Dispensa di: F.E.M. trave

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1 essdro sso POLIECNICO DI OINO LUE SPECILISIC -INGEGNEI MECCONIC Dspes d:.e.m. rve - Lbororo d Mero -

2 Ide. Modeo.E.M. de rve.... Coporeo sse.... Eeeo sgoo.... ssebggo...5. Esepo...6. Coporeo fessoe...7. Eeeo sgoo...7. ssebggo...9. Esepo Coporeo gobe sse fessoe Eeeo sgoo ssebggo s ode dzoe ode dzoe per resdzzzoe Sorzeo Ezoe d s Esepo.E.M. rve Pre eor Desoe r Ls ML E.M. rve e Mres eeee_sher...6 Pg d 7

3 Coporeo sse. Modeo.E.M. de rve Per poer sdre oporeo do de rve s pò ppre o deo de preedee prgrfo. S dsrezz sse dvdedo rve eee f d ghezz. G eee soo oeg r oro d od er seso resee. - - G eee ergsoo r d oro soo rverso od. Og odo h ero ero d grd d berà D.o.. seod de po d deforzoe se. d esepo e so de deforzoe fessoe og eeeo h de grd d berà pohé og eeeo è sooposo d rzoe e d rozoe φ. Ne so d deforzoe sse opressoe o rzoe og eeeo h soo grdo d berà. Seodo o deo preedez è possbe seprre ese de deforzo osderdoe dpede.. Coporeo sse Pohé og po de eeeo h soo grdo d berà veore deg spose { h so opoee. d. Eeeo sgoo odo d odo eeeo Lo sposeo d s eeeo è do oe veore { e ezoe he espre o sposeo de od d eeeo è: Pg d 7

4 Coporeo sse { [ N ]{ [ N ] Ess è d for d fzoe N o deo spzo de fzoe d for e d fzoe U og de epo he rpprese g spose od. L o-eerg e sso eeeo è d d: EC* ρ { [ ]{ o [ ] [ N ] [ N ] L re def d egre è de re d ss de eeeo ed è d de rghe e de ooe. Per defre eerg poeze de eeeo è eessro rodrre oe d esoe e deforzoe : forz σ ; re geo ε ghezz σ Eε E odo d Yog L eerg poeze sso eeeo è d d: E P { [ ]{ [ ] E[ N ' ] [ N ' ] Noe e eerge e e poeze de eeeo è possbe rvre ezoe de oo ppdo forzoe d Lgrge: Ezoe de oo d sgoo eeeo: L EC * EP d L L d U U d { [ ]{ { [ ]{ [ ]{ [ ]{ { d Pg 4 d 7

5 Coporeo sse Pg 5 d 7. ssebggo S proverà or d re de eee. L oe d g eee de srr prede oe d ssebggo e es operzoe por e r d ss e rgdezz de er srr. - eeeo : [ ] [ ] - eeeo : [ ] [ ] Iore per vere ebro s deve vere: spedo es odzoe e edo de eee s oee: Se srr è for d eee: odo odo odo eeeo eeeo M M M M M - M - K K K K K - K -

6 Coporeo sse Pg 6 d 7. Esepo Per o rgrd e fzo d for e so sse soo revee f d defre. S pog: b eso po s possoo zzre de s esre d de eeeo: - : b b - : b / Lo sposeo d s eeeo s pò d esprere oe: U N b

7 Coporeo fessoe. Coporeo fessoe Pohé og po de eeeo h de grd d berà veore deg spose { h de opoe e per og odo. y d z L. Eeeo sgoo eeeo odo odo Sposeo d s eeeo: è veore dee oorde od N è re dee fzo d for N N [ N ] { { [ ] L o-eerg e d s eeeo ve: L re d ss de eeeo ve: E { [ ]{ [ ] [ N ]d ρ N ρi [ N ] [ N ]d Pg 7 d 7

