MODELLAZIONE FEM DI PANNELLI 3D SECONDO UN APPROCCIO ITERATIVO MULTILIVELLO

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1 Modellazione FEM di pannelli 3D secondo un approccio iterativo multilivello Sandro Brasile, Giovanni Formica, Raffaele Casciaro Report n. 33 Dicembre 3 Laboratorio di Meccanica Computazionale Dipartimento di Strutture UNICAL Rende (Cs) Italy tel: fax: e mail: sbrasile@labmec.unical.it

2 MODELLAZIONE FEM DI PANNELLI 3D SECONDO UN APPROCCIO ITERATIVO MULTILIVELLO SANDRO BRASILE, GIOVANNI FORMICA, RAFFAELE CASCIARO Sommario. Il lavoro tratta della modellazione numerica di strutture scatolari o parzialmente intelaiate secondo una strategia multilivello global local: a livello globale, la struttura è vista come assemblaggio di pannelli interconnessi; a livello locale, ciascuno pannello è suddiviso in elementi finiti quadrangolari mediante discretizzazione disaccoppiata. La corrispondenza meccanica tra le due discretizzazioni è assicurata da condizioni integrali di interfaccia. Il processo di soluzione sfrutta entrambe le descrizioni nell ambito di una strategia iterativa multilivello global to local e local to global. La versatilità, robustezza ed efficienza dell approccio proposto sono evidenziate da alcuni risultati numerici relativi a strutture di medie e grandi dimensioni. 1. INTRODUZIONE Molte delle strutture che si incontrano in ingegneria civile possono essere descritte come scatolari, cioè composte da pannelli piani interconnessi a formare un organismo tridimensionale: in questa categoria rientra gran parte delle costruzioni in muratura, ma anche alcune tipologie di quelle in cemento armato. In questi casi, la caratterizzazione geometrica e meccanica della struttura si presenta complessa ed articolata sia per il gran numero di pannelli da considerare che per la presenza, all interno del singolo pannello, di vuoti, salti di spessore e discontinuità nelle caratteristiche meccaniche. Tutti questi dettagli influiscono in maniera determinante sulla risposta locale del pannello ma anche, sia pure in minor misura, sulla risposta globale della struttura e devono pertanto essere adeguatamente rappresentati. In termini di modellazione numerica, ciò comporta l uso di discretizzazioni estremamente fitte rispetto alle dimensioni complessive della struttura, tali da rendere l analisi particolarmente onerosa. Volendo una restituzione accurata tanto della risposta globale che di quella locale, risulta particolarmente efficiente la strategia di analisi multilivello, basata sull uso di più livelli di discretizzazione, a diverso grado di infittimento, che si avvicendano in un processo iterativo di soluzione. Nel caso in esame sono direttamente individuabili due livelli logici di discretizzazione, quello globale (rado) con la suddivisione della struttura in pannelli e quello locale (fitto) con l ulteriore suddivisione di ciascuno di questi in elementi finiti. Su questa base si vuole presentare un possibile approccio multilivello all analisi FEM di strutture scatolari. La descrizione è limitata ad un contesto elastico lineare, anche se la metodologia seguita e l implementazione messa a punto sono orientate, quanto meno in prospettiva, a contesti nonlineari. Sono di seguito descritti le caratteristiche generali della modellazione (sezione 2), l elemento finito base e l elemento pannello utilizzati nelle discretizzazioni fine e rada (sezioni 3 e 4) e l organizzazione dell analisi (sezione 5). Sono infine riportati i risultati di alcuni test numerici che mettono in luce la versatilità, robustezza ed efficienza dell approccio proposto.

