LE APPLICAZIONI DELLA PROPORZIONALITAÁ ARITMETICA 2 LA PROPORZIONALITAÁ DIRETTA ED INVERSA COMPRENSIONE DELLA TEORIA

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1 ARITMETICA LE APPLICAZIONI DELLA PROPORZIONALITAÁ LA PROPORZIONALITAÁ DIRETTA ED INVERSA 5 Indica fra le seguenti coppie di grandezze, quali sono direttamente proporzionali (D), quali inversarichiami della teoria n Una grandezza eá costante quando mantiene sempre lo stesso valore; n una grandezza eá variabile quando il suo valore muta nel tempo; n due variabili sono interdipendenti quando il variare della prima modifica il valore della seconda: la variabile indipendente si indica generalmente con la lettera x; la variabile dipendente si indica generalmente con la lettera y; n una grandezza y eá direttamente proporzionale ad un'altra x se il rapporto fra y e x eá costante. In simboli: y : x ˆ k (k si chiama coefficiente di proporzionalitaá diretta); n una grandezza y eá inversamente proporzionale ad un'altra x se il prodotto fra y e x eá costante. In simboli: y x ˆ k (k si chiama coefficiente di proporzionalitaá inversa). COMPRENSIONE DELLA TEORIA Indica se le seguenti grandezze sono costanti (C) o variabili (V): a. velocitaá della luce; b. altezza di una montagna; c. costo di una rivista; d. peso specifico dell'acqua; e. numero di alunni di una scuola. C C C C C V V V V V Date le seguenti grandezze interdipendenti, indica qual eá la variabile dipendente (y ) e quale la variabile indipendente (x): a. merce venduta e soldi incassati per la vendita; b. somma depositata in banca ed interessi percepiti; c. portata di un rubinetto e tempo impiegato a riempire una vasca; d. cilindrata di un'autovettura e velocitaá massima raggiunta; e. numero di alunni che partecipano ad una gita e costo della gita stessa. 3 Completa la seguente definizione: due grandezze si dicono proporzionali quando il... che le lega puoá essere espresso mediante una... 4 Due grandezze variabili dipendenti x e y si dicono: a. direttamente proporzionali se il... fra y e x eá costante; b. inversamente proporzionali se il... fra x e y eá costante.

2 LE APPLICAZIONI DELLA PROPORZIONALITAÁ Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS mente proporzionali (I) e quali non proporzionali (N): a. tragitto percorso da un treno e costo del biglietto; b. lato di un quadrato e perimetro dello stesso; c. numero di pagine di un quaderno e peso dello stesso; d. numero di operai per costruire una casa e tempo impiegato per la costruzione; e. altezza di una persona e suo peso. D D D D D I I I I I N N N N N APPLICAZIONE 6 Dato il rapporto di proporzionalitaá diretta y ˆ costruisci la tabella che rappresenta il legame fra le x grandezze x e y. Rappresenta inoltre le due grandezze nel piano cartesiano. Per costruire la tabella che rappresenta la proporzionalitaá diretta dobbiamo assegnare dei valori "a caso" alla variabile x e calcolare i corrispondenti valori di y. CosõÁ ad esempio: se x ˆ! y ˆ! y ˆ se x ˆ! y ˆ! y ˆ 4 se x ˆ 3! y 3 ˆ! y ˆ 6 se x ˆ 5! y 5 ˆ! y ˆ 0 Otteniamo dunque la tabella: x 3 5 y Con i dati della tabella possiamo rappresentare la relazione nel piano cartesiano. 7 Dato il rapporto di proporzionalitaá inversa y x ˆ 6 costruisci la tabella che rappresenta il legame fra le grandezze x e y. Rappresenta inoltre le due grandezze nel piano cartesiano. Per costruire la tabella che rappresenta la proporzionalitaá inversa dobbiamo assegnare dei valori "a caso" alla variabile x e calcolare i corrispondenti valori di y. CosõÁ ad esempio: se x ˆ! y ˆ 6! y ˆ 6 se x ˆ! y ˆ 6! y ˆ 3 se x ˆ 3! y 3 ˆ 6! y ˆ se x ˆ 6! y 6 ˆ 6! y ˆ Otteniamo dunque la tabella: x 3 6 y 6 3 Con i dati della tabella possiamo rappresentare la relazione nel piano cartesiano.

