Università degli studi di Modena e Reggio Emilia. SugarScape

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1 Università degli studi di Modena e Reggio Emilia Facoltà di Scienze della Comunicazione e dell'economia CLS: Economia e Gestione delle Reti e dell'innovazione Insegnamento: Tecniche e modelli di simulazione Docente: Marco Villani SugarScape A.A

2 INDICE 1. INTRODUZIONE IL MODELLO IL MONDO GLI AGENTI DINAMICA DEL MODELLO IMPLEMENTAZIONE DEL MODELLO IMPLEMENTAZIONE DEL MONDO IMPLEMENTAZIONE DEGLI AGENTI IMPLEMENTAZIONE DELLA DINAMICA PRIME SIMULAZIONI PRIMO ESPERIMENTO: COMPORTAMENTO DELLE PRINCIPALI CARATTERISTICHE SECONDO ESPERIMENTO: VARIAZIONE DEL NUMERO INIZIALE DI AGENTI CAPACITÀ PORTANTE TERZO ESPERIMENTO: CAPACITÀ PORTANTE AL VARIARE DELLE RISORSE DEL TERRENO QUARTO ESPERIMENTO: CAPACITÀ PORTANTE AL VARIARE DEL TIPO DI AGENTE COEFFICIENTE DI GINI SUGARSCAPE CON MORTE NATURALE E NASCITA DI NUOVI AGENTI SUGARSCAPE CON RIPRODUZIONE SESSUATA LA GENETICA REGOLE DI EREDITARIETÀ BIOLOGICA QUINTO ESPERIMENTO: COMPORTAMENTO DELLE PRINCIPALI CARATTERISTICHE SESTO ESPERIMENTO: CAPACITÀ PORTANTE DEL SISTEMA Capacità portante al variare del numero di agenti iniziali Capacità portante al variare delle risorse del terreno Capacità portante al variare del tipo di agente LA DINAMICA DELLE POPOLAZIONI CONCLUSIONI APPENDICE: QUESTIONI APERTE

3 1. Introduzione SugarScape è un modello di simulazione sociale fondato su agenti. Il fenomeno simulato ed analizzato in questa sede è il comportamento di una specie vivente relativamente alla sopravvivenza, alla distribuzione della ricchezza e alla riproduzione. La domanda alla quale vogliamo rispondere è: da un mondo molto semplice, composto da entità elementari che interagiscono con semplici regole locali e da un ambiente molto semplice, possono emergere comportamenti complessi? Nei prossimi paragrafi descriveremo il modello, la sua dinamica e la sua implementazione, illustreremo e valuteremo i risultati ottenuti dalle simulazioni e complicheremo man mano il funzionamento del mondo sul quale operiamo gli esperimenti. Dapprima nel nostro modello gli agenti non sono in grado di riprodursi e muoiono per mancanza di risorse. In un secondo tempo lo modifichiamo facendo in modo che gli agenti che vi operano possano morire anche di vecchiaia, oltre che per mancanza di energia, e introducendo la sostituzione di agenti morti con la nascita di nuovi agenti. Infine l ultima modifica consiste nell eliminare la sostituzione di agenti morti e nell introdurre la possibilità di riprodursi per riproduzione sessuata; questo ci permette di imitare un po meglio la realtà e di imitare la selezione naturale darwiniana per verificarne l operato

4 2. Il modello SugarScape è un modello definito dal basso in cui operano agenti eterogenei dal punto di vista delle capacità visive (visione) ed esigenze individuali (metabolismo). In questo modello lo zucchero, variamente distribuito sul territorio, è l unica risorsa ed è limitata. Esso è definito dal basso in quanto il punto di partenza nella costruzione del modello è l individuo: una volta creati gli agenti attribuiamo loro delle regole di comportamento e facciamo procedere il sistema nel tempo, per scoprire quale struttura emerga a livello macroscopico. Il modello SugarScape è stato realizzato con la scrittura di un programma attraverso una programmazione di tipo procedurale. Per la realizzazione del programma è stato utilizzato l ambiente di sviluppo di Matlab. Nel modello il trascorrere simulato del tempo provoca cambiamenti nel mondo e provoca azioni sotto forma di messaggi inviati agli agenti, i quali a loro volta producono altri cambiamenti e così via. SugarScape è un mondo bidimensionale soggetto a delimitazioni (i bordi opposti infatti non si toccano) in cui mondo, agenti, risorse, regole e azioni sono regolabili in modo parametrico

5 2.1. Il mondo Il modello SugarScape è costituito da un ambiente bidimensionale non toroidale che può essere interpretato come un automa cellulare dotato di regole per la produzione delle risorse sul territorio. L ambiente è un mondo chiuso, le cui dimensioni sono per default 5x5, in cui ogni cella contiene un certo ammontare di risorse, che chiameremo zucchero. Ogni cella ha una capacità massima di zucchero ed una velocità di recupero che segue una crescita graduale ad ogni unità di tempo, che chiameremo passo. Ogni cella ha la stessa velocità di recupero ma una diversa capacità massima; in questo modo si ottiene un mondo in cui i livelli di zucchero sono quantizzati: le celle dello SugarScape possono contenere solo esattamente, 1, 2, 3 o 4 unità di zucchero. Al massimo, quando ogni cella contiene esattamente lo zucchero corrispondente alla sua capacità, si ottiene una matrice come quella in figura 1, in cui ad ogni diverso colore corrisponde un diverso livello di zucchero: sopra la collina il livello di zucchero è massimo e diminuisce man mano che si scende Figura 1: matrice delle capacità massime di zucchero che le celle possono assumere nel mondo. Il marrone corrisponde a 4 unità di zucchero, il giallo a 3 unità, l azzurro a 2 unità e il blu ad 1 unità. Il mondo iniziale è molto semplice, ma consente di verificare gli effetti che le condizioni ambientali (quantità di zucchero, tasso di rinnovamento dello zucchero nel territorio e regole locali di ricerca del cibo) determinano sulle migrazioni e sulla distribuzione degli agenti (per spazio, ricchezza,...)

