Testa o croce: quando conviene scegliere a caso

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1 Testa o croce: quando conviene scegliere a caso Fabio Fagnani fagnani/ Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino p.

2 Quale ricerca? p.

3 Quale ricerca? Teoria dei controlli e dei codici. Forti legami con le ingegnerie dell automazione e delle telecomunicazioni e con la fisica. Ricerca intrinsecamente interdisciplinare. p.

4 Quale ricerca? Teoria dei controlli e dei codici. Forti legami con le ingegnerie dell automazione e delle telecomunicazioni e con la fisica. Ricerca intrinsecamente interdisciplinare. Che matematica entra in gioco? Analisi Algebra Teoria dei grafi, combinatorica Probabilità p.

5 Una lezione sulla probabilità p.

6 Una lezione sulla probabilità La genesi: una breve introduzione storica. p.

7 Una lezione sulla probabilità La genesi: una breve introduzione storica. Alcuni problemi classici. p.

8 Una lezione sulla probabilità La genesi: una breve introduzione storica. Alcuni problemi classici. Alcune questioni più avanzate. p.

9 La genesi della probabilità Non è una genesi delle più nobili: nasce nelle bische clandestine della Francia seicentesca. Ha una data di nascita ufficiale: il Un importante precursore: Cardano, Liber de Ludo Aleae, 1520, pubblicato nel p.

10 Che cosa accadde nel 1654? p.

11 Che cosa accadde nel 1654? Un gioco allora alla moda: la casa scommette alla pari con un giocatore che quest ultimo, lanciando per 4 volte un dado, ottenga almeno una volta 6. Questo gioco è favorevole alla casa che in media vince il 52% delle volte. p.

12 Che cosa accadde nel 1654? Un gioco allora alla moda: la casa scommette alla pari con un giocatore che quest ultimo, lanciando per 4 volte un dado, ottenga almeno una volta 6. Questo gioco è favorevole alla casa che in media vince il 52% delle volte. Una variante di Antoine Gombauld Chevalier de Méré: la casa scommette alla pari con un giocatore che quest ultimo, lanciando per 24 volte una coppia di dadi, ottenga almeno una volta il doppio 6. p.

13 Che cosa accadde nel 1654? Anche questo gioco, secondo il de Méré, dovrebbe essere leggermente favorevole alla casa: p.

14 Che cosa accadde nel 1654? Anche questo gioco, secondo il de Méré, dovrebbe essere leggermente favorevole alla casa: 6 risultati possibili lanciando un dado: la probabilità che esca il 6 è 1/6; p.

15 Che cosa accadde nel 1654? Anche questo gioco, secondo il de Méré, dovrebbe essere leggermente favorevole alla casa: 6 risultati possibili lanciando un dado: la probabilità che esca il 6 è 1/6; 36 risultati possibili lanciando due dadi: la probabilità che esca il doppio 6 è 1/36 (6 volte più bassa); p.

16 Che cosa accadde nel 1654? Anche questo gioco, secondo il de Méré, dovrebbe essere leggermente favorevole alla casa: 6 risultati possibili lanciando un dado: la probabilità che esca il 6 è 1/6; 36 risultati possibili lanciando due dadi: la probabilità che esca il doppio 6 è 1/36 (6 volte più bassa); lanciando la coppia di dadi 6 volte di più (24 = 6 4) si dovrebbe controbilanciare l effetto di considerare un evento meno probabile di un fattore 6. p.

17 Che cosa accadde nel 1654? Anche questo gioco, secondo il de Méré, dovrebbe essere leggermente favorevole alla casa: 6 risultati possibili lanciando un dado: la probabilità che esca il 6 è 1/6; 36 risultati possibili lanciando due dadi: la probabilità che esca il doppio 6 è 1/36 (6 volte più bassa); lanciando la coppia di dadi 6 volte di più (24 = 6 4) si dovrebbe controbilanciare l effetto di considerare un evento meno probabile di un fattore si dovrebbe avere quindi la stessa probabilità. p.

