contenuto nel posto i. - La marcatura può essere rappresentata anche da multi -set, ovvero da un insieme con molteplicità, i cui elementi sono tratti dall insieme dei posti. Ogni posto compare nel multiset tante volte quanti sono i token in esso contenuti. Automazione Industriale Posti posti (condizioni) Pezzo sulla macchina su su finita con 2 ultimato 2 Automazione Industriale Transizioni Transizioni Ogni evento discreto è rappresentato da una transizione, simboleggiata da una barretta. Ogni condizione necessaria per la transizione è rappresentata da un posto (cerchietto) collegato in da un arco orientato posto posto posto Condizioni Ingresso della Transizione Evento o Transizione Automazione Industriale - 2 2

8 Transizioni Transizioni Ogni condizione creata da una transizione è rappresentata da un posto, collegato in uscita con un arco orientato posto posto posto Condizioni Evento o Transizione posto Nuove Condizioni posto Automazione Industriale transizioni Transizioni su 2 Automazione Industriale transizioni Transizioni su con 2 2 Automazione Industriale

9 transizioni Transizioni su con 2 2 Automazione Industriale Archi Archi non unitari : Costruzione di un oggetto composito Ingredienti: Per fare il pezzo A servono 4 pezzi B, 2C e 3D. Transizione non abilitata B C 2 4 A D 3 Automazione Industriale Archi Archi non unitari : Costruzione di un oggetto composito Ingredienti: Per fare il pezzo A servono 4 pezzi B, 2C e 3D. Transizione abilitata B C 2 4 A D 3 Automazione Industriale

10 Archi Archi non unitari : Costruzione di un oggetto composito Ingredienti: Per fare il pezzo A servono 4 pezzi B, 2C e 3D. Transizione abilitata B C 2 4 A D 3 Automazione Industriale Stato di una condizione Token Lo stato di una condizione è rappresentato da una marca nel posto corrispondente posto posto posto Condizione verificata Condizione non verificata (manca la marca) Automazione Industriale token (o Marche) Pezzo sulla macchina Token su su finita con 2 ultimato 2 Automazione Industriale - 2 3

11 Token token (o Marche) Pezzo sulla macchina su su finita con 2 ultimato 2 Automazione Industriale Transizioni token (o Marche) Pezzo sulla macchina su su finita con 2 ultimato 2 Automazione Industriale Token token (o Marche) lavorazione Grezzo sulla macchina attesa uscita Pezzi in uscita Automazione Industriale

12 marche multiple Token lavorazione lavorazione attesa uscita Pezzi in uscita Automazione Industriale marche multiple Token lavorazione attesa attesa uscita Pezzi in uscita Automazione Industriale marche multiple Token lavorazione uscita attesa uscita Pezzi in uscita Automazione Industriale

13 marche multiple Token lavorazione attesa uscita Pezzi in uscita Automazione Industriale Preset e Postset Elementi di Preset e Postset - Detto N un nodo della rete (posto oppure transizione), il suo preset è l insieme dei nodi dai quali parte un arco che arriva a N. Il preset di N s indica con pre(n) - Detto N un nodo della rete (posto oppure transizione), il suo postset è l insieme dei nodi ai quali arriva un arco che parte da N. Il postset di N s indica con post(n) Automazione Industriale : P2,P3 appartengono al Postset di T, mentre T4 appartiene al Preset di P T2 P2 P4 T T3 P T4 P3 P5 Automazione Industriale

14 Abilitazione delle transizioni Abilitazione delle transizioni Una transizione è abilitata quando ci sono sufficienti marche nei posti di input. In termini di eventi, equivale a dire che un evento si può verificare quando esistono tutte le condizioni necessarie Lo scatto di una transizione crea marche nei posti di uscita In termini di eventi, quando un evento si verifica cambia lo stato di alcune condizioni Automazione Industriale Abilitazione delle transizioni Esempi di transizioni abilitate T T Automazione Industriale Abilitazione delle transizioni Esempi di transizioni non abilitate T T Automazione Industriale

