MODELLAZIONE FEM DI PANNELLI 3D SECONDO UN APPROCCIO ITERATIVO MULTILIVELLO

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "MODELLAZIONE FEM DI PANNELLI 3D SECONDO UN APPROCCIO ITERATIVO MULTILIVELLO"

Transcript

1 Modellazione FEM di pannelli 3D secondo un approccio iterativo multilivello Sandro Brasile, Giovanni Formica, Raffaele Casciaro Report n. 33 Dicembre 3 Laboratorio di Meccanica Computazionale Dipartimento di Strutture UNICAL Rende (Cs) Italy tel: fax: e mail:

2 MODELLAZIONE FEM DI PANNELLI 3D SECONDO UN APPROCCIO ITERATIVO MULTILIVELLO SANDRO BRASILE, GIOVANNI FORMICA, RAFFAELE CASCIARO Sommario. Il lavoro tratta della modellazione numerica di strutture scatolari o parzialmente intelaiate secondo una strategia multilivello global local: a livello globale, la struttura è vista come assemblaggio di pannelli interconnessi; a livello locale, ciascuno pannello è suddiviso in elementi finiti quadrangolari mediante discretizzazione disaccoppiata. La corrispondenza meccanica tra le due discretizzazioni è assicurata da condizioni integrali di interfaccia. Il processo di soluzione sfrutta entrambe le descrizioni nell ambito di una strategia iterativa multilivello global to local e local to global. La versatilità, robustezza ed efficienza dell approccio proposto sono evidenziate da alcuni risultati numerici relativi a strutture di medie e grandi dimensioni. 1. INTRODUZIONE Molte delle strutture che si incontrano in ingegneria civile possono essere descritte come scatolari, cioè composte da pannelli piani interconnessi a formare un organismo tridimensionale: in questa categoria rientra gran parte delle costruzioni in muratura, ma anche alcune tipologie di quelle in cemento armato. In questi casi, la caratterizzazione geometrica e meccanica della struttura si presenta complessa ed articolata sia per il gran numero di pannelli da considerare che per la presenza, all interno del singolo pannello, di vuoti, salti di spessore e discontinuità nelle caratteristiche meccaniche. Tutti questi dettagli influiscono in maniera determinante sulla risposta locale del pannello ma anche, sia pure in minor misura, sulla risposta globale della struttura e devono pertanto essere adeguatamente rappresentati. In termini di modellazione numerica, ciò comporta l uso di discretizzazioni estremamente fitte rispetto alle dimensioni complessive della struttura, tali da rendere l analisi particolarmente onerosa. Volendo una restituzione accurata tanto della risposta globale che di quella locale, risulta particolarmente efficiente la strategia di analisi multilivello, basata sull uso di più livelli di discretizzazione, a diverso grado di infittimento, che si avvicendano in un processo iterativo di soluzione. Nel caso in esame sono direttamente individuabili due livelli logici di discretizzazione, quello globale (rado) con la suddivisione della struttura in pannelli e quello locale (fitto) con l ulteriore suddivisione di ciascuno di questi in elementi finiti. Su questa base si vuole presentare un possibile approccio multilivello all analisi FEM di strutture scatolari. La descrizione è limitata ad un contesto elastico lineare, anche se la metodologia seguita e l implementazione messa a punto sono orientate, quanto meno in prospettiva, a contesti nonlineari. Sono di seguito descritti le caratteristiche generali della modellazione (sezione 2), l elemento finito base e l elemento pannello utilizzati nelle discretizzazioni fine e rada (sezioni 3 e 4) e l organizzazione dell analisi (sezione 5). Sono infine riportati i risultati di alcuni test numerici che mettono in luce la versatilità, robustezza ed efficienza dell approccio proposto.

3 Report LABMEC 33 2 z y x Figura 1. Schema global local. 2. DISCRETIZZAZIONE MULTILIVELLO In Figura 1 vengono schematizzate le caratteristiche generali della modellazione proposta e sono esplicitamente visibili i due livelli di descrizione globale e locale. A livello globale la struttura è descritta da un sistema di quote verticali e da un insieme di coordinate in pianta la cui intersezione individua la griglia di nodi utilizzata per la definizione dei pannelli. Questi ultimi sono visti come facce rettangolari individuate dai nodi di vertice e caratterizzate da uno spessore e da un disallineamento trasversale rispetto al piano dei nodi. Nel seguito i pannelli saranno denominati macroelementi per enfatizzare la presenza di una interpolazione globale degli spostamenti che fa di ciascun pannello un macroelemento finito. A livello locale, ciascun pannello è a sua volta suddiviso in elementi quadrangolari, individuati da una griglia locale di nodi e caratterizzati dalle proprietà del materiale. La discretizzazione del singolo pannellio è del tutto indipendente da quella degli altri, ma è unicamente legata al grado di accuratezza desiderata nella ricostruzione locale delle tensioni ed alla necessità di rappresentare eventuali dettagli quali variazioni di materiale opresenzadiaperture. Le due descrizioni globale e locale utilizzano, in generale, leggi di interpolazione diverse, legate alle convenienze specifiche. Tuttavia, il fatto che la cinematica del contorno dei pannelli possa essere definita sia in funzione dell interpolazione globale che di quella locale, consente di imporre un collegamento tra le due descrizioni, come si vedrà nella sezione L ELEMENTO FINITO Gli edifici scatolari sono caratterizzati tipologicamente dall assemblaggio di pannelli piani. In linea generale non è sempre possibile trascurare l aliquota di risposta fuori dal piano medio a vantaggio di quella puramente membranale. Ciò è legato in primo luogo allo spessore dei pannelli, non sempre piccolo rispetto alle dimensioni in piano, ed in

4 MODELLAZIONE FEM DI PANNELLI 3D SECONDO UN APPROCCIO ITERATIVO MULTILIVELLO3 secondo luogo alle caratteristiche geometriche interne ai pannelli (per esempio, maschi murari assimilabili a elementi più monodimensionali che bidimensionali). Dal punto di vista topologico, l elemento è un quadrilatero con otto nodi disposti ai quattro spigoli e nella mezzeria di ciascun lato. In particolare si tratta di un elemento piastra 3D implementato ad hoc per l analisi di piastre spesse o moderatamente sottili in regime di sforzo piano Formulazione mista assumed stress. È noto come elementi finiti compatibili basati su interpolazioni di sole variabili spostamento possono presentare in alcune circostanze fenomeni patologici con un degrado della restituzione in tensione, agirabile solo attraverso un uso di mesh estremamente fitte. Negli ultimi decenni, il problema è stato risolto adottando elementi ad alte prestazioni (HP) [5], [1], [3], derivati da formulazioni miste che usano interpolazioni, opportunamente tarate, in variabili sia spostamento sia tensione. L elemento finito che è stato utilizzato in questo lavoro segue un implementazione mista di tipo assumed stress, come descritta in [1]. L elemento si basa sul principio variazionale di Hellinger Reissner: Z 1 Π HR [u, σ] = Ω 2 σt E 1 σ + σ T Du ª W ext [u] =staz. (1) dove σ ed u rappresentano rispettivamente il campo delle tensioni e degli spostamenti, mentre E e D hanno rispettivamente il significato di operatore elastico ed operatore differenziale di compatibilità. Il termine W ext [u] rappresenta il lavoro dei carichi esterni: Z Z W ext [u] = u T b + u T t Ω Ω t Il modello ad elementi finiti viene ottenuto mediante discretizzazione dei campi di spostamento e di tensione, cioè: u e = Nd e ; σ e = P β e ; (2) in cui β e e d e rappresentano rispettivamente i parametri statici e cinematici a livello del singolo elemento, mentre P e N raccolgono le corrispondenti funzioni di forma. Introducendo l Equazione 2 nella 1 ed imponendo la stazionarietà si ottengono le equazioni: H e β e Q e d e = 0 A(Q T e β e f e )=0 in cui A è l operatore di assemblaggio e si èposto Z Z Z Z H e = P T E 1 P; Q e = P T DN; f e = N T b + N T t; Ω e Ω e Ω e Ω e Sostituendo a livello del singolo elemento l Equazione 3a nella 3b si ottiene la forma finale: A(K e d e f e )=0, K e = Q T e H 1 e Q e (4) E opportuno notare come l Equazione 4 sia formalmente identica a quella che si otterrebbe secondo il modello compatibile e ciò consente,aparità di costi computazionali, sia un maggior controllo sulla risposta dell elemento, sia una maggior accuratezza nella ricostruzione del campo delle tensioni. (3a) (3b)