6 2.2. Gli agenti Il mondo è abitato da agenti. Essi hanno una determinata posizione, inizialmente casuale, e non è prevista la possibilità di sovrapposizione. Ogni agente è dotato di un nome che lo identifica, di una vista che gli permette di guardare più o meno lontano nelle quattro direzioni principali, di un metabolismo, e quindi di un consumo fisso che gli garantisca la sopravvivenza, e di una scorta di zucchero iniziale uguale per tutti. Gli agenti sono dotati della capacità di conservare il cibo raccolto in eccesso rispetto al proprio fabbisogno. Un agente muore se le sue scorte di cibo sono minori di zero. Ogni agente ha la capacità di muoversi nell ambiente e quindi di cambiare la propria posizione nel mondo; il movimento degli agenti avviene in diversi istanti di tempo quindi essi si spostano uno alla volta, non tutti insieme. Un esempio degli agenti che popolano il mondo è rappresentato in figura Figura 2: mondo al massimo della sua capacità abitato da 5 agenti - 5 -

7 3. Dinamica del modello Lo scopo degli agenti è quello di sopravvivere in un mondo che evolve in un tempo discreto; per poter sopravvivere essi si muovono nel mondo cercando di raccogliere più zucchero possibile. Il trascorrere simulato del tempo provoca determinate azioni secondo determinate regole. Prima di definire tali regole è necessario distinguere due grandezze utilizzate per scandire il tempo: passo turno Il passo corrisponde ad un ciclo completo di aggiornamento ed è suddiviso in n turni, dove n corrisponde esattamente al numero di agenti vivi a quel passo. Il turno identifica il tempo che intercorre tra la selezione di un agente e la fine delle sue azioni. Ad ogni passo il mondo aumenta di una unità la quantità di zucchero di ogni sua cella, relativamente alla capacità massima della stessa. Ad ogni turno viene selezionato a caso un agente. L agente selezionato ha la possibilità di muoversi seguendo le seguenti regole: il movimento degli agenti avviene lungo quattro direzioni: avanti, dietro, a sinistra e a destra rispetto alla posizione dell agente; l agente in un movimento può raggiungere celle con una distanza massima determinata dalla visuale dell agente stesso; l agente non può spostarsi in una cella occupata da un altro agente; l agente si muove nella cella con maggior valore di appetibilità: l appetibilità è determinata dalla quantità di zucchero presente nella cella e dalla distanza della cella rispetto alla posizione dell agente. Infatti l agente sceglie di spostarsi nella cella contenete una maggior quantità di zucchero, nel caso in cui ci siano più celle con la stessa quantità di zucchero l agente sceglie di spostarsi nella cella meno distante da lui; nel caso in cui ci siano più celle con la stessa quantità di zucchero e con la stessa distanza dall agente, quest ultimo sceglie a caso in che cella muoversi. Questo procedimento avviene anche se tutte le celle raggiungibili dall agente hanno una quantità di zucchero pari a zero. In altre parole l agente selezionato guarda lungo le direzioni che può osservare, cerca la cella con maggior appetibilità e la raggiunge, ossia cambia la sua posizione nel mondo. Una volta spostatosi, l agente raccoglie la quantità di zucchero presente in quella cella e la aggiunge alle sue scorte, lasciando vuota la cella. Non esiste un tetto massimo per la scorta di zucchero dell agente. A questo punto sono necessarie due annotazioni. In primo luogo è importante sottolineare che non è detto che in un passo tutti gli agenti si muovano, in quanto il turno è selezionato casualmente. È quindi possibile che in un passo un agente sia selezionato e quindi si muova più di una volta oppure che esso non sia selezionato affatto. La seconda annotazione riguarda il fatto che l unico caso in cui l agente selezionato non si muove è rappresentato dall eventualità che tutte le celle visibili siano occupate da altri agenti oppure escano dai confini del mondo. In questo caso l agente prova a spostarsi ma non ci riesce e il suo tentativo è comunque considerato valido nel conteggio degli n turni; in altre parole il mancato spostamento viene considerato dal programma come un movimento, anche se non è stato un effettivo movimento ma solo un tentativo di movimento

8 Alla fine di tutti i turni (torniamo quindi nell ordine dei passi) ad ogni agente, indipendentemente dal fatto che si sia spostato o meno, si sottrae dalla sua scorta la quantità di zucchero necessaria per la sopravvivenza, corrispondente al suo metabolismo. Se la sua scorta è minore di zero, l agente muore, venendo così eliminato dal mondo insieme a tutte le sue caratteristiche. A questo punto inizia il passo successivo ed il ciclo si ripete: il mondo viene aumentato di una unità di zucchero in tutte le sue celle, vengono selezionati gli agenti che si muovono, acquistano e consumano risorse ed, eventualmente, muoiono. Ogni passo corrisponde dunque ad un ciclo completo di aggiornamento

9 4. Implementazione del modello Entrando più nello specifico, esamineremo ora come abbiamo creato il nostro modello SugarScape servendoci dell editor di Matlab Implementazione del mondo Come abbiamo spiegato nel paragrafo precedente, ogni cella contiene una certa quantità di zucchero, che non è uguale per tutte. La capacità massima delle celle è determinata da due colline che sono state implementate sulla base della funzione gaussiana 1 (cfr 4.). Inizialmente, quindi, abbiamo creato la matrice capacità (figura 1) mediante la seguente funzione: z( i, j) = A' * e ( x 2 ' i) 2 ' x σ * e 2 2 σ ' j ( y' j) in cui i e j sono gli indici di riga e di colonna e in cui: A = altezza della collina X = coordinata x Y = coordinata y σ x = semi larghezza x σ y = semi larghezza y I valori dei parametri sono, per default, i seguenti: Parametri Collina 1 Collina 2 A X Y 4 4 σ x σ y Tabella 1: valori dei parametri della funzione per determinare le colline Abbiamo poi creato una matrice mondo, delle stesse dimensioni della matrice capacità, in cui inizialmente ogni cella ha un valore casuale di zucchero che va da alla capacità massima che può assumere una cella nel mondo, in questo caso 4. Per evitare che una cella abbia più zucchero di quanto ne possa contenere abbiamo messo in relazione la matrice mondo con la matrice delle capacità, richiamando il minimo valore fra le due e ottenendo in tal modo la matrice del mondo ottimizzata, ossia in cui ogni cella contiene al massimo una quantità di zucchero pari alla sua capacità. 1 La funzione gaussiana è una funzione della forma: ƒ(x) = ae -(x-b)^2 /c^2 per qualche costante reale a>, b e c