18 Che cosa accadde nel 1654? E invece no! Quest ultimo gioco non è favorevole alla casa, ma al giocatore. p.

19 Che cosa accadde nel 1654? E invece no! Quest ultimo gioco non è favorevole alla casa, ma al giocatore. Ne era consapevole il de Méré, non è chiaro se per averlo provato a sue spese o per qualche intuizione teorica. Decise di parlarne con un brillante francese dell epoca, Blaise Pascal che risolse il problema postogli dal de Méré provando anche che con 25 lanci il gioco sarebbe allora stato favorevole alla casa. p.

20 Lo sviluppo successivo Con Pascal e poi Fermat, Huygens, Leibnitz, Bernoulli si sviluppa la probabilità. Per la fine del 1600 è già una teoria autonoma. p.

21 Lo sviluppo successivo Con Pascal e poi Fermat, Huygens, Leibnitz, Bernoulli si sviluppa la probabilità. Per la fine del 1600 è già una teoria autonoma. Laplace 1812: E davvero notevole che una scienza nata dall osservazione dei giochi d azzardo sia divenuta l oggetto più importante della umana conoscenza! p.

22 Lo sviluppo successivo Tuttavia, nonostante Laplace, Poisson, De Moivre, Gauss nonostante le spettacolari applicazioni alla fisica di Maxwell, Boltzmann, Einstein la probabilità come disciplina matematica quasi scompare dalla scena per oltre 100 anni. p.

23 Lo sviluppo successivo Solo dal 1930 comincia ad acquisire un autonomia e un rispetto nei circoli matematici. Ha molta fortuna in Francia dove è nata, in Russia, negli Stati Uniti, poca in Italia... p.

24 Lo sviluppo successivo Solo dal 1930 comincia ad acquisire un autonomia e un rispetto nei circoli matematici. Ha molta fortuna in Francia dove è nata, in Russia, negli Stati Uniti, poca in Italia... Fino a qualche anno fa, in Italia, ci si poteva laureare in Matematica senza aver sostenuto un solo esame di probabilità. p.

25 p. 1 Lo sviluppo successivo Questo spiega in parte il motivo della scarsa penetrazione delle idee probabilistiche nella cultura comune. Con gravi conseguenze, perchè la probabilità ha nel contempo aumentato la sua influenza ed importanza. Genetica Teoria dell Informazione Modelli finanziari

26 Quando serve la probabilità? p. 1

27 p. 1 Quando serve la probabilità? La probabilità interviene ogni volta che effettuiamo, assistiamo ad un esperimento l esito del quale non è completamente determinato a priori e può avere un certo numero di diversi risultati.

28 p. 1 Quando serve la probabilità? La probabilità interviene ogni volta che effettuiamo, assistiamo ad un esperimento l esito del quale non è completamente determinato a priori e può avere un certo numero di diversi risultati. Lancio di una moneta: 2 possibili risultati T o C.

29 p. 1 Quando serve la probabilità? La probabilità interviene ogni volta che effettuiamo, assistiamo ad un esperimento l esito del quale non è completamente determinato a priori e può avere un certo numero di diversi risultati. Lancio di una moneta: 2 possibili risultati T o C. Lancio di un dado: 6 possibili risultati.

30 p. 1 Quando serve la probabilità? La probabilità interviene ogni volta che effettuiamo, assistiamo ad un esperimento l esito del quale non è completamente determinato a priori e può avere un certo numero di diversi risultati. Lancio di una moneta: 2 possibili risultati T o C. Lancio di un dado: 6 possibili risultati. Estrazione di una pallina da un urna contenente palline rosse, bianche, nere e gialle: 4 possibili risultati.

31 p. 1 Quando serve la probabilità? La probabilità interviene ogni volta che effettuiamo, assistiamo ad un esperimento l esito del quale non è completamente determinato a priori e può avere un certo numero di diversi risultati. Lancio di una moneta: 2 possibili risultati T o C. Lancio di un dado: 6 possibili risultati. Estrazione di una pallina da un urna contenente palline rosse, bianche, nere e gialle: 4 possibili risultati. Numero di connessioni ad un server in un giorno.