3 Report LABMEC 33 2 z y x Figura 1. Schema global local. 2. DISCRETIZZAZIONE MULTILIVELLO In Figura 1 vengono schematizzate le caratteristiche generali della modellazione proposta e sono esplicitamente visibili i due livelli di descrizione globale e locale. A livello globale la struttura è descritta da un sistema di quote verticali e da un insieme di coordinate in pianta la cui intersezione individua la griglia di nodi utilizzata per la definizione dei pannelli. Questi ultimi sono visti come facce rettangolari individuate dai nodi di vertice e caratterizzate da uno spessore e da un disallineamento trasversale rispetto al piano dei nodi. Nel seguito i pannelli saranno denominati macroelementi per enfatizzare la presenza di una interpolazione globale degli spostamenti che fa di ciascun pannello un macroelemento finito. A livello locale, ciascun pannello è a sua volta suddiviso in elementi quadrangolari, individuati da una griglia locale di nodi e caratterizzati dalle proprietà del materiale. La discretizzazione del singolo pannellio è del tutto indipendente da quella degli altri, ma è unicamente legata al grado di accuratezza desiderata nella ricostruzione locale delle tensioni ed alla necessità di rappresentare eventuali dettagli quali variazioni di materiale opresenzadiaperture. Le due descrizioni globale e locale utilizzano, in generale, leggi di interpolazione diverse, legate alle convenienze specifiche. Tuttavia, il fatto che la cinematica del contorno dei pannelli possa essere definita sia in funzione dell interpolazione globale che di quella locale, consente di imporre un collegamento tra le due descrizioni, come si vedrà nella sezione L ELEMENTO FINITO Gli edifici scatolari sono caratterizzati tipologicamente dall assemblaggio di pannelli piani. In linea generale non è sempre possibile trascurare l aliquota di risposta fuori dal piano medio a vantaggio di quella puramente membranale. Ciò è legato in primo luogo allo spessore dei pannelli, non sempre piccolo rispetto alle dimensioni in piano, ed in

4 MODELLAZIONE FEM DI PANNELLI 3D SECONDO UN APPROCCIO ITERATIVO MULTILIVELLO3 secondo luogo alle caratteristiche geometriche interne ai pannelli (per esempio, maschi murari assimilabili a elementi più monodimensionali che bidimensionali). Dal punto di vista topologico, l elemento è un quadrilatero con otto nodi disposti ai quattro spigoli e nella mezzeria di ciascun lato. In particolare si tratta di un elemento piastra 3D implementato ad hoc per l analisi di piastre spesse o moderatamente sottili in regime di sforzo piano Formulazione mista assumed stress. È noto come elementi finiti compatibili basati su interpolazioni di sole variabili spostamento possono presentare in alcune circostanze fenomeni patologici con un degrado della restituzione in tensione, agirabile solo attraverso un uso di mesh estremamente fitte. Negli ultimi decenni, il problema è stato risolto adottando elementi ad alte prestazioni (HP) [5], [1], [3], derivati da formulazioni miste che usano interpolazioni, opportunamente tarate, in variabili sia spostamento sia tensione. L elemento finito che è stato utilizzato in questo lavoro segue un implementazione mista di tipo assumed stress, come descritta in [1]. L elemento si basa sul principio variazionale di Hellinger Reissner: Z 1 Π HR [u, σ] = Ω 2 σt E 1 σ + σ T Du ª W ext [u] =staz. (1) dove σ ed u rappresentano rispettivamente il campo delle tensioni e degli spostamenti, mentre E e D hanno rispettivamente il significato di operatore elastico ed operatore differenziale di compatibilità. Il termine W ext [u] rappresenta il lavoro dei carichi esterni: Z Z W ext [u] = u T b + u T t Ω Ω t Il modello ad elementi finiti viene ottenuto mediante discretizzazione dei campi di spostamento e di tensione, cioè: u e = Nd e ; σ e = P β e ; (2) in cui β e e d e rappresentano rispettivamente i parametri statici e cinematici a livello del singolo elemento, mentre P e N raccolgono le corrispondenti funzioni di forma. Introducendo l Equazione 2 nella 1 ed imponendo la stazionarietà si ottengono le equazioni: H e β e Q e d e = 0 A(Q T e β e f e )=0 in cui A è l operatore di assemblaggio e si èposto Z Z Z Z H e = P T E 1 P; Q e = P T DN; f e = N T b + N T t; Ω e Ω e Ω e Ω e Sostituendo a livello del singolo elemento l Equazione 3a nella 3b si ottiene la forma finale: A(K e d e f e )=0, K e = Q T e H 1 e Q e (4) E opportuno notare come l Equazione 4 sia formalmente identica a quella che si otterrebbe secondo il modello compatibile e ciò consente,aparità di costi computazionali, sia un maggior controllo sulla risposta dell elemento, sia una maggior accuratezza nella ricostruzione del campo delle tensioni. (3a) (3b)