3 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE APPLICAZIONI DELLA PROPORZIONALITAÁ 3 8 Dopo aver analizzato con attenzione i valori che assumono le grandezze x e y della seguente tabella, rispondi alle domande. x 3 y a. Le due grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali? b. Qual eá il relativo coefficiente di proporzionalitaá? c. Scrivi la relazione che lega le due grandezze e costruisci il grafico cartesiano. 9 Dopo aver analizzato con attenzione i valori che assumono le grandezze x e y della seguente tabella, rispondi alle domande. x 4 y a. Le due grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali? b. Qual eá il relativo coefficiente di proporzionalitaá? c. Scrivi la relazione che lega le due grandezze e costruisci il grafico cartesiano. 0 Utilizzando la relazione indicata, stabilisci se si tratta di proporzionalitaá diretta o inversa, completa la tabella e costruisci il relativo grafico cartesiano: a. y x ˆ 4 x 3 4 y b. x y ˆ 0 x 5 0 y Considera le grandezze x ˆ numeri di biglietti del cinema venduti e y ˆ soldi incassati. Sapendo che il costo di ogni biglietto d'ingresso eá di E 7: a. indica se si tratta di proporzionalitaá diretta o di proporzionalitaá inversa; b. indica la costante di proporzionalitaá; c. costruisci la tabella che rappresenta la proporzionalitaá; d. rappresenta con un grafico cartesiano la relazione. a. Le grandezze sono direttamente proporzionali; b. La costante di proporzionalitaá si calcola mediante la serie di rapporti uguali: k ˆ 7 ˆ 7 ˆ 4 ˆ 3 ˆ 8 4 ˆ :::::::::: c. Per costruire la tabella basta considerare i rapporti del punto b. precedente: x 3 4 y d. Costruisci da solo il grafico cartesiano.

4 4 LE APPLICAZIONI DELLA PROPORZIONALITAÁ Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Considera le grandezze x ˆ km percorsi e y ˆ tempo impiegato a percorrerli. Sapendo che la velocitaá media di una persona che cammina eá di 4 km/h: a. indica se si tratta di proporzionalitaá diretta o di proporzionalitaá inversa; b. indica la costante di proporzionalitaá; c. costruisci la tabella che rappresenta la proporzionalitaá; d. rappresenta con un grafico cartesiano la corrispondente relazione. 3 Esercizio Guidato Ponendo come costante una delle tre grandezze base, altezza e area di un triangolo, stabilisci se le altre due grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali. a. Consideriamo costante la base; in questo caso l'altezza e l'area sono grandezze... proporzionali, infatti: b ˆ A (il loro... eá costante). h b. Consideriamo costante l'altezza; in questo caso la base e l'area sono grandezze... proporzionali, infatti: h ˆ A (il loro... eá costante). b c. Consideriamo costante l'area; in questo caso la base e l'altezza sono grandezze... proporzionali, infatti: A ˆ b h (il loro... eá costante). 4 Ponendo come costante una delle tre grandezze velocitaá v, spazio percorso s, tempo impiegato a percorrerlo t, stabilisci se le altre due grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali.