5 Report LABMEC La descrizione cinematica. La caratterizzazione cinematica dell elemento in esame si basa complessivamente su 48 parametri. Ciò significa che l i esimo nodo governa 6 parametri, in riferimento ai tre assi coordinati: le tre traslazioni (u i, v i, w i )eletre rotazioni (θ i, α i, β i ) rispettivamente. Esplicitando l aliquota di spostamento u θ dovuta alle rotazioni contenute nel piano medio (drilling rotations), è possibile scrivere l interpolazione degli spostamenti nel riferimento master (ξ, η), v. Figura 2: u e (ξ, η) := u v w θ α β ª T = ud + u θ (5) dove u d = N d (ξ, η) d e ; u θ = N θ (ξ, η) θ e ; (6) essendo d e e θ e i vettori dei parametri nodali dell elemento d e := ª T u 1 v 1 w 1... u 8 v 8 w 8 α 1 β 1... α 8 β 8 ; θ e := ª T (7) θ 1... θ 8 Le funzioni di forma contenute in N d si ricavano dalle seguenti espressioni: 8X 8X 8X u d (ξ, η) = ψ i u i ; v d (ξ, η) = ψ i v i ; w(ξ, η) = ψ i w i ; i=1 α(ξ, η) = i=1 8X ψ i α i ; β(ξ, η) = i=1 8X ψ i β i ; dove le ψ i per i =1,...,8 rappresentano le tipiche funzioni di interpolazione della famiglia serendipity: i=1 i=1 ψ 1 = 1 4 (1 ξ)(1 η)( 1 η ξ); ψ ψ 3 = 1 4 (1 + ξ)(1 + η)( 1+η + ξ); ψ ψ 5 = 1 2 (1 ξ)(1 η2 ); 2 = 1 4 (1 + ξ)(1 η)( 1 η + ξ); 4 = 1 4 (1 ξ)(1 + η)( 1+η ξ); ψ 6 = 1 2 (1 ξ2 )(1 η); ψ 7 = 1 2 (1 + ξ)(1 η2 ); ψ 8 = 1 2 (1 ξ2 )(1 + η); Le drilling rotations possiedono una caratterizzazione leggermente più complessa. Il modo più semplice ed automatico per inserire tale parametro cinematico consiste nel definire dei termini di ordine superiore a quelli già contenuti nell interpolazione degli spostamenti membranali (u, v). Si consideri un lato dell elemento, per fissareleideeillatoη = 1. Pensando solo al regime membranale, su tale lato sono definiti sei spostamenti (u e v di ogni nodo) più le tre drilling rotations. Innanzitutto occorre imporre che in ogni nodo gli spostamenti u e v siano identicamente nulli, in virtù dell indipendenza che si vuole assicurare con l Equazione 5. Ciò naturalmente presuppone che il solo u d contenga i tre modi rigidi nel piano. A queste condizioni si aggiungono quelle connesse alle rotazioni. È possibile quindi scrivere la funzione che descrive lo spostamento del lato come: v θ = a 0 + a 1 ξ + a 2 ξ 2 + a 3 ξ 3 + a 4 ξ 4 + a 5 ξ 5 supponendo che su tale lato sia u θ = 0. Le sei costanti (a 0,...,a 5 ) si ottengono attraverso le sei condizioni al contorno di cui si dispone, cioè imponendo che si annullino gli

6 MODELLAZIONE FEM DI PANNELLI 3D SECONDO UN APPROCCIO ITERATIVO MULTILIVELLO5 Figura 2. Drilling rotations. spostamenti v nei tre nodi e che la derivata prima di v θ sia pari alla rotazione nei tre nodi. Lo stesso vale per il lato η = 1. In maniera analoga si ricava la funzione di forma della congiungente nodale riferita ai nodi di mezzo lato, salvo che qui la funzione v θ è di terzo grado: v θ = a 0 + a 1 ξ + a 2 ξ 2 + a 3 ξ 3 mentre su tale congiungente resta sempre u θ =0. Il tutto può essere ripetuto analogamente per i lati ξ = 1, ξ =0eξ = 1 ottenendo le analoghe funzioni per u θ,mentrev θ resta nulla su questi lati. Causa la notevole complessità delle funzioni ottenute se ne omette la forma finale. Per ottenere l andamento di u θ e v θ nell intero dominio basta interpolare le funzioni ottenute da un lato all altro dell elemento. Con riferimento a v θ, questo risulta definito da vθ 12, vθ 34 e vθ 68 rispettivamente sulle congiungenti nodali 1 2, 3 4e6 8. Si può assumere allora che lungo η, v θ vari in maniera quadratica, cioè: con v θ (ξ, η) =v 12 θ (ξ) F 1(η)+v 68 θ (ξ) F 2(η)+v 34 θ (ξ) F 3(η) (8) F 1 (η) = 1 2 η (η 1) ; F 2(η) = (η 1) (η +1); F 3 (η) = 1 η (η +1); 2 Le funzioni F 1, F 2 ed F 3 sono delle tipiche funzioni di interpolazione quadratica che assumono valore unitario sulla congiungente a cui si riferiscono e valore nullo sulle altre. Per u θ la procedura è completamente identica, cioè: con u θ (ξ, η) =u 41 θ (η) G 1(ξ)+u 57 θ (η) G 2(ξ)+u 23 θ (η) G 3(ξ) (9) G 1 (ξ) = 1 2 ξ (ξ 1) ; G 2(ξ) = (ξ 1) (ξ +1); G 3 (ξ) = 1 ξ (ξ +1); 2 Esplicitando le Equazioni 9 e 8 nelle rotazioni è possibile esprimere in forma definitiva l interpolazione degli spostamenti, dipendenti dalle sole drilling rotations: u θ (ξ, η) = 8X Ruθ i i ; v θ (ξ, η) = i=1 8X Rvθ i i ; (10) i=1