10 4.2. implementazione degli agenti Per realizzare e rappresentare gli agenti abbiamo creato, in primo luogo, un vettore di strutture (vettore ag ) che contiene tutti gli agenti con le loro relative caratteristiche e, in secondo luogo, la matrice posizione che contiene diversi valori per indicare dove sono collocati gli agenti nel mondo. Per quanto riguarda il vettore ag, i campi in esso contenuti relativamente ad ogni agente sono i seguenti: id: identificatore univoco di un agente, dato da una sequenza di numeri interi positivi; x: in quale riga della matrice è posizionato l agente (posizione iniziale casuale); y: in quale colonna è posizionato l agente (posizione iniziale casuale); scorta: scorta di zucchero dell agente, che inizialmente è uguale a 1 unità di zucchero per tutti gli agenti; metabolismo: quantità di zucchero necessaria a sopravvivere. Essa è determinata casualmente e può assumere valori tra 1 e 5 unità di zucchero; visuale: capacità di vedere orizzontalmente e verticalmente (gli agenti hanno una visuale limitata perché non vedono in diagonale); la distanza massima che la visuale può raggiungere è determinata casualmente e può assumere valori tra 1 e 6 celle (figura 3). Figura 3:ogni agente può vedere solo nelle principali direzioni (alto, basso, destra e sinistra). In questo caso la visione dell agente (il pallino bianco al centro) è di quattro celle. Ciò che l agente vede può anche essere raggiunto. Per quanto riguarda la matrice posizione, è stato scelto questo tipo di indicazione: nel caso in cui una cella nel mondo sia libera inseriamo nella matrice posizione uno zero per indicare l assenza di un agente; nel caso in cui una cella del mondo sia occupata da un agente inseriamo nella matrice posizione in corrispondenza di quella cella nel mondo il valore id dell agente che la occupa

11 4.3. Implementazione della dinamica Implementiamo ora il tempo, il quale è scandito, come abbiamo già detto, da due grandezze: i passi e i turni. Ad ogni passo: SugarScape (la matrice mondo abitata dagli agenti) aumenta di una unità di zucchero ogni sua cella in relazione alla capacità massima della stessa; se la cella contiene già tanta quantità di zucchero quanta ne può contenere allora rimane invariata; si selezionano a caso n agenti e gli si da la possibilità di muoversi (turno), n corrisponde al numero di agenti vivi a quel passo; si aggiornano le scorte di tutti gli agenti, indipendentemente dal fatto che siano stati selezionati o meno, sottraendone il loro metabolismo; si eliminano gli agenti che hanno una scorta minore di zero; si aggiorna il numero di agenti, il quale può essere inferiore a quello del passo precedente se alcuni agenti sono stati eliminati; al primo passo vengono creati dei vettori relativi alle caratteristiche degli agenti (numero di agenti vivi, visuale, metabolismo, ricchezza media, ricchezza minima, ricchezza massima e la mediana delle ricchezza). Ogni vettore contiene le medie dei valori di tutti gli agenti relativamente ad ogni caratteristica. Dal secondo passo in poi questi vettori verranno aumentati di una colonna (ed avranno quindi alla fine tante colonne quanti sono i passi totali). Ad ogni turno: si sceglie a caso un agente tra quelli rimasti in vita; l agente selezionato si sposta nella cella con maggior appetibilità tra quelle che ha la possibilità di vedere attraverso la funzione MovimentoAgenti descritta in seguito; la posizione (coordinate x e y) dell agente viene aggiornata; se l agente si sposta, la sua scorta viene aggiornata ed il suo valore sarà uguale alla scorta che già possedeva più la quantità di zucchero che è presente in quella cella del mondo; viene azzerata la quantità di zucchero presente nella cella della matrice del mondo in cui si sposta l agente; viene assegnato il valore id dell agente all elemento della matrice posizione con le stesse coordinate dell agente che si è spostato. La funzione MovimentoAgenti è stata realizzata nel seguente modo: si crea una matrice di tre colonne in cui nella prima colonna il programma andrà a scrivere il valore di appetibilità di ogni cella, nella seconda colona la coordinata x della cella analizzata e nella terza colonna il valore della coordinata y della cella in questione; si prende in considerazione la posizione (x e y) dell agente e si aumenta di uno la coordinata x (guardo verso il basso di una cella). Se tale posizione esiste, ossia non esce dai bordi della matrice, e ha valore uguale a (cioè non è occupata da un altro agente) allora si calcola l appetibilità di quella cella in relazione alla quantità di zucchero presente nella cella della matrice mondo in quella posizione e alla distanza dalla cella considerata alla cella in cui è posizionato l agente (in questo caso 1), più un certo valore casuale che andrà a determinare la scelta nel caso ci fossero più celle con la stessa appetibilità. Nella matrice creata inizialmente viene poi inserito il valore dell appetibilità nella prima colonna, la coordinata x nella seconda e la coordinata y nella terza; - 1 -

12 si ripete lo stesso procedimento diminuendo di uno la coordinata y, e guardando quindi a sinistra di una cella, successivamente diminuendo di uno la coordinata x, e quindi guardando in alto di una cella, e infine aumentando di uno la coordinata y per guardare a destra di una cella; lo stesso procedimento è effettuato spostando si prima di una cella(come descritto sopra), poi di due celle, e così via, fino al valore della visuale dell agente considerato; infine si cerca il valore massimo nella prima colonna della matrice creata, trovando quindi il massimo valore di appetibilità, e si ricavano le posizioni associate, considerando la seconda e la terza colonna della riga in cui compare tale valore. Tali coordinate indicano la posizione nella quale si sposterà l agente selezionato in quel turno. Ricordiamo che il movimento degli agenti è asincrono, questa scelta è determinata dal fatto che in questo modo si semplifica a livello software l individuazione del miglior movimento possibile e quindi si evita di gestire eventuali casi di sovrapposizione

