Giuseppina Anatriello Matteo Allegro Calcolo con GeoGebra. II edizione

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3 Giuseppina Anatriello Matteo Allegro Calcolo con GeoGebra II edizione

4 Copyright MMXV Aracne editrice int.le S.r.l. via Quarto Negroni, Ariccia (RM) (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. II edizione: luglio 2015

5 Indice Elenco delle figure 15 Introduzione 21 1 Calcolo geometrico Le strutture della geometria euclidea Struttura affine La semiretta come spazio di misura La retta polare come retta numerica Equazione parametrica della retta nel piano e nello spazio Base Equazione parametrica del piano nello spazio euclideo Struttura metrica Modulo, forma quadratica e distanza Prodotto scalare e forma bilineare Coseno di un angolo Prodotto vettoriale Sistema di riferimento cartesiano monometrico ortogonale Topologia naturale Punti interni, esterni e di frontiera Insiemi aperti e insiemi chiusi Connessi per archi e insiemi compatti 45 5

6 6 Indice 1.2 Costruzioni con GeoGebra Costruzioni nel piano Trasporto del segmento Trasporto dell angolo Costruzione parallela Costruzione perpendicolare Somma di punti L opposto di un punto Suddivisione di un segmento Prodotto di punti Inverso Bisettrice dell angolo Prodotto per uno scalare Il coniugato Il prodotto tra due punti coniugati La radice quadrata Media proporzionale Trasformazione circolare inversa Geometria analitica e Algebra lineare Lo spazio vettoriale (R 2, +, ) Prodotto scalare e modulo Il prodotto scalare con GeoGebra I numeri complessi Cambiamenti di base notevoli nel piano Trasformazioni polari Coordinate polari con GeoGebra Le radici n-sime di un numero complesso Affinità Rappresentazione matriciale di un numero complesso Numeri complessi con GeoGebra Esercizi Numeri complessi Matrici di trasformazione del piano in sé.. 75

7 Indice Riflessione rispetto ad una retta passante per O Omotetia Scaling Shear Esercizi proposti La retta Condizione di parallelismo e di perpendicolarità Equazione cartesiana Esercizi: Geometria analitica nel piano Esercizi proposti Lo spazio vettoriale (R 3, +, ) La retta Il piano: equazione parametrica Il modulo, il prodotto scalare Il prodotto vettoriale, il prodotto misto Prodotto vettoriale con GeoGebra Equazione cartesiana del piano e della retta Equazioni parametriche e cartesiane con GeoGebra Esercizi: rette e piani Esercizi proposti Trasformazioni dello spazio tridimensionale Coordinate cilindriche Coordinate sferiche Coordinate sferiche e cilindriche con GeoGebra Matrici di cambiamenti di base notevoli Trasformazioni dello spazio con GeoGebra Esercizio proposti Spazi vettoriali euclidei Modulo, prodotto scalare

8 8 Indice Basi e indipendenza lineare n-uple di vettori e dipendenza lineare Base canonica di R n Sistemi lineari Sistemi lineari omogenei Determinante di un sistema di vettori Matrici Calcolo matriciale con GeoGebra Applicazione: Teorema di Rouché-Capelli per i sistemi lineari Esercizi: sistemi lineari Esercizi proposti Curve Funzioni di una variabile Le funzioni numeriche reali La funzione inversa Funzioni monotone Risoluzione di problemi algebrici con strumenti analitici Disequazioni elementari e risoluzione Le funzioni elementari Proprietà delle funzioni elementari Le funzioni trigonometriche Le funzioni iperboliche Esercizi: dalle diseguaglianze numeriche alla variazione di segno Esercizi proposti Limiti di funzioni monotone che trasformano intervalli in intervalli Limiti di funzioni elementari negli estremi Limiti nei punti interni di funzioni monotone che trasformano intervalli in intervalli

