Procedura di analisi non lineare statica per la valutazione sismica degli edifici in aggregato

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1 Procera i analisi non lineare statica per la valtazione sismica egli eifici in egato Giorgio Monti, Marco Vailati Dipartimento i Ingegneria Strttrale e Geotecnica, Sapienza Università i Roma, Via Gramsci 53 - Roma ANIDIS009BOLOGNA ewors: egati eilizi, pshover, analisi semplificata, nità strttrale. ABSRAC La NC 008 consente, per gli eifici in egato, i esegire na verifica semplificata, in ci si trascri la variazione ello sforzo assiale nei maschi mrari e il comportamento torsionale. Una lteriore semplificazione eriva alla possibilità i stiare l eificio analizzano e verificano separatamente ciascn interpiano. La normativa obbliga però a esegire tale verifica meiante il metoo ell analisi non lineare, senza peraltro specificare come qesta ebba essere esegita. Nei paragrafi che segono, si propone na procera non lineare che, in accoro ai ettami normativi, consente i valtare la sicrezza sismica i n eificio in egato, nell ipotesi i solai rigii nel proprio piano. 1 INRODUZIONE Ogni valtazione ella sicrezza sismica egli egati eilizi, qali si trovano nella qasi totalità ei centri storici, richiee inizialmente n notevole sforzo interpretativo per convogliare informazioni i iversa natra e gingere a efinire in maniera nivoca la porzione i tessto s ci esegire l analisi sismica. ale processo conoscitivo ovrebbe sperare le limitazioni i na lettra settoriale o parziale per svilppare na comprensione critica insieme e ovrebbe mirare a interpretare e escrivere gli aspetti formali e spaziali ella forma fisica esistente, prestano particolare attenzione agli schemi i eificio e i egato e metteno a foco il moo in ci na forma concretamente si realizza istingenosi alle altre. L intero processo, ampiamente escritto e applicato in Monti et al. 007, Monti e Scalora 008, parte al riconoscimento el Sistema Eilizio Contino SEC per gingere alla ientificazione ella Unità Strttrale US. Qesta sarà elimitata a eifici contigi iniviabili per regole egative/ispositive alla scala el SEC o per caratteri tipo-morfologici e formali, oppre a corpi i fabbrica costriti con tipologie costrttive e strttrali iverse o in epoche istinte, ovvero a spazi aperti o a ginti strttrali. A qesto pnto la NC 008 richiee al progettista i esegire la valtazione ella sicrezza sismica slla US attraverso il metoo ell analisi non lineare statica, strmento certamente non ancora alla portata i ttti i progettisti. Nel caso i orizzontamenti riconosciti come rigii nel proprio piano si consentono però alcne semplificazioni Circolare Esplicativa n.617 par. C8A.3, qali: a l analisi pò essere esegita piano per piano, b la variazione i sforzo assiale nelle pareti mrarie pò essere trascrata, c la rotazione nel piano ei solai pò essere trascrata. Grazie a qeste semplificazioni è possibile e è qesto lo scopo el presente lavoro efinire na procera non lineare, facilmente gestibile anche attraverso n foglio i calcolo, che, parteno al comportamento non lineare elle singole pareti mrarie, arriva a escrivere il comportamento globale i piano e la corrisponente capacità, sia in termini i resistenza sia in termini i capacità i spostamento. I vari piani, stiati separatamente e poi assemblati in n sistema a più g..l., vengono verificati nei confronti ella omana in spostamento a ogni livello, valtata in analogia a qanto si fa per i meccanismi locali. Il metoo consente i iniviare i piani più vlnerabili e, all interno i essi, le pareti mrarie che eterminano tale vlnerabilità.