32 p. 1 Quando serve la probabilità? Il modello probabilistico serve a descrivere la nostra mancanza di informazione, la nostra ignoranza su un fenomeno e prescinde dalla causa di tale ignoranza.

33 Il modello probabilistico p. 1

34 p. 1 Il modello probabilistico Si fissa un insieme che contenga come elementi i possibili esiti dell esperimento sotto considerazione. Questo insieme verrà generalmente indicato con il simbolo Ω e chiamato spazio degli eventi elementari.

35 p. 1 Il modello probabilistico Si fissa un insieme che contenga come elementi i possibili esiti dell esperimento sotto considerazione. Questo insieme verrà generalmente indicato con il simbolo Ω e chiamato spazio degli eventi elementari. L insieme Ω negli esempi precedenti: Lancio di una moneta: Ω = {T, C}. Lancio di un dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Estrazione dall urna: Ω = {R, B, N, G}. Numero di connessioni: Ω = N = {0, 1, 2, 3,... }.

36 p. 1 Il modello probabilistico Si fissa un insieme che contenga come elementi i possibili esiti dell esperimento sotto considerazione. Questo insieme verrà generalmente indicato con il simbolo Ω e chiamato spazio degli eventi elementari. Ad ogni evento elementare ω Ω si associa un numero p(ω): la probabilità che si verifichi ω. p(ω) 0 ω Ω p(ω) = 1

37 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)?

38 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Ipotesi frequentista. In base ad informazioni statistiche sull esperimento Es.: se l evento ω accade 37 volte su 100, si pone p(ω) = 37/100.

39 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Ipotesi frequentista. In base ad informazioni statistiche sull esperimento Es.: se l evento ω accade 37 volte su 100, si pone p(ω) = 37/100. Ipotesi classica. Ragionamenti di simmetria: tutti gli eventi elementari hanno la stessa probabilità. Se Ω ha N elementi ( Ω = N), si pone p(ω) = 1/N qualunque sia ω Ω.

40 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)?

41 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Moneta Ω = {T, C} p(t) = p(c) = 1/2

42 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} p(ω) = 1/6, ω = 1, 2,..., 6

43 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Urna Ω = {R, B, N, G} p(ω) =?

44 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Urna Ω = {R, B, N, G} p(ω) =? Composizione dell urna: 3 palline rosse, 4 bianche, 1 nera, 2 gialle. Totale 10 palline.

45 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Urna Ω = {R, B, N, G} p(ω) =? Composizione dell urna: 3 palline rosse, 4 bianche, 1 nera, 2 gialle. Totale 10 palline. p(r) = 3 10, p(b) = 4 10, p(n) = 1 10, p(g) = 2 10.

46 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Connessioni Ω = N p(ω) =? ipotesi frequentista,...

47 p. 1 Il calcolo delle probabilità (Ω, p(ω)) spazio delle probabilità.

48 p. 1 Il calcolo delle probabilità (Ω, p(ω)) spazio delle probabilità. La probabilità di eventi complessi: A Ω p(a) = p(ω) ω A

49 p. 1 Il calcolo delle probabilità (Ω, p(ω)) spazio delle probabilità. La probabilità di eventi complessi: A Ω p(a) = p(ω) ω A Caso di ipotesi classica: p(a) = ω A p(ω) = A Ω = casi favorevoli casi possibili.

50 p. 1 Il calcolo delle probabilità (Ω, p(ω)) spazio delle probabilità. La probabilità di eventi complessi: A Ω p(a) = p(ω) ω A Regola del complementare: p(a c ) = 1 p(a)

51 p. 1 Esperimenti ripetuti In molti casi un esperimento consiste nel ripetere un certo numero di volte un esperimento base: lanci ripetuti di una moneta o di un dado...

52 p. 1 Esperimenti ripetuti In molti casi un esperimento consiste nel ripetere un certo numero di volte un esperimento base: lanci ripetuti di una moneta o di un dado... Quale struttura probabilistica?

53 p. 1 Esperimenti ripetuti Esperimento base con risultati nell insieme Ω o.