7 Report LABMEC La descrizione tensionale. Il punto cruciale dell implementazione mista assumed stress risiede nella scelta delle funzioni di interpolazione delle tensioni. Innanzitutto occorre soddisfare la condizione di rango: rank(q e )=n u n r (11) in cui n u ed n r rappresentano rispettivamente il numero totale dei gradi di libertà edil numerodeimodirigididell elemento. Ciòèconnessoall espressionedellamatricenelle Equazioni 4, per la quale il rango di Q e non deve essere minore della dimensione della matrice H e. Quindi se n s rappresenta la dimensione di β e deve essere: n s n u n r Il campo delle tensioni dell elemento in esame è stato scelto in maniera da cogliere correttamente la rappresentazione tensionale nei casi tipici, soprattutto laddove gli elementi compatibili falliscono. L interpolazione delle tensioni adottata è la seguente: σ e = P β e (12) dove σ e := ª T N x N y N xy M x M y M xy T x T y ; β e := ª T β 1... β 52 mentre la matrice delle funzioni di forma P viene ricavata dalle seguenti espressioni N x =2(η 3 β 12 + ξηβ 5 + η 2 ξβ 11 + η 3 ξβ 13 + β 1 + ξβ 2 + ηβ 3 + η 4 ξβ 15 + η 2 β 8 + η 4 β 14 )c 1 N y =2(ξηβ 20 + ξ 4 β 29 + ξ 3 ηβ 28 + ξ 4 ηβ 30 + β 16 + ξ 2 ηβ 26 + ηβ 18 + ξ 2 β 23 + ξβ 17 + ξ 3 β 27 )c 1 N xy =2(ξηβ 35 + η 2 ξβ 42 + ηβ 33 + ξ 2 ηβ 41 + ξβ 32 + β 31 + η 2 β 40 + ξ 2 β 39)c 1 M x =2/3(ηβ 22 + ξηβ 24 + β 19 + ξ 2 2 β 25 + ξβ 21 )c 1 M y =2/3(ξηβ 9 + β 4 + η 2 2 β 10 + ηβ 7 + ξβ 6 )c 1 M xy =2/3(ηβ 37 + ξβ 36 + η 2 β 44 + ξ 2 2 β 43 + β 34 + ξηβ 38)c 1 T x =2(ξηβ 48 + ξβ 46 + ηβ 47 + β 45)c 1 T y =2(ξηβ 52 + ξβ 50 + ηβ 51 + β 49 )c 1 con c 1 pari al semispessore della piastra. Oltre al rispetto della condizione di rango citata, è stata condotta un analisi agli autovalori della matrice di rigidezza dell elemento senza riscontrare modi spuri ad energia zero. Sono stati poi condotti i patch tests sia in regime membranale che flessionale anche con assemblaggi a geometria distorta con esiti positivi, che per brevità non vengono qui riportati. 4. IL PANNELLO Come si è detto, il singolo pannello (k esimo) è modellato localmente come insieme di elementi finiti quadrangolari ma è anche visto come macroelemento nel modello globale della struttura. Nel primo caso è descritto da un vettore locale u k che raccoglie gli spostamenti di tutti i nodi della suddivisione interna, nel secondo da un vettore globale di spostamenti u.

8 MODELLAZIONE FEM DI PANNELLI 3D SECONDO UN APPROCCIO ITERATIVO MULTILIVELLO La cinematica. L uso contemporaneo di modellazioni locali e globali comporta una doppia descrizione degli spostamenti dei contorni dei pannelli, quella locale ū[ξ] legata alle funzioni di forma di ciascun elemento, quella globale u[ξ] derivante dalle leggi di interpolazione direttamente assunte per il macroelemento. Una corrispondenza tra le due descrizioni può essere ottenuta dalla relazione Z (ū[ξ] u[ξ]) T δt[ξ] dξ =0 δt[ξ] k =1..n (13) Ω k in cui Ω k è il contorno del pannello k esimo e t[ξ] rappresentano le trazioni di bordo. Introducendo nella Equazione 13 le discretizzazioni: ū[ξ] =N k [ξ] ū k ; u[ξ] =M k [ξ] u; t k [ξ] =P k [ξ] t; (14) dove i vettori ū k, u e t raccolgono i parametri locali e globali che controllano gli spostamenti e le trazioni al contorno del macroelemento, si ottiene l espressione in termini discreti: (ū T k CT 1k ut C T 2k )δt k =0 δt k k =1..n (15) dove Z Z C 1k = P T k [ξ]n k[ξ] dξ; C 2k = P T k [ξ]m k[ξ] dξ; Ω k Ω k Le matrici C 1k e C 2k rappresentano delle matrici cosiddette di connessione in quanto connettono, in termini di lavoro, lo spazio delle trazioni sul contorno a quello degli spostamenti rispettivamente della descrizione interna ū[ξ] edesternau[ξ] del pannello. Attraverso l Equazione 15 è possibile legare direttamente le variabili locali di bordo definite dagli elementi alle variabili globali definite dal macroelemento, ricavando un espressione finale del tipo ū k = A k u k =1,...,n (16) La scelta più semplicedit k è quella cosiddetta node force collocation, cioèuncampo costituito da forze concentrate in corrispondenza dei nodi di contorno del pannello. Ciò consente una notevole risparmio computazionale, in quanto C 1k diventa l operatore identità mentrec 2k è ottenibile valutando semplicemente la matrice M k [ξ] sui nodi di contorno. La rappresentazione cinematica del contorno utilizzata sfrutta quella definita dell elemento finito stesso. Il macroelemento quindi, al pari dell elemento, possiede 6 parametri cinematici per ciascuno degli otto nodi; quindi, nei casi in cui le porzioni vengano discretizzate mediante un solo elemento finito è possibile confondere livello locale con il livello globale Le matrici di rigidezza. Alla base del procedimento di analisi sta la possibilità di trattare separatamente la struttura globale, descritta dal vettore spostamento u, ed il singolo k esimo pannello, descritto dal vettore locale u k. Le matrici di rigidezza elastica globale K elocalek k, che legano gli spostamenti ai corrispondenti vettori di carico attraverso le equazioni Ku = r (17) K k u k = r k (18)

9 Report LABMEC 33 8 sono legate tra loro dalla condizione 16. La 18 può essere riscritta nella forma ½ ¾ ½ ¾ Kii K ie ui ri K T = (19) ie K ee u k e r k e k incuisonostatiseparatiglispostamentideinodiinterniedibordo,raccoltineivettori u i ed u e, coincidente quest ultimo con il vettore ū k utilizzato nel paragrafo precedente. Eliminando per condensazione i primi, si ricava K k ū k = r k (20) dove K k := K ee K T iek 1 ii K ie (21) k r k := r e K T iek 1 ii r ª i (22) k Pertanto, attraverso l Equazione 16 si ottengono le espressioni K = X k A T k K k A k (23) r = X k A T k r k (24) Tali espressioni hanno una struttura molto semplice: in K k e r k compaiono le condensazioni dei contributi delle variabili interne del pannello su quelle di bordo; la matrice A completa la descrizione attraverso un operazione di proiezione dallo spazio degli spostamenti locali di bordo a quelli globali, definiti dall interpolazione u[ξ] = M[ξ] u. Le Equazioni 23 e 24 definiscono le leggi di assemblaggio dei contributi dei pannelli alla matrice di rigidezza ed al vettore delle forze nodali della struttura. 5. IL PROCESSO DI ANALISI La caratteristica essenziale del metodo multilivello è quella di utilizzare contemporaneamente più modellazioni a diverso grado di infittimento. La soluzione è ottenuta attraverso un processo iterativo che coinvolge, in successione e secondo una strategia adattativa, tutti i livelli di modellazione e tende ad equilibrare la risposta della struttura. I diversi livelli comunicano tra loro trasferendo sia le correzioni man mano apportate alla soluzione che lo squilibrio residuo. Si ottiene così un processo estremamente efficiente in cui la singola iterazione opera sempre in condizioni di massima efficacia [4]. Nel contesto in esame, il metodo si sviluppa su soli due livelli ed utilizza due diversi cicli iterativi. Il primo è rivolto ad azzerare il residuo all equilibrio r i suinodiinterni dellameshadelementifiniti che descrive localmente il singolo pannello. A partire da una stima iniziale u (j=0) (ad esempio, u (0) = 0) degli spostamenti globali u e quindi, tramite la 16, partendo da un valore noto degli spostamenti di bordo u e, si ottengono gli spostamenti interni al pannello u i attraverso il seguente schema iterativo r h i := s i[u h i, u e] f i u h+1 i = u h i K 1 ii rh i, per h =1, 2,... (25) dove, omettendo per brevità l indice k, f i rappresentano le forze nodali assegnate sui nodi interni del pannello, s i [u h i, u e] la risposta strutturale conseguente agli spostamenti u h i ed u e e K 1 ii una ragionevole approssimazione della K 1 ii.l iterazioneè condotta a variabili di bordo u e fissateeapartiredaunastimadellevariabiliu h=1 i, ottenibile per esempio