8 Coporeo fessoe Pg 8 d 7 dove è re de sezoe ρ è desà de ere I è oeo d erz. Le derve rspeo epo soo rspevee veoà d rzoe e veoà d rozoe de eeeo. Sosedo e rezo preede e egre s oee: L eerg poeze d s eeeo ve: d G d EI E y y P φ χ dove E è odo eso χ fore d go. If pro ere de egre è ere d fessoe seodo è ere d go. Svogedo o s oee: { [ ]{ E P L re d rgdezz de eeeo vesoo oeo feee : [ ] [ ]d N N EI ' ' Noe e eerge e e poeze de eeeo è possbe rvre ezoe de oo ppdo forzoe d Lgrge: { [ ]{ { [ ]{ * E E L P C U L U L d d Ezoe de oo d sgoo eeeo: [ ]{ [ ]{ {

9 Coporeo fessoe Pg 9 d 7. ssebggo S proverà or d re de eee. L oe d g eee de srr prede oe d ssebggo e es operzoe por e r d ss e rgdezz de er srr. - eeeo : [ ] [ ] e r [ ] e [ ] soo 44 - eeeo : [ ] [ ] e r [ ] e [ ] soo 44 Iore per vere ebro s deve vere: fe d oeere ezoe de oo de rve è eessro ssebre g eee. Erbe e r M e K de rve vro srr de po: I dr rppreseo e r d s eeeo e dove e r s sovrppogoo g eee d s re s soo. odo odo odo eeeo eeeo M K

10 Coporeo fessoe Pg d 7 - e. Esepo S g d essere e segee szoe: I odo o pò é rore é rre odo o pò rre e forz e è pp odo -. E possbe d ere e rghe e e ooe orrspode grd d berà vo e re d ss e e re d rgdezz e veore dee oorde geerzze e eo dee forze ppe: e Or s voe ore vore dee fzo d for so sepe. N e soszee s s rsrdo rozoe e s s oerdo sg spose. E eessro porre e odzo ooro: S seg pooo d erzo grdo: d b d b

11 Coporeo fessoe Pg d 7 Ipoedo or e odzo ooro oeo: d d b b I for re s oee: b d H [ ] { H b d [ ] [ ] { H b d N [ ] [ ] { H b N Lo sposeo d s eeeo s pò d esprere oe:

12 Coporeo gobe Pg d 7 eeeo odo odo z 4. Coporeo gobe sse fessoe 4. Eeeo sgoo Per deerre oporeo gobe de rve è eessro re de preede r odo d oeere o grde sse he ee oo d grd d berà de od. I od de geere eeeo d possoo rre ssee e veree e rore oe desro e fgr segee. Coe deo preedez oporeo sse d eeeo pò essere desro d segee espressoe: I oporeo fessoe dsoppo d preedee pò essere sro oe: z z f f I oporeo gobe s oee d oppeo dee de ezo: z z f f I reà è oo oodo vere orde dverso de sse oè eere pr re pos e oorde geerzze de odo e sessvee ee de odo. I eso odo ree b he oforzoe dee r M e K de eeeo e oeffe e ss e fesso ro sh.

13 Coporeo gobe Pg d 7 z g z g Coe s vedrà eso è e per poer ssebre od odo d vere oporeo do d srr. orddo rghe e ooe s oee: z z f f e e oorde geerzze soo però espresse e sse d rfereo oe de eeeo; per poer sessvee ssebre er srr oorre esprer e sse d rfereo gobe de rve. Per fre eso s so e r d ozoe. L e de po pò essere desr e odo segee: g g g g g θ θ θ θ θ θ θ θ os s s os s os s os Pohé rozoe ve geeree per veor ess pò essere pp he veore dee forze ppe: z g z g Dopo ese osderzo è possbe zre opre e rsforre ezoe d de eeeo d rfereo oe rfereo gobe eedo presee he: ; ;

14 Coporeo gobe Pg 4 d 7 odo odo odo ee. ee. g g g g g g f f g g f g f g g f g f g g f g f g g L rsforzoe g f ee ser ze d e r g d ss e g d rgdezz gob soo serhe. 4. ssebggo eso po o re he ssebre srr. Per fre ò s pò zre o ssebggo d de eee e. I veor dee oorde od e dee forze ppe soo rspevee: o ; z o Per ssebre srr s possoo zo sdre g eee sepr e po r.