54 p. 1 Esperimenti ripetuti Esperimento base con risultati nell insieme Ω o. Supponiamo di ripetere l esperimento k volte e di annotare in ordine i risultati ottenuti. Avremo alla fine una sequenza ordinata di k elementi di Ω o : (ω 1, ω 2,..., ω k ) dove ω i indica l esito dell i-esimo esperimento.

55 p. 1 Esperimenti ripetuti Esperimento base con risultati nell insieme Ω o. Supponiamo di ripetere l esperimento k volte e di annotare in ordine i risultati ottenuti. Avremo alla fine una sequenza ordinata di k elementi di Ω o : (ω 1, ω 2,..., ω k ) dove ω i indica l esito dell i-esimo esperimento. NOTAZIONE: Ω = Ω k o = {(ω 1, ω 2,..., ω k ) ω 1,... ω k Ω o } Ω o = N o, Ω k o = N k o.

56 p. 1 Esperimenti ripetuti Che probabilità su Ω k o?

57 p. 1 Esperimenti ripetuti Che probabilità su Ω k o? Se gli eventi in Ω 0 sono equiprobabili e i vari esperimenti sono tra loro indipendenti è logico optare per l ipotesi classica: (N o = Ω o ) p(ω 1,... ω k ) = 1 N k o

58 p. 2 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 4 volte un dado si ottenga almeno una volta 6?

59 p. 2 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 4 volte un dado si ottenga almeno una volta 6? Ω 0 = {1, 2,..., 6}, Ω = Ω 4 0. A = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) almeno un ω i = 6}

60 p. 2 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 4 volte un dado si ottenga almeno una volta 6? Ω 0 = {1, 2,..., 6}, Ω = Ω 4 0. A = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) almeno un ω i = 6} A c = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) ω i 6}

61 p. 2 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 4 volte un dado si ottenga almeno una volta 6? Ω 0 = {1, 2,..., 6}, Ω = Ω 4 0. A = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) almeno un ω i = 6} A c = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) ω i 6} p(a c ) = casi favorevoli casi possibili =

62 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 4 volte un dado si ottenga almeno una volta 6? Ω 0 = {1, 2,..., 6}, Ω = Ω 4 0. A = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) almeno un ω i = 6} A c = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) ω i 6} p(a c ) = casi favorevoli casi possibili = p(a) = 1 p(a c ) = p. 2

63 p. 2 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 24 volte una coppia di dadi si ottenga almeno una volta (6, 6)?

64 p. 2 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 24 volte una coppia di dadi si ottenga almeno una volta (6, 6)? Ω 0 = {1, 2,..., 6} 2, Ω = Ω A = {(ω 1,..., ω 24 ) almeno un ω i = (6, 6)}

65 p. 2 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 24 volte una coppia di dadi si ottenga almeno una volta (6, 6)? Ω 0 = {1, 2,..., 6} 2, Ω = Ω A = {(ω 1,..., ω 24 ) almeno un ω i = (6, 6)} A c = {(ω 1,..., ω 24 ) ω i (6, 6)}

66 p. 2 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 24 volte una coppia di dadi si ottenga almeno una volta (6, 6)? Ω 0 = {1, 2,..., 6} 2, Ω = Ω A = {(ω 1,..., ω 24 ) almeno un ω i = (6, 6)} A c = {(ω 1,..., ω 24 ) ω i (6, 6)} p(a c ) = casi favorevoli casi possibili =

67 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 24 volte una coppia di dadi si ottenga almeno una volta (6, 6)? Ω 0 = {1, 2,..., 6} 2, Ω = Ω A = {(ω 1,..., ω 24 ) almeno un ω i = (6, 6)} A c = {(ω 1,..., ω 24 ) ω i (6, 6)} p(a c ) = casi favorevoli casi possibili = p(a) = 1 p(a c ) = p. 2

68 p. 2 Ritorno al 1654 Esercizio: Qual è la probabilità che lanciando per 25 volte una coppia di dadi si ottenga almeno una volta (6, 6)?

69 L errore del De Méré. p. 2

70 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré?