9 Indice Teorema sui limiti delle funzioni composte di funzioni monotone Teorema delle operazioni tra limiti Limiti notevoli Principi di eliminazione Nota: Limiti e continuità funzioni numeriche reali Esercizi sui limiti Esercizi proposti Calcolo differenziale Differenziale e retta tangente al grafico Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate funzioni iperboliche e inverse Teoremi in ipotesi di derivabilità per le funzioni numeriche reali Esercizi: differenziale e retta tangente al grafico Formula di Taylor Esercizi sui limiti con Taylor Esercizi proposti Criteri di monotonia e concavità Criterio di monotonia larga Criterio di monotonia stretta Minimi e massimi relativi di una funzione Min e Max per funzioni numeriche reali Concavità e convessità Integrale indefinito Integrale e differenziale Le primitive delle funzioni elementari Proprietà di linearità degli integrali Formule di sostituzione negli integrali indefiniti

10 10 Indice Integrazione per parti Integrale definito Formula fondamentale del calcolo integrale Riepilogo regole fondamentali Integrali immediati Integrali di altre funzioni elementari Integrali di funzioni razionali e sostituzioni razionalizzanti Integrali con GeoGebra Esercizi proposti Equazioni differenziali lineari Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità Integrale generale di un equazione differenziale lineare Integrale generale di un equazione differenziale lineare omogenea Lo spazio delle soluzioni La dimensione dello spazio delle soluzioni Esistenza di una base Proprietà del wronskiano Integrale generale di un equazione differenziale lineare non omogenea Metodo della variazione delle costanti arbitrarie Esempi notevoli Le equazioni differenziali ordinarie con GeoGebra Esercizi proposti Curve parametriche regolari Equazione parametrica della retta tangente alla curva Lunghezza di una curva Cambiamento di parametro

11 Indice Le curve negli spazi numerici Ascissa curvilinea Le curve con GeoGebra Triedro fondamentale di Frenet Esercizi proposti Coniche Coniche nel piano euclideo Coniche in un piano cartesiano Coniche e autovalori Equazioni in forma canonica Curve celebri Trisettrice di Ippia Cissoide di Diocle Concoide di Nicomede Curve generate per rotazioni Epicicloide Ipocicloide Rodonea Curve generate per rototraslazioni Cicloide Elica cilindrica Curve generate tramite rotazione e omotetia Spirale di Archimede Spirale logaritmica o equiangolare Elica conica Altre curve celebri Catenaria Trattrice Curve di Bézier Superfici Funzioni di due variabili Superfici e grafici di funzione di due variabili con GeoGebra Esercizi: domini e variazione di segno

12 12 Indice Esercizi proposti Definizione di limite per funzioni di due variabili Continuità in un punto Confronto tra le nozioni di limite per funzioni di una e di due variabili Teoremi sui limiti Proprietà topologiche delle funzioni continue Limiti e continuità con GeoGebra Esercizi: limiti e continuità Esercizi proposti Differenziabilità di funzioni di due variabili Derivate parziali Il gradiente e la differenziabilità La notazione dell o-piccolo Derivate direzionali Funzioni con gradiente nullo Derivata funzione composta Derivate di ordine superiore Derivazione con GeoGebra Esercizi: differenziabilità e piano tangente Esercizi: derivate parziali e direzionali Esercizi proposti Esercizi di riepilogo Esercizi proposti Formula di Taylor ed estremi relativi Minimi e massimi con GeoGebra Esercizi: minimi e massimi relativi Esercizi proposti Superfici parametriche regolari Piano tangente Esercizi proposti Cambiamenti di parametri Superfici coordinate e linee coordinate354

13 Indice Superfici di rotazione Superfici rigate Superfici sviluppabili Superfici celebri Nastro di Möbius Quadriche Quadriche con GeoGebra Altre superfici notevoli Integrazione Estensione del concetto di misura Misura secondo Peano-Jordan Integrale esteso ad un intervallo Alcune proprietà dell integrale esteso Teorema fondamentale del calcolo integrale Somme integrali con GeoGebra Esercizi proposti Volumi solidi Esercizi proposti Lunghezza di una curva Massa e baricentro di un filo Esercizi proposti Integrali curvilinei di campi vettoriali Integrali curvilinei di forme differenziali Forme differenziali esatte Teorema fondamentale del calcolo per forme differenziali esatte Forme differenziali chiuse Esercizi proposti Integrali doppi Alcune proprietà dell integrale doppio Proprietà Formule di riduzione per integrali doppi su rettangoli