2 MODELLO DI CALCOLO.1 Legame costittivo el maschio mrario Si consieri n eificio in mratra riconoscito come egato eilizio, segeno le inicazioni elle NC 008. Sia l eificio costitito a N piani, s ognno ei qali sono presenti M maschi mrari. Si consieri l interpiano generico n. Ogni parete m è caratterizzata a na tripletta i valori: f,, 1 che rappresentano, rispettivamente, la resistenza allo snervamento convenzionale, lo spostamento allo snervamento e lo spostamento ltimo. Ognna i qeste granezze è efinita, rispettivamente, come si noti che nella è necessaria l ipotesi assnta i costanza ello sforzo assiale: f min f, f V f k 3 se f V f 4 se f < f V ove f,v e f, sono le capacità ei meccanismi resistenti per taglio e per pressoflessione fornite, rispettivamente, alla Eq ella Circolare Esplicativa e alla Eq elle NC 008,,V e, sono i corrisponenti spostamenti ltimi si noti che si ha sempre:,v_ < _,, assnti per convenzione rispettivamente pari a 0,4% e 0,6% ell altezza el pannello nella Circolare E- splicativa par. C Il legame costittivo forza-spostamento i ogni maschio mrario sarà nqe espresso come: k f f < 5 0 <. Legame costittivo i interpiano All amentare ello spostamento i interpiano, nell ipotesi già ichiarata i solai rigii nel proprio piano e in conizioni i assenza i torsioni el piano e qini i gale spostamento per ttte le pareti appartenenti a qell interpiano, il legame costittivo i interpiano sarà ato semplicemente alla somma ei legami costittivi elle singole pareti: f 6 Il legame risltante sarà lineare a tratti, ano logo complessivamente a na crva non lineare che pò essere in molti casi ifficile a trattare come a esempio, nella fase sccessiva i bilinearizzazione eqivalente. È possibile però semplificare il legame costittivo i interpiano faceno riferimento al minore e al maggiore fra ttti i valori i spostamento allo snervamento elle pareti i n interpiano, efiniti come: min e 7 e osservano che i e valori min e sopra introotti rappresentano e pnti chiave ella risposta complessiva i interpiano. In particolare, il primo rappresenta lo spostamento i interpiano che provoca la plasticizzazione el primo maschio mrario, mentre il secono rappresenta lo spostamento i interpiano che provoca la plasticizzazione i ttti i maschi mrari. E importante anche osservare che, qano lo spostamento i interpiano ragginge il valore, ttti i maschi mrari con f V_ _f e spostamento ltimo collassano contemporaneamente per taglio, mentre, qano lo spostamento i interpiano ragginge il valore, ttti i rimanenti maschi mrari, che hanno qini f V_ _f e spostamento ltimo, collassano contemporaneamente per pressoflessione. Si noti che, mentre è chiaro che min <, pò invece accaere che: a cioè i collassi per taglio avvengono qano ttti i maschi mrari sono plasticizzati, oppre, b > cioè i collassi per taglio avvengono qano non ttti i maschi mrari sono plasticizzati. Nel segito qesti e casi sono trattati separatamente, poiché eterminano ifferenze molto significative nella risposta i interpiano. I e casi sono enominati, rispettivamente: a collasso i interpiano per taglio a plasticizzazione totale ; b collasso i interpiano per taglio a plasticizzazione parziale...1 Caso a: collasso i interpiano per taglio a plasticizzazione totale Il legame costittivo i interpiano è qi eterminato nel caso in ci sia. Al crescere ello spostamento i interpiano, si ha: - se min ttte le pareti sono elastiche, per ci la forza i interpiano corrisponente è:

3 8 in ci Σk è la rigiezza i interpiano qano ttte le pareti sono elastiche; - se min <, alcne pareti sono plasticizzate mentre altre sono elastiche. In qesta fase il comportamento è non lineare a casa ella progressiva plasticizzazione elle pareti, ma è possibile consierarlo come lineare faceno riferimento alla retta secante fra i e pnti estremi ell intervallo i spostamento, per ci si ha: + 9 min, a in ci: R min, a 10 è la rigiezza secante fra i e estremi ell intervallo, ove: R R + R f + f 11 V V è la resistenza totale i interpiano, somma ella resistenza R V i ttti gli elementi a taglio e ella resistenza R i ttti gli elementi a pressoflessione; - se <, ttte le pareti sono plasticizzate, per ci la forza i interpiano corrisponente è: 1 R Si tratta qini i n ramo a forza costante; - se <, ttte le pareti resistenti a taglio sono