Testa o croce: quando conviene scegliere a caso
|
|
- Anna Barbieri
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Testa o croce: quando conviene scegliere a caso Fabio Fagnani fabio.fagnani@polito.it fagnani/ Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino p.
2 Quale ricerca? p.
3 Quale ricerca? Teoria dei controlli e dei codici. Forti legami con le ingegnerie dell automazione e delle telecomunicazioni e con la fisica. Ricerca intrinsecamente interdisciplinare. p.
4 Quale ricerca? Teoria dei controlli e dei codici. Forti legami con le ingegnerie dell automazione e delle telecomunicazioni e con la fisica. Ricerca intrinsecamente interdisciplinare. Che matematica entra in gioco? Analisi Algebra Teoria dei grafi, combinatorica Probabilità p.
5 Una lezione sulla probabilità p.
6 Una lezione sulla probabilità La genesi: una breve introduzione storica. p.
7 Una lezione sulla probabilità La genesi: una breve introduzione storica. Alcuni problemi classici. p.
8 Una lezione sulla probabilità La genesi: una breve introduzione storica. Alcuni problemi classici. Alcune questioni più avanzate. p.
9 La genesi della probabilità Non è una genesi delle più nobili: nasce nelle bische clandestine della Francia seicentesca. Ha una data di nascita ufficiale: il Un importante precursore: Cardano, Liber de Ludo Aleae, 1520, pubblicato nel p.
10 Che cosa accadde nel 1654? p.
11 Che cosa accadde nel 1654? Un gioco allora alla moda: la casa scommette alla pari con un giocatore che quest ultimo, lanciando per 4 volte un dado, ottenga almeno una volta 6. Questo gioco è favorevole alla casa che in media vince il 52% delle volte. p.
12 Che cosa accadde nel 1654? Un gioco allora alla moda: la casa scommette alla pari con un giocatore che quest ultimo, lanciando per 4 volte un dado, ottenga almeno una volta 6. Questo gioco è favorevole alla casa che in media vince il 52% delle volte. Una variante di Antoine Gombauld Chevalier de Méré: la casa scommette alla pari con un giocatore che quest ultimo, lanciando per 24 volte una coppia di dadi, ottenga almeno una volta il doppio 6. p.
13 Che cosa accadde nel 1654? Anche questo gioco, secondo il de Méré, dovrebbe essere leggermente favorevole alla casa: p.
14 Che cosa accadde nel 1654? Anche questo gioco, secondo il de Méré, dovrebbe essere leggermente favorevole alla casa: 6 risultati possibili lanciando un dado: la probabilità che esca il 6 è 1/6; p.
15 Che cosa accadde nel 1654? Anche questo gioco, secondo il de Méré, dovrebbe essere leggermente favorevole alla casa: 6 risultati possibili lanciando un dado: la probabilità che esca il 6 è 1/6; 36 risultati possibili lanciando due dadi: la probabilità che esca il doppio 6 è 1/36 (6 volte più bassa); p.
16 Che cosa accadde nel 1654? Anche questo gioco, secondo il de Méré, dovrebbe essere leggermente favorevole alla casa: 6 risultati possibili lanciando un dado: la probabilità che esca il 6 è 1/6; 36 risultati possibili lanciando due dadi: la probabilità che esca il doppio 6 è 1/36 (6 volte più bassa); lanciando la coppia di dadi 6 volte di più (24 = 6 4) si dovrebbe controbilanciare l effetto di considerare un evento meno probabile di un fattore 6. p.
17 Che cosa accadde nel 1654? Anche questo gioco, secondo il de Méré, dovrebbe essere leggermente favorevole alla casa: 6 risultati possibili lanciando un dado: la probabilità che esca il 6 è 1/6; 36 risultati possibili lanciando due dadi: la probabilità che esca il doppio 6 è 1/36 (6 volte più bassa); lanciando la coppia di dadi 6 volte di più (24 = 6 4) si dovrebbe controbilanciare l effetto di considerare un evento meno probabile di un fattore si dovrebbe avere quindi la stessa probabilità. p.
18 Che cosa accadde nel 1654? E invece no! Quest ultimo gioco non è favorevole alla casa, ma al giocatore. p.
19 Che cosa accadde nel 1654? E invece no! Quest ultimo gioco non è favorevole alla casa, ma al giocatore. Ne era consapevole il de Méré, non è chiaro se per averlo provato a sue spese o per qualche intuizione teorica. Decise di parlarne con un brillante francese dell epoca, Blaise Pascal che risolse il problema postogli dal de Méré provando anche che con 25 lanci il gioco sarebbe allora stato favorevole alla casa. p.
20 Lo sviluppo successivo Con Pascal e poi Fermat, Huygens, Leibnitz, Bernoulli si sviluppa la probabilità. Per la fine del 1600 è già una teoria autonoma. p.
21 Lo sviluppo successivo Con Pascal e poi Fermat, Huygens, Leibnitz, Bernoulli si sviluppa la probabilità. Per la fine del 1600 è già una teoria autonoma. Laplace 1812: E davvero notevole che una scienza nata dall osservazione dei giochi d azzardo sia divenuta l oggetto più importante della umana conoscenza! p.
22 Lo sviluppo successivo Tuttavia, nonostante Laplace, Poisson, De Moivre, Gauss nonostante le spettacolari applicazioni alla fisica di Maxwell, Boltzmann, Einstein la probabilità come disciplina matematica quasi scompare dalla scena per oltre 100 anni. p.
23 Lo sviluppo successivo Solo dal 1930 comincia ad acquisire un autonomia e un rispetto nei circoli matematici. Ha molta fortuna in Francia dove è nata, in Russia, negli Stati Uniti, poca in Italia... p.
24 Lo sviluppo successivo Solo dal 1930 comincia ad acquisire un autonomia e un rispetto nei circoli matematici. Ha molta fortuna in Francia dove è nata, in Russia, negli Stati Uniti, poca in Italia... Fino a qualche anno fa, in Italia, ci si poteva laureare in Matematica senza aver sostenuto un solo esame di probabilità. p.
25 p. 1 Lo sviluppo successivo Questo spiega in parte il motivo della scarsa penetrazione delle idee probabilistiche nella cultura comune. Con gravi conseguenze, perchè la probabilità ha nel contempo aumentato la sua influenza ed importanza. Genetica Teoria dell Informazione Modelli finanziari
26 Quando serve la probabilità? p. 1
27 p. 1 Quando serve la probabilità? La probabilità interviene ogni volta che effettuiamo, assistiamo ad un esperimento l esito del quale non è completamente determinato a priori e può avere un certo numero di diversi risultati.
28 p. 1 Quando serve la probabilità? La probabilità interviene ogni volta che effettuiamo, assistiamo ad un esperimento l esito del quale non è completamente determinato a priori e può avere un certo numero di diversi risultati. Lancio di una moneta: 2 possibili risultati T o C.
29 p. 1 Quando serve la probabilità? La probabilità interviene ogni volta che effettuiamo, assistiamo ad un esperimento l esito del quale non è completamente determinato a priori e può avere un certo numero di diversi risultati. Lancio di una moneta: 2 possibili risultati T o C. Lancio di un dado: 6 possibili risultati.