5 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE APPLICAZIONI DELLA PROPORZIONALITAÁ 5 I PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE E DEL TRE COMPOSTO richiami della teoria n Si dicono problemi del tre semplice quei problemi dove, date due grandezze, si conoscono tre valori e bisogna determinare il quarto; in particolare nei problemi del tre semplice diretto le grandezze che entrano in gioco sono direttamente proporzionali, nei problemi del tre semplice inverso le grandezze sono inversamente proporzionali; n per risolvere i problemi del tre semplice, dopo avere stabilito se le grandezze in esame sono direttamente o inversamente proporzionali, bisogna tracciare uno schema con le frecce in modo da stabilire l'ordine secondo cui deve essere scritta la proporzione e calcolare il termine incognito; n si dicono problemi del tre composto quei problemi in cui entrano in gioco almeno tre grandezze; n i problemi del tre composto possono essere direttamente o inversamente proporzionali a seconda che le grandezze considerate sono direttamente o inversamente proporzionali; n per risolvere i problemi del tre composto bisogna tracciare uno schema delle grandezze che entrano in gioco e, dopo aver stabilito se le grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali, tracciare le relative frecce. Per calcolare il valore dell'incognita bisogna quindi moltiplicare il valore noto per il rapporto di tutte le altre grandezze scritto seguendo il verso delle frecce. APPLICAZIONE 5 Risolvi i seguenti problemi del tre semplice. Nella sala di un cinema sono presenti 500 spettatori che hanno fatto incassare complessivamente E Quanti spettatori hanno assistito allo spettacolo precedente se il prezzo del biglietto eá rimasto invariato e se l'incasso eá stato di E 3605? Le due grandezze, soldi incassati e spettatori presenti, sono direttamente proporzionali. Tracciamo lo schema relativo inserendo le frecce con lo stesso verso in quanto si tratta di grandezze direttamente proporzionali. Spettatori Incasso in euro x 3605 Ricaviamo la relativa proporzione seguendo l'ordine delle frecce x : 500 ˆ 3605 : Calcoliamo il valore dell'incognita x ˆ : 3500 ˆ Uno sportivo va in palestra e spende per 5 ingressi E 55. Sapendo che il prezzo per ogni ingresso eá fisso, quanto spenderaá lo sportivo se vuole fare 6 ingressi? [E 66] 7 Per riempire una vasca con l'acqua versata da un rubinetto occorrono 3 ore; se invece di un rubinetto se ne possono usare 5 della stessa portata quanto tempo ci si impiega a riempire la stessa vasca? 36 m Š 8 Una dattilografa riesce a battere un testo di 8000 caratteri in 50 minuti. Quanto impiega per comporre un testo contenente 400 caratteri? h 7 m 30 s Š 9 Per realizzare 87 bomboniere sono necessari 57,4 m di stoffa. Fiammetta, per il suo matrimonio, deve realizzare 95 confezioni. Calcola quanta stoffa deve ordinare. 9 mš

6 6 LE APPLICAZIONI DELLA PROPORZIONALITAÁ Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 0 Per piastrellare una stanza rettangolare di dimensioni 5 m e 4 m si sono spesi E 300. Quanto costeraá piastrellare una stanza quadrata di lato 4 m? [E 40] Due ruote dentate di un ingranaggio ruotano una sull'altra. Se la piuá piccola ha 30 denti e fa 96 giri al minuto, quanti giri fa la piuá grande che ha 40 denti? [7] Una squadra di 0 muratori riesce ad ultimare la costruzione di un appartamento in 4 giorni. A causa di una malattia, al momento di iniziare la costruzione, ben 5 muratori risultano assenti. Quanto tempo eá necessario per la costruzione dell'appartamento? 3 g Š 3 Risolvi i seguenti problemi del tre composto. Durante le ultime vacanze estive 6 amici si recano al mare e, per un soggiorno in pensione completa di 0 giorni, pagano complessivamente E 500. Quanto avrebbero pagato, nello stesso albergo e nello stesso periodo, 8 amici per un soggiorno di 5 giorni? a. Rispetto al costo da trovare, le due grandezze (numero di amici e durata del soggiorno) sono direttamente proporzionali (D); tracciamo lo schema relativo inserendo le frecce con lo stesso verso: Numero di amici Giorni del soggiorno Costo in euro x (D) (D) b. Calcoliamo il valore incognito moltiplicando il valore noto per i rapporti delle grandezze seguendo la direzione delle frecce: 5 x ˆ ˆ Sapendo che 3 operai in 5 giorni, lavorando 8 ore al giorno riescono a costruire un muro di cinta di una casa, quanti giorni impiegano 5 operai a fare lo stesso lavoro se lavorano 6 ore al giorno? 4 g Š 5 Un commerciante per acquistare una pezza di stoffa lunga metri e larga metro ha speso E 80. Quanto avrebbe speso se avesse acquistato una pezza dello stesso tipo lunga 8 metri e larga 0,80 metri? [E 96] 6 Un'azienda eá in grado di inscatolare 9 m 3 di mangime per cani in 080 scatole del peso di,5 kg. Se decide di passare a delle confezioni di 3,6 kg, quante scatole dovraá utilizzare per inscatolare m 3 di mangime? [600] 7 In una mensa scolastica 96 alunni consumano 4000 kg di pane in 00 giorni; quanti kg di pane consumano 0 alunni in 30 giorni? [8 000 kg] 8 Per costruire le fondamenta di una casa di 0 m si utilizzano 75 m 3 di cemento che vengono posati per un'altezza di 6,5 cm. Avendo a disposizione 480 m 3 di cemento quanta superficie si riusciraá a realizzare se si decide di posare una soletta di 0 cm? 400 m Š 9 Per percorrere 30 km un'auto impiega 30 minuti. A che velocitaá procede? Se un'altra auto si muove con una velocitaá di 50 km/h quanto tempo impiega per percorrere lo stesso spazio? 60 km/h; 5 m Š 30 Per irrigare un giardino 5 spruzzi d'acqua restano accesi ore al giorno per 3 giorni. Quanti giorni devono restare accesi 6 spruzzi della stessa portata se vengono attivati ora al giorno? 5 g Š 3 Un'insegna luminosa ha 0 lampade che rimanendo accese per notti per 5 ore a notte consumano 90 kwh. Calcola quanto consumeranno 6 lampade di potenza doppia, rimanendo accese per 5 notti per 3 ore a notte. 8 kwhš

