Scheda (2) per lo svolgimento delle attività

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1 Matebilandia 256 dimostrare che i due tipi di moto, deferente/epiciclo e rotolamento di due circonferenze, sono assimilabili; conoscere alcune delle curve famose; prevedere il tipo di curva che scaturirà dalle equazioni parametriche, noto il valore dei parametri. Osservazioni In questo paragrafo si analizzano, in maniera dettagliata, le curve epi-ipocicloidi che si possono tracciare, usando varie combinazioni degli elementi a disposizione e soffermandosi su alcune curve celebri. Oltre agli spirografi manuali e digitali, si utilizzano le calcolatrici grafico simboliche TI-Nspire. Con quest ultimo strumento, si studiano le curve ottenute da un moto tipo deferente-epiciclo, assimilabili alle curve disegnate con lo spirografo. In questo modo si mostra, in maniera più approfondita, il legame dello spirografo con la giostra Colazione da Papere, legame a cui si è fatto cenno durante la visita al Parco. Tale sezione è quindi suddivisa in due schede: la prima approfondisce l uso degli spirografi e la relazione tra i parametri fisici dello strumento e i parametri geometrici delle curve tracciate. La seconda guida all utilizzo delle calcolatrici grafiche per tracciare curve notevoli. Scheda (2) per lo svolgimento delle attività Prima parte Domanda 1. Prendi lo spirografo e osserva le varie ruote dentate. Qual è la relazione matematica tra il numero dei denti delle ruote e la lunghezza del raggio delle stesse? Il legame tra il raggio delle ruote, r, e il numero dei denti di ciascuna ruota è: 2πr r= numero denti * larghezza dente. Nota. Per semplicità, pensiamo fissa una ruota grande e in moto attorno a essa una ruota più piccola. Considerando due ruote con denti aventi la stessa forma e stessa distanza l uno dall altro, a che cosa è uguale il rapporto dei raggi delle ruote utilizzate nello spirografo? Il rapporto dei raggi delle ruote utilizzate nello spirografo è uguale al rapporto tra il numero di denti delle stesse.

2 Capitolo 6 Laboratorio di matematica relativo alle attrazioni, con applicazioni informatiche Nota. Quando parliamo di rivoluzioni di una ruota dentata, intendiamo i giri che compie attorno a un altra ruota o all interno della corona. Quando parliamo di rotazioni, invece, intendiamo i giri che compie attorno al proprio centro: una rotazione si intende completa, quando un dente, che toccava la corona, torna a toccarla nuovamente. 257 Domanda 2. Considera la corona dello spirografo (96 denti) e la ruota con 36 denti. Con un pennarello fai un segno su uno dei denti della ruota da 36 denti e un segno sulla corona circolare dello spirografo, in corrispondenza di uno spazio vuoto fra due denti. Posiziona la ruota da 36 denti in modo che i segni fatti sulla ruota e sulla corona siano uno di fronte all altro. Muovi la ruota da 36 denti entro la corona, fino a quando uno dei denti non torna a inserirsi nello spazio vuoto di partenza. Dopo che la ruota da 36 denti ha percorso un primo giro (rivoluzione) della corona dello spirografo, quante rotazioni intere ha compiuto attorno al proprio centro?... 2 Dopo che la ruota da 36 denti ha percorso una seconda rivoluzione, quante rotazioni intere ha compiuto dall inizio del moto?... 5 Dopo che la ruota da 36 denti ha percorso una terza rivoluzione, quante rotazioni intere ha compiuto dall inizio del moto?... 8 Riassumendo, il dente della ruota da 36, marcato, si incastra nuovamente nello spazio vuoto da cui è partito dopo... 3 giri completi della corona dello spirografo; dopo... 8 giri completi della ruota da 36 denti. Domanda 3. Considera due ruote, una fissa (che immaginiamo grande) e l altra più piccola che le si muove sopra. Immagina che la ruota in movimento debba compiere 3 rivoluzioni attorno alla ruota fissa. Essa percorrerà, quindi, una lunghezza L pari a 3 volte il perimetro della ruota fissa, ovvero: L = 3*2pr = 3 * numero denti ruota fissa * larghezza dente. Per un numero generico di rivoluzioni, come puoi quindi scrivere la lunghezza L, in funzione del numero dei denti della ruota grande e del numero di rivoluzioni necessarie alla piccola, per coprire tale lunghezza? L =... n giri_attorno_a_ruota grande * n denti_ruota_grande* larghezza_dente Immagina ora di fissare la ruota piccola e che sia la ruota grande a dover ruotare attorno all altra per coprire la stessa lunghezza L. Come puoi esplicitare la lunghezza L, in funzione del numero dei denti della ruota piccola e del numero di giri?