30 p. 1 Quando serve la probabilità? La probabilità interviene ogni volta che effettuiamo, assistiamo ad un esperimento l esito del quale non è completamente determinato a priori e può avere un certo numero di diversi risultati. Lancio di una moneta: 2 possibili risultati T o C. Lancio di un dado: 6 possibili risultati. Estrazione di una pallina da un urna contenente palline rosse, bianche, nere e gialle: 4 possibili risultati.
31 p. 1 Quando serve la probabilità? La probabilità interviene ogni volta che effettuiamo, assistiamo ad un esperimento l esito del quale non è completamente determinato a priori e può avere un certo numero di diversi risultati. Lancio di una moneta: 2 possibili risultati T o C. Lancio di un dado: 6 possibili risultati. Estrazione di una pallina da un urna contenente palline rosse, bianche, nere e gialle: 4 possibili risultati. Numero di connessioni ad un server in un giorno.
32 p. 1 Quando serve la probabilità? Il modello probabilistico serve a descrivere la nostra mancanza di informazione, la nostra ignoranza su un fenomeno e prescinde dalla causa di tale ignoranza.
33 Il modello probabilistico p. 1
34 p. 1 Il modello probabilistico Si fissa un insieme che contenga come elementi i possibili esiti dell esperimento sotto considerazione. Questo insieme verrà generalmente indicato con il simbolo Ω e chiamato spazio degli eventi elementari.
35 p. 1 Il modello probabilistico Si fissa un insieme che contenga come elementi i possibili esiti dell esperimento sotto considerazione. Questo insieme verrà generalmente indicato con il simbolo Ω e chiamato spazio degli eventi elementari. L insieme Ω negli esempi precedenti: Lancio di una moneta: Ω = {T, C}. Lancio di un dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Estrazione dall urna: Ω = {R, B, N, G}. Numero di connessioni: Ω = N = {0, 1, 2, 3,... }.
36 p. 1 Il modello probabilistico Si fissa un insieme che contenga come elementi i possibili esiti dell esperimento sotto considerazione. Questo insieme verrà generalmente indicato con il simbolo Ω e chiamato spazio degli eventi elementari. Ad ogni evento elementare ω Ω si associa un numero p(ω): la probabilità che si verifichi ω. p(ω) 0 ω Ω p(ω) = 1
37 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)?
38 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Ipotesi frequentista. In base ad informazioni statistiche sull esperimento Es.: se l evento ω accade 37 volte su 100, si pone p(ω) = 37/100.
39 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Ipotesi frequentista. In base ad informazioni statistiche sull esperimento Es.: se l evento ω accade 37 volte su 100, si pone p(ω) = 37/100. Ipotesi classica. Ragionamenti di simmetria: tutti gli eventi elementari hanno la stessa probabilità. Se Ω ha N elementi ( Ω = N), si pone p(ω) = 1/N qualunque sia ω Ω.
40 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)?
41 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Moneta Ω = {T, C} p(t) = p(c) = 1/2
42 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} p(ω) = 1/6, ω = 1, 2,..., 6
43 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Urna Ω = {R, B, N, G} p(ω) =?
44 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Urna Ω = {R, B, N, G} p(ω) =? Composizione dell urna: 3 palline rosse, 4 bianche, 1 nera, 2 gialle. Totale 10 palline.
45 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Urna Ω = {R, B, N, G} p(ω) =? Composizione dell urna: 3 palline rosse, 4 bianche, 1 nera, 2 gialle. Totale 10 palline. p(r) = 3 10, p(b) = 4 10, p(n) = 1 10, p(g) = 2 10.
46 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Connessioni Ω = N p(ω) =? ipotesi frequentista,...
47 p. 1 Il calcolo delle probabilità (Ω, p(ω)) spazio delle probabilità.
48 p. 1 Il calcolo delle probabilità (Ω, p(ω)) spazio delle probabilità. La probabilità di eventi complessi: A Ω p(a) = p(ω) ω A
49 p. 1 Il calcolo delle probabilità (Ω, p(ω)) spazio delle probabilità. La probabilità di eventi complessi: A Ω p(a) = p(ω) ω A Caso di ipotesi classica: p(a) = ω A p(ω) = A Ω = casi favorevoli casi possibili.
50 p. 1 Il calcolo delle probabilità (Ω, p(ω)) spazio delle probabilità. La probabilità di eventi complessi: A Ω p(a) = p(ω) ω A Regola del complementare: p(a c ) = 1 p(a)
51 p. 1 Esperimenti ripetuti In molti casi un esperimento consiste nel ripetere un certo numero di volte un esperimento base: lanci ripetuti di una moneta o di un dado...
52 p. 1 Esperimenti ripetuti In molti casi un esperimento consiste nel ripetere un certo numero di volte un esperimento base: lanci ripetuti di una moneta o di un dado... Quale struttura probabilistica?
53 p. 1 Esperimenti ripetuti Esperimento base con risultati nell insieme Ω o.
54 p. 1 Esperimenti ripetuti Esperimento base con risultati nell insieme Ω o. Supponiamo di ripetere l esperimento k volte e di annotare in ordine i risultati ottenuti. Avremo alla fine una sequenza ordinata di k elementi di Ω o : (ω 1, ω 2,..., ω k ) dove ω i indica l esito dell i-esimo esperimento.
55 p. 1 Esperimenti ripetuti Esperimento base con risultati nell insieme Ω o. Supponiamo di ripetere l esperimento k volte e di annotare in ordine i risultati ottenuti. Avremo alla fine una sequenza ordinata di k elementi di Ω o : (ω 1, ω 2,..., ω k ) dove ω i indica l esito dell i-esimo esperimento. NOTAZIONE: Ω = Ω k o = {(ω 1, ω 2,..., ω k ) ω 1,... ω k Ω o } Ω o = N o, Ω k o = N k o.
56 p. 1 Esperimenti ripetuti Che probabilità su Ω k o?
57 p. 1 Esperimenti ripetuti Che probabilità su Ω k o? Se gli eventi in Ω 0 sono equiprobabili e i vari esperimenti sono tra loro indipendenti è logico optare per l ipotesi classica: (N o = Ω o ) p(ω 1,... ω k ) = 1 N k o
58 p. 2 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 4 volte un dado si ottenga almeno una volta 6?
59 p. 2 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 4 volte un dado si ottenga almeno una volta 6? Ω 0 = {1, 2,..., 6}, Ω = Ω 4 0. A = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) almeno un ω i = 6}
60 p. 2 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 4 volte un dado si ottenga almeno una volta 6? Ω 0 = {1, 2,..., 6}, Ω = Ω 4 0. A = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) almeno un ω i = 6} A c = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) ω i 6}
61 p. 2 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 4 volte un dado si ottenga almeno una volta 6? Ω 0 = {1, 2,..., 6}, Ω = Ω 4 0. A = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) almeno un ω i = 6} A c = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) ω i 6} p(a c ) = casi favorevoli casi possibili =
62 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 4 volte un dado si ottenga almeno una volta 6? Ω 0 = {1, 2,..., 6}, Ω = Ω 4 0. A = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) almeno un ω i = 6} A c = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) ω i 6} p(a c ) = casi favorevoli casi possibili = p(a) = 1 p(a c ) = p. 2
63 p. 2 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 24 volte una coppia di dadi si ottenga almeno una volta (6, 6)?