5 Report LABMEC La descrizione cinematica. La caratterizzazione cinematica dell elemento in esame si basa complessivamente su 48 parametri. Ciò significa che l i esimo nodo governa 6 parametri, in riferimento ai tre assi coordinati: le tre traslazioni (u i, v i, w i )eletre rotazioni (θ i, α i, β i ) rispettivamente. Esplicitando l aliquota di spostamento u θ dovuta alle rotazioni contenute nel piano medio (drilling rotations), è possibile scrivere l interpolazione degli spostamenti nel riferimento master (ξ, η), v. Figura 2: u e (ξ, η) := u v w θ α β ª T = ud + u θ (5) dove u d = N d (ξ, η) d e ; u θ = N θ (ξ, η) θ e ; (6) essendo d e e θ e i vettori dei parametri nodali dell elemento d e := ª T u 1 v 1 w 1... u 8 v 8 w 8 α 1 β 1... α 8 β 8 ; θ e := ª T (7) θ 1... θ 8 Le funzioni di forma contenute in N d si ricavano dalle seguenti espressioni: 8X 8X 8X u d (ξ, η) = ψ i u i ; v d (ξ, η) = ψ i v i ; w(ξ, η) = ψ i w i ; i=1 α(ξ, η) = i=1 8X ψ i α i ; β(ξ, η) = i=1 8X ψ i β i ; dove le ψ i per i =1,...,8 rappresentano le tipiche funzioni di interpolazione della famiglia serendipity: i=1 i=1 ψ 1 = 1 4 (1 ξ)(1 η)( 1 η ξ); ψ ψ 3 = 1 4 (1 + ξ)(1 + η)( 1+η + ξ); ψ ψ 5 = 1 2 (1 ξ)(1 η2 ); 2 = 1 4 (1 + ξ)(1 η)( 1 η + ξ); 4 = 1 4 (1 ξ)(1 + η)( 1+η ξ); ψ 6 = 1 2 (1 ξ2 )(1 η); ψ 7 = 1 2 (1 + ξ)(1 η2 ); ψ 8 = 1 2 (1 ξ2 )(1 + η); Le drilling rotations possiedono una caratterizzazione leggermente più complessa. Il modo più semplice ed automatico per inserire tale parametro cinematico consiste nel definire dei termini di ordine superiore a quelli già contenuti nell interpolazione degli spostamenti membranali (u, v). Si consideri un lato dell elemento, per fissareleideeillatoη = 1. Pensando solo al regime membranale, su tale lato sono definiti sei spostamenti (u e v di ogni nodo) più le tre drilling rotations. Innanzitutto occorre imporre che in ogni nodo gli spostamenti u e v siano identicamente nulli, in virtù dell indipendenza che si vuole assicurare con l Equazione 5. Ciò naturalmente presuppone che il solo u d contenga i tre modi rigidi nel piano. A queste condizioni si aggiungono quelle connesse alle rotazioni. È possibile quindi scrivere la funzione che descrive lo spostamento del lato come: v θ = a 0 + a 1 ξ + a 2 ξ 2 + a 3 ξ 3 + a 4 ξ 4 + a 5 ξ 5 supponendo che su tale lato sia u θ = 0. Le sei costanti (a 0,...,a 5 ) si ottengono attraverso le sei condizioni al contorno di cui si dispone, cioè imponendo che si annullino gli