13 5. Prime simulazioni 5.1. Primo esperimento: comportamento delle principali caratteristiche La nostra prima serie di simulazioni ha lo scopo di mostrarci il comportamento di alcune proprietà nel trascorrere simulato del tempo e di farci capire se gli agenti che sopravvivono hanno alcune caratteristiche comuni. Lanciamo dieci simulazioni con 5 agenti per 3 passi e ci facciamo restituire come output tre grafici in cui i valori corrispondono alle medie di tali simulazioni. Il primo grafico (Grafico 1) mostra l andamento demografico: per ogni simulazione si ha il numero di agenti vivi ad ogni passo; tali valori sono stati calcolati attraverso la media degli agenti vivi ad ogni passo di ogni simulazione. 5 Andamento demografico 45 Media agenti vivi Passi Grafico 1: andamento demografico medio. Si può notare che il numero di agenti vivi cala vertiginosamente durante i primi cinquanta passi della simulazione, continua poi a decrescere ma molto più lentamente tendendo infine a stabilizzarsi. Il numero di agenti vivi ad ogni passo ha un andamento che, tendenzialmente, segue una curva logaritmica. È importante ricordare che il Grafico 1 riporta la media di tutti valori degli andamenti di ogni simulazione, ma che comunque ogni singola simulazione mostra un andamento demografico come quello riportato

14 Il secondo grafico mostra l andamento nel tempo della media della visuale e della media del metabolismo degli agenti Andamento Visuali e Metabolismi Visulae Metabolismo Passi Grafico 2: andamento medio della visuale e del metabolismo degli agenti vivi ad ogni passo. Da ciò che risulta dal grafico con il passare del tempo gli agenti vivi hanno un metabolismo che, in media, decresce, mentre la loro visuale, in media, aumenta. Anche in questo caso la maggior parte del cambiamento avviene nei primi cinquanta passi e tende poi a stabilizzarsi. Questo significa che gli agenti che sopravvivono sono quelli con un metabolismo più basso e con una visuale più ampia, o una buona combinazione di queste due caratteristiche; così come si può supporre che gli agenti che muoiono prima sono quelli che hanno un alto metabolismo e quelli che hanno un visione ridotta oppure quelli con una pessima combinazione di metabolismo e visuale. È però da notare che, anche se il metabolismo e il campo visivo hanno andamenti simili, quello del metabolismo è più accentuato, mentre quello del campo visivo ha una crescita iniziale meno incidente. Il terzo grafico (Grafico 3) mostra la ricchezza media, minima e massima ad ogni passo. Anche in questo caso il risultato è dato dalla media della ricchezza ad ogni passo di ogni simulazione. Consideriamo la ricchezza ad un determinato passo come la somma delle le scorte di zucchero di tutti gli agenti vivi a quel passo Ricchezza minima, media e massima Ricchezza minima Ricchezza media Ricchezza massima 6 Ricchezza Passi Grafico 3: andamento della ricchezza ad ogni passo

15 Dal grafico si può osservare che la crescita della ricchezza degli agenti nello SugarScape sembra essere costante; esperimenti supplementari possono farci supporre che essa sia anche illimitata. Per confermare questa supposizione abbiamo effettuato alcune simulazioni con 5 agenti iniziali e un numero sempre maggiore di passi (da 6 a 15) e il risultato ha confermato la nostra idea: l andamento infatti non varia e la ricchezza continua a crescere sempre in modo costante. In ultimo possiamo vedere la distribuzione finale della ricchezza, ossia la ricchezza degli agenti vivi all ultimo passo, per quattro delle precedenti simulazioni scelte arbitrariamente: 35 Distribuzione della ricchezza 45 Distribuzione della ricchezza Frequency Zucchero Frequency Zucchero 45 Distribuzione della ricchezza 4 Distribuzione della ricchezza Frequency Frequency Zucchero Zucchero Si può osservare che la ricchezza è distribuita in modo abbastanza equo tra gli agenti vivi, per cui la maggior parte di essi possiede una ricchezza media e la distribuzione può essere approssimata, anche se solo vagamente, con una curva gaussiana a campana. Sono presenti tuttavia numerosi agenti che possiedono una ricchezza superiore alla media. È plausibile supporre che essi siano quegli agenti che si trovano sulla cima di una collina e che hanno un metabolismo e un campo di visuale favorevoli alla sopravvivenza. Infine ci sono pochi agenti che hanno una ricchezza minore della media, si presume essi siano quelli rimasti isolati, ossia al di fuori delle collinette. La figura 4 e la figura 5 visualizzano lo SugarScape prima e dopo l evoluzione nel tempo in una simulazione di quelle presentate sopra. La prima immagine riporta gli agenti paracadutati nel mondo, le cui posizioni sono casuali; la seconda riporta gli stessi agenti (coloro che sono sopravvissuti) alla fine della simulazione

16 Sugarscape Sugarscape Figura 4: sugarscape prima dell evoluzione. Figura 5: sugarscape dopo l evoluzione (3 passi). Ripetendo più volte l esperimento descritto, si assiste sempre alla medesima dinamica di stabilizzazione degli agenti: dopo un modesto numero di passi, una cinquantina, essi rimangono costanti nella quantità e i loro spostamenti rimangono circoscritti alla cima di ciascuna collinetta. Si può ipotizzare che, a queste condizioni, l ambiente non sia in grado di sostenere più di un certo numero di agenti. Per precisare questo numero abbiamo ripetuto l esperimento simulando lo SugarScape 1 volte e facendoci restituire questa volta la media degli agenti sopravissuti e la deviazione standard. Partendo da 5 agenti iniziali, il risultato che otteniamo è che dopo 3 passi, la media degli agenti vivi è di , con una deviazione standard di Questi risultati empirici ci portano alla conclusione che lo SugarScape, operante in questo modo, sia in grado di far sopravvivere 228 con uno scarto di ± 1 agenti 2. 2 I decimali sono il risultato dall'operazione media, ovviamente non possiamo avere dei mezzi agenti, quindi arrotondiamo tali dati per eccesso