64 p. 2 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 24 volte una coppia di dadi si ottenga almeno una volta (6, 6)? Ω 0 = {1, 2,..., 6} 2, Ω = Ω A = {(ω 1,..., ω 24 ) almeno un ω i = (6, 6)}
65 p. 2 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 24 volte una coppia di dadi si ottenga almeno una volta (6, 6)? Ω 0 = {1, 2,..., 6} 2, Ω = Ω A = {(ω 1,..., ω 24 ) almeno un ω i = (6, 6)} A c = {(ω 1,..., ω 24 ) ω i (6, 6)}
66 p. 2 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 24 volte una coppia di dadi si ottenga almeno una volta (6, 6)? Ω 0 = {1, 2,..., 6} 2, Ω = Ω A = {(ω 1,..., ω 24 ) almeno un ω i = (6, 6)} A c = {(ω 1,..., ω 24 ) ω i (6, 6)} p(a c ) = casi favorevoli casi possibili =
67 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 24 volte una coppia di dadi si ottenga almeno una volta (6, 6)? Ω 0 = {1, 2,..., 6} 2, Ω = Ω A = {(ω 1,..., ω 24 ) almeno un ω i = (6, 6)} A c = {(ω 1,..., ω 24 ) ω i (6, 6)} p(a c ) = casi favorevoli casi possibili = p(a) = 1 p(a c ) = p. 2
68 p. 2 Ritorno al 1654 Esercizio: Qual è la probabilità che lanciando per 25 volte una coppia di dadi si ottenga almeno una volta (6, 6)?
69 L errore del De Méré. p. 2
70 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré?
71 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte.
72 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte. primo caso: ω = 6, p = 1/6, k = 4. p(non accade mai ω) = = ( ) 4
73 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte. primo caso: ω = 6, p = 1/6, k = 4. p(non accade mai ω) = = ( secondo caso: ω = (6, 6), p = 1/36, k = 24. ) 4 p(non accade mai ω) = = ( ) 24
74 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte. primo caso: ω = 6, p = 1/6, k = 4. p(non accade mai ω) = = ( ) 4 = (1 p) k secondo caso: ω = (6, 6), p = 1/36, k = 24. p(non accade mai ω) = = ( ) = (1 p) k
75 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte. p(non accade mai ω) = (1 p) k
76 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte. p(non accade mai ω) = (1 p) k Per la regola del complementare, p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k
77 p. 2 L errore del De Méré. Consideriamo f(x) = (1 x) k
78 p. 2 L errore del De Méré. Consideriamo f(x) = (1 x) k La retta tangente in (0, f(0)) è: y = 1 kx
79 p. 2 L errore del De Méré. Consideriamo f(x) = (1 x) k La retta tangente in (0, f(0)) è: y = 1 kx (1 x) k 1 kx per x piccoli
80 p. 2 L errore del De Méré. Consideriamo f(x) = (1 x) k La retta tangente in (0, f(0)) è: y = 1 kx (1 x) k 1 kx per x piccoli (1 p) k 1 kp per p piccoli
81 p. 2 L errore del De Méré. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k
82 p. 2 L errore del De Méré. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k 1 (1 pk)
83 p. 2 L errore del De Méré. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k 1 (1 pk) pk
84 p. 2 L errore del De Méré. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k 1 (1 pk) Negli esempi: pk p = 1/6, k = 4 p = 1/36, k = 24 4/6 = 24/36
85 p. 2 L errore del De Méré. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k 1 (1 pk) Negli esempi: pk p = 1/6, k = 4 p = 1/36, k = 24 4/6 = 24/36 Sono eguali nell approssimazione!
86 p. 2 L errore del De Méré. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k 1 (1 pk) Negli esempi: pk p = 1/6, k = 4 p = 1/36, k = 24 4/6 = 24/36 Sono eguali nell approssimazione!...de Méré non aveva sbagliato poi di tanto.
87 p. 2 Allarghiamo lo sguardo. Un esperimento ripetuto k volte. L evento ω ha probabilità p (piccola) di accadere. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k pk
88 p. 2 Allarghiamo lo sguardo. Un esperimento ripetuto k volte. L evento ω ha probabilità p (piccola) di accadere. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k pk Se k è sufficientemente grande (dell ordine di 1/p), questa probabilità sarà significativa.
89 p. 2 Un punto fondamentale. La probabilità che un certo evento raro accada può essere resa molto alta (vicina ad 1) se siamo in grado di ripetere l esperimento un numero alto di volte.
90 p. 2 Un punto fondamentale. La probabilità che un certo evento raro accada può essere resa molto alta (vicina ad 1) se siamo in grado di ripetere l esperimento un numero alto di volte. IMPORTANTE: Esperimenti ripetuti indipendenti. Numero di ripetizioni 1/p. Probabilità alta non significa certezza.
91 p. 2 Testa o croce. Lancio di una moneta per 12 volte consecutive. Ω = {T, C} 12, Ω = 2 12.
92 p. 2 Testa o croce. Lancio di una moneta per 12 volte consecutive. Ω = {T, C} 12, Ω = Possibili risultati: TCCCTCTCTCTT TTTTTTTTTTTT
93 p. 2 Testa o croce. Lancio di una moneta per 12 volte consecutive. Ω = {T, C} 12, Ω = Possibili risultati: TCCCTCTCTCTT TTTTTTTTTTTT Che probabilità hanno?
94 p. 2 Testa o croce. Lancio di una moneta per 12 volte consecutive. Ω = {T, C} 12, Ω = Possibili risultati: TCCCTCTCTCTT TTTTTTTTTTTT Che probabilità hanno? Tutti la stessa! p =
95 Testa o croce. Lancio di una moneta per 12 volte consecutive. Ω = {T, C} 12, Ω = Possibili risultati: TCCCTCTCTCTT TTTTTTTTTTTT Che probabilità hanno? Tutti la stessa! p = La probabilità di 12 teste consecutive è bassa, ma la stessa di qualunque altra sequenza di teste e croci! p. 2
96 p. 2 Testa o croce. p(tttttttttttt) = 1 = 0,
97 p. 2 Testa o croce. p(tttttttttttt) = 1 = 0, Ripetendo l esperimento 2 12 = 4096 volte (circa lanci), con probabilità alta comparirà TTTTTTTTTTTT
98 p. 2 Testa o croce. p(tttttttttttt) = 1 = 0, Ripetendo l esperimento 2 12 = 4096 volte (circa lanci), con probabilità alta comparirà TTTTTTTTTTTT Gli eventi improbabili accadono:...ad una roulette di Montecarlo è uscito 36 volte consecutive pari!
99 p. 3 Un grave errore. La probabilità che esca il 53 nella ruota di Venezia è p = 5 90 = 1 18 Quindi in 18 estrazioni c è buona probabilità che esca.
100 p. 3 Un grave errore. La probabilità che esca il 53 nella ruota di Venezia è p = 5 90 = 1 18 Quindi in 18 estrazioni c è buona probabilità che esca. Supponiamo che il 53 non esca per 17 estrazioni. Possiamo dedurne che a questo punto la sua probabilità di uscita è più alta?