71 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte.

72 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte. primo caso: ω = 6, p = 1/6, k = 4. p(non accade mai ω) = = ( ) 4

73 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte. primo caso: ω = 6, p = 1/6, k = 4. p(non accade mai ω) = = ( secondo caso: ω = (6, 6), p = 1/36, k = 24. ) 4 p(non accade mai ω) = = ( ) 24

74 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte. primo caso: ω = 6, p = 1/6, k = 4. p(non accade mai ω) = = ( ) 4 = (1 p) k secondo caso: ω = (6, 6), p = 1/36, k = 24. p(non accade mai ω) = = ( ) = (1 p) k

75 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte. p(non accade mai ω) = (1 p) k

76 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte. p(non accade mai ω) = (1 p) k Per la regola del complementare, p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k

77 p. 2 L errore del De Méré. Consideriamo f(x) = (1 x) k

78 p. 2 L errore del De Méré. Consideriamo f(x) = (1 x) k La retta tangente in (0, f(0)) è: y = 1 kx

79 p. 2 L errore del De Méré. Consideriamo f(x) = (1 x) k La retta tangente in (0, f(0)) è: y = 1 kx (1 x) k 1 kx per x piccoli

80 p. 2 L errore del De Méré. Consideriamo f(x) = (1 x) k La retta tangente in (0, f(0)) è: y = 1 kx (1 x) k 1 kx per x piccoli (1 p) k 1 kp per p piccoli

81 p. 2 L errore del De Méré. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k

82 p. 2 L errore del De Méré. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k 1 (1 pk)

83 p. 2 L errore del De Méré. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k 1 (1 pk) pk

84 p. 2 L errore del De Méré. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k 1 (1 pk) Negli esempi: pk p = 1/6, k = 4 p = 1/36, k = 24 4/6 = 24/36

85 p. 2 L errore del De Méré. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k 1 (1 pk) Negli esempi: pk p = 1/6, k = 4 p = 1/36, k = 24 4/6 = 24/36 Sono eguali nell approssimazione!

86 p. 2 L errore del De Méré. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k 1 (1 pk) Negli esempi: pk p = 1/6, k = 4 p = 1/36, k = 24 4/6 = 24/36 Sono eguali nell approssimazione!...de Méré non aveva sbagliato poi di tanto.

87 p. 2 Allarghiamo lo sguardo. Un esperimento ripetuto k volte. L evento ω ha probabilità p (piccola) di accadere. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k pk

88 p. 2 Allarghiamo lo sguardo. Un esperimento ripetuto k volte. L evento ω ha probabilità p (piccola) di accadere. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k pk Se k è sufficientemente grande (dell ordine di 1/p), questa probabilità sarà significativa.

89 p. 2 Un punto fondamentale. La probabilità che un certo evento raro accada può essere resa molto alta (vicina ad 1) se siamo in grado di ripetere l esperimento un numero alto di volte.

90 p. 2 Un punto fondamentale. La probabilità che un certo evento raro accada può essere resa molto alta (vicina ad 1) se siamo in grado di ripetere l esperimento un numero alto di volte. IMPORTANTE: Esperimenti ripetuti indipendenti. Numero di ripetizioni 1/p. Probabilità alta non significa certezza.

91 p. 2 Testa o croce. Lancio di una moneta per 12 volte consecutive. Ω = {T, C} 12, Ω = 2 12.

92 p. 2 Testa o croce. Lancio di una moneta per 12 volte consecutive. Ω = {T, C} 12, Ω = Possibili risultati: TCCCTCTCTCTT TTTTTTTTTTTT

93 p. 2 Testa o croce. Lancio di una moneta per 12 volte consecutive. Ω = {T, C} 12, Ω = Possibili risultati: TCCCTCTCTCTT TTTTTTTTTTTT Che probabilità hanno?