17 5.2. Secondo esperimento: variazione del numero iniziale di agenti Dato che non tutti gli agenti immessi nell ambiente sono in grado di sopravvivere, e dato che questo effetto ha una certa sistematicità, proviamo a simulare lo SugarScape con gli stessi parametri degli esperimenti precedenti, partendo però ora da una quantità iniziale di agenti diversa. L obiettivo è vedere se, partendo con quantità iniziali differenti di agenti (da 1 a 5), si ottengono risultati simili. A questo scopo visualizzeremo l andamento temporale del numero di agenti. Nella Tabella 2 sono riportati i risultati delle simulazioni. La prima colonna indica il numero iniziale degli agenti paracadutati nello SugarScape mentre la seconda colonna contiene i valori medi del numero di agenti vivi a fine simulazione. Per ogni numero iniziale di agenti sono state fatte dieci simulazioni, in modo da ottenere una media più o meno indicativa. Numero iniziale di agenti Numero finale di agenti 1 2,6 5 24,4 1 52, ,2 2 1, , , ,7 4 19, , ,6 Tabella 2: media (di dieci simulazioni) del numero di agenti sopravissuti per diverse quantità iniziali di agenti. Come si può leggere dalla tabella, partendo da diverse quantità iniziali di agenti non si ottengono risultati simili: osservandolo e analizzando i risultati è possibile affermare che esiste una proporzionalità diretta tra il numero di agenti iniziali e il numero di agenti finali. Sviluppando il grafico dalla tabella otteniamo la rappresentazione seguente. Agenti finali per diversi valori di agenti iniziali 25 2 Agenti finali Agenti Vivi Agenti iniziali Grafico 4.1: numero di agenti vivi alla fine della simulazione a seconda del numero iniziale di agenti. Il numero degli agenti sopravissuto è la media di dieci simulazioni

18 Avvalendoci di un diverso programma di supporto (Microsoft Excel) si può aggiungere al grafico ottenuto una linea di tendenza o regressione lineare 3 (Grafico 4.2). Agenti finali per diversi valori di agenti iniziali Capacità portante y = 22,83x - 16,371 R 2 =,9975 Agenti Vivi Lineare (Agenti Vivi) Agenti iniziali Grafico 4.2: grafico 4.1 con aggiunta la linea di tendenza (regressione lineare). MS Excel è stato utilizzato per fornirci una rappresentazione grafica, per i calcoli è stata utilizzata invece la funzione regress di Matlab. Essa ci restituisce l equazione della curva interpolante, che equivale a y =,46 x ± Variabile errore. Il ché significa che il numero di agenti finali è uguale al numero di agenti iniziali moltiplicato per,46, con una variabile di errore. Il secondo dato che abbiamo ispezionato è il valore del coefficiente R 2 (ossia il valore della regressione -,9987 al quadrato) che risulta,9975. Tale valore segnala la significatività statistica dell interpolazione: tale significatività è tanto maggiore quanto più il coefficiente si avvicina ad 1. L R 2 risultante da Matlab -,9966 ci da la possibilità di concludere che, data la relazione di proporzionalità diretta trovata dagli esperimenti, la capacità portante del sistema (che andremo ora a definire) dipende in modo abbastanza lineare dal numero di agenti iniziali. 3 Regressione lineare: in statistica, è un metodo per stimare che fa uso dei minimi quadrati per derivare una retta (del tipo y = ax + b) che interpola uno scatter di punti minimizzando la somma dei quadrati delle distanze dei punti stessi dalla retta

19 6. Capacità portante Come affermato nel paragrafo precedente, l ambiente non è in grado di sostenere una qualsiasi quantità di agenti; esiste una soglia limite chiamata capacità portante. Tale capacità può essere definita come la quantità di agenti che sopravvive nello stato asintotico stabile, data una quantità iniziale fissa degli agenti stessi, e data la disponibilità di risorse all interno del sistema. Partendo da un numero di agenti iniziali pari a 5, e simulando lo SugarScape cinquanta volte, possiamo osservare dal Grafico 5 che l andamento temporale del numero di agenti decresce seguendo una curva tendenzialmente logaritmica e possiamo affermare che la capacità portante del sistema si aggira intorno ai 228 ± 1 agenti. Tale cifra è il risultato della prima serie di esperimenti. 5 Andamento temporale del numero di agenti 45 4 Agenti vivi Passi Grafico 5: andamento temporale del numero di agenti vivi per cinquanta simulazioni da 3 passi e 5 agenti iniziali. Andremo ora ad effettuare una serie di esperimenti che hanno lo scopo di studiare la capacità portante del nostro sistema e di capire le relazioni che intercorrono tra tale capacità e determinate caratteristiche dello SugarScape

20 6.1. Terzo esperimento: capacità portante al variare delle risorse del terreno La domanda alla quale vogliamo rispondere ora è la seguente: esiste una relazione tra capacità portante e quantità di risorse presenti nell ambiente? Per rispondere a questa domanda abbiamo effettuato una serie di simulazioni variando le risorse presenti nel mondo, per vedere se è possibile affermare che il numero di agenti che sopravvivono ha un qualche tipo di relazione con la quantità di zucchero presente sul territorio. Questo primo esperimento è costituito da 3 simulazioni, ognuna con un numero di agenti iniziali pari a 5 e per 5 passi. Le prime dieci sono effettuate con collinette piccole, altre dieci simulazioni sono lanciate con collinette più grandi e le ultime dieci con collinette ancora più grandi. I risultati che ci facciamo restituire sono la media di agenti vivi al termine di ciascun ciclo di simulazioni e i grafici relativi all andamento demografico. Il primo ciclo di simulazioni è effettuato su un mondo con poche risorse, un mondo in cui le colline sono più strette e la loro altezza arriva a tre 4. Il risultato di questo ciclo è riportato nel Grafico 6.1. La media degli agenti sopravissuti è 138,1. Nel secondo ciclo di simulazioni i parametri di input per la creazione delle colline sono 4 per la loro altezza massima e 15 per la loro larghezza. L andamento demografico degli agenti che occupano questo tipo di ambiente è riportato nel Grafico 6.2 e la media degli agenti sopravissuti è 225. Nel terzo ciclo aumentiamo sia l altezza che la larghezza delle colline. L altezza la impostiamo a 5 e la larghezza a I risultati sono riportati nel grafico 6.3 e la media degli agenti vivi a fine simulazione è 295,4. Capacità portante Andamento demografico con colline piccole Simulazione 1 Simulazione 2 Simulazione 3 Simulazione 4 Simulazione 5 Simulazione 6 Simulazione 7 Simulazione 8 Simulazione 9 Simulazione Passi Grafico 6.1: andamento demografico degli agenti. Ogni curva rappresenta una simulazione, ogni simulazione è stata effettuata con un mondo con scarse risorse nel territorio. 4 Per operare questa modifica andiamo a modificare i valori di input per la creazione delle colline. Nello specifico l altezza delle colline A = 3 e la larghezza σ x = 1 e σ y = 1. 5 Anche aumentando la larghezza delle colline l altezza massima che esse possono raggiungere non supera le 5 unità, anche dove le due basi delle colline si sovrappongono