15 Coporeo gobe Pg 5 d 7 L ezoe d de eeeo è: g g g g L ezoe d de eeeo è: g g K M ' ' g g Per oeere ezoe d gobe de srr è eessro obre e r de vr eee boh oe desro e so fessoe. L ezoe fee de oo de rve r essere: [ ] { [ ] { { K M M g M g M g M g M -g M -g K g K g K g K g K -g K -g

16 s e dzoe ode 5. s ode L s ode osse e deerre e freeze e od propr d vbrzoe de sse rve. Ezoe de oo de rve oorde od: [ M ]{ [ K ]{ [ ]{ re d seezoe deg gress. S pò srvere ezoe de oo de sse bero: [ M ]{ [ K ]{ S pozz d he sozoe geere de oprobe s: φ e λ λ φ e λ S pò srvere oprobe e segee odo: Mλ L re d s defse oe: λ φ K φ λ I M K φ D IN M K soo g ovor e rppreseo e freeze propre de rve soo g oveor e rppreseo e fore od de rve L for ode -es de oe s defor srr orrspodez de -es freez d rsoz ode o ero d rghe e ooe dee r M e K. L s ode osse d e rsozoe d eso probe g ovor e oveor geerzzo. Posso esprere veore oe obzoe ere dee fore od { φ φ φ [ φ] { { { [ φ ] rpprese veore dee oorde od; rpprese veore dee oorde od oge; rpprese re deg oveor. Pg 6 d 7

17 s e dzoe ode Ezoe de oo de rve oorde od: [ φ ] [ M ][ φ]{ [ φ] [ K ][ φ]{ [ φ] [ ]{ [ ]{ [ ]{ [ ]{ [ ] [ ] [ ] soo e r od dgo. edo eso beo d bse s soo dgozze e r e d d osegez s è dsoppo sse. È oe vere sse ss-o dpede. Le r però soo or d desoe. Deso: ero od de rve: _ od ero d grd d berà: _ gd ero d gress de sse p ero rghe veore { p ero rghe veore { _ od _ gd 4 _ od _ gd p 4 desoe re [ ] [ ] [ ] desoe r [M] [K] [ _ od _ gd] [ _ od _ gd] 4 4 Qese deso rgoo ere he pssdo de oorde od ee od. Codo esepo preedee s oee: [ ] { [ ] 4 4 { 4 [ ] { 4 Pg 7 d 7

18 s e dzoe ode 6. dzoe ode L rdzoe ode è bs sddvsoe dee oorde od oee de oorde od. re rdzoe ode s rso e od he o eresso ppzoe ese. È eessro seprre od ser oè e dhe he s vogoo osderre e odeo rdoo e ve oè e dhe he s vogoo rsrre. Nero de od ser Nero de od ve _ 4 [ _ od _ gd] _ Seodo esepo preedee s oee: { [ φ ]{ [ φ ]{ { 4 [ φ ] 4 4 { 4 [ φ ] 4 6 { 6 Ezo de oo de rve seprzoe ser e ve: [ ]{ [ ]{ [ ]{ [ ]{ [ ]{ [ ]{ S pò he rsrvere e segee odo: { [ ω ]{ [ ] [ ]{ { [ ω ]{ [ ] [ ]{ b b dove ω è re dee freeze propre de sse. 6. dzoe per resdzzzoe L rdzoe per resdzzzoe osse e eer oo de orbo so de od ve. Codo o preede s pss e vrb d so: d s h: I Pg 8 d 7

19 s e dzoe ode d s h: dove s rsr ere oee: perhé o s osder orbo do deg ve e s 6.. Sorzeo I odeo EM de rve h soo e r d ss e d rgdezz. S rode desso oorde od o sorzeo. Per o rgrd od ser s pò srvere espressoe deo sorzeo oe: [ ] [ ζ ][ ][ ω ] dove ζ è fore d sorzeo ode de rve e h for d re dgoe. I eso odo è oe rre sse oe sse dpede ss-o grdo d berà pos preo. I odo ogo s pò rgore per od ve oeedo d: [ ]{ [ ]{ [ ]{ [ ]{ [ ]{ [ ]{ [ ]{ [ ]{ 4 5 oppre { [ ζ ][ ω ]{ [ ω ]{ [ ] [ ]{ { [ ζ ][ ω ]{ [ ω ]{ [ ] [ ]{ 4b 5b d 4 s oee: eoree s vrebbero re s sfrdo rezoe s rsro rsrdo per rodrs ovee de s. Pg 9 d 7