10 MODELLAZIONE FEM DI PANNELLI 3D SECONDO UN APPROCCIO ITERATIVO MULTILIVELLO9 sulla base dell interpolazione usata per il macroelemento. Il ciclo termina quando r i diventa minore della tolleranza prefissata. Lo squilibrio sulle equazioni di bordo r k restanonnulloepuò essere trasferito nel ciclo iterativo che opera sul modello globale della struttura mediante l Equazione 24. Si ottiene r (j) := X A T k r k (26) k che viene utilizzato per correggere gli spostamenti globali: u (j+1) = u (j) K 1 r (j) (27) essendo K 1 una stima della matrice globale K 1 ottenuta tramite la 23. In un contesto lineare, il ciclo iterativo si completa, ovviamente, in una sola iterazione se le matrici di iterazione K 1 e K 1 ii sono ricavate da una decomposizione esatta delle matrici K ii e K. Più iterazioni sono invece necessarie se si usano matrici approssimate (potrebbe risultare conveniente utilizzare decomposizioni incomplete delle due matrici). L organizzazione iterativa èinfine indispensabile se si introducono comportamenti non lineari nella risposta locale degli elementi. 6. RISULTATI NUMERICI 6.1. Trave di Cook. La geometria rappresentata in figura 3 è nota in lettaratura come trave di Cook [2]. La condizione di carico consiste in una tensione tangenziale all estremo libero, in modo da indurre una forte deformazione a taglio. Lo spessore della lastra e il modulo elastico sono unitari, mentre il coefficiente di Poisson èparia0.33. Viene riportato un confronto tra l analisi con mesh convenzionale dell elemento proposto e l elemento Flex8 [1]. In particolare, viene confrontato lo spostamento verticale del punto a (v. Figura 3); non essendo disponibile una soluzione analitica, come valore di riferimento si assume quello ottenuto numericamente sulla base di una mesh molto fitta, e cioè Il confronto è svolto per diverse mesh ed è riportato in Tabella. In Figura 3 viene, invece, riportato il confronto in termini di andamento delle tensioni. Mesh El. Proposto El. Flex8 2x x x Mensola di Timoshenko. Il test proposto è quello riportato nella Figura 4 e consiste in una mensola composta da tre macroelementi. La soluzione esatta di tale problema èdovutaatimoshenkoegoodierin[6]: σ x =0 σ y = 12 P (L x) D3 Ã y D 2! τ = 6 P (y D) y D3 Con riferimento alla Figura 4 si assume D = 8.0, L 1 = 4.0, L 2 = 4.8, L 3 = 8.0, E = , ν =0.3, P = Sempre in Figura 4 viene riportato l andamento

11 Report LABMEC Elemento proposto Elemento Flex8 SIGMA x SIGMA y TAU Figura 3. Tensioni trave di Cook. Confronto elemento proposto e Flex8 con mesh 8x8. della σ y. Da notare che volutamente si èimpostoilnon-matching deinodilocalsulle interfacce, al fine di valutare il comportamento in queste zone. P M3 M2 M1 L1 L2 L3 L D Figura 4. Mensola di Timoshenko.

12 MODELLAZIONE FEM DI PANNELLI 3D SECONDO UN APPROCCIO ITERATIVO MULTILIVELLO Analisi di un edificio scatolare. A conclusione della trattazione viene proposto un caso in scala reale, costituito da un edificioscatolare. InFigura5vengonorappresentate due viste prospettiche mentre nelle Figure 6 e 7 sono riportate le piante dei livelli costituenti l edificio. La muratura presa in esame è del tipo in mattoni, con peso dell unità di volume pari a 1800 Kg. I solai presenti sono del tipo in legno con soletta, con peso proprio pari a m Kg, e sono orditi come rappresentato nelle piante. Viene inoltre tenuto conto di un m 2 carico di esercizio pari a Kg. m 2 Viene quindi effettuata l analisi elastica facendo uso dei macroelementi e nelle Figure 8 sono riportati i risultati ottenuti in termini di mappature tensionali. Figura 5. Viste prospettiche dell edificio ,4 4,7 3, ,4 4,7 3,45 0, ,4 4,45 4,35 5, , ,4 4,45 4,35 5, ,4 5,35 0,4 6, ,4 5,35 0,4 6, Figura 6. Pianta del primo e secondo piano.

13 Report LABMEC ,4 0,3 13 4, ,6 3, , , ,67 8 5,85 5,85 5,85 4,83 5,93 9 4,7 10 5,6 11 4, , , ,4 5,6 5,6 5,6 5,67 5,68 0,3 5, , , ,4 5 4, ,88 8 0,3 0,4 0,4 0,4 6,68 8 0,3 5,85 0,3 0,3 5,85 5,85 6,85 5, Figura 7. Pianta del terzo e quarto piano. Figura 8. Mappature tensionali della tensione verticale. 7. CONCLUSIONI È stata presentata una modellazione ad elementi finiti di strutture scatolari, orientata all analisi di edifici a setti portanti in muratura o cemento armato ed organizzata attraverso due diversi livelli di discretizzazione, quello globale definito sull intera struttura vista come insieme di pannelli e quello locale definito sui singoli pannelli, descritti autonomamente da un reticolo indipendente di elementi finiti. Questa organizzazione è utilizzata all interno di un processo iterativo multilivello. La trattazione è volutamente qui limitata ad un contestoelasticolineare.tuttaviala strategia di analisi proposta puù essere facilmente estesa e si presta particolarmente ad un contesto non lineare basato su descrizioni più articolate degli elementi che compongono i pannelli, che tengano conto del possibile sviluppo di deformazioni plastiche e fessurazioni.

14 MODELLAZIONE FEM DI PANNELLI 3D SECONDO UN APPROCCIO ITERATIVO MULTILIVELLO13 Riferimenti bibliografici [1] A. Bilotta, R. Casciaro. Assumed stress formulation of high order quadrilateral elements with an improved in plane bending behaviour. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 191: [2] R.D. Cook. Ways to improve the bending response of finite elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 11: [3] C.A. Felippa, B. Haugen, C. Militello. Algoritmic aspects of adaptive multigrid finite element analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 40: [4] S. Lopez, R. Casciaro. Algoritmic aspects of adaptive multigrid finite element analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 40: [5] T.T.H. Pian, P. Tong. Relations Between Incompatible Displacement Model and Hybrid stress model. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 22: [6] S.P. Timoshenko, J.N. Goodier. Theory of Elasticity, New York: McGraw Hill.

TRAVE SU SUOLO ELASTICO

TRAVE SU SUOLO ELASTICO Capitolo 3 TRAVE SU SUOLO ELASTICO (3.1) Combinando la (3.1) con la (3.2) si ottiene: (3.2) L equazione differenziale può essere così riscritta: (3.3) La soluzione dell equazione differenziale di ordine

Dettagli

Corso di Laurea Magistrale in. Ingegneria civile per la protezione dai rischi naturali D.M. 270. Relazione di fine tirocinio A.A.

Corso di Laurea Magistrale in. Ingegneria civile per la protezione dai rischi naturali D.M. 270. Relazione di fine tirocinio A.A. Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria civile per la protezione dai rischi naturali D.M. 270 Relazione di fine tirocinio A.A. 2013-2014 Analisi Strutturale tramite il Metodo agli Elementi Discreti Relatore:

Dettagli

Elaborato di Meccanica delle Strutture

Elaborato di Meccanica delle Strutture Università degli Studi di Roma La Sapienza Facoltà di Ingegneria Dipartimento di Meccanica ed Aeronautica Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Meccanica Elaborato di Meccanica delle Strutture Docente

Dettagli

Travature reticolari piane : esercizi svolti De Domenico D., Fuschi P., Pisano A., Sofi A.