21 Capacità portante Andamento demografico con colline medie Simulazione 1 Simulazione 2 Simulazione 3 Simulazione 4 Simulazione 5 Simulazione 6 Simulazione 7 Simulazione 8 Simulazione 9 Simulazione Passi Grafico 6.2: andamento demografico degli agenti. Ogni curva rappresenta una simulazione. Le simulazioni sono state effettuate con un mondo in cui le risorse possono considerarsi normali Capacità portante Andamento demografico con colline grandi Simulazione 1 Simulazione 2 Simulazione 3 Simulazione 4 Simulazione 5 Simulazione 6 Simulazione 7 Simulazione 8 Simulazione 9 Simulazione Passi Grafico 6.3: andamento demografico degli agenti. Ogni curva rappresenta una simulazione. Ogni simulazione è stata effettuata con un elevata quantità di risorse. Possiamo concludere che la risposta alla nostra domanda iniziale è positiva: esiste sicuramente una relazione tra la capacità portante del sistema e la quantità di risorse presenti nel territorio. Per quantificare il tipo di relazione esistente effettuiamo un altro esperimento in cui manteniamo invariata la larghezza delle colline ma facciamo variare la loro altezza da 3 a 1 e ci facciamo restituire la madia degli agenti vivi calcolata per dieci simulazioni. Facendo evolvere il sistema per 5 passi e un numero iniziale di 5 agenti, i risultati ottenuti sono quelli riportati nella Tabella

22 Altezza colline Capacità portante , ,1 7 3, , , ,4 Tabella 3: capacità portante in relazione all altezza delle colline, quindi alle risorse del territorio. È visibile un sostanziale aumento degli agenti finali all aumentare degli agenti finali, per cui operiamo come in precedenza per valutare, nello specifico, che tipo di relazione lega queste due variabili. Utilizzando Excel rappresentiamo graficamente la tabella e aggiungiamo una linea di tendenza. Questa volta però non operiamo una regressione lineare, ma aggiungiamo una linea di tendenza logaritmica. I risultati ottenuti sono riportati di seguito. Capacità portante Capacità portante y = 8,431Ln(x) + 174,98 R 2 =, Altezza colline Grafico 6.4: capacità portante del sistema in relazione all altezza delle colline. Linea di tendenza logaritmica. L equazione ottenuta è la seguente: y = 8,431 * Ln(x) + 174,98 che tradotta in termini di SugarScape significa che la capacità portante del sistema è uguale al logaritmo dell altezza delle colline moltiplicata circa ottanta volte e sommata a 147,98. R 2 =,9866 sta ad indicare che la curva ottenuta nel nostro grafico ben si avvicina ad una curva logaritmica. Tuttavia l analisi della regressione lineare effettuata con Matlab ci dice che la curva rappresentante la capacità portante in relazione all altezza delle colline si avvicina molto anche ad una crescita lineare. Infatti la crescita è molto simile anche ad una proporzionalità diretta, oltre che ad una logaritmica, e l R 2 risultante ce lo conferma; esso vale,9664. L equazione che descrive tale curva stima y = 22 * x ± b, dove y rappresenta la capacità portante del sistema, x rappresenta l altezza delle colline e b rappresenta la variabile d errore (Grafico 6.5)

23 3 2 Actual Predicted OLS Actual vs. Predicted Residuals Grafico 6.5: regressione lineare sulla curva della capacità portante del sistema in relazione all altezza delle colline (sopra) e analisi dei residui (sotto). Equazione risultante: capacità portante = 22 * altezza delle colline ± variabile errore. Il limite tra le due possibili tendenze è molto labile ed è difficile capire quali dei due risultati è più idoneo a descrivere l andamento della capacità portante esaminata in questo esperimento Quarto esperimento: capacità portante al variare del tipo di agente Abbiamo visto come la capacità portante del sistema varia al variare del numero iniziale di agenti ed è funzione del terreno, vogliamo ora verificare se essa cambia anche a seconda del tipo di agente che occupa e utilizza il terreno. L ipotesi iniziale, dunque, è che il numero finale degli agenti dipenda anche dalle interazioni che gli stessi sono in grado di mantenere con il terreno. Dai risultati dei primi esperimenti possiamo già ipotizzare che la capacità portante possa variare a seconda della capacità visiva media degli agenti e a seconda dal loro metabolismo medio, lavoriamo dunque tenendo in considerazione queste due variabili. Per trovare sperimentalmente la dipendenza tra capacità portante e metabolismo e visuale degli agenti, abbiamo effettuato una serie di simulazioni in cui supponiamo che tutti gli agenti abbiano una stessa visuale data ed un uguale metabolismo anch esso dato, anziché determinare questi due parametri in modo casuale come nelle precedenti simulazioni. In questo modo è possibile analizzare come cambia il numero di agenti finali al variare di questi due parametri. L esperimento ha queste caratteristiche: o 5 agenti iniziali; o 15 passi, per permettere un assestamento del sistema; o la visuale varia da 1 a 1 celle; o il metabolismo varia da 1 a 5 unità di zucchero; o tutti gli agenti hanno lo stesso valore del parametro interessato; o si utilizza una matrice 1x5 (visuale x metabolismo). Per ogni coppia visuale-metabolismo si effettuano 1 simulazioni. Ogni simulazione restituisce il numero di agenti finali. Ogni elemento della matrice contiene il numero medio di agenti finali. I risultati delle simulazioni appena descritte sono riportati in Tabella