collassate, mentre qelle resistenti a pressoflessione sono plasticizzate, per ci la forza i interpiano corrisponente è: 13 R Anche in qesto caso si tratta i n ramo a forza costante; - se <, ttte le pareti sono collassate, per ci la forza i interpiano corrisponente è: 0 14 Qanto sopra esposto si riassme nel legame costittivo i interpiano, espresso a: +, < < < 0 < 15 in ci Σk 16 R min, a 17 R R + R f + f 18 V V La segente figra mostra n tipico legame costittivo i interpiano nel caso a. igra 1. Legame costittivo i interpiano per... Caso b: collasso i interpiano per taglio a plasticizzazione parziale Il legame costittivo i interpiano è qi eterminato nel caso in ci sia >. Al crescere ello spostamento i interpiano, si ha: - se < min, ttte le pareti sono elastiche, per ci la forza i interpiano corrisponente è: 19 in ci Σk è la rigiezza i interpiano qano ttte le pareti sono elastiche; - se min <, alcne pareti sono plasticizzate mentre altre sono elastiche. In qesta fase il comportamento è non lineare a casa ella progressiva plasticizzazione elle pareti, ma è possibile consierarlo come lineare faceno riferimento alla retta secante fra i e pnti estremi ell intervallo i spostamento, per ci si ha: 0 min, b in ci: min, b R R 1 è la rigiezza secante fra i e estremi ell intervallo e ove: R k R k min min min,a R V R

4 è il contribto che manca alla resistenza totale ovto alle pareti non ancora plasticizzate, in ci la sommatoria va estesa alle sole pareti che hanno comportamento flessionale, meiante le parentesi i McAle, le qali, se l argomento è negativo, forniscono 0 in tal moo si inclono nella sommatoria, che si va a sottrarre alla resistenza totale i interpiano R, ttte e sole le pareti che hanno >, ovvero si plasticizzano opo il collasso elle pareti a taglio; - se <, ttte le pareti a taglio sono collassate, mentre qelle a pressoflessione non ancora plasticizzate si plasticizzano progressivamente. Al legame i interpiano non contribiscono più le pareti a taglio, già collassate. In qesta fase il comportamento è reso non lineare alla progressiva plasticizzazione elle pareti a pressoflessione, ma è possibile consierarlo come lineare faceno riferimento alla retta secante fra i e pnti estremi ell intervallo i spostamento, per ci si ha: min, b in ci R 3 R min, b 4 è la rigiezza secante fra i e estremi ell intervallo e ove il contribto: R k 5 è relativo alle sole pareti che hanno comportamento flessionale, in ci sono le parentesi i McAle, che forniscono 0 se l argomento è negativo in tal moo si inclono nella sommatoria ttte le pareti che hanno >, ovvero si plasticizzano opo il collasso elle pareti a taglio. - se <, ttte le pareti resistenti a pressoflessione sono plasticizzate, per ci la forza i interpiano corrisponente è: 6 R Si tratta qini i n ramo a forza costante; - se <, ttte le pareti sono collassate, per ci la forza i interpiano corrisponente è: 0 7 Qanto s esposto si riassme nel legame costittivo i interpiano, espresso a: +, <, < < 0 < in ci: 8 k 9 R R min, b 30 R min, b 31 R R + R f + f 3 V V R k 33 La segente figra mostra n tipico legame costittivo i interpiano nel caso b. R R V +Σf +Σk k min min min,b min,b R igra. Legame costittivo i interpiano per >..3 Legame bilineare eqivalente i interpiano Con riferimento al pnto C7.3.4 ella Circolare Esplicativa elle NC 008, allo scopo i eterminare la omana in termini i spostamento sll interpiano, è necessario eterminare n legame bilineare i interpiano eqivalente in senso energetico a qello sopra eterminato. ale legame viene efinito per i e casi ientificati in preceenza..3.1 Caso a: collasso i interpiano per taglio a plasticizzazione totale Il legame bilineare eqivalente associato all interpiano in esame ha le segenti caratteristiche: R R - rigiezza iniziale secante al 60% el picco ella risposta:

