Statistica. Alfonso Iodice D Enza

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Prospero Ferrante
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1 Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@gmail.com Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 13

2 Outline 1 () Statistica 2 / 13

3 In caso di caratteri trasferibili è interessante considerare il grado di vicinanza all equidistribuzione, situazione in cui tutte le unità detengono lo stesso ammontare del carattere. indica quanto il collettivo osservato sia lontano/vicino rispetto all equidistribuzione. Da cui, la concentrazione è pari a 0 se tutte le unità detengono lo stesso ammontare del carattere la concentrazione è massima se l intero ammontare del carattere à detenuto da una sola osservazione () Statistica 3 / 13

4 In caso di caratteri trasferibili è interessante considerare il grado di vicinanza all equidistribuzione, situazione in cui tutte le unità detengono lo stesso ammontare del carattere. indica quanto il collettivo osservato sia lontano/vicino rispetto all equidistribuzione. Da cui, la concentrazione è pari a 0 se tutte le unità detengono lo stesso ammontare del carattere la concentrazione è massima se l intero ammontare del carattere à detenuto da una sola osservazione () Statistica 3 / 13

5 Indice di concentrazione Si consideri un carattere trasferibile (reddito, risorsa) distribuito tra n modalità, si considerino poi p i e q i, rispettivamente: p i = i n q i = i j=1 x j n j=1 x j () Statistica 4 / 13

6 Indice di concentrazione Si consideri un carattere trasferibile (reddito, risorsa) distribuito tra n modalità, si considerino poi p i e q i, rispettivamente: p i = i n q i = i j=1 x j n j=1 x j p i è la frazione cumulata dei primi i redditieri q i, ammontare del reddito detenuto dai primi i redditieri () Statistica 4 / 13

7 Indice di concentrazione Le differenze (p i - q i ) 0, sono misure dirette della concentrazione. La media aritmetica della versione normalizzata di tali differenze rappresenta il rapporto di concentrazione di Gini. n 1 ( p i q i p i n 1 p i )p i = n 1 (p i q i ) n 1 p i () Statistica / 13

8 Esempio di calcolo concentrazione Si considerino i fatturati in milioni di euro di un collettivo di otto aziende produttrici di componenti per auto. i x i x i,(ord.) P i j=1 x j p i = i n q i = P ij=1 x P j nj=1 x j p i q i NOTA: le modalità x i devono preventivamente essere ordinate in modo crescente P n 1 (p i q i ) P n 1 p = = i = = () Statistica 6 / 13

9 Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz Partendo dai dati nell esempio precedente, la curva di Lorenz è la spezzata passante per i punti di coordinate (p i, q i ). () Statistica 7 / 13

10 Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz Partendo dai dati nell esempio precedente, la curva di Lorenz è la spezzata passante per i punti di coordinate (p i, q i ). () Statistica 7 / 13

11 Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz Partendo dai dati nell esempio precedente, la curva di Lorenz è la spezzata passante per i punti di coordinate (p i, q i ). () Statistica 7 / 13

12 Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz Partendo dai dati nell esempio precedente, la curva di Lorenz è la spezzata passante per i punti di coordinate (p i, q i ). () Statistica 7 / 13

13 Metodo grafico per determinare il rapporto di concentrazione R = z } { area di concentrazione area del triangolo OAB = area del triangolo OAB somma dei trapezi area del triangolo OAB () Statistica 8 / 13

14 Metodo grafico per determinare il rapporto di concentrazione R = area di concentrazione z } { area di concentrazione area del triangolo OAB = area del triangolo OAB somma dei trapezi area del triangolo OAB OB BA area del triangolo OAB: = 1 1 = area di un generico trapezio : (B+b) h 2 B = base maggiore = q i+1 b = base minore = q i h = altezza = p i+1 p i somma delle aree dei trapezi : P n 1 h B b z} { z} { z } { ( q i+1 + q i ) (p i+1 p i ) 2 sostituendo quanto trovato, si ha area del triangolo OAB somma dei trapezi R = = area del triangolo OAB = 1 2 P n 1 (q i+1 +q i ) (p i+1 p i ) () Statistica 9 / 13

15 Metodo grafico per determinare il rapporto di concentrazione con qualche passaggio algebrico si ottiene area del triangolo OAB somma dei trapezi R = = area del triangolo OAB 1 2 = n 1 (q i+1 +q i ) (p i+1 p i ) 2 = 1 2 {z } mettere 1/2 in evidenza 1 1 P n 1 2 (q i+1 + q i ) (p i+1 p i ) = = 1 2 = 1 (q i+1 + q i ) (p i+1 p i ) () Statistica 10 / 13

16 Metodo grafico per determinare il rapporto di concentrazione con qualche altro passaggio algebrico si ottiene R = 1 (q i+1 + q i ) (p i+1 p i ) = = 1 (q i+1 p i+1 q i+1 p i + q i p i+1 q i p i ) {z } effettuando i prodotti = 1 q i+1 p i+1 q i+1 p i + q i p i+1 q i p i! poichè: q i+1 p i+1 q i p i = q np n ed essendo q n = 1 e p n = 1 allora q np n = 1, da cui () Statistica 11 / 13

17 Metodo grafico per determinare il rapporto di concentrazione con qualche altro passaggio algebrico si ottiene 0 1 q np n=1 z } { n 1 X R = 1 q B i+1 p i+1 q i p i q i+1 p i + q i p i+1 A! = 1 1 q i+1 p i + q i p i+1 = q i+1 p i q i p i+1 = = p i q i+1 p i+1 q i = (p i q i+1 p i+1 q i ) () Statistica 12 / 13

18 in dati raggruppati Si consideri di voler studiare la concentrazione di addetti rispetto alle imprese avendo a disposizione informazioni riguardanti le classi di addetti per impresa, il numero di imprese per ciascuna classe n i, il numero di addetti impiegati x i n i. In questo caso si deve tenere conto delle fatto che i dati sono organizzati in frequenze. i.i n i P ni x i n i P xi p i q i a b a b Table: I dati sono espressi in migliaia. a = p i q i+1 b = p i+1 q i R = (p i q i+1 p i+1 q i ) = () Statistica 13 / 13

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