24 Visuale Matrice agenti vivi Metabolismo ,2 9, ,1 313, , , ,9 362,7 137, ,7 371,9 137, ,2 376,1 136, ,6 385,5 136, ,3 386,9 13, ,1 388,9 134,4 1 Tabella 4: media degli agenti vivi (su 1 simulazioni) per ogni coppia di valori dei parametri metabolismo e visuale. 15 passi, 5 agenti iniziali. Leggendo la matrice per colonne è possibile notare che, mantenendo il metabolismo costante e variando la visuale degli agenti, il numero di agenti vivi a fine simulazione subisce una leggera crescita, ma non varia sensibilmente. Prendendo in considerazione la prima colonna, infatti, si nota che, fissando a una unità di zucchero il metabolismo degli agenti e variando la loro visuale da 1 a 1 celle, la capacità portante cresce da 448 agenti quando la visuale è uno fino ad arrivare a 485 quando la visuale è dieci; tale capacità dunque aumenta di 37 agenti. Lo stesso procedimento effettuato sulle altre colonne della matrice ci dice che mantenendo il metabolismo fisso a due unità di zucchero la capacità portante cresce di 15 agenti; di 39 agenti quando il metabolismo è fissato a tre unità di zucchero; di 1 agente a metabolismo fisso a quattro unità di zucchero e non aumenta, cioè rimane costante a agenti, se il metabolismo è fissato a 5 unità di zucchero. Leggendo ora la matrice per riga, è possibile notare come varia la capacità portante del sistema quando gli agenti hanno una visuale fissa, ma variano il loro metabolismo. Questa volta la capacità portante varia sensibilmente al variare del metabolismo degli agenti e, in particolare, è interessante notare che, qualsiasi capacità visiva abbiano gli agenti, se il loro metabolismo è pari a cinque unità di zucchero, non riescono a sopravvivere. Per capire meglio le osservazioni appena fatte e avere un riscontro visivo della correlazione supposta, è possibile fare un plot in cui visualizziamo come varia il numero di agenti vivi al variare della loro visuale, a metabolismo fisso (Grafico 7), e un secondo plot in cui visualizziamo come varia il numero di agenti sopravissuti al variare del loro metabolismo, a visuale fissa (Grafico 8)

25 5 Visuale variabile, metabolismo costante 45 4 Agenti sopravissuti metabolismo = 1 metabolismo = 2 metabolismo = 3 metabolismo = 4 metabolismo = Visuale Grafico 7: capacità portante dello sugarscape in relazione al parametro di visuale degli agenti (a metabolismo fisso). Come si era già potuto notare dalla tabella, il numero di agenti che sopravvive non varia molto al variare della loro visuale; ciò significa che la capacità portante del sistema dipende solo in minimissima parte dal parametro visuale dei nostri agenti. L andamento delle curve è pressoché identico, l unica variante è che con più diminuisce il metabolismo con più la curva viene traslata verso l alto, in virtù del fatto che minore è il metabolismo degli agenti, maggiore è la capacità portante del sistema. Agenti sopravissuti Metabolismo variabile, visuale costante Vista = 1 Vista = 2 Vista = 3 Vista = 4 Vista = 5 Vista = 6 Vista = 7 Vista = 8 Vista = 9 Vista = Metabolismo Grafico 8: capacità portante dello sugarscape al variare del parametro di metabolismo degli agenti (a visuale fissa) Come avevamo già notato analizzando la tabella, il numero di agenti che riesce a sopravvivere nell ambiente varia molto in relazione al proprio metabolismo; questo significa che la capacità portante dello SugarScape dipende molto dal parametro metabolismo degli agenti

26 Anche in questo caso le curve hanno un andamento simile, con la sola eccezione che esse vengono traslate verso l alto all aumentare del campo visivo, in virtù del fatto che, come abbiamo detto sopra, anche se solo in minima parte, il parametro visione influisce sulla capacità portante. Questa minima parte è visibile anche nella distanza di traslazione tra una curva e l altra, che è molto piccola, soprattutto confrontandola con quella del Grafico 6. L ampia distanza di traslazione tra una curva e l altra nel grafico 6, infatti, indica che il metabolismo incide molto sulla capacità portante del sistema. Un osservazione che è plausibile fare è che questi dati sono coerenti con i risultati del primo esperimento (cfr. Grafico 2). Quando abbiamo analizzato l andamento della visuale e del metabolismo degli agenti, assegnando a questi due parametri valori casuali, avevamo notato che con il passare del tempo gli agenti che rimanevano vivi avevano un metabolismo medio che decresceva in maniera maggiore dell aumento della loro visuale media. Questa considerazione trova ora fondamento con le nostre ultime considerazioni, secondo le quali la capacità portante del sistema dipende molto dal parametro metabolismo e in maniera minore dal parametro visuale. Per verificare matematicamente le nostre supposizioni, e per capire cosa significa che la visuale degli agenti incide in minima parte e il metabolismo incide in modo forte sulla capacità portante, possiamo stimare alcuni valori: una regressione lineare in cui la variabile indipendente è la capacità portante e la variabile dipendente è la visuale, per quantificare la relazione capacità portante-visuale; una regressione lineare in cui la variabile indipendente è la capacità portante e la variabile dipendente è il metabolismo, per quantificare la relazione capacità portante-metabolismo; una regressione lineare multivariata in cui la variabile indipendente è la capacità portante e le variabili dipendenti sono la capacità visiva e il metabolismo. Utilizzando la funzione regress di Matlab otteniamo che le variabili vista e metabolismo, in una ipotetica formula, avrebbero coefficienti rispettivamente pari a 44 e -39. Di conseguenza il numero di agenti sopravvissuti è uguale a * vista * metabolismo. Tuttavia, il coefficiente di determinazione ottenuto paria a,9 - è molto basso e indica che, di fatto, con queste due variabili non siamo in grado di predire efficacemente l'andamento della popolazione. Il grafico sottostante mostra la curva data dai nostri dati e la curva della regressione lineare. 4 OLS Actual vs. Predicted 3 2 Actual Predicted Residuals Grafico 9: regressione lineare sulla capacità portante ottenuta dagli esperimenti