3 Matebilandia 258 L =... n giri_ attorno_a_ruota _piccola * n denti_ruota_ piccola * larghezza_dente Uguagliando i due membri di destra relativi alla lunghezza L, a che cosa corrisponde il rapporto tra il numero dei denti delle due ruote? Domanda 4. Torna a considerare la corona dello spirografo e la ruota con 36 denti. Riduci ai minimi termini la frazione 96/36, che corrisponde al numero dei denti della corona dello spirografo / numero dei denti della ruota in movimento, Quindi il... numeratore ridotto ci fornisce il numero delle rotazioni della ruota mobile, mentre il... denominatore ridotto ci fornisce il numero delle rivoluzioni della ruota mobile attorno alla circonferenza fissa, che vengono compiute prima di tornare al punto di partenza. 8/3 Domanda 5. Inserisci ora un pennarello colorato in uno dei fori della ruota dentata da 36. Fai muovere la ruota fino a quando il pennarello non torna al punto di partenza. Quanti petali o punte disegna il pennarello?... 8 cioè il... numeratore ridotto fornisce anche il numero degli apici della curva tracciata dal pennarello Domanda 6. Considera due ruote dentate, una fissa e una in rotazione sulla prima. Con un pennarello fai un segno su uno dei denti della ruota in movimento. Muovi la ruota in senso antiorario attorno al suo centro. In che senso avviene la rotazione?... antiorario In che senso avviene la rivoluzione?... antiorario

4 Capitolo 6 Laboratorio di matematica relativo alle attrazioni, con applicazioni informatiche 259 Allora, i versi di rotazione dei denti delle due ruote dentate sono concordi o discordi?... concordi La curva, che verrà disegnata da un pennarello inserito in uno dei fori della ruota dentata in movimento, si chiama... epicicloide A ogni rotazione della ruota in movimento, la penna disegnerà apici simili a petali di un fiore o a punte di una stella?... petali Cosa significa EPI?... Al di sopra, cioè all esterno Dove si trova la ruota che si muove, rispetto alla ruota fissa?... Sopra, fuori Domanda 7. Ora considera la corona dello spirografo e una qualsiasi ruota dentata. Con un pennarello fai un segno su uno dei denti della ruota in movimento. Muovi la ruota in senso antiorario, attorno al suo centro. In che senso avviene la rotazione?... antiorario In che senso avviene la rivoluzione?... orario Allora, i versi di rotazione dei denti delle due ruote dentate sono concordi o discordi?... discordi La curva, che verrà disegnata da un pennarello inserito in uno dei fori della ruota dentata in movimento, si chiama... ipocicloide A ogni rotazione della ruota in movimento, la penna disegnerà apici simili a petali o a punte?... punte Cosa significa IPO?... Al di sotto, cioè all interno Dove si trova la ruota che si muove, rispetto alla corona dello spirografo?... Dentro, sotto Domanda 8. A questo punto, sei in grado di scegliere una qualsiasi coppia di ruote dentate e prevedere il tipo di curva che verrà disegnata: se sarà una ipo- o epicicloide, analizzando la posizione delle due ruote una rispetto all altra; quanti petali/punte avrà, riducendo ai minimi termini il rapporto tra il numero dei denti delle ruote. Esempio: La curva sarà un ipocicloide o un epicicloide? Quanti petali o punte verranno disegnati?... 7 fissa, prima che il pennarello torni al punto di partenza?... 4

5 Matebilandia 260 Seconda parte Domanda 9. Lo spirografo manuale ti vincola a tracciare solo alcune curve. Usando quello digitale, invece, è possibile disegnarne molte di più, tra cui anche alcune curve famose. Avvia il software SpiroGraph. Imposta i valori: a = 60 b = 60 h = 60 Quanti petali o punte verranno disegnati?... 1 fissa, prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza?... 1 Cardioide. Domanda 10. Imposta: a = 120 b = 60 h = 60 Quanti petali o punte verranno disegnati?... 2 fissa, prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza?... 1 Nefroide.

6 Capitolo 6 Laboratorio di matematica relativo alle attrazioni, con applicazioni informatiche 261 Domanda 11. Imposta: a = 150 b = 50 h = 50 Quanti petali o punte verranno disegnati?... 3 fissa, prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza?... 1 Curva a tre petali. Domanda 12. Imposta: a = 150 b = 30 h = 30 Quanti petali o punte verranno disegnati?... 5 fissa, prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza?... 1 Ranuncoloide.

7 Matebilandia 262 Domanda 13. Imposta: a = 120 b = -60 h = 60 Quanti petali o punte verranno disegnati?... 2 fissa, prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza?... 1 Segmento. 11 Come mai non si notano punte o petali nel grafico tracciato? Perché la curva degenera in un segmento i cui estremi corrispondono alle punte dell ipocicloide. Domanda 14. Imposta: a = 120 b = -60 h = 110 Quanti petali o punte verranno disegnati?... 2 fissa, prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza?... 1 Ellisse. Domanda 15. Imposta: a = 150 b = -50 h = 50 Quanti petali o punte verranno disegnati?... 3 fissa, prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza? Sostituendo nelle equazioni del rotolamento il valore dei parametri suindicato, risulta evidente che si tratta dell equazione di un segmento scritta in forma parametrica. Lo stesso vale per l ellisse della domanda successiva.

8 Capitolo 6 Laboratorio di matematica relativo alle attrazioni, con applicazioni informatiche 263 Deltoide. Domanda 16. Imposta: a = 120 b = -30 h = 30 Quanti petali o punte verranno disegnati?... 4 fissa prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza?... 1 Asteroide. Domanda 17. Imposta: a = 150 b = -30 h = 30 Quanti petali o punte verranno disegnati?... 5 fissa, prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza?... 1 Stella.