6 MODELLAZIONE FEM DI PANNELLI 3D SECONDO UN APPROCCIO ITERATIVO MULTILIVELLO5 Figura 2. Drilling rotations. spostamenti v nei tre nodi e che la derivata prima di v θ sia pari alla rotazione nei tre nodi. Lo stesso vale per il lato η = 1. In maniera analoga si ricava la funzione di forma della congiungente nodale riferita ai nodi di mezzo lato, salvo che qui la funzione v θ è di terzo grado: v θ = a 0 + a 1 ξ + a 2 ξ 2 + a 3 ξ 3 mentre su tale congiungente resta sempre u θ =0. Il tutto può essere ripetuto analogamente per i lati ξ = 1, ξ =0eξ = 1 ottenendo le analoghe funzioni per u θ,mentrev θ resta nulla su questi lati. Causa la notevole complessità delle funzioni ottenute se ne omette la forma finale. Per ottenere l andamento di u θ e v θ nell intero dominio basta interpolare le funzioni ottenute da un lato all altro dell elemento. Con riferimento a v θ, questo risulta definito da vθ 12, vθ 34 e vθ 68 rispettivamente sulle congiungenti nodali 1 2, 3 4e6 8. Si può assumere allora che lungo η, v θ vari in maniera quadratica, cioè: con v θ (ξ, η) =v 12 θ (ξ) F 1(η)+v 68 θ (ξ) F 2(η)+v 34 θ (ξ) F 3(η) (8) F 1 (η) = 1 2 η (η 1) ; F 2(η) = (η 1) (η +1); F 3 (η) = 1 η (η +1); 2 Le funzioni F 1, F 2 ed F 3 sono delle tipiche funzioni di interpolazione quadratica che assumono valore unitario sulla congiungente a cui si riferiscono e valore nullo sulle altre. Per u θ la procedura è completamente identica, cioè: con u θ (ξ, η) =u 41 θ (η) G 1(ξ)+u 57 θ (η) G 2(ξ)+u 23 θ (η) G 3(ξ) (9) G 1 (ξ) = 1 2 ξ (ξ 1) ; G 2(ξ) = (ξ 1) (ξ +1); G 3 (ξ) = 1 ξ (ξ +1); 2 Esplicitando le Equazioni 9 e 8 nelle rotazioni è possibile esprimere in forma definitiva l interpolazione degli spostamenti, dipendenti dalle sole drilling rotations: u θ (ξ, η) = 8X Ruθ i i ; v θ (ξ, η) = i=1 8X Rvθ i i ; (10) i=1

7 Report LABMEC La descrizione tensionale. Il punto cruciale dell implementazione mista assumed stress risiede nella scelta delle funzioni di interpolazione delle tensioni. Innanzitutto occorre soddisfare la condizione di rango: rank(q e )=n u n r (11) in cui n u ed n r rappresentano rispettivamente il numero totale dei gradi di libertà edil numerodeimodirigididell elemento. Ciòèconnessoall espressionedellamatricenelle Equazioni 4, per la quale il rango di Q e non deve essere minore della dimensione della matrice H e. Quindi se n s rappresenta la dimensione di β e deve essere: n s n u n r Il campo delle tensioni dell elemento in esame è stato scelto in maniera da cogliere correttamente la rappresentazione tensionale nei casi tipici, soprattutto laddove gli elementi compatibili falliscono. L interpolazione delle tensioni adottata è la seguente: σ e = P β e (12) dove σ e := ª T N x N y N xy M x M y M xy T x T y ; β e := ª T β 1... β 52 mentre la matrice delle funzioni di forma P viene ricavata dalle seguenti espressioni N x =2(η 3 β 12 + ξηβ 5 + η 2 ξβ 11 + η 3 ξβ 13 + β 1 + ξβ 2 + ηβ 3 + η 4 ξβ 15 + η 2 β 8 + η 4 β 14 )c 1 N y =2(ξηβ 20 + ξ 4 β 29 + ξ 3 ηβ 28 + ξ 4 ηβ 30 + β 16 + ξ 2 ηβ 26 + ηβ 18 + ξ 2 β 23 + ξβ 17 + ξ 3 β 27 )c 1 N xy =2(ξηβ 35 + η 2 ξβ 42 + ηβ 33 + ξ 2 ηβ 41 + ξβ 32 + β 31 + η 2 β 40 + ξ 2 β 39)c 1 M x =2/3(ηβ 22 + ξηβ 24 + β 19 + ξ 2 2 β 25 + ξβ 21 )c 1 M y =2/3(ξηβ 9 + β 4 + η 2 2 β 10 + ηβ 7 + ξβ 6 )c 1 M xy =2/3(ηβ 37 + ξβ 36 + η 2 β 44 + ξ 2 2 β 43 + β 34 + ξηβ 38)c 1 T x =2(ξηβ 48 + ξβ 46 + ηβ 47 + β 45)c 1 T y =2(ξηβ 52 + ξβ 50 + ηβ 51 + β 49 )c 1 con c 1 pari al semispessore della piastra. Oltre al rispetto della condizione di rango citata, è stata condotta un analisi agli autovalori della matrice di rigidezza dell elemento senza riscontrare modi spuri ad energia zero. Sono stati poi condotti i patch tests sia in regime membranale che flessionale anche con assemblaggi a geometria distorta con esiti positivi, che per brevità non vengono qui riportati. 4. IL PANNELLO Come si è detto, il singolo pannello (k esimo) è modellato localmente come insieme di elementi finiti quadrangolari ma è anche visto come macroelemento nel modello globale della struttura. Nel primo caso è descritto da un vettore locale u k che raccoglie gli spostamenti di tutti i nodi della suddivisione interna, nel secondo da un vettore globale di spostamenti u.