15 Abilitazione delle transizioni - Lo scatto di una transizione provoca la rimozione da ogni posto a monte (cioè nel suo preset) e l aggiunta ad ogni posto a valle (cioè nel suo postset) di un numero di token pari al peso degli archi che la collegano a tali posti. La marcatura di tutti i posti che non siano né di né di uscita alla transizione rimane inalterata T T T Situazione iniziale Rimozione token da Aggiunta Token a Preset Postset Automazione Industriale Abilitazione delle transizioni Abilitazione delle transizioni con marche multiple disponibile Grezzo sulla macchina lavorazione attesa Pezzi in uscita uscita Automazione Industriale Abilitazione delle transizioni Abilitazione delle transizioni con marche multiple non disponibile lavorazione lavorazione attesa Pezzi in uscita uscita Automazione Industriale

16 Abilitazione delle transizioni Abilitazione delle transizioni con marche multiple non disponibile lavorazione lavorazione attesa Pezzi in uscita uscita Automazione Industriale Abilitazione delle transizioni Abilitazione delle transizioni con marche multiple disponibile attesa lavorazione attesa Pezzi in uscita uscita Automazione Industriale Abilitazione delle transizioni Abilitazione delle transizioni con marche multiple disponibile Grezzo sulla macchina lavorazione attesa Pezzi in uscita uscita Automazione Industriale

17 Abilitazione delle transizioni Impostazione delle condizioni iniziali Si definisce come condizione iniziale la configurazione iniziale delle marche nelle condizioni (posti) della rete di Petri. disponibile lavorazione Dalla scelta delle condizioni iniziali dipende l evoluzione della rete attesa uscita Automazione Industriale Definizione formale di RdP Definizione Formale di una Rete di Petri Si definisce Rete di Petri un quintupla R=(P,T,F,W,M) Dove : P èl insieme dei posti (finito) P = {Pi}, i=,2, P, P < T è l insieme delle transizioni (finito e disgiunto da P) T = {T k }, k=,2, T, T < F è la relazione di flusso F TxP PxT W è la funzione peso W: F N-{} M è la funzione delle marcature M: P N Rete di Petri : N = (P, T, F, W,M) Automazione Industriale Rappresentazione matriciale Rappresentazione matriciale della RdP - Oltre alla comoda rappresentazione grafica, le Reti di Petri sono dotate anche di una relativamente semplice rappresentazione matematica. - Tale rappresentazione, detta matriciale o algebrica, può essere utile per eseguire analisi automatiche della rete, al fine di verificare il soddisfacimento di alcune proprietà di base. Automazione Industriale - 2 5

18 Rappresentazione Matriciale La rappresentazione algebrica delle reti di Petri si basa sui concetti di - Matrice d - Matrice d uscita - Matrice d incidenza - Vettore delle marcatura - Sequenza di scatti - Vettore delle occorrenze Automazione Industriale Matrice d Rappresentazione matriciale La matrice d I (Pre) ha P righe (una cioè per ogni posto della rete) e T colonne (una per ogni transizione della rete). Il suo elemento di posizione (k,j) vale quanto il peso dell arco che va dal posto k alla transizione j se quest arco c è, se no vale zero. La matrice I è dunque definita come: I( P, T ) I ( k, j) = W ( p k, t ) tale che : j ( pk, tk) F I ( k, j) = (pk, t k) F Automazione Industriale Matrice d uscita Rappresentazione Matriciale La matrice d uscita O (Post) ha P righe (una cioè per ogni posto della rete) e T colonne (una per ogni transizione della rete). Il suo elemento di posizione (k,j) vale quanto il peso dell arco che va dalla transizione k al posto j se quest arco c è, se no vale zero. La matrice O è dunque definita come O( P, T ) O tale che : ( k, j ) = W ( p, t ) k j ( p, t ) F O( k, j) = k (pk, tk ) F k Automazione Industriale