Travature reticolari piane : esercizi svolti De Domenico D., Fuschi P., Pisano A., Sofi A. Travature reticolari piane : esercizi svolti e omenico., Fuschi., isano., Sofi. SRZO n. ata la travatura reticolare piana triangolata semplice illustrata in Figura, determinare gli sforzi normali nelle

Dettagli

PROGETTO DI STRUTTURE LA RIPARTIZIONE DEI CARICHI NEGLI EDIFICI

PROGETTO DI STRUTTURE LA RIPARTIZIONE DEI CARICHI NEGLI EDIFICI PROGETTO DI STRUTTURE LA RIPARTIZIONE DEI CARICHI NEGLI EDIFICI Paolacci Fabrizio Università degli Studi Roma Tre Facoltà di Ingegneria INDICE 1. Introduzione 2. La ripartizione dei carichi verticali 2.1.

Dettagli

Dinamica e Misura delle Vibrazioni

Dinamica e Misura delle Vibrazioni Dinamica e Misura delle Vibrazioni Prof. Giovanni Moschioni Politecnico di Milano, Dipartimento di Meccanica Sezione di Misure e Tecniche Sperimentali giovanni.moschioni@polimi.it VibrazionI 2 Il termine

Dettagli

7 PROGETTAZIONE PER AZIONI SISMICHE

7 PROGETTAZIONE PER AZIONI SISMICHE 7 PROGETTAZIONE PER AZIONI SISMICHE Il presente capitolo disciplina la progettazione e la costruzione delle nuove opere soggette anche all azione sismica. Le sue indicazioni sono da considerare aggiuntive

Dettagli

TIP AND TRICKS 01 DEFINIZIONE DEI PARAMETRI DI UNA LASTRA ORTOTROPA EQUIVALENTE A UNA VOLTA MURARIA

TIP AND TRICKS 01 DEFINIZIONE DEI PARAMETRI DI UNA LASTRA ORTOTROPA EQUIVALENTE A UNA VOLTA MURARIA TIP AND TRICKS 01 DEFINIZIONE DEI PARAMETRI DI UNA LASTRA ORTOTROPA EQUIVALENTE A UNA VOLTA MURARIA TECNICA DI DEFINIZIONE DELLE PROPRIETA' DI UNA LASTRA ORTOTROPA EQUIVALENTE A UNA VOLTA MURARIA Descrizione

Dettagli

APPUNTI DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI. Giulio Alfano

APPUNTI DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI. Giulio Alfano PPUNTI DI SCIENZ DEE COSTRUZIONI Giulio lfano nno ccademico 004-005 ii Indice 1 TRVTURE PINE 1 1.1 Geometria, equilibrio e vincoli...................... 1 1.1.1 Piani di simmetria........................

Dettagli

METODO DELLE FORZE 1. METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE. 1.1 Introduzione

METODO DELLE FORZE 1. METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE. 1.1 Introduzione METODO DELLE FORZE CORSO DI PROGETTZIONE STRUTTURLE a.a. 010/011 Prof. G. Salerno ppunti elaborati da rch. C. Provenzano 1. METODO DELLE FORZE PER L SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTTICHE 1.1 Introduzione

Dettagli

ANALISI MEDIANTE LO SPETTRO DI RISPOSTA

ANALISI MEDIANTE LO SPETTRO DI RISPOSTA ANALISI EDIANTE LO SPETTRO DI RISPOSTA arco BOZZA * * Ingegnere Strutturale, già Direttore della Federazione regionale degli Ordini degli Ingegneri del Veneto (FOIV), Amministratore di ADEPRON DINAICA

Dettagli

Curve di risonanza di un circuito

Curve di risonanza di un circuito Zuccarello Francesco Laboratorio di Fisica II Curve di risonanza di un circuito I [ma] 9 8 7 6 5 4 3 0 C = 00 nf 0 5 0 5 w [KHz] RLC - Serie A.A.003-004 Indice Introduzione pag. 3 Presupposti Teorici 5

Dettagli

SCHEDA RIEPILOGATIVA INTERVENTO OPCM n. 3779 e 3790

SCHEDA RIEPILOGATIVA INTERVENTO OPCM n. 3779 e 3790 SCHEDARIEPILOGATIVAINTERVENTO OPCMn.3779e3790 A)Caratteristicheedificio Esitodiagibilità: B-C (OPCM 3779) E (OPCM 3790) Superficielordacomplessivacoperta( 1 ) mqnum.dipiani Num.UnitàImmobiliaritotali B)Contributorichiestoaisensidi

Dettagli

www.pisante.com edifici esistenti in muratura verifiche di vulnerabilità sismica analisi cinematiche

www.pisante.com edifici esistenti in muratura verifiche di vulnerabilità sismica analisi cinematiche www.pisante.com edifici esistenti in muratura verifiche di vulnerabilità sismica analisi cinematiche ANALISI CINEMATICA DEI CORPI RIGIDI 8.7.1 COSTRUZIONI IN MURATURA (D.M. 14/01/2008) Nelle costruzioni

Dettagli

4.1 COSTRUZIONI DI CALCESTRUZZO.. 7.4 COSTRUZIONI DI CALCESTRUZZO..

4.1 COSTRUZIONI DI CALCESTRUZZO.. 7.4 COSTRUZIONI DI CALCESTRUZZO.. E. Cosenza NORME TECNICHE Costruzioni di calcestruzzo Edoardo Cosenza Dipartimento di Ingegneria Strutturale Università di Napoli Federico II 4.1 COSTRUZIONI DI CALCESTRUZZO.. 7.4 COSTRUZIONI DI CALCESTRUZZO..

Dettagli

Modelli di dimensionamento

Modelli di dimensionamento Introduzione alla Norma SIA 266 Modelli di dimensionamento Franco Prada Studio d ing. Giani e Prada Lugano Testo di: Joseph Schwartz HTA Luzern Documentazione a pagina 19 Norma SIA 266 - Costruzioni di

Dettagli

CONSIGLI UTILI PER UNA CORRETTA ESECUZIONE DELLE MURATURE

CONSIGLI UTILI PER UNA CORRETTA ESECUZIONE DELLE MURATURE CONSIGLI UTILI PER UNA CORRETTA ESECUZIONE DELLE MURATURE a cura del Consorzio POROTON Italia VERSIONE ASPETTI GENERALI E TIPOLOGIE MURARIE Le murature si dividono in tre principali categorie: murature

Dettagli

ED. Equazioni cardinali della dinamica

ED. Equazioni cardinali della dinamica ED. Equazioni cardinali della dinamica Dinamica dei sistemi La dinamica dei sistemi di punti materiali si può trattare, rispetto ad un osservatore inerziale, scrivendo l equazione fondamentale della dinamica

Dettagli

GEOTECNICA. ing. Nunziante Squeglia 13. OPERE DI SOSTEGNO. Corso di Geotecnica Corso di Laurea in Ingegneria Edile - Architettura

GEOTECNICA. ing. Nunziante Squeglia 13. OPERE DI SOSTEGNO. Corso di Geotecnica Corso di Laurea in Ingegneria Edile - Architettura GEOTECNICA 13. OPERE DI SOSTEGNO DEFINIZIONI Opere di sostegno rigide: muri a gravità, a mensola, a contrafforti.. Opere di sostegno flessibili: palancole metalliche, diaframmi in cls (eventualmente con

Dettagli

BOZZA. a min [mm] A min =P/σ adm [mm 2 ]

BOZZA. a min [mm] A min =P/σ adm [mm 2 ] ezione n. 6 e strutture in acciaio Verifica di elementi strutturali in acciaio Il problema della stabilità dell equilibrio Uno degli aspetti principali da tenere ben presente nella progettazione delle

Dettagli

PROGETTAZIONE PER AZIONI SISMICHE

PROGETTAZIONE PER AZIONI SISMICHE CAPITOLO 7. 7. PROGETTAZIONE PER AZIONI SISMICHE BOZZA DI LAVORO Ottobre 2014 278 [BOZZA DI LAVORO OTTOBRE 2014] CAPITOLO 7 Il presente capitolo disciplina la progettazione e la costruzione delle nuove

Dettagli

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1.