8 MODELLAZIONE FEM DI PANNELLI 3D SECONDO UN APPROCCIO ITERATIVO MULTILIVELLO La cinematica. L uso contemporaneo di modellazioni locali e globali comporta una doppia descrizione degli spostamenti dei contorni dei pannelli, quella locale ū[ξ] legata alle funzioni di forma di ciascun elemento, quella globale u[ξ] derivante dalle leggi di interpolazione direttamente assunte per il macroelemento. Una corrispondenza tra le due descrizioni può essere ottenuta dalla relazione Z (ū[ξ] u[ξ]) T δt[ξ] dξ =0 δt[ξ] k =1..n (13) Ω k in cui Ω k è il contorno del pannello k esimo e t[ξ] rappresentano le trazioni di bordo. Introducendo nella Equazione 13 le discretizzazioni: ū[ξ] =N k [ξ] ū k ; u[ξ] =M k [ξ] u; t k [ξ] =P k [ξ] t; (14) dove i vettori ū k, u e t raccolgono i parametri locali e globali che controllano gli spostamenti e le trazioni al contorno del macroelemento, si ottiene l espressione in termini discreti: (ū T k CT 1k ut C T 2k )δt k =0 δt k k =1..n (15) dove Z Z C 1k = P T k [ξ]n k[ξ] dξ; C 2k = P T k [ξ]m k[ξ] dξ; Ω k Ω k Le matrici C 1k e C 2k rappresentano delle matrici cosiddette di connessione in quanto connettono, in termini di lavoro, lo spazio delle trazioni sul contorno a quello degli spostamenti rispettivamente della descrizione interna ū[ξ] edesternau[ξ] del pannello. Attraverso l Equazione 15 è possibile legare direttamente le variabili locali di bordo definite dagli elementi alle variabili globali definite dal macroelemento, ricavando un espressione finale del tipo ū k = A k u k =1,...,n (16) La scelta più semplicedit k è quella cosiddetta node force collocation, cioèuncampo costituito da forze concentrate in corrispondenza dei nodi di contorno del pannello. Ciò consente una notevole risparmio computazionale, in quanto C 1k diventa l operatore identità mentrec 2k è ottenibile valutando semplicemente la matrice M k [ξ] sui nodi di contorno. La rappresentazione cinematica del contorno utilizzata sfrutta quella definita dell elemento finito stesso. Il macroelemento quindi, al pari dell elemento, possiede 6 parametri cinematici per ciascuno degli otto nodi; quindi, nei casi in cui le porzioni vengano discretizzate mediante un solo elemento finito è possibile confondere livello locale con il livello globale Le matrici di rigidezza. Alla base del procedimento di analisi sta la possibilità di trattare separatamente la struttura globale, descritta dal vettore spostamento u, ed il singolo k esimo pannello, descritto dal vettore locale u k. Le matrici di rigidezza elastica globale K elocalek k, che legano gli spostamenti ai corrispondenti vettori di carico attraverso le equazioni Ku = r (17) K k u k = r k (18)