19 Rappresentazione Matriciale Vettore delle marcature Data una rete con marcatura M, si definisce il vettore marcatura m come il vettore colonna di dimensione P le cui componenti sono valori interi non negativi che rappresentano il numero di marche contenute in ogni posto della rete. Il vettore m è pertanto definito come m=[m m2 m P ], con mi =M(Pi), i=,2,.., P. Automazione Industriale Matrice d incidenza Rappresentazione matriciale La matrice d incidenza C ha P righe (una cioè per ogni posto della rete) e T colonne (una per ogni transizione della rete). Essa è definita come C = O I La matrice di incidenza non contiene tutte le informazioni che sono contenute nelle singole matrici I ed O. Infatti, è immediato notare che se per qualche valore degli indici i e j si verificasse che O(i,j)=I(i,j), ovvero se il posto i-esimo fosse collegato con la transizione j-esima da due archi di direzione opposta e stesso peso, risulterebbe C(i,j)=. Quindi, tale situazione si confonderebbe con quella in cui il posto i e la transizione j non fossero collegati. Automazione Industriale Rappresentazione matriciale Analoghe considerazioni valgono se gli archi che collegano un posto e una transizione hanno direzione opposta e peso diverso. La struttura costituita da un posto e una transizione collegate da due archi di direzione opposta prende il nome di autoanello. Le reti prive di autoanelli, cioè prive di posti che sono contemporaneamente di e di uscita ad una stessa transizione, sono dette reti pure. Per esse, le matrici di e uscita hanno elementi non nulli in posizioni mutuamente esclusive. Per esse, pertanto, l'utilizzo della matrice di incidenza è equivalente all uso delle singole matrici d e d uscita. Automazione Industriale

20 Rappresentazione matriciale Con la definizione del vettore marcatura e di matrice di incidenza, i concetti di abilitazione e di scatto di una transizione possono essere riformulati in modo molto semplice ed intuitivo. Se infatti evidenziamo le T colonne nelle matrici I,O e C scrivendo che I=[I I 2.. I T ], O=[O O 2.. O T ], C=[C C 2.. C T ], allora la condizione di abilitazione della transizione i-esima nella marcatura M diventa semplicemente M I i ovvero il fatto che in M vi siano, nei posti di preset per la transizione i-esima, almeno tante marche quant è il peso ell arco tra ognuno dei primi e la seconda. Inoltre, lo scatto della transizione i-esima a partire dalla marcatura M produce una nuova marcatura M* che si calcola facilmente come M* = M - I i + O i = M + C i Automazione Industriale Sequenza di Scatti Rappresentazione matriciale Una sequenza di scatti abilitata in una marcatura M è una sequenza di transizioni t i, i n, N-{}, tali che t è abilitata in M e lo scatto di t i porta in una marcatura in cui t i+ è abilitata. Osserviamo che una qualunque sequenza di transizioni non è in generale una sequenza di scatti. Infatti non è detto che data una sequenza di transizioni si riesca a trovare una sequenza di marcature abilitanti le transizioni di detta sequenza. Per sottolineare il fatto che esista o non esista tale sequenza di marcature ed evitare confusioni, si dirà, che una sequenza di scatti è o non è ammissibile. Automazione Industriale Rappresentazione Matriciale Vettore delle occorrenze Il vettore delle occorrenze s, associato ad una sequenza di scatti S, è un vettore colonna di dimensioni T, la cui componente generica Si è pari al numero delle occorrenze della transizione t i nella sequenza S. Automazione Industriale - 2 6

21 Definizione Formale di una rete di Petri p t Matrice dei nodi transizione T = [t ] Matrice dei nodi posto P = [p ] Automazione Industriale Definizione Formale di una rete di Petri p t Matrice dei nodi posto P = [p ] Matrice delle marcature M = [ 3] Numero delle marche presenti in ciascun posto Automazione Industriale p Matrice delle marcature per lo scatto Prima Transizione Seconda Transizione Terza Transizione t Pret = Pre = Pre = Le matrici delle marcature per lo scatto individuano le condizioni (i posti) necessarie perchéuna transizione sia attiva Automazione Industriale

22 Matrice delle marcature create dallo scatto p Prima Transizione Seconda Transizione Terza Transizione t Postt = Post = Post = Le matrici delle marcature per lo scatto individuano le marche create da una transizione attivata Automazione Industriale Matrice Pre e Post globali p t Pre = t p Post = t p Automazione Industriale Rete di Petri marcata: (N, M ) L evoluzione di una rete di Petri è completamente definita dalle matrici delle marcature (Pre e Post) e dalla matrice delle condizioni iniziali M M = 3 p t Automazione Industriale

23 Grafo di stato della rete (N, M ) p M = 3 t M Automazione Industriale Grafo di stato della rete (N, M ) p M = 3 t t M M Automazione Industriale Grafo di stato della rete (N, M ) p M 2 = 3 t t M M M 2 Automazione Industriale