20 s e dzoe ode I for re s h: [ ] [ ] { dove I 6.. Ezoe d s vreo he re d seezoe dee se he srà [ o ] he vrà segee for: [ ]. o È oveee osderre sse ooo ovvero sse ore e sesore soo e ess poszoe o dove seo. U propreà d sse è erz regore d rsoze e rsoze zer. D po d vs srre g zer soo ee freeze sse o rspode odo pprezzbe. Iore se e rsoze e od d srr soo dpede d poszoe d sesor e or g zer dpedoo sreee d es. I prore per sse oo g zer geere d rsssoe ro essere od de srr sppos vo ee poszo dee oppe sesore/ore. I presez d sesor e or o bd f sse srà sepre sbe vo rerozoo veoà. Se s è eress poszoe/veoà/eerzoe d odo de srr oeo: { [ o ]{ { [ ]{ o { [ ]{ o Spedo he { [ φ ]{ [ φ ]{ d s 6 7 8: s pò sosre dreee ee ezo o o o φ φ φ o o o φ φ φ Pg d 7

21 s e dzoe ode Posso or sosre rezoe fe d eer oo de orbo so de od ve e rsrdo oro orb d per evre odzoe e sozoe de sse oeo: o o o φ φ φ o φ o φ [ ] I for re oeo: [ C] [ D] { dove C o o φ φ o o φ φ oφ D oφ Pg d 7

22 Esepo 7. Esepo.E.M. rve 7. Pre eor Spefhe: Nero od: Nero grd d berà: Nodo d er sesore e : 6 odo sse ooo Nero od ser: 4 od ser Nero od ve: *-46 od ve Mr e veor z: Veore oorde od: { { Veore deg gress: { { Mre d seezoe deg gress: [ ] [ ] Mre d seezoe dee se: [ ] [ ] Ezoe oorde od: [ M ]{ [ K ]{ [ ]{ Ezoe oorde od: [ ]{ [ ]{ [ ]{ o e Ezoe oorde od o rdzoe: [ ]{ [ ]{ [ ]{ [ ]{ [ ]{ [ ]{ [ ]{ [ ]{ Ezoe d s: o o o φ φ φ o φ o φ [ ] Mr d so: C o o φ φ I o o φ φ oφ D oφ Pg d 7

23 Esepo 7. Dgr d ode de Sse Pro odo Seodo odo erzo odo Qro odo f 7. 6 Hz f 57. Hz f 49. Hz f 7. 7Hz 4 7. Desoe r 88 M44 φ K44 φ C D o 4 6 Pg d 7

24 Esepo 7.4 Ls ML 7.4..E.M. rve % Mr d ss e rgdezz d EM MK ose for og e_res; _od4; MDyvM*K; % Mre d [oveov]egmdy; ovdgdgov.^.5; % Ordo g ovor orde resee % Ordo re deg oveor orde resee [ovdg b]sorovdg; geghb; oveordzeros44; for ::g oveord:ove:b; ed repropreovdg/*p; for ::_od %reo veore o pr 4 ovor ovmovdg; ed ovmdgdgovm; % reo re o pr 4 ovor freomovmdg/*p; % per poer fre po prodo % Coo e r od _odoveord'*m*oveord; _odoveord'*k*oveord; % Mre d seezoe deg gress zeros4; sze-9; % orz d zoe 5 odo - poszoe s 4 % ore d seezoe de's ozeros4; oegho-9; % Dvsoe ser e ve % ser e ve oveord::_od; oveord:_od:4; % MSE M'*Mg*; K'*Kg*; z.*eyeszem; C*z*oVMDg*M; %o sopr sdo soo pr 4 ovor '*; % SLVE M'*Mg*; K'*Kg*; '*; Pg 4 d 7