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1. Capitolo 6 Integrali curvilinei In questo capitolo definiamo i concetti di integrali di campi scalari o vettoriali lungo curve. Abbiamo bisogno di precisare le curve e gli insiemi che verranno presi in

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

EDIFICI CON STRUTTURA IN MURATURA

EDIFICI CON STRUTTURA IN MURATURA Ordine degli Ingegneri della Provincia di Bergamo IX CORSO DI AGGIORNAMENTO PROFESSIONALE Dott.Ing. Giulio Pandini L Ingegneria e la Sicurezza Sismica Novembre 2003 EDIFICI CON STRUTTURA IN MURATURA Prof.

Dettagli

AUTOLIVELLI (orizzontalità ottenuta in maniera automatica); LIVELLI DIGITALI (orizzontalità e lettura alla stadia ottenute in maniera automatica).

AUTOLIVELLI (orizzontalità ottenuta in maniera automatica); LIVELLI DIGITALI (orizzontalità e lettura alla stadia ottenute in maniera automatica). 3.4. I LIVELLI I livelli sono strumenti a cannocchiale orizzontale, con i quali si realizza una linea di mira orizzontale. Vengono utilizzati per misurare dislivelli con la tecnica di livellazione geometrica

Dettagli

Risposta sismica dei terreni e spettro di risposta normativo

Risposta sismica dei terreni e spettro di risposta normativo Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Aerospaziale e Geotecnica Risposta sismica dei terreni e spettro di risposta normativo Prof. Ing. L.Cavaleri L amplificazione locale: gli aspetti matematici u=spostamentoin

Dettagli

Sussidi didattici per il corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI. Prof. Ing. Francesco Zanghì FONDAZIONI - II

Sussidi didattici per il corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI. Prof. Ing. Francesco Zanghì FONDAZIONI - II Sussidi didattici per il corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì FONDAZIONI - II AGGIORNAMENTO 12/12/2014 Fondazioni dirette e indirette Le strutture di fondazione trasmettono

Dettagli

Edifici in muratura in zona sismica

Edifici in muratura in zona sismica Collegio dei Geometri e dei Geometri Laureati Reggio Emilia - 26 novembre 2010 Edifici in muratura in zona sismica Dott. Ing. Nicola GAMBETTI, Libero Professionista EDIFICI IN MURATURA IN ZONA SISMICA

Dettagli

Moto sul piano inclinato (senza attrito)

Moto sul piano inclinato (senza attrito) Moto sul piano inclinato (senza attrito) Per studiare il moto di un oggetto (assimilabile a punto materiale) lungo un piano inclinato bisogna innanzitutto analizzare le forze che agiscono sull oggetto

Dettagli

MECCANISMI RESISTENTI IN ELEMENTI NON ARMATI A TAGLIO

MECCANISMI RESISTENTI IN ELEMENTI NON ARMATI A TAGLIO MECCANISMI RESISTENTI IN ELEMENTI NON ARMATI A TAGLIO MECCANISMO RESISTENTE A PETTINE Un elemento di calcestruzzo tra due fessure consecutive si può schematizzare come una mensola incastrata nel corrente

Dettagli

Prof. Caterina Rizzi Dipartimento di Ingegneria Industriale

Prof. Caterina Rizzi Dipartimento di Ingegneria Industriale RUOLO DELLA MODELLAZIONE GEOMETRICA E LIVELLI DI MODELLAZIONE PARTE 2 Prof. Caterina Rizzi... IN QUESTA LEZIONE Modelli 2D/3D Modelli 3D/3D Dimensione delle primitive di modellazione Dimensione dell oggettoy

Dettagli

24 - Strutture simmetriche ed antisimmetriche

24 - Strutture simmetriche ed antisimmetriche 24 - Strutture simmetriche ed antisimmetriche ü [.a. 2011-2012 : ultima revisione 1 maggio 2012] In questo capitolo si studiano strutture piane che presentano proprieta' di simmetria ed antisimmetria sia

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

Istruzioni per la Valutazione Affidabilistica della Sicurezza Sismica di Edifici Esistenti

Istruzioni per la Valutazione Affidabilistica della Sicurezza Sismica di Edifici Esistenti CNR Commissione di studio per la predisposizione e l analisi di norme tecniche relative alle costruzioni CONSIGLIO NAZIONALE DELLE RICERCHE COMMISSIONE DI STUDIO PER LA PREDISPOSIZIONE E L'ANALISI DI NORME

Dettagli

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys.

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys. METODO DEI MINIMI QUADRATI GIUSEPPE GIUDICE Sommario Il metodo dei minimi quadrati è trattato in tutti i testi di statistica e di elaborazione dei dati sperimentali, ma non sempre col rigore necessario

Dettagli

ANALISI PUSHOVER Statica Lineare Dinamica Lineare Statica Non Lineare Dinamica Non Lineare PUSH-OVER

ANALISI PUSHOVER Statica Lineare Dinamica Lineare Statica Non Lineare Dinamica Non Lineare PUSH-OVER ANALISI PUSHOVER - Analisi sismica Statica Lineare - Analisi sismica Dinamica Lineare - Analisi sismica Statica Non Lineare - Analisi sismica Dinamica Non Lineare Con il nome di analisi PUSH-OVER si indica

Dettagli

Analisi e controllo di uno scambiatore di calore

Analisi e controllo di uno scambiatore di calore Università degli Studi di Roma Tor Vergata FACOLTÀ DI INGNEGNERIA Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria dell automazione Progetto per il corso di controllo dei processi Analisi e controllo di uno scambiatore

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

Testo integrato dell Allegato 2 Edifici all Ordinanza 3274 come modificato dall OPCM 3431 del 3/5/05

Testo integrato dell Allegato 2 Edifici all Ordinanza 3274 come modificato dall OPCM 3431 del 3/5/05 NORME TECNICHE PER IL PROGETTO, LA VALUTAZIONE E L ADEGUAMENTO SISMICO DEGLI EDIFICI 1 OGGETTO DELLE NORME...7 2 REQUISITI DI SICUREZZA E CRITERI DI VERIFICA...8 2.1 SICUREZZA NEI CONFRONTI DELLA STABILITÀ

Dettagli

Verifica sismica di dighe a gravità in calcestruzzo

Verifica sismica di dighe a gravità in calcestruzzo Verifica sismica di dighe a gravità in calcestruzzo Keywords: dighe a gravità in calcestruzzo, verifica sismica, metodi semplificati, programmi di calcolo. Autore: L. Furgoni, Relatore: Prof. C. Nuti,

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello

Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello Maurizio Palesi Maurizio Palesi 1 Introduzione Obiettivo della sintesi logica: ottimizzazione delle cifre di merito area e prestazioni Prestazioni:

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

LE CAPRIATE Sviluppo delle strutture lignee di copertura

LE CAPRIATE Sviluppo delle strutture lignee di copertura LE CAPRIATE Sviluppo delle strutture lignee di copertura Premessa Fra le strutture di legno, le capriate reticolari costituiscono un tipo di costruzione diffuso che sfruttano pienamente i vantaggi potenziali

Dettagli

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE SISTEMI LINEARI QUADRATI:METODI ITERATIVI p./54 RICHIAMI di ALGEBRA LINEARE DEFINIZIONI A R n n simmetrica se A = A T ; A C

Dettagli

175 CAPITOLO 14: ANALISI DEI PROBLEMI GEOTECNICI IN CONDIZIONI LIMITE

175 CAPITOLO 14: ANALISI DEI PROBLEMI GEOTECNICI IN CONDIZIONI LIMITE 175 ntroduzione all analisi dei problemi di collasso. L analisi del comportamento del terreno potrebbe essere fatta attraverso dei modelli di comportamento elasto plastici, ma questo tipo di analisi richiede