24 Grafo di stato della rete (N, M ) p M 3 = 4 t t M M M 2 M 3 Automazione Industriale Grafo di stato della rete (N, M ) p M 4 = 4 t t t M M M 2 M 3 M 4 Automazione Industriale Grafo di stato della rete (N, M ) p M 5 = t 4 M M L evoluzione è obbligata perchél ordine di esecuzione delle transizioni non può essere modificato (è abilitata una transizione alla volta, qualsiasi sia lo stato attuale tra quelli determinati (M -> M 5 )) M 2 M 3 t M 4 t M 5 Automazione Industriale

25 Pezzo in attesa disponibile Interfaccia con il sistema di trasporto Forcell a libera p8 p t p7 p9 lavorazione attesa uscita Uscita Pezzo in attesa Grezzo sulla macchina Forcella occupata uscita Automazione Industriale Pezzo in attesa disponibile Forcell a libera p8 p t p7 p9 Grafo degli stati M = lavorazione attesa uscita Uscita 2 M Automazione Industriale Pezzo in attesa disponibile Interfaccia con il sistema di trasporto Forcell a libera p8 p t p7 p9 lavorazione attesa uscita Uscita Pezzo in attesa lavorazione Forcella occupata uscita Automazione Industriale

26 Pezzo in attesa disponibile Forcell a libera p8 p t p7 Grafo degli stati M = lavorazione attesa uscita Uscita 2 M M t p9 Automazione Industriale Pezzo in attesa disponibile Interfaccia con il sistema di trasporto Forcell a libera p8 p t p7 p9 lavorazione attesa uscita Uscita Pezzo in attesa lavorazione Forcella libera Automazione Industriale Pezzo in attesa disponibile Forcell a libera p8 p t p7 p9 Grafo degli stati M 2 = lavorazione attesa uscita Uscita 3 M M t M 2 t e sono definite transizioni concorrenti Automazione Industriale

27 Pezzo in attesa disponibile Interfaccia con il sistema di trasporto Forcell a libera p8 p t p7 p9 lavorazione attesa uscita Uscita Pezzo in attesa lavorazione Forcella libera Automazione Industriale Pezzo in attesa disponibile Forcell a libera p8 p t p7 Grafo degli stati M 3 = lavorazione attesa uscita Uscita 3 M M t M 2 M 3 t p9 Automazione Industriale Pezzo in attesa disponibile Interfaccia con il sistema di trasporto Forcell a libera p8 p t p7 p9 lavorazione attesa uscita Uscita Pezzo in attesa attesa Forcella libera Automazione Industriale - 2 8

28 Pezzo in attesa disponibile Forcell a libera p8 p t p7 p9 Grafo degli stati M 4 = lavorazione attesa uscita Uscita 3 M t M M 2 M 3 M 4 t Automazione Industriale Pezzo in attesa disponibile Interfaccia con il sistema di trasporto Forcell a libera p8 p t p7 p9 lavorazione attesa uscita Uscita Pezzo in lavorazione Automazione Industriale Pezzo in attesa disponibile Forcell a libera p8 p t p7 p9 Grafo degli stati M 6 = lavorazione attesa uscita Uscita 3 M t M M 2 M 5 M 6 M 3 M 4 t Automazione Industriale

29 Pezzo in attesa disponibile Interfaccia con il sistema di trasporto Forcell a libera p8 p t p7 p9 lavorazione attesa uscita Uscita Pezzo in uscita Grezzo sulla macchina Automazione Industriale Pezzo in attesa disponibile Forcell a libera p8 p t p7 p9 Grafo degli stati M 7 = lavorazione attesa uscita Uscita 3 M M M 2 M 5 M 7 Automazione Industriale t M 6 M 3 M 4 t Pezzo in attesa disponibile Forcell a libera p8 p t p7 p9 Grafo degli stati lavorazione attesa uscita Uscita M 9 M M 8 M M M 2 M 5 M 6 M 7 Automazione Industriale t M 3 M 4 t