9 Report LABMEC 33 8 sono legate tra loro dalla condizione 16. La 18 può essere riscritta nella forma ½ ¾ ½ ¾ Kii K ie ui ri K T = (19) ie K ee u k e r k e k incuisonostatiseparatiglispostamentideinodiinterniedibordo,raccoltineivettori u i ed u e, coincidente quest ultimo con il vettore ū k utilizzato nel paragrafo precedente. Eliminando per condensazione i primi, si ricava K k ū k = r k (20) dove K k := K ee K T iek 1 ii K ie (21) k r k := r e K T iek 1 ii r ª i (22) k Pertanto, attraverso l Equazione 16 si ottengono le espressioni K = X k A T k K k A k (23) r = X k A T k r k (24) Tali espressioni hanno una struttura molto semplice: in K k e r k compaiono le condensazioni dei contributi delle variabili interne del pannello su quelle di bordo; la matrice A completa la descrizione attraverso un operazione di proiezione dallo spazio degli spostamenti locali di bordo a quelli globali, definiti dall interpolazione u[ξ] = M[ξ] u. Le Equazioni 23 e 24 definiscono le leggi di assemblaggio dei contributi dei pannelli alla matrice di rigidezza ed al vettore delle forze nodali della struttura. 5. IL PROCESSO DI ANALISI La caratteristica essenziale del metodo multilivello è quella di utilizzare contemporaneamente più modellazioni a diverso grado di infittimento. La soluzione è ottenuta attraverso un processo iterativo che coinvolge, in successione e secondo una strategia adattativa, tutti i livelli di modellazione e tende ad equilibrare la risposta della struttura. I diversi livelli comunicano tra loro trasferendo sia le correzioni man mano apportate alla soluzione che lo squilibrio residuo. Si ottiene così un processo estremamente efficiente in cui la singola iterazione opera sempre in condizioni di massima efficacia [4]. Nel contesto in esame, il metodo si sviluppa su soli due livelli ed utilizza due diversi cicli iterativi. Il primo è rivolto ad azzerare il residuo all equilibrio r i suinodiinterni dellameshadelementifiniti che descrive localmente il singolo pannello. A partire da una stima iniziale u (j=0) (ad esempio, u (0) = 0) degli spostamenti globali u e quindi, tramite la 16, partendo da un valore noto degli spostamenti di bordo u e, si ottengono gli spostamenti interni al pannello u i attraverso il seguente schema iterativo r h i := s i[u h i, u e] f i u h+1 i = u h i K 1 ii rh i, per h =1, 2,... (25) dove, omettendo per brevità l indice k, f i rappresentano le forze nodali assegnate sui nodi interni del pannello, s i [u h i, u e] la risposta strutturale conseguente agli spostamenti u h i ed u e e K 1 ii una ragionevole approssimazione della K 1 ii.l iterazioneè condotta a variabili di bordo u e fissateeapartiredaunastimadellevariabiliu h=1 i, ottenibile per esempio

10 MODELLAZIONE FEM DI PANNELLI 3D SECONDO UN APPROCCIO ITERATIVO MULTILIVELLO9 sulla base dell interpolazione usata per il macroelemento. Il ciclo termina quando r i diventa minore della tolleranza prefissata. Lo squilibrio sulle equazioni di bordo r k restanonnulloepuò essere trasferito nel ciclo iterativo che opera sul modello globale della struttura mediante l Equazione 24. Si ottiene r (j) := X A T k r k (26) k che viene utilizzato per correggere gli spostamenti globali: u (j+1) = u (j) K 1 r (j) (27) essendo K 1 una stima della matrice globale K 1 ottenuta tramite la 23. In un contesto lineare, il ciclo iterativo si completa, ovviamente, in una sola iterazione se le matrici di iterazione K 1 e K 1 ii sono ricavate da una decomposizione esatta delle matrici K ii e K. Più iterazioni sono invece necessarie se si usano matrici approssimate (potrebbe risultare conveniente utilizzare decomposizioni incomplete delle due matrici). L organizzazione iterativa èinfine indispensabile se si introducono comportamenti non lineari nella risposta locale degli elementi. 6. RISULTATI NUMERICI 6.1. Trave di Cook. La geometria rappresentata in figura 3 è nota in lettaratura come trave di Cook [2]. La condizione di carico consiste in una tensione tangenziale all estremo libero, in modo da indurre una forte deformazione a taglio. Lo spessore della lastra e il modulo elastico sono unitari, mentre il coefficiente di Poisson èparia0.33. Viene riportato un confronto tra l analisi con mesh convenzionale dell elemento proposto e l elemento Flex8 [1]. In particolare, viene confrontato lo spostamento verticale del punto a (v. Figura 3); non essendo disponibile una soluzione analitica, come valore di riferimento si assume quello ottenuto numericamente sulla base di una mesh molto fitta, e cioè Il confronto è svolto per diverse mesh ed è riportato in Tabella. In Figura 3 viene, invece, riportato il confronto in termini di andamento delle tensioni. Mesh El. Proposto El. Flex8 2x x x Mensola di Timoshenko. Il test proposto è quello riportato nella Figura 4 e consiste in una mensola composta da tre macroelementi. La soluzione esatta di tale problema èdovutaatimoshenkoegoodierin[6]: σ x =0 σ y = 12 P (L x) D3 Ã y D 2! τ = 6 P (y D) y D3 Con riferimento alla Figura 4 si assume D = 8.0, L 1 = 4.0, L 2 = 4.8, L 3 = 8.0, E = , ν =0.3, P = Sempre in Figura 4 viene riportato l andamento