25 Esepo % Mr C e D o sorzeo Ieye_od; Ozeros_od; Ozeros_od; OCzeros_od; ODzeros; ode[o I; -M^-*K -M^-*C]; ode[o; M^-*]; Code[o* OC; OC o*; -o**m^-*k -o**m^-*c]; Dode[o**K^-*; OD; o**m^-*]; % Dgr d ode bodeodeodecodedode; freezebsegode./*p; fre_ordsorfreeze 7.4. e Mres %%%%%%%%%%%%% -fe o geere he LI res of C/I fed %%%%%%%%%%%%% orrespodg o he EM of be eee % by Je P Voy: ep.voy@poo. %fo [MKo]be_res; %%%Ip D%%% %Mer properes Ee9; O7.8e; NU.; %Geoer properes elegh.6; edephe-; ehesse-; KI*NU/*NU; _ovbe_poee-; %Grd properes berofnodes; dof; oeo[[:]'[:]']; %Yog ods [MP] %Mer desy [g/^] %Posso's ro %e egh [] %e dh [] %e hess [] %Sher for bed for dffere seos % ss of he ovg pr of he eeroge [g] %Nber of odes of he grd %Nber of degrees of freedo per ode %Coeo r; odes for eh eee %%%Eee Mres Co%%% %e eee res LbeeLegh/berOfNodes-; %Eee egh [KbeMbe]eEee_sherLbeeDephehessENUKIO; %%%Gob Mres Co%%% MgzerosberOfNodes*dof; KgzerosberOfNodes*dof; for d:berofnodes- oeod-*; oeod-*; Mg::Mg::Mbe::; Mg::Mg::Mbe:4:4; Mg::Mg::Mbe::4; Mg::Mg::Mbe:4:; Kg::Kg::Kbe::; Kg::Kg::Kbe:4:4; Kg::Kg::Kbe::4; Pg 5 d 7

26 Esepo ed Kg::Kg::Kbe:4:; % o p he frs ode he frs o ros d os of he res % re eed Mg:[]; Mg:[]; Mg:[]; Mg:[]; Kg:[]; Kg:[]; Kg:[]; Kg:[]; % he ss of he ovg pr of he eeroges s dded o he s ode dspee degree of freedo. gdszemg; Mggd-gd-Mggd-gd-_ovbe_poe; MMg; KKg; freegvm*k.^.5//p; he eeroge syse. % [Hz] r freees of he beovg pr of dofszem; zerosdof; dof-; o'; 7.4. eeee_sher fo [KbeMbe]eEeeLbeDbebeEbeNUbeKIbeObe %%%%%%%%%%%%% -fe o geere he sffess dpg d ss res %%%%%%%%%%%%% of be eee of gve desos d er properes %%% ref: G. Ge "vbros of he srres d hes" Sprger %%% Ne Yor 99 %Lbe: egh of he be eee %Dbe: deph %be: hess %Ebe: Yog ods %Obe:Mer desy %Kbe: sffess r of he be eee %Cbe: dpg r %Mbe: ss r bedbe*be; IbeDbe*be^/; GbeEbe//NUbe; f*ibe*ebe*kibe/gbe/be/lbe^; 5694*f4*f^; 8.5*f7.5*f^; 546*f7*f^; 4.5*f7.5*f^; 547*f.5*f^; 67*f.5*f^; 76; 8-5*f; 945*f*f^; 5*f-5*f^; MbeObe*be*Lbe/4/f^* [ [ *Lbe -4*Lbe];... [*Lbe 5*Lbe^ 4*Lbe -6*Lbe^];... Pg 6 d 7

27 Esepo [ 4*Lbe -*Lbe];... [-4*Lbe -6*Lbe^ -*Lbe 5*Lbe^]]; MbeMbeObe*Ibe//f^* [ [ 7 8*Lbe -7 8*Lbe];... [8*Lbe 9*Lbe^ -8*Lbe -*Lbe^];... [-7-8*Lbe 7-8*Lbe];... [8*Lbe -*Lbe^ -8*Lbe 9*Lbe^]]; Kbe*Ibe*Ebe/f* [ [/Lbe^/*Lbe^ -/Lbe^ /*Lbe^];... [/*Lbe^ /f//lbe -/*Lbe^ /6- f//lbe];... [-/Lbe^ -/*Lbe^ /Lbe^ - /*Lbe^];... [/*Lbe^ /6-f//Lbe -/*Lbe^ /f//lbe]]; Pg 7 d 7