94 p. 2 Testa o croce. Lancio di una moneta per 12 volte consecutive. Ω = {T, C} 12, Ω = Possibili risultati: TCCCTCTCTCTT TTTTTTTTTTTT Che probabilità hanno? Tutti la stessa! p =

95 Testa o croce. Lancio di una moneta per 12 volte consecutive. Ω = {T, C} 12, Ω = Possibili risultati: TCCCTCTCTCTT TTTTTTTTTTTT Che probabilità hanno? Tutti la stessa! p = La probabilità di 12 teste consecutive è bassa, ma la stessa di qualunque altra sequenza di teste e croci! p. 2

96 p. 2 Testa o croce. p(tttttttttttt) = 1 = 0,

97 p. 2 Testa o croce. p(tttttttttttt) = 1 = 0, Ripetendo l esperimento 2 12 = 4096 volte (circa lanci), con probabilità alta comparirà TTTTTTTTTTTT

98 p. 2 Testa o croce. p(tttttttttttt) = 1 = 0, Ripetendo l esperimento 2 12 = 4096 volte (circa lanci), con probabilità alta comparirà TTTTTTTTTTTT Gli eventi improbabili accadono:...ad una roulette di Montecarlo è uscito 36 volte consecutive pari!

99 p. 3 Un grave errore. La probabilità che esca il 53 nella ruota di Venezia è p = 5 90 = 1 18 Quindi in 18 estrazioni c è buona probabilità che esca.

100 p. 3 Un grave errore. La probabilità che esca il 53 nella ruota di Venezia è p = 5 90 = 1 18 Quindi in 18 estrazioni c è buona probabilità che esca. Supponiamo che il 53 non esca per 17 estrazioni. Possiamo dedurne che a questo punto la sua probabilità di uscita è più alta?

101 p. 3 Un grave errore. La probabilità che esca il 53 nella ruota di Venezia è p = 5 90 = 1 18 Quindi in 18 estrazioni c è buona probabilità che esca. Supponiamo che il 53 non esca per 17 estrazioni. Possiamo dedurne che a questo punto la sua probabilità di uscita è più alta? Assolutamente no! Le estrazioni non hanno memoria. Ogni volta si ricomincia da capo!

102 p. 3 Un grave errore. Il 53 non è uscito nella ruota di Venezia per 182 estrazioni.

103 p. 3 Un grave errore. Il 53 non è uscito nella ruota di Venezia per 182 estrazioni. La probabilità che in 182 estrazioni questo accada è ( p = 1 18) =

104 p. 3 Un grave errore. Il 53 non è uscito nella ruota di Venezia per 182 estrazioni. La probabilità che in 182 estrazioni questo accada è ( p = 1 18) = Un approssimazione: la probabilità che in 182 estrazioni ci sia un numero che non esce mai è circa 90 p 1/400.

105 p. 3 Un grave errore. Il 53 non è uscito nella ruota di Venezia per 182 estrazioni. La probabilità che in 182 estrazioni questo accada è ( p = 1 18) = Un approssimazione: la probabilità che in 182 estrazioni ci sia un numero che non esce mai è circa 90 p 1/400. Quindi, ripetendo l esperimento per circa 400 volte, è probabile che capiti.

106 p. 3 Un grave errore. In altre parole, in = estrazioni, è altamente probabile che ci sia l assenza di un numero per 182 estrazioni consecutive.

107 p. 3 Un grave errore. In altre parole, in = estrazioni, è altamente probabile che ci sia l assenza di un numero per 182 estrazioni consecutive. Se si considerano le estrazioni fatte in Italia in oltre 130 anni di lotto, si vede che ci si va abbastanza vicini...

108 p. 3 Ed invece... Dal sito tutti i grandi giochi, il Lotto ha molte anime: se è vero, infatti, che è semplicissimo fare una giocata, è altrettanto vero che le possibilità di gioco sono moltissime: approfondendo la conoscenza del Gioco del Lotto si entra in un mondo complesso, affascinante, dalle mille sfumature.... Come negli Scacchi o nei giochi di strategia, insomma, le regole necessarie per iniziare sono poche e alla portata di tutti, ma le possibili evoluzioni, le tecniche, le filosofie, le meccaniche avanzate sono innumerevoli.

109 Il potere del caso. p. 3

110 p. 3 Il potere del caso. Il caso permette di ottenere qualunque cosa.