5 0,60R min 34 min 0,40R Si noti che tale rigiezza è inferiore a qella che si otterrebbe tracciano la secante a 0,60R sl ramo non lineare. D altra parte, qest ltima non è valtabile in forma esplicita, necessitano i na procera a hoc. ale approssimazione è comnqe conservativa portano a na omana in spostamento maggiore. - spostamento i plasticizzazione: E ip spostamento ltimo:, se R < 0, 85R 36, se R 0, 85R 37 Lo spostamento eqivalente i plasticizzazione è stato eterminato, come sggerito anche nella normativa, meiante l eqivalenza elle aree sottese ai iagrammi. L area sottesa al iagramma eqivalente bilineare è: 1 1 E 38 mentre l area sottesa al iagramma i interpiano è pari a: 1 Eip [ + R + ] 39 + R + R H R 0,85R ove si noti che l ltimo termine, ove si impiega la fnzione i Heavisie H che fornisce 1 per argomenti positivi e 0 per argomenti negativi, scompare nel caso in ci R <0,85R. Dall gaglianza elle e aree E E ip si ricava appnto il valore ello spostamento eqivalente i plasticizzazione ell interpiano..3. Caso b: collasso i interpiano per taglio a plasticizzazione parziale Il legame bilineare eqivalente associato all interpiano in esame ha le segenti caratteristiche: - rigiezza iniziale secante al 60% el picco ella risposta: 0,60 R, R R min 40 0,40 R, R R min Anche in qesto caso valgono le consierazioni svolte per l analoga rigiezza el caso a. - spostamento i plasticizzazione: E ip spostamento ltimo:, se R <,85 R, R R 4 0, se R,85 R, R R 43 0 Lo spostamento eqivalente i plasticizzazione è stato eterminato, come sggerito anche nella normativa, meiante l eqivalenza elle aree sottese ai iagrammi. L area sottesa al iagramma eqivalente bilineare è: 1 1 E 44 1 E ip [ + R R + ] 45 + [R R + R ] δ in ci: δ H[ R 0,85 R, R R ] è la fnzione i Heavisie che fornisce 1 per argomenti positivi e 0 per argomenti negativi; nel caso in ci R <0,85 [R,R - R ] gli ltimi e termini ella 45 scompaiono. Dall gaglianza elle e aree E E ip si ricava appnto il valore ello spostamento eqivalente i plasticizzazione ell interpiano. Nelle figre segenti sono riportati e casi - tili alla comprensione el legame i interpiano: nella prima alla resistenza totale contribiscono principalmente le pareti a comportamento flessionale che plasticizzano per spostamenti maggiori i ; nella secona il contribto maggiore è fornito alle pareti con comportamento a taglio e limite i snervamento pari a. Nel primo caso il picco i resistenza è ato alla somma elle forze i snervamento elle pareti plasticizzate a flessione, poiché le pareti a taglio sono ttte collassate; nel secono il valore massimo ella resistenza i piano è ato alla somma elle forze i snervamento elle pareti plasticizzate a taglio e i qelle elastiche elle pareti a pressoflessione.

6 Dalle consierazioni preceenti si pò erre che, in generale, il picco in termini i forza ipene al tipo i meccanismo ominante nell interpiano. R Σf Σf V +Σk min igra 3. Legame costittivo i interpiano con il contribto principale elle pareti con comportamento flessionale e limite i snervamento >. min igra 4. Legame costittivo i interpiano con il contribto principale elle pareti con comportamento a taglio e limite i snervamento..4 Risposta inamica ell egato e omana i spostamento interpiano Meiante i passaggi sopra esposti, il comportamento complesso i ogni interpiano è stato semplificato in n legame bilineare eqivalente. Il legame costittivo ella US, no per ogni irezione in ci si esege la verifica sismica, si ottiene consierano il comportamento conginto egli N piani visti come sistema in serie. La rigiezza complessiva el sistema serie è: 1 1/ 46 mentre la massa partecipante è: M 0, 85 M 47 min R V +Σk Σk min piano R Da tali qantità si pò calcolare il perioo proprio ell egato nella irezione consierata: che eventalmente, ai fini i n controllo a posteriori, si pò confrontare con l espressione approssimata Eq NC ,050 H 3/4, ove H è l altezza ella costrzione, in metri, al piano i fonazione. Poiché la NC 008 impone i trattare l analisi egli eifici in egato meiante analisi statica non lineare, analizzano e verificano separatamente ciascn interpiano ell'eificio, la verifica pò essere conotta confrontano, per ogni interpiano, la capacità in spostamento con la relativa omana. La stima ella omana in termini i spostamento s ogni interpiano pò essere esegita introceno lo spettro i spostamento i interpiano concettalmente analogo a qello i piano introotto nelle NC per valtare la omana si meccanismi locali efinito come: S ψ γ De, ip, Zip SDe Zip 49 in ci S De è lo spettro i risposta elastico in spostamento, fnzione ella probabilità i speramento ello stato limite scelto e el perioo i riferimento, calcolato per il perioo ; ψz ip è la penenza secante, sll interpiano consierato, el primo moo i vibrazione nella irezione