7 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE APPLICAZIONI DELLA PROPORZIONALITAÁ 7 I PROBLEMI DI RIPARTIZIONE richiami della teoria n I problemi di ripartizione semplice sono problemi dove bisogna dividere una grandezza in parti direttamente o inversamente proporzionali ad un gruppo di numeri; n per risolvere i problemi di ripartizione semplice (diretta ed inversa) bisogna applicare la proprietaá del comporre relativa a una serie di rapporti e risolvere le proporzioni ottenute; n i problemi di ripartizione composta sono problemi in cui una grandezza o un numero si deve dividere in parti direttamente o inversamente proporzionali a piuá gruppi di numeri; n per risolvere i problemi di ripartizione composta (diretta ed inversa) occorre calcolare il prodotto delle grandezze che entrano in gioco nelle singole incognite e poi applicare la proprietaá del comporre relativa a una serie di rapporti. APPLICAZIONE 3 Risolvi i seguenti problemi di ripartizione semplice diretta. Esegui una ripartizione semplice diretta del numero 45 secondo i numeri 5, 8 e. Indichiamo con x, y e z le parti in cui bisogna suddividere il numero 45: poicheâ le parti sono direttamente proporzionali ai numeri 5, 8 e possiamo scrivere la proporzione: x : 5 ˆ y : 8 ˆ x : Applicando la proprietaá del comporre relativa ad una serie di rapporti otteniamo le tre proporzioni: x y z : 5 8 ˆx : 5 x y z : 5 8 ˆy : 8 x y z : 5 8 ˆz : PoicheÁ x y z ˆ 45 sostituiamo le somme nelle proporzioni precedenti: 45 : 55 ˆ x : 5; 45 : 55 ˆ y : 8; 45 : 55 ˆ z :. Risolviamo le tre proporzioni: x ˆ 45 5 : 55 ˆ 585; y ˆ 45 8 : 55 ˆ 70; z ˆ 45 : 55 ˆ Esegui una ripartizione semplice diretta del numero 4 secondo i numeri, 6 e 40. [6; 88; 70] 34 Suddividi il numero 040 in parti direttamente proporzionali ai numeri 4, 3 e 6. [30, 40 e 480] 35 Suddividi il numero 3600 in parti direttamente proporzionali ai numeri 3, 5 e. [ 00; 000; 400] 36 Risolvi i seguenti problemi di ripartizione semplice inversa. Esegui una ripartizione semplice inversa del numero 886 secondo i numeri 4, 5 e 8. Indichiamo con x, y e z le parti in cui bisogna suddividere il numero 886 e siccome bisogna fare