30 Osservazione OSSERVAZIONE - P T ovvero in una rete ci dev essere almeno un posto o una transizione. - F dice quali coppie ordinate P,T o T,P - non P,P né T,T sono connesse da un arco, e dice quindi il verso dell arco. - W associa ad ogni arco un numero intero positivo M dice quanti gettoni ci sono all inizio in ogni posto. Automazione Industriale Osservazione OSSERVAZIONE - Poiché la relazione di flusso F connette posti a transizioni (o viceversa) e non posti a posti né transizioni a transizioni, il preset ed il postset di un posto sono composti di sole transizioni, mentre il preset ed il postset di una transizione sono fatti di soli posti. - La regola di scatto non è sufficiente a determinare compiutamente l evoluzione di una rete perché, in una generica marcatura, può accadere che più transizioni risultino abilitate Automazione Industriale Osservazione allo scatto (e chiaramente se si sceglie di farne scattare certune o certe altre l evoluzione futura della rete non è la stessa). Nelle reti P/T standard, cioè quelle trattate nel corso, viene adottata per la determinazione della transizione da far scattare la seguente regola: Si consideri una rete P/T con marcatura corrente M e sia S l insieme delle transizioni abilitate in M: solamente una transizione di S viene scelta, a caso, per lo scatto. Automazione Industriale - 2 9

31 Osservazione -Il criterio di scelta è del tutto non-deterministico Il criterio garantisce il rispetto della località dell evoluzione del sistema, cioè l indipendenza degli eventi. Una volta che una transizione abilitata scatta, per decidere quale sarà la futura transizione abilitata a scattare si deve attuare una nuova valutazione della rete, in quanto la marcatura creatasi dallo scatto della precedente transizione può aver abilitato nuove transizioni e aver disabilitato alcune di quelle abilitate in precedenza. La questione di come scegliere la transizione da far scattare se ve n è più d una abilitata è ancora oggetto di dibattito ed esistono convenzioni diverse. Automazione Industriale Calcolo formale dell evoluzione evoluzione di una rete di Petri Calcolo formale dell evoluzione della rete p t Pre = Post = Date le matrici di e di uscita, è possibile calcolare l evoluzione della rete utilizzando il semplice calcolo matriciale Si definisce pura una rete per la quale vale la condizione { p,t : Pre(p,t) Post(p,t) = } Automazione Industriale p Calcolo formale dell evoluzione evoluzione di una rete di Petri Matrice di incidenza C t C = Post - Pre = Per una rete pura la conoscenza di C permette di risalire alle matrici di Pre e di Post Automazione Industriale

32 p Calcolo formale dell evoluzione evoluzione di una rete di Petri Vettore delle transizioni e t e = e 2 = e 3 = Il vettore delle transizioni viene utilizzato nel calcolo dell evoluzione della rete e indica la transizione attivata Automazione Industriale p Calcolo formale dell evoluzione evoluzione di una rete di Petri Calcolo dell evoluzione della rete M = M + C e t M = Automazione Industriale p Calcolo formale dell evoluzione evoluzione di una rete di Petri Calcolo dell evoluzione della rete M = M + C e t M = M C e Automazione Industriale

33 Calcolo formale dell evoluzione evoluzione di una rete di Petri Calcolo dell evoluzione della rete p M 2 = M + C e 2 t M 2 = M C e 2 Automazione Industriale Calcolo formale dell evoluzione evoluzione di una rete di Petri Calcolo dell evoluzione della rete p M 3 = M 2 + C e 3 t 2 M 3 = M 2 C e 3 Automazione Industriale Calcolo formale dell evoluzione evoluzione di una rete di Petri PreCondizioni per lo scatto della transizione p t Una transizione t si dice abilitata dal vettore di stato M allo scatto se e solo se p P vale la condizione: M(p) >= Pre(p,t) Pre = M 2 = Solo t 3 è abilitata dal vettore di stato M 2 Automazione Industriale

34 Calcolo formale dell evoluzione evoluzione di una rete di Petri PostCondizioni per lo scatto della transizione p t Un vettore di stato M può risultare dallo scatto della transizione t se e solo se p P vale la condizione: M(p) >= Post(p,t) Post = M 2 = M 2 può risultare solo dallo scatto di t 2 Automazione Industriale - 2 p Calcolo formale dell evoluzione evoluzione di una rete di Petri Conflitto strutturale tra transizioni t Due transizioni t e t 2 si dicono in conflitto strutturale se e solo se hanno almeno un posto d entrata in comune: p: Pre(p,t ) Pre(p,t 2 ) Pre = Conflitto Strutturale Automazione Industriale - 2 Calcolo formale dell evoluzione evoluzione di una rete di Petri Notazione matematica per le reti di Petri La transizione t è abilitata dallo stato M: M(t > La transizione t abilitata da M dà come stato risultante M 2 : M (t > M 2 Automazione Industriale - 2 2