27 Proviamo ore a considerare le due variabili separatamente, per verificare se una ha un coefficiente sensibilmente differente dall altra ed è in grado di spiegare meglio o peggio la capacità portante del nostro sistema. Sempre utilizzando Matlab come programma di elaborazione di queste statistiche, elaboriamo due cicli di simulazioni per 3 passi e 5 agenti iniziali. Nel primo ciclo fissiamo la vista di tutti gli agenti e lasciamo casuale il metabolismo, nel secondo ciclo fissiamo il metabolismo degli agenti e lasciamo casuale la visuale. Attuando poi la regressione ai risultati ottenuti (riportato in tabella 5) l esito è che il numero di agenti finali è uguale alla visuale degli agenti moltiplicata 222,1333 volte, e la significatività di questa regressione, ossia il suo R 2 è di,6463. Visuale agenti Numero di agenti finali Tabella 5: capacità portante del sistema al variare del parametro visuale. Nel secondo ciclo di simulazioni fissiamo un uguale metabolismo a tutti gli agenti e lasciamo casuale il parametro relativo alla loro visuale. Il numero di agenti vivi alla fine della simulazione relativamente al loro metabolismo è riportato in tabella 6. Metabolismo agenti Numero di agenti finali Tabella 6: capacità portante del sistema al variare del parametro metabolismo. Attuando la regressione lineare a questi risultati otteniamo un R 2 pari a,9 6. È dunque plausibile concludere che la variabile metabolismo è in grado di spiegare meglio la capacità portante del sistema di quanto non sia in grado di farlo la variabile visuale. Una ulteriore ipotesi che è plausibile assumere è che gli agenti con metabolismo pari a cinque unità di zucchero non riescano a sopravvivere a causa delle dimensioni delle colline: il massimo della capacità di zucchero che le celle in cime alle colline nel mondo possono contenere è infatti 4 nei nostri esperimenti. Agenti con metabolismo più alto quindi, considerando che dispongono di una 6 R 2 in realtà è risultato 1.e+3 *

28 scorta iniziale, non sono in grado di sopravvivere per un periodo lungo di tempo. Anche ipotizzando che un agente con metabolismo 5 sia selezionato una volta ad ogni passo, o anche per più di un turno, e che riesca ogni volta a raccogliere quattro unità di zucchero, il suo metabolismo consuma comunque più di quello che riesce a raccogliere, e consumerà la sua scorta iniziale fino ad annullarla. Per verificare se la nostra ipotesi ha fondamento abbiamo simulato lo SugarScape con diversi valori per l altezza delle colline e abbiamo guardato come si comporta l andamento demografico. Per questi esperimenti il valore del parametro visuale è stato fissato a 1 per tutti gli agenti e il valore del parametro del metabolismo è stato mantenuto casuale. I risultati ottenuti sono i seguenti: se la collina raggiunge un massimo di 5, quindi le celle in cima alla collina possono contenere al massimo cinque unità di zucchero, gli agenti con metabolismo pari a 5 unità di zucchero che sopravvivono sono pochi mentre quelli con metabolismo 6 muoiono, come mostrato nel grafico sottostante. Anamento demografico (collina 5) Agenti vivi Metabolismo 5 Metabolismo Passi Grafico 1: media su dieci simulazioni di agenti vivi con metabolismo 5 (linea blu) e con metabolismo 6 (linea rosa). Le simulazioni sono effettuate con il parametro altezza collina pari a 5. Se la collina raggiunge un massimo di 6, gli agenti che sopravvivono con metabolismo 6 sono pochi, mentre quelli con metabolismo 7 invece muoiono in modo analogo a quanto riportato nel Grafico 1. Questi risultati sembrano confermare l ipotesi secondo la quale gli agenti con un metabolismo superiore alla massima quantità che le celle della cima della collina possano contenere non sono in grado di sopravvivere più di un centinaio di passi

29 7. Coefficiente di Gini Il coefficiente di Gini (G) è una stima della quantità di ineguaglianza di un determinato fattore all interno di una popolazione. La misura di questo coefficiente è definita come il rapporto dell area compresa tra la Curva di Lorenz 7 della distribuzione e la curva data da una distribuzione uniforme, rispetto all area sottesa della distribuzione uniforme. Matematicamente il coefficiente di Gini è espresso in questo modo: G = Area A Area A+ Area B Il coefficiente di Gini, spesso utilizzato per misurare la differenza di reddito, è un numero compreso tra ed 1; un coefficiente pari a rimanda ad un assenza di ineguaglianza, ossia il caso di una uguaglianza perfetta in cui tutti hanno lo stesso reddito, un coefficiente uguale a 1, invece, rimanda ad una totale ineguaglianza, cioè il caso in cui una persona detiene tutto il reddito mentre tutti gli altri hanno un reddito nullo. Più basso è il valore di G, dunque, maggiore è l uguaglianza. Uno dei fattori comunemente utilizzati è appunto il reddito, perciò il coefficiente di Gini è in grado di misurare le sperequazioni (differenza, sproporzione) di reddito in una popolazione. Per riportare un esempio la Figura 6 mostra il grafico dal quale si calcola l area per definire il coefficiente di Gini. Sull asse delle ascisse sono riportate le percentuali relative alla popolazione e su quello dello ordinate è riportata la percentuale relativa al reddito. La retta rappresenta la curva di una distribuzione uniforme, la curva, invece, rappresenta la curva di Lorenz della distribuzione reale del reddito. In questo modo, al punto X, sulla linea della distribuzione del reddito, il 4% della popolazione risulta disporre del 1% del reddito; mentre una distribuzione equa avrebbe voluto che fosse il 1% della popolazione a disporre il 1% del reddito. Al punto Y, l 8% della popolazione ha il 4% del reddito. In coincidenza del punto Z il 5% della popolazione dovrebbe disporre del 5% del reddito secondo una distribuzione equa, e invece in questo esempio dispone di meno del 2% del reddito totale. Figura 6: coefficiente di Gini calcolato a partire dal diagramma della curva di Lorenz 7 Curva di Lorenz: una volta ordinati in senso crescente i redditi, la curva di Lorenz rappresenta graficamente la relazione fra quote cumulate di reddito e frazioni cumulate di redditieri