14 14 Indice Formule di riduzione per integrali doppi su domini normali e regolari Cambiamento di variabili Cambiamento di variabili in coordinate polari Esercizi svolti Esercizi proposti Aree e integrali di superficie Massa e baricentro di una lamina superficiale Esercizi proposti Integrali tripli Massa, baricentro e momento di inerzia di un solido Divergenza e Rotore Esercizi proposti Appendice: Funzioni e Strutture Algebriche 459 Appendice: Tabelle utili 473 Bibliografia 475

15 Elenco delle figure 1.1 Somma tra punti Prodotto per uno scalare Asse polare Equazione parametrica della retta Coordinate di un punto rispetto ad una base Modulo del punto P Verifica con costruzioni teorema di Carnot Costruzione trasporto del segmento Costruzione trasporto dell angolo Parallela Perpendicolare Perpendicolare Somma di due punti Costruzione dell opposto di un punto Costruzione del sottomultiplo di un punto Prodotto di due punti Inverso Bisettrice di un angolo Prodotto per uno scalare Coniugato di un punto Prodotto tra due punti coniugati Costruzione della radice di C Costruzione medio proporzionale Costruzione inverso circolare: caso punto esterno circonferenza

16 16 Elenco delle figure 1.25 Costruzione inverso circolare: caso punto interno circonferenza Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio con risoluzione A Esercizio con risoluzione B Vista CAS di calcolo determinante in esercizio Vista CAS matrice ridotta in esercizio Vista CAS per soluzione esercizio Vista CAS per soluzione esercizio Esercizio con risoluzione A Esercizio con risoluzione B Visualizzazione dell inversa Potenza 0 < α < Potenza α > Confronto grafici funzioni potenza con esponente maggiore di Potenza 1 < α < Potenza α < Esponenziale a > Esponenziale 0 < a < Confronto grafici esponenziali base maggiore di Funzione logaritmo a > Funzione logaritmo 0 < a < Confronto grafici funzioni logaritmo Risoluzione (3.3) in esercizio Risoluzione di (3.5) in esercizio

17 Elenco delle figure Risoluzione di (3.5) in esercizio Rappresentazione nel piano cartesiano di (3.6) Variazione di segno sulla retta numerica di (3.6) Rappresentazione grafica del numeratore di (3.8) Rappresentazione grafica del denominatore di (3.8) Visualizzazione soluzione di (3.8) VS numeratore di (3.9) in esercizio VS denominatore di (3.9) in esercizio VS di (3.9) in esercizio VS numeratore di (3.10) in esercizio VS denominatore di (3.10) in esercizio VS di (3.10) in esercizio Risultato finale VS di (3.10) in esercizio Intorno di x Intorno di Intorno di Soluzione dell esercizio Soluzione dell esercizio Soluzione dell esercizio Visualizzazione in 2D Visualizzazione in 3D Triedro di Frenet Algebra di Figura Parabola Ellisse Iperbole Trisettrice di Ippia Cissoide Concoide Rodonea Esempio di epicicloide: cardioide Esempio di ipocicloide: asteroide Cicloide Spirale Archimedea Spirale Logaritmica

18 18 Elenco delle figure 3.50 Elica Cilindrica Elica Conica Catenaria Trattrice Curva di Bézier Grafico funzione di due variabili Piano tangente al grafico di una funzione Rappresentazione grafico log 2 (xy 1) Rappresentazione VS log 2 (xy 1) Soluzione e rappresentazione Soluzione e rappresentazione Soluzione e rappresentazione Soluzione e rappresentazione Soluzione e rappresentazione Soluzione e rappresentazione Superficie regolare con curve tracciate Ellissoide Paraboloide ellittico: Paraboloide iperbolico: Iperboloide iperbolico oad una falda Iperboloide ellittico o a due falde Cono Cilindro ellittico Catenoide Pseudosfera Sella di scimmia Superficie di Gaudì Superficie di Guimard Nastro su ellissoide Nautilus Conchiglia Colonna torsa Serpentino Vite di Saint-Gilles