11 Report LABMEC Elemento proposto Elemento Flex8 SIGMA x SIGMA y TAU Figura 3. Tensioni trave di Cook. Confronto elemento proposto e Flex8 con mesh 8x8. della σ y. Da notare che volutamente si èimpostoilnon-matching deinodilocalsulle interfacce, al fine di valutare il comportamento in queste zone. P M3 M2 M1 L1 L2 L3 L D Figura 4. Mensola di Timoshenko.

12 MODELLAZIONE FEM DI PANNELLI 3D SECONDO UN APPROCCIO ITERATIVO MULTILIVELLO Analisi di un edificio scatolare. A conclusione della trattazione viene proposto un caso in scala reale, costituito da un edificioscatolare. InFigura5vengonorappresentate due viste prospettiche mentre nelle Figure 6 e 7 sono riportate le piante dei livelli costituenti l edificio. La muratura presa in esame è del tipo in mattoni, con peso dell unità di volume pari a 1800 Kg. I solai presenti sono del tipo in legno con soletta, con peso proprio pari a m Kg, e sono orditi come rappresentato nelle piante. Viene inoltre tenuto conto di un m 2 carico di esercizio pari a Kg. m 2 Viene quindi effettuata l analisi elastica facendo uso dei macroelementi e nelle Figure 8 sono riportati i risultati ottenuti in termini di mappature tensionali. Figura 5. Viste prospettiche dell edificio ,4 4,7 3, ,4 4,7 3,45 0, ,4 4,45 4,35 5, , ,4 4,45 4,35 5, ,4 5,35 0,4 6, ,4 5,35 0,4 6, Figura 6. Pianta del primo e secondo piano.

13 Report LABMEC ,4 0,3 13 4, ,6 3, , , ,67 8 5,85 5,85 5,85 4,83 5,93 9 4,7 10 5,6 11 4, , , ,4 5,6 5,6 5,6 5,67 5,68 0,3 5, , , ,4 5 4, ,88 8 0,3 0,4 0,4 0,4 6,68 8 0,3 5,85 0,3 0,3 5,85 5,85 6,85 5, Figura 7. Pianta del terzo e quarto piano. Figura 8. Mappature tensionali della tensione verticale. 7. CONCLUSIONI È stata presentata una modellazione ad elementi finiti di strutture scatolari, orientata all analisi di edifici a setti portanti in muratura o cemento armato ed organizzata attraverso due diversi livelli di discretizzazione, quello globale definito sull intera struttura vista come insieme di pannelli e quello locale definito sui singoli pannelli, descritti autonomamente da un reticolo indipendente di elementi finiti. Questa organizzazione è utilizzata all interno di un processo iterativo multilivello. La trattazione è volutamente qui limitata ad un contestoelasticolineare.tuttaviala strategia di analisi proposta puù essere facilmente estesa e si presta particolarmente ad un contesto non lineare basato su descrizioni più articolate degli elementi che compongono i pannelli, che tengano conto del possibile sviluppo di deformazioni plastiche e fessurazioni.

14 MODELLAZIONE FEM DI PANNELLI 3D SECONDO UN APPROCCIO ITERATIVO MULTILIVELLO13 Riferimenti bibliografici [1] A. Bilotta, R. Casciaro. Assumed stress formulation of high order quadrilateral elements with an improved in plane bending behaviour. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 191: [2] R.D. Cook. Ways to improve the bending response of finite elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 11: [3] C.A. Felippa, B. Haugen, C. Militello. Algoritmic aspects of adaptive multigrid finite element analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 40: [4] S. Lopez, R. Casciaro. Algoritmic aspects of adaptive multigrid finite element analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 40: [5] T.T.H. Pian, P. Tong. Relations Between Incompatible Displacement Model and Hybrid stress model. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 22: [6] S.P. Timoshenko, J.N. Goodier. Theory of Elasticity, New York: McGraw Hill.