101 p. 3 Un grave errore. La probabilità che esca il 53 nella ruota di Venezia è p = 5 90 = 1 18 Quindi in 18 estrazioni c è buona probabilità che esca. Supponiamo che il 53 non esca per 17 estrazioni. Possiamo dedurne che a questo punto la sua probabilità di uscita è più alta? Assolutamente no! Le estrazioni non hanno memoria. Ogni volta si ricomincia da capo!
102 p. 3 Un grave errore. Il 53 non è uscito nella ruota di Venezia per 182 estrazioni.
103 p. 3 Un grave errore. Il 53 non è uscito nella ruota di Venezia per 182 estrazioni. La probabilità che in 182 estrazioni questo accada è ( p = 1 18) =
104 p. 3 Un grave errore. Il 53 non è uscito nella ruota di Venezia per 182 estrazioni. La probabilità che in 182 estrazioni questo accada è ( p = 1 18) = Un approssimazione: la probabilità che in 182 estrazioni ci sia un numero che non esce mai è circa 90 p 1/400.
105 p. 3 Un grave errore. Il 53 non è uscito nella ruota di Venezia per 182 estrazioni. La probabilità che in 182 estrazioni questo accada è ( p = 1 18) = Un approssimazione: la probabilità che in 182 estrazioni ci sia un numero che non esce mai è circa 90 p 1/400. Quindi, ripetendo l esperimento per circa 400 volte, è probabile che capiti.
106 p. 3 Un grave errore. In altre parole, in = estrazioni, è altamente probabile che ci sia l assenza di un numero per 182 estrazioni consecutive.
107 p. 3 Un grave errore. In altre parole, in = estrazioni, è altamente probabile che ci sia l assenza di un numero per 182 estrazioni consecutive. Se si considerano le estrazioni fatte in Italia in oltre 130 anni di lotto, si vede che ci si va abbastanza vicini...
108 p. 3 Ed invece... Dal sito tutti i grandi giochi, il Lotto ha molte anime: se è vero, infatti, che è semplicissimo fare una giocata, è altrettanto vero che le possibilità di gioco sono moltissime: approfondendo la conoscenza del Gioco del Lotto si entra in un mondo complesso, affascinante, dalle mille sfumature.... Come negli Scacchi o nei giochi di strategia, insomma, le regole necessarie per iniziare sono poche e alla portata di tutti, ma le possibili evoluzioni, le tecniche, le filosofie, le meccaniche avanzate sono innumerevoli.
109 Il potere del caso. p. 3
110 p. 3 Il potere del caso. Il caso permette di ottenere qualunque cosa.
111 p. 3 Il potere del caso. Il caso permette di ottenere qualunque cosa. Basta avere tempo da aspettare.
112 p. 3 Il potere del caso. Il caso permette di ottenere qualunque cosa. Basta avere tempo da aspettare. 36 volte pari alla roulette di Montecarlo
113 p. 3 Il potere del caso. Il caso permette di ottenere qualunque cosa. Basta avere tempo da aspettare. 36 volte pari alla roulette di Montecarlo la mancanza del 53 per 182 estrazioni nella ruota di Venezia
114 p. 3 Il potere del caso. Il caso permette di ottenere qualunque cosa. Basta avere tempo da aspettare. 36 volte pari alla roulette di Montecarlo la mancanza del 53 per 182 estrazioni nella ruota di Venezia la nascita della vita sulla terra
115 p. 3 Il potere del caso. Il caso permette di ottenere qualunque cosa. Basta avere tempo da aspettare. 36 volte pari alla roulette di Montecarlo la mancanza del 53 per 182 estrazioni nella ruota di Venezia la nascita della vita sulla terra la nascita dell uomo sulla terra
116 Il potere del caso. Il caso permette di ottenere qualunque cosa. Basta avere tempo da aspettare. 36 volte pari alla roulette di Montecarlo la mancanza del 53 per 182 estrazioni nella ruota di Venezia la nascita della vita sulla terra la nascita dell uomo sulla terra L accadimento di eventi improbabili non implica un disegno. Importante è la scala temporale che stiamo osservando. p. 3
117 La Divina Commedia. p. 3
118 p. 3 La Divina Commedia. > caratteri; 28 possibili segni.
119 p. 3 La Divina Commedia. > caratteri; 28 possibili segni. Una scimmia che batte a caso su un computer per volte uno dei 28 segni alla volta produrrà la Divina Commedia con probabilità p =
120 p. 3 La Divina Commedia. > caratteri; 28 possibili segni. Una scimmia che batte a caso su un computer per volte uno dei 28 segni alla volta produrrà la Divina Commedia con probabilità p = Ripetendo l esperimento volte, con probabilità molto alta almeno una volta la scimmia avrà scritto la Divina Commedia.
121 La Divina Commedia. > caratteri; 28 possibili segni. Una scimmia che batte a caso su un computer per volte uno dei 28 segni alla volta produrrà la Divina Commedia con probabilità p = Ripetendo l esperimento volte, con probabilità molto alta almeno una volta la scimmia avrà scritto la Divina Commedia è un numero con oltre cifre!! p. 3
122 Scegliere a caso? p. 3
123 p. 3 Scegliere a caso? Per alcuni scopi (come vincere alla roulette a al lotto) qualunque strategia da gli stessi risultati. Si possono dunque scegliere a caso le giocate.
124 p. 3 Scegliere a caso? Per alcuni scopi (come vincere alla roulette a al lotto) qualunque strategia da gli stessi risultati. Si possono dunque scegliere a caso le giocate. In questo caso scegliere a caso è indifferente.
125 p. 3 Scegliere a caso? Per alcuni scopi (come vincere alla roulette a al lotto) qualunque strategia da gli stessi risultati. Si possono dunque scegliere a caso le giocate. In questo caso scegliere a caso è indifferente. Esistono situazioni in cui scegliere a caso è conveniente?
126 p. 3 Scegliere a caso? dal Corriere della Sera del 30 dicembre 2004: CRONACHE Trento, genitori contro: il giudice fa fare «testa o croce» TRENTO - Con la mamma o con il papà per le vacanze di Natale? Decide la monetina.«l ho fatto nell interesse del bambino - ha spiegato il giudice -. Legali e genitori non si mettevano d accordo e non c era tempo per riunire la camera di Consiglio. Così ho detto ai genitori di affidarsi al caso. Ho agito nell interesse del bambino». La fortuna ha arriso alla madre, che ha potuto così trascorrere il Natale con suo figlio.
127 p. 3 Scegliere a caso? Sembra strano possa esistere un valido principio di progettualità fondato sul caso. (incontro)
128 p. 3 Scegliere a caso? Sembra strano possa esistere un valido principio di progettualità fondato sul caso. Scrivere i libri battendo a caso su una tastiera ad esempio non è un metodo molto efficace. (incontro)
129 p. 3 Scegliere a caso? Sembra strano possa esistere un valido principio di progettualità fondato sul caso. Scrivere i libri battendo a caso su una tastiera ad esempio non è un metodo molto efficace. Non va tuttavia dimenticato l immenso potere generatore del caso... (incontro)
130 p. 3 Trasmettere bit Attraverso una linea telefonica disturbata si vuole trasmettere un pacchetto di 4 numeri binari (0 o 1). Il ricevitore può equivocare ogni bit inviato con probabilità 0.1.