19 Elenco delle figure Interpretazione geometrica integrale Interpretazione geometrica integrale curvilineo Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Cammino in 3D Integrazione su dominio rettangolare Integrazione su dominio rettangolare Area compresa tra due grafici Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio

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21 Introduzione I testi universitari moderni di Calcolo cercano di trovare un equilibrio tra rigore e intuizione, e in questo tentativo vi sono esempi autorevoli che utilizzano come supporto alla teoria tradizionale software di calcolo e di rappresentazione in 3D (vedi Calculus: A Complete Course di R.A. Adams, C. Essex, Pearson Education Canada, 2014, Càlcul per a l Arquitectura di C. Alsina, Edicions UPC, Barcelona 2008, Geometria a l Arquitectura di C. Alsina, J.J. Morale, M.S.T. Belenguer, Edicions UPC, Barcelona 2007, Calculus, Concepts and Contexts di J. Stewart, Brooks/Cole Cengage Learning, Belmont (CA) 2001, Thomas Calculus, di G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, Pearson Education, Limited,2014 ). Tale esigenza è sicuramente maggiormente sentita nei corsi di Matematica per Architettura. Al momento GeoGebra (da Geometria e Algebra) è uno dei più innovativi open-code math software che può essere liberamente scaricato da GeoGebra è uno strumento che offre ottime possibilità di sintesi tra un approccio rigoroso al Calcolo e uno più intuitivo, lavora su un largo spettro di piattaforme di sistemi operativi che hanno installato Java, consente di utilizzare in simultanea le funzioni computer algebra system e interactive geometric system, e rappresenta una rapida inizializzazione per avvicinarsi all utilizzo di tecnologie più sofisticate che hanno sintassi molto più complesse. In questo volume si sviluppano la teoria geometrica e analitica necessarie per l utilizzo del software (teoria tratta da Fondamenti geometrici per la Matematica di G. Anatriello, Aracne 2014, Fon- 21

22 22 Introduzione damenti di Analisi matematica di G. Anatriello, Aracne 2014, Fondamenti geometrici per il Calcolo di G. Anatriello, Aracne 2014) e la parte applicativa, attraverso una diversificata gamma di esercizi di base risolti anche con l utilizzo di GeoGebra. Il capitolo 1 è dedicato al calcolo geometrico sviluppato nei sopra citati volumi Fondamenti geometrici per la Matematica e Fondamenti geometrici per il Calcolo. Il capitolo 2 è dedicato alla geometria analitica e all algebra lineare, il capitolo 3 alle curve, il capitolo 4 alle superfici, il capitolo 5 al calcolo integrale. Settembre 2014 Giuseppina Anatriello

23 1 Calcolo geometrico Le trasformazioni di traslazione, di rotazione e di omotetia del piano euclideo possono essere riguardate in termini di operazioni tra punti del piano. In [6], [5] e [4] si è sviluppato un calcolo puramente geometrico tra punti di un piano euclideo a partire da due suoi punti distinti, O e U, con questo scopo. Il calcolo geometrico introdotto consente di riguardare la geometria euclidea in termini di calcolo tra punti e individua una struttura di campo (vedi Figura 1.13 e Figura 1.16 ); a partire da questa, tanto nel piano euclideo che nello spazio tridimensionale, due tipi di strutture che sono essenziali negli sviluppi della matematica. Tali strutture si dicono struttura affine e struttura metrica. Sempre in [6], [5] e [4] come modello astratto dei punti della retta OU (quando tra di essi si opera secondo le operazioni suddette e si sia introdotta una relazione d ordine tra di essi definita a partire da tali operazioni) vengono introdotti i numeri reali. 23