35 Calcolo formale dell evoluzione evoluzione di una rete di Petri Conflitto effettivo tra transizioni p Due transizioni t e t 2 si dicono in conflitto effettivo con lo stato M se e solo se sono in conflitto strutturale e t se in più vale: M(t >, M(t 2 > e p: M(p) < Pre(p,t ) + Pre(p,t 2 ) Un conflitto effettivo corrisponde ad una scelta esclusiva da operare tra due possibili scatti Pre = Conflitto effettivo M = Automazione Industriale Calcolo formale dell evoluzione evoluzione di una rete di Petri Sequenze di scatto Se M (t > M e M (t 2 > M 2 si dice che la sequenza delle transizioni t e t 2 è abilitata per M e che i loro scatti producono M 2. Tale circostanza viene indicata con la simbologia: M (t t 2 >M 2 Una sequenza di lunghezza qualsiasi o parola s abilitata per M e che produce M x viene indicata con la simbologia: M (s>m x Automazione Industriale Calcolo formale dell evoluzione evoluzione di una rete di Petri Sequenze di scatto Si definisce per una rete marcata <N;M> il linguaggio L(R;M) formato dall insieme delle sequenze di scatto abilitate tramite M e l insieme A(R;M) delle marcature raggiungibili tramite tali sequenze Se M (s > M allora si può scrivere: M = M + C s. Automazione Industriale - 2 5

36 Archi inibitori Rete di Petri con Archi Inibitori Una Rete di Petri con archi inibitori consiste in una quadrupla R=(P,T,Pre,Post), con P,T,Post definiti nella consueta maniera, ma Pre tale da essere un applicazione di Px T in N {}. Una transizione t è abilitata allo scatto per una marcatura M N n se per ogni p P: Pre(p,t) M(p) se Pre(p,t) N M(p)= se Pre(p,t)=. Le relazioni M(t>M sono definite da: M(t>M se e solo se t è abilitata per M. Per ogni p P, M (p)=m(p)+c (p,t) con C (p,t)=post(p,t)-pre(p,t) se Pre(p,t) N C (p,t)=post(p,t) se Pre(p,t)=. Automazione Industriale Archi inibitori La rapprseentazione grafica delle reti ad archi inibitori non differisce da quella delle reti ordinarie se non per il fatto che se Pre(p,t)=, si avrà un arco da p a t rappresentato come segue: t P Automazione Industriale Archi Inibitori Due processi poseggono ciascuno una sezione critica tale che quando una delle due è occupata l altra non possa essere eseguita. Non possono esserci contemporaneamente marche nelle posizioni centrali. Automazione Industriale - 2 8

37 Reti di Petri Temporizzate Reti di Petri Temporizzate Le Reti di Petri temporizzate sono reti non autonome in cui l ambiente fornisce un riferimento temporale. Sono utilizzate per studiare il comportamento dinamico dei sistemi tenendo conto unicamente della durata delle loro azioni (e non del modo in cui trasformano lo stato dell ambiente). Se la durata dell azione di comando è z, allora la marca che arriva nel preset della transizione di durata z all istante t, non può lascare il suo posto prima che non sia passato il tempo t+z. Automazione Industriale Reti di Petri Temporizzate Def. Si definisce Rete di Petri Temporizzata, una coppia R=(R,v) dove: R=(P,T,Pre,Post) è una rete di Petri; v è una applicazione di P in Q + {}; per p P, v(p) rappresenta il ritardo associato. T V(t) Automazione Industriale - 2 Conclusioni Oltre alle Reti di Petri analizzate ed utilizzate nella modellizzazione di sistemi ad eventi discreti di processi per l automazione, (oltre che per sistemi manifatturieri, logistici, per il controllo della produzione, di trasporto, informatici, di telecomunicazioni etc.), esistono altre tipologie di Reti di Petri denominate Reti di petri colorate e TEG (Timed Event Graph) che non sono oggetto di studio del presente corso. In Particolare per i TEG può essere applicata la teoria dell algebra Max-Plus, per ricondurre tali sistemi ad uno studio analogo a quello dei sistemi di controllo tempo discreto. Automazione Industriale - 2