131 p. 3 Trasmettere bit Attraverso una linea telefonica disturbata si vuole trasmettere un pacchetto di 4 numeri binari (0 o 1). Il ricevitore può equivocare ogni bit inviato con probabilità 0.1. Con che probabilità vengono ricevuti tutti giusti?
132 p. 3 Trasmettere bit Attraverso una linea telefonica disturbata si vuole trasmettere un pacchetto di 4 numeri binari (0 o 1). Il ricevitore può equivocare ogni bit inviato con probabilità 0.1. Con che probabilità vengono ricevuti tutti giusti? Ω = {c, e} 4 c TX corretta, e TX errata p(c) = 0.9, p(e) = 0.1
133 p. 3 Trasmettere bit Attraverso una linea telefonica disturbata si vuole trasmettere un pacchetto di 4 numeri binari (0 o 1). Il ricevitore può equivocare ogni bit inviato con probabilità 0.1. Con che probabilità vengono ricevuti tutti giusti? Ω = {c, e} 4 c TX corretta, e TX errata p(c) = 0.9, p(e) = 0.1 p(nessun errore) = p(cccc) = =
134 p. 3 Trasmettere bit Attraverso una linea telefonica disturbata si vuole trasmettere un pacchetto di 4 numeri binari (0 o 1). Il ricevitore può equivocare ogni bit inviato con probabilità 0.1. Con che probabilità vengono ricevuti tutti giusti? Ω = {c, e} 4 c TX corretta, e TX errata p(c) = 0.9, p(e) = 0.1 p(nessun errore) = p(cccc) = = Come fare per trasmettere i bit più fedelmente?
135 p. 4 Trasmettere bit Idea molto semplice: spedire lo stesso bit più volte.
136 p. 4 Trasmettere bit Idea molto semplice: spedire lo stesso bit più volte , Il ricevitore decide con la regola di maggioranza: {000, 100, 010, 001} 0, {111, 011, 101, 110} 1
137 p. 4 Trasmettere bit Idea molto semplice: spedire lo stesso bit più volte , Il ricevitore decide con la regola di maggioranza: {000, 100, 010, 001} 0, {111, 011, 101, 110} 1 Supponiamo di spedire 000: p(e) = p(111) + p(011) + p(101) + p(110) = = < 0.1
138 Trasmettere bit Idea molto semplice: spedire lo stesso bit più volte , Il ricevitore decide con la regola di maggioranza: {000, 100, 010, 001} 0, {111, 011, 101, 110} 1 Supponiamo di spedire 000: p(e) = p(111) + p(011) + p(101) + p(110) = = < 0.1 p(nessun errore) = = > p. 4
139 p. 4 Trasmettere bit E se volessimo migliorare ancora?
140 p. 4 Trasmettere bit E se volessimo migliorare ancora? E chiaro che aumentando il numero di ripetizioni, si riesce ad abbassare la probabilità di errore quanto vogliamo.
141 p. 4 Trasmettere bit E se volessimo migliorare ancora? E chiaro che aumentando il numero di ripetizioni, si riesce ad abbassare la probabilità di errore quanto vogliamo. Questa ha però delle conseguenze. Si introduce sempre più ritardo nella trasmissione ed in molte applicazioni questo non è accettabile.
Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.
DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti
DettagliTeoria della probabilità Assiomi e teoremi
Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Teoria della probabilità Assiomi e teoremi A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Esperimento casuale Esperimento
DettagliMatematica Applicata. Probabilità e statistica
Matematica Applicata Probabilità e statistica Fenomeni casuali Fenomeni che si verificano in modi non prevedibili a priori 1. Lancio di una moneta: non sono in grado di prevedere con certezza se il risultato
DettagliCalcolo delle Probabilità
Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello
DettagliCorso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo.
Corso di Matematica Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Pisa Maria Luisa Chiofalo Scheda 18 Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità I testi degli esercizi sono
DettagliCalcolo delle probabilità
Calcolo delle probabilità Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Statistica Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione Calcolo delle probabilità
DettagliProbabilità discreta
Probabilità discreta Daniele A. Gewurz 1 Che probabilità c è che succeda...? Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete. Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che
DettagliPer poter affrontare il problema abbiamo bisogno di parlare di probabilità (almeno in maniera intuitiva). Analizziamo alcune situazioni concrete.
Parliamo di probabilità. Supponiamo di avere un sacchetto con dentro una pallina rossa; posso aggiungere tante palline bianche quante voglio, per ogni pallina bianca che aggiungo devo pagare però un prezzo
DettagliViene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita?
Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 00 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Osserviamo che il valore della vincita dipende dal risultato dell esperimento
DettagliEsercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che:
Esercizi Esercizio 4. Un urna contiene inizialmente 2 palline bianche e 4 palline rosse. Si effettuano due estrazioni con la seguente modalità: se alla prima estrazione esce una pallina bianca, la si rimette
DettagliCosa dobbiamo già conoscere?
Cosa dobbiamo già conoscere? Insiemistica (operazioni, diagrammi...). Insiemi finiti/numerabili/non numerabili. Perché la probabilità? In molti esperimenti l esito non è noto a priori tuttavia si sa dire
Dettagli(concetto classico di probabilità)
Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Teoria ed esempi Introduzione Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi
DettagliAspetti probabilistici del gioco d azzardo
Università degli Studi di Genova Scuola di Scienze Sociali Dipartimento di Economia Perché il banco vince sempre? Aspetti probabilistici del gioco d azzardo Enrico di Bella (edibella@economia.unige.it)
DettagliPrimi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita
Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita NOTA 1 Gli esercizi sono presi da compiti degli scorsi appelli, oppure da testi o dispense di colleghi. A questi ultimi
DettagliTest d ipotesi. Statistica e biometria. D. Bertacchi. Test d ipotesi
In molte situazioni una raccolta di dati (=esiti di esperimenti aleatori) viene fatta per prendere delle decisioni sulla base di quei dati. Ad esempio sperimentazioni su un nuovo farmaco per decidere se
DettagliPROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)
L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello
DettagliTasso di interesse e capitalizzazione
Tasso di interesse e capitalizzazione Tasso di interesse = i = somma che devo restituire dopo un anno per aver preso a prestito un euro, in aggiunta alla restituzione dell euro iniziale Quindi: prendo
Dettaglimatematica probabilmente
IS science centre immaginario scientifico Laboratorio dell'immaginario Scientifico - Trieste tel. 040224424 - fax 040224439 - e-mail: lis@lis.trieste.it - www.immaginarioscientifico.it indice Altezze e
DettagliVINCERE AL BLACKJACK
VINCERE AL BLACKJACK Il BlackJack è un gioco di abilità e fortuna in cui il banco non può nulla, deve seguire incondizionatamente le regole del gioco. Il giocatore è invece posto continuamente di fronte
DettagliTest statistici di verifica di ipotesi
Test e verifica di ipotesi Test e verifica di ipotesi Il test delle ipotesi consente di verificare se, e quanto, una determinata ipotesi (di carattere biologico, medico, economico,...) è supportata dall
DettagliEsercizi di Probabilità e Statistica
Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 16 luglio 2006 V.a. discrete e distribuzioni discrete Esercizio 1 Dimostrare la proprietà della mancanza di memoria della legge geometrica, ovvero
Dettagli4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0
Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice
DettagliTabella 7. Dado truccato
0 ALBERTO SARACCO 4. Compiti a casa 7novembre 200 4.. Ordini di grandezza e calcolo approssimato. Esercizio 4.. Una valigia misura 5cm di larghezza, 70cm di lunghezza e 45cm di altezza. Quante palline
DettagliDispense di Informatica per l ITG Valadier
La notazione binaria Dispense di Informatica per l ITG Valadier Le informazioni dentro il computer All interno di un calcolatore tutte le informazioni sono memorizzate sottoforma di lunghe sequenze di
DettagliMacroeconomia, Esercitazione 2. 1 Esercizi. 1.1 Moneta/1. 1.2 Moneta/2. 1.3 Moneta/3. A cura di Giuseppe Gori (giuseppe.gori@unibo.