111 p. 3 Il potere del caso. Il caso permette di ottenere qualunque cosa. Basta avere tempo da aspettare.

112 p. 3 Il potere del caso. Il caso permette di ottenere qualunque cosa. Basta avere tempo da aspettare. 36 volte pari alla roulette di Montecarlo

113 p. 3 Il potere del caso. Il caso permette di ottenere qualunque cosa. Basta avere tempo da aspettare. 36 volte pari alla roulette di Montecarlo la mancanza del 53 per 182 estrazioni nella ruota di Venezia

114 p. 3 Il potere del caso. Il caso permette di ottenere qualunque cosa. Basta avere tempo da aspettare. 36 volte pari alla roulette di Montecarlo la mancanza del 53 per 182 estrazioni nella ruota di Venezia la nascita della vita sulla terra

115 p. 3 Il potere del caso. Il caso permette di ottenere qualunque cosa. Basta avere tempo da aspettare. 36 volte pari alla roulette di Montecarlo la mancanza del 53 per 182 estrazioni nella ruota di Venezia la nascita della vita sulla terra la nascita dell uomo sulla terra

116 Il potere del caso. Il caso permette di ottenere qualunque cosa. Basta avere tempo da aspettare. 36 volte pari alla roulette di Montecarlo la mancanza del 53 per 182 estrazioni nella ruota di Venezia la nascita della vita sulla terra la nascita dell uomo sulla terra L accadimento di eventi improbabili non implica un disegno. Importante è la scala temporale che stiamo osservando. p. 3

117 La Divina Commedia. p. 3

118 p. 3 La Divina Commedia. > caratteri; 28 possibili segni.

119 p. 3 La Divina Commedia. > caratteri; 28 possibili segni. Una scimmia che batte a caso su un computer per volte uno dei 28 segni alla volta produrrà la Divina Commedia con probabilità p =

120 p. 3 La Divina Commedia. > caratteri; 28 possibili segni. Una scimmia che batte a caso su un computer per volte uno dei 28 segni alla volta produrrà la Divina Commedia con probabilità p = Ripetendo l esperimento volte, con probabilità molto alta almeno una volta la scimmia avrà scritto la Divina Commedia.

121 La Divina Commedia. > caratteri; 28 possibili segni. Una scimmia che batte a caso su un computer per volte uno dei 28 segni alla volta produrrà la Divina Commedia con probabilità p = Ripetendo l esperimento volte, con probabilità molto alta almeno una volta la scimmia avrà scritto la Divina Commedia è un numero con oltre cifre!! p. 3

122 Scegliere a caso? p. 3

123 p. 3 Scegliere a caso? Per alcuni scopi (come vincere alla roulette a al lotto) qualunque strategia da gli stessi risultati. Si possono dunque scegliere a caso le giocate.

124 p. 3 Scegliere a caso? Per alcuni scopi (come vincere alla roulette a al lotto) qualunque strategia da gli stessi risultati. Si possono dunque scegliere a caso le giocate. In questo caso scegliere a caso è indifferente.

125 p. 3 Scegliere a caso? Per alcuni scopi (come vincere alla roulette a al lotto) qualunque strategia da gli stessi risultati. Si possono dunque scegliere a caso le giocate. In questo caso scegliere a caso è indifferente. Esistono situazioni in cui scegliere a caso è conveniente?

126 p. 3 Scegliere a caso? dal Corriere della Sera del 30 dicembre 2004: CRONACHE Trento, genitori contro: il giudice fa fare «testa o croce» TRENTO - Con la mamma o con il papà per le vacanze di Natale? Decide la monetina.«l ho fatto nell interesse del bambino - ha spiegato il giudice -. Legali e genitori non si mettevano d accordo e non c era tempo per riunire la camera di Consiglio. Così ho detto ai genitori di affidarsi al caso. Ho agito nell interesse del bambino». La fortuna ha arriso alla madre, che ha potuto così trascorrere il Natale con suo figlio.