38 Esercizio Sia dato il sistema in figura. ASSEMBLAGGIO POS2 POS M AGV R R2 M2 Inizialmente sull' AGV libero viene caricato un semilavorato dal magazzino M, l' AGV porta questo in pos. per il grasp (la presa) del robot. Questo si porta nella posizione di asse mblaggio ove arriva il robot 2 per montare sul semilavorato un componente pre levato dal magazzino planare M2 (attenzione: il robot 2 deve arrivare in posizione di assemblaggio sempre dopo il robot ; l'assemblaggio avviene con entrambi i robots in grasp). Al termine di questa operazione mentre il robot 2, effettuato il release (il rilascio), torna in posizione 2 per prelevare il successivo componente, il robot carica sull' AGV il pezzo assemblato; l'agv dunque torna al magazzino M ove, dopo l' operazione di scarico, viene caricato un nuovo semi lavorato. Modellare il sistema con una rete di Petri NON TEMPORIZZATA, cur ando in particolare le operazioni di grasp e release per i robots. Automazione Industriale Soluzione Soluzione Costruiamo dapprima una tabella degli eventi chiave che caratterizzano il sistema e delle azioni corrispondenti, da questa descrizione si otterrà un un modo "naturale" di costruire una rete di Petri che modelli il sistema stesso. condizioni eventi pezzo in M, AGV libero in M l'agv si sposta verso pos. AGV con pezzo in pos., R in pos. R con pezzo in ASS, R2 in pos. 2 R con pezzo finito, R2 release, AGV libero in pos. R con pezzo verso la posizione di assemblaggio (ASS), segue grasp di R R2 con pezzo verso la posizione di assemblaggio (ASS), segue release di R2 AGV con pezzo in M, segue release di R, segue scarico del pezzo Automazione Industriale Soluzione AGV libero in M pezzo in M viaggio da M a pos. scarico AGV con pezzo in pos. R in pos. grasp di R AGV in M AGV si sposta in M AGV libero in pos R con pezzo in pos. R si sposta in ASS M2 AGV con pezzo in pos. release di R R con pezzo in grasp chiamata per R2 R2 in pos. 2 R grasp in pos. lavoro R2 con pezzo in pos. 2 grasp di R2 R2 con pezzo in pos. 2 R si sposta in pos. R e R2 in grasp release di R2 R2 si sposta in ASS R2 si sposta in pos. 2 R in grasp in pos. ASS R2 in ASS Automazione Industriale - 2 4

39 M A M B Esercizio In figura è illustrato lo schema di una cella di assiematura. In questa cella, grezzi di due tipi diversi (A e B) arrivano su conveyor separati, e sono trasferiti da un robot su due centri, rispettivamente MA e MB, che effettuano una lavorazione. I centri non sono dotati di buffer, e dunque possono accettare un grezzo solo se non sono occupati; un pezzo finito attende sul centro finché non arriva il robot a rimuoverlo. Quando ambedue i centri hanno terminato la lavorazione sui rispettivi pezzi, il robot raccoglie i due pezzi lavorati e li assiema, dopodiché, se c'è spazio, pone il prodotto finito così ottenuto in un buffer di uscita, che è a un solo posto e che viene svuotato dall'esterno. Solo dopo aver posto il prodotto finito nel buffer di uscita, il robot può occuparsi dell' dei nuovi grezzi. Dopo ogni operazione di movimentazione compiuta dal robot, esso torna in una posizione di riposo. Modellare il sistema con una rete di Petri NON TEMPORIZZATA. A B robot output buffer Automazione Industriale Soluzione pezzi in A pezzi in B MA libera MB libera CONFLITTO trasferimento su MA R disp. trasferimento su MB pezzo in MA pezzo in MB MA lavora MB lavora MA bloccata MB bloccata raccolta e assiematura pezzi OUT libero R bloccato con pezzo assiemato pezzo in OUT OUT occupato Automazione Industriale Esercizio Coordinamento dei movimenti tra robot In figura sono rappresentati due robot che eseguono in modo coor dinato l operazione di PICK-AND- PLACE di un oggetto. Ogni robot, per tale operazione, è dotato di una pinza ( gripper) che può essere aperta o chiusa. L operazione PICK-AND- PLACE può essere a sua volta scomposta in quattro sotto operazio ni: - operazione di PICK, in cui R effettua il prelievo dell oggetto dalla stazione di input; - trasporto dell oggetto dalla stazione di input al punto di incontro; - scambio dell oggetto da R a R2; - trasporto dell oggetto dal punto di incontro alla stazione di output. Descrivere il sistema mediante una rete di Petri, modellando in particolare i movimenti dei gripper nelle varie fasi. Posizione 2 Posizione Posizione 3 IN Robot Robot 2 OUT Automazione Industriale - 2 7