acroeconomia, Esercitazione 2. A cura di Giuseppe Gori (giuseppe.gori@unibo.it) 1 Esercizi. 1.1 oneta/1 Sapendo che il PIL reale nel 2008 è pari a 50.000 euro e nel 2009 a 60.000 euro, che dal 2008 al
DettagliElementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1
Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 29-Analisi della potenza statistica vers. 1.0 (12 dicembre 2014) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca
DettagliDa dove nasce l idea dei video
Da dove nasce l idea dei video Per anni abbiamo incontrato i potenziali clienti presso le loro sedi, come la tradizione commerciale vuole. L incontro nasce con una telefonata che il consulente fa a chi
Dettagli2) Codici univocamente decifrabili e codici a prefisso.
Argomenti della Lezione ) Codici di sorgente 2) Codici univocamente decifrabili e codici a prefisso. 3) Disuguaglianza di Kraft 4) Primo Teorema di Shannon 5) Codifica di Huffman Codifica di sorgente Il
DettagliEsercizi di Probabilità e Statistica
Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 19 marzo 2007 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio 1 Un urna contiene due palle nere e una rossa. Una seconda urna ne contiene una bianca
DettagliCOEFFICIENTI BINOMIALI
COEFFICIENTI BINOMIALI Michele Impedovo micheleimpedovo@uni-bocconiit Una definizione insiemistica Se n è un numero naturale e è un numero naturale compreso tra e n, si indica con il simbolo il coefficiente
Dettagli15. Antico gioco russo
15. Antico gioco russo In un antico gioco russo, attraverso i risultati casuali ottenuti dall allacciamento di cordicelle, i giovani cercavano una previsione sul tipo di legame che si sarebbe instaurata
DettagliUna sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa.
Una sperimentazione Probabilità Si sta sperimentando l efficacia di un nuovo farmaco per il morbo di Parkinson. Duemila pazienti partecipano alla sperimentazione: metà di essi vengono trattati con il nuovo
DettagliIL MODELLO CICLICO BATTLEPLAN
www.previsioniborsa.net 3 Lezione METODO CICLICO IL MODELLO CICLICO BATTLEPLAN Questo modello ciclico teorico (vedi figura sotto) ci serve per pianificare la nostra operativita e prevedere quando il mercato
DettagliPROBABILITA CONDIZIONALE
Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,
DettagliUn metodo per il rilevamento degli errori: la tecnica del Bit di Parità
Appunti: Tecniche di rilevazione e correzione degli errori 1 Tecniche di correzione degli errori Le tecniche di correzione degli errori sono catalogabili in: metodi per il rilevamento degli errori; metodi
DettagliDalle bische clandestine agli algoritmi stocastici: la vita e gli amori della signorina Fortuna
Dalle bische clandestine agli algoritmi stocastici: la vita e gli amori della signorina Fortuna Fabio Fagnani Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino p. Una lezione sulla probabilità La genesi:
DettagliLaboratorio di Pedagogia Sperimentale. Indice
INSEGNAMENTO DI LABORATORIO DI PEDAGOGIA SPERIMENTALE LEZIONE III INTRODUZIONE ALLA RICERCA SPERIMENTALE (PARTE III) PROF. VINCENZO BONAZZA Indice 1 L ipotesi -----------------------------------------------------------
DettagliREGOLAMENTO LIVE ROULETTE
REGOLAMENTO LIVE ROULETTE La Live Roulette appartiene alla famiglia dei Giochi di sorte a quota fissa svolto con live dealer. Il gioco della Live Roulette prevede una pallina che, lanciata in direzione
DettagliIl funzionamento di prezzipazzi, registrazione e meccanismi
Prima di spiegare prezzipazzi come funziona, facciamo il punto per chi non lo conoscesse. Nell ultimo periodo si fa un gran parlare di prezzipazzi ( questo il sito ), sito che offre a prezzi veramente
DettagliIL CALCOLO COMBINATORIO
IL CALCOLO COMBINATORIO Giochiamo a dadi Nel XVII secolo il cavaliere De Meré, forte giocatore, come spesso accadeva fra la nobiltà di quel tempo, si pose questo quesito: Che cosa è più conveniente, scommettere
DettagliDistribuzioni discrete
Distribuzioni discrete Esercitazione 4 novembre 003 Distribuzione binomiale Si fa un esperimento (o prova): può manifestarsi un certo evento A con probabilità p oppure no (con probabilità q = p). La distribuzione
DettagliAppunti ed esercizi di combinatoria. Alberto Carraro
Appunti ed esercizi di combinatoria Alberto Carraro December 2, 2009 01 Le formule principali per contare Disposizioni Sia A un insieme di n 1 elementi distinti Le sequenze di 1 k n elementi scelti senza
DettagliCorso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile
Problemi connessi all utilizzo di un numero di bit limitato Abbiamo visto quali sono i vantaggi dell utilizzo della rappresentazione in complemento alla base: corrispondenza biunivoca fra rappresentazione
DettagliLa candela accesa. Descrizione generale. Obiettivi. Sequenza didattica e metodo di lavoro. Esperimenti sulla crescita delle piante
Esperimenti sulla crescita delle piante unità didattica 1 La candela accesa Durata 60 minuti Materiali per ciascun gruppo - 1 candela - 1 vaso di vetro - 1 cronometro - 1 cannuccia - fiammiferi - 1 pezzo
DettagliCodifiche a lunghezza variabile
Sistemi Multimediali Codifiche a lunghezza variabile Marco Gribaudo marcog@di.unito.it, gribaudo@elet.polimi.it Assegnazione del codice Come visto in precedenza, per poter memorizzare o trasmettere un
DettagliPROBABILITA CONDIZIONALE
Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,
DettagliOSSERVAZIONI TEORICHE Lezione n. 4
OSSERVAZIONI TEORICHE Lezione n. 4 Finalità: Sistematizzare concetti e definizioni. Verificare l apprendimento. Metodo: Lettura delle OSSERVAZIONI e risoluzione della scheda di verifica delle conoscenze
DettagliStatistica e biometria. D. Bertacchi. Variabili aleatorie. V.a. discrete e continue. La densità di una v.a. discreta. Esempi.