8 8 LE APPLICAZIONI DELLA PROPORZIONALITAÁ Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS una ripartizione inversa, si devono considerare gli inversi dei numeri dati. Otteniamo dunque la proporzione: x : 4 ˆ y : 5 ˆ z : 8 Applichiamo la proprietaá del comporre relativa ad una serie di rapporti: x y z : 4 5 ˆ x : 8 4 x y z : 4 5 ˆ y : 8 5 x y z : 4 5 ˆ z : 8 8 PoicheÁ x y z ˆ 886 e ˆ 3 sostituiamo le somme nelle proporzioni precedenti: : 3 40 ˆ x : ; : 40 ˆ y : ; : 40 ˆ z : 8. Risolviamo le tre proporzioni: x ˆ : 3 40 ˆ 80; y ˆ : 3 40 ˆ 656; z ˆ : 3 40 ˆ Esegui una ripartizione semplice inversa del numero 3875 secondo i numeri, 3 e 5. [875; 50; 750] 38 Suddividi il numero 33 in parti inversamente proporzionali ai numeri 3, 4 3 e. [ 596; 5 84; 3 894] 39 Suddividi il numero in parti inversamente proporzionali ai numeri 3, 3 4 e 5 7. [4 390; 680; 764] 40 Risolvi i seguenti problemi di ripartizione composta, diretta ed inversa. Esercizio Guidato Suddividi il numero 4 35 in parti direttamente proporzionali ai seguenti gruppi di numeri 4,, 5, 3,4. e Predisponiamo il seguente schema in cui consideriamo... dati: Incognite x y z Primo gruppo di numeri 4 Secondo gruppo di numeri 5 Calcoliamo il prodotto dei numeri che compaiono sotto ciascuna incognita: x! 4 :::: ˆ ::::; y! :::: 3 ˆ ::::; z! :::: :::: ˆ :::: Consideriamo quindi la relativa serie di... x : :::: ˆ y : :::: ˆ z : :::: 3 4

9 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE APPLICAZIONI DELLA PROPORZIONALITAÁ 9 Ci siamo cosõáridotti a un problema di ripartizione.... Procedendo come negli esercizi precedenti si ottiene... [3 460; 59; 346] 4 Suddividi il numero 5 78 in parti direttamente proporzionali ai seguenti gruppi di numeri 3, 4 3,5 e 5 3, 3,. [6 080; 6 43; 3 6] 5 4 Esercizio Guidato Suddividi il numero 0440 in parti inversamente proporzionali ai seguenti gruppi di numeri,, 3 e 4,,5 3. Predisponiamo il seguente schema in cui consideriamo... dei valori dati: Incognite x y z Primo gruppo di numeri Secondo gruppo di numeri 4 Calcoliamo il... dei numeri che compaiono sotto ciascuna incognita: x! :::: 4 ˆ ; y! ::::: ::::: ˆ ; z! ::::: ::::: ˆ ::::: Consideriamo quindi la relativa serie di... uguali: x : ::::: ˆ y : ::::: ˆ z : ::::: Procedendo come negli esercizi precedenti si ottiene... [7 00; 800; 440] 43 Suddividi il numero in parti inversamente proporzionali ai seguenti gruppi di numeri 5,, 4 e 0, 3,. [3 6; 5; 3 6] 44 Suddividi il numero 655 in parti direttamente proporzionali ai numeri 3, 4, 5 e in parti inversamente proporzionali ai numeri, 6,. (Suggerimento: per ciascuna incognita devi considerare il prodotto del primo numero per l'inverso del secondo) [5670; 60; 475] 45 Suddividi il numero 6 54 in parti direttamente proporzionali ai numeri 4 3,, 5 e in parti inversamente proporzionali ai numeri 3, 3,5. [4344; 74; 086] 4 Risolvi i seguenti problemi riassuntivi sulla ripartizione. 46 Esegui una ripartizione diretta del numero 5 3 secondo i numeri 0,,,3 e 0,4. [ 584; 0 560; 3 68] 47 Tre camerieri ricevono complessivamente in una serata E 5 di mancia. Sapendo che hanno lavorato rispettivamente per 6 h, 5 h e 3 h, quanto spetta a ciascuno? [E 08; E 90; E 54] 48 Due soci costituiscono una societaá e versano la stessa cifra iniziale al Gennaio; il Aprile e il Luglio subentrano un terzo socio e un quarto socio che versano la stessa cifra dei primi due. Calcola quanto spetta a ciascun socio se a fine anno l'utile eá stato di E [E 5 400; E 5 400; E 4 050; E 700]