127 p. 3 Scegliere a caso? Sembra strano possa esistere un valido principio di progettualità fondato sul caso. (incontro)

128 p. 3 Scegliere a caso? Sembra strano possa esistere un valido principio di progettualità fondato sul caso. Scrivere i libri battendo a caso su una tastiera ad esempio non è un metodo molto efficace. (incontro)

129 p. 3 Scegliere a caso? Sembra strano possa esistere un valido principio di progettualità fondato sul caso. Scrivere i libri battendo a caso su una tastiera ad esempio non è un metodo molto efficace. Non va tuttavia dimenticato l immenso potere generatore del caso... (incontro)

130 p. 3 Trasmettere bit Attraverso una linea telefonica disturbata si vuole trasmettere un pacchetto di 4 numeri binari (0 o 1). Il ricevitore può equivocare ogni bit inviato con probabilità 0.1.

131 p. 3 Trasmettere bit Attraverso una linea telefonica disturbata si vuole trasmettere un pacchetto di 4 numeri binari (0 o 1). Il ricevitore può equivocare ogni bit inviato con probabilità 0.1. Con che probabilità vengono ricevuti tutti giusti?

132 p. 3 Trasmettere bit Attraverso una linea telefonica disturbata si vuole trasmettere un pacchetto di 4 numeri binari (0 o 1). Il ricevitore può equivocare ogni bit inviato con probabilità 0.1. Con che probabilità vengono ricevuti tutti giusti? Ω = {c, e} 4 c TX corretta, e TX errata p(c) = 0.9, p(e) = 0.1

133 p. 3 Trasmettere bit Attraverso una linea telefonica disturbata si vuole trasmettere un pacchetto di 4 numeri binari (0 o 1). Il ricevitore può equivocare ogni bit inviato con probabilità 0.1. Con che probabilità vengono ricevuti tutti giusti? Ω = {c, e} 4 c TX corretta, e TX errata p(c) = 0.9, p(e) = 0.1 p(nessun errore) = p(cccc) = =

134 p. 3 Trasmettere bit Attraverso una linea telefonica disturbata si vuole trasmettere un pacchetto di 4 numeri binari (0 o 1). Il ricevitore può equivocare ogni bit inviato con probabilità 0.1. Con che probabilità vengono ricevuti tutti giusti? Ω = {c, e} 4 c TX corretta, e TX errata p(c) = 0.9, p(e) = 0.1 p(nessun errore) = p(cccc) = = Come fare per trasmettere i bit più fedelmente?

135 p. 4 Trasmettere bit Idea molto semplice: spedire lo stesso bit più volte.

136 p. 4 Trasmettere bit Idea molto semplice: spedire lo stesso bit più volte , Il ricevitore decide con la regola di maggioranza: {000, 100, 010, 001} 0, {111, 011, 101, 110} 1

137 p. 4 Trasmettere bit Idea molto semplice: spedire lo stesso bit più volte , Il ricevitore decide con la regola di maggioranza: {000, 100, 010, 001} 0, {111, 011, 101, 110} 1 Supponiamo di spedire 000: p(e) = p(111) + p(011) + p(101) + p(110) = = < 0.1

138 Trasmettere bit Idea molto semplice: spedire lo stesso bit più volte , Il ricevitore decide con la regola di maggioranza: {000, 100, 010, 001} 0, {111, 011, 101, 110} 1 Supponiamo di spedire 000: p(e) = p(111) + p(011) + p(101) + p(110) = = < 0.1 p(nessun errore) = = > p. 4

139 p. 4 Trasmettere bit E se volessimo migliorare ancora?

140 p. 4 Trasmettere bit E se volessimo migliorare ancora? E chiaro che aumentando il numero di ripetizioni, si riesce ad abbassare la probabilità di errore quanto vogliamo.

141 p. 4 Trasmettere bit E se volessimo migliorare ancora? E chiaro che aumentando il numero di ripetizioni, si riesce ad abbassare la probabilità di errore quanto vogliamo. Questa ha però delle conseguenze. Si introduce sempre più ritardo nella trasmissione ed in molte applicazioni questo non è accettabile.

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