Iniziamo con definizione (capiremo fra poco la sua utilità): DEFINIZIONE DI VARIABILE ALEATORIA Una variabile aleatoria (in breve v.a.) X è funzione che ha come dominio Ω e come codominio R. In formule:
DettagliElementi di calcolo delle probabilità
Elementi di calcolo delle probabilità Definizione di probabilità A) Qui davanti a me ho un urna contenente 2 palline bianche e 998 nere. Mi metto una benda sugli occhi, scuoto ripetutamente l urna ed estraggo
DettagliCORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate
CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability
Dettaglif(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da
Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede
DettagliLe curve ellittiche sono un gioiello della matematica. Sono state studiate per secoli per la loro bellezza e importanza.
Come fare soldi con le curve ellittiche L. Göttsche Le curve ellittiche sono un gioiello della matematica. Sono state studiate per secoli per la loro bellezza e importanza. È difficile spiegare la bellezza
DettagliAnalisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni
Analisi dei Dati 1/13 Esercizi proposti 3 soluzioni 0.1 Un urna contiene 6 palline rosse e 8 palline nere. Si estraggono simultaneamente due palline. Qual è la probabilità di estrarle entrambe rosse? (6
DettagliMentore. Rende ordinario quello che per gli altri è straordinario
Mentore Rende ordinario quello che per gli altri è straordinario Vision Creare un futuro migliore per le Nuove Generazioni Come? Mission Rendere quante più persone possibili Libere Finanziariamente Con
DettagliUNA LEZIONE SUI NUMERI PRIMI: NASCE LA RITABELLA
UNA LEZIONE SUI NUMERI PRIMI: NASCE LA RITABELLA Tutti gli anni, affrontando l argomento della divisibilità, trovavo utile far lavorare gli alunni sul Crivello di Eratostene. Presentavo ai ragazzi una
DettagliNel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α?
QUESITO 1 Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? Applicando il Teorema dei seni si può determinare il valore di senza indeterminazione, in quanto dalla
DettagliReti di calcolatori ed indirizzi IP
ITIS TASSINARI, 1D Reti di calcolatori ed indirizzi IP Prof. Pasquale De Michele 5 aprile 2014 1 INTRODUZIONE ALLE RETI DI CALCOLATORI Cosa è una rete di calcolatori? Il modo migliore per capire di cosa
DettagliTeoria dei Giochi. Anna Torre
Teoria dei Giochi Anna Torre Almo Collegio Borromeo 14 marzo 2013 email: anna.torre@unipv.it sito web del corso:www-dimat.unipv.it/atorre/borromeo2013.html IL PARI O DISPARI I II S T S (-1, 1) (1, -1)
DettagliEsercizi di Calcolo delle Probabilita (I)
Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) 1. Si supponga di avere un urna con 15 palline di cui 5 rosse, 8 bianche e 2 nere. Immaginando di estrarre due palline con reimmissione, si dica con quale probabilità:
DettagliObiettivo Principale: Aiutare gli studenti a capire cos è la programmazione
4 LEZIONE: Programmazione su Carta a Quadretti Tempo della lezione: 45-60 Minuti. Tempo di preparazione: 10 Minuti Obiettivo Principale: Aiutare gli studenti a capire cos è la programmazione SOMMARIO:
DettagliPROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE
Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.unige/pls_statistica Responsabili scientifici M.P. Rogantin e E. Sasso (Dipartimento di Matematica Università di Genova) PROBABILITÀ -
DettagliLa variabile casuale Binomiale
La variabile casuale Binomiale Si costruisce a partire dalla nozione di esperimento casuale Bernoulliano che consiste in un insieme di prove ripetute con le seguenti caratteristiche: i) ad ogni singola
Dettagli13. Campi vettoriali
13. Campi vettoriali 1 Il campo di velocità di un fluido Il concetto di campo in fisica non è limitato ai fenomeni elettrici. In generale il valore di una grandezza fisica assegnato per ogni punto dello
DettagliCalcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo.
Capitolo 1 9 Ottobre 00 Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. 000, Milano Esercizio 1.0.1 (svolto in classe [II recupero Ing. Matematica aa.00-0-rivisitato]nel
Dettagli1 Probabilità condizionata
1 Probabilità condizionata Accade spesso di voler calcolare delle probabilità quando si è in possesso di informazioni parziali sull esito di un esperimento, o di voler calcolare la probabilità di un evento
DettagliIL RISCHIO DI INVESTIRE IN AZIONI DIMINUISCE CON IL PASSARE DEL TEMPO?
IL RISCHIO DI INVESTIRE IN AZIONI DIMINUISCE CON IL PASSARE DEL TEMPO? Versione preliminare: 1 Agosto 28 Nicola Zanella E-mail: n.zanella@yahoo.it ABSTRACT I seguenti grafici riguardano il rischio di investire
DettagliPROBABILITA MISURARE L INCERTEZZA Lanciamo due dadi, facciamo la somma dei punteggi ottenuti. Su quale numero mi conviene scommettere?
Lanciamo due dadi, facciamo la somma dei punteggi ottenuti. Su quale numero mi conviene scommettere? Abbiamo visto nella lezione precedente che lo spazio degli eventi più idoneo a rappresentare l esperimento
Dettagli1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:
Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi
DettagliEquilibrio bayesiano perfetto. Giochi di segnalazione
Equilibrio bayesiano perfetto. Giochi di segnalazione Appunti a cura di Stefano Moretti, Silvia VILLA e Fioravante PATRONE versione del 26 maggio 2006 Indice 1 Equilibrio bayesiano perfetto 2 2 Giochi
DettagliCOMUNIC@CTION INVIO SMS
S I G e s t S.r.l S e d e l e g a l e : V i a d e l F o r n o 3 19125 L a S p e z i a T e l e f o n o 0187/284510/15 - F a x 0187/525519 P a r t i t a I V A 01223450113 COMUNIC@CTION INVIO SMS GUIDA ALL
DettagliUn gioco con tre dadi
Un gioco con tre dadi Livello scolare: biennio Abilità interessate Costruire lo spazio degli eventi in casi semplici e determinarne la cardinalità. Valutare la probabilità in diversi contesti problematici.
DettagliCalcolare la probabilità dei seguenti eventi: P(fare ambo con i numeri 7 ed 17 con le prime due estrazioni):
ESERCIZIO 1 Il signor Felice sta giocando a tombola nel circolo PASSATEMPO e ha deciso di giocare usando la sola cartella di seguito riportata: 7 17 26 40 74 1 14 50 69 87 13 43 57 62 73 Serie 1, n. 1
Dettagli= variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del 2000 = 500; PIL del 2001 = 520:
Fig. 10.bis.1 Variazioni percentuali Variazione percentuale di x dalla data zero alla data uno: x1 x 0 %x = 100% x 0 = variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del
DettagliINTRODUZIONE AI CICLI
www.previsioniborsa.net INTRODUZIONE AI CICLI _COSA SONO E A COSA SERVONO I CICLI DI BORSA. Partiamo dalla definizione di ciclo economico visto l argomento che andremo a trattare. Che cos è un ciclo economico?