40 Soluzione Pezzi disp. GAp GA Close G GCp G Mov 3->2 GA Mov ->2 Close G GC R GC Open G R Mov 2->3 Ga GC p: posizione del robot; Mov 2-> GA: gripper aperto; GC: gripper chiuso; G: abilitazione alla presa del robot 2; R: abilitazione al rilascio del robot ; M: abiltazione al movimento del robot 2. M Open G Pezzi in uscita Automazione Industriale Esercizio Un semplice sistema di produzione é costituito da due macchine M e M2, da un robot R per lo scarico dei pezzi, e da un buffer intermedio B fra le due macchi ne. Ogni pezzo che entra nel sistema è fissato su di un pallet e caricato sulla macchina M. Alla fine della prima lavorazione, il robot trasferisce il semilavorato da M al buffer intermedio. Da qui i semilavorati sono caricati su M2 e processati. Una volta terminata la lavorazione su M2 il rob ot provvede a scaricare i pezzi finiti, a smontarli dai pallet, e a trasportare i pallet in ingr esso. Modellare il sistema con una rete di Petri NON TEMPORIZZATA. ROBOT PEZZI GREZZI PRODOTTI FINITI M B M2 Automazione Industriale Soluzione Soluzione Attività: ) operazione di macchina (fissaggio del pezzo sul pallet, carico e processamento); 2) immagazzinamento di un semilavorato nel buffer; 3) operazione di robot (scarico di un pezzo da una macchina ). Ordine delle attività: - M fissa un pezzo grezzo sul pallet lo carica e lo processa (M P); - R scarica un semilavorato da M e lo trasporta in B (RU); - B immagazzinamento di un semilavorato (BS); - M2 carica e processa un semilavorato (M2P); - R scarica da M2 un prodotto finito, lo smonta dal pallet e trasporta il pallet in M (RU2). PA: numero di pallet disponibili; MA: macchina disponibile; M2A: macchina 2 disponibile; RA: robot disponibile; BA: numero di posti disponibili nel buffer. BO: numero di posti occupati nel buffer. Automazione Industriale - 2 2

41 Soluzione Pezzi grezzi PA MA MP Pezzo lavorato Su M RU BO M2A M2P BA RA Pezzo lavorato Su M2 CONFLITTO RU2 prodotti Automazione Industriale Esercizio Produzione di due prodotti con condivisione di una risorsa Un sistema di produzione per la produzione di due differenti prodotti A, B é costituito da tre robot R, R2, R3, da due macchine M, M2, da due magazzini d' BI, BI2 e da due magazzini d'uscita BO, BO2. I processi di produzione dei due prodotti sono indipendenti l'uno dall'altro eccetto che per la condivisione di R3. La produzione del prodotto A (B) avviene nel seguente modo: il robot R (R2) preleva un pezzo grezzo da BI (BI2) e lo trasferisce su M (M2). Quando M (M2) termina la lavorazione, R3 scarica il prodotto finito e lo trasporta in BO (BO2). Modellare il sistema con una rete di Petri NON TEMPORIZZATA. M BI BO R BI2 R3 R2 M2 BO2 Automazione Industriale Soluzione Pezzi in BI M disp. M2 disp. Pezzi in BI2 BI M BI2 M2 R carico in M R2 carico in M2 R disp. R2 disp. Carico di M Carico di M2 M carica M2 carica Pezzo lavorato su M Lav. M Lav. M2 Pezzo lavorato su M2 CONFLITTO Trasferimento su R3 Trasferimento su R3 M->BO Pezzo su R3 R 3 disp. Pezzo su R3 Trasferimento pezzo in BO Trasferimento pezzo in BO2 Pezzi in BO Automazione Industriale