consierata, normalizzato a no in sommità all eificio in assenza i valtazioni più accrate pò essere assnto ψz ip Z ip /H, ove H è l altezza ella strttra rispetto alla fonazione e Z ip è l altezza ell interpiano; γ è il corrisponente coefficiente i partecipazione moale in assenza i valtazioni più accrate pò essere assnto γ 3N/N+1, con N nmero i piani ell eificio. Qini, al generico interpiano, la omana in spostamento interpiano è ata a: S, Z 50 D, ip De, ip ip 3 VERIICHE DI SICUREZZA Le verifiche vengono qini svolte, per ogni interpiano, controllano che lo spostamento i omana sia non speriore allo spostamento ltimo, come sege: 51 D, ip Qalora le verifiche siano soisfatte a ttti gli interpiani, si consiera che la verifica ell eificio in egato sia soisfatta nel so complesso. M π 48

7 4 CONCLUSIONI Il presente lavoro evienzia come lo stio i eifici in egato e elle se intrinseche complessità, possa essere trattato in maniera rigorosa ma semplice nei soi svilppi, aveno cra i a- nalizzare attentamente l egato e riconosceno al so interno le nità strttrali che lo compongono, secono caratteri i omogeneità che il progettista eve essere in grao i riconoscere. Una volta operato il riconoscimento all interno ell egato eilizio elle nità strttrali, la procera esposta nel presente lavoro orina in na seqenza chiara e semplice, le operazioni necessarie a conrre le verifiche secono le NC 008. I pnti essenziali ella procera consistono nel: - efinire il legame costittivo i ogni piano ella US, per entrambe le irezioni; - semplificare i iagrammi preceenti assmeno na legge bilineare eqivalente in senso e- nergetico; - efinire il legame costittivo ella US il ci comportamento insieme è visto come sistema in serie; - confrontare Domana e Capacità in spostamento i ogni singolo interpiano; La metoologia esposta è stata applicata a n caso esempio i eificio, i ci risltati sono stati raccolti in n secono lavoro Monti e Vailati 009, con il plice obiettivo i: - esaminare e isctere le informazioni che la procera i calcolo mette a isposizione ell analista; - evienziare come la stessa si presti a essere facilmente implementata in na rotine i calcolo al fine i esegire atomaticamente le verifiche e renere più flessibile la gestione ei ati i otpt. RIERIMENI BIBLIOGRAICI Circolare febbraio 009 n. 617 C.S.LL.PP. Istrzioni per l applicazione elle nove norme tecniche per le costrzioni i ci al ecreto ministeriale 14 gennaio 008. Spplemento orinario n. 7 alla Gazzetta Ufficiale 6 febbraio 009, 47, Crti, E., Giovinazzi, S., Lagomarsino, S., Resemini, S., 007. Analisi non lineari i meccanismi locali i anno in strttre monmentali. Atti el XII convegno ANIDIS L ingegneria Sismica in Italia, Gigno, Pisa. DM 14 Gennaio 008. Nove norme tecniche per le costrzioni. Gazzetta Ufficiale ella Repbblica Italiana 4 febbraio 008, 9, Giffrè, A., Lettre slla meccanica elle mratre storiche, Eistampa, Roma. Magenes, G., Alcni svilppi e applicazioni nella moellazione ella risposta sismica i eifici in mratra. IX Convegno ANIDIS L ingegneria Sismica in Italia, 0-3 Settembre, orino, I. Magenes, G., Bolognini, D., Braggio, C., 000. Metoi semplificati per l analisi sismica non lineare i eifici in mratra, CNR - Grppo Nazionale Difesa erremoti, Roma. Marnetto, R., Massa, L., Vailati, M., 004. Progetto sismico i strttre nove in cemento armato ai sensi ell or. 374 el 08/05/003 e sccessive integrazioni n.3316, Eizioni appa, Roma. Monti, G., Vailati, M., 009. Analisi i vlnerabilità sismica i eifici in egato: n caso esempio. XIII convegno ANIDIS L ingegneria Sismica in Italia, 8 Gigno- Lglio, Bologna. Monti, G., Scalora, G. Sorrentino, L Conservazione ei centri storici: n esperienza a Ortigia. Workshop on Design for Rehabilitation of Masonr Strctres, WonerMasonr, Ischia, 11-1 Oct. Monti G., Scalora G Conservation of Historical Cit Centres: a nowlege-base Metho for the Interpretation of Urban abrics. REHABEND Conference, echnologies for rehabilitation an management of architectral heritage, Valencia, Spain, Oct 6-9 invite lectre. Pala,., Priestle, M.J.N., 199. Seismic esign of reinforce concrete an masonr bilings, Wile & sons LD., New York. omaževic, M., Earthqake resistant esign of masonr bilings, Series on Innovation in Strctres an Constrction, Vol. 1, Imperial College Press, Lonra.