DettagliFare Matematica in prima elementare IL NUMERO
Fare Matematica in prima elementare IL NUMERO Il NUMERO CONTARE PER CONTARE La filastrocca dei numeri Contare per contare, cioè ripetere la filastrocca dei numeri, contribuisce a far maturare la consapevolezza
DettagliCapitolo 2. Operazione di limite
Capitolo 2 Operazione di ite In questo capitolo vogliamo occuparci dell operazione di ite, strumento indispensabile per scoprire molte proprietà delle funzioni. D ora in avanti riguarderemo i domini A
DettagliNella prima lezione... Che cos è il Digitale. Prima parte: Che cos è il Digitale. Che cos è il Digitale. Che cos è il Digitale
!"$#%!" #% Nella prima lezione... Definizione di Informatica Cosa è una soluzione algoritmica Esempi di algoritmi cicalese@dia.unisa.it 2 Prima parte: Società dell informazione Ma cosa vuol dire società
DettagliREGOLAMENTO ROULETTE 3D
REGOLAMENTO ROULETTE 3D La Roulette 3D appartiene alla famiglia dei Giochi di sorte a quota fissa. Il gioco della Roulette 3D prevede una pallina che, lanciata in direzione opposta rispetto ad una ruota
DettagliEsame dell 8 settembre 2012
Basi di Dati e Sistemi Informativi Errori ricorrenti nella progettazione concettuale Questo documento ha, come scopo, presentare alcuni gravi errori che ricorrono spesso nella progettazione concettuale
DettagliGIANLUIGI BALLARANI. I 10 Errori di Chi Non Riesce a Rendere Negli Esami Come Vorrebbe
GIANLUIGI BALLARANI I 10 Errori di Chi Non Riesce a Rendere Negli Esami Come Vorrebbe Individuarli e correggerli 1 di 6 Autore di Esami No Problem 1 Titolo I 10 Errori di Chi Non Riesce a Rendere Negli
DettagliComplemento al corso di Fondamenti di Informatica I corsi di laurea in ingegneria, settore dell informazione Università la Sapienza Consorzio Nettuno
Rappresentazione di numeri Complemento al corso di Fondamenti di Informatica I corsi di laurea in ingegneria, settore dell informazione Università la Sapienza Consorzio Nettuno Un numero e un entità teorica,
DettagliCorso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari. NOME COGNOME N. Matr.
Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari Matematica e Statistica II Prova di esame del 18/7/2013 NOME COGNOME N. Matr. Rispondere ai punti degli esercizi nel modo più completo possibile, cercando
DettagliCostruite un grafo che rappresenti la situazione del torneo (in modo che siano rappresentate le squadre e le partite). Che tipo di grafo ottenete?
IL TORNEO DI CALCIO Avete un gruppo di sei squadre che devono sfidarsi in un torneo di calcio. Il torneo deve essere circolare e di sola andata, cioè ogni squadra deve giocare una partita contro ciascuna
DettagliElementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1
Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 10-Il test t per un campione e la stima intervallare (vers. 1.1, 25 ottobre 2015) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia,
DettagliNote su quicksort per ASD 2010-11 (DRAFT)
Note su quicksort per ASD 010-11 (DRAFT) Nicola Rebagliati 7 dicembre 010 1 Quicksort L algoritmo di quicksort è uno degli algoritmi più veloci in pratica per il riordinamento basato su confronti. L idea
DettagliAlessandro Pellegrini
Esercitazione sulle Rappresentazioni Numeriche Esistono 1 tipi di persone al mondo: quelli che conoscono il codice binario e quelli che non lo conoscono Alessandro Pellegrini Cosa studiare prima Conversione
DettagliCorso di Calcolo Numerico
Corso di Calcolo Numerico Dott.ssa M.C. De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Sistemi di Numerazione Sistema decimale La
DettagliAlgoritmi e strutture dati. Codici di Huffman
Algoritmi e strutture dati Codici di Huffman Memorizzazione dei dati Quando un file viene memorizzato, esso va memorizzato in qualche formato binario Modo più semplice: memorizzare il codice ASCII per
DettagliSTATISTICA MEDICA Prof. Tarcisio Niglio http://www.tarcisio.net tarcisio@mclink.it oppure su Facebook Anno Accademico 2011-2012
STATISTICA MEDICA Prof. Tarcisio Niglio http://www.tarcisio.net tarcisio@mclink.it oppure su Facebook Anno Accademico 2011-2012 Calcolo delle Probabilità Teoria & Pratica La probabilità di un evento è
DettagliLezioni di Matematica 1 - I modulo
Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può
DettagliUn modello matematico di investimento ottimale
Un modello matematico di investimento ottimale Tiziano Vargiolu 1 1 Università degli Studi di Padova Liceo Scientifico Benedetti Venezia, giovedì 30 marzo 2011 Outline 1 Preliminari di calcolo delle probabilità
DettagliProbabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a)
Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B Eventi indipendenti: un evento non influenza l altro Eventi disgiunti: il verificarsi di un evento esclude l altro Evento prodotto:
DettagliModelli di Programmazione Lineare e Programmazione Lineare Intera
Modelli di Programmazione Lineare e Programmazione Lineare Intera 1 Azienda Dolciaria Un azienda di cioccolatini deve pianificare la produzione per i prossimi m mesi. In ogni mese l azienda ha a disposizione
DettagliLezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale
Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta
DettagliProblemi e formula di Bayes. Daniela Valen), Treccani Scuola
Problemi e formula di Bayes Daniela Valen), Treccani Scuola 1 Problemi antichi 1. Lancio una volta un dado A 1 : Esce 6 P( A 1 ) = 1 6 B 1 : NON esce 6 2. Lancio più volte un dado P( B 1 ) = 5 6 Sapere
DettagliFondamenti di Informatica 2. Le operazioni binarie
Corso di per il corso di Laurea di Ingegneria Gestionale Le operazioni binarie Università degli Studi di Udine - A.A. 2010-2011 Docente Ing. Sandro Di Giusto Ph.D. 1 L'algebra binaria Il fatto di aver
DettagliSi considerino gli eventi A = nessuno studente ha superato l esame e B = nessuno studente maschio ha superato l esame. Allora A c B è uguale a:
TEST DI AUTOVALUTAZIONE - SETTIMANA 2 I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Metodi statistici per la biologia 1 Parte A 1.1 Si considerino gli
DettagliLa distribuzione Normale. La distribuzione Normale
La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una
DettagliTNT IV. Il Diavolo è meno brutto di come ce lo dipingono!!! (Guarda il video)
TNT IV Il Diavolo è meno brutto di come ce lo dipingono!!! (Guarda il video) Al fine di aiutare la comprensione delle principali tecniche di Joe, soprattutto quelle spiegate nelle appendici del libro che
DettagliProgetto breve: Programmazione informatica
Progetto breve Programmazione informatica Come fa il computer a capire quello che gli dico? Come faccio a fagli fare quello che voglio? Che regole segue? Cosa è una variabile? E un comando? Come rendere
Dettagli