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

Sommario. vengono riconosciuti. duttili. In. pareti, solai. applicazioni

Sommario. vengono riconosciuti. duttili. In. pareti, solai. applicazioni APPLICAZIONI INNOVATIVE CON MICROCA ALCESTRUZZI DUTTILI PER RINFORZII ED ADEGUAMENTI SISMICI Dario Rosignoli Stefano Maringoni Tecnochem Italiana S.p.A. Sommario Con gli acronimi HPFRC High Performancee

Dettagli

Esperimentatori: Durata dell esperimento: Data di effettuazione: Materiale a disposizione:

Esperimentatori: Durata dell esperimento: Data di effettuazione: Materiale a disposizione: Misura di resistenza con il metodo voltamperometrico. Esperimentatori: Marco Erculiani (n matricola 454922 v.o.) Noro Ivan (n matricola 458656 v.o.) Durata dell esperimento: 3 ore (dalle ore 9:00 alle

Dettagli

Vulnerabilità Sismica di Edifici in C.A. Irregolari in Pianta: Modellazione ed Analisi Statica Non Lineare

Vulnerabilità Sismica di Edifici in C.A. Irregolari in Pianta: Modellazione ed Analisi Statica Non Lineare Vulnerabilità Sismica di Edifici in C.A. Irregolari in Pianta: Modellazione ed Analisi Statica Non Lineare Fabio Mazza Dipartimento di Ingegneria Civile, Università della Calabria, 87036, Rende (Cosenza).

Dettagli

2.1 Difetti stechiometrici Variano la composizione del cristallo con la presenza di elementi diversi dalla natura dello stesso.

2.1 Difetti stechiometrici Variano la composizione del cristallo con la presenza di elementi diversi dalla natura dello stesso. 2. I difetti nei cristalli In un cristallo perfetto (o ideale) tutti gli atomi occuperebbero le corrette posizioni reticolari nella struttura cristallina. Un tale cristallo perfetto potrebbe esistere,

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI LUCIA GASTALDI 1. Metodi iterativi classici Sia A R n n una matrice non singolare e sia b R n. Consideriamo il sistema (1) Ax = b. Un metodo iterativo per la soluzione

Dettagli

ISOLATORI ELASTOMERICI. ISOLATORI ELASTOMERICI serie SI S02

ISOLATORI ELASTOMERICI. ISOLATORI ELASTOMERICI serie SI S02 ISOLATORI ELASTOMERICI ISOLATORI ELASTOMERICI serie SI S02 INTRODUZIONE CERTIFICAZIONI Nel 1992 FIP Industriale ha ottenuto la certificazione CISQ-ICIM per il Sistema di Assicurazione Qualità in conformità

Dettagli

PRODOTTI DA COSTRUZIONE CON L OBBLIGO DI DOP E MARCATURA CE (elenco aggiornato al 31 luglio 2014) ACCIAI e altri PRODOTTI DA COSTRUZIONE

PRODOTTI DA COSTRUZIONE CON L OBBLIGO DI DOP E MARCATURA CE (elenco aggiornato al 31 luglio 2014) ACCIAI e altri PRODOTTI DA COSTRUZIONE CON L OBBLIGO DI DOP E MARCATURA CE (elenco aggiornato al 31 luglio 2014) ACCIAI e altri Acciai per la realizzazione di strutture metalliche e di strutture composte (laminati, tubi senza saldatura, tubi

Dettagli

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello.

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. CURVE DI LIVELLO Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. Definizione. Si chiama insieme di livello k della funzione f

Dettagli

ORDINANZA n. 3274 DEL PRESIDENTE DEL CONSIGLIO DEI MINISTRI 20 marzo 2003

ORDINANZA n. 3274 DEL PRESIDENTE DEL CONSIGLIO DEI MINISTRI 20 marzo 2003 ORDINANZA n. 3274 DEL PRESIDENTE DEL CONSIGLIO DEI MINISTRI 20 marzo 2003 Primi elementi in materia di criteri generali per la classificazione sismica del territorio nazionale e di normative tecniche per

Dettagli

2.2.8 Spettri di progetto

2.2.8 Spettri di progetto 2.2.8 Spettri di progetto Passando alla fase progettuale si dà per scontato che per gli Stati Limite Ultimi (SLV e SLC) la struttura vada largamente in campo plastico. Si devono quindi utilizzare metodi

Dettagli

Strumenti Elettronici Analogici/Numerici

Strumenti Elettronici Analogici/Numerici Facoltà di Ingegneria Università degli Studi di Firenze Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Strumenti Elettronici Analogici/Numerici Ing. Andrea Zanobini Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni

Dettagli

Costruzioni in legno: nuove prospettive

Costruzioni in legno: nuove prospettive Costruzioni in legno: nuove prospettive STRUZION Il legno come materiale da costruzione: origini e declino Il legno, grazie alla sua diffusione e alle sue proprietà, ha rappresentato per millenni il materiale

Dettagli

GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno

GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno La Vista CAS L ambiente di lavoro Le celle Assegnazione di una variabile o di una funzione / visualizzazione

Dettagli

PRESCRIZIONI ANTISISMICHE E CRITERI DI CALCOLO: Interazione tra strutture e tamponamenti

PRESCRIZIONI ANTISISMICHE E CRITERI DI CALCOLO: Interazione tra strutture e tamponamenti Convegno CRITICITÀ DELLA PROGETTAZIONE TERMICA E ACUSTICA DEGLI EDIFICI IN RAPPORTO ALLE PRESCRIZIONI STRUTTURALI ANTISISMICHE Saie 2009, Sala Topazio, Sabato 31 ottobre ore 9.00 PRESCRIZIONI ANTISISMICHE

Dettagli

Carichi unitari. Dimensionamento delle sezioni e verifica di massima. Dimensionamento travi a spessore. Altri carichi unitari. Esempio.

Carichi unitari. Dimensionamento delle sezioni e verifica di massima. Dimensionamento travi a spessore. Altri carichi unitari. Esempio. Carichi unitari delle sezioni e verifica di massima Una volta definito lo spessore, si possono calcolare i carichi unitari (k/m ) Solaio del piano tipo Solaio di copertura Solaio torrino scala Sbalzo piano

Dettagli

Metodi risolutivi per le disequazioni algebriche

Metodi risolutivi per le disequazioni algebriche Metodi risolutivi per le disequazioni algebriche v.scudero Una disequazioni algebrica si presenta in una delle quattro forme seguenti: () P( () P( (3) P( () P( essendo P( un polinomio in. Noi studieremo

Dettagli

PROGETTAZIONE DI STRUTTURE IN ACCIAIO con le nuove Norme Tecniche e gli Eurocodici: basi concettuali ed esempi di calcolo

PROGETTAZIONE DI STRUTTURE IN ACCIAIO con le nuove Norme Tecniche e gli Eurocodici: basi concettuali ed esempi di calcolo PROGETTAZIONE DI STRUTTURE IN ACCIAIO con le nuove Norme Tecniche e gli Eurocodici: basi concettuali ed esempi di calcolo Stefania Arangio, Francesca Bucchi, Franco Bontempi Stefania Arangio, Francesca

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

Sistemi e modelli matematici

Sistemi e modelli matematici 0.0.. Sistemi e modelli matematici L automazione è un complesso di tecniche volte a sostituire l intervento umano, o a migliorarne l efficienza, nell esercizio di dispositivi e impianti. Un importante

Dettagli

su web che riportano documentazione e software dedicati agli argomenti trattati nel libro, riportandone, alla fine dei rispettivi capitoli, gli

su web che riportano documentazione e software dedicati agli argomenti trattati nel libro, riportandone, alla fine dei rispettivi capitoli, gli Prefazione Non è facile definire che cosa è un problema inverso anche se, ogni giorno, facciamo delle operazioni mentali che sono dei metodi inversi: riconoscere i luoghi che attraversiamo quando andiamo