10 0 LE APPLICAZIONI DELLA PROPORZIONALITAÁ Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 49 Determina la lunghezza di quattro segmenti sapendo che la loro somma eá 77 cm e che le loro misure sono inversamente proporzionali ai numeri 3 4 ; ; 5 ;5. [60 cm; 90 cm; 8 cm; 9 cm] 50 Esegui una ripartizione composta diretta del numero 508 secondo i gruppi di numeri 3; 5 ; 4 e ; ;. [3 04; 680; 504] 3 5 Esegui una ripartizione composta del numero 859 in ragione diretta dei numeri 0,3; ; e in ragione 4 inversa dei numeri 3 4 ;; [76; 99; 584] 5 Per ristrutturare una casa di riposo tre comuni decidono di investire una somma di E in parti direttamente proporzionali al numero di abitanti ed in parti inversamente proporzionali alla distanza dei tre comuni dalla casa di riposo. Calcola la spesa che devono sostenere i tre comuni sapendo che hanno rispettivamente 000 abitanti, 9300 abitanti e 0500 abitanti e distano 4 km, 3 km e 5 km. [E ; E ; E ] 53 Una societaá mette in palio un premio di E per i quattro migliori portieri del campionato di calcio; il premio deve essere suddiviso in ragione inversa al numero di reti subite ed in ragione diretta al numero di partite giocate. Calcola quanto spetta a ciascun portiere se hanno subito rispettivamente le seguenti reti, il primo 4, il secondo 8, il terzo 40 ed il quarto 4 e sono stati presenti rispettivamente in 38 partite, 36 partite, 30 partite e 34 partite. [E ; E ; E 3 500; E ]

11 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE APPLICAZIONI DELLA PROPORZIONALITAÁ LE PERCENTUALI richiami della teoria n La percentuale eá un rapporto che ha come conseguente 00; n la proporzione risolutiva delle percentuali eá p : T ˆ r : 00 dove p ˆ parte percentuale; T ˆ totale; r ˆ tasso percentuale; n gli areogrammi percentuali permettono di rappresentare dati statistici percentuali per mezzo di grafici. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 54 Data la proporzione : 60 ˆ 0 : 00, stabilisci: a. qual eá il tasso percentuale; b. qual eá la parte percentuale; c. qual eá il totale. 55 Completa la seguente regola: per calcolare l'angolo di un areogramma percentuale basta... il tasso percentuale per il numero fisso... APPLICAZIONE 56 Trasforma i seguenti rapporti nelle relative percentuali: a. 3 5 ; b. 4 ; c Sostituiamo direttamente i dati nella proporzione risolutiva delle percentuali p : T ˆ r : 00. a. 3 : 5 ˆ x : 00 x ˆ 00 3 : 5 ˆ 60%; b. : 4 ˆ x : 00 x ˆ 00 : 4 ˆ 5%; c. 7 : 6 ˆ x : 00 x ˆ 00 7 : 6 ˆ 43,75%. 57 Trasforma i seguenti rapporti nelle relative percentuali: a. 5 ; b. 3 8 ; c Trasforma i seguenti numeri decimali nei relativi rapporti e poi nelle corrispondenti percentuali: a. 0,; b. 0,04; c. 0, Risolvi i seguenti problemi con le percentuali. Stefano acquista un video gioco con uno sconto del 5%. Sapendo che il prezzo di listino era di E 70, calcola il costo effettivo del videogioco. Sostituendo i dati nella proporzione risolutiva p : T ˆ r : 00, otteniamo p : 70 ˆ 5 : 00 da cui p ˆ 5 70 : 00 ˆ 0,5. Per calcolare quanto Stefano ha pagato per il videogioco dobbiamo togliere dal prezzo di listino lo sconto E 70 0,50 ˆE 59,50.