Dettagli

Premessa. 11100 Aosta (Ao) 2/A, via Promis telefono +39 0165272866 telefax +39 0165272840

Premessa. 11100 Aosta (Ao) 2/A, via Promis telefono +39 0165272866 telefax +39 0165272840 Assessorat des Ouvrages Publics de la protection des sols et du logement public Assessorato Opere Pubbliche, Difesa del Suolo e Edilizia Residenziale Pubblica Premessa Le fondamentali indicazioni riportate

Dettagli

VALUTAZIONE DELLE RISERVE PRESTAZIONALI DEGLI EDIFICI IN TERRA DI CORRIDONIA (MC) RISPETTO ALL USO ATTUALE: LA SICUREZZA SISMICA

VALUTAZIONE DELLE RISERVE PRESTAZIONALI DEGLI EDIFICI IN TERRA DI CORRIDONIA (MC) RISPETTO ALL USO ATTUALE: LA SICUREZZA SISMICA VALUTAZIONE DELLE RISERVE PRESTAZIONALI DEGLI EDIFICI IN TERRA DI CORRIDONIA (MC) RISPETTO ALL USO ATTUALE: LA SICUREZZA SISMICA ISTITUTO DI EDILIZIA ISTITUTO DI SCIENZA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI TESI

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

Esercitazioni di Meccanica Applicata alle Macchine

Esercitazioni di Meccanica Applicata alle Macchine Università degli Studi di Roma La Sapienza Facoltà di Ingegneria Dipartimento di Meccanica ed Aeronautica Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Meccanica Esercitazioni di Meccanica Applicata alle Macchine

Dettagli

Equazioni non lineari

Equazioni non lineari Dipartimento di Matematica tel. 011 0907503 stefano.berrone@polito.it http://calvino.polito.it/~sberrone Laboratorio di modellazione e progettazione materiali Trovare il valore x R tale che f (x) = 0,

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

OPERE DI SOSTEGNO determinare le azioni esercitate dal terreno sulla struttura di sostegno;

OPERE DI SOSTEGNO determinare le azioni esercitate dal terreno sulla struttura di sostegno; OPERE DI SOSTEGNO Occorre: determinare le azioni esercitate dal terreno sulla struttura di sostegno; regolare il regime delle acque a tergo del muro; determinare le azioni esercitate in fondazione; verificare

Dettagli

Approssimazione polinomiale di funzioni e dati

Approssimazione polinomiale di funzioni e dati Approssimazione polinomiale di funzioni e dati Approssimare una funzione f significa trovare una funzione f di forma più semplice che possa essere usata al posto di f. Questa strategia è utilizzata nell

Dettagli

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante Circuiti Elettrici Schema riassuntivo Leggi fondamentali dei circuiti elettrici lineari Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante La conseguenza

Dettagli

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Una trasformazione geometrica è una funzione che fa corrispondere a ogni punto del piano un altro punto del piano stesso Si può pensare come MOVIMENTO di punti e

Dettagli

Modal 2 Modulo Analisi modale Modulo per l Analisi della dinamica strutturale.

Modal 2 Modulo Analisi modale Modulo per l Analisi della dinamica strutturale. Modal 2 Modulo Analisi modale Modulo per l Analisi della dinamica strutturale. L analisi modale è un approccio molto efficace al comportamento dinamico delle strutture, alla verifica di modelli di calcolo

Dettagli

10 CALCOLO AGLI STATI LIMITE DELLE STRUTTURE IN C.A.

10 CALCOLO AGLI STATI LIMITE DELLE STRUTTURE IN C.A. 10 CALCOLO AGLI STATI LIMITE DELLE STRUTTURE IN C.A. Il capitolo fa riferimento alla versione definitiva dell'eurocodice 2, parte 1.1, UNI EN 1992-1-1, recepito e reso applicabile in Italia dal DM del

Dettagli

4 CAPITOLO 4. STRUTTURA ESISTENTE A TELAIO IN CA

4 CAPITOLO 4. STRUTTURA ESISTENTE A TELAIO IN CA 123 4 CAPITOLO 4. STRUTTURA ESISTENTE A TELAIO IN CA Il presente esempio è finalizzato a guidare il progettista alla compilazione del SI-ERC per un edificio con struttura a telaio in CA per il quale è

Dettagli

Principal Component Analysis (PCA)

Principal Component Analysis (PCA) Principal Component Analysis (PCA) Come evidenziare l informazione contenuta nei dati S. Marsili-Libelli: Calibrazione di Modelli Dinamici pag. Perche PCA? E un semplice metodo non-parametrico per estrarre

Dettagli

Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantità di moto

Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantità di moto Capitolo 2 Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantità di moto 2.1 Forze Le forze che agiscono su un elemento B n del corpo B sono essenzialmente di due tipi: a) forze di massa che agiscono

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

Corso di Matematica finanziaria

Corso di Matematica finanziaria Corso di Matematica finanziaria modulo "Fondamenti della valutazione finanziaria" Eserciziario di Matematica finanziaria Università degli studi Roma Tre 2 Esercizi dal corso di Matematica finanziaria,

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

Strutture in muratura e a telaio

Strutture in muratura e a telaio Strutture in muratura e a telaio Inroduzione alla teoria delle strutture Nel campo delle costruzioni il termine struttura è spesso usato per indicare qualcosa di più specifico di un sistema di relazioni.

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE Se il coefficiente di correlazione r è prossimo a 1 o a -1 e se il diagramma di dispersione suggerisce una relazione di tipo lineare, ha senso determinare l equazione

Dettagli

Capitolo 7 TRAVI COMPOSTE ACCIAIO-CALCESTRUZZO 7 COSTRUZIONI IN ACCIAIO-CALCESTRUZZO. 7.1 Principi generali. 7.1.1 Premessa BOZZA

Capitolo 7 TRAVI COMPOSTE ACCIAIO-CALCESTRUZZO 7 COSTRUZIONI IN ACCIAIO-CALCESTRUZZO. 7.1 Principi generali. 7.1.1 Premessa BOZZA BOZZA Capitolo 7 TRAVI COMPOSTE ACCIAIO-CALCESTRUZZO 7 COSTRUZIONI IN ACCIAIO-CALCESTRUZZO 7.1 Principi generali 7.1.1 Premessa Con il nome di strutture composte acciaio-calcestruzzo vengono indicate usualmente

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

if t>=0 x=1; else x=0; end fornisce, nella variabile x, il valore della funzione gradino a tempi continui, calcolata in t.

if t>=0 x=1; else x=0; end fornisce, nella variabile x, il valore della funzione gradino a tempi continui, calcolata in t. Il programma MATLAB In queste pagine si introduce in maniera molto breve il programma di simulazione MAT- LAB (una abbreviazione di MATrix LABoratory). Introduzione MATLAB è un programma interattivo di

Dettagli

S.p.a. 24050 ZANICA (BG) Italia Via Stezzano, 16 tel +39 035 671 013 fax +39 035 672 265 www.styl-comp.it infostylcomp@styl-comp.

S.p.a. 24050 ZANICA (BG) Italia Via Stezzano, 16 tel +39 035 671 013 fax +39 035 672 265 www.styl-comp.it infostylcomp@styl-comp. CATTANEO & Co. - BG SC_I 01/2005 S.p.a. 24050 ZANICA (BG) Italia Via Stezzano, 16 tel +39 035 671 013 fax +39 035 672 265 www.styl-comp.it infostylcomp@styl-comp.it Realizzare un connubio perfetto fra

Dettagli

Filtri attivi del primo ordine

Filtri attivi del primo ordine Filtri attivi del primo ordine Una sintesi non esaustiva degli aspetti essenziali (*) per gli allievi della 4 A A T.I.E. 08-09 (pillole per il ripasso dell argomento, da assumere in forti dosi) (*) La

Dettagli