12 LE APPLICAZIONI DELLA PROPORZIONALITAÁ Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 60 Marco acquista un computer con uno sconto del %. Sapendo che il prezzo di listino era di E 5, calcola il costo effettivo del computer. [E 98,0] 6 In una scuola si sono iscritti 40 alunni, il 45% dei quali sono maschi. Quante sono le ragazze iscritte? [77] 6 Un negoziante ha pagato una certa merce in contanti ottenendo cosõáuno sconto del % su un prezzo di listino di E 3. Quanto eá costata effettivamente la merce acquistata? [E 74,56] 63 Paolo ha una raccolta di monete; sapendo che 5 sono francesi e che rappresentano il 3% del numero totale, quante sono in tutto le monete? [500] 64 Il prezzo di listino di un'autovettura eá di E 3 550, ma eá stata venduta a E 46,50. Calcola il tasso percentuale di sconto. Calcoliamo inizialmente p ˆ E ,50 ˆE 303,50. Sostituendo i dati nella proporzione p : T ˆ r : 00 ricaviamo 303,50 : 3550 ˆ r : 00 da cui r ˆ 303,50 00 : 3550 ˆ Il prezzo di listino di un divano eá di E 750. Marco riesce ad ottenere uno sconto e compra il divano a E 487,50. Calcola il tasso percentuale di sconto. [5%] 66 Negli ultimi dieci anni la popolazione di un paese eá passata da a 7 55 abitanti. Calcola la percentuale di aumento della popolazione di quel paese. [8%] 67 Esercizio Guidato Un commerciante di abbigliamento ha dovuto vendere alcuni capi che presentavano piccoli difetti a E con una riduzione dell'incasso del 5%. Calcola il costo dei capi se fossero stati venduti senza riduzione. In questo caso la riduzione del 5% si riferisce al prezzo... pertanto E 5000 corrispondono a 00 :::::: % del prezzo non scontato T. Avremo dunque la proporzione 5000 : T ˆ 85 : ::::: cioeá T ˆ 5000 ::::: : ::::: ˆ E 588, Domenico ha comprato un appartamento e, dopo aver ottenuto uno sconto del 6%, lo paga E Quale era il prezzo iniziale di vendita? [E ] 69 Ho pagato E 30 per la bolletta dell'acqua compreso di un 4% di mora per il ritardo di pagamento. Qual era l'importo effettivo della bolletta? [E 5] Risolvi i seguenti esercizi riassuntivi sulla percentuale. 70 Luca scambia 7 figurine di calcio. Sapendo che tali figurine sono l',4% del totale della sua raccolta, quante figurine possiede complessivamente Luca? [500] 7 Un negoziante vende un paio di scarpe da ginnastica a E 8 con un guadagno del 35%. Quanto aveva pagato le scarpe il negoziante? [E 60] 7 In un punto vendita di informatica il costo di un computer eá di E 00, ma viene venduto al prezzo di E 00. E' piuá conveniente l'acquisto in questo negozio oppure in un altro negozio che pratica uno sconto del 6%? [quello con lo sconto del 6%]

13 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE APPLICAZIONI DELLA PROPORZIONALITAÁ 3 ELEMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA richiami della teoria n Il capitale eá la somma prestata ad altri o depositata e si indica con C; n l'interesse eá il compenso dato o ricevuto a chi presta o deposita un capitale e si indica con I; n il tasso percentuale di interesse o ragione eá il compenso che si riceve ogni 00 unitaá di Euro e si indica con r ; n il tempo eá il periodo in cui si impiega il capitale e puoá quindi essere espresso in anni, mesi o giorni e si indica con t ; n tutti i problemi di matematica finanziaria si risolvono applicando la procedura del tre composto. APPLICAZIONE 73 Risolvi i seguenti problemi di matematica finanziaria. Calcola l'interesse prodotto da un capitale di E 00 in 3 anni al tasso percentuale del 3%. Predisponiamo lo schema dei dati capitale in E interesse in E tempo in anni x 3 Applichiamo direttamente la regola del tre composto x ˆ ˆ E Calcola l'interesse prodotto da un capitale di E 400 in 4 mesi al tasso percentuale del 5%. E 40Š 75 Calcola il capitale che ha prodotto un interesse di E 49 in 35 giorni al tasso percentuale del 4%. E 600Š 76 Calcola il tempo impiegato da un capitale di E per produrre un interesse di E 360 al tasso percentuale del 5%. [ anni] 77 Calcola l'interesse prodotto da un capitale di E in 65 giorni al tasso percentuale del 6%. E 39Š 78 Calcola l'interesse prodotto da un capitale di E 5000 in 4 mesi al tasso percentuale del 5%. Che valore possediamo dopo tale periodo. [E 5 50] 79 Calcola l'interesse prodotto da un capitale di E 500 al 3% per 7 mesi. [E 43,75] 80 Calcola il capitale che ha prodotto un interesse di E 55 al tasso percentuale del 3,5% per 70 giorni. [E 0 000] 8 Calcola il tasso percentuale applicato a un capitale di E 500 che ha prodotto un interesse di E 35 per un anno. [,4%]

14 4 LE APPLICAZIONI DELLA PROPORZIONALITAÁ Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 8 Calcola il tempo, espresso in giorni, in cui eá stato impiegato un capitale di E che ha prodotto un interesse di E 78 al tasso percentuale del %. [84 giorni] 83 Michele decide di investire i suoi risparmi e sceglie due diverse operazioni di investimento:. investe E 500 per 3 anni e ritira alla scadenza un interesse di E 50;. investe E 350 per 9 anni e 0 giorni al 3%. Determina: a. il tasso della prima operazione; [%] b. il montante relativo alla seconda operazione. [E 75,63]